Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии

Рассмотрена задача об эффективных упругих свойствах слоистого композитного материала стохастической структуры при несовершенной адгезии, которая моделируется межфазным слоем с дефектами в виде микропор. На поверхностях раздела межфазного слоя со слоями наполнителя и матрицы выполняются условия сов...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Хорошун, Л.П., Левчук, О.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2019
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158107
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии / Л.П. Хорошун, О.И. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 56-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158107
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1581072019-07-16T01:25:23Z Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии Хорошун, Л.П. Левчук, О.И. Механіка Рассмотрена задача об эффективных упругих свойствах слоистого композитного материала стохастической структуры при несовершенной адгезии, которая моделируется межфазным слоем с дефектами в виде микропор. На поверхностях раздела межфазного слоя со слоями наполнителя и матрицы выполняются условия совершенного контакта в виде непрерывности перемещений и поверхностных напряжений. Межфазные слои рассматриваются как третий компонент, состоящий из пористых приповерхностных слоев двух компонентов и аппретирующих покрытий. При решении задачи использованы стохастические дифференциальные уравнения упругости в перемещениях для многокомпонентного КМ слоистой структуры с изотропными и анизотропными компонентами. На основе полученного решения исследованы эффективные свойства трехкомпонентного КМ слоистой структуры. Построены кривые зависимостей эффективных упругих постоянных слоистого материала с изотропными компонентами от объемного содержания наполнителя и пористости межфазного слоя. Розглянуто задачу про ефективні пружні властивості шаруватого композитного матеріалу стохастичної структури при недосконалій адгезії, яка моделюється міжфазним шаром з дефектами у вигляді мікропор. На поверхнях поділу міжфазного шару з шаром наповнювача і матриці виконуються умови досконалого контакту у вигляді неперервності переміщень і поверхневих напружень. Міжфазні шари розглядаються як третій компонент, що складається із пористих приповерхневих шарів двох компонентів і апретуючих покриттів. При розв’язанні задачі використано стохастичні диференціальні рівняння в переміщеннях для багатокомпонентного КМ шаруватої структури з ізотропними і анізотропними компонентами. На основі отриманого розв’язку досліджено ефективні властивості трикомпонентного КМ шаруватої структури. Побудовано криві залежностей ефективних пружних постійних шаруватого матеріалу з ізотропними компонентами від об’ємного вмісту наповнювача і пористості міжфазного шару. The problem of the effective elastic properties of a layered composite material of a stochastic structure with imperfect adhesion, which is modeled by an interphase layer with defects in the form of micropores, is considered. On the interfaces of the interphase layer with the layers of a filler and a matrix, perfect contact conditions are performed in the form of continuity of displacements and surface stresses. Interphase layers are considered as the third component, consisting of the surface layers of two components and the coupling coatings. The solution of the problem is based on stochastic differential equations of elasticity in displacements for a multicomponent composite material of the layered structure with isotropic and anisotropic components. On the basis of the solution, the effective properties of a three-component composite materials of the layered structure are investigated. The dependences of the effective elastic constants of the layered material with isotropic components on the volume content of a filler and the porosity of the interphase layer are constructed. 2019 Article Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии / Л.П. Хорошун, О.И. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 56-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.05.056 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158107 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Хорошун, Л.П. Левчук, О.И. Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии Доповіді НАН України
description	Рассмотрена задача об эффективных упругих свойствах слоистого композитного материала стохастической структуры при несовершенной адгезии, которая моделируется межфазным слоем с дефектами в виде микропор. На поверхностях раздела межфазного слоя со слоями наполнителя и матрицы выполняются условия совершенного контакта в виде непрерывности перемещений и поверхностных напряжений. Межфазные слои рассматриваются как третий компонент, состоящий из пористых приповерхностных слоев двух компонентов и аппретирующих покрытий. При решении задачи использованы стохастические дифференциальные уравнения упругости в перемещениях для многокомпонентного КМ слоистой структуры с изотропными и анизотропными компонентами. На основе полученного решения исследованы эффективные свойства трехкомпонентного КМ слоистой структуры. Построены кривые зависимостей эффективных упругих постоянных слоистого материала с изотропными компонентами от объемного содержания наполнителя и пористости межфазного слоя.
format	Article
author	Хорошун, Л.П. Левчук, О.И.
author_facet	Хорошун, Л.П. Левчук, О.И.
author_sort	Хорошун, Л.П.
title	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
title_short	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
title_full	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
title_fullStr	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
title_full_unstemmed	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
title_sort	эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158107
citation_txt	Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии / Л.П. Хорошун, О.И. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 56-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT horošunlp éffektivnyeuprugiesvojstvasloistyhkompozitovprinesoveršennojadgezii AT levčukoi éffektivnyeuprugiesvojstvasloistyhkompozitovprinesoveršennojadgezii
first_indexed	2025-07-14T10:36:38Z
last_indexed	2025-07-14T10:36:38Z
_version_	1837618327532339200
fulltext	56 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.05.056 УДК 539.3 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев E-mail: lkhoroshun@ukr.net, 2013levchuk@gmail.com Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном Рассмотрена задача об эффективных упругих свойствах слоистого композитного материала стохасти- ческой структуры при несовершенной адгезии, которая моделируется межфазным слоем с дефектами в виде микропор. На поверхностях раздела межфазного слоя со слоями наполнителя и матрицы выполняются условия совершенного контакта в виде непрерывности перемещений и поверхностных напряжений. Меж- фазные слои рассматриваются как третий компонент, состоящий из пористых приповерхностных слоев двух компонентов и аппретирующих покрытий. При решении задачи использованы стохастические диф- ференциальные уравнения упругости в перемещениях для многокомпонентного КМ слоистой структуры с изотропными и анизотропными компонентами. На основе полученного решения исследованы эффективные свойства трехкомпонентного КМ слоистой структуры. Построены кривые зависимостей эффективных упругих постоянных слоистого материала с изотропными компонентами от объемного содержания напол- нителя и пористости межфазного слоя. Ключевые слова: несовершенная адгезия, эффективные упругие свойства, слоистый композит, стохасти- ческие уравнения, условия несовершенного контакта, пористый межфазный слой. В современной технике широко применяются КМ, состоящие из матрицы, армированной наполнителем с высокими характеристиками жесткости и прочности. В ряде работ [1—5] идеальное сцепление матрицы и элементов наполнителя описывается непрерывностью перемещений и поверхностных напряжений при переходе через границу раздела компо- нентов. В реальных композитных материалах условия идеальной адгезии не соблюдаются ввиду наличия переходной зоны, нанесения аппретов для усиления связи между компонен- тами, а также наличием дефектов в виде микротрещин и микропор, ослабляющих адгезию. Это обусловило появление различных вариантов формулировки моделей несовершенного контакта матрицы и включений [6—12]. Наиболее адекватной представляется модель контакта матрицы и включения, базирую- щаяся на представлении, что между матрицей и включением существует межфазный мате- риальный слой, свойства которого отличаются от свойств матрицы и включения [6, 13]. При этом на поверхностях раздела межфазного слоя с матрицей и включением выполняются © Л.П. Хорошун, О.И. Левчук, 2019 57ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5 Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии условия совершенного контакта в виде непрерывности перемещений и поверхностных на- пряжений, что дает основание рассматривать межфазный слой как третью фазу. В настоящей работе рассматривается задача об эффективных упругих свойствах слои- стого композитного материала стохастической структуры, где несовершенная адгезия моде- лируется межфазным слоем с дефектами в виде микропор. Упругие свойства межфазного слоя отличаются от свойств слоев наполнителя и матрич- ного материала. На поверхностях раздела межфазного слоя со слоями наполнителя и ма- трицы выполняются условия совершенного контакта в виде непрерывности перемещений и поверхностных напряжений. Межфазные слои рассматриваются как третий компонент, состоящий из пористых приповерхностных слоев двух компонентов и аппретирующих по- крытий с дефектами в виде микропор. Основные уравнения. Будем исходить из представления о трехкомпонентном компо- зитном материале слоистой структуры, состоящем из чередующихся слоев наполнителя, матричного материала и находящихся между ними межфазных слоев. Сцепление между межфазным слоем и контактирующими с ним слоями наполнителя и матрицы принимаем совершенным, обеспечивающим на границе непрерывность перемещений и поверхностных напряжений. В этом случае физико-механические характеристики будут функциями одной координаты. Рассмотрим макрообъем слоистого материала, находящийся в условиях однородных макродеформаций и макронапряжений. Напряженно-деформированное состояние в ми- кроточке описывается уравнениями равновесия , 0ij jσ = , (1) соотношениями упругости ij ijmn mnσ = λ ε (2) и Коши ( , ) , , 1 ( ). 2ij i j i j j iu u uε = ≡ + (3) Пусть ось 3x направлена по нормали к слоям. Тогда упругие характеристики ijmnλ будут случайными функциями лишь координаты 3x . Вследствие однородности макрона- пряжений ij〈σ 〉 и макродеформаций ij〈ε 〉 напряжения ijσ , деформации ijε и флуктуации перемещений 0 i i ij iu u x= − 〈ε 〉 также будут функциями одной координаты 3x . В этом случае уравнения равновесия (1) упрощаются 3, 3 0iσ = , (4) откуда находим 3 ,i i iА Aσ = = const. (5) Выражения для деформаций согласно (3) имеют вид 0 0 , 3 3 , 3 3 1 ( ) 2ij ij i j j iu uε = 〈ε 〉 + δ + δ . (6) Подставляя (2), (6) в интегралы уравнений равновесия (5), получаем алгебраические уравнения относительно производных от флуктуаций перемещений 0 3 3 , 3 3i m m i i mn mnu Aλ = −λ 〈ε 〉 . (7) 58 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук Решения их будут следующими: 0 1 , 3 3 3 3( )m i m m m pq pqu A−= λ −λ 〈ε 〉 . (8) Осредняя соотношения (8) и учитывая, что математические ожидания от флуктуаций равны нулю, получаем 1 1 3 3 3 3 3 0i k k i k m pq pqA− −〈λ 〉 − 〈λ λ 〉 〈ε 〉 = . (9) Отсюда находим постоянные интегрирования 1 1 1 3 3 3 3 3 ,i i m m n n pq pqA − − −= 〈λ 〉 〈λ λ 〉 〈ε 〉 (10) а из (8), (10) находим флуктуации производных перемещений 0 1 1 1 1 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3( )i i k k m m n n pq k pq pqu − − − −= λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 . (11) Подставляя (11) в (6), получаем выражения микродеформаций через макродеформации 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ( )( ) 2ij ip jq i m j j m i m n n k k pq m pq pq − − − − −⎡ ⎤ε = δ δ + λ δ +λ δ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉⎢ ⎥⎣ ⎦ . (12) Микронапряжения находим подстановкой (12) в (2) 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3[ ( )]ij ijpq ijm m n n k k s s pq n pq pq − − − −σ = λ +λ λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 . (13) Осредняя выражение (13), получаем зависимости между макронапряжениями и макро- деформациями: ij ijpq pq ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 , (14) где эффективные упругие постоянные определяются формулами 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3ijpq ijpq ijm m n n k k s s pq ijm m n n pq ∗ − − − − −λ = 〈λ 〉 + 〈λ λ 〉 〈λ 〉 〈λ λ 〉 − 〈λ λ λ 〉 . (15) Выражения содержат только одноточечные моменты относительно упругих характери- стик материала, поэтому достаточно задать одноточечную плотность упругих характери- стик. Для N-компонентного материала одноточечная плотность имеет вид 1 ( ) ( ) N k ijmn k ijmn ijmn k f c = λ = δ λ −λ∑ , (16) где , k k ijmnc λ — соответственно объемное содержание и тензор модулей упругости; k — ком- понента. Отсюда для N-компонентного слоистого композитного материала находим 1 ( ) N k ijmn k ijmn k c = 〈ϕ(λ )〉 = ϕ λ∑ . (17) Формулы (15)—(17) позволяют вычислить эффективные постоянные слоистого компо- зита с произвольной симметрией материала слоев. Однако практическое их использование связано с громоздкими операциями обращения, осреднения и свертывания. Так как в ре- альных материалах слои обладают определенной симметрией, то целесообразно вычислять эффективные постоянные с учетом симметрии слоев. 59ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5 Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии Изотропные слои. Если слои изотропны, то упругие характеристики имеют вид ( )ijmn ij mn im jn in jmλ = λδ δ +μ δ δ + δ δ , (18) где ,λ μ — характеристики Ламе. Подставляя (18) в (7), находим 0 , 3 3 1 2i i iu A= − 〈ε 〉 μ , 0 3, 3 3 33 1 ( 2 2 kku A λ = − 〈ε 〉 − 〈ε 〉 λ + μ λ + μ ( , 1, 2)i k = . (19) Осредняя (19), определяем постоянные интегрирования 3 1 2i iA = 〈ε 〉 μ , 1 3 33 1 1 2 2 kkA − ⎛ ⎞ = 〈ε 〉 + 〈ε 〉⎜ ⎟λ + μ λ + μ⎝ ⎠ ( , 1, 2)i k = . (20) На основе (6), (19), (20) находим микродеформации 1 3 3 1 1 ,ij ij i i − ε = 〈ε 〉 ε = 〈ε 〉 μ μ , 1 33 33 1 1 1 2 2 2 2 kk − ⎤⎡⎛ ⎞λ ε = −λ 〈ε 〉 + ε ⎥⎢⎜ ⎟λ + μ λ + μ λ + μ λ + μ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( , 1, 2)i k = . (21) Подставляя (18), (21) в (2), получаем выражения микронапряжений 1 1 1 2 2 2 2ij ij − ⎛ λ σ = μ〈ε 〉 + +⎜λ + μ λ + μ λ + μ⎝ 33 1 1 2 2 2 2kk ij ij ⎞ λ + μ 〈ε 〉 δ + 〈ε 〉δ⎟λ + μ λ + μ λ + μ⎠ , (22) 1 3 3 1 2i i − σ = 〈ε 〉 μ , 1 33 33 1 2 2 kk − ⎛ ⎞λ σ = 〈ε 〉 + 〈ε 〉⎜ ⎟λ + μ λ + μ⎝ ⎠ ( , 1, 2)i k = . Осредняя (22), находим зависимости между макронапряжениями и макродефорациями 11 12 12 13 33( ) ( )ij ij kk ij ∗ ∗ ∗ ∗〈σ 〉 = λ −λ 〈ε 〉 + λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 δ , 33 13 33 33kk ∗ ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 , 3 44 32i i ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 ( , 1, 2)i k = , (23) где эффективные упругие постоянные определяются формулами 1 2 11 1 ( ) 4 2 2 2 − ∗ λ μ λ +μ λ = + λ + μ λ + μ λ + μ , 1 2 12 1 2 2 2 2 − ∗ λ λμ λ = + λ + μ λ + μ λ + μ , (24) 1 13 1 2 2 − ∗ λ λ = λ + μ λ + μ , 1 33 1 2 − ∗λ = λ + μ , 1 44 1 − ∗λ = μ . 60 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук Если обозначить объемные содержания и характеристики Ламе наполнителя, матрич- ного материала и межфазных слоев соответственно 1 1 1, , ,c λ μ 2 2 2, , ,c λ μ 3 3 3, ,c λ μ , то эффек- тивные упругие постоянные (24) слоистого КМ будут определяться формулами 1 2 3 3 3 11 1 1 1 ( ) 4 2 2 2 c c c − ∗ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν= ν= ν= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤λ μ λ +μ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + μ λ + μ λ + μ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ , 1 2 3 3 3 12 1 1 1 2 2 2 2 c c c − ∗ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν= ν= ν= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ μ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + μ λ + μ λ + μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ , (25) 1 3 3 13 1 12 2 c c − ∗ ν ν ν ν ν ν νν= ν= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + μ λ + μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ , 1 3 33 1 2 c − ∗ ν ν νν= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟λ + μ⎝ ⎠ ∑ , 1 3 44 1 c − ∗ ν νν= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟μ⎝ ⎠ ∑ , * * * 11 12 1 ( ) 2 k = λ +λ , * * * 11 12 1 ( ) 2 m = λ −λ . Ортотропные слои. Рассмотрим слоистый композит, составленный из ортотропных слоев, плоскости симметрии которых совпадают с координатными плоскостями. Зависимо- сти между напряжениями и деформациями в микроточке запишем в виде 11 11 11 12 22 13 33σ = λ ε +λ ε +λ ε , 23 44 232σ = λ ε , 22 12 11 22 22 23 33σ = λ ε +λ ε +λ ε , 13 55 132σ = λ ε , (26) 33 13 11 23 22 33 33σ = λ ε +λ ε +λ ε , 12 66 122σ = λ ε . Согласно (5), (6) имеем 0 55 13 1, 3 1(2 )u Cλ 〈ε 〉 + = , 0 44 23 2, 3 2(2 )u Cλ 〈ε 〉 + = , 0 13 11 23 22 33 33 3, 3 3( )u Cλ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 + = , (27) где 1C , 2C , 3C — постоянные. Решая (27) относительно производных от флуктуаций перемещений и проводя осред- нение, находим 1 1 1 55 132C − −= 〈λ 〉 〈ε 〉 , 1 1 2 44 232C − −= 〈λ 〉 〈ε 〉 , 1 1 1 1 3 33 13 33 11 23 33 22 33( )C − − − −= 〈λ 〉 〈λ λ 〉 〈ε 〉 + 〈λ λ 〉 〈ε 〉 + 〈ε 〉 . (28) На основе соотношений (6), (26) — (28) получим выражения микронапряжений через макродеформации: 1 1 1 1 11 11 13 33 33 13 33 13 11[ ( )]− − − −σ = λ +λ λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 + 1 1 1 1 1 1 1 12 13 33 33 23 33 23 22 13 33 33 33[ ( )]− − − − − − −+ λ +λ λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 +λ λ 〈λ 〉 〈ε 〉 , 1 1 1 1 22 12 23 33 33 13 33 13 11[ ( )]− − − −σ = λ +λ λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 + 1 1 1 1 1 1 1 22 23 33 33 23 33 23 22 23 33 33 33[ ( )]− − − − − − −+ λ +λ λ 〈λ 〉 〈λ λ 〉 −λ 〈ε 〉 +λ λ 〈λ 〉 〈ε 〉 , (29) 61ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5 Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии 1 1 1 1 33 33 13 33 11 23 33 22 33( )− − − −σ = 〈λ 〉 〈λ λ 〉 〈ε 〉 + 〈λ λ 〉 〈ε 〉 + 〈ε 〉 , 1 1 23 44 232 − −σ = 〈λ 〉 〈ε 〉 , 1 1 13 55 132 − −σ = 〈λ 〉 〈ε 〉 , 13 66 122σ = λ 〈ε 〉 . Осредняя соотношения (29), получаем зависимости между макронапряжениями и макро- деформациями 11 11 11 12 22 13 33 ∗ ∗ ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 , 23 44 232 ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 , 22 12 11 22 22 23 33 ∗ ∗ ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 , 13 55 132 ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 , (30) 33 13 11 23 22 33 33 ∗ ∗ ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 +λ 〈ε 〉 , 12 66 122 ∗〈σ 〉 = λ 〈ε 〉 , где эффективные постоянные определяются формулами 1 2 1 1 2 1 11 11 13 33 33 13 33 ∗ − − − −λ = 〈λ 〉 + 〈λ λ 〉 〈λ 〉 − 〈λ λ 〉 , 1 1 1 1 1 12 12 13 33 23 33 33 13 23 33 ∗ − − − − −λ = 〈λ 〉 + 〈λ λ 〉 〈λ λ 〉 〈λ 〉 − 〈λ λ λ 〉 , 1 1 1 13 13 33 33 ∗ − − −λ = 〈λ λ 〉 〈λ 〉 , 1 2 1 1 2 1 22 22 23 33 33 23 33 ∗ − − − −λ = 〈λ 〉 + 〈λ λ 〉 〈λ 〉 − 〈λ λ 〉 , (31) 1 1 1 23 23 33 33 ∗ − − −λ = 〈λ λ 〉 〈λ 〉 , 1 1 33 33 ∗ − −λ = 〈λ 〉 , 1 1 44 44 ∗ − −λ = 〈λ 〉 , 1 1 55 55 ∗ − −λ = 〈λ 〉 , 66 66 ∗λ = 〈λ 〉 . Если слои композита трансверсально изотропны с плоскостью изотропии 1 2x x , то в зави- симостях (26), (30), (31) следует положить 11 22λ = λ , 13 23λ = λ , 44 55λ = λ , 11 22 662λ −λ = λ , 11 22 ∗ ∗λ = λ , 13 23 ∗ ∗λ = λ , 44 55 ∗ ∗λ = λ , 11 22 662∗ ∗ ∗λ −λ = λ , (32) т.е. в макрообъеме материал также трансверсально изотропен. Если обозначить объемные содержания и модули упругости наполнителя, матричного материала и межфазных слоев соответственно 11 12 13 22 23 33 44 55, , , , , , , , ,cν ν ν ν ν ν ν ν νλ λ λ λ λ λ λ λ 66 ( 1, 2, 3)νλ ν = , то эффективные упругие модули упругости (31) слоистого КМ будут опре- деляться формулами 2 1 23 3 3 3 13 13 11 11 33 33 331 1 1 1 c c c c − ∗ ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν= ν= ν= ν= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = λ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ , 1 3 3 3 3 3 13 23 13 23 12 12 33 33 33 331 1 1 1 1 c c c c c − ∗ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν= ν= ν= ν= ν= ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ λ λ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = λ + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ , 1 3 3 13 13 33 331 1 c c − ∗ ν ν ν ν νν= ν= ⎛ ⎞⎛ ⎞λ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑ , 2 1 23 3 3 3 23 23 22 22 33 33 331 1 1 1 c c c c − ∗ ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν= ν= ν= ν= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ = λ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ , 62 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук 1 3 3 23 23 33 331 1 c c − ∗ ν ν ν ν νν= ν= ⎛ ⎞⎛ ⎞λ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑ , 1 3 33 331 c − ∗ ν νν= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟λ⎝ ⎠ ∑ , 1 3 44 441 c − ∗ ν νν= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟λ⎝ ⎠ ∑ , 1 3 55 551 c − ∗ ν νν= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ⎜ ⎟λ⎝ ⎠ ∑ , 3 66 66 1 c∗ ν ν ν= λ = λ∑ . (33) Численные результаты. Численное исследование влияния несовершенных условий контакта компонентов на эффективные упругие свойства слоистых КМ стохастической структуры проведено для контактирующих слоев из алюмоборосиликатного стекла и отвер- жденного эпоксидного связующего, которые разделены межфазными слоями. Межфазные слои рассматриваются как третий компонент, состоящий из аппретирующих покрытий, приповерхностных частей матрицы и наполнителя, а также дефектов в виде микротрещин и микропор. Так как некоторая часть материала в окрестности микротрещины не несет на- грузку, то микротрещины моделируются микропорами. Упругие модули объемного сжатия и сдвига компонентов принимаем соответственно [14] такими: 33,333cK = ГПа; 25cμ = ГПа; 3,333эK = ГПа; 1,111эμ = ГПа. (34) Для обеспечения равномерной передачи усилий аппретирующее покрытие целесоо- бразно применять с модулями упругости, промежуточными между соответствующими мо- дулями матрицы и наполнителя. Поэтому в безразмерных единицах, представляющих отно- шения соответствующих модулей к модулю сдвига матрицы μэ, принимаем такие значения 1 30K = ; 1 22,5μ = ; 2 3K = ; 2 1μ = ; 0 16,5K = ; 0 11,75μ = . (35) где 0K , 0μ — соответственно модули объемного сжатия и сдвига материала межфазного слоя без микропор. Соответствующие модули межфазного слоя с пористостью p опре- деляются формулами [15] 2 0 0 3 0 0 0 4 (1 ) 4 (3 4 ) K p K K p μ + − = μ + − μ , 2 0 0 0 3 0 0 0 0 (9 8 )(1 ) 9 8 (3 4 ) K p K K p μ + μ − μ = + μ − − μ . (36) Объемные содержания наполнителя, связующего и пористого межфазного слоя обозна- чаем соответственно 1с , 2с , 3с . При этом будем пользоваться соотношением 3 3 1 1 h c c h = , (37) где 1h , 3h — соответственно толщины слоев наполнителя и межфазных слоев. В вычисле- ниях принято 3 1 0,01 h h = . На рис. 1 и 2 представлены зависимости эффективных модулей упругости k ∗ , m∗, ∗μ , 13 ∗λ , 33 ∗λ от объемного содержания слоев наполнителя 1с при заданных пористостях p меж- фазных слоев. Вычисления проведены на основе формул (25), (34)—(37) для случая изо- тропных компонентов слоистого КМ. Здесь объемное содержание наполнителя 1с находит- 63ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5 Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии 0,6 30 25 20 Рис. 1 Рис. 2 ся в допустимом интервале 10 0,99с согласно (37). На рис. 3 приведены зависимости эффективных поперечного 21 ∗ν и продольного 31 ∗ν коэффициентов Пуассона от объемного содержания наполнителя 1с , вычисленных согласно формулам 2 * 33 13 21 2 33 13 ( ) , ( ) k m k m ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − λ −λ ν = + λ −λ 2 * 13 31 2 33 13 2 . ( ) m k m ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ λ ν = + λ −λ (38) Анализ зависимостей эффективных модулей упругости от объемного содержания на- полнителя 1с и пористости межфазных слоев p позволяет сделать следующие выводы. Увеличение пористости p межфазных слоев, эквивалентное уменьшению адгезии, приво- дит к уменьшению эффективных модулей k ∗ , ∗μ , 13 ∗λ , 33 ∗λ . При этом с ростом объемного содержания наполнителя 1с модуль k ∗ растет при произвольных значениях пористости p межфазных слоев. В то же время модули ∗μ , 13 ∗λ , 33 ∗λ растут с ростом 1с лишь в интервалах пористостей соответственно 0 0,97046p , 0 0,94115p , 0 0,961713p . Для более 64 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук высоких значений пористости значения соответствующих модулей уменьшаются с ростом 1с . Однако поперечный модуль сдвига m∗ является исключением из отмеченных законо- мерностей, его значения не зависят от пористости p межфазных слоев для всех 1с . Кривые зависимостей эффективных коэффициентов Пуассона 21 ∗ν , 31 ∗ν от объемного содержания наполнителя 1с имеют соответственно монотонный и немонотонный характер. При этом они не зависят от пористости p межфазных слоев. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Khoroshun L.P. Statistical theory of deformation of unidirectional fibrous materials. Int. Appl. Mech. 1968. 4, № 7. P. 5—9. 2. Khoroshun L.P. Elastic properties of materials reinforced by unidirectional short fibers. Int. Appl. Mech. 1972. 8, № 12. P. 1358—1363. 3. Khoroshun L.P. Prediction of thermoelastic properties of materials strengthened by unidirectional discrete fibers. Int. Appl. Mech. 1974. 10, № 12. P. 1288—1293. 4. Nazarenko L., Stolarski H., Khoroshun L., Altenbach H. Effective thermo-elastic properties of random com- posites with orthotropic and aligned ellipsoidal inhomogeneties. Int. J. of Solids and Structures. 2018. 136-137. P. 220—240. 5. Sangani A.S., Mo G. Elastic interactions in particulate composites with perfect as well as imperfect interfaces. J. Mech. Phys. Solids. 1997. 45. P. 2001—2031. 6. Achenbach J.D., Zhu H. Effect of interfacial zone on mechanical behavior and failure of fiber-reinforced com- posites. J. Mech. Phys. Solids. 1989. 37. P. 381—393. 7. Benveniste Y. The effective mechanical behavior of composite materials with imperfect contact between the constituents. Mech.Mater. 1985. 4. P. 197—208. 8. Benveniste Y., Miloh T. Imperfect soft and stiff interfaces in two-dimensional elasticity. Mech. Mater. 2001. 33. P. 309—323. 9. Gu S.T. He Q.C. Interfacial discontinuity relations for coupled multifield phenomena and their application to the modeling of thin interphase as imperfect interfaces. J. Mech. Phys. 2011. 59. P. 1413—1426. 10. Gu S.T., Liu J.T., He Q.C. Size-dependent effective elastic moduli of particulate composites with interfacial displacement and traction discontinuities. Int. J. Solids Struct. 2014. 51. P. 2283—2296. Рис. 3 65ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5 Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии 11. Hashin Z. Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface. Mech. Mater. 1990. 8. P. 333— 348. 12. Nazarenko L., Stolarski H., Altenbach H. A model of cylindrical inhomogeneity with spring layer interface and its application to analysis of short-fiber composites. Composite Structures. 2017. 160. P. 635—652. 13. Hashin Z. Thin interphase imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites. J. Mech. Phys. Solids. 2002. 50. P. 2509—2537. 14. Крегерс А.Ф. Математическое моделирование термического расширения пространственно армирован- ных композитов. Механика композит. материалов. 1988. № 3. С. 433—441. 15. Khoroshun L.P. Effective elastic properties of unidirectional fibrous composite materials with interfacial defects. Int. Appl. Mech. 2018. 54. № 6. P. 628—641. Надійшло до редакції 15.02.2019 REFERENCES 1. Khoroshun, L. P. (1968). Statistical theory of deformation of unidirectional fibrous materials. Int. Appl. Mech., 4, No.7, pp. 5-9. 2. Khoroshun, L. P. (1972). Elastic properties of materials reinforced by unidirectional short fibers. Int. Appl. Mech., 8, No.12, pp. 1358-1363. 3. Khoroshun, L. P. (1974). Prediction of thermoelastic properties of materials strengthened by unidirectional discrete fibers. Int. Appl. Mech., 10, No.12, pp. 1288-1293. 4. Nazarenko, L., Stolarski, H., Khoroshun, L. & Altenbach, H. (2018). Effective thermo-elastic properties of random composites with orthotropic and aligned ellipsoidal inhomogeneties. Int. J. of Solids and Structures, 136-137, pp. 220-240. 5. Sangani, A. S. & Mo, G. (1997). Elastic interactions in particulate composites with perfect as well as imperfect interfaces. J. Mech. Phys. Solids, 45, pp. 2001-2031. 6. Achenbach, J. D. & Zhu, H. (1989). Effect of interfacial zone on mechanical behavior and failure of fiber-rein- forced composites. J. Mech. Phys. Solids, 37, pp. 381-393. 7. Benveniste, Y. (1985). The effective mechanical behavior of composite materials with imperfect contact be- tween the constituents. Mech. Mater., 4. pp. 197-208. 8. Benveniste, Y. & Miloh, T. (2001). Imperfect soft and stiff interfaces in two-dimensional elasticity. Mech. Mater., 33, pp. 309-323. 9. Gu, S. T. & He, Q. C. (2011). Interfacial discontinuity relations for coupled multifield phenomena and their application to the modeling of thin interphase as imperfect interfaces. J. Mech. Phys., 59, pp. 1413-1426. 10. Gu, S. T., Liu, J. T. & He, Q. C. (2014). Size-dependent effective elastic moduli of particulate composites with interfacial displacement and traction discontinuities. Int. J. Solids Struct., 51, pp. 2283-2296. 11. Hashin, Z. (1990). Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface. Mech. Mater., 8, pp. 333-348. 12. Nazarenko, L., Stolarski, H. & Altenbach, H. (2017). A model of cylindrical inhomogeneity with spring layer interface and its application to analysis of short-fiber composites. Composite Structures, 160, pp. 635-652. 13. Hashin, Z. (2002). Thin interphase imperfect interface in elasticity with application to coated fiber compos- ites. J. Mech. Phys. Solids, 50, pp. 2509-2537. 14. Kregers, А. F. (1988). Mathematical modeling of thermal expansion of spatially reinforced composites. Me- chanics of Composite Materials, No. 3, pp. 433-441 (in Russian). 15. Khoroshun, L. P. (2018). Effective elastic properties of unidirectional fibrous composite materials with inter- facial defects. Int. Appl. Mech., 54, No. 6, pp. 628-641. Received 15.02.2019 66 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5 Л.П. Хорошун, О.И. Левчук Л.П. Хорошун, О.І. Левчук Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ E-mail: lkhoroshun@ukr.net, 2013levchuk@gmail.com ЕФЕКТИВНІ ПРУЖНІ ВЛАСТИВОСТІ ШАРУВАТИХ КОМПОЗИТІВ ПРИ НЕДОСКОНАЛІЙ АДГЕЗІЇ Розглянуто задачу про ефективні пружні властивості шаруватого композитного матеріалу стохастичної структури при недосконалій адгезії, яка моделюється міжфазним шаром з дефектами у вигляді мікропор. На поверхнях поділу міжфазного шару з шаром наповнювача і матриці виконуються умови досконалого контакту у вигляді неперервності переміщень і поверхневих напружень. Міжфазні шари розглядаються як третій компонент, що складається із пористих приповерхневих шарів двох компонентів і апретуючих по- криттів. При розв’язанні задачі використано стохастичні диференціальні рівняння в переміщеннях для багатокомпонентного КМ шаруватої структури з ізотропними і анізотропними компонентами. На основі отриманого розв’язку досліджено ефективні властивості трикомпонентного КМ шаруватої структури. По- будовано криві залежностей ефективних пружних постійних шаруватого матеріалу з ізотропними компо- нентами від об’ємного вмісту наповнювача і пористості міжфазного шару. Ключові слова: недосконала адгезія, ефективні пружні властивості, шаруватий композит, стохастичні рівняння, умови недосконалого контакту, пористий міжфазний шар. L.P. Khoroshun, O.I. Levchuk S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: lkhoroshun@ukr.net, 2013levchuk@gmail.com EFFECTIVE ELASTIC PROPERTIES OF LAYERED COMPOSITES UNDER IMPERFECT ADHESION The problem of the effective elastic properties of a layered composite material of a stochastic structure with im- perfect adhesion, which is modeled by an interphase layer with defects in the form of micropores, is considered. On the interfaces of the interphase layer with the layers of a filler and a matrix, perfect contact conditions are performed in the form of continuity of displacements and surface stresses. Interphase layers are considered as the third component, consisting of the surface layers of two components and the coupling coatings. The solution of the problem is based on stochastic differential equations of elasticity in displacements for a multicomponent composite material of the layered structure with isotropic and anisotropic components. On the basis of the solu- tion, the effective properties of a three-component composite materials of the layered structure are investigated. The dependences of the effective elastic constants of the layered material with isotropic components on the vol- ume content of a filler and the porosity of the interphase layer are constructed. Keywords: imperfect adhesion, effective elastic properties, layered composite, stochastic equations, imperfect inter- face conditions, porous interphase layers.

Эффективные упругие свойства слоистых композитов при несовершенной адгезии

Репозитарії

Схожі ресурси