Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект

Спостереження геомагнітного поля, вимір величин його компонент і створення на їх основі моделей геомагнітного поля, а також складання геомагнітних карт є основним напрямком геомагнітних досліджень. Аналітична модель геомагнітного поля дозволяє обчислити величину будь компоненти геомагнітного поля в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Сумарук, Ю.П., Янків-Вітковська, Л.М., Джуман, Б.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2019
Назва видання:	Геофизический журнал
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158494
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект / Ю.П. Сумарук, Л.М. Янків-Вітковська, Б.Б. Джуман // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 1. — С. 180-191. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158494
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1584942019-09-04T01:25:22Z Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект Сумарук, Ю.П. Янків-Вітковська, Л.М. Джуман, Б.Б. Спостереження геомагнітного поля, вимір величин його компонент і створення на їх основі моделей геомагнітного поля, а також складання геомагнітних карт є основним напрямком геомагнітних досліджень. Аналітична модель геомагнітного поля дозволяє обчислити величину будь компоненти геомагнітного поля в будь-якій точці навколоземного космічного простору і на Землі. Запропоновано новий метод для побудови регіональної моделі геомагнітного потенціалу. Наблюдение геомагнитного поля, измерение величин его компонент и создание на их основе моделей геомагнитного поля, а также составление геомагнитных карт являются основным направлением геомагнитных исследований. Аналитическая модель геомагнитного поля позволяет вычислить величину любой компоненты геомагнитного поля в какой-либо точке околоземного космического пространства и на Земле. Предложен новый метод для построения региональной модели геомагнитного потенциала. Observation of geomagnetic field, measurement of its components values and establishment on their base models of geomagnetic field as well as geomagnetic mapping are the main trend of geomagnetic studies. Analytical model of geomagnetic field allows calculating the value of any component of geomagnetic field at any point of near-earth space and on the Earth. A new method has been proposed for construction of geomagnetic potential regional model. 2019 Article Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект / Ю.П. Сумарук, Л.М. Янків-Вітковська, Б.Б. Джуман // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 1. — С. 180-191. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 0203-3100 DOI: 10.24028/gzh.0203-3100.v41i1.2019.158872 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158494 550.385 uk Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Спостереження геомагнітного поля, вимір величин його компонент і створення на їх основі моделей геомагнітного поля, а також складання геомагнітних карт є основним напрямком геомагнітних досліджень. Аналітична модель геомагнітного поля дозволяє обчислити величину будь компоненти геомагнітного поля в будь-якій точці навколоземного космічного простору і на Землі. Запропоновано новий метод для побудови регіональної моделі геомагнітного потенціалу.
format	Article
author	Сумарук, Ю.П. Янків-Вітковська, Л.М. Джуман, Б.Б.
spellingShingle	Сумарук, Ю.П. Янків-Вітковська, Л.М. Джуман, Б.Б. Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект Геофизический журнал
author_facet	Сумарук, Ю.П. Янків-Вітковська, Л.М. Джуман, Б.Б.
author_sort	Сумарук, Ю.П.
title	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
title_short	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
title_full	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
title_fullStr	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
title_full_unstemmed	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
title_sort	моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2019
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158494
citation_txt	Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект / Ю.П. Сумарук, Л.М. Янків-Вітковська, Б.Б. Джуман // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 1. — С. 180-191. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT sumarukûp modelûvannâregíonalʹnogomagnítnogopolâzvikoristannâmsferičnihfunkcíjteoretičnijaspekt AT ânkívvítkovsʹkalm modelûvannâregíonalʹnogomagnítnogopolâzvikoristannâmsferičnihfunkcíjteoretičnijaspekt AT džumanbb modelûvannâregíonalʹnogomagnítnogopolâzvikoristannâmsferičnihfunkcíjteoretičnijaspekt
first_indexed	2025-07-14T11:04:43Z
last_indexed	2025-07-14T11:04:43Z
_version_	1837620091253948416
fulltext	Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 180 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 ÓÄÊ 550.385 Ìîäåëþâàííÿ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ ç âèêîðèñòàííÿì ñôåðè÷íèõ ôóíêö³é: òåîðåòè÷íèé àñïåêò Þ. Ï. Ñóìàðóê 1, Ë. Ì. ßíê³â-Â³òêîâñüêà2, Á. Á. Äæóìàí2, 2019 1Êàðïàòñüêå â³ää³ëåííÿ ²íñòèòóòó ãåîô³çèêè ³ì. Ñ. ². Ñóááîò³íà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, Óêðà¿íà 2Êàôåäðà âèùî¿ ãåîäåç³¿ òà àñòðîíîì³¿, Íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò �Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà�, Ëüâ³â, Óêðà¿íà Íàä³éøëà 23 æîâòíÿ 2018 ð. Íàáëþäåíèå ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ, èçìåðåíèå âåëè÷èí åãî êîìïîíåíò è ñîçäàíèå íà èõ îñíîâå ìîäåëåé ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à òàêæå ñîñòàâëåíèå ãåîìàãíèòíûõ êàðò ïðåäñòàâëÿþò îñíîâíîå íàïðàâëåíèå ãåîìàãíèòíûõ èññëåäîâàíèé. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìî- äåëü ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ëþáîé êîìïîíåíòû ãåîìàã- íèòíîãî ïîëÿ â êàêîé-ëèáî òî÷êå îêîëîçåìíîãî êîñìè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà è íà Çåì- ëå. Ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåãèîíàëüíîé ìîäåëè ãåîìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà. Ñîãëàñíî ôóíäàìåíòàëüíûì èññëåäîâàíèÿì Ãàóññà, êëàññè÷åñêèì ïðåä- ñòàâëåíèåì ãåîìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà ñòàëà åãî çàïèñü â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà ôóíêöèé Ëåæàíäðà. Îáû÷íî ðàçëîæåíèå ãåîìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà â ðÿä ïî ñôå- ðè÷åñêèì èëè ýëëèïñîèäàëüíûì ôóíêöèÿì èñïîëüçóåòñÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ãëîáàëüíîãî (íîðìàëüíîãî) ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ äëèíîé ðÿäà â 9� 13 ãàðìîíèê. Îäíàêî åñëè ðå÷ü èäåò íå î âñåé ñôåðå, à î åå îòäåëüíîé ÷àñòè (ñåã- ìåíòå ñôåðû èëè åå òðàïåöèè), òî ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Ëåæàíäðà òåðÿþò ñâîþ îðòîãîíàëüíîñòü. Â ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ ðàçðàáîòêè ðåãèîíàëüíûõ ìîäåëåé ïîëÿ ïðè- ìåíÿþò ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè ñôåðè÷åñêîãî ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ñ èñïîëü- çîâàíèåì ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé Ëåæàíäðà öåëîé ñòåïåíè è äåéñòâèòåëüíîãî ïî- ðÿäêà. Òàêèå ôóíêöèè ôîðìèðóþò îðòîãîíàëüíóþ ïî âåñó ñèñòåìó ôóíêöèé íà ïðî- èçâîëüíîé ñôåðè÷åñêîé òðàïåöèè, îäíàêî íå èìåþò ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, â ñâÿçè ñ ÷åì äëÿ èõ âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ðàñïèñàíèå â ãèïåðãåîìåò- ðè÷åñêèé ðÿä. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîð- äèíàò ñëóæèò ñôåðè÷åñêèé ñåãìåíò. Ïîëó÷åíû ðàáî÷èå ôîðìóëû äëÿ ïîñòðîåíèÿ óïîìÿíóòîé âûøå ìîäåëè. Â êà÷åñòâå âõîäíûõ äàííûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ðå- ãèîíàëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ èñïîëüçîâàíû çíà÷åíèÿ åãî êîìïîíåíò, ïîëó÷åííûå èç èçìåðåíèé íà ãåîìàãíèòíûõ îáñåðâàòîðèÿõ. Ïðåäëîæåíî ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ðåãèîíàëüíîé ìîäåëè ãåîìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà óêàçàííûì ìåòîäîì â ðàìêàõ ïðî- öåäóðû èçúÿòèå�âû÷èñëåíèå�âîññòàíîâëåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäÿò ñèñòåìàòè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ êîìïîíåíò, ïðèìåíèâ ãëîáàëüíóþ ìîäåëü ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äàëåå âû÷èñëÿþò àíîìàëüíûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò. Èñïîëüçîâàâ áàçîâûå ôóíêöèè, âû÷èñ- ëÿþò ìîäåëü ðåãèîíàëüíîãî àíîìàëüíîãî ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ ñòàáèëèçàöèè ðå- øåíèÿ ââîäÿò ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè Òèõîíîâà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðåãèîíàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè, ìîäåëè- ðîâàíèå. Âñòóï. Ïðîñòîðîâèé ðîçïîä³ë ãåîìàãí³òíîãî ïîëÿ òà éîãî åâîëþö³éíèé ïðîöåñ º îäíèì ³ç íàéâàæëèâ³øèõ ñêëàäîâèõ ó ãåîô³çè÷íèõ äîñë³äæåííÿõ. Ïðîöåñ ïîáóäîâè ìîäåë³ ãëîáàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ äîáðå âèâ÷åíèé. Àíàë³òè÷í³ ìîäåë³ ãåîìàãí³òíîãî ïîëÿ äàþòü çìîãó âèçíà÷èòè âåëè÷èíó áóäü-ÿêî¿ êîìïîíåíòè ïîëÿ ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ ç êîîðäèíàòàìè φ, λ , h (âèñîòà). Ïîäàííÿ â àíàë³òè÷íîìó âèãëÿä³ º çðó÷íèì äëÿ ðîç- â�ÿçàííÿ çàäà÷, ïîâ�ÿçàíèõ ç äîñë³äæåííÿì çîâí³øíüîãî ïîëÿ, ïðè âèð³øåíí³ ïèòàíü doi: 10.24028/gzh.0203-3100.v41i1.2019.158872 ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 181 íàâ³ãàö³¿ ³ îð³ºíòàö³¿, âèä³ëåííÿ òðåíäó (äîñë³äæåííÿ àíîìàë³é, ñòâîðåíèõ êîðîâèìè äæåðåëàìè) òîùî. Áåçóìîâíî, ó êîæí³é ç öèõ çàäà÷ ïîñòàâëåíî ñâî¿ ñïåöèô³÷í³ âè- ìîãè äî àíàë³òè÷íîãî ïîäàííÿ, àëå ìîæíà âèä³ëèòè çàãàëüí³ âèìîãè, ÿêèì ìàº çàäî- â³ëüíÿòè áóäü-ÿêà ñó÷àñíà àíàë³òè÷íà ìîäåëü. Ïî-ïåðøå, ó ìîäåë³ ìàº áóòè ïåâíà òî÷í³ñòü, ùîá ð³çíèöÿ ì³æ âèì³ðÿíèìè ³ ðîçðàõîâàíèìè çíà÷åííÿìè íå ïåðåâèùó- âàëà äåÿêó âåëè÷èíó. Òàê, äëÿ îö³íþâàííÿ âåëè÷èíè ïîëÿ êîðîâèõ äæåðåë ð³çíèöÿ íå ìàº ïåðåâèùóâàòè 250 íÒë. Çà ìîäåëëþ ìàº áóòè âèä³ëåíî ïîëå êîðîâèõ äæåðåë, òîáòî íåîáõ³äíå âèêîíàííÿ óìîâè 0→∆∑ iZ , 0→∆∑ iH , 0→∆∑ iT íà ïðîô³ë³ ïåâ- íî¿ äîâæèíè àáî íà ïëîù³ ïåâíèõ ðîçì³ð³â. Äîâæèíà ïðîô³ëÿ ìîæå áóòè îö³íåíà íà ï³äñòàâ³ ñïåêòðàëüíîãî àíàë³çó. Ìîäåëü ìàº çàäîâ³ëüíî ïåðåäàâàòè çìåíøåííÿ ïîëÿ ç âèñîòîþ. Íà âèñîòàõ äî 400 êì ðîçá³æí³ñòü ì³æ âèì³ðÿíèìè ³ îá÷èñëåíèìè çíà- ÷åííÿìè íå ìàº ïåðåâèùóâàòè 50 íÒë. Ìîäåëü ïîëÿ ³ â³êîâ³ âàð³àö³¿ ìàþòü ïðàâèëü- íî ïåðåäàâàòè ÷àñîâ³ çì³íè ïîëÿ (ïðè óñåðåäíåíí³ çà äåÿêèì ³íòåðâàëîì ÷àñó). Ö³ âèìîãè íåîáõ³äí³ äëÿ ç³ñòàâëåííÿ ì³æ ñîáîþ ð³çíèõ àíàë³òè÷íèõ ìîäåëåé. Ç³ñòàâ- ëåííÿ êîåô³ö³ºíò³â ð³çíèõ ìîäåëåé íå äàº çìîãè âèáðàòè êðàùó ìîäåëü. Çìåíøåííÿ ð³çíèöü ó êîåô³ö³ºíòàõ îçíà÷àº, ùî ï³ä ÷àñ ñòâîðåííÿ ìîäåëåé âèêîðèñòîâóâàëè îä- íîð³äí³øèé ìàòåð³àë, à ìåòîäèêè ïîáóäîâè ìîäåëåé â³äð³çíÿëèñÿ íåñóòòºâî. Äàí³ ìàãí³òíèõ îáñåðâàòîð³é, áåçóìîâíî, º ÿê³ñí³øèì ìàòåð³àëîì äëÿ îö³íþâàí- íÿ ðåïðåçåíòàòèâíîñò³ ñòâîðåíî¿ àíàë³òè÷íî¿ ìîäåë³. Äëÿ çàäà÷, ïîâ�ÿçàíèõ ç âè- â÷åííÿì ÿâèù â ³îíîñôåð³ òà ìàãí³òîñôåð³, àíàë³òè÷íà ìîäåëü ìàº ïðàâèëüíî ïåðå- äàâàòè çàêîí çìåíøåííÿ ïîëÿ ç â³äñòàííþ. Ìîäåë³, ïîáóäîâàí³ ò³ëüêè çà íàçåìíèìè äàíèìè, íå çàäîâ³ëüíÿþòü öþ óìîâó. Ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà ïîìèëêà 250 íÒë íà ïî- âåðõí³ Çåìë³ ìîæå áóòè îòðèìàíà äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêó ìîäåë³ n = m = 9, àëå ïðè öüîìó âèêîíàííÿ óìîâè 0→∆∑ iZ , 0→∆∑ iH , 0→∆∑ iT ìîæå áóòè íà ìåí- øèõ ïðîô³ëÿõ ³ ïëîùàõ. Óñ³ ³ñíóþ÷³ àíàë³òè÷í³ ìîäåë³ íå ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ ÿê �íîðìàëüíå ïîëå� äëÿ âèä³ëåííÿ àíîìàë³é ïðîòÿæí³ñòþ 200 êì ³ ìåíøå, òîìó äå- ÿêà ÷àñòèíà ãîëîâíîãî ïîëÿ âõîäèòü ïîìèëêîþ â àíîìàëüíå ïîëå. Êîðåãóâàííÿ ìî- äåë³ äëÿ îáìåæåíî¿ òåðèòîð³¿ çà äîäàòêîâîþ ³íôîðìàö³ºþ äàº çìîãó îäåðæàòè á³ëüø çàäîâ³ëüíå �íîðìàëüíå ïîëå�. Äëÿ ïîáóäîâè ãëîáàëüíî¿ ìîäåë³ ïåðåâàæíî âèêîðèñòîâóþòü ãëîáàëüí³ ñôåðè÷í³ ôóíêö³¿ Ëåæàíäðà, îäíàê äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ òàêèé ï³äõ³ä çàñòîñîâóâàòè íå ìîæíà, îñê³ëüêè ó òàêîìó ðàç³ ñôåðè÷í³ ôóíêö³¿ Ëåæàíäðà âòðà÷àþòü ñâîþ îðòîãîíàëüí³ñòü ³ ðîçâ�ÿçîê ñòàº íåñòàá³ëüíèì [Îðëþê, 2000; Îðëþê è äð., 2017]. Äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ çàñòîñîâóþòü ìåòîä SCHA [Haines, 1985, 1988; Yankiv-Vitkovska, Dzhuman, 2017], ÿêèé ´ðóíòóºòüñÿ íà âè- êîðèñòàíí³ ÿê áàçîâî¿ ñèñòåìè ôóíêö³é ñôåðè÷íèõ ôóíêö³é Ëåæàíäðà ö³ëîãî ñòå- ïåíÿ, àëå ä³éñíîãî ïîðÿäêó, à òàêîæ ³íø³ ìåòîäè, íàïðèêëàä ASHA [De Santis, 1992; Dzhuman, 2014], TOSCA [De Santis, 1991], R-SCHA [Thébault et al., 2006], êîæåí ç ÿêèõ ìàº ñâî¿ ïåðåâàãè òà íåäîë³êè ³ º ìîäèô³êàö³þ ìåòîäó SCHA [Beggan et al. , 2013; Thébault, Gaya-Piqué, 2008; Thébault et al., 2010]. Îñíîâíèìè íåäîë³êàìè óñ³õ ïåðå- ë³÷åíèõ ìåòîä³â ìîæíà ââàæàòè òàê³: à) äëÿ ¿õ áåçïîñåðåäíüîãî âèêîðèñòàííÿ âõ³ä- íó ³íôîðìàö³þ íåîáõ³äíî òðàíñôîðìóâàòè ç äîâ³ëüíîãî ðåã³îíó íà ñôåðè÷íèé ñåã- ìåíò ç öåíòðîì íà ï³âí³÷íîìó ïîëþñ³, ÷åðåç ùî âòðà÷àºòüñÿ ô³çè÷íèé çì³ñò ïðîöå- ñó; á) áàçîâèì ôóíêö³ÿì íå âëàñòèâà îðòîãîíàëüí³ñòü. Ó ñòàòò³ äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ çàïðîïîíîâàíî ìåòîä, ó ÿêîìó ÿê áàçîâ³ âèêîðèñòî- âóþòü ôóíêö³¿, îðòîãîíàëüíî¿ íà äîâ³ëüí³é ñôåðè÷í³é òðàïåö³¿. Ãàðìîí³÷íèé àíàë³ç íà �øàïö³� ñôåðè (SCHA). Ó 1985 ð. ó ñòàòò³ [Haines, 1985] äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ áóëî çàïðîïîíîâàíî çàñòîñîâóâàòè ìåòîä SCHA (spherical cap harmonic analysis), òåîðåòè÷í³ çàñàäè ÿêîãî âïåðøå áóëè ðîç- Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 182 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 ðîáëåí³ çàäîâãî äî öüîãî ó ðîáîò³ [ Kelvin, Tait , 1896]. Öåé ìåòîä ïåðåäáà÷àº íà- êëàäåííÿ ãðàíè÷íèõ óìîâ çàäà÷³ Øòóðìà�Ë³óâ³ëëÿ [Hwang, Chen, 1997] íà äèôå- ðåíö³éíå ð³âíÿííÿ Ëåæàíäðà. Ó òàêîìó âèïàäêó çà áàçîâó ñèñòåìó ôóíêö³é ïðèé- ìàþòü ñôåðè÷í³ ôóíêö³¿ Ëåæàíäðà ö³ëîãî ñòåïå- íÿ, àëå ä³éñíîãî ïîðÿäêó )(cosθmnk P , äå nk � ä³éñ- íå ÷èñëî, k � óïîðÿäêîâóâàëüíèé ³íäåêñ. Àëãîðèò- ìè äëÿ çíàõîäæåííÿ çíà÷åíü nk äåòàëüíî ðîçãëÿ- íóòî ó ñòàòò³ [Macdonald, 1900]. Ôóíêö³¿ )(cosθmnk P íå ìàþòü ïðîñòèõ ðåêóðåíòíèõ ñï³ââ³äíîøåíü, òî- ìó çàçâè÷àé ¿õ çíàõîäÿòü çà äîïîìîãîþ ðîçêëàäåí- íÿ â ã³ïåðãåîìåòðè÷íèé ðÿä. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ òàêèõ ôóíêö³é ó ñôåðè÷í³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò ñëó- ãóº ñôåðè÷íèé ñåãìåíò ][ 00, θ∈θ , äå 0θ � çåí³ò- íà â³äñòàíü, ùî â³äîáðàæàº êîîðäèíàòó ìåæ³ ñåã- ìåíòà (ðèñ. 1). Ñë³ä çàóâàæèòè, ùî ôóíêö³¿ )(cosθmnk P ôîðìó- þòü äâ³ îðòîãîíàëüí³ ñèñòåìè ôóíêö³é íà ñôåðè÷- íîìó ñåãìåíò³, ïðîòå çàãàëîì âîíè íå º îðòîãîíàëüíèìè. Çðåøòîþ áóäü-ÿêó ôóíê- ö³þ F, çàäàíó íà ñôåðè÷íîìó ñåãìåíò³ ][ 00, θ∈θ îäèíè÷íî¿ ñôåðè, ìîæíà ðîçêëàñ- òè â ðÿä ,)(cos)sincos(∑ ∑ ∞ = = θλ+λ= 0 0k k m mnkmkm k PmSmCF (1) äå C km òà S km � íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè ìîäåë³. Îñê³ëüêè âõ³äí³ äàí³ ðîçì³ùóþòüñÿ çäåá³ëüøîãî íà äîâ³ëüí³é òåðèòîð³¿, ¿õ ïåðåíî- ñÿòü øòó÷íî íà ñåãìåíò ç öåíòðîì íà ï³âí³÷íîìó ïîëþñ³ çà äîïîìîãîþ ôîðìóë [You- nis et al., 2013] , )(cossincoscossin )(sincos tg 000 0 λ−λφφ−φφ λ−λφ =α ,)(coscoscossinsincos 000 λ−λφφ−φφ=θ (2) äå α � àçèìóò ë³í³¿, ïðîâåäåíî¿ ç ïîëþñà äî òî÷êè; θ � ñôåðè÷íà â³äñòàíü â³ä ïî- ëþñà äî òî÷êè; )( φλ , � ãåîöåíòðè÷í³ øèðîòà ³ äîâãîòà òî÷êè; )( 00 , φλ � ãåîöåíò- ðè÷í³ øèðîòà ³ äîâãîòà ïîëþñà. Ìåòîä SCHA ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ ìîäåëþâàííÿ ãðàâ³òàö³éíîãî ïîëÿ [De Santis, Torta, 1997], à òàêîæ äëÿ ìîäåëþâàííÿ ³îíîñôåðè òà ¿¿ ïàðàìåòð³â [Gao, Liu, 2002; Liu et al., 2014]. Ïðîòå íàéá³ëüøîãî çàñòîñóâàííÿ â³í íàáóâ ïðè ðîçâ�ÿçàíí³ çàäà÷ ìîäåëþâàííÿ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ Çåìë³ [Düzgit, Malin, 2000; Kotzé, 2001; Stening et al., 2008]. Íà ï³äñòàâ³ ìåòîäó SCHA ïîáóäîâàíî ìåòîäè ASHA ³ TOSCA, ÿê³ òàêîæ çäåá³ëü- øîãî âèêîðèñòîâóþòü äëÿ îá÷èñëåííÿ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ Çåìë³. Ìåòîä ASHA [De Santis, 1992] ïåðåäáà÷àº ïåðåõ³ä â³ä ñèñòåìè êîîðäèíàò �øàïêè� ñôåðè (r, θ, λ) äî íîâî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò íà ïîëîâèí³ ñôåðè (r ′, θ′, λ′):      θ⋅=θ′ λ=λ ′ =′ , , , s rr (3) äå 02θ π=s , 0θ � ïîëîâèííèé êóò �øàïêè� ñôåðè. Ðèñ. 1. Ñôåðè÷íèé ñåãìåíò. ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 183 Ïåðåõ³ä (3) ó ãåîöåíòðè÷í³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ , s X X =′ , sin sin θ′ θ=′ YY .ZZ =′ (4) Ó òàêîìó ðàç³ îòðèìàºìî íåîðòîãîíàëüíó ñèñòåìó ôóíêö³é, ïðîòå ì³æ ôóíêö³ÿìè áóäóòü ïðîñò³ ðåêóðåíòí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ. Ìåòîä TOSCA [De Santis, 1991] ïîëÿãàº ó ïåðåì³ùåíí³ ïî÷àòêó ñèñòåìè êîîðäè- íàò ç öåíòðó Çåìë³ äî ¿¿ ïîâåðõí³. Òàêèì ÷èíîì, öåé ìåòîä ä³º ñâîãî ðîäó ÿê ô³ëüòð, ïîäàº äàí³ â äóæå äð³áíèõ äåòàëÿõ (ìàë³ äîâæèíè õâèëü) ó öåíòð³ ðåã³îíó ³ çãëàäæóº ¿õ (âåëèê³ äîâæèíè õâèëü) íà øëÿõó äî ìåæ³ ðåã³îíó. Îðèã³íàëüíèé ï³äõ³ä çà ìåòîäîì TOSCA ïîëÿãàº ó âèêîðèñòàíí³ ìåòîäó SCHA ó íîâ³é ðåôåðåíñí³é ñèñòåì³ ç³ çì³ùåíèì öåíòðîì âåðòèêàëüíî âçäîâæ ðàä³óñà ç öåíò- ðó Çåìë³. Ôîðìóëè ïåðåõîäó ì³æ öèìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò ìàþòü âèãëÿä ,XX =1 ,YY =1 ,01 ZZZ −= (5) äå X, Y, Z � êîîðäèíàòè ó ñôåðè÷í³é ñèñòåì³ (ï³ñëÿ îáåðòàííÿ âèõ³äíèõ äàíèõ íà �øàïêó� ñôåðè); X1, Y1, Z1 � êîîðäèíàòè ó íîâ³é çì³ùåí³é ðåôåðåíñí³é ñèñòåì³. Î÷åâèäíî, ïåðåõ³ä (3) ó ñôåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ ìàòèìå âèãëÿä (ðèñ. 2) ,cos2 θ−+= rzzrr 0 2 0 2 1 ,λ=λ1 .sinarcsin     θ=θ 1 1 r r (6) Ïîçíà÷èâøè öåíòðàëüíèé êóò ñôåðè÷íî¿ �øàïêè� α ó ñèñòåì³ êîîðäèíàò {r, θ , λ} ³, â³äïîâ³äíî, α1 � ó ñèñòåì³ êîîðäèíàò {r1, θ1, λ1}, ìîæíà ëåãêî âñòàíîâèòè ì³æ íè- ìè çâ�ÿçîê: Ðèñ. 2. Çì³ùåííÿ ñèñòåìè êîîðäèíàò äëÿ âèêîðèñòàííÿ ìåòîäó TOSCA ó âèãëÿä³ 3D (a) ³ 2D (á). Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 184 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 . sin sin 1 1 α α= rr (7) Ñôåðè÷í³ ôóíêö³¿ íà ñôåðè÷í³é òðàïåö³¿. Ó ñòàòò³ [Dzhuman, 2017] çàïðîïîíî- âàíî âèêîðèñòîâóâàòè ÿê áàçîâó ñèñòåìó ôóíêö³é, ÿêó çðåøòîþ òàêîæ ïîáóäîâàíî íà ï³äñòàâ³ ìåòîäó SCHA, ïðîòå ¿é âëàñòèâà îðòîãîíàëüí³ñòü çà âàãîþ íà äîâ³ëüí³é ñôåðè÷í³é òðàïåö³¿. Áàçîâ³ ôóíêö³¿ äëÿ òðàïåö³¿ ç êîîðäèíàòàìè âåðøèí θmin, θmax, λmin, λmax ó òàêîìó ðàç³ ìàþòü âèãëÿä [Dzhuman, 2017] ,cos)(),( minmax min     λ−λ λ−λ πθ=λθ mPR kmkm 2 ,sin)(),( minmax min     λ−λ λ−λ πθ=λθ mPS kmkm 2 (8) òîä³ ÿê )(θkmP ìîæíà çíàéòè ç òàêèõ ñï³ââ³äíîøåíü:              θ≤θ≤θ     θ−θ− +++−⋅θ−θ−=θ θ≤θ≤θ     θ−θ− +++−⋅θ−θ=θ + . , )(cos ,,,)(sin)()( , , )(cos ,,,)(sin)( maxmean max max meanmin min min fi mmnnmFP fi mmnnmFP kk mmk km kk m km 2 1 111 2 1 11 (9) Ó ôîðìóë³ (9) F � ïîçíà÷åííÿ ã³ïåðãåîìåòðè÷íîãî ðÿäó [Ñìèðíîâ, 1953]: ... !)( )1()( !)()( )()( ),,,( + + ++ ++=         ++ ++ += ∑ ∏ ∞ = − = 21 1 1 1 1 1 2 1 1 0 z cc bbaaz c ab z lcl lbla zcbaF k k k l Àëãîðèòì çíàõîäæåííÿ âåëè÷èí nk òàêîæ äåòàëüíî ðîçãëÿíóòî ó ñòàòò³ [Dzhuman, 2017]. Äëÿ íàî÷íîñò³ íà ðèñ. 3 ïîêàçàíî ãðàô³ê ôóíêö³é (2) äëÿ m = 0 ³ k = 0 ... 3 íà â³ä- ð³çêó [20°; 70°]. Ðèñ. 3. Ôóíêö³¿ (2) íà â³äð³çêó [20°; 70°]: 1 � m = 0, k = 0; 2 � m = 0, k = 1; 3 � m = 0, k = 2; 4 � m = 0, k = 3. ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 185 Ïðàêòè÷íî áóäü-ÿêó ôóíêö³þ íà äîâ³ëüí³é ñôåðè÷í³é òðàïåö³¿, â òîìó ÷èñë³ ôóíê- ö³þ ãåîìàãí³òíîãî ïîòåíö³àëó, ìîæíà ðîçêëàñòè â ðÿä çà ôóíêö³ÿìè (8). Äîáðå â³äîìî, ùî êîìïîíåíòè ãåîìàãí³òíîãî ïîòåíö³àëó º ôóíêö³ÿìè ïåðøèõ ïî- õ³äíèõ. Î÷åâèäíî, îñîáëèâèé ³íòåðåñ ñòàíîâëÿòü âèðàçè ïîõ³äíèõ θ θ d dPkm )( (ðèñ. 4): Ðèñ. 4. Ãðàô³ê ôóíêö³é θ θ d Pd km )( : 1 � m = 0, k = 0; 2 � m = 0, k = 1; 3 � m = 0, k = 2; 4 � m = 0, k = 3; 5 � m = 0, k = 4. Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 186 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019                   θ≤θ≤θ    θ−θ− ++++−× ×θ−θ + ++− ⋅−+θθ−θ⋅−= θ θ θ≤θ≤θ    θ−θ− ++++−× ×θ−θ + ++− +θθ−θ⋅= θ θ +++ + ., )(cos ,,, )(sin )()( )()()(ctg )( ,, )(cos ,,, )(sin )()( )()(ctg )( maxmean max maxmax meanmin min minmin fimmnnmF m mnnm Pm d dP fimmnnmF m mnnm Pm d dP kk mkkmk km km kk mkk km km 2 1 221 1 1 2 1 1 2 1 221 1 1 2 1 11 1 Îá÷èñëåííÿ ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ ç âèêîðèñòàííÿì ïðîöåäóðè âèëó÷åííÿ�îá÷èñëåííÿ�â³äíîâëåííÿ. Äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³ò- íîãî ïîëÿ ÿê âõ³äí³ äàí³ âèêîðèñòîâóþòü çíà÷åííÿ éîãî êîìïîíåíò Bx, By, Bz, îòðèìà- í³ ÿê âèì³ðè ç ãåîìàãí³òíèõ îáñåðâàòîð³é. Ïîòåíö³àë V ãåîìàãí³òíîãî ïîëÿ ïîâ�ÿçàíèé ç òðüîìà éîãî êîìïîíåíòàìè Bx, By , Bz òàêèì ÷èíîì: , θ∂ ∂ =−≡ θ V r BBx 1 , sin λ∂ ∂ θ −=≡ λ V r BBy 1 . r V BB rz ∂ ∂ =−≡ (12) Äëÿ ÿê³ñí³øîãî âèêîðèñòàííÿ îá÷èñëþâàëüíèõ ðåñóðñ³â ³ îòðèìàííÿ òî÷í³øî¿ ìî- äåë³ çäåá³ëüøîãî âèêîðèñòîâóþòü ïðîöåäóðó âèëó÷åííÿ�îá÷èñëåííÿ�â³äíîâëåííÿ. Âîíà ïåðåäáà÷àº òàê³ êðîêè. 1. Çíàõîäÿòü ñèñòåìàòè÷íó ñêëàäîâó êîìïîíåíò Bxm , Bym , Bzm , âèêîðèñòîâóþ÷è äåÿêó ãëîáàëüíó ìîäåëü ìàãí³òíîãî ïîëÿ. Ð³âíÿííÿ òàêî¿ ìîäåë³ ìàº âèãëÿä { } ,)(cos)(sin)()(cos)(),,,( max θλ+λ    =λθ ∑ ∑ = = + nm n n n m nmnm n Pmthmtg r R RtrV 1 0 1 (13) äå R � ñåðåäí³é ðàä³óñ Çåìë³; nmg òà nmh � íîðìîâàí³ êîåô³ö³ºíòè ìîäåë³; nmax � ìàêñèìàëüíèé ïîðÿäîê ìîäåë³. 2. Îá÷èñëþþòü àíîìàëüí³ çíà÷åííÿ êîìïîíåíò ∆Bx, ∆By , ∆Bz çà ôîðìóëàìè ,xmxx BBB −=∆ ,ymyy BBB −=∆ .zmzz BBB −=∆ (14) 3. �Îá÷èñëþþòü� ìîäåëü ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ, à ñàìå àíîìàëüí³ çíà- ÷åííÿ êîìïîíåíò ∆Bx, ∆By, ∆Bz, âèêîðèñòîâóþ÷è â³äïîâ³äí³ áàçîâ³ ôóíêö³¿, íàïðè- êëàä ôóíêö³¿ (8). 4. Çíàõîäÿòü ñóìó ãëîáàëüíî¿ ³ îá÷èñëåíî¿ ðåã³îíàëüíî¿ ìîäåë³ äëÿ ¿¿ �â³äíîâëåííÿ�. Ðîçêëàäåìî ãåîìàãí³òíèé ïîòåíö³àë V â ðÿä çà ôóíêö³ÿìè (8). Îòðèìàºìî .)(2sin2cos),,( max θ             λ−λ λ−λ π+    λ−λ λ−λ π    =λθ ∑ ∑ = = + km k k k m kmkm n PmSmC r R RrV k 1 0 12 1 12 1 1 (15) Êîìá³íóþ÷è ð³âíÿííÿ (15) ç ð³âíÿííÿìè (12) ³ çâàæàþ÷è íà ôîðìóëè (11), ï³ñëÿ íå- (11) ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 187 Ñïèñîê ë³òåðàòóðè Îðëþê Ì. È. Ïðîñòðàíñòâåííûå è ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå ìàãíèòíûå ìîäåëè ðàç- íîðàíãîâûõ ñòðóêòóð ëèòîñôåðû êîíòèíåíòàëüíîãî òèïà. Ãåîôèç. æóðí. 2000. Ò. 22. ¹6. Ñ. 148�165. Îðëþê Ì. È., Ìàð÷åíêî À. Â., Ðîìåíåö À. À. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå èçìåíåíèÿ ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñåéñìè÷íîñòü. Ãåîôèç. æóðí. 2017. Ò. 39. ¹6. Ñ. 84�105. https:// doi.org/10.24028/gzh.0203-3100.v39i6.2017.116371. Ñìèðíîâ Â. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Òîì III . ×. 2. Ìîñêâà: Íàóêà, 1953. 676 ñ. Beggan, C. D., Saarimäki, J., Whaler, K. A. & Simons, F. J. (2013). Spectral and spatial decompo- çíà÷íèõ ìàòåìàòè÷íèõ ïåðåòâîðåíü îòðèìóºìî ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü àíî- ìàëüíèõ êîìïîíåíò ∆Bx, ∆By , ∆Bz: ,)(sincos max θ′             λ−λ λ−λ π+    λ−λ λ−λ π    =∆ ∑ ∑ = = + km k k k m kmkm n x PmSmC r R B k 1 0 12 1 12 1 2 22 (16à) , )(sin )( cossin max θ θ × ×             λ−λ λ−λ π+    λ−λ λ−λ π−     λ−λ π−=∆ ∑ ∑ = = + km k k k m kmkm n y P mSmCm r R B k 1 0 12 1 12 1 2 12 22 2 .)( sincos)( max θ× ×             λ−λ λ−λ π+    λ−λ λ−λ π+    −=∆ ∑ ∑ = = + km k k k m kmkmk n z P mSmCn r R B k 1 0 12 1 12 1 2 221 Äëÿ çíàõîäæåííÿ íåâ³äîìèõ êîåô³ö³ºíò³â ìîäåë³ ìîæíà âèêîðèñòàòè ñïîñ³á íàé- ìåíøèõ êâàäðàò³â, ñòàá³ë³çóâàâøè ðîçâ�ÿçîê óâåäåííÿì ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàö³¿ Òèõîíîâà α: .min ~~ →α+ XXVV TT (17) Âèñíîâêè. 1. Íàâåäåíî ð³çí³ ìåòîäè äëÿ ìîäåëþâàííÿ ðåã³îíàëüíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ Çåìë³. 2. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä äëÿ îá÷èñëåííÿ ðåã³îíàëüíî¿ ìîäåë³ ãåîìàãí³òíîãî ïîëÿ Çåìë³, ÿêèé ìàº ïåðåâàãè ïîð³âíÿíî ç óæå ³ñíóþ÷èìè ìåòîäàìè. 3. Îòðèìàíî ðîáî÷³ ôîðìóëè äëÿ ïîáóäîâè çãàäàíî¿ âèùå ìîäåë³. Íàñòóïíèé êðîê íàøîãî äîñë³äæåííÿ � ïîáóäîâà ³ îö³íþâàííÿ òî÷íîñò³ ðåã³î- íàëüíî¿ ìîäåë³ ãåîìàãí³òíîãî ïîëÿ íà òåðèòîð³¿ Öåíòðàëüíî¿ ªâðîïè ç âèêîðèñòàí- íÿì çàïðîïîíîâàíîãî àëãîðèòìó. (16á) (16â) Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 188 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 sition of lithospheric magnetic field models using spherical Slepian functions. Geophysical Journal International, 193 (1), 136�148. https://doi.org/10.1093/gji/ggs122. De Santis, A. (1992). Conventional spherical harmonic analysis for regional modeling of the geomagnetic field.. Geophysical Research Letters, 19 (10), 1065�1067. https://doi.org/10.1029/ 92GL01068. De Santis, A. (1991). Translated origin spherical cap harmonic analysis. Geophysical Journal International, 106 (1), 253�263. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1991.tb04615.x. De Santis, A. & Torta, J. (1997). Spherical cap harmonic analysis: a comment on its proper use for local gravity field representation. Journal of Geodesy, 71 (9), 526�532. https://doi.org/10. 1007/s001900050120. Düzgit, Z., & Malin, S. R. C. (2000). Assessment of regional geomagnetic field modeling me- thods using a standard data set: spherical cap harmonic analysis. Geophysical Journal Inter- national, 141 (3), 829�831. https://doi.org/10.1046/j.1365-246x.2000.00099.x. Dzhuman, B. B. (2014). Approximation of gravity anomalies by method of ASHA on Arctic area. Geodesy, cartography and aerial photography, (80), 62�68. Dzhuman, B. B. (2017). Modeling of the Earth�s gravitational field using spherical function. Geodesy, cartography and aerial photography, (86), 5�10. https://doi.org/10.23939/istcg cap2017.02.005. Gao, Y., & Liu, Z. (2002). Precise Ionosphere Modeling Using Regional GPS Network Data. Journal of Global Positioning Systems, 1 (1), 18�24. Haines, G. (1988). Computer programs for spherical cap harmonic analysis of potential and general fields. Computers & Geosciences, 14 (4), 413�447. https://doi.org/10.1016/0098-3004 (88)90027-1. Haines, G. (1985). Spherical cap harmonic analysis. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 90 (B3), 2583�2591. https://doi.org/10.1029/JB090iB03p02583. Hwang, C. & Chen, S. (1997). Fully normalized spherical cap harmonics: application to the ana- lysis of sea-level data from TOPEX/POSEIDON and ERS-1. Geophysical Journal International, 129 (2), 450�460. doi: 10.1111/j.1365-246X.1997.tb01595.x. Kelvin, L. & Tait, P. (1896). Treatise on natural philosophy. New York: Cambridge Univer. Press., 852 p. Kotzé, P. B. (2001). Spherical Cap Modelling of Ørsted Magnetic Field Vectors over Southern Africa. Earth, Planets and Space, 53 (5), 357�361. https://doi.org/10.1186/BF03352392. Liu, J., Chen, R., An, J., Wang, Z. & Hyyppa, J. (2014). Spherical cap harmonic analysis of the Arctic ionospheric TEC for one solar cycle. Journal of Geophysical Research: Space Physics, 119 (1), 601�619. https://doi.org/10.1002/2013JA019501. Macdonald, H., (1900). Zeroes of the spherical harmonic )(µm nP considered as a function of n. Proceedings of the London Mathematical Society, 31 (1), 264�278. https://doi.org/10.1112/ plms/s1-31.1.264. Stening, R. J., Reztsova, T., Ivers, D., Turner, J., & Winch, D. E. (2008). Spherical cap harmonic analysis of magnetic variations data from mainland Australia. Earth, Planets and Space, 60 (12), 1177�1186. https://doi.org/10.1186/BF03352875. ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 189 Modeling of regional magnetic field applying spherical functions: theoretical aspect Yu. P. Sumaruk, L. M. Yankiv-Vitkovska, B. B. Dzuman, 2019 Observation of geomagnetic field, measurement of its components values and estab- lishment on their base models of geomagnetic field as well as geomagnetic mapping are the main trend of geomagnetic studies. Analytical model of geomagnetic field allows calculating the value of any component of geomagnetic field at any point of near-earth space and on the Earth. A new method has been proposed for construction of geomag- netic potential regional model. In accordance with Gauss� fundamental studies, classi- cal concept of geomagnetic potential became its record as endless series of Legeandre functions. A program of writing the series of geomagnetic potentials according to their spherical or ellipsoidal functions is used for most cases for modeling of global (normal) geomagnetic field with the length of a series equal to 9�13 harmonics. However in ca- se when the sphere is not complete and only its part (a segment of the sphere or its trapezium) is taken into account the spherical Legeandre functions lose their orthogo- nality. In this connection for elaboration of regional field models different modifications of spherical harmonic analysis with application of spherical Legeandre functions even grade and real order are used. Such functions form an orthogonal by weight system of functions on arbitrary spherical trapezium but do not have recurrent correlation there- fore we are to use for their calculation an arrangement as hypergeometric series. The area of determination of such functions is spherical segment. Working formulae have been obtained for constructing the model mentioned above. As front-end data for construct- ing a model of regional magnetic field the values of its components obtained at geomag- netic observatories have been used. It has also been suggested to make calculations of regional model of geomagnetic potential by a method proposed within the limits of a pro- cedure deletion-computing-restoration. Initially a systematic product of components is found using a global model of geomagnetic field. Then abnormal values of components are calculated. A model of regional abnormal geomagnetic field is computed using basic functions. A parameter of Tikhonov�s regularizing is introduced to stabilize the solution. Key words: regional magnetic field, spherical functions, modeling. Thébault, E., & Gaya-Piqué, L. (2008). Applied comparisons between SCHA and R-SCHA regional modeling techniques. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 9 (7), Q07005, doi: 10.1029/2008 GC001953. Thébault, E., Mandea, M. & Schott, J. (2006). Modeling the lithospheric magnetic field over France by means of revised spherical cap harmonic analysis (R-SCHA). Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 111 (B5), 111�113. https://doi.org/10.1029/2005JB004110. Thébault, E., Purucker, M., Whaler, K. A., Langlais, B., & Sabaka, T. J. (2010). The Magnetic Fi- eld of the Earth�s Lithosphere. Space Science Reviews, 155 (1-4), 95�127. https://doi.org/10. 1007/s11214-010-9667-6. Yankiv-Vitkovska, L. M. & Dzhuman, B. B. (2017). Constructing of regional model of ionosphere parameters. Geodesy, cartography and aerial photography, 85, 27�35. https://doi.org/10.23939/ istcgcap2017.01.027. Younis, A., Jäger, R., & Becker, M. (2013). Transformation of global spherical harmonic models of the gravity field to a local adjusted spherical cap harmonic model. Arabian Journal of Geo- sciences, 6 (2), 375�381. https://doi.org/10.1007/s12517-011-0352-1. Þ. Ï. ÑÓÌÀÐÓÊ, Ë. Ì. ßÍÊ²Â-Â²ÒÊÎÂÑÜÊÀ, Á. Á. ÄÆÓÌÀÍ 190 Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 References Orlyuk, M. I. (2000). Spatial and spatial-temporal magnetic models of different-rank structures of the lithosphere of continental type. Geofizicheskiy zhurnal, 22 (6), 148�165 (in Russian). Orlyuk, M. I., Marchenko, A. V., & Romenets, A. A. (2017). Spatial-temporeral changes in the geomagnetic field and seismisity. Geofizicheskiy zhurnal, 39 (6), 84�105. https://doi.org/10. 24028/gzh.0203-3100.v39i6.2017.116371 (in Russian). Smirnov, V. (1953). Course of higher mathematics. Vol. III . Pt. 2. Moscow: Nauka, 676 p. (in Russian). Beggan, C. D., Saarimäki, J., Whaler, K. A. & Simons, F. J. (2013). Spectral and spatial decompo- sition of lithospheric magnetic field models using spherical Slepian functions. Geophysical Journal International, 193 (1), 136�148. https://doi.org/10.1093/gji/ggs122. De Santis, A. (1992). Conventional spherical harmonic analysis for regional modeling of the geomagnetic field.. Geophysical Research Letters, 19 (10), 1065�1067. https://doi.org/10.1029/ 92GL01068. De Santis, A. (1991). Translated origin spherical cap harmonic analysis. Geophysical Journal International, 106 (1), 253�263. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1991.tb04615.x. De Santis, A. & Torta, J. (1997). Spherical cap harmonic analysis: a comment on its proper use for local gravity field representation. Journal of Geodesy, 71 (9), 526�532. https://doi.org/10. 1007/s001900050120. Düzgit, Z., & Malin, S. R. C. (2000). Assessment of regional geomagnetic field modeling me- thods using a standard data set: spherical cap harmonic analysis. Geophysical Journal Inter- national, 141 (3), 829�831. https://doi.org/10.1046/j.1365-246x.2000.00099.x. Dzhuman, B. B. (2014). Approximation of gravity anomalies by method of ASHA on Arctic area. Geodesy, cartography and aerial photography, (80), 62�68. Dzhuman, B. B. (2017). Modeling of the Earth�s gravitational field using spherical function. Geodesy, cartography and aerial photography, (86), 5�10. https://doi.org/10.23939/istcg cap2017.02.005. Gao, Y., & Liu, Z. (2002). Precise Ionosphere Modeling Using Regional GPS Network Data. Journal of Global Positioning Systems, 1 (1), 18�24. Haines, G. (1988). Computer programs for spherical cap harmonic analysis of potential and general fields. Computers & Geosciences, 14 (4), 413�447. https://doi.org/10.1016/0098-3004 (88)90027-1. Haines, G. (1985). Spherical cap harmonic analysis. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 90 (B3), 2583�2591. https://doi.org/10.1029/JB090iB03p02583. Hwang, C. & Chen, S. (1997). Fully normalized spherical cap harmonics: application to the ana- lysis of sea-level data from TOPEX/POSEIDON and ERS-1. Geophysical Journal International, 129 (2), 450�460. doi: 10.1111/j.1365-246X.1997.tb01595.x. Kelvin, L. & Tait, P. (1896). Treatise on natural philosophy. New York: Cambridge Univer. Press., 852 p. ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÐÅÃ²ÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÃÍ²ÒÍÎÃÎ ÏÎËß ... ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÈÉ ÀÑÏÅÊÒ Ãåîôèçè÷åñêèé æóðíàë ¹ 1, Ò. 41, 2019 191 Kotzé, P. B. (2001). Spherical Cap Modelling of Ørsted Magnetic Field Vectors over Southern Africa. Earth, Planets and Space, 53 (5), 357�361. https://doi.org/10.1186/BF03352392. Liu, J., Chen, R., An, J., Wang, Z. & Hyyppa, J. (2014). Spherical cap harmonic analysis of the Arctic ionospheric TEC for one solar cycle. Journal of Geophysical Research: Space Physics, 119 (1), 601�619. https://doi.org/10.1002/2013JA019501. Macdonald, H., (1900). Zeroes of the spherical harmonic )(µm nP considered as a function of n. Proceedings of the London Mathematical Society, 31 (1), 264�278. https://doi.org/10.1112/ plms/s1-31.1.264. Stening, R. J., Reztsova, T., Ivers, D., Turner, J., & Winch, D. E. (2008). Spherical cap harmonic analysis of magnetic variations data from mainland Australia. Earth, Planets and Space, 60 (12), 1177�1186. https://doi.org/10.1186/BF03352875. Thébault, E., & Gaya-Piqué, L. (2008). Applied comparisons between SCHA and R-SCHA regional modeling techniques. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 9 (7), Q07005, doi: 10.1029/2008 GC001953. Thébault, E., Mandea, M. & Schott, J. (2006). Modeling the lithospheric magnetic field over France by means of revised spherical cap harmonic analysis (R-SCHA). Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 111 (B5), 111�113. https://doi.org/10.1029/2005JB004110. Thébault, E., Purucker, M., Whaler, K. A., Langlais, B., & Sabaka, T. J. (2010). The Magnetic Fi- eld of the Earth�s Lithosphere. Space Science Reviews, 155 (1-4), 95�127. https://doi.org/10. 1007/s11214-010-9667-6. Yankiv-Vitkovska, L. M. & Dzhuman, B. B. (2017). Constructing of regional model of ionosphere parameters. Geodesy, cartography and aerial photography, 85, 27�35. https://doi.org/10.23939/ istcgcap2017.01.027. Younis, A., Jäger, R., & Becker, M. (2013). Transformation of global spherical harmonic models of the gravity field to a local adjusted spherical cap harmonic model. Arabian Journal of Geo- sciences, 6 (2), 375�381. https://doi.org/10.1007/s12517-011-0352-1.

Моделювання регіонального магнітного поля з використанням сферичних функцій: теоретичний аспект

Репозитарії

Схожі ресурси