Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень

Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень

Розроблено підхід до моделювання нелінійних процесів витіснення (одно- і двофазної фільтрації) в неоднорідних нафтових деформуються пластах з урахуванням зворотного впливу потенціалу поля швидкості і функції струму на провідність середовища. Побудовано методика і обчислювальна технологія вирішення в...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2019
1. Verfasser: Гладка, О.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2019
Schriftenreihe:Геофизический журнал
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158506
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень / О.М. Гладка // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 2. — С. 156-170. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-158506
record_format dspace
spelling irk-123456789-1585062019-09-05T01:25:36Z Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень Гладка, О.М. Розроблено підхід до моделювання нелінійних процесів витіснення (одно- і двофазної фільтрації) в неоднорідних нафтових деформуються пластах з урахуванням зворотного впливу потенціалу поля швидкості і функції струму на провідність середовища. Побудовано методика і обчислювальна технологія вирішення відповідних крайових задач для нелінійно-шаруватих трехсвязних криволінійних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями і лініями струму, на основі синтезу чисельних методів квазіконформних відображень і сумарних уявлень для диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами в поєднанні з декомпозицією області за методом Шварца. Разработан подход к моделированию нелинейных процессов вытеснения (одно- и двухфазной фильтрации) в неоднородных нефтяных деформируемых пластах с учетом обратного влияния потенциала поля скорости и функции тока на проводимость среды. Построены методика и вычислительная технология решения соответствующих краевых задач для нелинейно-слоистых трехсвязных криволинейных областей, ограниченных эквипотенциальными линиями и линиями тока, на основе синтеза численных методов квазиконформных отображений и суммарных представлений для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами в сочетании с декомпозицией области по методу Шварца. The approach to the modeling of nonlinear displacement processes (one and two-phase filtration) in heterogeneous oil deformable layers is developed, taking into account the inverse effect of the potential of the velocity field and the flow function on the conductivity of the medium. We constructed a method and computational technology for solving the corresponding boundary value problems for nonlinear-layered triple-connected curvilinear domains, bounded by equipotential lines and flow lines, on the basis of the synthesis of numerical methods of quasiconformal mappings and summary representations for differential equations with discontinuous coefficients in combination with domain decomposition by Schwartz method. 2019 Article Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень / О.М. Гладка // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 2. — С. 156-170. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 0203-3100 DOI: 10.24028/gzh.0203-3100.v41i2.2019.164465 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158506 519.63.001.57 uk Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розроблено підхід до моделювання нелінійних процесів витіснення (одно- і двофазної фільтрації) в неоднорідних нафтових деформуються пластах з урахуванням зворотного впливу потенціалу поля швидкості і функції струму на провідність середовища. Побудовано методика і обчислювальна технологія вирішення відповідних крайових задач для нелінійно-шаруватих трехсвязних криволінійних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями і лініями струму, на основі синтезу чисельних методів квазіконформних відображень і сумарних уявлень для диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами в поєднанні з декомпозицією області за методом Шварца.
format Article
author Гладка, О.М.
spellingShingle Гладка, О.М.
Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
Геофизический журнал
author_facet Гладка, О.М.
author_sort Гладка, О.М.
title Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
title_short Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
title_full Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
title_fullStr Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
title_full_unstemmed Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
title_sort математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому lef-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень
publisher Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate 2019
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158506
citation_txt Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень / О.М. Гладка // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 2. — С. 156-170. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series Геофизический журнал
work_keys_str_mv AT gladkaom matematičnemodelûvannânelíníjnihprocesívvitísnennâunaftovomulefplastímetodamikompleksnogoanalízuísumarnihzobraženʹ
first_indexed 2025-07-14T11:05:19Z
last_indexed 2025-07-14T11:05:19Z
_version_ 1837620129133756416
fulltext О. М. ГЛАДКА 156 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 Вступ. На сьогодні, попри велику кількість наукових досліджень з питань математич- ного моделювання процесів фільтрації у пористих пластах (див., наприклад: [Сергиенко и др., 1991]), існує чимало проблем, що стосуються наукового обґрунтування заходів щодо підвищення якості проектування та ефективності розробки родовищ нафти та газу, встановлення особливостей перебігу нелінійних процесів витіснення речовини з урахуванням зворотного впливу параметрів процесу на присвердловинну зону пласта тощо, пов'язаних передусім з вибором математичних моделей, які б, з одного боку, адекватно і максимально точно враховували всі чинники реальних процесів, а з іншого — були б сприятливими для розв'язання і комп'ютерного моделювання. Проблема розробки методики математичного опису складних фільтраційних про- цесів, зокрема, витіснення вуглеводнів із неоднорідних нафтогазових чи ущільнених (сланцевих) пластів, що зазнали деформацій під час експлуатації покладів, з метою по- дальшого дослідження цих процесів за допомогою комп’ютерного моделювання, поро- УДК 519.63.001.57 DOI: 10.24028/gzh.0203-3100.v41i2.2019.164465 Математичне моделювання нелінійних процесів витіснення у нафтовому LEF-пласті методами комплексного аналізу і сумарних зображень О. М. Гладка, 2019 Національний університет водного господарства та природокористування, Рівне, Україна Разработан подход к моделированию нелинейных процессов вытеснения (одно- и двухфазной фильтрации) в неоднородных нефтяных деформируемых пластах с уче- том обратного влияния потенциала поля скорости и функции тока на проводимость среды. Построены методика и вычислительная технология решения соответствую- щих краевых задач для нелинейно-слоистых трехсвязных криволинейных областей, ограниченных эквипотенциальными линиями и линиями тока, на основе синтеза численных методов квазиконформных отображений и суммарных представлений для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами в сочетании с декомпозицией области по методу Шварца. Квазиидеальные процессы в нелиней- но двоякослоистых горизонтальных LEF-пластах, геометрия зон неоднородности которых заранее неизвестна, описано соответствующими краевыми задачами, по- лученными на основе закона Дарси и уравнения неразрывности с коэффициентом проницаемости пласта, который задается кусочно-постоянной функцией с разры- вами вдоль участков искомых эквипотенциалей и линий тока. Предложенные алго- ритмы автоматически решают проблему выбора узлов и построения динамической сетки, нахождения неизвестных линий раздела участков постоянства коэффициента проводимости среды, расчета поля скорости и вычисления других характерных па- раметров процесса. Декомпозиция области по слоям постоянства коэффициента проницаемости позволяет решать задачи в более «удобных» подобластях, чем вся область исходной задачи, распараллеливанием вычислительного процесса, посколь- ку расчеты в подобластях на каждом итерационном шаге независимы друг от друга и могут выполняться параллельно с использованием современных компьютерных технологий. Ключевые слова: нефтяной пласт, двоякослоистая среда, квазиконформные ото- бражения, комплексный квазипотенциал, метод суммарных представлений, деком- позиция области, альтернирующий метод Шварца, LEF-пласт. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 157 джує необхідність побудови математичних моделей, які б враховували зворотний вплив характеристик процесу на фільтраційні властивості пористого середовища, нелінійність фільтрації, що пов’язана зі зміною потенціалу швидкості в окремих зонах пласта, зміни меж цих зон тощо. Ефективним методом математичного моделювання таких процесів у криволіній- них областях, обмежених лініями течії і еквіпотенціальними лініями, є розроблений А. Я. Бомбою і його учнями підхід на підставі комплексного аналізу з використанням методів квазіконформних відображень, що автоматизує побудову динамічних сіток, які є основою для розрахунків величини поля швидкості, розподілу тиску в пласті, філь- траційних витрат і перетоків між свердловинами, точок призупинки потоку, інших ха- рактеристик моделі [Бомба та ін., 2007; Бомба та ін., 2013а; Bomba et al., 2013]. Одним із шляхів підвищення ефективності цього підходу є використання як його компонен- тів числово-аналітичних методів сумарних зображень, розроблених Г. М. Положиєм, І. І. Ляшком, А. А. Глущенком та ін. [Polozhii, 1965; Ляшко, Великоиваненко, 1973], а також альтернувального методу Швар ца декомпозиції області (див., напр., [Ва силевский, Ольшанский, 2007]). В основу дослідження покладено ідею синтезу числових методів комплексного аналі- зу, сумарних зображень і декомпо зи ції області з метою математичного мо де лювання не- лінійних квазіідеальних філь т раційних процесів у техногенно-де фор мованих пористих водонафтогазових LEF-пластах, межі зон неоднорідності яких виз начаються шуканими лініями динамічної сітки. У статті використано поняття LEF-пласта (LEF — абр. від Lines of Equipotential and Flow) — модельного об’єкта, що описує нелінійно-шаруваті структури, в яких параме- тром, котрий характеризує основні фільтраційні властивості середовища, є коефіцієнт проникності продуктивного пласта, представлений кусково-сталою функцією, що за- лежить від квазіпотенціалу (тиску) і функції течії; невідому геометрію зон визнача- ють відповідними еквіпотенціальними лініями і лініями течії, які розраховують під час розв’язання задачі [Бомба та ін., 2016; Гладка, 2016]. У цій роботі розроблену автором методику розв’язання відповідних нелінійних крайових задач [Бомба та ін., 2012; Гладка, 2016; Hladka, Bomba, 2014] поширено на розв’язання нелінійних крайових задач для тризв’язних криволінійних LEF-областей, обмежених двома еквіпотенціалями і непроникним контуром, — математичних моделей стаціонарного процесу руху речовини у двоякошаруватих середовищах [Бомба та ін., 2014], провідність яких задано кусково-сталими функціями, залежними і від шуканого квазіпотенціалу, і від функції течії, з невідомими лініями розділу шарів (лініями роз- риву коефіцієнта провідності), що проходять уздовж ділянок шуканих еквіпотенціалей та ліній течії. Такі задачі виникають при моделюванні процесів витіснення (фільтрації), що породжені системою двох свердловин (нагнітальною та експлуатаційною) в елементі шарувато-неоднорідного нафтогазового пласта за геологічно складних умов. Розглянуто задачі: витіснення вуглеводнів із пласта, коли витіснювальна речовина і речовина, яку видобувають, мають одна кові фізичні та механічні властивості; поршневого (повного) витіснення нафти водою; двофазної фільтрації (вода—нафта) за схемою Баклея—Ле- веретта [Bomba, Yaroshchak, 2012], коли існує сумісний рух обох рідин. Випадок однакових рідин. Розглянемо процес витіснення, породжений взаємодією нагнітальної та експлуатаційної свердловин в елементі двоякошаруватого нафтового LEF-пласта, де вважатимемо, що витіснювальна речовина і речовина, яку видобувають, мають однакові фізичні та механічні властивості. Математичне моделювання цього про- цесу зводиться до задачі відшукання положення лінії розділу рідин, розв’язання якої потребує пошуку розв’язків двох взаємопов’язаних підзадач: на побудову поля швидко- сті та динамічної сітки у конкретний момент часу і на визначення рівняння лінії розділу О. М. ГЛАДКА 158 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 шляхом розв’язання задачі конвективного перенесення відносно побудованого поля швидкості [Бомба та ін., 2013б]. З урахуванням припущення про «однаковість» рідин задачу на розрахунок динаміч- ної сітки і поля швидкості можна вважати стаціонарною і розв’язувати її незалежно від задачі конвективного перенесення. Процес витіснення описуємо рівнянням руху gradfk= ⋅ ϕv (закон Дарсі) та рівнянням нерозривності 0div =v , де ( ) ( ), i ,x yv x y v x y= +v — швидкість руху; ϕ — квазіпотенціал швидкості. З метою моделювання двоякошаруватого середовища коефіцієнт фільтрації k f ви- значаємо таким чином: ( ) н( , ), ( , )fk k x y= ϕ ψ ϕ ψ μ , де μн — динамічна в’язкість нафти в пластових умовах, ( )( , ), ( , )k x yϕ ψ ϕ ψ — коефіцієнт проникності пласта — кусково-стала функція із розривами вздовж ділянок шуканих еквіпотенціалей і ліній течії (за припущення, що виконується умова неперервності по- тенціалу і потоку на них): ( ) ( , )( , ), ( , ) q lk x y kϕ ψ ϕ ψ = при 1 1 1 0 1 ( ) ( ) * * ( ) ( ) , , , , , . q q l l q s Q l s − − ⎧ϕ ≤ ϕ < ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ =⎪ ⎨ ≤ ψ < ψ ≤ ψ ≤ =⎪⎩ Тут k(q,l) — деякі додатні числа; ( ) * y x L Q v dx v dy= − −∫ — невідома повна фільтраційна ви- трата; ψ = ψ(x, y) — функція течiї, комплексно спряжена до ϕ [Бомба, Гладка, 2013; Бомба та ін., 2016]. Областю фільтрації вважаємо тризв’язну криволінійну LEF-область Gz(z=x+iy), що обмежена непроникним зовнішнім контуром { }0: ( , )L z f x y= = і двома внутрішніми кон- турами свердловин — еквіпотенціальними лініями { }0*: ( , )L z f x y∗ = = і { }0* *: ( , )L z f x y= = , на яких задано умови * *Lϕ = ϕ , * * Lϕ = ϕ , * *−∞ < ϕ < ϕ < +∞ (рис. 1). Рис. 1. Схема двоякошаруватої LEF-області (а) та відповідної їй області комплексного квазіпотенціалу (б). За допомогою методів комплексного аналізу, аналогічно до [Бомба та ін., 2013а], філь- траційну задачу зводимо до задачі на квазіконформне («кусково-конформне») відобра- ження заданої криволінійної LEF-області на прямокутну область комплексного квазі- МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 159 потенціалу. При цьому, як зазначено у публікаціях у [Гладка, 2016; Бомба та ін., 2014], для однозначної побудови такого відображення необхідно здійснити два умовні розрізи Г∗ і Г∗ області Gz уздовж таких ліній течії (ліній розділення течії), що однозначно визна- чаються точками «призупинки» потоку: ( ),H B B x y L∗ ∗ ∗= = = ∈ і ( ),H C C x y L∗ ∗ ∗= = = ∈ . Задачу квазіконформного відображення ( )( ) ,z x yω= ω = ϕ + ( ),i x yψ однозв’язної об- ласті ( )ГГ \ Гz zG G ∗ ∗= ∪ на відповідну прямокутну область комплексного квазіпотенціалу { } ( ) ( ) ( )1 2 1 2 01 1 1 1 0 , ( ) ( )( , ) *, : , s s s sq lq l q l q l G i Q G L L∗ ω ∗ ω ωω= = = = = ω = ϕ+ ψ ϕ < ϕ < ϕ < ψ < = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ , { }1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ): ,q l q q l lG G − − ω ω= ω∈ ϕ < ϕ < ϕ ψ < ψ < ψ , {( ) * :qL Gωω = ω∈ { }( ) ( ) * :q qL Gωω = ω∈ ϕ = ϕ , { }0 ( ) ( ):l lL Gωω = ω∈ ψ = ψ з трьома невідомими параметрами — фільтраційною витратою * y x L Q v dx v dy= − +∫ і коор- динатами точок H∗ та H ∗ — запишемо у вигляді [Бомба та ін., 2012, 2013а] 0 0 0 * * * Г * * * * ( , ) , ( , ) , ( , ) ; , , , , ( , ) , ( , ) , f f z L ADL AD L k x y k x y x y G x y y x dx dy y x v x y v x y ∗ ∗ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ⎧ = = − ∈⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ∂ϕ ∂ϕ⎨ϕ =ϕ ϕ = ϕ ψ = ψ = − + ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪ = =⎩ ∫ (1) де ( ) ( ) ( )2 2, , ,x yv x y v x y v x y= + . Обернена до задачі (1) крайова задача на квазіконформне відображення ( ) ( ),z z x= ω = ϕ ψ ( ),iy+ ϕ ψ області Gω на Г zG з невідомою витратою Q та умовних роз- різах Г∗ , Г∗ має вигляд ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( ( , ), ( , )) , ( ( , ), ( , )) , , , , , , , , , , , , , , , , , H H H H H H x y y xk x y k x y G f x y f x y Q f x y f x Q y Q x x Q y y Q v x y v x Q y ω ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ψ ϕ ψ = = − ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ∈ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ϕ ψ ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = ≤ ψ ≤ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ < ϕ ≤ ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0* * * * , , , , , , , , ,H H H H Q v x y v x Q y Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ϕ ϕ = ϕ ϕ =⎩ а з урахуванням диференціальних рівнянь для дійсної x = x(ϕ, ψ) та уявної y = y(ϕ, ψ) час- тин характеристичної функції течії (виконання яких вимагатимемо і на розрізах для врахування їх «роздвоєння» при переході від області Gz до Gω) і формул для обчислення компонент швидкості ( , ) f x k yv J ∂ = ϕ ψ ∂ψ , ( , ) f y k xv J ∂ = − ϕ ψ ∂ψ ( x y x yJ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ — якобіан пере- ходу) є еквівалентною до задачі [Бомба та ін., 2014]: О. М. ГЛАДКА 160 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * , , , , ( , ), ( , ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x xk x y k x y y yk x y G k x y f x y f x y Q f x y f x Q y Q x x Q y ω ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + ϕ ψ ϕ ψ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ϕ ϕ ψ ϕ ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + ϕ ψ ϕ ψ = ϕ ψ ∈⎜ ⎟⎜ ⎟∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψϕ ψ ϕ ψ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ϕ ψ ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = ≤ ψ ≤ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ = ϕ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * * , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , H H H H Q y Q f fx y x f y f y x y x k x y x y Q J k x y x yQ d J ∗ ∗ ϕ=ϕ ϕ=ϕ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ϕ = ϕ ϕ < ϕ ≤ ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ⎨ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ϕ ψ ϕ ψ ∂ ∂⎜ ⎟+ = ϕ = ϕ ϕ ψ = ⎜ ⎟ϕ ψ ∂ψ ∂ψ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ϕ ψ ϕ ψ ∂ ∂ = + ψ⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ ψ ∂ψ ∂ψ⎝ ⎠ ∫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ (2) де *,H H∗ ϕ ϕ — значення квазіпотенціалу в шуканих точках «призупинки» потоку H∗ і H ∗ відповідно. Умови спряження вздовж шуканих еквіпотенціальних ліній ( )qL∗ і ліній течії 0 ( )lL , що є лініями розриву функції k, мають вигляд [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ), ,q l q lL L L Lx x y y ∗ ∗ = = = = 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ), ,q l q lL L L L x x y y ∗ ∗ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ κ = κ = κ = κ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3) де [f] — стрибок функції f при переході по нормалі через відповідну лінію. Різницевий аналог задачі і алгоритм розв’язання. Для знаходження розв'язків нелі- нійної задачі (2)—(3) в області комплексного квазіпотенціалу конструю є мо ортогональну сітку і замінюємо Gω сітковою областю: ( ){ , :i jGγ ω = ϕ ψ ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 3 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 =0, +1 1 * * * * * , , , , , , , , , , , ; , , , , , , , H HH H i H H j i i m m i m i m m m m i m i m m m m Qj j n m m m n n ∗ ∗ ∗ ϕ ϕ ϕ ϕ ∗ ϕ ϕ ψ ψ ϕ − ϕ⎧ ⎫ ϕ + Δ Δ = =⎪ ⎪ +⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ − ϕ ⎪ ⎪ϕ + Δ − Δ = = + − −⎪ ⎪ϕ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ϕ −ϕ ϕ + Δ − Δ = = + +⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ψ = Δ Δ = ∈⎪ ⎪ +⎩ ⎭ N а крайові умови, умови періодичності на розрізах і умови ортогональності ліній дина- МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 161 мічної сітки до відповідних ділянок границі фізичної області — скінченно-різницевими аналогами [Бомба та ін., 2013а]: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 0 =0, +1 0 0 1 0, 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , j j m j m j i i i n i n i i n i i n f x y f x y j n f x y f x y i m m x x y y i m i m m ∗ ∗ + + + + + + ⎧ = = ⎪ ⎪ = = = +⎨ ⎪ = = = = + +⎪⎩ (4) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 2 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 4 3 4 3 0 3 4 3 4 0 1 4 3 4 3 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , j j j j j j j j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j i i i i i i i i i i x x x x x y y y y y x x x x x y y y y y j n x x x x x y y y y y + − + − − − + − − − + − + − + − − − − + − − − = + − − + + − − = = − − − + − − − = ( )( ) ( )( )2 1 1 1 2 1 1 1 1 23 4 3 4 0 1, , , , , , , , , , , , ,i n i n i n i n i n i n i n i n i n i nx x x x x y y y y y i m m− − + − − − + − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + − − + + − − = = +⎪⎩ (5) де ( ) ( ) , ,, , ,i j i j i j i jx x y y= ϕ ψ = ϕ ψ . Величини квазіконформних інваріантів ϕσ σ ψ Δ γ = Δ , 1 3,σ = , одержуємо на підставі умо- ви «квазіконформної подібності в малому» відповідних елементарних чотирикутників двох областей: ( )( ) 1 1 1 1 0 1 1 1 , , ,, m n i j i ji jm n k − = γ γ = + + ∑ , ( )( ) 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 , , ,, m n i j i ji m jm m n k − = + = γ γ = − − + ∑ , ( )( ) 2 3 2 1 0 1 1 , , ,, m n i j i ji m jm m n k= + = γ γ = − + ∑ , (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j x x y y x x y y x x y y x x y y + + + + + + + + + + + + + + + + − + − + − + − γ = − + − + − + − , ( ), ,i j i jk k= ϕ ψ . Невідому фільтраційну витрату Q та значення квазіпотенціалу H∗ ϕ , H ∗ϕ в точках «призупинки» потоку шукаємо в процесі ітераційних розрахунків за формулами ( ) 3 1 1 3 n Q ϕσ σσ= Δ+ = γ∑ , 1 1H m ∗ ∗ ϕϕ = ϕ + Δ , 2 3H m∗ ∗ ϕϕ = ϕ − Δ . (7) Формули для знаходження поля швидкостей апроксимуємо аналогічно [Бомба та ін., 2016, 2014]. У випадку кількох ліній розриву κ по ϕ і по ψ для декомпозиції області використовуємо альтернувальний метод Шварца — область Gγ ω «розбиваємо» на дві групи (по горизонталі і по вертикалі) сіткових прямокутників з «накладками»: ( ) ( )1 1 1 1 1 1, , s s s s q l q lq l l q G G G− −γ ω = = = = = =∪ ∪ ∪ ∪ , де ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 1 ( ) , , , : qq l l i mm q l i j jn n G G − − + −+γ ω + − ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪= ϕ ψ ∈⎨ ⎬ψ ≤ ψ ≤ ψ⎪ ⎪⎩ ⎭ , О. М. ГЛАДКА 162 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 ( ) , , , : q q ll im m q l i j j nn G G − + − + −γ ω −+ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪= ϕ ψ ∈⎨ ⎬ψ ≤ ψ ≤ ψ⎪ ⎪⎩ ⎭ . Отримаємо ( ) ( )1 1s s s s− + − проекцій вихідної задачі (стосовно підобластей ,q lG , ,q lG ) для знаходження послідовностей сіткових функцій ( ) ( )( ){ }1 1 0 , ,( ) ( ) , ,,l l i j i jx y ∞ ξ ξ ξ= , …, ( ) ( )( ){ } 0 , ,( ) ( ) , ,,s l s l i j i jx y ∞ ξ ξ ξ= ( )1 1,l s= − : ( , ) ( , )( ) , ,limq l q l i j i jx x ξ ξ→∞ = , ( , ) ( , )( ) , ,limq l q l i j i jy y ξ ξ→∞ = ; ( ) ( )( ){ }1 1 0 , ,( ) ( ) , ,,q q i j i jx y ∞ δ δ δ= , …, ( ) ( )( ){ } 0 , ,( ) ( ) , ,,q s q s i j i jx y ∞ δ δ δ= ( )1 1`,q s= − : ( , ) ( , )( ) , ,limq l q l i j i jx x δ δ→∞ = , ( , ) ( , )( ) , ,limq l q l i j i jy y δ δ→∞ = , де ξ, δ — номери кроків ітераційних процесів методу Шварца. Значення сіткових функцій , ,,i j i jx y у внутрішніх вузлах прошарків ,q lG (тобто ( , ) ( , ) , ,,q l q l i j i jx y ) обчислюємо методом сумарних зображень для розривних функцій [Бомба та ін., 2016, 2014; Ляшко, Великоиваненко, 1973]. Алгоритм розв’язання поставленої задачі в загальному вигляді може бути описаний таким чином. Уводимо необхідні параметри заданої фізичної області Gz, значення гра- ничних потенціалів і функції течії та критичних потенціалів на лініях розриву κ, а також відповідні значення коефіцієнта провідності. Задаємо кількість вузлів розбиття сіткової області комплексного квазіпотенціалу Gγ ω так, щоб відповідні вузли належали лініям розриву κ, та параметри необхідної точності роботи алгоритму. Задаємо нульове наближення невідомих величин γ1, γ2, γ3 (або шуканої витрати Q і значень ,H H ∗ ∗ ϕ ϕ ), а також початкові наближення координат граничних вузлів x0, j, y0, j, xm+1, j, ym+1, j, xi,n+1, yi,n+1, xi,0, yi,0 динамічної сітки так, щоб виконувались крайові умови (4). Обчислюємо початкові наближення координат внутрішніх вузлів як результат ітераційного процесу по ξ обчислення функцій ( ) ( )( ), ,( ) ( ) , ,,q l q l i j i jx yξ ξ у підобластях , ,,q l q lG G за формулами сумарних зображень [Бомба та ін., 2014]. При цьому значення гранич- них вузлів у цих підобластях визначатимемо як значення внутрішніх вузлів (уздовж відповідних вертикальних і горизонтальних відрізків) суміжних підобластей з «наклад- ками». Зазначимо, що достатньо провести щонайбільше (s1–1)(s2–1) ітерацій по ξ для отри- мання прийнятного результату, оскільки загальний алгоритм передбачає кількаразове повторення цих обчислювальних процедур при подальшому уточненні інших параметрів задачі. Знаходимо нові значення γ1, γ2, γ3, Q і H∗ ϕ , H ∗ϕ за формулами (6), (7). Після цього уточнюємо координати граничних вузлів 0 ( ) , k jx , 0 ( ) , k jy , 1 ( ) , k m jx + , 1 ( ) , k m jy + , 0 ( ) , k ix , 0 ( ) , k iy (k=0,1, … — номер кроку загальної ітерації) з урахуванням (4), (5) (за умови фіксації навколишніх граничних і приграничних вузлів), знаходимо нове наближення коорди- нат внутрішніх вузлів ( , )( ) , q l k i jx , ( , )( ) , q l k i jy динамічної сітки за описаною вище процедурою, знову обчислюємо γ1, γ2, γ3, Q і ,H H ∗ ∗ ϕ ϕ . Наприкінці кожної загальної ітерації перевіряємо виконання умов стабілізації коор- динат граничних вузлів. Якщо величина зміщення вузлів на границі не перевищує задані параметри точності, зупиняємо ітераційний процес, оцінюємо ступінь конформності отриманого відображення області комплексного потенціалу на фізичну область і роз- раховуємо матрицю швидкості. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 163 Розрахунок лінії розділу. Задачу на відшукання положення лінії розділу Ωt (вважа- ємо, що у початковий момент часу: 0t t L= ∗Ω = ), аналогічно до [Bomba, Yaroshchak, 2012], запишемо у вигляді 0 00 1 0 * Гgrad , ( , ) , , , ( , , ) , п z L t t s s x y G t t t s s x y t = ∂⎧σ + = ∈ >⎪ ∂⎨ ⎪ = = ⎩ v (8) де σn — пористість середовища; s =s(x, y, t) — відносна насиченість середовища витіс- нювальною речовиною. Перейшовши від координат (x, y) до (ϕ, ψ) та врахувавши умови Коші—Рімана і фор- мули для обчислення компонент швидкості, запишемо задачу (8) у вигляді ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 1 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , . п s s G t t t s x y t Q t t s x y t Q ω ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧∂ υ ∂ = − ϕ ψ ∈ >⎪ ∂ σ κ ∂ϕ⎪ ⎪ ϕ ψ ϕ ψ = ≤ ψ ≤ >⎨ ⎪ ϕ ψ ϕ ψ = ϕ < ϕ ≤ ϕ ≤ ψ ≤⎪ ⎪⎩ (9) За формулою (9) визначаємо час, що проходить флюїд уздовж лінії течії ( , )x yψ = ψ від точки ( ) ( )( )0 , , ,A x y L∗ ∗ ∗ϕ ψ ϕ ψ ∈ до поточної точки ( ) ( )( ), , ,A x yϕ ψ ϕ ψ ( )∗∗ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ [Bomba, Yaroshchak, 2012; Бомба та ін., 2013а]: ( ) ( ) ( )( )2 def , , , , пkt d v x y ∗ ϕ ϕ σ = Τ ϕ ψ = ϕ ϕ ψ ϕ ψ∫ . Відповідно, час початку та повного обводнення продукції експлуатаційної свердло- вини розраховуємо за формулами ( ) 0min min , Q t ∗ ≤ψ≤ = Τ ϕ ψ , ( ) 0max max , Q t T ∗ ≤ψ≤ = ϕ ψ . Алгоритм відшукання лінії розділу Ωt будуємо аналогічно до [Bomba, Yaroshchak, 2012; Бомба та ін., 2013а, 2013б] з використанням ідеї методу характеристик. Ітерацій- на формула для знаходження значення квазіпотенціалу iϕ уздовж лінії течії ψ=ψj, що відповідає шуканому положенню межі розділу Ωt у відповідний момент часу, має ви- гляд: 1 1,i i t i j− −ϕ = ϕ + Δ ϖ , де значення коефіцієнта 2 пϖ = υ σ κ у точках, що не збігаються з вузлами динамічної сітки, обчислюємо з використанням лінійної інтерполяції за їх значеннями у навколишніх вузлах ( )1 1 , , , , i j i j i j i j i i i i + + ϖ −ϖ ϖ = ϖ + ϕ −ϕ ϕ −ϕ . Таким чином, для зна- ходження зміни за час Δt положення межі розділу рідин відносно відомого попереднього порівнюємо час t з часом корекції 1 1 1 , , , i i i j i j i j t t − − − ϕ − ϕ = + ϖ (перехід через характеристику); якщо він менший, то корегуємо положення межі розділу за знайденою ітераційною формулою для величини iϕ , інакше — збільшуємо час на крок Δt. Результати розрахунку динамічної сітки та положення лінії розділу рідин у різні моменти часу за наведеним алгоритмом подано на рис. 2 для області, що обме же на контуром { 10 5: cos cosL x iy x= + = τ + τ , 8 1 5 3sin , siny = τ + τ , }0 2≤ τ < π і еквіпо тенціалями { 0 75 4: , cos ,L x iy x∗ = + = τ − }0 75 0 2, sin ,y = τ ≤ τ < π , {* :L x iy= + 0 75 4 0 75, cos , , sin ,x y= τ + = τ О. М. ГЛАДКА 164 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 }0 2≤ τ < π із заданими на них граничними потенціалами 0*ϕ = , 1*ϕ = відповідно у ви- падках: а) однорідного пласта з κ=1; б) нелінійно-шаруватого пласта з [ ) ( ) ( ] ( ) ( ) 1 0 0 2 0 3 0 6 0 7 1 1 2 0 2 0 3 0 85 0 6 0 7 , ; , , ; , , ; , , , , ; , , , , , ; , . k ⎧ ϕ∈ ⎪= ϕ∈⎨ ⎪ ϕ∈⎩ ∪ ∪ . Рис. 2. Динамічні сітки та лінії розділу рідин у різні моменти часу t для однорідного (а) та нелінійно- шаруватого (б) LEF-пласта. Як бачимо, на початковій стадії заводнення пласта поблизу нагнітальної свердловини течія є близькою до радіальної і поступово, з просуванням фронту витіснення у на- прямку експлуатаційної свердловини, загострюється. Зазначимо також, що швидкість загострення фронту витіснення та його просування у напрямку експлуатаційної сверд- ловини значно залежить від фільтраційних характеристик прилеглих до свердловин зон пласта, а тому за зміни їх пропускних властивостей (спричинених навколосвердловин- ними деформаціями ґрунту) певною мірою можна підвищити продуктивність розробки пласта. Отримані результати повністю корелюють з даними, наведеними у публікації [Bomba, Yaroshchak, 2012]. Моделювання витіснення нафти водою за поршневою схемою. На відміну від по- передньої задачі, де припущення про «однаковість» рідин давало змогу, побудувавши один раз динамічну сітку і поле значень швидкості, визначати у кожний момент часу положення лінії розділу, в разі різних рідин маємо нелінійні і взаємопов’язані підзадачі: a) на знаходження розв’язку фільтраційної задачі у невідомій області; б) на відшукання положення невідомої межі розділу рідин за невідомим розв’язком фільтраційної задачі. Розглянемо процес фільтрації двох різних рідин, які не змішуються (наприклад, води і нафти), що підпорядковується закону Дарсі у горизонтальному пласті (який розро- бляють нагнітальною та експлуатаційною свердловинами) 0w z z zG G G= ∪ , з невідомим квазіпотенціалом швидкості ϕ=ϕ(x, y): ϕ=ϕw в w zG , ϕ=ϕ0 в 0 zG , що на контурах свердловин L∗ , L∗ набуває значення *L ∗ϕ = ϕ , *L ∗ϕ = ϕ і 0 Ln ∂ϕ = ∂ на зовнішньому контурі L. Тут w zG і 0 zG — підобласті фільтрації води і нафти відповідно, розділені рухомою межею Ωt, на якій вимагатимемо виконання умови неперервності тиску (квазіпотенціалу) і потоку. Коефіцієнт проникності відповідно води і нафти у пластових умовах ( ) ( )( ), , ,k k x y= ϕ ψ ϕ ψ — кусково-стала функція із розривами вздовж ділянок шуканих еквіпотенціалей і ліній течії: МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 165 ( ) ( )( ) 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 ( , ) ( ) ( ) * * ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) * * ( ) ( ) , ( , ) , , , , , , , , , , , ( , ) , , , , , , , q l w w z q q l l q l z q q l l k x y G q s Q l s k x y k x y G q s Q l s − − − − ⎧ ∈ ⎪ ⎪ϕ ≤ ϕ < ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ = ⎪ ≤ ψ < ψ ≤ ψ ≤ =⎪ ϕ ψ ϕ ψ = ⎨ ∈⎪ ⎪ ϕ ≤ ϕ < ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ =⎪ ⎪ ≤ ψ < ψ ≤ ψ ≤ =⎩ де ( , )q l wk , 0 ( , )q lk — деякі додатні числа; Q — невідома повна фільтраційна витрата. Використавши методи комплексного аналізу, як і в попередньому випадку, задачу фільтрації зводимо до задачі на квазіконформне відображення заданої криволінійної LEF-області із умовними розрізами Г∗ і Г∗ уздовж ліній розділення течії на область комплексного квазіпотенціалу 0wG G Gω ω ω= ∪ з додаванням до неї умови неперервності квазіпотенціалу і потоку при переході через рухому межі Ωt. Тут w zG , 0 zG — підобласті Gω, що відповідають w zG , 0 zG . Обернену до неї крайову задачу на квазіконформне відображення області Gω на Г zG зводимо до задачі (2)—(3) з умовами на межі розділу рідин: [ ] [ ] 0 t t x yΩ Ω= = , [ ] 0cos( , ) tΩΞ =v n , де 2 2 ( , ) ( , ) fk x y J ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ Ξ ϕ ψ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ψ ∂ψ ∂ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Для знаходження положення межі розділу рідин й побудови динамічної сітки і поля швидкості у момент часу t0≤ t ≤ T використано таку процедуру їх ітераційного наближен- ня. За заданим початковим положенням межі розділу рідин 0tΩ знаходимо розв’язок фільтраційної задачі за наведеним вище алгоритмом. Положення Ωt ( ( ), ,k j k jx x= ϕ ψ , ( ), ,k j k jy y= ϕ ψ ) у кожний наступний момент часу tk=tk–1+Δt, k=1, 2, … шукаємо, викорис- товуючи поле значень швидкості при t=tk–1, відповідні значення вузлів динамічної сітки xi,j= x(ϕi,ψj), yi,j= y(ϕi,ψj), формулу для розрахунку часу ti,j=T(ϕi,ψj) проходження частиною рідини шляху від початкової точки (наприклад, на межі нагнітальної свердловини) до поточної вздовж вибраної лінії течії. Відповідне tk значення квазіпотенціалу kϕ уздовж ліній течії ψ=ψj ( 1,j n= ) визначаємо, наприклад, із пропорції [44]: 1 1 1 1, , , i i i k i j i j i j kt t t t + + + + ϕ − ϕ ϕ −ϕ = − − , де значення i беремо таке, за якого 1, ,i j k i jt t t +< < . Після знаходження нового положення лінії розділу рідин знову «перераховуємо» фільтраційну задачу. Моделювання сумісного руху рідин за схемою Баклея—Леверетта. Розглянемо про- цеси двофазної фільтрації, за яких утворюється достатньо велика зона, де рухаються обидві рідини. Ці процеси описуємо рівняннями руху (узагальненими законами Дарсі) та рівняннями нерозривності течії для кожної з рідин [Bomba, Yaroshchak, 2012]: 0 0 0 grad kk = ϕ μ v , ( ) 0 1 0divп s t ∂ − σ + = ∂ v , gradw w w kk = ϕ μ v , 0divп w s t ∂ σ + = ∂ v , де s=s(x, y, t) — насиченість витіснювальної фази; σn, k — коефіцієнти пористості та абсолютної проникності; 0v , wv , μ0, μw — вектори швидкості та коефіцієнти в’язкості О. М. ГЛАДКА 166 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 відповідних фаз, 0 0 ( )k k s= , ( )w wk k s= — відносні фазові проникності нафти і води від- повідно. Позначивши 0 0 ( ) ( ) ( ) w w kk s kk s k k s= = + μ μ , 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) w w w k s f s k s k s μ = μ + μ , для сумарної швидкості 0 w= +v v v з урахуванням початкових і крайових умов маємо ( ) 0 0 0 0 0 0 div grad , ( , ) , , , , , , ( , ) , , , ( , ) , z LL L п x y z L t t k x y G t t T k s f f x y G t t T t x y s s s s x y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ⎧ ϕ = ∈ ≤ ≤ ⎪ ∂ϕ⎪ϕ = ϕ = ϕ =⎪ ∂⎪ ⎨ ∂ ∂ ∂⎪σ + υ + υ = ∈ ≤ ≤ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ = =⎪⎩ n де ( , )s x y — задана функція розподілу насиченості у початковий момент часу. Аналогічно до попереднього, увівши функцію течії ψ=ψ(x, y), комплексно спряжену до ϕ, та здійснивши умовні розрізи Г∗ і Г∗ області Gz уздовж ліній розділу течії, що ви- значаються шуканими точками «призупинки» потоку ( ),H x y∗ ∗ ∗ і ( ),H x y∗ ∗ ∗ , задачу на побудову динамічної сітки, відшукання повної витрати та інших характерних фільтрацій- них параметрів зводимо до задачі на квазіконформне відображення ω=ω(z)=ϕ(x, y)+iψ(x, y) утвореної однозв’язної області ( )Г / Г Гz zG G ∗ ∗= ∪ на відповідну прямокутну область комп- лексного квазіпотенціалу { } ( ) ( ) ( )01 1 1 1 0 , ( ) ( )( , ) *, : , s s s sq lq l q l q l G i Q G L L∗ ω ∗ ω ωω= = = = = ω = ϕ+ ψ ϕ < ϕ < ϕ < ψ < = ∪ ∪∪ ∪ ∪ з невідомим параметром Q: ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 * * * * Г, , , , , , ( , ) , , , , , ( ) ( ) , ( ) ( )( , ) , ( , ) , , , ( , ) . z L ADL AD L L t t п k s x y t k s x y t x y G t t T x y y x k s dx k s dy y x s k s f s s sv x y v x y s s s s x y t s x x y y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ⎧ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ⎪ = = − ∈ ≤ ≤ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ∂ϕ ∂ϕ⎪ϕ =ϕ ϕ = ϕ ψ = ψ = − +⎨ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂⎪ = = = − + = =⎜ ⎟⎪ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩ ∫ (10) Обернену до задачі (10) крайову задача на квазіконформне відображення z = z(ω)=x(ϕ, ψ)+iy(ϕ, ψ) області Gω на Г zG при невідомій витраті Q та умовних розрізах Г∗ , Г∗ записуємо у вигляді (2)—(3) із «доповненням» її задачею для насиченості: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 00 0 * * * * * , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . п s v f s G t t t k s s x y t s Q t t s x y t s x y Q ω ⎧ ∂ ∂ ∂⎪ = − ϕ ψ ∈ >⎪∂ σ ∂ ∂ϕ⎪ ⎨ ϕ ψ ϕ ψ = ≤ ψ ≤ > ϕ ψ ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ⎪ ⎪ϕ < ϕ ≤ ϕ ≤ ψ ≤⎪⎩ (11) МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 167 Тут дуже важливим є той факт, як зазначено у статті [Bomba, Yaroshchak, 2012], що рівняння задачі (11) є фактично просторово одновимірним, тому що змінну ψ можна вважати параметром. Це дає змогу суттєво спростити загальний підхід до розв’язання вихідної задачі, а саме — розщепити алгоритм на послідовність простіших підзадач: крайових задач на квазіконформні відображення (за відомим з попереднього часового кроку розподілом насиченості s=s(x, y, t) розв’язуємо фільтраційну задачу (2)—(3)) та нелінійних задач для просторово одновимірних диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку з параметром (отримавши розв’язок (2)—(3) відносно квазі- потенціалу швидкості та маючи відомий з попереднього часового кроку розподіл на- сиченості, знаходимо розв’язок задачі насиченості (11)). Висновки. Запропоновано методику математичного моделювання нелінійних про- цесів витіснення (фільтрації) у зонально-неоднорідних пористих LEF-пластах, геометрія зон яких наперед невідома і визначається з урахуванням зворотного впливу потенці- алу поля швидкості та функції течії на провідність середовища. Здійснено постанов- ку нелінійних крайових задач, в яких коефіцієнт провідності середовища залежить від потенціалу поля (напору, тиску) і від функції течії, для тризв'язних криволінійних LEF-областей, що моделюють взаємодію нагнітальної та експлуатаційної свердловин в елементі нафтового продуктивного пласта. Розроблено обчислювальну технологію розв'язання таких задач на основі синтезу числових методів квазіконформних відобра- жень, сумарних зображень для диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами і декомпозиції області із застосуванням альтернувального методу Шварца. Побудовані алгоритми забезпечують можливість автоматичного розрахунку динамічної сітки руху речовин, знаходження ліній розділу речовин і шарів сталості коефіцієнта провідності середовища, обчислення повної фільтраційної витрати тощо. Розроблені на основі LEF-пластів математичні моделі і методи розв'язання нелінійних крайових задач застосовано до комп'ютерного моделювання нелінійних фільтраційних процесів у нафтових пластах за умов взаємовпливу параметрів процесу і середовища. Цей підхід може бути основою для числового визначення (ідентифікації) параметрів процесу [Bomba, Hladka, 2014, 2017]. Список літератури Бомба А. Я., Булавацький В. М., Скопецький В. В. Нелінійні математичні моделі процесів гео- гідродинаміки. Київ: Наук. думка, 2007. 308 с. Бомба А. Я., Гладка О. М. Математичне моделювання нелінійних фільтраційних процесів у слан- цевих пластах. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. 2013. № 18. С. 32—42. Бомба А. Я., Гладка О. М., Кузьменко А. П. Обчислювальні технології на основі методів комп- лексного аналізу та сумарних зображень. Рівне: Ассоль, 2016. 283 с. Бомба А. Я., Гладка О. М., Кузьменко А. П. Методи комплексного аналізу і сумарних зобра- жень моделювання нелінійних процесів витіснення для системи двох свердловин у двояко- шаруватому нафтогазовому пласті. Вісник Тернопільського нац. техн. ун-ту. 2014. Вип. 1(73). С. 238—251. Бомба А. Я., Каштан С. С., Пригорницький Д. О., Ярощак С. В. Методи комплексного аналізу. Рівне: НУВГП, 2013а. 415 с. Бомба А. Я. Кузьменко А. П., Гладка О. М. Синтез числових методів конформних відображень та сумарних зображень при моделюванні ідеальних полів для криволінійних областей. Вісник Київського нац. ун-ту ім. Т. Шевченка. Серія: фіз.-мат. науки. 2012. № 2. С. 87—94. О. М. ГЛАДКА 168 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 Бомба А. Я., Ярощак С. В., Синчук А. М. Метод комплексного анализа исследования двухфазной фильтрации в горизонтальных пластах с учетом гидроразрыва. Электронное моделирование. 2013б. № 2(35). С. 25—33. Василевский Ю. В., Ольшанский М. А. Краткий курс по многосеточным методам и методам декомпозиции области. Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2007. 105 с. Гладка О. М. Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у багатозв’язних криволінійних LEF-пластах. Системні дослідження та інформаційні техно- логії. 2016. № 2. С. 58—73. http://dx.doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.06. Ляшко И. И., Великоиваненко И. М. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации. Киев: Наук. думка, 1973. 264 с. Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. Киев: Наук. думка, 1991. 432 с. Bomba, A. Ya., & Hladka, O. M. (2017). Problems of identification of the parameters of quasiideal filtration processes in nonlinear layered porous media. Journal of Mathematical Sciences, 220(2), 213—225. doi: 10.1007/s10958-016-3178-2. Bomba, A. Ya., & Hladka, E. N. (2014). Methods of complex analysis of parameters identification of quasiideal processes in nonlinear doubly-layered porous pools. Journal of Automation and Informa- tion Sciences, 46(11), 50—62. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i11.60. Bomba, A. Ya., & Yaroshchak, S. V. (2012). Complex approach to modeling of two-phase filtration pro- cesses under control conditions. Journal of Mathematical Sciences, 184(1), 56—68. Bomba, A. Ya., Yaroshchak, S. V., & Myslyuk, M. A. (2013). Mathematic modelling of thermodynamic effects in a gas formation well bore zone. Journal of Hydrocarbon Power Engineering, (1), 1—4. Hladka, О., &Bomba, A. (2014). The complex analysis method of numerical identification of parameters of quasiideals processes in doubly-connected nonlinear-layered curvilinear domains. Journal of Mathematics and System Science, 4(7), 514—521. doi: 10.17265/2159-5291/2014.07.009. Polozhii, G. N. (1965). The method of summary representations for numerical solution of problems of mathematical physics. London: Pergamon Press, 283 p. Mathematical modeling of nonlinear displacement processes in oil LEF-layer by methods of complex analysis and summary representations O. М. Hladka, 2019 The approach to the modeling of nonlinear displacement processes (one and two-phase filtration) in heterogeneous oil deformable layers is developed, taking into account the inverse effect of the potential of the velocity field and the flow function on the conductivity of the medium. We constructed a method and computational technology for solving the corresponding boundary value problems for nonlinear-layered triple-connected curvilinear domains, bounded by equipotential lines and flow lines, on the basis of the synthesis of numerical methods of quasiconformal mappings and summary representations for differential equations with discontinuous coefficients in combination with domain decomposition by Schwartz method. Quasi-ideal processes in nonlinearly double-layered horizontal LEF-layers, whose geometry of heterogeneity zones is unknown in advance, is described by the corresponding boundary value problems obtained on the basis of the МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ВИТІСНЕННЯ У НАФТОВОМУ... Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 169 Darcy law and the continuity equation with the coefficient of layer permeability, which is given by a piecewise-constant function with ruptures along the searched equipotentials and lines of flow. The coefficient of conductivity the medium is given as a piecewise- constant function, that is dependent on the searched quasipotential and function of flow, with unknown line dividing layers (lines gap conductance coefficient) that is along the searched equipotential lines and flow lines and that is finding in the process of solving the problem. The proposed algorithms automatically solve the problem of choice of nodes and building a dynamic grid, finding of the unknown dividing lines of areas constancy coefficient of conductivity the medium, the calculation of the velocity field and calculate other characteristic parameters of the process. The decomposition of the domain on the layers of the constancy of permeability coefficient allows us to solve problems in more «comfortable» subdomain than the original problem the whole domain, and allows make in parallel the computational process, since calculations in the subdomain at each iterative step are independent of each other and can be done in parallel with the use of modern computer technology. Key words: reservoir of oil, doubly-layered medium, quasiconformal mappings, complex quasipotential, summary representations method, domain decomposition, alternating method by Schwarz, LEF-layer. References Bomba, A. Ya., Bulavatskyy, V. M., Skopetskyy, V. V. (2007). Nonlinear mathematical models of processes of heohydrodynamics. Kyiv: Naukova Dumka, 308 p. (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., & Hladka, O. M. (2013). Mathematical modelling of nonlinear filtration processes in shale layers. Fizyko-matematychne modelyuvannya ta informatsiyni tekhnolohiyi, (18), 32—42 (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., Hladka, O. M., & Kuzmenko, A. P. (2016). Computational technologies based on the methods of complex analysis and summary representations. Rivne: Assol, 283 p. (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., Hladka, O. M., & Kuzmenko, A. P. (2014). Methods of complex analysis and summary representations modeling nonlinear processes displacement for the system of two wells in doubly- layered reservoir of oil and gas. Visnyk Ternopilskoho natsionalnoho tekhnichnoho universytetu, (1), 238—251 (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., Kashtan, S. S., Pryhornytskyy, D. O., & Yaroschak, S. V. (2013а). Methods of complex analysis. Rivne: Publ. of the National University of Water Management and Nature Management, 415 p. (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., Kuzmenko, A. P., & Hladka, O. M. (2012). The syntheses of the numeric methods con- formal mappings and summary representations in modeling by ideal fields for curvilinear domains. Visnyk Kyyivskoho natsionalnoho universytetu imeni Tarasa Shevchenka. Seriya “Fizyko-matema- tychni nauky’, (2), 87—94 (in Ukrainian). Bomba, A. Ya., Yaroshchak, S. V. & Sinchuk, A. M. (2013б). The method of complex analysis of the study of two-phase filtration in horizontal layers, taking into account hydraulic fracturing, Elektronnoye modelirovaniye, (2), 25—33 (in Russian). Vasilevskiy, Yu. V., & Olshanskiy, M. A. (2007). Short course on multigrid methods and domain decom- position methods. Moscow: Moscow University Press, 105 p. (in Russian). Hladka, O. M. (2016). Systematic approach to mathematical modeling of filtration processes in multiply- connected curvilinear LEF-layers. Systemni doslidzhennya ta informatsiyni tekhnolohiyi, (2), 58—73. http://dx.doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.06 (in Ukrainian). Lyashko, I. I., & Velikoivanenko, I. M. (1973). Numerical-analytical solution of boundary value problems of filtration theory. Kiev: Naukova Dumka, 264 p. (in Russian) О. М. ГЛАДКА 170 Геофизический журнал № 2, Т. 41, 2019 Sergienko, I. V., Skopetskiy, V. V., & Deyneka, V. S. (1991). Mathematical modeling and research of processes in heterogeneous media. Kiev: Naukova Dumka, 432 p. (in Russian). Bomba, A. Ya., & Hladka, O. M. (2017). Problems of identification of the parameters of quasiideal filtration processes in nonlinear layered porous media. Journal of Mathematical Sciences, 220(2), 213—225. doi: 10.1007/s10958-016-3178-2. Bomba, A. Ya., & Hladka, E. N. (2014). Methods of complex analysis of parameters identification of quasiideal processes in nonlinear doubly-layered porous pools. Journal of Automation and Informa- tion Sciences, 46(11), 50—62. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i11.60. Bomba, A. Ya., & Yaroshchak, S. V. (2012). Complex approach to modeling of two-phase filtration pro- cesses under control conditions. Journal of Mathematical Sciences, 184(1), 56—68. Bomba, A. Ya., Yaroshchak, S. V., & Myslyuk, M. A. (2013). Mathematic modelling of thermodynamic effects in a gas formation well bore zone. Journal of Hydrocarbon Power Engineering, (1), 1—4. Hladka, О., &Bomba, A. (2014). The complex analysis method of numerical identification of parameters of quasiideals processes in doubly-connected nonlinear-layered curvilinear domains. Journal of Mathematics and System Science, 4(7), 514—521. doi: 10.17265/2159-5291/2014.07.009. Polozhii, G. N. (1965). The method of summary representations for numerical solution of problems of mathematical physics. London: Pergamon Press, 283 p.

Ähnliche Einträge