Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел

В статье дан обзор по формированию представлений о механизмах разрушения твёрдых тел, начиная с конца девятнадцатого столетия. Рассматриваются ранние работы А.Ф. Иоффе, А.А. Гриффитса, Ирвина, Г.В. Колосова и других. Отмечается популярность критерия разрушения А.А. Гриффитса, основанного на энергети...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Щелокова, М.А., Слободян, С.Б., Дырда, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України 2018
Назва видання:	Геотехнічна механіка
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158693
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел / М.А. Щелокова, С.Б. Слободян, В.И. Дырда // Геотехнічна механіка: Міжвід. зб. наук. праць. — Дніпро: ИГТМ НАНУ, 2018. — Вип. 138. — С. 227-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158693
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1586932019-09-12T01:25:57Z Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел Щелокова, М.А. Слободян, С.Б. Дырда, В.И. В статье дан обзор по формированию представлений о механизмах разрушения твёрдых тел, начиная с конца девятнадцатого столетия. Рассматриваются ранние работы А.Ф. Иоффе, А.А. Гриффитса, Ирвина, Г.В. Колосова и других. Отмечается популярность критерия разрушения А.А. Гриффитса, основанного на энергетическом балансе, для расчёта движения трещин. Рассматриваются также подходы Е.М. Морозова, J-интеграл Черепанова – Райса, работы А.А. Лебедева, В.З. Партона, А.Н. Гузя, И.А. Миклашевича, Г.И. Баранблатта, критерии разрушения Дагдейла, Леонова-Панасюка и т.д. Показано, что для описания микроособенностей реальных трещин целесообразно использовать фрактальные модели. Поэтому рассматриваются такие важные вопросы как: общая схема фрактального подхода, обобщённая фрактальная модель реальной трещины, влияние показателя фрактальной размерности трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений, математическое описание синергетической модели фрактальной трещины. У статті надано огляд по формуванню уявлень про механізми руйнування твердих тіл, починаючи з кінця дев’ятнадцятого століття. Розглядаються ранні роботи А.Ф. Іоффе, А.А. Гриффитса, Ірвіна, Г.В. Колосова та інших. Відзначається популярність критерію руйнування А.А. Гриффитса, заснованого на енергетичному балансі, для розрахунку руху тріщин. Розглядаються також підходи Е.М. Морозова, J-інтеграл Черепанова-Райса, роботи А.А. Лебедєва, В.З. Партон, А.Н. Гузя, І.А. Миклашевича, Г.І. Баранблатта, критерії руйнування Дагдейл, Леонова-Панасюка і т.д. Показано, що для опису мікроособливості реальних тріщин доцільно використовувати фрактальні моделі. Тому розглядаються такі важливі питання як: загальна схема фрактального підходу, узагальнена фрактальна модель реальної тріщини, вплив показника фрактальної розмірності тріщини на величину коефіцієнта інтенсивності напружень, математичний опис синергетичної моделі фрактальної тріщини. The authors present an overview of how the concept of solid destruction mechanisms has been forming since the end of the nineteenth century. Early works of A.F. Ioffe, A.A. Griffiths, Irvine, G.V. Kolosov and others are considered with focusing on popular Griffiths destruction criterion, wihich is based on the energy balance and used for calculating the cracks movement. The overview also includes E.M. Morozov approaches, Cherepanov-Rice J-integral, works of A.A. Lebedev, V.Z. Parton, A.N. Guz, I.A. Miklashevich, G.I. Baranblatt, destruction criteria of Dagdale and Leonov-Panasyuk, and others. It is shown that it is expedient to use fractal models to describe micro-features of real cracks. Therefore, such important issues as: general scheme of fractal approach, generalized fractal model of real crack, effect of the crack fractal dimension on value of the stress intensity factor, mathematical description of synergetic model of the fractal crack are considered. 2018 Article Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел / М.А. Щелокова, С.Б. Слободян, В.И. Дырда // Геотехнічна механіка: Міжвід. зб. наук. праць. — Дніпро: ИГТМ НАНУ, 2018. — Вип. 138. — С. 227-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1607-4556 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158693 539.3 ru Геотехнічна механіка Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье дан обзор по формированию представлений о механизмах разрушения твёрдых тел, начиная с конца девятнадцатого столетия. Рассматриваются ранние работы А.Ф. Иоффе, А.А. Гриффитса, Ирвина, Г.В. Колосова и других. Отмечается популярность критерия разрушения А.А. Гриффитса, основанного на энергетическом балансе, для расчёта движения трещин. Рассматриваются также подходы Е.М. Морозова, J-интеграл Черепанова – Райса, работы А.А. Лебедева, В.З. Партона, А.Н. Гузя, И.А. Миклашевича, Г.И. Баранблатта, критерии разрушения Дагдейла, Леонова-Панасюка и т.д. Показано, что для описания микроособенностей реальных трещин целесообразно использовать фрактальные модели. Поэтому рассматриваются такие важные вопросы как: общая схема фрактального подхода, обобщённая фрактальная модель реальной трещины, влияние показателя фрактальной размерности трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений, математическое описание синергетической модели фрактальной трещины.
format	Article
author	Щелокова, М.А. Слободян, С.Б. Дырда, В.И.
spellingShingle	Щелокова, М.А. Слободян, С.Б. Дырда, В.И. Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел Геотехнічна механіка
author_facet	Щелокова, М.А. Слободян, С.Б. Дырда, В.И.
author_sort	Щелокова, М.А.
title	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
title_short	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
title_full	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
title_fullStr	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
title_full_unstemmed	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
title_sort	фрактальный подход к механике разрушения твердых тел
publisher	Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158693
citation_txt	Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел / М.А. Щелокова, С.Б. Слободян, В.И. Дырда // Геотехнічна механіка: Міжвід. зб. наук. праць. — Дніпро: ИГТМ НАНУ, 2018. — Вип. 138. — С. 227-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Геотехнічна механіка
work_keys_str_mv	AT ŝelokovama fraktalʹnyjpodhodkmehanikerazrušeniâtverdyhtel AT slobodânsb fraktalʹnyjpodhodkmehanikerazrušeniâtverdyhtel AT dyrdavi fraktalʹnyjpodhodkmehanikerazrušeniâtverdyhtel
first_indexed	2025-07-14T11:14:50Z
last_indexed	2025-07-14T11:14:50Z
_version_	1837620727180689408
fulltext	ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 227 УДК 539.3 ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД К МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 1Щелокова М.А., 2Слободян С.Б., 3Дырда В.И. 1Запорожский национальный технический университет, 2Подольский государственный аграрно-технический университет, 3Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины ФРАКТАЛЬНИЙ ПІДХІД ДО МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ ТВЕРДИХ ТІЛ 1Щолокова М.О., 2Слободян С.Б., 3Дирда В.І. 1Запорізький національний технічний університет, 2Подільський державний аграрно- технічний університет, 3Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України FRACTAL APPROACH TO SOLID FRACTURE MECHANICS 1Schelokova M.A., 2Slobodian S.B., 3Dyrda V.I. 1Zaporozhye National Technical University, 2State Agrarian and Engineering University in Podilya, 3Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Аннотация. В статье дан обзор по формированию представлений о механизмах разрушения твёрдых тел, начиная с конца девятнадцатого столетия. Рассматриваются ранние работы А.Ф. Иоффе, А.А. Гриффитса, Ир- вина, Г.В. Колосова и других. Отмечается популярность критерия разрушения А.А. Гриффитса, основанного на энергетическом балансе, для расчёта движения трещин. Рассматриваются также подходы Е.М. Морозова, J-интеграл Черепанова – Райса, работы А.А. Лебедева, В.З. Партона, А.Н. Гузя, И.А. Миклашевича, Г.И. Баран- блатта, критерии разрушения Дагдейла, Леонова-Панасюка и т.д. Показано, что для описания микроособенностей реальных трещин целесообразно использовать фрактальные модели. Поэтому рассматриваются такие важные вопросы как: общая схема фрактального подхода, обобщённая фрактальная модель реальной трещины, влияние показателя фрактальной размерности трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений, матема- тическое описание синергетической модели фрактальной трещины. На микроуровне профиль шероховатой трещины аппроксимируется фрактальным объектом, на макроуровне трещина имеет вид гладкого контура, поэтому остаются справедливыми классические постановки задач разруше- ния, носителем фрактальных микроособенностей трещины выступает дополнительный параметр – фрактальная размерность. Для оценки реальной «длины» трещины строится энтропийная α-мерная мера. С помощью данного подхода становится возможным фрактальное обобщение энергетического критерия разрушения твёрдых тел, со- держащих трещины, имеющих фрактальную особенность на микроуровне. Величина упругой энергии определя- ется на макроуровне; поверхностная энергия, необходимая для создания двух фрактальных поверхностей, запи- сывается с учётом того, что на микроуровне трещина имеет фрактальную шероховатость. Такой подход позволяет установить связь между микро- и макроуровнями, при этом позволяет перевести на более высокий уровень фор- мализации понятие о структуре как таковой. В заключении статьи рассматривается фрактальное обобщение энергетической концепции разрушения твёр- дых тел. В частности, рассматривается задача о накоплении повреждений и фрактальный анализ резин при дли- тельном циклическом разрушении. Для конкретной резины найдена величина фрактальной размерности поверх- ности разрушения: в исходном состоянии и при наработке более 30000 часов при экстремальных циклических нагружениях. Показано изменение коэффициента Пуассона для исходной резины и «разрыхлённой» при длитель- ном утомлении. Ключевые слова: деформация, прочность, фрактал, разрушение, трещина, энергия разрушения Основные представления о механизмах разрушения твёрдых тел Этому важному вопросу посвящена многочисленная научная литература; обзоры исследований изложены в [1-9]. Следует подчеркнуть, что представление о прочности и разрушении твёрдых тел стали складываться уже в XIX веке. Так, в 1898 г. немецкий механик Г. Кирш, решив задачу об одноосном растяжении прямоугольной пластинки с малым круговым отверстием, обнаружил резкий пик напряжений в точках на краю отверстия. В 1909 г. решение Колосова – Инглисса © Щелокова М.А., Слободян С.Б., Дырда В.И., 2018 ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 228 задачи о растяжении пластинки с эллиптическим отверстием показало, что пико- вые напряжения определяются кривизной отверстия; у вершин, где кривизна максимальна, напряжения могут достичь значений, во много раз превышающих значения напряжений в сплошной пластинке. Благодаря профессору Инглиссу в практику расчётов на прочность входит понятие концентрации напряжений. В 1920 г. А.Ф. Иоффе объяснил причину расхождения теоретической и технической прочности несложным, но эффективным опытом на кристалле ка- менной соли. После помещения кристалла в горячую воду его прочность значи- тельно увеличивалась. Вывод был следующий: лишившись поверхностного слоя, кристалл освободился от многочисленных царапин и трещин. Эксперименты по упрочнению кристаллов, случаи преждевременного разрушения конструкций при напряжениях, значительно меньших расчётных, показали недостаточность представлений о прочности как о постоянной материала. В 1920 г. Гриффитс попытался достичь теоретической прочности в опытах на разрыв стеклянных волокон и установил, что с уменьшением диаметра воло- кон их прочность резко возрастает и становится сравнимой с теоретической. От- личие прочности реальных тел от теоретической он объяснил наличием в них трещин, превышающих по размеру межмолекулярные расстояния. В настоящее время, в машиностроении, горной механике, в котлостроении и других отраслях исследователи постоянно сталкиваются с трещиноподобными дефектами и тех- нологическими отверстиями в виде угловых вырезов или лунок. Примерами мо- гут служить Т-образные хвосты лопаток, обода дисков, резьбовые соединения, угловые сварные стыки и т.д. В своё время, причины развития трещины в теле Гриффитс связал с про- цессами накопления и освобождения в нем энергии деформаций. В качестве мо- дели им был выбран узкий эллиптический вырез, и предполагалось, что разру- шение происходит вдоль площадки, на которой нормальное растягивающее напряжение достигает критического значения. В современной механике деформируемого твёрдого тела для описания ре- альной трещины используются различные математические модели (рис. 1), при этом рассматривается одна и та же задача: определить напряжённо-деформиро- ванное состояние в окрестности вершины трещины и на основании некоторого критерия проанализировать вопрос о разрушении. 1 2 3 4 1 – разрез; 2 – эллипс; 3 – лунка; 4 – прямоугольник Рисунок 1 – Математические модели трещины К настоящему времени, для каждого представления реальной трещины ре- шение первой части поставленной задачи найдено: для случая прямолинейного разреза – формулы Келдыша – Седова, для эллипса – решение Г.В. Колосова, для модели в виде лунки – решение Вейнеля и Линга. Особый интерес представляет модель трещины в виде лунки с вершинами в форме острого «клюва», который обеспечивает конечность напряжений в концах трещины. В этом случае, с помо- щью асимптотического метода в версии С.А. Назарова, задачу сводят к следую- ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 229 щим предельным: вдали от трещины – к задаче о растяжении плоскости с прямо- линейным разрезом; вблизи – к задачам о внешности параболы и полубесконеч- ной полосы. С целью усовершенствования и поиска адекватной модели реальной тре- щины, для описания напряжённо-деформированного состояния в окрестности вершины, в настоящее время широкое развитие получили исследования, базиру- ющиеся на экспериментах и аналогиях. К примеру, применяя принцип аналогий, С.Д. Волков предположил, что характер распределения напряжений вблизи вер- шины трещины повторяет ниспадающий участок кривой на полной диаграмме деформирования материала, полученной при испытании гладкого образца в условиях предельно жёсткого нагружения. В Институте проблем прочности им. Г.С. Писаренко НАН Украины были проведены испытания с целью исследо- вания кинетики разрушения пластичных материалов в разных состояниях. Ре- зультаты показали, что характер распределения напряжений у вершины макро- трещины непосредственно связан с процессами упрочнения матрицы материала при различном термосиловом воздействии и сопутствующими им процессами разрыхления в целом. С использованием деформационных трёхстадийных моде- лей, которые кроме зоны пластического течения учитывают также и разрыхление материала в зоне предразрушения, решён ряд упругопластических задач [3]. Одной из удачных попыток описания распределения напряжений в зоне предразрушения можно считать двухпараметрическую сильно нелинейную функцию, состоящую из двух частей: степенной, описывающей упрочнение мат- рицы материала, и экспоненциальной, описывающей особенности накопления повреждений в материале с учётом вида напряжённого состояния и наработки ( )( )3 1 1 0,2 1n K x Rx R B σ σ σ − −    =         , где σ0,2 – предел текучести материала; x – текущее расстояние от вершины тре- щины до рассматриваемой точки в пластической зоне; R – протяжённость пла- стической зоны; n – коэффициент деформационного упрочнения; B – характери- стика чувствительности материала к виду напряжённого состояния в отношении накопления повреждений; Kσ – параметр Бриджмена. Одновременно с исследованием величины параметров, характеризующих напряжённое состояние в вершине трещины, развиваются подходы к решению проблемы по оценке размеров зон пластичности и предразрушения. В частности, применительно к центральной трещине нормального отрыва в пластине из орто- тропного материала была установлена зависимость протяжённости пластиче- ской зоны, возникающей у вершины трещины, от величины пределов текучести в направлении осей анизотропии. Современный уровень развития вычислительной техники позволил со- здать целый ряд численных подходов к расчёту напряжённо- деформированного состояния элементов конструкций, сформировалась вычислительная механика деформируемого твёрдого тела. Каждый метод численного решения условно раз- бивается на два этапа: дискретизация, которая заключается в сведении «конти- ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 230 нуальной» задачи к конечномерной, алгебраической и непосредственное реше- ние полученной задачи с учётом её специфики. Переход к конечномерной задаче достигается различными способами: выбором конечного числа координатных функций вариационных методов, конечноразностной аппроксимацией, вариаци- онно-разностным методом, МКЭ и т.д. Универсального подхода не существует из-за возникающих трудностей в каждом конкретном приложении, например, при решении пространственных задач механики композитов, применение непо- средственной дискретизации не позволяет получить приемлемую алгебраиче- скую систему; при численном решении задач теории вязкоупругости возникает проблема дискретизации по времени. Трудности в ряде случаев преодолеваются, используя специальные методы осреднения. В вычислительной механике учиты- вается и тот факт, что исследователя в основном интересует напряжённое состо- яние, а не вектор перемещения. Кроме того, иногда исследователю известно, в каких точках следует искать опасные напряжения и в таких случаях целесооб- разно применять метод Монте-Карло, который позволяет определить напряже- ния в одной точке. Анализируя современные вычислительные методы механики деформируе- мого твёрдого тела, применительно к задачам о трещиноподобных дефектах, сле- дует отметить, что каждый раз решение начинается с выбора исходной модели. Как правило, трещина заменяется подходящей системой граничных сегментов, за исключением концов трещины, где вводятся специальные концевые элементы. Однако значительно повысить точность вычисления за счёт увеличения общего числа специальных элементов в конце трещины не удаётся, и более высокая точ- ность может быть достигнута лишь использованием в окрестности конца тре- щины более сложных аппроксимирующих формул, основанных на более при- ближенной к реальной модели трещины. При решении задачи о разрушении, возникает необходимость выбора со- ответствующего критерия разрушения. А.А. Гриффитс первым определил пре- дельное значение внешней нагрузки, вызывающей разрушение. Его критерий ос- нован на энергетическом балансе: энергия упругой деформации, высвобождаю- щаяся при росте трещины, должна равняться энергии, затраченной на образова- ние новых поверхностей: dU/dl = dW/dl. Гриффитс выразил dU/dl через напряже- ние dU/dl = πσ2l/E, впоследствии эту величину стали называть энергией движе- ния трещины G. При хрупком разрушении G = 2γ, где γ – поверхностная энергия, являющаяся фундаментальной константой материала, зависящей от прочности межатомных связей. Справедливость этого критерия распространяется только на материалы, не способные деформироваться в процессе разрушения (типа стекла). Для металлических материалов Ирвином и Орованом, основываясь на энергети- ческом критерии Гриффитса, была добавлена в поверхностную энергию необра- тимая работа пластической деформации. Это позволило представить зависи- мость между разрушающим напряжением σ и длиной трещины l в виде 2 (2 ) (1 ) hE l γ γσ π γ + = − , где pγ – энергия, затраченная на пластическую деформацию в ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 231 локальной зоне у вершины трещины в момент нестабильности разрушения. Ир- вин показал, что поля деформаций и напряжений на фронте трещины можно опи- сать с помощью коэффициентов интенсивности напряжения K. Это позволяет различные виды разрушения материала моделировать путём растяжения специ- ального образца с предварительно созданной трещиной с учётом автомодельно- сти напряжённо-деформированного состояния на фронте трещины. Критическое значение KI = KIc определяет критическую энергию на единицу длины трещины GIc, необходимую для её движения. Физическое представление вершины тре- щины как плавное смыкание её берегов, послужило основанием для Баренблатта ввести в концевой области трещины силы сцепления и получить аналогичный критерий. Следует особо выделить разработанные М.Я. Леоновым, В.В. Панасюком, П.М. Витвицким, Д.С. Дагдейлом, И.И. Лучко, И.М. Панько, С.Я. Яремой и дру- гими деформационные критерии локального разрушения – критическое раскры- тие трещины. В основу теории положен критерий раскрытия трещины, предло- женный М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком (δc-модель). Неупругая зона впереди трещины моделируется разрезами, к берегам которых приложены напряжения, физический смысл которых определяется свойствами материала. Трещина полу- чает возможность распространяться, если расстояние между противоположными поверхностями трещины в её конце достигает предельной величины ( )0 2 , ,n kv l l P δ= , где 0 ( , , )nv l l P – нормальная составляющая вектора смещения берегов трещины, рассчитываемая методами линейной теории упругости; P – параметр, характеризующий внешнюю предельную нагрузку; l0 – характерный линейный размер области начальной трещины. В условиях упругопластического поведения материала с трещиной, пре- дельное раскрытие трещины δk, при которой наступает нестабильность разруше- ния, зависит от пластической деформации на фронте трещины и поэтому связь между δk и GIc достаточно сложная. По этой причине возникают трудности прак- тического использования критерия локального разрушения, связанного с рас- крытием трещины. Е.М. Морозов предложил критерий, названный пределом трещиностойко- сти, который включает: критерий линейной механики разрушения Kc, механиче- ское свойство материала в виде временного сопротивления Bσ и характеристику локального напряжённого состояния в виде максимального главного напряжения 1σ у края трещины: ( ) 1 22 11c c BI K σ σ = −  . При замене отношения 1 Bσ σ на K Bσ σ , где Kσ – критическое напряжение, критерий принимает другой вид: ( )c c K BI K ϕ σ σ= , а величина, обратная отношению K Bσ σ выступает как коэф- фициент запаса прочности по временному сопротивлению. Однако, так как эта величина не является характеристикой предельного состояния локальных объё- мов металла вблизи трещины, использование данного критерия приводит к опре- делённым ограничениям. ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 232 Отметим также критерий М.Л. Вильямса: разрушение происходит в мо- мент достижения радиусом кривизны конца трещины некоторого предельного значения, характерного для каждого конкретного материала. Наряду с силовыми и деформационными критериями локального разруше- ния широко известны энергетические критерии. Одним из таких критериев явля- ется I-интеграл Черепанова-Райса. Черепанов, анализируя состояние области, окружающей вершину трещины, движущейся в сплошном деформируемом теле, получил выражение для удельной работы разрушения в виде: i x ij j C VI Эn n ds x σ ∂ = − ∂ ∫ , где С – замкнутый контур; ij ijЭ σ ε= ∫ – плотность энергии деформации; iV , ijσ – компоненты перемещений и напряжений; nj – компонента нормали к элементу контура ds. Условие ограниченности интеграла выступает как необходимое условие корректности той или другой модели твёрдого тела. В настоящее время разрабо- таны экспериментальные методы определения I-интеграла с менее жёсткими требованиями к размеру образца, чем при определении KIc. Следует учесть, плот- ность энергии деформации Э является функцией деформации в данной точке только для упругих условий. При появлении необратимых деформаций на вели- чину Э влияет история нагружения и его тепловой режим. Для сложного напряжённого состояния, согласно приведённым моделям, направление распространения разрушающей трещины приходится постулиро- вать, что является существенным их недостатком. При этом вопрос зарождения и образования макроскопического трещиноподобного дефекта также не нашёл в них отражение. Причина кроется в сложности и неоднозначности реального про- цесса разрушения. По этой же причине все модели сопряжены с определённой идеализацией геометрии и свойств объекта. Основываясь на интуитивном пред- ставлении о корректности задачи – малости изменения решения при малом из- менении параметров задачи, нередко возникают «парадоксы малого параметра». Другими словами, для изучения реального процесса разрушения, исследо- вание только поведения макроскопических дефектов (зародышевых, магистраль- ных трещин) на основе сплошной среды недостаточно, необходимо учитывать процессы, происходящие на структурном микроскопическом уровне, следует также изучить влияние внутренней структуры на макроскопические характери- стики. Исследования в этой области в настоящее время ведутся одновременно по нескольким направлениям. Интересной представляется энергетическая концепция Дж. Си, предпола- гающая в качестве критерия разрушения использовать критическую плотность энергии деформации. Это в свою очередь предполагает анализ разрушения, де- формации и напряжения индивидуальных блоков. Основные соотношения для каждого элемента могут различаться и поэтому решение необходимо связать с историей нагружения. Это требует формирования банка данных, содержащего кривые напряжение – деформация при одноосном растяжении, охватывающие ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 233 область локальных скоростей деформации, реализуемых в различных объёмах материала на фронте трещины. Следует отметить попытки описания процессов разрушения на основании математического анализа базовых закономерностей разрушения, какой является теория катастроф. Так, классические объекты теории разрушения могут быть представлены как объекты теории катастроф: задача Гриффитса – как катастрофа складки, деформирование через пружину – как катастрофа сборки, длина тре- щины – с катастрофой типа ласточкин хвост. Тогда переход от рассеянного раз- рушения к магистральной трещине или появление точки бифуркации соответ- ствуют изменению типа катастрофы. Ещё в 60-е годы прошлого века В.В. Новожиловым была выдвинута мо- дель разрушения, которая связала механику сплошных сред с молекулярными представлениями. Идея связать меру поврежденности материала с изменением его плотности вследствие разрыхления материала объясняла появление трещины в сплошной среде как переход среды из одной формы равновесного состояния в другую. По мере развития экспериментальной техники, исследователи получили возможность более точно оценить остаточное изменение объёма при пластиче- ском деформировании. Обработка большого массива экспериментальных дан- ных показала: суммарный объём пустот не всегда отражает реальное состояние материала, поскольку можно привести примеры, когда прочность повреждён- ного материала выше прочности менее повреждённого материала. Связь KIc с механическими свойствами и параметрами структуры матери- ала была разработана в расчётной модели локального разрушения упругопласти- ческих тел А.Е. Андрейкивым: ( )1 22 1(1 )ln(1 )c sK Eρτ ν ψ − Ι = − − , где ρ – некоторый характеристический структурный параметр; sτ – предел теку- чести при сдвиге; ψ – сужение поперечного сечения гладкого образца при одно- осном растяжении. Другая зависимость KIc от структуры предложена в виде: ( ) ( ){ } 1 21 1 1 0,2 max 1 2 21 m m m c E K S F m σ ε ν − + + Ι   =   − Γ  , где m – коэффициент деформационного упрочнения; S – величина близкая к рас- стоянию между большими неметаллическими включениями; εmax – предельная деформация в вершине. Для трещин нормального отрыва в средах со структурой предложен обоб- щённый дискретно-интегральный критерий прочности для материалов двух ти- пов: упругопластического с ограничением по деформативности и упругого иде- ально пластического. Критическое раскрытие исходной трещины связывается с деформативностью пластических материалов. В последнее время процесс разрушения рассматривается как иерархиче- ский переход системы от низшего уровня к высшему. Переход к верхнему иерар- хическому уровню сопровождается сменой ведущего механизма поглощения энергии. Атомарный уровень связан с разрушением межатомных связей; уровень ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 234 зерна – с существованием внутренней структуры деформируемого материала. Мезоскопический уровень описывает изменение поврежденности, рост микро- трещин и переход в магистральную трещину. Эти различия вызывают целую иерархию математических структур, необходимых для описания системы в це- лом. С другой стороны, изучение механизма разрушения на каждом иерархиче- ском уровне выявило самоподобие структуры на различных масштабах и тенден- цию в поведении системы к самоорганизации. Большое значение в исследовании структурных особенностей формирую- щихся трещин занимают исследования поверхностей разрушения. Это объясня- ется предположением, что структурные особенности поверхности разрушения являются прямым «наследием» структуры фронта трещины, приведшей к разру- шению. Для описания характеристик поверхности разрушения широко исполь- зуют случайные распределения, например, тригонометрические или функции Вейерштрасса. Влияние соседних областей на измеряемые в локальной точке ха- рактеристики учитываются путём введения корреляционных функций. После того как Мандельбротом было выдвинуто и экспериментально про- верено предположение о статистическом самоподобии поверхностей разруше- ния, появились попытки классифицировать масштабные уровни разрушения, из- ложить другим языком классическую теорию хрупкого квазистатического разру- шения. В работе Р.В. Гольдштейна и А.Б. Мосолова был проведён фрактальный анализ иерархической структуры деформируемого тела на масштабе размеров l Lδ ≤ ≤ , где δ – размеры зерна, L – размер задачи, масштаб неоднородности внешних полей. Обобщая вышеизложенный обзор работ, посвящённых описанию меха- низма разрушения, а также работы многих современных отечественных и зару- бежных учёных: А.А. Лебедева, Н.Г. Чаусова, В.З. Партона, Н.Г. Стащука, Р.В. Гольдштейна, В.М. Ентова, А.Н. Гузя, М.М. Назаренко, Л.И. Слепяна, В.М. Корнева и других, можно выделить два подхода: в первом прочность тела характеризуется поведением магистральной макротрещины, во втором – через развитие и рост множества микродефектов. Однако, сложной и неоднозначной остаётся одна из основных задач механики разрушения – корректный переход от микроскопического описания, когда необходимо учитывать свойства элементар- ных структурных единиц (например, наличие границы зёрен в металле), к мак- роскопическому, когда существенны только интегральные характеристики среды. Очевидно, проблема может быть частично решена, если при разработке математической модели поведения макроскопических дефектов автомодель- ность механизма разрушения будет учтена за счёт привлечения характеристик, описывающих геометрические особенности структуры. Совместное рассмотрение процессов деформации и разрушения с учётом влияния распределения дефектов на метрическую структуру деформируемого материала специалистами белорусской научной школы [8] предлагается осуще- ствить с помощью более общих пространств, чем евклидово. Процессы распро- странения трещины рассматриваются как движение в пространстве Финслера. Развиваемый Миклашевичем подход к дефектной структуре с использованием физического аппарата описания полевых структур, позволил ему подойти ближе ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 235 к решению проблемы определения связи макроскопических характеристик мате- риала с микроскопическими характеристиками структуры. Недостатком предло- женной Миклашевичем теории является сложность, что затрудняет её использо- вание в инженерных расчётах. Как частный случай, он обосновывает положение, что разрушение на всех структурных уровнях имеет фрактальные свойства. Примерами использования фрактального анализа для описания закономер- ностей разрушения на макроскопическом уровне может служить ряд последних работ [1-9]; была предложена гипотеза о необходимости существования переход- ного поверхностного слоя, обладающего фрактальной размерностью. В рамках этой гипотезы показателем диссипативных свойств материала при самоподоб- ном разрушении является фрактальная размерность, учитывающая вклад в дис- сипацию энергии двух основных механизмов: пластической деформации и обра- зования аморфной зоны переходного слоя вблизи вершины трещины; поверх- ностная энергия Π выражается как интегральная разность между размерностью окружающего пространства D и фрактальной размерностью материала переход- ной зоны 3 2 ( )Fi i k D D = Π = −∫ , где k – коэффициент пропорциональности; DFi – фрактальная размерность слоя в переходной зоне от размерности 2 к размерности 3. Основные фрактальные характеристики разрушения представляют пред- мет напряжённых дискуссий и исследований последних лет. Одной из таких ха- рактеристик по-прежнему является фрактальная размерность трещины. В боль- шинстве случаев теоретические построения для проблемы фрактальных размер- ностей трещины исходят из предположения, что геометрия поверхности разру- шения есть «наследство» геометрии фронта трещины при развитии разрушения. В настоящее время существует множество экспериментальных методов определения фрактальной размерности реальных объектов, основанных на раз- личных определениях физической фрактальной размерности. В частности, при измерении размерности поверхностей разрушения большое распространение по- лучили металлографические методы, метод вертикальных сечений и Фурье-ана- лиз профиля. Вследствие трудностей методического характера, достаточно сложно по- лучить системные экспериментальные данные о размерной неоднородности де- фектов, охватывающие широкий круг материалов, различные условия нагруже- ния, масштабность повреждений. Поэтому, для решения практических задач про- гнозирования предельного состояния, связанного с формированием трещины не- допустимого размера, необходима дальнейшая разработка адекватных матема- тических моделей, учитывающих размерную неоднородность дефектов. При этом необходимо усовершенствовать критерии разрушения, так как большин- ство из них ориентированы на трещины-разрезы: критерии Ирвина, Баренблатта, Леонова-Панасюка, Дагдейла. Универсальным считается критерий Гриффитса, ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 236 которым можно было бы пользоваться для всех задач, но он связан с существен- ными математическими трудностями, так как для строгого его применения необ- ходимо знать, как меняется геометрия трещины в процессе разрушения [3]. Ниже рассматривается возможность обобщения энергетического подхода Гриффитса на трещины, обладающие фрактальными характеристиками. Обзор опубликованных материалов теоретических и экспериментальных исследований позволил сделать ряд обобщений, которые легли в основу разра- ботанного фрактального подхода к энергетической концепции квазихрупкого разрушения твёрдых тел: • геометрические особенности профиля поверхностей разрушения на микро- уровне являются прямым наследием особенностей развития фронта трещины; • для описания микроособенностей реальных трещин целесообразно выбирать модель фрактала, так как, подобно природным, фрактальные объекты обла- дают «шероховатостью» и свойством самоподобия. Общая схема фрактального подхода Основу механики разрушения составляют критерии прочности, которые устанавливают момент исчерпания несущей способности материала. При этом критерии прочности не следуют из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды, а являются дополнительным условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Формулировки критериев обязательно содержат некоторые удельные характеристики: на единицу длины, площади или объёма, методика определения которых на гладких образцах стандартизирована. Но если граница исследуемого объекта на микроуровне сильно изрезана (шеро- ховата), то реальные длина, площадь и объём отличаются от тех, с которыми ра- ботает традиционная теория, при этом возникает ряд противоречий эксперимен- тальным данным. Введение фрактальной поправки при определении удельных характеристик, позволит учесть шероховатость поверхности, а также автомо- дельность процесса разрушения. Общая схема фрактального подхода предполагает следующие этапы: • на микроуровне профиль шероховатой трещины аппроксимируется соответ- ствующим фрактальным объектом размерности α, при этом 1 < α < 2; • фрактальная шероховатость «сглаживается» покрытием α-мерными шарами; для оценки реальной длины трещины строится энтропийная α-мерная мера; • на макроуровне, трещина имеет вид гладкого контура, поэтому остаются спра- ведливыми классические постановки задач разрушения, носителем фракталь- ных микроособенностей трещины выступает дополнительный параметр – фрактальная размерность α. Таким образом, фрактальный подход по предложенной схеме, позволит, оставаясь в рамках линейной механики разрушения, не только привлечь к реше- нию задач дополнительный параметр, характеризующий геометрические особен- ности микроструктуры реальной трещины, но и частично отразить тот факт, что процесс разрушения – это совокупность процессов микро- и макроуровней. Следует отметить, привлечение фрактальных кривых (в плоском случае) к моделированию на микроуровне шероховатости реальных трещин предполагает ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 237 некоторое ограничение – извилистость реальной трещины, как и её площадь, имеют конечные значения, поэтому существует естественный нижний предел применимости фрактальной модели. Для металлов это размер зерна или суб- зерна. Другими словами, нижний предел следует понимать не в математическом, а в физическом смысле. С другой стороны, математический фрактал бесконечно извилист и поэтому имеет бесконечную длину. Таким образом, фрактальная мо- дель имеет и верхний предел применимости. Как отмечено в работе [1], «…верх- ний предел применимости связан с геометрическими размерами тела, размерами трещины, характерным масштабом неоднородности внешних полей и т.д.». Та- ким образом, конечность интервала, на котором проявляются фрактальные свой- ства физических объектов, предопределяет, что, исследователь при нахождении фрактальных характеристик должен сам выбрать этот интервал, при этом все по- лученные с помощью фрактальных объектов соотношения на практике выполня- ются лишь приближённо. Обобщённая фрактальная модель реальной трещины в твёрдом теле Фрактальные особенности процесса разрушения. На сегодняшний день в механике разрушения твёрдых тел сложились ряд представлений о самом ме- ханизме разрушения, которые непосредственно стали основой предложенного в диссертационной работе фрактального подхода. Выделим основные из них. • Необходимость одновременного рассмотрения процессов разрушения, проис- ходящих на различных структурных уровнях. Механика деформируемого твёрдого тела оперирует такими понятиями, в определении которых уже при- сутствует представление о континууме и его свойствах, например, идеально- упругое, идеально-жёсткое тело. Отражением же коллективности процесса разрушения является иерархическая природа деформирования и разрушения, поскольку на микроскопическом уровне процессы макроскопического дефор- мирования связаны с деформацией и разрывом межатомных связей. Это изме- нение не может происходить как изолированный процесс, а всегда только как скоррелированное взаимодействие многих структурных элементов тела. Необ- ходимость одновременного рассмотрения процессов, происходящих на раз- личных структурных уровнях очевидна: при мысленном «дроблении» исполь- зуемых в технике материалов на всё более мелкие кусочки, мы приходим к качественному изменению свойств на некотором уровне. Этот предел не все- гда существует отчётливо, но для таких материалов уже не применима мето- дология континуума. • В качестве параметра, отвечающего за геометрические особенности дефор- мационного рельефа, выступает фрактальная размерность. Физический механизм, вызывающий фрактальный характер разру- шения. Процесс деформации почти всегда сопровождается появлением рельефа на поверхности материалов, формирование которого наблюдается как в пластич- ных, так и в малопластичных металлах и сплавах. Деформационный рельеф, в свою очередь, является результатом изменений, протекающих на разных мас- штабных уровнях. Таким образом, согласно теории дислокаций, параметром, ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 238 управляющим поведением металлических материалов под нагрузкой, является концентрация дислокаций, а переход на каждый последующий дислокационный уровень отображается в преобразовании фрактальной размерности структуры материала. На начальной стадии пластической деформации дислокации равно- мерно распределены по всему объёму. При увеличении уровня деформации об- разуются скопления в виде клубков, и уже наблюдается сложное согласованное поведение, которое не присуще одиночным дислокациям. Оно приводит к значи- тельному усилению диссипации подводимой энергии. В дальнейшем клубки формируются в чётко выраженную ячеистую структуру, которая, по сути, явля- ется фракталом с размерностью D > 1. Достижение значения очередной критиче- ской плотности дислокаций приводит к тому, что границы ячеистой структуры становятся неустойчивыми, и дальнейший сток возникающих дислокаций в эти границы не- возможен. Тогда происходит следующая перестройка струк- туры металла, и возникает поло- счатая структура (рис. 2). Таким образом, возникно- вение трещин в материалах сле- дует рассматривать именно как процесс преобразования фрак- тальной размерности структуры – с трёхмерного объёма матери- ала на две новые двумерные по- верхности разрушения (рис. 3). 1 – трещина (вновь возникшие поверхности с раз- мерностью 2); 2 – переходной слой с простран- ственной размерностью, меняющийся от 3 к 2; 3 – трёхмерный объём основного материала Рисунок 3 – Схема структуры материала вблизи трещины 1 2 3 4 1 – хаотическое распределение; 2 – скопления и клубки; 3 – ячеистая структура; 4 – поло- счатая структура Рисунок 2 – Схематическое изображение структур, возникающих в металлических материа- лах при пластической деформации ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 239 Вблизи вер- шины трещины присутствуют мик- ронесплошности, которые, в свою очередь, сами спо- собны в локальной области материала генерировать про- цесс дальнейшего преобразования структуры. Дру- гими словами, про- исходит процесс «размножения» в пространстве пер- воначальной струк- туры в соответствии с некоторыми коэффициентами, а значит, проявляется са- моподобный характер разрушения. Это обстоятельство объясняет древовидные формы профиля многих реальных трещин (рис. 4). Построение последовательной теории такого сложного взаимодействия пока не представляется возможным и является одной из самых актуальных задач механики разрушения. Однако, привлекая к описанию механизма разрушения фрактальные объекты, а также используя фрактальную размерность в виде пара- метра, характеризующего геометрическую структуру материала, появляется воз- можность распространения методов механики сплошной среды, которая занима- ется изучением механического поведения материала на макроуровне – на микро- уровень сред со структурой. Используя эти эмпирические обобщения, можно построить синергетиче- скую модель реальной трещины в твёрдом теле. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Фрактальная модель реальной трещины Математическая модель. Необходимость в учёте структуры реальных объектов противоречит традиционной для механики сплошной среды операции определения единичного элемента объёма. Как правило, при создании математи- ческой модели процесса разрушения, среда, содержащая трещиноподобные де- фекты, ассоциируется с трёхмерным евклидовым пространством, что делает практически невозможным учесть при этом структурные микродефекты матери- ала. Математические исследования структуры пространства, ассоциируемого с разрушением, начали проводиться ещё в 50-е годы прошлого века, при этом уже тогда было показано, что внутренняя метрика идеального тела не совпадает с метрикой реального материала. Согласно И.А. Миклашевичу [8], пространство, ассоциируемое с разрушением, – «пространство различной геометрической структуры». Рисунок 4 – Формирование древовидных форм трещин ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 240 Следует отметить, что идеальным самоподобием обладают лишь матема- тические фракталы, реальные же фракталы в большинстве случаев самоподобны лишь в статистическом смысле, т.е. при увеличении малого фрагмента особен- ности строения крупного объекта воспроизводятся лишь в среднем, поэтому ма- тематический фрактал можно рассматривать лишь как аппроксимацию реаль- ного процесса разрушения (формирующейся трещины). Таким образом, фрактальные объекты обладают важным свойством для механики трещин, а именно свойством самоподобия. Уже не раз было отмечено, что фрактальные объекты имеют дробную размерность, и связь этой размерно- сти с самоподобием состоит именно в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. По определению, преобразование подобия метрического пространства – это отображение пространства на само себя, при котором все расстояния между точ- ками изменяются в одном и том же отношении. Кроме того, самоподобные объ- екты инвариантны по отношению к аффинному преобразованию: i i ix xλ→ , 1,..., ;i d= причём преобразование имеет групповую структуру, действующую на каждую из величин iλ таким образом, что iλ должно быть функцией от одной из величин набора 1λ : 1 i i ξλ λ= . Величины iξ характеризуют скейлинговые свойства самоподобного объекта, ко- торые ещё называют показателями шероховатости. С другой стороны, под шероховатостью поверхности разрушения пони- мают максимальный размах профиля трещины, который на практике может быть определён различными экспериментальными методами. Известно, что между высотой профиля поверхности трещины z и текущей позицией измерения R вы- явлена пропорциональность: ~z Rξ . Таким образом, показатель степени ξ по физическому смыслу совпадает с пока- зателем шероховатости для самоподобных процессов на определённом масштаб- ном уровне. В 1939 году, ещё до открытия самоподобного характера процесса разруше- ния, В. Вейбуллом, для аппроксимации экспериментальных данных по прочно- сти стали на разрыв была введена функция: 1 ,( , , , ) 0 , t m e tF t t ξ β ω µξ β µ µ  − −      − >=   ≤ где ξ – параметр формы распределения; β – параметр масштаба; µ – параметр сдвига. Случаи ξ = 1 и ξ = 2 описывают экспоненциальное и Рэлеевское распреде- ления соответственно. Анализируя вид функции, в очередной раз отметим функ- циональную зависимость формы поверхности разрушения от показателя шеро- ховатости. ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 241 Таким образом, наиболее близкой математической моделью реальной ше- роховатой трещины в твёрдом теле является математический фрактальный объ- ект. Фрактальная размерность модели должна фигурировать как скейлинговый показатель при описании фрактальных свойств разрушения. Отметим важное об- стоятельство: фрактальные свойства разрушения проявляются по-разному. С од- ной стороны, свойствами фракталов обладают непосредственно измеримые ве- личины, независимые и не зависящие от наблюдателя, такие как длина трещины и профиль поверхности. С другой – это фрактальное распределение характери- стик, связанных с разрушением, например, тензора трещиноватости. В этом слу- чае фрактальные свойства лишь интерпретация наблюдателем объектов и отра- жают как свойства объекта, так и наблюдателя. Поэтому, большинство экспери- ментальных и теоретических исследований, включая данную работу, посвящено определению фрактальных характеристик именно первого рода. Размерность фрактала должна соответствовать степени шероховатости (изрезанности) профиля реальной трещины и находится в интервале от 1 до 2. Сечение формирующейся поверхности разрушения целесообразно моделировать фрактальным объектом размерности от 0 до 1. Случай, когда фрактальная раз- мерность равна 1 соответствует появлению в теле абсолютно гладкой трещины, равенство нулю – идеально сплошная, бездефектная среда, что в обоих случаях практически невозможно для реальных материалов. Синергетическая модель. Рассматривая эмпирические обобщения и при- нимая в качестве математической модели реальной трещины на микроуровне фрактальный объект, можно сделать следующий вывод. Если предположить, что на микроуровне реальная трещина моделируется фрактальной кривой, которая на макроуровне будет иметь вид гладкой кривой, то появится возможность рас- сматривать такую модель в рамках линейной механики разрушения, при этом фрактальные особенности микроуровня можно учитывать в виде скейлингова показателя при получении оценок прочностных характеристик. В этом случае синергетическую модель реальной трещины в твёрдом теле можно представить следующим образом: на микроуровне трещина имеет вид фрактальной кривой, на макроуровне – обычная гладкая трещина, имеющая кроме основного макропараметра – длины, дополнительный – фрактальную раз- мерность микроструктуры. Рассмотрим пример использования предложенной модели реальной тре- щины в рамках линейной механики разрушения. Влияние показателя фрактальной размерности трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений Введение специального параметра, учитывающего особенности микро- структуры контура трещины, позволит получить более точные оценки прочност- ных характеристик. С другой стороны, после введения в алгоритм решения фрак- тальной размерности модельной трещины возникает необычный масштабный фактор, который согласуется с известными теоретическими предположениями, а также экспериментальными исследованиями. К примеру, классическая механика в качестве одного из параметров трещиностойкости конструкции определяет ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 242 длину трещины. В.В. Новожилов отмечал, что в механике разрушения присут- ствует скрытый параметр размерности длины. Другим примером может служить коэффициент интенсивности напряжений. В общем случае нагружения для ком- понент тензора напряжений и вектора перемещений в малой окрестности произ- вольной точки на контуре фронта трещины справедливо представление ( ) ( ) 3 2 1( , ) ( ) (1); 2 ( ) ( ); 2 , 1, 2, 3; 1, 2, 3, ij ij i i r K f O r ru K O r i j β β β β β β σ θ θ π ϕ θ µ π β = + = + = = ∑ ∑ (1) где r, θ – полярные координаты произвольной точки окрестности; 1 2 3 1 2 3( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )ij ij ij i i if f fθ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ – безразмерные функции полярного угла, не зависящие ни от внешней нагрузки, ни от размеров и геометрии тела и тре- щины. Коэффициенты K1, K2, K3 характеризуют перераспределение напряжений и перемещений в теле, обусловленное наличием трещины, и являются функциями величины приложенной к телу нагрузки, размеров и геометрии тела, а главное – длины и формы трещины. Поскольку величина локальных напряжений пропор- циональна этим коэффициентам, то часто напряжённое состояние оценивают по величине Kα, не рассматривая σij. При выводе асимптотических выражений (1) трещина моделировалась прямолинейным разрезом, реальная шероховатость не учитывалась. Напротив, исследования о влиянии физической шероховатости трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений, проведённые А.А. Шанявским, указали на тот факт, что оценка этой величины должна вклю- чать одновременный учёт высоты рельефа, особенности профиля рельефа по направлению роста трещины и перпендикулярно к нему. Как отмечено Микла- шевичем [8], интегральной оценкой влияния этих факторов на коэффициент ин- тенсивности может служить фрактальная размерность трещины. В настоящее время экспериментов по определению показателя фракталь- ной размерности реальных объектов проводится достаточно много, и было бы естественно, в качестве размерности фрактальной модели трещины выбирать размерность профиля реальной исследуемой поверхности разрушения. Но, не- смотря на достаточно большое количество существующих методик определения размерности физических фракталов, различные методы приводят к различным результатам. Нет оснований отдать предпочтение одному из существующих ме- тодов, так как численные значения размерности, полученные тем или иным ме- тодом, коррелируют между собой и отражают особенности исследуемых поверх- ностей. Поэтому даже для близких по своей природе объектов нельзя рассматри- вать фрактальную размерность объекта как его характерное свойство, ничего не говоря об используемом методе измерения этой размерности. Подобные трудности связаны с общим алгоритмом оценки фрактальной размерности: исследуемое пространство делят на небольшие сферы (кубы), под- считывают наименьшее число сфер, необходимых для покрытия интересующего ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 243 нас множества точек, и получают меру величины множества. Таким образом, масштабный уровень ε и выбор покрытия существенно повлияют на показатель фрактальной размерности. Отметим важное и принципиальное обстоятельство: при математическом определении фрактальной размерности структуры, размерность пространства, в котором она рассматривается, не используется, что позволяет избежать введения обобщённых пространств; так, например, Миклашевичем [8] для описания про- цесса разрушения используется пространство Финслера. Другими словами, фрактальные объекты можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Рассмотрим прямоугольную пластинку (в изотропной среде). Длину и ши- рину пластинки считаем большими по сравнению с толщиной, которую для удобства принимаем равной единице: a  1, b  1. В пластинке имеется дефект в виде прямолинейной сквозной трещины малой длины 2l (l  a, l  b). На масштабе ≈10-6 поверхно- сти, образующие полость трещины, имеют шероховатость, которая в каждом сечении поверхностей ха- рактеризуется фрактальной размер- ностью α (рис. 5). Пластинка равно- мерно растягивается в ортогональ- ном к плоскости трещины направле- нии напряжением p. Требуется оце- нить величину коэффициента ин- тенсивности напряжений. Поскольку трещина на макро- уровне имеет вид гладкого прямо- линейного разреза, воспользовав- шись классическим решением линейной механики разрушения и полагая ( ) constp x p= ≡ , получим 1 2 1 2 11 2 (3 2)( ) 3 1 3, ; ; , ( 3 2)(2 ) 2 2 2 2 l f l p x l x lK F l ll α α απ + − Γ + + = + Γ +   где 2 1( , ; ; )F a b c x – гипергеометрическая функция. Для преобразования полученного выражения используем свойство функ- ции 2 1( , ; ; )F a b c x : 2 1 ( ) ( )( , ; ;1) ( ) ( ) c c a bF a b c c a c b Γ Γ − − = Γ − Γ − , при условии 0c a b− − > , 0c a− > , 0c b− > . В итоге, выражение для Kf1 имеет вид Рисунок 5 – Модель плоскости ослабленной прямолинейной трещиной, на микроуровне которой имеется фрактальная шероховатость размерности α ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 244 1 (2 ) ( 1 2) 2 ( ) ( 1)f p lK l α α α α Γ − = Γ Γ + . (2) Графическая интерпретация зависимости величины Kf1 от макроскопиче- ской длины трещины и фрактальной размерности α, характерной для микро- уровня, представлена на рис. 6. Если в (2) положить 1α = , то получаем классическое выражение, соответ- ствующее одномерному разрезу, т.е. 1 1fK K p lπ= = . Анализируя зависимость (2) при фиксированных p и l (рис. 7), отметим, что с увеличением фрактальной размерности (шероховатости, изрезанности контура трещины на микроуровне) происходит снижение интенсивности напряжений в окрестности концентраторов напряжения. Полученный вывод в полной мере со- гласуется с положениями материаловедения. Построение оценки «длины» шероховатого контура При моделировании на микроуровне профиля реальной трещины фрак- тальной кривой возникает проблема нахождения «длины» фрактального кон- тура. Воспользуемся аналогией и обратимся к методам введения геометрической информации в алгоритм решения задач по исследованию явлений, связанных с взаимодействием элек- тромагнитных волн с фракталь- ными контурами и поверхностями. Достаточно простым приёмом ввода геометрической информации в алгоритм решения краевой задачи является аппроксимация некоорди- натных границ покрытиями про- стыми компактами: отрезками, пря- моугольниками, кругами, эллип- сами, шарами и т.д. Применение та- кой аппроксимационной техники к спрямлению контуров и поверхно- стей с использованием конструк- тивных (а не традиционных аксио- матических) определений длины по Минковскому или по Хаусдорфу позволяет обобщить постановку и решение краевых задач для фрак- тальных (физически шероховатых, изрезанных, пористых и т.п.) конту- ров и получить предельные пере- ходы к классическим результатам, Рисунок 6 – Зависимость Kf1 от l и α Рисунок 7 – Зависимость Kf1 от фрактальной размерности α модельной трещины ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 245 соответствующим идеальным гладким моделям. Следует отметить, что определения длины по Минковскому и Хаусдорфу на классе всех спрямляемых простых дуг эквивалентны классическому опреде- лению длины, но, несмотря на большую общность, длина в смысле Минковского (или Хаусдорфа), рассматриваемая на всем классе спрямляемых множеств, вряд ли может считаться «геометрической» длиной. Тем не менее, эти определения обладают рядом важных преимуществ, и самое главное из них: они значительно расширяют класс множеств, относительно которых можно говорить, что они имеют конечную «длину». Как известно, обычную кривую можно измерить, определяя число N(δ) прямолинейных отрезков длины δ, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Для обычной кривой N(δ) = L0/δ, а длина кривой определяется предельным перехо- дом 0 0( )L N Lδ δ δ= → , 0δ → . Множеству точек кривой можно поставить в соответствие и площадь, а также объём (рис. 8). Рисунок 8 – Покрытие кривой квадратами и кубами Указывая число квадратов (кубов) N(δ), необходимых для покрытия, пло- щадь A (объём V) кривой можно записать 2 1 0( )A N Lδ δ δ= → , 3 2 0( )V N Lδ δ δ= → , для 0δ → . Очевидно, для обычной кривой величины A и V обращаются в нуль при 0δ → . Относительно фрактальной кривой (например, сильно изрезанной на микроуровне) можно отметить, что число N(δ) растёт как C αδ − , где 0C L α= , где L0 – макроскопическая длина рассматриваемой кривой. Рассмотрим контур, который на некотором участке имеет фрактально рас- пределённые геометрические точки. Предфрактальный покрывающий компакт Kn, соответствующий модели контура, рассматривается как предел монотонно возрастающей последовательности покрывающих компактов 0 1 2 ... ...i nK K K K K⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ , которым соответствует последовательность уве- личивающихся по длине контуров 0 1 2 ... ...i nl l l l l⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ . Построение покрывающих компактов и соответствующих контуров осу- ществляется следующим образом. Выбирается измеряющий отрезок 1l l∆ < и из- меряется этой мерой фрактальный контур. Количество звеньев, которое уклады- вается на контуре l1 зависит от диаметра l всего фрактального множества (рас- стояние между наиболее удалёнными точками) и ∆l1 в виде функции 1 1( / )l lN f l l∆ = ∆ . Для контура l2 с измеряющим отрезком 2 1l l∆ < ∆ количество по- крывающих звеньев 2 1 1 2( / )l lN f l l∆ ∆ = ∆ ∆ ; для 3l с 3 1l l∆ < ∆ : ( ) 3 1 1 3l lN f l l∆ ∆ = ∆ ∆ и т.д., причём, 1 2 1 2l l l l l lN N N∆ ∆ ∆ ∆× = ; 1 3 1 3l l l l l lN N N∆ ∆ ∆ ∆× = и т.д. Таким образом, в ре- зультате такого измерения «длины» фрактального контура получаем величину ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 246 11 2 1 1 2 1( , ) ... ... nn l l nA l n l l l l N l l l l −− ∆ −= × × × × = × × ∆ × ∆ × × ∆ . В более удобном виде можно записать ( )0( ) ( )L l N l l C l l lα∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ , где C0 – безразмерная постоянная; l – макроскопическая длина. «Длину» фрактального контура можно построить и с помощью обобщения меры величины множества точек в пространстве. Обобщение меры основано на выборе некоторой пробной функции ( ) ( )h αδ γ α δ= , и покрытии множества, об- разуя меру ( )M hα δ= ∑ . Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов гео- метрический коэффициент ( ) 1γ α = , для кругов 4γ π= и для сфер 6γ π= . В общем случае, при 0δ → мера Mα равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора α-размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича D некото- рого множества, есть критическая размерность, при которой мера Mα изменяет своё значение с нуля на бесконечность: 0 , , ( ) ( ) ( ) , .o D M N D α α α δ α γ α δ γ α δ δ α→ > = = →∞ < ∑ Таким образом, Mα – α-мера множества. Значение Mα при Dα = часто ко- нечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении α величина Mα изменяется скачком. Заметим, что в приведён- ном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как ло- кальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства мно- жеств точек в пределе при исчезающем малом диаметре, или размере, δ пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, определённая таким способом фрактальная размерность D, может рассматриваться как локаль- ная характеристика множества, и выступать как параметр для оценки прочност- ных характеристик в локальной зоне вблизи вершины трещины (если эта зона обладает фрактальными особенностями). Мера Mα позволяет отразить существенные различия в свойствах множеств нетривиальной (отличной от 0 и бесконечности) меры для целых и дробных α в терминах самой меры. Это обстоятельство принципиально важно при оценке «длины» фрактальной трещины, так как степень шероховатости или изрезанно- сти непосредственно определяет величину фрактальной размерности, которая, в свою очередь, учитывается при построении меры. Используя обобщение меры величины множества, основанное на выборе некоторой пробной степенной функции, определим протяжённость множества, которое составляет суть фрактального контура. На фрактальном контуре размерности α, вводим меру Хаусдорфа с покры- тием соответственно α – мерными компактами, тогда, принимая во внимание, что ( )( )N l αδ δ= , где l – макроскопическая длина контура (топологическая длина) протяжённость контура составит ( ) ( ) ( ) ( )L N lα α α α γ α δ γ α δ δ γ α= = =∑ . (3) ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 247 Отметим важное обстоятельство – фрактальная «длина» не обладает свой- ством аддитивности. Это несложно показать, рассмотрев два фрактальных раз- реза с одной и той же размерностью α, но разными макроскопическими длинами l1 и l2. Тогда, принимая во внимание (3), длины фрактальных разрезов примут вид 1 1( )L l α αγ α= ; 2 2( )L l α αγ α= . Рассмотрим теперь фрактальный разрез с макроскопической длиной l1+l2: ( )( )1 2L l l αγ α= + . Очевидно, при α > 1: (l1+l2)α > 1l α + 2l α , а следовательно, 1 2d d L L L> + . При использовании конструктивного подхода при оценке длины шерохо- ватого на микроуровне контура появляется возможность обобщить решение ряда задач механики разрушения для трещин, профиль которых на микроуровне об- ладает фрактальными особенностями (физическая шероховатость, изрезанность, пористость и т.п.). Приложение теории интегро-дифференциального исчисления дробного порядка к математическому описанию синергетической модели фрактальной трещины Для описания профиля уже образовавшейся трещины следует выбирать фрактальный объект, размерности 1< α <2, который описывается непрерывной, но при этом не дифференцируемой в каждой точке функцией. Частично эту про- блему можно решать, вводя на фрактальных разрезах меры дробного порядка, используя при этом математическое определение меры Хаусдорфа. Наличие рав- номерной меры позволит применять интегрирование; однако математического аппарата интегрирования (и дифференцирования) целого порядка становится не- достаточно, так как с его помощью достаточно сложно описать структуры с раз- мерностью дробного порядка. Для этой цели обратимся к дифференциальному аппарату дробного исчисления, с помощью которого появляется возможность осуществить фрактальный подход к решению задач механики разрушения. Рас- смотрим, необходимые для дальнейшего изложения, определения дробных ин- тегралов и производных. Для n-кратного интеграла известна формула ( ) ( ) ( ) ( )11... 1 ! x x x x n a a a a dx dx x dx x t t dt n ϕ ϕ−= − −∫ ∫ ∫ ∫ , доказательство которой легко провести методом математической индукции. За- метив, что ( 1)! ( )n n− = Γ , видим, что правой части последнего выражения можно придать смысл и при нецелых значениях n. Поэтому естественно определять ин- тегрирование нецелого порядка следующим образом. Пусть 1( ) ( , )x L a bϕ ∈ , интегралы ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 248 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , ; 1 , , x a a b b x tI x dt x a x t tI x dt x b t x α α α α ϕϕ α ϕϕ α + − − − = > Γ − = < Γ − ∫ ∫ (4) где α > 0, называются интегралами дробного порядка α (дробными интегралами Римана – Лиувилля). Первый из них – правосторонний, второй – левосторонний. Дробное дифференцирование рассматривают как операцию, обратную дробному интегрированию. Для функции f(x), заданной на отрезке [a, b], дроб- ные производные порядка α, 0< α <1, (производные Римана – Лиувилля), соот- ветственно левосторонняя и правосторонняя, имеют вид ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x a a d f t dtD f x dx x t α αα+ = Γ − −∫ , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 b b x d f t dtD f x dx t x α αα− = − Γ − −∫ . Если ( ) ([ , ])f x AC a b∈ , то функция f(x) имеет почти всюду производные ( )aD f xα + и ( )bD f xα − , 0< α <1. Для случая 1α ≥ : если α – целое число, то под дроб- ной производной порядка α понимают обычное дифференцирование; если же α – не целое, то ( ) ( ) ( ) 1 1 n x a n a d f t dtD f n dx x t α αα+ − +  =   Γ −   −∫ , [ ] 1n α= + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n b b n x d f t dtD f n dx t x α αα− − + −  =   Γ −   −∫ , [ ] 1n α= + . Как было отмечено ранее, универсальным элементом покрытия для фрак- тальных кривых может служить α-мерный шар с объёмом, определяемым как α-мерная мера Хаусдорфа (t – диаметр шара) ( ) ( )h t tαγ α= , где (1 2)( ) 2 (1 2) α αγ α α Γ = Γ + , 2 3α< < . (5) Выражение (5) при 1< α <2 можно рассматривать как α-мерную площадь сечения шара, а для 0< α <1 – как α-мерную длину диаметра. С другой стороны, α-мерную меру можно получить обычным интегриро- ванием (α-1)-меры ( ) ( ) ( )1 0 t dxh t t x ααγ α −= −∫ . С учётом выражения (4), энтропийную меру Хаусдорфа можно записать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )01 1 0 0 1 1 , t tdxh t dx I t x t x α α α µ αα α γ α µ α α α +− −= Γ = = Γ Γ− −∫ ∫ (6) ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 249 где 0 ( ( ))Iα µ α+ – интеграл дробного порядка α от функции µ(α) = αΓ(α)γ(α). Из выражения (6) следует, что α-мерная мера Хаусдорфа геомет- рического фрактального объекта может строиться с использованием операции дробного интегрирования (α-1)-меры. Скейлинговый показа- тель α характеризует локальные свойства измеряемого фракталь- ного множества. Геометрически выражение (6) можно интерпретировать следующим обра- зом. Рассмотрим участок (0, t) вдоль оси Ox некоторого плоского фрактального контура размерности α. «Длине» фрактального участка на интервале (0, t) ста- вится в соответствие площадь криволинейной трапеции образованной функцией ( )1 1 t x α−− , другими словами, происходит некоторое «сглаживание» шерохова- того участка рассматриваемого контура (рис. 9). Таким образом, после «сглаживания» участок (0, t) на макроуровне имеет вид гладкой кривой, что делает возможным использование фрактальной модели реальной трещины к описанию процесса разрушения в рамках линейной меха- ники. Сравнительный анализ разработанного фрактального подхода Сравним рассмотренный выше фрактальный подход и полученные при этом основные положения с концепцией математического описания процесса разрушения, предложенной Миклашевичем [8]. Для описания геометрических особенностей реального разрушения им было использовано обобщённое про- странство Финслера. Рассматривая с геометрической позиции процессы упру- гого деформирования, происходящие в идеальном кристалле, он описал их как процессы в римановом пространстве с положительно определённой метрикой, не зависящей от направления. Элемент длины в этой метрике имеет вид: ( ) ( ) ( )r i r j r r ij dx dxdl g dt dt = , где r при переменных обозначает пространство Римана; xi, xj – текущие коорди- наты точки; t – натуральный параметр кривой (в случае распространения тре- щины натуральным параметром выбирают длину трещины); индексы пробегают значения от 0 до размерности пространства. Для среды с микроструктурой метрика зависит не только от положения со- путствующей системы координат, но и от векторного поля, связанного с дефек- тами. Кроме того, на основании физического смысла задачи, геометрические свойства зависят также от направления движения в этом пространстве и не Рисунок 9 – «Сглаживание» участка фрак- тального контура ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 250 только от определяющих характеристик пространства, но и от скоростей. Фрак- тальная размерность трещины определяется Миклашевичем как отношение длин траектории в пространстве Финслера и римановом пространстве. Таким образом, привлечение энтропийной меры Хаусдорфа к получению оценки длины фрактального контура позволяет сделать это наиболее простым и наглядным способом. Используя конструктивное определение «длины» к описа- нию протяжённости фрактальных объектов появляется возможность осуще- ствить фрактальный подход к задачам механики разрушения твёрдых тел, не привлекая специальные пространства. Из приведённого выше можно сделать следующие обобщения: • поскольку предложенный фрактальный подход основан на построении «сгла- живающей» энтропийной меры, его применение к решению задач механики разрушения твёрдых тел позволит рассматривать фрактальные трещины как структуру, вложенную в евклидово пространство и, таким образом, не при- дётся определять расстояния между точками в пространстве, в котором фор- мируется реальная трещина, а также не придётся вводить специальную мет- рику; • «сглаживание» фрактальной шероховатости трещины на микроуровне позво- лит на макроуровне рассматривать её как одномерную гладкую трещину и, та- ким образом, появляется возможность расширить область применения линей- ной механики на трещины, приближенные к реальным; • привлечение интегро-дифференциального аппарата дробного исчисления к разработке фрактального подхода позволило получить выражение для оценки реальной длины трещины; «длине» фрактального контура, с помощью постро- ения α-мерного покрытия, ставится в соответствие площадь криволинейной трапеции образованной функцией порядка α-1. Фрактальное обобщение энергетической концепции разрушения твёрдых тел На основе фрактального подхода проведём энергетическую оценку про- цесса разрушения по деформационным признакам. Известно, что режим разру- шения представлен следующими видами деформаций: упругой, упруго-пласти- ческой, упруго-вязкой, пластической и т.д. Каждому виду деформации свойстве- нен свой энергетический потенциал. Один из способов учёта фрактальной особенности диссипации энергии в зоне формирования трещины – это введение поправок, непосредственно связан- ных с фрактальным характером выделения энергии, в балансовое уравнение Гриффитса. Продемонстрируем это на решении модельных задач механики раз- рушения для случая трещин, которые на микроуровне имеют фрактальные гео- метрические особенности. Связь величины параметра α с физическими макровеличинами: ста- тической вязкостью разрушения и пределом прочности бездефектного ма- териала. При рассмотрении квазихрупких трещин на каждом масштабном уровне длина фрактальной трещины подчинена закону ( )DL l d d= , (7) ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 251 где D – фрактальная размерность поверхности разрушения, определяемая, как правило, одним из экспериментальных методов; d – характерный масштабный параметр, который для каждого уровня, на котором исследуется процесс разру- шения, определяется с помощью соотношения: 2 1 2 2 c c Kd π σ = , (8) где σc – предел прочности бездефектного материала; KIc – статическая вязкость разрушения, определяемая на макромасштабе для прямолинейной трещины ω = π длины 2a. Из выражений (3) и (7) следует, что параметр α, определяющий размер- ность меры покрытия шероховатых участков трещины на некотором масштаб- ном уровне d (принятом в механике разрушения), является одновременно и фрак- тальной размерностью D этих участков. При этом, полагая, что на одном и том же масштабном уровне оба выражения должны давать одинаковую оценку длины фрактального участка, запишем 2 1 2 1 ( 1) 2 d α α α π α α − =  Γ + Γ +    . (9) Таким образом, для оценки величины параметра d получаем выражение, учитывающее только фрактальную размерностью поверхности разрушения 2(1 ) 1 1 12 1 ( 1) 2 d α α α α α π α α − − − =   Γ + Γ +     . (10) Приравнивая правые части (8) и (10), получим неявное выражение для оценки размерности α через экспериментально определяемые на макроскопиче- ском уровне физические величины 2(1 ) 2 1 1 2 1 1 2 2 1 ( 1) 2 c c Kα α α α α π π σα α − − − =   Γ + Γ +     . Задача о накоплении повреждений. С целью описать процесс накопле- ния повреждений при квазихрупком разрушении, Л.М. Качановым было введено понятие параметра сплошности среды ϖ или параметра поврежденности (раз- рыхления). Как известно, эта величина характеризует изменение площади попе- речного сечения образца при его разрушении в условиях неупругой деформации, которая увеличивается со временем под действием постоянного напряжения при постоянной температуре. С помощью параметра поврежденности ϖ Ю.Н. Работновым было пред- ложено кинетическое уравнение поврежденности ( , )d f P dt ϖ ϖ= , (11) ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 252 где P – величина постоянной приложенной нагрузки. Критерием разрушения вы- бирается условие 1 t t ϖ = = , (12) где t – время до разрушения образца. Очевидно, для однозначного решения уравнения (11) необходимо сформу- лировать начальное условие. В реальном материале до приложения нагрузки все- гда имеется определённый уровень поврежденности. Однако, как правило, в кон- тинуальной механике разрушения, до приложения нагрузки материал считают абсолютно бездефектным, т.е. 0 0 t ϖ = = . (13) Используя фрактальный подход и, привлекая непосредственно синергети- ческую модель формирующейся поверхности разрушения, покажем, что условие (13) не отвечает начальному состоянию реального образца. Решим задачу о накоплении повреждений в твёрдом теле, при этом будем придерживаться обобщённой энергетической концепции Гриффитса. Пусть вдоль оси y упругая изотропная плос- кость растягивается на бес- конечности равномерной нагрузкой величины p. При этом вдоль оси x образуется поверхность разрушения, представляющая собой си- стему микротрещин (рис. 10). Рассмотрим разрушения внутри произвольной, достаточно широкой по- лосы / 2 / 2d x d− ≤ ≤ . Пусть d0 – период системы и в рассматриваемую полосу попало N трещин одинаковой длины 2l. Очевидно, разрушение материала можно представить как рост числа периодов N с одновременным увеличением относи- тельной длины трещин 02 /l d внутри этих периодов. Величина относительной длины трещин может быть интерпретирована как параметр поврежденности 0 2l d ϖ = , (14) а выполнение условия (12) соответствует разрыву полосы, т.е. слиянию всех тре- щин в один разрез. Суммарная элементарная работы по формированию поверхности разруше- ния внутри рассматриваемой полосы ( ) ( )( ) 2 20 1 1 1 tg 2 1p d dW NW ν πϖ µ ∗ − ∆ = = − + −  , где 2(1 ) Eµ ν = +  – модуль сдвига; E – модуль Юнга; ν – коэффициент Пуассона. В случае развитого разрушения 1ϖ ≈ и, следовательно, Рисунок 10 – Периодическая система микротрещин ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 253 2 02 (1 ) (1 ) p d dW ν π µ ϖ ∗ − ∆ = − − . (15) Для того чтобы запи- сать выражение для потен- циальной энергии, форми- рующуюся поверхность разрушения на масштабе 10-6 будем представлять в виде фрактального множе- ства с размерностью α из интервала (0, 1) (рис. 11). Случай α = 0 соответ- ствует бездефектному состоянию материала, а α ≥ 1 – образованию поверхности разрушения. Оценку длины реальной трещины внутри полосы / 2 / 2d x d− ≤ ≤ запи- шем в виде ( (1 / 2)) 2 (1 2) dL α α α α ∗Γ = Γ + . Тогда ( (1 / 2))2 2 (1 2) dα α αγ α ∗Γ ∆Π = − Γ + . (16) В соответствии с энергетическим балансовым уравнением Гриффитса, учитывая (15) и (16), для критической нагрузки запишем 2 2 (1 ) ( (1 / 2)) 2 (1 ) (1 2) Np d α α α π µ ϖγ ν α− ∗ − Γ = − Γ +  . (17) Отметим важность полученного выражения: соотношение (17) представ- ляет однозначную зависимость нагрузки, вызывающей разрушение, от пара- метра поврежденности ϖ , числа периодов N системы трещин, возникающих на определённой стадии разрушения, и фрактальной размерности α образующейся при этом поверхности. Другими словами, для каждого уровня нагрузки фрак- тальная размерность формирующейся поверхности разрушения определяет для этой поверхности степень поврежденности. Действительно, с помощью выраже- ния (9) формула (17) примет вид 11 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) Nd dp C N d d αα α π µ ϖγ ϖ ν −− − ∗ ∗  − = = −  −    , где (1 ) C d π µγ ν∗ = −  . Таким образом, для параметра поврежденности имеем Рисунок 11 – Фрактальная модель формирующейся трещины ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 254 1 211 dp CN d α ϖ − ∗ = −     . (18) Очевидно, в момент разрушения полосы, система трещин сливается в сплошной разрез, т.е. можно полагать: 1α ≥ и N → ∞ . Как следует из выражения (18), в этом случае 1ϖ = , что полностью отвечает критерию разрушения (12). Интересно отметить, равенство α = 0 предполагает, что в наблюдаемой по- лосе не должно быть ни единого микроповреждения т.е. N → 0, что совершенно не возможно даже при самых современных технологиях изготовления материа- лов, поэтому выражение (18) следует рассматривать для случаев 0< α <1. Таким образом, возвращаясь к начальному условию (13) кинетического уравнения по- врежденности (11), приходим к заключению, что оно не соответствует началь- ному состоянию реального материала и поэтому требует доработки. Проведённые эксперименты [3] по выявлению существования зависимости между величиной растягивающей нагрузки и величиной фрактальной размерно- сти формирующейся поверхности разрушения однозначно указывают на её су- ществование. Используя фрактальный подход, появляется возможность сделать оценку этой зависимости. С помощью выражений (14) и (18) зависимость фрак- тальной размерности формирующейся поверхности разрушения α (0< α <1) от величины приложенной растягивающей нагрузки p принимает вид 0 22 0 21 ln 1 1 log 2ln 1 (1 ) d d lCN d pp d lNd d d α πµγ ν ∗ ∗  −      = − = +    −  −     . Поскольку * 1d d < , последнее выражение явно указывает на тот факт, что при увеличении приложенной растягивающей нагрузки p, фрактальная размер- ность формирующейся трещины будет также возрастать, что качественно совпа- дает с результатами экспериментов. Фрактальный анализ резин при длительном циклическом разруше- нии. Резины и резиноподобные материалы относятся к упруго-наследственным средам. Известно, что их разрушение представляет собой процесс множествен- ного зарождения и развития микротрещин: в период рассеянного разрушения вплоть до появления макротрещин происходит зарождение, движение, рост и аг- регация различного рода дефектов. Все это позволяет в качестве количественной меры накопления таких дефектов использовать функцию поврежденности, вид которой зависит от физико-механических характеристик материала, механизма разрушения, влияния внешней среды и т.д. При этом разрушение, безусловно, имеет вероятностную природу, а сам процесс накопления повреждений автомо- делен, т.е. подобен самому себе. Поэтому вполне очевидно, что в последнее время в качестве математического аппарата стали использовать аппарат теории множеств дробной размерности – фракталов. В рамках этой модели процесс ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 255 накопления дефектов рассматривается как развитие самоподобного фракталь- ного кластера, а начало его лавинообразного роста обычно интерпретируется как начало появления макротрещин. Ниже рассматривается одна из важнейших сторон механики разрушения – фрактальный анализ поверхности разрушения массивных резиновых образцов при их длительном циклическом нагружении. Использование фрактальной трак- товки разрушения здесь вполне уместно по следующим причинам. Для резин при циклическом нагружении поверхность макротрещин имеет нерегулярную струк- туру с наличием различного рода неровностей. Важной особенностью такой по- верхности является статическое самоподобие рельефа поверхности; при этом свойство самоподобия сохраняется на макро-, мезо- и микроуровнях. Все это позволяет моделировать такую нерегулярную структуру фрактальными поверх- ностями. Изложим имеющуюся экспериментальную информацию в рассматривае- мом контексте в виде кратких эмпирических обобщений. 1. Наблюдаемая экспериментально кинетика разрушения твёрдых тел обу- словила важное эмпирическое обобщение: макроразрушении материала можно рассматривать как процесс множественного микроразрушения; возникновению магистральной трещины предшествует длительный период накопления повре- ждаемости. В резинах это особенно хорошо проявляется при длительных (не- скольких лет) циклических нагрузках. В течение этого периода происходит ве- роятностный процесс зарождения, движения, роста и агрегации микродефектов самого различного вида: пор, субмикротрещин, микротрещин и т.д. При этом процесс развития микродефектов автомоделен, т.е. подобен самому себе: в про- цессе разрушения изменяются лишь размерные параметры, а безразмерные ха- рактеристики микродефектов, например, форма кривой распределения их числа по размерам, остаются без изменений. Фрактограммы поверхности разрушения резин, показанные на рис. 12, подтверждают локальную автомодельность на микро- и макроуровнях. 2. Таким образом, в процессе разрушения каскад микродефектов растёт как самоподобный кластер. Наблюдаемый в резине в реальных условиях фрактальный кластер от- ражает динамику процесса разру- шения, создан по случайному за- кону и на первый взгляд имеет со- вершенно неупорядоченную струк- туру. Тем не менее, исследования показывают, что кластер обладает строгой иерархией структуры и имеет внутренний порядок, являю- щийся фрактальной размерностью кластера. Рисунок 12 – Фрактограмма поверхности усталостного разрушения ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 256 Как известно, реальная поверхность разрушения резин имеет шерохова- тую, нерегулярную структуру, отражающую динамику процесса разрушения. При этом несмотря на кажущуюся хаотичность, поверхность разрушения резины обладает свойствами самоподобия на микро- и макроуровнях. Если площадь S такой самоподобной (автомодельной) поверхности покрыть квадратами со сто- роной R0, то она будет пропорциональна ( ) 2 0 fdS R R −= , где df – фрактальная размерность Хаусдорфа – Бесиковича. Для гладких поверхностей разрушения (в резине они при циклическом раз- рушении не наблюдаются) df = d – 1 и при d = 3 (евклидово пространство) df = 2. Как отмечалось выше, методы фрактального анализа позволяют получить обобщённые соотношения между механическими характеристиками резины и параметрами её структуры. Испытываемые резиновые образцы имели евклидову размерность d = 3; их фрактальная размерность изменялась в пределах 2 ≤ df ≤ 3. Установлено, что именно дробная часть df отражает отклонение структуры ре- ального тела от классического евклидова тела, а величина фрактальной размер- ности поверхности разрушения dp показывает отличие реальной поверхности разрушения (dp > 2) от идеализированной линейной. Если в линейной механике разрушения размерность плоскости принята dp = 2, то в реальных поверхностях разрушения всегда dp > 2. Для композитных материалов с квазивязким разрушением Баланкин А.С. получил выражение, связывающее фрактальную размерность с коэффициентом Пуассона ( )2 1 4 1 2pd ν ν + = + . При ν = 0,5 величина dp = 2 соответствует гладкой поверхности (линейный процесс разрушения). Коэффициент Пуассона может быть определён при испытании образцов на объёмное сжатие. В этом случае можно использовать выражение вида ( ) 1 2 6 1 в Е σ ν ν − = + , где σв – предел вынужденной эластичности. Полученная при фрактографической оценке поверхность разрушения об- разца (рис. 12) соответствовала времени нагружения t = 31350 часов и отмеча- лась полосчатостью, т.е. чередованием усталостных бороздок в виде темных и светлых зон. Для фрактального анализа поверхности разрушения воспользуемся экспе- риментальным приёмом Б. Мандельброта. Мандельброт Б. исследовал поверх- ность разлома металлов; по его мнению, такая поверхность разрушения является поверхностью с локальной фрактальной размерностью, она обладает самоподо- бием и для неё можно использовать соотношения периметра и площади в виде ( ) ( )[ ] 2 ~ pd L Sδ δ ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 257 или ( ) ( )2lg lgpd L Sδ δ= , где dp = d – 1 (здесь, как и выше, dp – фрактальная размерность поверхности раз- рушения); L – длина «береговой линии» шероховатой или светлой зоны на фрак- тограмме; S – площадь этих зон; δ – шаг измерения или так называемый «эталон». На рис. 13 показано соотношение периметра и площади шероховатых зон; длина «береговой линии» (периметр) и площадь измерялись с помощью эталона длины δ = 1 мм при десятикратном увеличении. Аппроксимация зависимости 2~ pdL S даёт фрактальную размеренность dp = 1,98; из этого следует, что в диа- пазоне исследуемых масштабов поверхность разрушения имеет размерность df = 2,98. Представляет определённый интерес использовать полученные результаты для определения коэффициента Пуассона «разрыхлённой» резины 2,981 1 0,490 1 3 1 fd d ν = − = − = − − . При независимых экспери- ментальных исследованиях (объём- ное сжатие цилиндрического об- разца диаметром 20 мм и высотой 15 мм из резины с наработкой t = 31350 часов) получена величина ν = 0,492, которая находится в хоро- шем согласии с этой величиной. Для неразрушенной резины при t = 0 было получено значение коэффициента Пуассона ν = 0,499 и, следовательно, фрактальная раз- мерность образца df = 2,998. Как видно, метод фракталь- ной оценки поверхности разруше- ния позволяет определить макро- структурные характеристики резины по значениям микроструктурных парамет- ров материала без каких-либо подгоночных коэффициентов. Результаты иссле- дований свидетельствует о том, что процесс разрушения резины является нели- нейным; по-видимому, в локальных зонах, т.е. в зонах интенсивного разрушения материала (в данной работе их можно отождествлять с магистральными трещи- нами) нелинейность процесса будет больше, чем в среднем по образцу. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Булат А.Ф., Дырда В.И. Фракталы в геомеханике. – К.: Наук. думка, 2005. – 358 с. 2. Булат А.Ф., Дырда В.И. Фрактальная природа разрушения эластомеров при длительном циклическом нагружении // Гео- техническая механика. – Днепропетровск: Авантаж, 2003. – Вып. 45. – С. 3-22. 3. Щолокова, М.О. Фрактальне узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл: Автореф. дис. канд. техн. наук / М.О. Щолокова. – Запоріжжя, 2007. – 19 с. 4. Щелокова, М.А. Фрактальное обобщение уравнения Гриффитса / М.А. Щелокова // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. – 2004. – №2. – С. 86-89. 5. Щелокова, М.А. Приложение фрактальной геометрии к описанию механизма разрушения / М.А. Щелокова // Проблеми Рисунок 13 – Зависимость lnS ~ lnL для ре- зины ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 258 обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – Дніпропетровськ: Дніпропетровський національний університет, 2004. – Вип. 8. – С. 137-144. 6. Щелокова, М.А. Исследование фрактальных особенностей вершины трещиноподобного дефекта конструкции / М.А. Ще- локова // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – Дніпропетровськ: Дніпропетровський національний університет, 2003. – Вип. 7. – С. 134-141. 7. Мосолов, А.Б. Автомодельность и фрактальная геометрия разрушения / А.Б. Мосолов, О.Ю. Динариев // Проблемы проч- ности. – 1988. – № 1. – С. 3-7. 8. Миклашевич, И.А. Микромеханика разрушения в обобщенных пространствах / И.А. Миклашевич. – Минск: Логвинов, 2003. – 194 с. 9. Турбин, А.Ф. Фрактальные множества, функции, распределения / А.Ф. Турбин, Н.В. Працевитый. – К.: Наукова думка, 1992. – 197 c. REFERENCES 1. Bulat, A.F. and Dyrda, V.I. (2005), Fraktaly v geomekhanike [Fractals in geomechanics], Naukova dumka, Kiev, Ukraine. 2. Bulat, A.F. and Dyrda, V.I. (2003), “Fractal nature of destruction of elastomers under prolonged cyclic loading”, Geo-Technical Mechanics, no. 45, pp. 137-144. 3. Shcholokova, M.O. (2007), “Fractal generalization of the energy criterion for quasi-violent destruction of solids”, Abstract of Ph.D. dissertation, National Academy of Sciences of Ukraine, Zaporizhia, Ukraine. 4. Shchelokova, M.A. (2004a), “Fractal generalization of the Griffith equation”, Innovative Materials and Technologies in Metallurgy and Mechanical Engineering, no. 2, p. 86-89. 5. Shchelokova, M.A. (2004b), “The application of fractal geometry to the description of the mechanism of destruction”, Problems of computational mechanics and strength of structures, no. 8, p. 137-144. 6. Shchelokova, M.A. (2003), “Investigation of fractal singularities of the vertex of a fracture-like structural defect”, Problems of computational mechanics and strength of structures, no. 7, p. 134-141. 7. Mosolov, A.B. and Dinariev, O.Yu. (1988), “Self-similarity and fractal geometry of destruction”, Strength of materials, no. 1, p. 3- 7. 8. Miclashevich, I.A. (2003), Mikromekhanika razrusheniya v obobshchennykh prostranstvakh [Micromechanics of fracture in gen- eralized spaces], Logvinov, Mink, Belarus. 9. Turbin, A.F. and Pratsevity, N.V. (1992), Fraktalnyye mnozhestva, funktsii, raspredeleniya [Fractal sets, functions, distributions], Naukova dumka, Kyiv, Ukraine. Об авторах Щелокова Марина Александровна, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, За- порожский национальный технический университет, Запорожье, Украина, marschel@meta.ua Слободян Сергей Борисович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры общетехнических дисциплин и физики, Подольский государственный аграрно-технический университет, Каменец-Подольск, Украина, sergessb75@gmail.com Дырда Виталий Илларионович, доктор технических наук, профессор, заведующий отделом механики эластомерных конструкций горных машин, Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова Национальной академии наук Украины (ИГТМ НАНУ), Днепр, Украина, vita.igtm@gmail.com About the authors Schelokova Marina Alexandrovna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Department of Applied Mathe- matics in Zaporozhye National Technical University, Zaporizhia, Ukraine, marschel@meta.ua Slobodyan Sergey Borisovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Department of General Technical Disciplines and Physics, State Agrarian and Engineering University in Podilya, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, sergessb75@gmail.com Dyrda Vitaly Illarionovich, Doctor of Technical Sciences (D. Sc.), Professor, Head of Department of Elastomeric Component Mechanics in Mining Machines, Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine (IGTM NASU), Dnipro, Ukraine, vita.igtm@gmail.com Анотація. У статті надано огляд по формуванню уявлень про механізми руйнування твердих тіл, починаючи з кінця дев’ятнадцятого століття. Розглядаються ранні роботи А.Ф. Іоффе, А.А. Гриффитса, Ірвіна, Г.В. Колосова та інших. Відзначається популярність критерію руйнування А.А. Гриффитса, заснованого на енергетичному бала- нсі, для розрахунку руху тріщин. Розглядаються також підходи Е.М. Морозова, J-інтеграл Черепанова-Райса, ро- боти А.А. Лебедєва, В.З. Партон, А.Н. Гузя, І.А. Миклашевича, Г.І. Баранблатта, критерії руйнування Дагдейл, Ле- онова-Панасюка і т.д. Показано, що для опису мікроособливості реальних тріщин доцільно використовувати фра- ктальні моделі. Тому розглядаються такі важливі питання як: загальна схема фрактального підходу, узагальнена фрактальна модель реальної тріщини, вплив показника фрактальної розмірності тріщини на величину коефіцієнта інтенсивності напружень, математичний опис синергетичної моделі фрактальної тріщини. На мікрорівні профіль шорсткої тріщини апроксимується фрактальним об’єктом, на макрорівні тріщина має вигляд гладкого контуру, тому залишаються справедливими класичні постановки задач руйнування, носієм фрак- тальних мікроособливості тріщини виступає додатковий параметр – фрактальна розмірність. Для оцінки реальної «довжини» тріщини будується ентропійна α-мірна міра. За допомогою даного підходу стає можливим фрактальное ISSN 1607-4556 (Print), ISSN 2309-6004 (Online), Геотехнічна механіка. 2018. № 138 259 узагальнення енергетичного критерію руйнування твердих тіл, що містять тріщини, що мають фрактальну особли- вість на мікрорівні. Величина пружної енергії визначається на макрорівні; поверхнева енергія, необхідна для ство- рення двох фрактальних поверхонь, записується з урахуванням того, що на мікрорівні тріщина має фрактальну шорсткість. Такий підхід дозволяє встановити зв’язок між мікро- і макрорівні, при цьому дозволяє перевести на більш високий рівень формалізації поняття про структуру як такої. У висновку статті розглядається фрактальне узагальнення енергетичної концепції руйнування твердих тіл. Зокрема, розглядається задача про накопичення пошкоджень і фрактальний аналіз гум при тривалому циклічному руйнуванні. Для конкретної гуми знайдена величина фрактальної розмірності поверхні руйнування: в початковому стані і при напрацюванні більш 30000 годин при екстремальних циклічних навантаженнях. Показано зміну коефіці- єнта Пуассона для вихідної гуми і «розпушеній» при тривалому втомлені. Ключові слова: деформація, міцність, фрактал, руйнування, тріщина, енергія руйнування. Abstract. The authors present an overview of how the concept of solid destruction mechanisms has been forming since the end of the nineteenth century. Early works of A.F. Ioffe, A.A. Griffiths, Irvine, G.V. Kolosov and others are con- sidered with focusing on popular Griffiths destruction criterion, wihich is based on the energy balance and used for calcu- lating the cracks movement. The overview also includes E.M. Morozov approaches, Cherepanov-Rice J-integral, works of A.A. Lebedev, V.Z. Parton, A.N. Guz, I.A. Miklashevich, G.I. Baranblatt, destruction criteria of Dagdale and Leonov- Panasyuk, and others. It is shown that it is expedient to use fractal models to describe micro-features of real cracks. Therefore, such important issues as: general scheme of fractal approach, generalized fractal model of real crack, effect of the crack fractal dimension on value of the stress intensity factor, mathematical description of synergetic model of the fractal crack are considered. At the microlevel, profile of rough crack is approximated by fractal object; though at the macro level, the crack features a smooth contour. Therefore, classical formulations of fracture problems remain valid, and additional parameter - fractal dimension – is a carrier of the fractal micro-features of the crack. For estimating real “length” of the crack, an entropic α- dimensional measure was constructed. With the help of this approach, fractal generalization of energy criterion for de- struction of crack-contained solids with fractal specificity at the micro level becomes possible. Rate of elastic energy is determined at the macrolevel; surface energy needed for creating two fractal surfaces is recorded with taking into account the fact that at the microlevel, the crack features fractal roughness. Such approach makes it possible to establish a link between micro- and macrolevels, and allows the concept of structure as such to be translated to the higher level of vali- dation. In the conclusion of the article, fractal generalization of the energy concept of solid destruction is considered. In particular, a problem of damage accumulation and fractal analysis of rubbers during long cyclic destruction is considered. Fractal dimension of the fracture surface was found for the concrete rubber in its initial state and after operation under extreme cyclic loading for more than 30,000 hours. A change of Poisson’s ratio for original rubber and rubber “loosened” due to prolonged fatigue is shown. Keywords: deformation, strength, fractal, destruction, crack, fracture energy. Статья поступила в редакцию 12.12.2017 Рекомендовано к печати д-ром техн. наук В.Г. Шевченко sb138.pdf УДК 678.4:539.3 Некоторые проблемы расчета и экспериментальных исследований эластомерных блоков для вибросейсмозащиты зданий и сооружений 1Булат А.Ф., 2Кобец А.С., 1Дырда В.И., 1Лисица Н.И., 3Козуб Ю.Г., 4Гребенюк С.Н., 5Немченко В.В. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, 2Днепровский аграрно-экономический университет, 3Луганский национальный университет им. Тараса Шевченко, 4Запорожский национальный университет, 5ООО «Монодит» Деякі проблеми розрахунку та експериментальних досліджень еластомерних блоків для вібросейсмозахисту будівель і споруд 1Булат А.Ф., 2Кобець А.С., 1Дирда В.І., 1Лисиця М.І., 3Козуб Ю.Г., 4Гребенюк С.М., 5Нємченко В.В. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, 2Діпровський аграрно-економічний університет, 3Луганський національний університет ім. Тараса Шевченка, 4Запорізький національний університет, 5ВАТ «Монодит» Some problems of calculation and experimental studies of elastomeric blocks for vibroseismic protection of buildings and structures 1Bulat A.F., 2Kobets A.S., 1Dyrda V.I., 1Lisitsa N.I., 3Kozub Yu.G., 4Grebenyuk S.N., 5Nemchenko V.V. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine, 2Dnipro State Agrarian and Economic University, 3Luhansk Taras Shevchenko National University, 4Zaporizhzhya National University, 5“Monodit” LLC Список литературы References Об авторах About the authors УДК 621.002.5-752 Разработка и создание вибрационной техники с применением эластомеров для добычи, переработки и обогащения минерального сырья 1Булат А.Ф., 1Дырда В.И., 2Пухальский В.Н., 1Лисица Н.И. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, 2Государственное предприятие «ВостГОК» Розробка та створення вібраційної техніки з використанням еластомерів для видобутку, переробки і збагачення мінеральної сировини 1Булат А.Ф., 1Дирда В.І., 2Пухальський В.Н., 1Лисиця М.І. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, 2Державне підприємство «СхідГЗК» Designing and creation of vibratory equipment with elastomers for mineral mining, processing and dressing 1Bulat A.F., 1Dyrda V.I., 2Puhalskiy V.N., 1Lisitsa N.I. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine, 2Western Mining and Processing Plant 1 Актуальность работы 2 Сущность исследований и их новизна 3 Практическая значимость работы 4 Внедрение результатов работы в промышленность Разработка и внедрение ресурсо- и энергосберегающих технологий для добычи, переработки и обогащения минерального сырья Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.012.2.013.3 (477) Обоснование целесообразности ускоренного развития государственных шахт Украины 1Булат А.Ф., 1Шейко А.В., 1Софийский К.К., 1Бунько Т.В. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Обґрунтування доцільності прискореного розвитку державних шахт України 1Булат А.Ф., 1Шейко А.В., 1Софійський К.К., 1Бунько Т.В. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Grounds for more rapid development of Ukrainian state mines 1Bulat A.F., 1Sheiko A.V., 1Sofiyskiy K.K., 1Bunko T.V. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Выводы Список литературы References Про авторів About the authors УДК 622.267.5 Некоторые вопросы безвзывного проведения выработок по выбросоопасным породам 1Минеев С.П. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Деякі питання безвибухового проведення виробок по викидонебезпечних породах 1Мінєєв С.П. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Some issues on blast-free mining of prone-to-outburst rocks 1Mineev S.P. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine 1. Основные положения концепции развития и затухания выбросов породы и газа 2. Концепция управляемого высвобождения энергии горного массива 3. Проведение стволов проходческими комбайнами 4. Безвзрывное проведение горизонтальных выработок 5. Безвзрывное проведение тоннелей по выбросоопасным породам 7. Физические основы связи параметров акустического сигнала с состоянием породного массива 8 Акустический способ контроля выбросоопасности породного массива при комбайновом проведении выработок Список литературы References Об авторах About the authors УДК 533.6.011: 533.583.2 Некоторые закономерности перемещения метана по фракталам угольного вещества 1Васильковский В.А., 2Минеев С.П. 1Институт физики горных процессов НАН Украины, 2Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Деякі закономірності переміщення метану по фракталам вугільної речовини 1Васильковський В.О., 2Мінєєв С.П. 1Інститут фізики гірничих процесів НАН України, 2Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Some regularities of methane drifting in fractals of coal matter 1Vasilkovsky V.A., 2Mineev S.P. 1Institute for Physics of Mining Processes of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Метод анализа кинетики десорбции и выбор интерполяционной функции Экспериментальная часть Обсуждение экспериментальных результатов Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.267.5 Формирование разгруженной зоны в забое горной выработки в зависимости от скорости ее подвигания 1Круковская В.В. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Формування розвантаженої зони у вибої гірничої виробки залежно від швидкості її посування 1Круковська В.В. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Formation of unloaded zone in the mine face depending on the face advancing rate 1Krukovska V.V. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Список літератури References Про авторів About the authors УДК 622.817 (571.17) Вопросы предупреждения аварий, связанных со взрывами метана в угольных шахтах 1Минеев С.П. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Питання попередження аварій, пов’язаних з вибухами метану у вугільних шахтах 1Мінєєв С.П. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України On the issue of prevention of accidents caused by methane explosions in coal mines 1Mineev S.P. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Список литературы References Об авторе About the author УДК 622.812.2:622.817 О взрыве метана на шахте «Новодонецкая» 1Минеев С.П. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Про вибух метану на шахті «Новодонецька» 1Мінєєв С.П. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України About the methane explosion in the Novodonetskaya mine 1Mineev S.P. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Выводы Список лиитературы References Об авторах About the authors УДК 678.4.06:621.81 Некоторые особенности экспериментальных исследований резиновых футеровок тяжёлых машин в экстремальных условиях 1Дырда В.И., 1Лисица Н.И., 1Калганков Е.В., 1Цаниди И.Н., 1Черний А.А., 1Агальцов Г.Н. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Деякі особливості експериментальних досліджень гумових футерівок важких машин в екстремальних умовах 1Дирда В.І., 1Лисиця М.І., 1Калганков Є.В., 1Цаніді І.М., 1Черній О.А., 1Агальцов Г.М. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Some peculiarities of experimental studies of rubber lining in heavy-duty machines 1Dyrda V.I., 1Lisitsa N.I., 1Kalgankov Ye.V., 1Tsanidy I.N., 1Cherniy A.А., 1Agaltsov G.N. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine 1. Экспериментальные исследования теплового излучения в резиновых футеровках при абразивном износе и ударных нагрузках 2. Экспериментальные исследования резиновой футеровки в условиях воздействия агрессивных сред 3. Экспериментальные исследования резин с добавками фуллерена С60 4. Экспериментальные исследования эффектов старения резиновых футеровок при их длительной эксплуатации 5. Экспериментальные исследования износостойкости резин Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.73:621,926.002.75 Особливості розрахунків гумометалевих елементів з урахуванням ефекту об’ємного стиску 1Дирда В.І., 1Калганков Є.В., 1Цаніді І.М., 1Черній О.А., 2Толстенко О.В., 2Деркач О.Д., 2Кабат О.С. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, 2Дніпровський державний аграрно-економічний університет Особенности расчётов резинометаллических элементов с учётом эффекта объёмного сжатия 1Дырда В.И., 1Калганков Е.В., 1Цаниди И.Н., 1Черний А.А., 2Толстенко А.В., 2Деркач О.Д., 2Кабат О.С. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, 2Днепровский аграрно-экономический университет Specificity of rubber-metal elements calculation with taking into account effect of bulk compression 1Dyrda V.I., 1Kalgankov Ye.V., 1Tsanidy I.N., 1Cherniy A.А., 2Tolstenko A.V., 2Derkach O.D., 2Kabat O.S. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine, 2Dnipro State Agrarian and Economic University Список літератури References Про авторів About the authors УДК 678.4:539.3 Резиновые элементы для защиты машин от вибрации и производственного шума 1Лисица Н.И., 1Твердохлеб Т.Е., 1Заболотная Е.Ю., 2Лисица Н.Н., 3Толстенко А.В. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, 2Днипровский национальный университет им. О. Гончара, Днипровский аграрно-экономический университет Гумові елементи для захисту машин від вібрації і виробничого шуму 1Лисиця М.І., 1Твердохліб Т.О., 1Заболотна О.Ю., 2Лисиця Н.М., 3Толстенко О.В. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, 2Дніпровський національний університет ім. О. Гончара, 3Діпровський аграрно-економічний університет Rubber elements for protecting machines against vibration and in-plant noise 1Lisitsa N.I., 1Tverdokhleb T.Ye., 1Zabolotnaya E.Yu., 2Lisitsa N.N., 3Tolstenko A.V. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine, 2Oles Honchar Dnipro National University, 3Dnipro State Agrarian and Economic University 1. Виброизоляция вентиляторов во взрывозащищённом исполнении 2. Виброизоляция вибрационных грохотов Выводы Список литературы References Об авторах About the authors УДК 678.4.06 Охрана труда в контексте защиты тяжелых машин и сооружений от промышленных вибраций 1Дырда В.И., 1Агальцов Г.Н., 2Толстенко А.В., 3Лисица Н.Н., 1Новикова А.В. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, 2Днипровский государственный аграрно-экономический университет, 3Днипровский национальный университет им. О. Гончара Охорона праці в контексті захисту важких машин і споруд від промислових вібрацій 1Дирда В.І., 1Агальцов Г.М., 2Толстенко О.В., 3Лисиця Н.М., 1Новікова А.В. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, 2Дніпровський державний аграрно-економічний університет, 3Дніпровський національний університет ім. О. Гончара Labor protection in the context of isolation of heavy machinery and structures from industrial vibration 1Dyrda V.I., 1Agaltsov G.N., 2Tolstenko A.V., 3Lisitsa N.N., 1Novikova A.V. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine, 2Dnipro State Agrarian and Economic University, 3Oles Honchar Dnipro National University Введение Защита тяжёлых машин и операторов от вибрации и шума Вынужденные колебания тяжёлых машин с системой виброизоляции Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.724; 622.76 К вопросу о техногенной повреждаемости алмазов 1Монастырский В.Ф. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины До питання про техногенну ушкодженність алмазів 1Монастирський В.Ф. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України On the issue of man-caused damageability of diamond 1Monastyrsky V.F. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Список литературы References Об авторах About the authors УДК 539.3 Напружено-деформований стан гумових та гумовокордних віброізоляторів в умовах температурного та нелінійного деформування 1Клименко М.І., 1Гребенюк С.М., 1Богуславська А.М., 1Гаценко А.В. 1Запорізький національний університет Напряженно-деформированное состояние резиновых и резинокордных виброизоляторов в условиях температурного и нелинейного деформирования 1Клименко М.И., 1Гребенюк С.Н., 1Богуславская А.М., 1Гаценко А.В. 1Запорожский национальный университет Stress-strained state of rubber and rubber-cord vibroinsulators under condition of temperature and nonlinear deformation 1Klymenko M.I., 1Grebenyuk S.M., 1Boguslavska A.M., 1Hatsenko A.V. 1Zaporizhzhya National University Список литературы References Про авторів About the authors УДК 539.3 Динамика вибрационных машин с учётом развивающейся в упругих звеньях повреждённости 1Кобец А.С., 2Дырда В.И., 1Сокол С.П., 2Черний А.А., 1Овчаренко Ю.Н. 1Днепровский аграрно-экономический университет, 2Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Динаміка вібраційних машин з урахуванням пошкодженості що розвивається в пружних ланках 1Кобець А.С., 2Дирда В.І., 1Сокол С.П., 2Черній О.А., 1Овчаренко Ю.М. 1Діпровський аграрно-економічний університет, 2Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Studying of vibration machine dynamics with taking into account damages in the elastic linkages 1Kobets A.S., 2Dyrda V.I., 1Sokol S.P., 2Cherniy A.A., 1Ovcharenko Yu.N. 1Dnipro State Agrarian and Economic University, 2Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.831: 622.537.86 Влияние фильтрации газа на эволюцию магистральной трещины при стационарном подвигании забоя 1Фельдман Э.П., 1Калугина Н.А., 1Чеснокова О.В. 1Институт физики горных процессов НАН Украины Вплив фільтрації газу на еволюцію магістральної тріщини при стаціонарному посуванні вибою 1Фельдман Е.П., 1Калугіна Н.О., 1Чеснокова О.В. 1Інститут фізики гірничих процесів НАН України Influence of gas filtration on main crack development during stationary face drivage 1Feldman E.P., 1Kalugina N.O., 1Chesnokova O.V. 1Institute for Physics of Mining Processes of the National Academy of Sciences of Ukraine Список литературы References Об авторах About the authors УДК 622.647.2 Математична модель кручення лінійної ділянки трубчастого конвеєра 1Кірія Р.В., 1Ларіонов Г.І., 1Ларіонов М.Г. 1Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Математическая модель кручения линейной части трубчатого конвейера 1Кирия Р.В., 1Ларионов Г.И., 1Ларионов Н.Г. 1Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Mathematic model of the belt linear sector twisting in tubular conveyor 1Kiriya R.V., 1Larionov G.I., 1Larionov M.G. 1Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Список литературы REFERENCES Про авторів About the authors УДК 539.3 Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел 1Щелокова М.А., 2Слободян С.Б., 3Дырда В.И. 1Запорожский национальный технический университет, 2Подольский государственный аграрно-технический университет, 3Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины Фрактальний підхід до механіки руйнування твердих тіл 1Щолокова М.О., 2Слободян С.Б., 3Дирда В.І. 1Запорізький національний технічний університет, 2Подільський державний аграрно-технічний університет, 3Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України Fractal approach to solid fracture mechanics 1Schelokova M.A., 2Slobodian S.B., 3Dyrda V.I. 1Zaporozhye National Technical University, 2State Agrarian and Engineering University in Podilya, 3Institute of Geotechnical Mechanics named by N. Polyakov of National Academy of Science of Ukraine Основные представления о механизмах разрушения твёрдых тел Общая схема фрактального подхода Обобщённая фрактальная модель реальной трещины в твёрдом теле Фрактальная модель реальной трещины Влияние показателя фрактальной размерности трещины на величину коэффициента интенсивности напряжений Построение оценки «длины» шероховатого контура Приложение теории интегро-дифференциального исчисления дробного порядка к математическому описанию синергетической модели фрактальной трещины Сравнительный анализ разработанного фрактального подхода Фрактальное обобщение энергетической концепции разрушения твёрдых тел Список литературы References Об авторах About the authors UDC 631.3-1/-9 Upgrading of machines for surface tillage (for cultivators) 1Derkach O.D., 1Makarenko D.O., 1Litvintseva Yu.O., 1Derkach V.D. 1Dnipro State Agrarian and Economic University Підвищення технічного рівня машин для поверхневої обробки грунту (на прикладі культиваторів) 1Деркач О.Д., 1Макаренко Д.О., 1Литвинцева Ю.О., 1Деркач В.Д. 1Дніпровський державний аграрно-економічний університет Повышение технического уровня машин для поверхностной обработки почвы (на примере культиваторов) 1Деркач А.Д., 1Макаренко Д.А., 1Литвинцева Ю.О., 1Деркач В.Д. 1Днепровский государственный аграрно-экономический университет 1. Introduction. Literature Review. 2. Materials andMethods Methot of research of relativeabrasive stability of materials Methods of determination of tribotechnical characteristics and properties of elements of movable connections. Thermal treatment method for protection against environmental impact. 3. Results and Discussion 4. Conclusion Список литературы References Про авторів About the authors

Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел

Репозитарії

Схожі ресурси