Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами

Запропоновано теоретичні підходи до дослідження вільних коливань неідеальних (з малими недосконалостями геометричного характеру) ортотропних циліндричних оболонок при наявності рідинного наповнювача. Відповідну задачу розглянуто в геометрично нелінійній постановці. Основну увагу приділено дослідженн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Кубенко, В.Д., Ковальчук, П.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158748
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158748
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1587482019-09-13T01:25:51Z Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Запропоновано теоретичні підходи до дослідження вільних коливань неідеальних (з малими недосконалостями геометричного характеру) ортотропних циліндричних оболонок при наявності рідинного наповнювача. Відповідну задачу розглянуто в геометрично нелінійній постановці. Основну увагу приділено дослідженню взаємодії та енергообміну між «спряженими» згинними формами оболонок, які враховуються в радіальному динамічному прогині. Проаналізовано вплив початкових прогинів на процеси взаємодії форм початкових прогинів. The theoretical approaches are proposed for studying the natural vibrations of non-ideal (with small imperfections of geometrical character) orthotropic cylindrical shells with a fluid filler. The corresponding problem is considered in the geometrically nonlinear statement. The main attention is drawn to analysis of interaction and energy interchange among the «onjugated» bending shell modes, which are taken into account in the radial dynamical deflection. An effect of deflections on processes of interaction of the modes of initial deflections is analyzed. 2017 Article Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158748 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Запропоновано теоретичні підходи до дослідження вільних коливань неідеальних (з малими недосконалостями геометричного характеру) ортотропних циліндричних оболонок при наявності рідинного наповнювача. Відповідну задачу розглянуто в геометрично нелінійній постановці. Основну увагу приділено дослідженню взаємодії та енергообміну між «спряженими» згинними формами оболонок, які враховуються в радіальному динамічному прогині. Проаналізовано вплив початкових прогинів на процеси взаємодії форм початкових прогинів.
format	Article
author	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С.
spellingShingle	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами Прикладная механика
author_facet	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С.
author_sort	Кубенко, В.Д.
title	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
title_short	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
title_full	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
title_fullStr	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
title_full_unstemmed	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
title_sort	нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158748
citation_txt	Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kubenkovd nelinejnyekolebaniâzapolnennyhžidkostʹûcilindričeskihoboločeksnačalʹnyminesoveršenstvami AT kovalʹčukps nelinejnyekolebaniâzapolnennyhžidkostʹûcilindričeskihoboločeksnačalʹnyminesoveršenstvami
first_indexed	2025-07-14T11:20:33Z
last_indexed	2025-07-14T11:20:33Z
_version_	1837621087512297472
fulltext	2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 2 3 В .Д .К у б е н к о , П .С .К о в а л ь ч у к НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; vdk@inmech.kiev.ua Abstract. The theoretical approaches are proposed for studying the natural vibrations of non-ideal (with small imperfections of geometrical character) orthotropic cylindrical shells with a fluid filler. The corresponding problem is considered in the geometrically nonlinear statement. The main attention is drawn to analysis of interaction and energy interchange among the «onjugated» bending shell modes, which are taken into account in the radial dy- namical deflection. An effect of deflections on processes of interaction of the modes of ini- tial deflections is analyzed. Key words: cylindrical shell, initial imperfection, ideal incompressible fluid, nonlinear vibrations, mode interaction, running and standing waves, energy integral. Введение. Исследованию нелинейных изгибных колебаний тонких, полностью заполненных жидкостью изотропных и композитных цилиндрических оболочек посвящено боль- шое количество публикаций. Систематические обзоры таких исследований представ- лены в работе [11], во вводных частях статей [10, 12, 20], в ряде других публикаций [15 – 19 и др.]. В большинстве исследований рассмотрены задачи динамики оболочки с жидкостью в предположении, что эти оболочки имеют идеальную (без начальных несовершенств) цилиндрическую форму и являются изотропными. Однако, как пока- зывают многочисленные экспериментальные исследования [5, 6, 14] практически ка- ждая натурная цилиндрическая оболочка характеризуется технологическими «иска- жениями» идеальной формы, к которым очень «чувствительны» мембранные усилия [2]. Начальные прогибы, даже очень малые по сравнению с динамическим прогибом, могут существенно влиять на собственные формы оболочек, их частотный спектр (обусловить, к примеру, его «расщепление» на два подспектра [4, 5, 14]), значительно уменьшить величины критических (при которых происходит потеря устойчивости конструкции) статических и динамических нагрузок; изменить величины флаттерных скоростей обтекания газовым потоком аэроупругих элементов конструкций [2, 6, 13]. В ряде случаев геометрические несовершенства могут обусловить также качественное изменение характера геометрической нелинейности – «жесткий» тип нелинейности может перейти в «мягкий» и наоборот. Относительно жидкости, заполняющей оболочки, отметим, что ее влияние прояв- ляется в том, что частотные кривые несущего оболочечного объекта становятся более пологими, вследствие чего частотный спектр «сгущается» и появляются близкие и кратные (резонирующие) частоты [7, 17]. Это приводит к появлению интенсивного 4 взаимодействия между изгибными формами, отвечающего указанным частотам. В результате значительно усложняется напряженно-деформированное состояние объек- та вследствие появления бегущих в окружном направлении изгибных волн, нестацио- нарных и циклических процессов плавного или скачкообразного перехода от одних изгибных форм к другим, наложения различных форм [4, 6, 14]. Следует отметить, что композитная структура материала (ортотропная модель) в сочетании со статическим нагружением также приводят к «сгущению» частотного спектра и появлению так называемых внутренних резонансов. В данной работе изложены теоретические подходы к исследованию двухмодовых (в прогибе учитывается одна пара сопряженных изгибных форм) свободных нелиней- ных колебаний заполненных жидкостью статически нагруженных ортотропных ква- зицилиндрических оболочек при реализации в упруго-жидкостной системе внутрен- него резонанса, который наиболее часто встречается в практических приложениях. §1. Исходные динамические уравнения. Рассмотрим замкнутую, полностью заполненную жидкостью квазицилиндричес- кую (с малым начальным прогибом в радиальном направлении 0w ( , )x y ) ортотропную оболочку конечной длины l , на обоих краях которой реализуются условия классиче- ского свободного опирания (SS1/SS1). Координаты x и y точек срединной поверхно- сти направлены, соответственно, вдоль образующей и по дуге. Предполагаем, что оболочка испытывает одновременно воздействие всестороннего радиального внешне- го давления 0 constq  , а также осевого сжатия 0 constxN N  , равномерно распре- деленного вдоль обеих дуговых кромок. Для описания процесса динамического деформирования оболочки используем уравнения среднего изгиба типа Доннелла – Муштари – Власова [2, 3, 5], имеющие следующий вид:     2 2 2 2 4 01 1 1 1 0 02 2 2 2 2 1 1 0 1 2 1 1 , ; 1 1 2 , . 2 h D P q Rw w w w w L w w Ф N h R h hx t x y w Ф L w w w R x                         (1.1) Здесь h и R – толщина и радиус оболочки;  1 , ,w x y t – «дополнительный» динами- ческий прогиб ( 1 0w w w  – полный, направленный вдоль оси z радиальный прогиб, положителен к центру кривизны);  4 4, , ,D L M N  – дифференциальные операто- ры вида 4 4 4 4 4 4 4 41 1 1 1 1 1 3 2 2 3 14 2 2 4 4 2 2 4 ( ) 2 ; ( ) 2 ;D w w w Ф Ф Ф w D D D Ф x x y y x x y y                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 , M N M N M N L M N x y x yx y y x                 (1.2) где Ф – функция напряжений в срединной поверхности; 1 2 3, ,D D D – жесткостные параметры оболочки, причем   3 1,2 1,2 1 2 , 12 1 E h D     3 1 2 2 ,GD D D   3 /12 ;GD Gh 1 2 3, ,   – компоненты матрицы податливости ортотропного материала: 1,2 1,21 ,E  1 3 1 2 1 21 1 ; , 2 E E G E         – модули упругости в направлении осей x и y, соответствен- но; G – модуль сдвига в плоскости армирования; 1 и 2 – соответствующие коэф- 5 фициенты Пуассона (в силу симметрии упругих свойств ортотропного материала вы- полняется соотношение 1 2 2 1E E  ); hP – гидродинамическое давление жидкости, для определения которого используется полученная из линеаризованного уравнения Бернулли формула 0 ,г r R P t         (1.3) где 0 – плотность жидкости (жидкость предполагается идеальной и несжимаемой, ее движение – потенциальное);  , , ,t x r   – потенциал скоростей жидкости, кото- рый определим, решая краевую задачу [3, 12, 17, 19]: 2 2 2 1 2 2 2 2 00 1 1 0; ; ; 0, xr R r x l w r r r t r tx r r                                                 (1.4) ( , ,x r  ) – цилиндрические координаты: x – направлена вдоль оси оболочки ( 0 );x l  r  радиальная ( 0 r R  ) и  – угловая (0 2 )   координаты. В дальнейшем полагаем, что оболочка при ее контакте с жидкостью не имеет близких (или совпадающих) собственных частот, отвечающих различным параметрам окружного волнообразования. Это дает основание аппроксимировать динамический прогиб 1w упрощенным трехмодовым разложением [2, 6, 13, 18]     1 1 2 3 0cos sin sinn n mw f s y f s y x f X x   , (1.5) в котором рассматриваются сопряженные формы, отвечающие следующим парамет- рам волнообразования: / , /n ms n R m l   (n – количество полных волн в окруж- ном направлении; m – количество полуволн в продольном направлении, 0m  ). Входящие в (1.5) функции времени 1 2 3, ,f f f подлежат определению. Дополни- тельное («корректирующее») слагаемое   0X x отражает обнаруженный в экспери- ментах специфический эффект «преимущественного выпучивания вовнутрь» [2], ха- рактерный для колебаний оболочек с большими прогибами [4 – 6, 14]. Учитывая граничные условия на краях оболочки, зададим функцию   0X x в виде   4 0 sin .mX x x Тогда соответствующий прогибу (1.5) потенциал скоростей , по- лученный из (1.4), имеет вид       03 1 2 1,3,5... 0 1 cos sin sin sin , 2 k nm n n m k k k k k I rf T f s y f s y x M x l I R                 (1.6) где обозначено:        4 02 2 2 2 192 ; ; ; , 4 16 n m m nm k k n n m k k m k m I r k T M I I I R l                – мо- дифицированные функции Бесселя соответствующего порядка;      1 1 2 n m n m n m I I I        ;       0 1; .m m k kR I R I R     Подставляя (1.6) в (1.3) и (1.1) и реализуя метод Бубнова – Галеркина (в качестве весовых функций выбраны функции cos sin ,n ms y x 4sin sin , sinn m ms y x x  , соот- ветственно), выводим систему разрешающих уравнений, составленных относительно искомых функций 1 2, ,f f 3f из (1.5):    2 2 2 2 1 1 1 11 1 2 1 12 1 3 13 1 3 1 ;f f k f f f k f f k f f F       6    2 2 2 2 2 2 2 11 1 2 2 12 2 3 13 2 3 2 ;f f k f f f k f f k f f F       (1.7)      2 2 2 2 2 3 3 3 31 1 2 32 1 2 3 3 .f f k f f k f f f F       Здесь обозначено 1 2 3, ,   – частоты собственных колебаний оболочки:       4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 0 1 2 1 3 2 0 22 01 1 1 2 ; , m n m m n n m n m n q Rs D D s D s N s m h hR s                          4 4 4 2 21 3 02 03 032 8 264 35 5 1 1 , 35 4 3 , 3 ,64 m m n m n m n D s N m h m s sR                          (1.8) где  – оператор вида   4 2 2 4 2 3 1, 2 ;m n m m n ns s s          01 03,m m – параметры при- соединенных масс жидкости:       0 01 1 1 2 1 ;n m m n m n m I R m h I R I R               2 00 03 2 1,3,5,... 0 16 1 ; 35 k k k k k I R M m I Rhl          1, 3; 1, 2, 3ijk i j  – постоянные коэффициенты, характеризующие геометрическую нелинейность идеальной оболочки (когда 0 0w  ). Для их значений имеем формулы: 4 4 2 2 11 12 01 1 2 01 2 3 21 5 ; ; 16 8 ( , ) m n n m m n s s k k m R m s                        4 4 01 01 13 31 12 32 13 03 03 1 4 1 16 32 ; ; . ( , ) (3 , ) (5 , ) 35 35 m n m n m n m n s m m k k k k k s s s m m                    1, 2,3kF k  – функции, зависящие от обобщенных координат 1 2 3, ,f f f и парамет- ров задаваемых начальных прогибов, причем, при 0 0w  функции kF отсутствуют ( 0)kF  . Поскольку влияние начального прогиба 0w на динамические характеристики обо- лочек наиболее существенно проявляется при учете в нем тех же форм, что и в дина- мическом прогибе [2, 4 – 6, 7], в дальнейшем принимаем 0 10 20cos sin sin sin ,n m n mw f s y x f s y x   (1.9) где 10 20,f f = const. Кроме того, по аналогии с [2, 5] определим функцию   3f t , ре- шая «квазистатическую задачу», полагая 3 0f  . Теоретико-экспериментальное обос- нование такого упрощения приведено в ряде публикаций [2, 14 и др.]. Система (1.7) преобразуется тогда к виду  2 1 11 1 1 2 11 1 2 12 1 2 10 20, ( , , , );f f f G f f G f f f f      2 2 22 2 2 1 22 1 2 21 1 2 10 20, ( , , , );f f f G f f G f f f f     (1.10) 2 2 2 231 32 3 1 2 1 22 2 3 3 1 ( ) ( ), k k f f f f f           7 где приняты обозначения 4 4 2 2 2 2 2 10 11 1 10 20 01 1 01 2 ( ) ; 8 8 m s f f f m m            4 4 2 2 2 2 2 20 22 2 10 20 01 1 01 2 ( ) ; 8 8 m s f f f m m            4 1 2 10 20 01 2 ; 8 s f f m       11 22,G G – нелинейные функции, имеющие вид 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 11 1 2 1 13 1 2 1 22 22 1 2 2 23 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )G f f f f f f G f f f f f f            12 31 31 11 11 22 13 12 32 13 31 232 4 3 3 ; ; k k k k k k k k                12 21,G G – нелинейные функции переменных 1f , 2f , коэффициенты которых зависят от параметров начального прогиба 10f , 20f . Отметим, что в случае малых начальных прогибов 0w в сравнении с полным про- гибом w  0w w функции 12 21,G G будут иметь более высокий порядок малости, чем соответствующие функции 11 22,G G . Поэтому при построении решений уравне- ний (1.10) в первом приближении эти функции можно не учитывать. §2. Построение усредненных уравнений. Для построения приближенных периодических решений уравнений (1.10) с ис- пользованием асимптотического метода Боголюбова – Митропольского целесообраз- но предварительно ввести в них замену переменных 1 2; ,f f A B       (2.1) где 2 2 2 2 22 2 11 22 11 2221 11 2 1,2 1 22 2 1 2 22 ( ) ; ; . 2 4 A B                     В новых переменных ,  получим систему уравнений, представленную в «квази- нормальной» форме [1, 9] (разделение переменных осуществлено лишь в линейных частях системы): 2 22 1 2 1 1 2; . H BH H AH A B B A                 (2.2) Функции 1 2,H H совпадают с правыми частями уравнений (1.10), в которых следует учесть замену (2.1). В конечном виде система (2.2) сводится к виду 2 3 2 3 5 4 3 2 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 2 2 3 5 4 3 2 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ; . k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c                                                          (2.3) Постоянные коэффициенты , ( 1 10)i ik c i   в данных уравнениях имеют следую- щий вид:         2 2 2 2 1 11 22 2 11 22 3 11 22; 1 / 1 ; ;k A k A B A k AB                      2 2 2 2 4 11 22 5 13 231 / 1 ; 1 ;k AB B A k A A          8         2 2 2 2 6 13 23 7 13 23 8 13 231 ; 2 1 ; 2 1 ;k AB A k A B k AB B                       2 22 2 2 2 2 9 13 23 10 13 231 / 1 ; 1 / 1 ;k A B A k AB B A                   2 2 2 2 1 11 22 2 11 22 3 11 22; 1 / 1 ; ;c B c B A B c AB                 2 2 4 11 22 1 / 1 ;c AB A B         22 2 5 13 23 1 / 1 ;c AB A B         22 2 2 6 13 23 1 / 1 ;c B A B       2 7 13 232 1 ;c AB A      2 2 8 13 232 1 ;c B A         2 2 2 9 13 23 10 13 231 ; 1 .c AB B c B B         Так как 1 2  (из-за малых значений прогиба 0w ), тогда периодическое решение уравнения (2.3) можно представить в первом приближении в виде 1 1 2 2cos( ); cos( )a t a t         ( 1  ), (2.4) Используя асимптотический метод усреднения Боголюбова – Митропольского [1, 9] выводим уравнения для определения неизвестных функций , , ( 1, 2) :k ka k  2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 2 7 1 9 2 2 6 1 8 2(2 2 )sin 2 ; (2 2 )sin 2 ; 16 16 da a a da a a k k a k a c c a c a dt dt           2 2 2 4 2 2 4 2 21 2 1 1 2 2 5 1 7 1 2 9 2 2 7 1 9 2 1 (3 2 10 3 3 ) ( ) cos 2 ; 8 8 d a k a k a k a k a a k a k k a k a dt             (2.5) 2 2 2 4 4 2 2 2 22 1 1 2 2 1 10 2 6 1 8 1 2 2 6 1 8 2 1 (3 2 10 3 3 ) ( )cos 2 8 2 8 d a c a c a c a c a c a a c c a c a dt                (здесь введены обозначения 2 2 2 1 2 1, ).         Анализируя приведенные выше уравнения, можно исследовать характер дефор- мирования оболочек с жидкостью при наличии начальных прогибов. Рассмотрим сначала частный случай системы (2.2), учитывая в ней нелинейные члены до третьей степени включительно. Именно нелинейность такого порядка рас- сматривается в преобладающем большинстве нелинейных задач по динамике оболо- чек и оболочек с жидкостью. Из первых двух уравнений (2.5) можно тогда получить первый интеграл    2 2 1 2 002 2 2 2 11 10 20 11 20 10 , (1 / ) (1 / ) a t a t C f f f f      (2.6) где 00C – постоянная интегрирования    2 2 1 2 00 2 2 11 0 01 1 1 a a C B A            . С учетом (2.6) порядок системы (2.5) можно уменьшить и свести поставленную задачу к исследованию двух уравнений, составленных относительно неизвестных функций 2 1 2/a k  и  , т.е.     1 2 00 1 2 00 1 sin 2 ; 2 1 cos 2 4 . 4 8 k kd d C k k C dt dt                 (2.7) 9 Отсюда выводим еще один интеграл такого вида:   2 1 2 00 01cos 2 2 8 k kN M C C         const, (2.8) где приняты обозначения   1 2 1 2 00 1 4 ; . 8 4 k k M k k C N       Постоянная интегрирования 01C равна левой части уравнения (2.8) при подстановке в него начальных значений    0 , 0 .     Полученные интегралы (2.6) и (2.8) являются важнейшими динамическими харак- теристиками рассматриваемой упруго-жидкостной системы, описывающими особен- ности ее свободных колебаний при наличии внутреннего резонанса и начальных про- гибов оболочки. В частности, первый интеграл (2.6) показывает, как приданная в на- чальный момент времени энергия будет впоследствии определенным образом «пере- распределяться» между сопряженными формами, учитываемыми в прогибе 1w (1.5). В зарубежной литературе эти формы именуются driven and companion mode. Очевидно, что увеличение амплитуды колебаний по одной из сопряженных изгибных форм бу- дет сопровождаться соответствующим уменьшением амплитуд по второй форме и наоборот. Соответствующие эксперименты [4 – 6, 14] показывают, что переход энер- гии от одной формы к другой осуществляется как бы самопроизвольно – этим процес- сом «управляет» сама упругая система посредством нелинейных связей между ука- занными формами. Второй интеграл (2.8) характеризует энергетическую связь между каждой из форм изгибных колебаний и разностью фаз между колебаниями по обеим взаимодейст- вующим сопряженным формам. Используя уравнение (2.7), рассмотрим установившиеся (стационарные) режимы деформирования несущей оболочки. Приравнивая правые части этих уравнений к нулю, получим три различных стационарных решения 1. 00 0 00 4 0; cos 2 1 ; 0 ; 2 SC C S          2. 00 00 00 4 ; cos 2 1 ; 0; 2 SC C C S           (2.9) 3. 2 2 2 200 00 10 20 11 2 2 10 20 ( ) ; cos 2 1; . 2 2 C SC f f S S f f                Очевидно, что первые два решения (2.9) описывают деформирование несущей оболочки по типу «стоячие» волны. Однако эти решения всегда являются неустойчи- выми. Третье решение отвечает деформированию оболочки в виде двух бегущих в окружном направлении изгибных волн, на которые накладывается осесимметричная форма 0w . Бегущие волны аналитически можно представить в виде 1 1 1 2 2 2( ) cos( ( ) )sin ; ( )sin( ( ) )sin ,n m n mw C t t s y x w C t t s y x       (2.10) где         2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cos 2 ; 2 2 cos 2 ; 2 2 a a B a a B C t t a A a a A a C t t               10        2 1 1 1 2 1 1 2 tg ; tg ctg . a B a A t tg t t t a a            Следует отметить, что в общем случае бегущие волны типа (2.10) характеризуют- ся переменными (периодически изменяющимися со временем) амплитудами 1 2,C C и соответствующими им фазовыми скоростями 1 /f nv s  и 2 / .f nv s  Для осесимметричной формы деформирования 0w имеем формулу          2 2 2 2 431 0 1 1 2 12 3 1 1 cos 2 1 1 cos 2 sin . 2 m k w a A t a B t x                (2.11) Если параметры начального прогиба 10 20,f f удовлетворяют условию 2 2 20 10/f f  2 2 2 1/a a , то обобщенные бегущие волны (2.10) вырождаются в «классические» бегу- щие волны, имеющие постоянные амплитуды 1a и 2a , соответственно, и постоянные фазовые скорости /f nv s  . §3. Интегралы нелинейной системы 5-го порядка. При рассмотрении общей системы (2.2) (с учетом нелинейностей 5-го порядка) первые интегралы типа (2.6) и (2.8) в аналитическом виде построить не удается. Эта проблема может быть решена при определенной «симметрии» начального прогиба (1.9) в окружном направлении, в частности, при 10 20f f . Вместо интеграла (2.6) то- гда имеем [6, 8, 15]  2 2 1 2 20 20 consta a C C   , (3.1) так как в данном случае 2 2 7 6 9 8; 2 ; / 2.k c k c k c   Для выведения интеграла типа (2.8) введем замену 2 1 1 20/a C  . В результате на основании (2.3), (2.1) получим уравнения 1 1 1 0 0 1(1 )sin 2 ; (2 1)cos 2 , 2 d d p p M N dt dt             (3.2) где, как и выше 2 1    ; кроме того, 20 0 1 5 20( 7 ) ; 8 2 C M k k C        20 20 0 1 5 20 1 5 20( 7 ) ; ( ). 8 4 C C N k k C p k k C        Данные уравнения допускают интеграл 2 0 1 0 1 1 1 30 302 (1 )cos 2 ( const),M N p C C         (3.3) который устанавливает связь между параметрами сопряженных форм неидеальной (с начальным прогибом) оболочки заполненной жидкостью при ее свободных колебани- ях. Стационарные решения в данном случае будут иметь вид: 1. 0 0 1 2 1 0; cos 2 ; ; 2 M M p p      2. 0 0 0 0 1 2( ) 1 1; cos 2 , ; 2 M N M N p p         (3.4) 3. 0 1 0 2 ; cos 2 1; 2( ) p M p N       11 4. 0 1 0 2 ; cos 2 1. 2( ) p M p N        Как и в предыдущем случае (когда рассмотрена упрощенная нелинейная модель оболочки), устойчивым является 4-е решение, которое описывает бегущие волны типа (2.10), которые распространяются в окружном направлении. Заключение. Таким образом, в статье предложен подход к аналитическому расчету нелиней- ных колебаний ортотропных квазицилиндрических (с неосесимметричным начальным прогибом) оболочек, полностью заполненных жидкостью. Прогиб оболочек аппрок- симирован одной парой сопряженных изгибных форм в сочетании с корректирующим слагаемым, отражающим специфику нелинейного деформирования оболочечных объ- ектов. Выведена система динамических уравнений для построения приближенных ре- шений, которой использован асимптотический метод Боголюбова – Митропольского. На основании анализа усредненных уравнений получены первые интегралы, опи- сывающие особенности нелинейного взаимодействия и энергообмена между сопря- женными формами несущих оболочек при свободных колебаниях рассматриваемой упруго-жидкостной системы. Определены возможные стационарные режимы дефор- мирования оболочек и исследована их устойчивость. Выявлено, что при взаимодейст- вии сопряженных форм деформирование оболочек по типу «стоячие волны» не могут быть реализованы. Устойчивыми являются лишь режимы бегущих волн, возбуждае- мые при определенных, формируемых начальными прогибами «расстройках» частот, отвечающих сопряженным формам. Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано теоретичні підходи до дослідження вільних коливань неідеальних (з малими недосконалостями геометричного характеру) ортотропних циліндричних оболонок при наявності рідинного наповнювача. Відповідну задачу розглянуто в геометрично нелінійній постанов- ці. Основну увагу приділено дослідженню взаємодії та енергообміну між «спряженими» згинними формами оболонок, які враховуються в радіальному динамічному прогині. Проаналізовано вплив початкових прогинів на процеси взаємодії форм початкових прогинів. 1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.– М.: Наука, 1972. – 432 с. 3. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. – М.: Наука, 1979. – 416 с. 4. Ганиев Р.Ф., Ковальчук П.С. Динамика систем твердых и упругих тел. ( Резонансные явления при нелинейных колебаниях). – М.: Машиностроение, 1980. – 208 с. 5. Динамика элементов конструкций / Под ред. чл.- корр. НАН Украины В.Д.Кубенко. – К.: «АСК», 1999. – 379 с. (Механика композитов. В 12-ти томах. Т. 9). 6. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. – К.: Наук. думка, 1984. – 220 с. 7. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. – К.: Вища шк., 1989. – 280 с. 8. Маневич А.Ю. Взаимодействие сопряженных форм при нелинейных колебаниях кругового кольца // Прикл. матем. и механика. – 1994. – 42, № 6. – С. 119 – 125. 9. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. – К.: Наук. думка, 1971. – 440 с. 10. Amabili M. Theory and experiments for large amplitude vibrations of empty and fluid-filled circular cylindrical shell with imperfections // J. Sound and Vibr. – 2003. – 262. – P. 921 – 975. 11. Amabili M., Paїdoussis M.P. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels with and without fluid-structure interaction // Appl. Mech. Rev. – 2003. – 56, N 4. – P. 349 – 381. 12. Amabili M., Pellicano F., Vakakis A.F. Nonlinear vibrations and multiple resonances of fluid – filled circular shells. – P.1: Equations of motion and numerical results // J. Vibr. And Acoust. – 2000. – 122. – Р. 346 – 354. 12 13. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S. The Stability and Nonlinear Vibrations of Closed Cylindrical Shells Interacting with Fluid Flow (Review) // Int. Appl. Mech. – 2015.– 51, N 1. – P. 18 – 77. 14. Kubenko V.D., Koval`chuk P.S. Experimental Studies of the Vibrations and Dynamic Stability of Lami- nated Composite Shells // Int. Appl. Mech. – 2010. – 45, N 9. – P. 514 − 534. 15. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S. The Modelling of Resonance Processes Nonlinear Interacting Standing and Running Waves in Cylindrical Shells Containing Flowing Fluid // Int.Appl. Mech, − 2014. − 50, N 4. − P. 353 − 364. 16. Kubenko V.D., Kova`lchuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear interaction of bending deformation of free oscillat- ing cylindrical shells // J. of Sound and Vibr. – 2003. – N 265. – P. 245 – 268. 17. Kubenko V.D., Koval`chuk P.S., Kruk L.A. On Free Nonlinear Vibrations of Fluid – Filled Cylindrical Shells with Multiple Natural Frequencies // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 10. – P.1193 − 1203. 18. Kubenko V.D., Koval`chuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear Vibrations of Fluid – Filled Cylindrical Shells under Combined Longitudinal-Transverse Periodic Excitation // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 186 − 194. 19. Pellicano F., Amabili M. Stability and vibration of empty and fluid – filled circular cylindrical shells under static and periodic axial loads // Int. J. of Solids Struct. – 2003. – 40. – P. 3229 – 3251. 20. Pellicano F., Amabili M., Vakakis A.F. Nonlinear vibrations and multiple resonances of fluid – filled circular cylindrical shells. P. 2: Perturbation analysis. Equations of motion and numerical results // J. Vibr. and Acoust. – 2000. – 122. – P. 346 – 354. Поступила 16.06.2016 Утверждена в печать 29.11.2016

Нелинейные колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами

Репозитарії

Схожі ресурси