Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек
У рамках просторової теорії пружності запропоновано два підходи щодо дослідження вільних і вимушених осесиметричних коливань циліндричних оболонок. Вони базуються на поділі даної оболонки на ряд складових оболонок по товщині. У першому підході для апроксимації функцій, що визначаються у плані й по т...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158755 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек / А.В. Марчук, С.В. Гнедаш, С.А. Левковский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 81-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-158755 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1587552019-09-13T01:25:50Z Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек Марчук, А.В. Гнедаш, С.В. Левковский, С.А. У рамках просторової теорії пружності запропоновано два підходи щодо дослідження вільних і вимушених осесиметричних коливань циліндричних оболонок. Вони базуються на поділі даної оболонки на ряд складових оболонок по товщині. У першому підході для апроксимації функцій, що визначаються у плані й по товщині, використано поліноми. У другому – для апроксимації функцій, що визначаються у плані, застосовано лінійні поліноми, а їх розподіл по товщині визначено на основі аналітичного розв'язку відповідної системи диференціальних рівнянь. Необхідність побудови двох підходів обумовлена тим, що їм властиві похибки апроксимації й арифметичних обчислень. При визначенні частот вільних коливань напіваналітичним методом скінченних елементів у комбінації з методом послідовного звуження інтервалу пошуку за початкові зручно приймати значення частот, що отримано на основі скінченно-елементного підходу. Проведено аналіз поведінки оболонок при вільних і вимушених коливаннях у випадку, коли зона навантаження вдвічі менша від товщини оболонки. Two approaches to study of free and forced axisymmetric vibrations of cylindrical shell are proposed within the framework of the spatial theory of elasticity. They are based on representation of the shell in the form of series of shells over the thickness. The first approach uses the linear polynomials in approximation of function that have to be determined in the plane and over the thickness. The second approach also uses the linear polynomials in approximation of function that have to be determined in the plane, but the dependence of functions on thickness is determined from the analytical solution of corresponding system of differential equations. Both approaches have the errors of approximation and arithmetic evaluations. A closeness of results by two approaches can be treated as some element of reliability. While the free vibration frequencies being determined by the semianalytical method of finite elements in combination with the method of successive interval constriction search, it seems to be convenient to choose the initial values of frequencies that are determined by the method of the finite element approach. The behavior of shell for the free and forced vibrations is analyzed in the case when the zone of loading is two times less of the shell thickness. 2017 Article Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек / А.В. Марчук, С.В. Гнедаш, С.А. Левковский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 81-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158755 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
У рамках просторової теорії пружності запропоновано два підходи щодо дослідження вільних і вимушених осесиметричних коливань циліндричних оболонок. Вони базуються на поділі даної оболонки на ряд складових оболонок по товщині. У першому підході для апроксимації функцій, що визначаються у плані й по товщині, використано поліноми. У другому – для апроксимації функцій, що визначаються у плані, застосовано лінійні поліноми, а їх розподіл по товщині визначено на основі аналітичного розв'язку відповідної системи диференціальних рівнянь. Необхідність побудови двох підходів обумовлена тим, що їм властиві похибки апроксимації й арифметичних обчислень. При визначенні частот вільних коливань напіваналітичним методом скінченних елементів у комбінації з методом послідовного звуження інтервалу пошуку за початкові зручно приймати значення частот, що отримано на основі скінченно-елементного підходу. Проведено аналіз поведінки оболонок при вільних і вимушених коливаннях у випадку, коли зона навантаження вдвічі менша від товщини оболонки. |
| format |
Article |
| author |
Марчук, А.В. Гнедаш, С.В. Левковский, С.А. |
| spellingShingle |
Марчук, А.В. Гнедаш, С.В. Левковский, С.А. Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек Прикладная механика |
| author_facet |
Марчук, А.В. Гнедаш, С.В. Левковский, С.А. |
| author_sort |
Марчук, А.В. |
| title |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| title_short |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| title_full |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| title_fullStr |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| title_full_unstemmed |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| title_sort |
свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158755 |
| citation_txt |
Свободные и вынужденные колебания толстостенных анизотропных цилиндрических оболочек / А.В. Марчук, С.В. Гнедаш, С.А. Левковский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 81-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT marčukav svobodnyeivynuždennyekolebaniâtolstostennyhanizotropnyhcilindričeskihoboloček AT gnedašsv svobodnyeivynuždennyekolebaniâtolstostennyhanizotropnyhcilindričeskihoboloček AT levkovskijsa svobodnyeivynuždennyekolebaniâtolstostennyhanizotropnyhcilindričeskihoboloček |
| first_indexed |
2025-07-14T11:21:04Z |
| last_indexed |
2025-07-14T11:21:04Z |
| _version_ |
1837621120119865344 |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 2 81
А .В .Марчук , С .В .Гнедаш , C.А .Левковский
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ
АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Национальный транспортный университет;
ул. Суворова 1, 01010, Киев, Украина: e-mail: ksm_ntu@ukr.net
Abstract. Two approaches to study of free and forced axisymmetric vibrations of cylin-
drical shell are proposed within the framework of the spatial theory of elasticity. They are
based on representation of the shell in the form of series of shells over the thickness. The
first approach uses the linear polynomials in approximation of function that have to be de-
termined in the plane and over the thickness. The second approach also uses the linear poly-
nomials in approximation of function that have to be determined in the plane, but the de-
pendence of functions on thickness is determined from the analytical solution of correspond-
ing system of differential equations. Both approaches have the errors of approximation and
arithmetic evaluations. A closeness of results by two approaches can be treated as some
element of reliability. While the free vibration frequencies being determined by the semi-
analytical method of finite elements in combination with the method of successive interval
constriction search, it seems to be convenient to choose the initial values of frequencies that
are determined by the method of the finite element approach. The behavior of shell for the
free and forced vibrations is analyzed in the case when the zone of loading is two times less
of the shell thickness.
Key words: thick-wall layered cylindrical shell, local loading, free and forced vibra-
tions.
Введение.
В настоящее время в различных областях техники все чаще применяются пласти-
ковые волокнистые цилиндры. Слои таких конструкций обладают анизотропией
свойств. Они подвержены динамическим, близким к резонансным, локальным воздей-
ствиям с величиной зоны нагрузки, соизмеримой с толщиной конструкции, что приво-
дит к трёхмерному напряженно-деформированному состоянию с высокими градиента-
ми его изменения. Это обусловливает необходимость развития соответствующих под-
ходов к расчету подобного рода конструкций. Если расчету свободных колебаний в
трёхмерной постановке посвящено сравнительно большое количество работ, включая [1
– 10, 14 – 25], то вынужденные гармонические колебания толстостенных оболочек
большой кривизны с размером площади нагрузки, соизмеримой с толщиной оболочки
на частотах, близких к резонансным, практически не рассмотрены.
§1. Постановка задачи.
Задачей данной работы является разработка двух подходов, которые позволяют
рассматривать свободные и вынужденные колебания толстостенных оболочек боль-
шой кривизны в условиях осесимметрического изгиба, подверженных локальным ди-
намическим воздействиям с зоной нагрузки, соизмеримой с толщиной оболочки. Не-
обходимость в разработке двух подходов связана с тем, что им присущи погрешности
аппроксимации и арифметических вычислений. Рассмотрение исследовательских за-
дач двумя методами служит дополнительным обоснованием достоверности получае-
82
мых результатов расчета. Оба подхода основаны на разделении цилиндрической обо-
лочки по толщине концентрическими поверхностями на ряд составляющих цилинд-
рических оболочек (рис. 1), достаточно тонких, чтобы можно было пренебречь изме-
нением их кривизны по толщине. Удовлетворяя условиям контакта на внешних по-
верхностях между составляющими оболочками, описывается динамическое состояние
исходной оболочки с дискретным учетом изменения кривизны по толщине.
Рис. 1
В первом подходе для аппроксимации искомых функций и по толщине, и в плане,
привлекаются полиномы. Во втором – для аппроксимации искомых функций в плане
используются полиномы, а их распределение по толщине конструкции определяется
на основе аналитического решения соответствующей системы дифференциальных
уравнений.
§2. Построение конечно-элементного подхода на основе полиномиальной ап-
проксимации.
Компоненты тензора деформаций цилиндрической оболочки в условиях осесим-
метричной деформации определены на основе следующих соотношений (ось x на-
правлена вдоль образующей оболочки):
( )
( )
k
xk
xx
U
e
x
; ( ) ( )1k k
re U
r
;
( )
( )
k
rk
rr
U
e
r
;
( )
( )2
k
k
x
U
e
x
;
( ) ( )
( )2
k k
x rk
xr
U U
e
r x
;
( )
( ) ( )1
2
k
k k
r
U
e U
r r
.
(2.1)
Напряжения, с учетом выражений для деформаций (2.1), записаны на основе за-
кона Гука:
( )( ) ( )
( ) ( )
11 12 13 16
1 kk k
x rk k
xx r
U U U
C C U C C
x r r x
;
( )( ) ( )
( ) ( )
21 22 23 26
1 kk k
x rk k
r
U U U
C C U C C
x r r x
;
( )( ) ( )
( ) ( )
31 32 33 36
1 kk k
x rk k
rr r
U U U
C C U C C
x r r x
;
83
( )( ) ( )
( ) ( )
61 62 63 66
1 kk k
x rk k
rx
U U U
C C U C C
x r r x
;
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
55 45
1kk k
x rk k kk
xr
U U U
C C U
r x r r
; (2.2)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
54 44
1kk k
x rk k k k
r
U U U
C C U
r x r r
.
Используя известную аппроксимацию искомых перемещений по толщине обо-
лочки [11], имеем
( ) ( )( )( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )k kkk k
x pxl plx r x r x rfU U W
x
;
( )( ) ( )( , ) ( ) ( )kk k
l lx r x rfU U ; (2.3)
( )( ) ( )( , ) ( ) ( )kk k
r p px r x rU W , ( 1,2l ; 1,2,3)p .
Здесь ( )
1 ( )k
x xU , ( )
2 ( )k
x xU – тангенциальные перемещения на лицевых поверхностях кон-
струкции; ( )
1 ( )k xU , ( )
2 ( )k xU – окружные перемещения на лицевых поверхностях конст-
рукции; )x(W )k(
1 )x(W )k(
2 – нормальные перемещения на лицевых поверхностях кон-
струкции; )x(W )k(
3 – функция сдвига; ( )
1 ( )k rf , ( )
2 ( )k rf , ( )
1 ( )k r , ( )
2 ( )k r – заданные
полиномы первой степени; ( )
1 ( )k r , ( )
2 ( )k r , ( )
3 ( ) k r – полиномы второй степени;
( )
3 ( ) k r – полиномы третьей степени.
Вариация потенциальной энергии деформации с использованием выражений для
деформаций (2.1) и напряжений (2.2) с учетом введенной аппроксимации по толщине
(2.3) после соответствующих преобразований принимает вид [12]
2( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
0
( ) 1
11 12 13 14 ( )
kL
k k k kxl k
pll lp lp lpk
xUП D D D D xW
x x r
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) 1
15 11 21 ( ) 12
kk
k k k kkl xl
lll ll ll lpk
xx UUD T T x TU
x x r
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
( )1 1 1
22 13 23 14 ( ) ( )
k
pk k k k k k
l xllp ll ll llk k k
xW
T T T T x xU U
xr r r
2( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
( ) 1
21 22 23 24 ( )
k
k k k kxl k
ppl pp pp ppk
xUD D D D xW
x x r
2 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 ( )
( )( ) 1
25 31 41 ( ) 32
kk
pk k k kkl
xlpl pl pl ppk
xx WUD T T x TU
x x r
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
( ) ( )1 1 1
42 33 43 44 ( )
k k
p pk k k k k
lpp pl pl plk k k
x xW W
T T T T xU
x xr r r
84
2( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
1 ( ) 1
31 41 32 42
k
k k k kxl
pl pl pp ppk k
xUD D D D
xr r x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )2 ( )
1 1
12 43 34 44 ( )k k k k k
ppp pp pplp k k
T D D D xW
r r
(2.4)
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
1 ( ) ( )
35 45 ( ) 51
k k
k k kkl xl
ppl pl llk
x xU UD D x DW
x xr
( )2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 ( )
( )1 ( )
52 53 54 ( ) 55
kk
k k k k l lk
plp lp lp llk
xx UUD D D x DW
x xx r
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )1 1
51 61 ( ) 52 62
k
pk k k kk
xlll ll lp lpk k
xW
T T x T TU
xr r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
1 1
53 63 54 ( ) ( )k k k k k
l lll ll llk k
T T T x xU U
r r
( 1,2l ; 1, 2, 3)p ;
l – длина оболочки; 1ka , ka – координаты внешних поверхностей k -той составляю-
щей оболочки по оси r .
Вариация работы внешней нагрузки на лицевых поверхностях слоя имеет вид
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
L
k k kk k k
prpxl lxl l
A q x x q x x q x x dxU W U ( )
3 ( ) 0k
rq x . (2.5)
Вариация кинетической энергии
2
0 1
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
Na tL
k kkk kk k
xl p pl lxl
a t
Т x t r x t r x t rf fUU W
x
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )k k kkk k
p ppp p px t r x t r x t rW WW
x
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )k k kk kk
l xll l llx t r x t r dt x t rf f fUU U (2.6)
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )kk kk k k
pp p plxlx t r x t r x t rfU WW
x x
( ) ( )( ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( )k kk k
pp p px t r x t rWW
2
1
( ) ( )( ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( )k kk k
l l ll
tx t r x t r drdLf fUU t ( 1, 2l ; 1, 2, 3)p .
Искомые функции в плане конструкции определены линейными и кубическими
полиномами
( ) ( ) ( )
1 21 2( ) ( ) ( )k k k
xl xl xlu ux x xf fU U U ; ( ) ( ) ( )
1 21 2( ) ( ) ( )k k k
l l lu ux x xf fU U U ;
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 2 21 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kk
p p p p pw w w wx x x x xf f f fW W W ; (2.7)
85
1( ) 1u x x af ; 2( )u x x af ;
3 2 3
1 3
2 2
( )w
x ax a
xf
a
;
3 2 2
2 2
2
( )w
x ax a x
xf
a
;
3 2
3 3
2 3
( )w
x ax
xf
a
;
3 2
4 2
( )w
x ax
xf
a
, a – длина конечного элемента.
Уравнения равновесия конечного элемента получаем на основе следующего ва-
риационного уравнения:
0П T A .
С учетом введенной аппроксимации (2.7), а также выражений для потенциальной
энергии (2.4), работы внешних сил на лицевых поверхностях слоя (2.5), кинетической
энергии (2.6) они принимают вид:
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 2
0
( ) ( ) 1
11 11 21 ( ) ( ) 12
a
k k k kkus us
xlsus usll ll ll lpk
f x f x
D T T f x f x DU
x x r x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1 1
13 14 ( ) 12 22 ( )k k k k kus wc
pcwc uslp lp lp lpk k
f x f x
D D f x T T f x W
x xr r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
( ) ( ) 1 1
15 13 23 14 ( ) ( )k k k k kus us
lsus usll ll ll llk k
f x f x
D T T T f x f x U
x x r r
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
11 ( ) ( ) 12 ( ) ( ) ( )k kk k k kwc
xls pcus us us us xlsll lp xl
f x
D f x f x D f x q x f x UU W
x
2
( ) ( ) ( )
2 ( )
( ) ( ) ( )1
21 31 41 ( )k k kus wc us
pl pl pl wck
f x f x f x
D D D f x
x xx r
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 2 ( )
( )1 1
31 41 ( ) 22 23k k k kkwc
xlspl pl us pp ppk k
f x
T T f x D DU
xr x r
2 2
( ) ( ) ( )
2 ( ) 2
( ) 1
24 ) ( ) 32 42k k kwc
pp wc pp ppk
f x
D f x D D
x r x
(2.8)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 ( )
1 1 1
33 43 34 44 ( )) ( )k k k k
pp pp pp pp wc wck k k
D D D D f x f x
r r r
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
( ) ( ) ( ) ( )1
32 42 25k k k kwc wc us wc
pcpp pp plk
f x f x f x f x
T T DW
x x xr x
( ) ( )
( )
( )1
35 45 ( )k k us
pl pl wck
f x
D D f x
xr
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )2
( ) ( )1 1
33 43 44 ( ) 21 ( ) kk k k kkwc wc
ls xlspl pl pl us uslpk k
f x f x
T T T f x D f xU U
x xr r
86
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
22 33 ( ) ( ) ( ) ( )
kk k k kwc wc
pcpp pp wc wc rp wcpc
f x f x
D D f x f x q x f x WWx x
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 2
( ) ( ) 1
51 51 61 ( ) ( ) 52k k k kkus us
xlsus usll ll ll lpk
f x f x
D T T f x f x DU
x x r x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1 1
53 54 ( )) 52 62 ( )k k k k kus wc
pcwc uslp lp lp lpk k
f x f x
D D f x T T f x W
x xr r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
( ) ( ) 1 1
55 53 53 54 ( ) ( )k k k k kus us
lsus usll ll ll llk k
f x f x
D T T T f x f x U
x x r r
( )( ) ( ) ( )51 ( ) ( ) ( ) ( ) 0kk k k
lsus us us lsll l
D f x f x q x f x dxUU
.
Здесь ( ) ( )
11
k k
pp WW ; ( ) ( )
12
k k
ppW ; ( ) ( )
23
k k
pp WW ; ( ) ( )
24
k k
ppW .
§3. Методика решения задач на основе полуаналитического метода конечных
элементов.
Наиболее полный обзор по полуаналитическому методу конечных элементов
представлен в [2]. В большинстве рассматриваемых работ по одной из координат ис-
пользуется разложение в ряды, по другим координатам – традиционная конечно-
элементная аппроксимация. В данной работе представлен несколько иной подход.
Уравнения динамического равновесия k -го анизотропного слоя оболочки в сме-
шанной форме имеют вид [1]:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
55 54 0
k k
x r k k kk
xr r
U U
B B
r x
;
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
13 23 63 33
1
0
kk k
x rk k k kk k
r rr
U U U
UB B B B
x r r x
;
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
45 44
1
0
k
r k k kk k
r xr r
U
U B B
r r
; (3.1)
2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
11 12 16 132 2 2
1 1
0
kk k k k k
x r xr rr xk k k kk
xr
U U U U
B B B B
x r x x r r x t
;
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
21 22 262
1 1 1k k k k
x x xr rrk k kk
r
U U
UB B B
r x r r x x r
2 ( )
( ) ( ) ( )
23 2
1 1
0
k
rk k k
rr rr
U
B
r r t
;
2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
16 26 66 362 2 2
1 2
0
k k kk k k
x r rr rk k k k k
r
U U U U
B B B B
x r x x x r r t
,
где жёсткостные характеристики ( )k
ijB определены в следующей взаимосвязи напря-
жений и деформаций:
87
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
11 12 13 16 2k k k k k kk k k
xx xx rr xe e eB B B B ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
21 22 23 26 2k k k k k k kk k
xx rr xe e eB B B B ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
61 62 63 66 2k k k k k k kk k
xx rrx xe e eB B B B ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
33 13 23 36 2k k k k k kk k k
rr xx rr xe e e eB B B B ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
44 45
k k k k k
xrr re B B ; ( ) ( ) ( )( ) ( )
5554
k k kk k
xr xrre B B .
Продольные и окружные напряжения определены согласно закона Гука
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
11 12 13 16
1 kk
xk k k kk k k
xx r rr
U U
UB B B B
x r x
;
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
21 22 23 26
1 kk
xk k k k kk k
r rr
U U
UB B B B
x r x
. (3.2)
Введем следующую аппроксимацию искомых функций перемещений и напряже-
ний в плане конечного элемента [12]:
( ) ( )( )
1 21( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k kk i t
x x xx r t x r x rU v v e ;
( ) ( ) ( )
1 21 2( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k k k i tx r t x r x rU v v e
;
( ) ( )( )
1 21 2( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k kk i t
r x r t x r x rU w w e ;
( ) ( )( )
1 21 2( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k kk i t
xr x xx r t x r x r e ; (3.3)
( ) ( ) ( )
1 21 2( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k k k i t
r x r t x r x r e
;
( ) ( )( )
1 221( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))k kk i t
rr x r t x r x r e ,
где 1( ) 1 /x x a ; 2( ) /x x a ; a длина конечного элемента; ( )( )k
xi rv , ( )( )k
i rv ,
( )( )k
i rw , ( )( )k
xi r , ( )( )k
i r , ( )( )k
i r – искомые функции распределения перемещений и
напряжений в i -м узле (координата x направлена вдоль оболочки).
Известная процедура Бубнова – Галёркина с использованием формулы Грина по-
зволяет преобразовать уравнения (3.1) с учетом выражений для напряжений (3.2) и
введенной аппроксимации (3.3) в уравнения динамического равновесия конечного
элемента:
( ) ( )
01 55 00 45 00
( ) ( ) ( ) ( )
13 01 23 00 01 36 00 33( )
( ) ( )
00 45 00 44 00( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
11 11 00 12 10 16 11 00 13 10( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
21 01 00 21( ) ( ) 2
0 0 0
1
0 0
1
0 0 0
1 1
0
1 1
(
( )
k k
k k k k
k
k k
k
k k k k k
k k
k k k
k k
k B k B k
B k B k k B k B
r
k B k B k
r
B k k B k B k k B k
r r
B k k B
r r
( ) ( )
26 01 10 1 00( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
16 11 26 10 66 11 00 36 10 00( ) ( )
1 1
) ( 1) 0
1 2
0
k k
rk k
k k k k k
k k
B k k B k
r r
B k B k B k k B k k
r r
88
( )
00,
( )
00,
( )
00,
( )
00,
( )
00,
( )
00,
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0( )
k
r x
k
r
k
r
k
r x
k
r
k
r
k v r
k v r
k w r
k r
k r
k r
, (3.4)
где
00
3 6
6 3
a a
k
a a
; 10
1 1
2 2
1 1
2 2
k
; 11
1 1
1 1
a ak
a a
;
01 10
Tk k ; ( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k k
x x xv v r v r ; ( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k kv v r v r ;
( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k kw w r w r ; ( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k k
x x xr r ;
( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k kr r ; ( ) ( ) ( )
1 2( ), ( )k T k kr r .
Далее, с использованием соотношений динамического равновесия для конечного
элемента (3.4), формируем разрешающую систему дифференциальных уравнений для
слоя с учетом кинематических граничных условий на контуре оболочки:
( ) ( )
01 55 00 45 00
( ) ( ) ( ) ( )
13 01 23 00 36 01 33 00( )
( ) ( )
00 45 00 44 00( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
11 11 00 12 10 16 11 00 13 10( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
21 01 00 21( ) ( ) 2
0 0 0
1
0 0
1
0 0 0
1 1
0
1 1
( )
k k
k k k k
k
k k
k
k k k k k
k k
k k k
k k
K B K B K
B K B K B K B K
r
K B K B K
r
B K K B K B K K B K
r r
B K K B
r r
( ) ( )
26 01 10 1 00( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
16 11 26 10 66 11 00 36 10 00( ) ( )
1 1
( 1) 0
1 2
0
k k
rk k
k k k k k
k k
B K K B K
r r
B K B K B K K B K K
r r
( )
00, ( )
00,
( )
00,
( )
00,
( )00,
00,
( )
( )
0 0 0 0 0 0
( )
0 0 0 0 0 0
( )0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0( )
0 0 0 0 0 0
( )
0 0 0 0 0 0
( )
k
x
r k
r
k
r
k
r x
kr
r
k
v r
K
v r
K
w rK
K r
K
r
K
r
, (3.5)
где
( ) ( )
1 1( ) ..., ( ),...
Tk k
xi xiv r v r ; ( ) ( )
2 2( ) ..., ( ),...
Tk k
i iv r v r ;
( ) ( )
3 3( ) ..., ( ),...
Tk k
i iw r w r ; ( ) ( )
4 4( ) ..., ( ),...
Tk k
xi xir r ;
( ) ( )
5 5( ) ..., ( ),...
Tk k
i ir r ; ( ) ( )
6 6( ) ..., ( ),...
Tk k
i ir r ;
i – номер точки, в которой определяются искомые функции.
89
Вектор искомых функций может быть представлен таким образом:
( )
1
( ) ( ) ( )
1 1 1( )
2 ( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
( ) ( )( )
4 44
( )
5
( )
6
(1) ,..., ( ) ,..., ( )
(1) ,..., ( ) ,..., ( )
(1) ,..., ( ) ,..., ( )
(1) ,..., ( ) ,
k
xi
k k k
i i ik
i k k k
i i i
k k k k
i i i i
k kk
i ixi
k
i
k
i
v
j J
v
j J
w j J
j
( )
( )
4
( ) ( ) ( )
5 5 5
( ) ( ) ( )
6 6 6
..., ( )
(1) ,..., ( ) ,..., ( )
(1) ,..., ( ) ,..., ( )
k
k
i
k k k
i i i
k k k
i i i
C
J
j J
j J
,
где
1
1 , , ,
kk k
J
T rk k k kr r
j JС C e C e C e
; ( )k
j – корни характеристического
уравнения разрешающей системы дифференциальных уравнений, которые могут быть
комплексными; ( )
1 ( )k
i j , ( )
2 ( )k
i j , ( )
3 ( )k
i j , ( )
4 ( )k
i j , ( )
5 ( )k
i j , ( )
6 ( )k
i j – её собственные
вектора; ( )k
jC – постоянные интегрирования, определяемые из условий контакта слоев
и условий на лицевых поверхностях в каждом узле сетки разбиения конструкции на
конечные элементы; J общее количество искомых функций в слое.
§4. Результаты числовых исследований.
В качестве конкретной краевой задачи исследуем свободные и вынужденные ко-
лебания четырехслойной цилиндрической оболочки с композитными слоями, которые
повернуты относительно образующей на 45 ; 45 ; 45 ; 45 со следующими
физико-механическими характеристиками: / 5l h ; / 1/ 3h R ; (1) (1)
1 / 30 /1E E ;
(1) (1)
1 / 0,6 /1G E ; (1) (1)
rE E ; (1) (1)
1 1rG G ; (1) (1)/ 0,3 /1rG E ; (1) (1) (1)
12 13 23 0,25 .
Толщины слоев – одинаковые. Опора на контуре – шарнирно-подвижная. Оболочка
нагружена на внешнем слое (слой № 4) нормальной динамической равномерно-
распределенной нагрузкой по центру оболочки sinrq t . Зона нагрузки равна /10l ,
т.е. половине толщины оболочки. Рассматривается половина оболочки, которая раз-
бивается на 100 конечных элементов; под нагрузкой находятся 10 конечных элемен-
тов (рис. 2).
Рис. 2
90
На рис. 3 представлены перемещения оболочки (здесь и далее нормированы на
максимальное перемещение с коэффициентом 0,3; рисунки, полученные по двум
предлагаемым подходам совпадают) при статическом приложении нагрузки ( 0 ).
На рис. 3 и далее слева показаны перемещения rU (отложено вертикально) и xU (от-
ложено горизонтально), справа U (отложено вертикально).
При использовании первого подхода слои, несмотря на высокий порядок аппрок-
симации, разбивались на четыре подслоя, во втором подходе такой необходимости не
возникало.
Рис. 3
В табл. 1 результаты расчета представлены в безразмерном виде ( ( / 2, ) / ( )r r rU U l r E q h
;
( / 2, ) /xx xx rl r q
; (0, ) / rr q
; ( / 2, ) /rr rr rl r q
) для указанного вида на-
грузки. Расчеты величины по первому подходу на основе уравнений (2.8) представле-
ны в колонке П1, по второму подходу на основе уравнений (3.5) представлены в ко-
лонке П2. Величины напряженно-деформированного состояния приведены на грани-
цах слоев.
Таблица 1
rU
xx
rr
Номер
слоя
П1 П2 П1 П2 П1 П2 П1 П2
1
1,2282
1,2455
1,2318
1,2491
–1,5965
0,1197
–1,6452
0,1319
–0,4106
1,0315
–0,4498
1,0472
0,0000
0,1422
0,0000
0,1421
2
1,2455
1,2999
1,2491
1,3035
–1,0453
0,2574
–1,0764
0,2681
–0,1335
1,1033
–0,1610
1,1181
0,1422
0,3542
0,1421
0,3570
3
1,2999
1,4159
1,3035
1,4202
–0,5757
1,4046
–0,6158
1,4511
0,2702
2,2158
0,2342
2,2663
0,3542
0,6847
0,3570
0,6886
4
1,4159
1,5973
1,4202
1,6018
–0,8807
3,0053
–0,9495
3,1402
–0,0695
3,2984
–0,1343
3,4229
0,6847
1,0000
0,6886
1,0000
На рис. 4, а представлены формы колебаний на первой резонансной частоте
( 2
1 1,8925e-001(П1); 1,8904e-001(П2); )(E/h( 1
2
222 ), преимущественно из-
гибной с одной полуволной, а также перемещения при вынужденных колебаниях
(рис. 4, б) при 2 2
1 10,9 (здесь и далее изображены в противофазе).
91
а
б
Рис. 4
В табл. 2 представлены результаты расчета для динамической нагрузки ( 2 2
1 10,9 ).
Таблица 2
rU
xx
rr
Номер
слоя
П1 П2 П1 П2 П1 П2 П1 П2
1
10,050
10,061
10,080
10,090
–8,1840
–-2,3368
–8,2800
–2,3181
0,5760
5,0612
0,5211
5,1021
0,0000
0,0299
0,0000
0,0234
2
10,061
10,067
10,090
10,095
–6,3226
–1,5466
–6,3806
–1,5452
1,0755
4,9636
1,0397
4,9851
0,0299
0,1587
0,0234
0,1613
3
10,067
10,129
10,095
10,158
–1,6982
4,7321
–1,7369
4,8101
4.8120
10,450
4,7934
10,544
0,1587
0,6745
0,1613
0,6747
4
10,129
10,253
10,158
10,281
–1,9375
6,3964
–2,0005
6,5602
3,7808
10,546
3,7332
10,706
0,6745
1,0000
0,6747
1,0000
Первая форма колебаний близка к распределению перемещений при нагрузке
оболочки статической нагрузкой. Характер вынужденных колебаний при 2 2
1 10,9
практически совпадает с формой свободных колебаний на первой резонансной час-
тоте. Коэффициент динамики значительный (сравнение табл. 1 и 2).
92
На рис. 5, а представлены формы свободных колебаний на второй резонансной
частоте ( 2
2 8,9890e-001(П1); 8,9500e-001(П2)), преимущественно изгибной с тремя
полуволнами, а также характер перемещений в вынужденных колебаниях при
2 2
2 20,9 (рис. 5, б) . Характер распределения перемещений в свободных и вынуж-
денных колебаний близок. В табл. 3 представлены результаты расчета для динамиче-
ской нагрузки 2 2
2 20,9 . Коэффициент динамики при такой нагрузке меньше, чем в
предыдущем случае.
а
б
Рис. 5
Таблица 3
rU
xx
rr
Номер
слоя
П1 П2 П1 П2 П1 П2 П1 П2
1
2,1061
2,1211
2,1320
2,1466
-7,0923
2,0117
-7,2969
2,0550
-4,2173
3,5926
-4,3730
3,6573
0,0000
0,0340
0,0000
0,0307
2
2,1211
2,1512
2,1466
2,1760
-4,1786
2,1667
-4,2892
2,2192
-2,5976
3,5437
-2,6870
3,6121
0,0340
0,3534
0,0307
0,3558
3
2,1512
2,2733
2,1760
2,2983
-2,4424
5,2477
-2,4989
5,4167
-1,0654
6,4414
-1,1060
6,6197
0,3534
0,8151
0,3558
0,8195
4
2,2733
2,4243
2,2983
2,4490
-2,7400
8,0043
-2,8199
8,2849
-1,5464
7,4629
-1,6169
7,7222
0,8151
1,0000
0,8195
1,0000
93
На рис. 6, а представлены формы свободных колебаний на третьей резонансной
частоте ( 2
3 2,3642(П1); 2,3625(П2)), которая является преимущественно планарной
с присутствием значительного закручивания (планарно-крутильная), а также формы
распределения перемещений при динамической нагрузке с частотой 2 2
3 30,9 (рис.
6, б) и 2 2
3 30,9999 (рис. 6, в).
а
б
б
в
Рис. 6
Расчеты по первому подходу проведены с разделением каждого слоя на восемь
подслоев. Распределение перемещений при динамической нагрузке 2 2
3 30,9 не
94
совпадает с формой колебаний на третьей резонансной частоте. Статическая нагрузка
вызывает изгибной характер деформирования, а форма колебаний – планарно-
крутильная. Характер деформирования при 2 2
3 30,9 близок к форме колебаний на
четвертой резонансной частоте ( 2
4 2,6809(П1); 2,6580(П2)) (рис. 7), которая являет-
ся, преимущественно, изгибной с пятью полуволнами при заметном закручивании.
Лишь при 2 2
3 30,9999 характер распределения перемещений близок к распреде-
лению перемещений на третьей резонансной частоте.
Рис. 7
В табл. 4 представлены результаты расчета при динамической нагрузке
2 2
3 30,9 . Коэффициент динамики в таком случае – меньше единицы. Исследовать
напряженно-деформированное состояние при 2 2
3 30,9999 не представляется воз-
можным; удалось получить только относительный характер распределения переме-
щений, который совпадает для двух подходов.
Таблица 4
rU
xx
rr
Номер
слоя
П1 П2 П1 П2 П1 П2 П1 П2
1
0,0666
0,0897
0,0705
0,0935
-1,0289
1,0642
-1,0769
1,0796
-0,7498
1,0947
-0,7880
1,1133
0,0000
0,2186
0,0000
0,2187
2
0,0897
0,1694
0,0935
0,1732
-0,4226
0,8896
-0,4480
0,9058
-0,3921
0,9821
-0,4143
1,0014
0,2186
0,4963
0,2187
0,4981
3
0,1694
0,3219
0,1732
0,3259
-0,3789
1,8155
-0,4060
1,8462
-0,2864
1,9918
-0,3104
2,0251
0,4963
0,8254
0,4981
0,8277
4
0,3219
0,5232
0,3259
0,5271
-1,1821
3,4469
-1,2152
3,4973
-1,0363
3,0072
-1,0363
3,0523
0,8254
1,0000
0,8277
1,0000
Заключение.
В данной статье разработано два подхода к исследованию свободных и вынуж-
денных колебаний толстостенных цилиндрических оболочек под воздействием ло-
кальных нагрузок. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки. Они весьма
точны. Недостатки (в модели с полиномиальной аппроксимацией – значительное ко-
личество жёсткостных характеристик и высокий порядок разрешающих уравнений; в
модели с аналитическим определением искомых функций по толщине оболочки –
необходимость определения корней характеристической системы уравнений и её соб-
ственных векторов) в свете современных возможностей вычислительной техники в
95
рассматриваемом классе задач незначительны. При определении частот свободных
колебаний по полуаналитическому методу конечных элементов методом последова-
тельного сужения интервала поиска в качестве начального значения удобно брать
значение частоты свободных колебаний, полученной по модели с полиномиальной
аппроксимацией искомых функций. Эти подходы дополняют друг друга, обосновывая
достоверность получаемых результатов. Проведенные исследования поведения ци-
линдрических оболочек при их локальной гармонической нагрузке с частотами, близ-
кими к резонансным, показывают, что коэффициент динамики тем выше, чем ближе
форма свободных колебаний к форме распределения перемещений при их статиче-
ской нагрузке. В случае приложения статической нагрузки, приводящей к, преимуще-
ственно, изгибному характеру распределения перемещений на частотах, близких к
частотам планарно-крутильных свободных колебаний, интервал возле резонансной
частоты, на которой можно достичь резонанса, очень мал. Форма вынужденных коле-
баний на частотах, близких к резонансным, близка к соответствующим формам сво-
бодных колебаний.
Р Е ЗЮМ Е . У рамках просторової теорії пружності запропоновано два підходи щодо дослід-
ження вільних і вимушених осесиметричних коливань циліндричних оболонок. Вони базуються на
поділі даної оболонки на ряд складових оболонок по товщині. У першому підході для апроксимації
функцій, що визначаються у плані й по товщині, використано поліноми. У другому – для апроксима-
ції функцій, що визначаються у плані, застосовано лінійні поліноми, а їх розподіл по товщині визна-
чено на основі аналітичного розв'язку відповідної системи диференціальних рівнянь. Необхідність
побудови двох підходів обумовлена тим, що їм властиві похибки апроксимації й арифметичних об-
числень. При визначенні частот вільних коливань напіваналітичним методом скінченних елементів у
комбінації з методом послідовного звуження інтервалу пошуку за початкові зручно приймати зна-
чення частот, що отримано на основі скінченно-елементного підходу. Проведено аналіз поведінки
оболонок при вільних і вимушених коливаннях у випадку, коли зона навантаження вдвічі менша від
товщини оболонки.
1. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле-
ментов оболочечных конструкций.– К.: Наук. думка, 1986. – 172 с.
2. Баженов В.А., Гуляр О.І., Сахаров О.С., Солодей І.І. Напіваналітичний метод скінченних елемен-
тів в задачах динаміки просторових тіл. – К., 2012. – 248 с.
3. Altay Gulai, Dokmeci Cengiz M. A polar theory for vibrations of thin elastic shells // Int. J. Solids Struct.
– 2006. – 43, N 9. – P. 2578 – 2601.
4. Amabili M. Effect of boundary conditions on nonlinear vibrations of circular cylindrical panels. // Trans.
ASME. J. Appl. Mech. – 2007. – 74, N 4. – P. 645 – 657.
5. Callanhan J., Baruh H. A Closed-Form Solution Procedure for Circular Cylindrical Shell Vibrations.
//Int. J. Solids and Struct. – 1999. – 36, N 20. – P. 2973 – 3013.
6. Grigorenko O.Ya., Efimova T.L. Free Axisymmetric Vibrations of Solid Cylinders: Numerical Problem
Solving // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – Р. 499 – 508.
7.Grigorenko A. Ya., Loza I.A. Non-Symmetric Waves in a Hollow Layered Cylinder with Piezoceramic
Layers Polarized in the Axial Direction // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 2. – Р. 150 – 158.
8. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Parameters and their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. –2013. – 49,
N 2. – Р. 123 – 193.
9. Hutchinson S.R., El-Arhari S.A. Vibration of free hollow circular cylinder // Trans. ASME. J. Appl. Mech.
– 1986. – 53. – P. 641 – 646.
10. Loy C.T., Lam K.Y. Vibration of thick cylindrical shells on the basis of three-dimensional theory of elas-
ticity // J. Sound and Vibration . – 1999. – 226, N4. – P. 719 – 737.
11. Marchuk A.V., Piskunov V.G. Statics, vibrations and stability of composite panels with gently curved
orthorropic layers. 1. Statics and vibrations // Mechanics of Comp. Materials. – 1999. – 35, N 4. –
P. 285 – 292.
12. Marchuk A.V., Gnidash S.V. Analysis of the Effect of Local Loads on Thick-Walled Cylindrical Shells
with Different Boundary Conditions // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 4. – Р. 368 – 377.
96
13. Piskunov V.G, Marchuk A.V., ІlchenkoYa.L. Free vibrations of thick layered cylindrical shells // Mechan-
ics of Comp. Materials. – 2011. – 47, N 2. – P.177 – 184.
14. Singal R.K., Wiliams K.A. A theoretical and experimental study of vibration of thick circular cylindrical
shells and rings // Trans. ASME. J. of Vibr. Acoust. – 1988. – 110. – P. 532 – 537.
15. Sheng H.Y.,Ye J.Q. A three-dimensional state space finite element solution for laminated composite
cylindrical shells // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. – 2003. – 192. – P. 2441 – 2459.
16. Shuvalov A.I., Soldatos K.P. On the successive approximation method for three-dimension analysis of
radially ingomogeneous tubes with an arbitrary cylindrical anisotropy // J. Sound Vibr. – 2003. – 259,
N 1. – P. 233. – 239.
17. So J.I. Leissa A.W. Free vibrations of the thick hollow circular cylindеrs from 3-d analysis // Trans.
ASME. J. of Vibr. Acoust. – 1997. – 119. – P. 89 – 95.
18. Soldatos K.P. Mechanics of cylindrical shells with noncircular cross-section. A survey // Appl. Mech.
Rev. – 1999.– 52, N8. – P.237 – 274.
19. Sofiyev A.H. Vibration and Stability of Composite Cylindrical Shells Containing a FG Layer Subject to
Various Loads // Structural Engineering and Mechanics. – 2007. – 27. – P. 365 – 391.
20. Suzuki K. Leissa A.W. Free vibrations of noncircular shells having circumferentially varying thickness
// J. Appl. Mech. – 1985. – 52, N1. – P. 149 – 154.
21. Suzuki K., Shikanai G., Leissa A.W. Free vibrations of laminated composite noncircular thin cylindrical
shells // J. Appl. Mech. – 1994. – 61, N 4. – P. 861 – 871.
22. Swaddiwudhipong S., Tian, J., Wang C.M. Vibration of Cylindrical Shells with Intermediate Supports
// J. of Sound and Vibration . – 1995. – 187, N 1. – P.69 – 93.
23. Tahbildar V.G. Gladwell G.M. Finite element analisis of axisymetric vibration of cylinders // J. of Sound
and Vibration . – 1972. – 2, N 1. – P.143 – 157.
24. Wang H. Williams K. Vibrational modes of thick cylinders of finite length // J. of Sound and Vibration. –
1996. – 191, N 5. – P. 955 – 971.
25. Zhang L., XiangY. Vibration of open circular cylindrical shells with intermediate ring supports // Int. J.
Solids Struct. – 2006. – 43, N 13. – P. 3705 – 3722.
Поступила 08.10.2015 Утверждена в печать 29.11.2016
|