О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин

Методом розкладу невідомих функцій в ряди Фур’є за поліномами Лежандра побудовано рівняння пружної рівноваги неоднорідних по товщині трансверсально-ізотропних пластин. Викладено спосіб представлення загального аналітичного розв’язку даних рівнянь. Дано розв’язок задачі про концентрацію напружень біл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Хома И.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158756
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 97-109. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158756
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1587562019-09-13T01:26:14Z О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин Хома И.Ю. Методом розкладу невідомих функцій в ряди Фур’є за поліномами Лежандра побудовано рівняння пружної рівноваги неоднорідних по товщині трансверсально-ізотропних пластин. Викладено спосіб представлення загального аналітичного розв’язку даних рівнянь. Дано розв’язок задачі про концентрацію напружень біля кругового отвору в необмеженій пластині, що перебуває під дією дотичних зусиль. By using an expansion method of unknown functions in a Fourier series of Legendre polynomials the elastic equilibrium equations for an inhomogeneous along the thickness transversally isotropic plate are derived. A method of a representation of the general solution is suggested. A problem on a stress concentration around a circular hole in an unbounded plate under tangential forces is considered. 2017 Article О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 97-109. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158756 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Методом розкладу невідомих функцій в ряди Фур’є за поліномами Лежандра побудовано рівняння пружної рівноваги неоднорідних по товщині трансверсально-ізотропних пластин. Викладено спосіб представлення загального аналітичного розв’язку даних рівнянь. Дано розв’язок задачі про концентрацію напружень біля кругового отвору в необмеженій пластині, що перебуває під дією дотичних зусиль.
format	Article
author	Хома И.Ю.
spellingShingle	Хома И.Ю. О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин Прикладная механика
author_facet	Хома И.Ю.
author_sort	Хома И.Ю.
title	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
title_short	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
title_full	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
title_fullStr	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
title_full_unstemmed	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
title_sort	о представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158756
citation_txt	О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 97-109. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT homaiû opredstavleniirešenijuravnenijravnovesiâfunkcionalʹnoneodnorodnyhtransversalʹnoizotropnyhplastin
first_indexed	2025-07-14T11:21:07Z
last_indexed	2025-07-14T11:21:07Z
_version_	1837621123087335424
fulltext	2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 2 97 И .Ю .Х о м а О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО- ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: reolog@inmech.kiev.ua Abstract. By using an expansion method of unknown functions in a Fourier series of Legendre polynomials the elastic equilibrium equations for an inhomogeneous along the thickness transversally isotropic plate are derived. A method of a representation of the gen- eral solution is suggested. A problem on a stress concentration around a circular hole in an unbounded plate under tangential forces is considered. Key words: transversally isotropic plate, inhomogeneousness, circular hole, stress con- centration. Введение. Решению задач о напряженном состоянии неоднородных оболочек и пластин по- священо много публикаций [7, 14, 15, 24], где используются методы прикладной тео- рии, построенной при помощи упрощающих гипотез [5, 22, 23], или обобщенной тео- рии, содержащей регулярный процесс замены решения трехмерной задачи последова- тельностью решений двумерных задач [3, 6, 21]. Для приведения трехмерных уравне- ний анизотропной среды к двумерным в [9] используется асимптотический метод. В рамках трехмерной теории в [16, 17] найдены решения уравнений равновесия неодно- родных трансверсально-изотропных упругих тел. Задачи о концентрации напряжений около отверстий в однородных и неоднородных телах изложены в [4, 8, 13, 20]. В данной работе методом разложения искомых функций в ряды Фурье по поли- номам Лежандра координаты толщины излагается вывод уравнений равновесия трансверсально-изотропных пластин, модули упругости которых изменяются по тол- щине по линейному закону. Приводится метод представления общего аналитического решения данных уравнений и находится решение задачи о концентрации напряжений около кругового отверстия в неограниченной пластине, находящейся под действием постоянных касательных усилий, приложенных на бесконечности. §1. Постановка задачи. Исходные соотношения. Рассмотрим неоднородную трансверсально-изотропную пластину постоянной толщины 2h  consth  , упругие характеристики которой предполагаются непре- рывными функциями поперечной координаты 3 /x h   1 1   . При этом до- пускается, что коэффициенты Пуассона  и   постоянны, а модули упругости E  , E  и сдвига G  , G  соответственно в плоскости изотропии и нормальной к ней плос- кости представляют собой линейные функции координаты  , т.е. ( )E Ep   ; ( )E E p    ; 2(1 )G E     ; ( )G G p     , где ( ) 1p    , ( ) 1p     , E , E , G и  ,  – константы. 98 На основании формул связи между параметрами ijс  ( , 1, 2, 3)i j  , 44c  , 66c  и тех- ническими характеристиками [2] получаем соотношения (1 )ij ijc c   ; 66 66 (1 )c c   ; 44 44 (1 )c c   , (1.1) в которых ijc , 44c , 66c – постоянные вида 2 11 (1 )e E с     ; 2 12 ( )e E с      ; 13 (1 )E с      ; 2 33 (1 )E с e    ; 66 2(1 )c E G   ; 44c G ; e E E ; 2(1 )(1 2 )e        . Уравнение состояния для трансверсально-изотропного тела записываются таким образом [11, 19]: 11 11 11 12 22 13 33с e с e с e      ; 12 66 122c e   ; 22 12 11 11 22 13 33с e с e с e      ; 13 44 132c e   ; 33 13 11 22 33 33( )с e e с e     ; 23 44 232c e   , (1.2) где ije – компоненты деформаций, выражающиеся через перемещения ju формулами 2 ij i j j ie u u     /j jx    . (1.3) Представляем, следуя [1, 10, 12], компоненты вектора перемещений  1 2 3, ,ju x x x и тензора напряжений  1 2 3, ,ij x x x в виде конечного ряда Фурье по полиномам Ле- жандра ( )kP  координаты толщины    ( ) 1 ( ) 1 2 3 1 2 3 0 ( , , ), ( , , ) ( ), ( ) ( ) N k k j ij j ij k k u x x x x x x u x h x P      , (1.4) где  1 2,x x x – точка на серединной плоскости пластины, совпадающей с плоско- стью изотропии; ( ) ( )k ju x , ( ) ( )k ij x – коэффициенты разложений, именуемые ниже мо- ментами (номер момента соответствует порядку полинома Лежандра); N – натураль- ное число, которое будем считать четным, т. е. 2N n ( 0, 1, ...n    ). §2. Уравнения равновесия. В предположении, что лицевые граничные плоскости 3x h , 3x h  свободны от напряжений, упругое равновесие пластины описывается системой уравнений [19]  (0) 0 1, 2     ; (0) 3 0   ; (2.1)         2 11 3 0 2 1 0 K k k s j j s k h           1,2,3; 1, 2,...,j k N  , (2.2) где  1 / 2;K k  символ  K обозначает целую часть числа K ; по индексу  под- разумевается суммирование от 1 до 2. Принимая во внимание рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра [1] 1 1(2 1) ( ) ( ) ( 1) ( )k k kk P k P k P        , из равенств (1.2) с учетом формул (1.1), (1.3), (1.4) получаем соотношения, связы- вающие моменты напряжений ( )k ij и деформаций ( )k ije , т.е         11 11 11 12 22 13 33 k k k kh с e с e с e    ;     12 66 122k kс he  ;         22 12 11 11 22 13 33 k k k kh с e с e с e    ; 99     13 44 132k kс he  ;       33 13 33 33 k k kh с с e   ;     23 44 232k kс he  , (2.3) где      2 k kke u u           , 1,2   ;      1 3 32 kk ke u h u       ;    1 33 3 k ke h u  ;           11 22 1 1 2 2 k kk k ke e u u        ; (2.4) ( ) ( ) ( 1) ( 1)1 2 1 2 3 k k k kk k u u u u k k              ;        1 1 3 3 3 3 1 2 1 2 3 k k k kk k u u u u k k          ;       2 2 1(2 ) (2 ) 1 2 4 1 n k sk s s k u k u k u u            ; (2.5)       2 1 2(2 1) (2 1)2 4 1 nk sk s s k u k u k u u             . Моменты перемещений (2 ) 3 ku и (2 1) 3 ku  следуют из (2 )ku и (2 1)ku  путем замены ин- декса  на 3 и параметра  на  . Равенства (2.3) – (2.5) совместно с (2.1), (2.2) образуют замкнутую систему урав- нений для определения неизвестных функций. Полагая в данной системе параметры  и  равными нулю, будем иметь уравнения упругого равновесия однородной трансверсально-изотропной пластины. По структуре она распадается на две незави- симые группы уравнений, описывающие, соответственно, симметричное и кососим- метричное (по отношению к срединной плоскости) деформированное состояние. На- личие параметров  и  связывает эти уравнения. §3. Общее аналитическое решение. Изложим метод представления общего аналитического решения системы уравне- ний (2.1) – (2.3). Очевидно, первые два равенства (2.1) будут выполнены, если ввести функцию напряжений  1 2,F x x по формулам  (0) 2 11 2 1 2,F x x   ;  (0) 12 1 2 1 2,F x x    ;  (0) 2 22 1 1 2,F x x   . (3.1) Согласно равенствам (2.4), (2.5) соотношения (2.3) при 0k  принимают вид                 0 0 1 0 1 2 1 21 11 11 11 11 12 22 22 13 3 3 1 / 3 / 3 ; n s s s h с с с h u u                                   0 0 1 0 1 2 1 21 22 12 11 11 11 22 22 13 3 3 1 / 3 / 3 ; n s s s h с с с h u u                   (3.2)       0 0 1 12 66 12 122 / 3с h     ;            0 0 1 2 1 21 33 13 33 3 3 1 / 3 n s s s h с e e с h u u            ;            0 0 1 2 1 21 3 44 3 3 1 2 / 3 n s s s с h u u h u u                 1,2       2 k k ku u          , 1, 2   ;           11 22 1 1 2 2 k k k k ke u u         . (3.3) 100 Учитывая (3.1), определяем из первых трех равенств (3.2) моменты деформаций: (0) (1) 2 2 (2 1) (2 )13 11 11 12 1 11 2 3 32 16666 1 ( ) ( ) 3 24 n s s s c c F c F u u c c hс с h              ; (0) (1) 2 2 (2 1) (2 )13 22 22 11 1 12 2 3 32 16666 1 ( ) ( ) 3 24 n s s s c c F c F u u c c hс с h             ; (3.4)    0 1 12 12 1 2 66 1 3 2 F с h       . Отсюда следует, что (0) (1) (2 1) (2 )13 3 3 166 66 1 ( ) 3 2 n s s s c e e F u u c c h c c h           . (3.5) Согласно (3.5) напряжение  0 33 примет вид       0 2 1 213 1 11 33 33 3 3 1* 66 * 662 n s s s c c c c F u u с с с с        . (3.6) Здесь  – двумерный оператор Лапласа; * 12 661c c c  ; 1 66 11/ ;с с с с  2 13 11 331 /с с с с  . Если внести значения моментов (3.4) в условие совместности деформаций      0 0 02 2 1 22 1 2 12 2 112 0         , то получим уравнение, из которого определим (2 1) (2 )13 66 66 3 3 111 1 11 2 ( ) n s s s c c c cc h F u u u c c c        , (3.7) где u – произвольная гармоническая функция. Исключая F из равенств (3.5) и (3.6), получаем равенство         0 1 2 1 213 3 3 111 1 113 2 n s s s c c e e u u u с h с с         ; (3.8)     2 1 2(0) 13 33 33 3 3 11 112 n s s s cc h u cc u u c c        . Уравнения (2.1) с учетом формул (3.2) сводятся к следующим уравнениям:                 0 1 0 1 2 1 21 66 12 66 13 3 3 1 / 3 / 3 0 n s s s с u u c c e e c h u u                  1, 2  ;         0 1 2 1 21 3 3 1 3 3 n s s s u u h e e         . (3.9) Продифференцируем первое  1  уравнение (3.9) по 1x , а второе  1  – по 2x и по- лученные равенства сложим. Учитывая при этом обозначение (3.3), получаем уравнение         0 1 2 1 213 3 111 0 3 n s s s c e e u u c h               . Отсюда, очевидно, следует равенство (3.8). Если внести значения моментов (2.3) в равенства (2.2), то получим систему урав- нений, соответственно, при четных значениях индекса 2k  1, 2, ...,k n , т.е. 101 (2 ) (2 ) 1 (2 ) 1 (2 1) (2 ) 66 12 66 2 3 44 3 3 0 ( ) (4 1) ( ) k k k k s s k s c u c c c h u k h c u u                      (2 1) (2 ) 1 ( ) (2 ) ( ) (2 1) 13 3 3 44 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 n n s s k s k s s s s k s c u u c h u u                    ( 1, 2)  ; (3.10)                2 2 2 1 2 2 1 21 1 44 3 2 13 44 0 1 4 1 k n k k s s s s k s s k с u c h e k h c e e c e e                           2 * 2 11 33 2 3 2 1 3 1 0 n k s k s s s s c h u u          (3.11) и при нечетных его значениях 2 1k   1, 2, ...,k n :                1 2 1 2 1 2 1 2 2 11 1 66 12 66 2 1 3 44 3 3 0 4 1 k k k k s s k s с u c c c h u k h c u u                                        2 2 1 2 1 * 21 13 3 3 44 2 1 2 1 0 n n s s k s k s s s s k s c u u c h u u                   1,2  ; (3.12)            1 2 1 2 1 2 2 11 1 44 3 2 1 13 0 4 1 k k k s s k s с u c h e k h c e e                             2 2 1 2 1 * 21 44 33 2 1 3 2 3 1 0 n n s s k s k s s s s k s c e e c h u u               . (3.13) Здесь приняты обозначения:     13 44 13 44 2 2 1 , 2 ; 2 2 1 , 2 1; m k c k c m k с k c k c m k                  13 44 13 44 2 1 2 , 2 ; 2 1 2 , 2 1; m k c k c m k с k c k c m k                  2 1 2,k k s s  и    * * 2 1 2,k k s s  – абсолютные константы вида      2 1 2 1 , 1 , 2 1 , ; k s s s s k k k k s n               2 2 1 , 1 , 2 1 , ; k s s s s k k k k s n               * 2 1 2 1 , 1 , 2 1 , ; k s s s s k k k k s n                * 2 2 1 , 1 , 2 1 , . k s s s s k k k k s n         Определим аналитическое решение системы уравнений (3.10) – (3.13). По анало- гии с (3.9) продифференцируем первое  1  уравнение (3.10) по 1x , а второе  2  – по 2x и полученные равенства сложим. В результате имеем уравнение           2 2 2 1 21 1 11 2 3 44 3 3 0 4 1 k k k s s k s с c h u k h c u u                           2 1 2 2 * 2 11 13 3 3 44 2 2 1 1 1 0 n n s s k s k s s s s k s c u u c h e e                . (3.14) 102 После выполнения аналогичных преобразований над уравнениями (3.12) получа- ем равенство                         1 2 1 2 1 2 2 11 1 11 2 1 3 44 3 3 0 2 2 1 2 1 * 21 13 3 3 44 2 1 2 1 4 1 ( ) 0. k k k s s k s n n s s k s k s s s s k s с c h u k h c u u c u u c h e e                                    (3.15) Из (3.15) при 1n  с учетом значений (3.8), (3.9) имеем уравнение (1) (2) (2 ) (2 1)13 13 3 3 1 21 11 1 11 3 22 0 5 n n s s s s c c e e u u c h c h                   , из которого определим (1) (2) (2 ) (2 1)13 13 3 3 1 21 11 1 11 66 3 22 5 n n s s s s c c сh e e u u u c h c h c                , где u – произвольная гармоническая функция; 2 1 1 / 3    . Равенства (3.14), (3.15) совместно с (3.11), (3.13) образуют систему уравнений по- рядка  2 4 1n  относительно моментов      1 3 3, ,k ku e u  2, 3, ..., 2k n . Для интегри- рования этой системы поступим следующим образом. Введем в рассмотрение функ- ции  1, 2, ..., 4 1lu l n  согласно формулам  1 * * 2 66 3 1 2 1c u hu h u u   κ ;  2 66 2c he u ; (3.16)  2 * 2 66 3 2 3c u h u u  ;   66 2 2 k kc he u  ;   66 3 2 1 k kc u u   3, 4, ..., 2k n и выразим через данные функции моменты деформаций  0e ,  1e и перемещений  0 3u . Следовательно получим    22 130 66 13 66 1 2 4 3 21 11 11 1 1 11 12 2 3 15 n s s cc ch c e u u u u u c c c h h c h                ;  1 13 13 66 2 4 1 4 3 1 211 1 111 3 22 5 n n s s s s c c c e hu u u u c h c hh               ;  0 13 66 3 1 2 2 4 12 2 2 111 33 2 3 5 n s s c c u u u u u u h h c h                   (3.17)  13 4 3 4 4 4 22 2 2 21 11 2 1n n s s s s s c u u u c h h               , где * 1 13 66 1 11 332c c c c cκ , * 2 13 33/ 3c c  . Если внести (3.16) и (3.17) в уравнения (3.11), (3.13) – (3.15), то получим относи- тельно функций lu однородную систему уравнений, которую в стандартной форме запишем таким образом:   4 1 2 1 0 n kl kl l l a b h u       1, 2, ... , 4 1k n  , (3.18) где ,kl kla b – константы, явные выражения которых нетрудно выписать. 103 Рассмотрим характеристическое уравнение det 0kl kla kb  , предполагая, что оно имеет простые и отличные от нуля корни mk . Тогда решение системы (3.18) мож- но представить в виде [18]   4 1 1 n k k m m m u G V     , (3.19) где mV – метагармонические функции, удовлетворяющие равенствам 2 0m m mV k h V   , ( )k mG – константы, которые определяются алгебраическими дополнениями элементов какой-нибудь строки определителя  4 1 (4 1)\| \| .kl m kl n na k b    Согласно (3.19), моменты перемещений   3 ku из (3.16), примут вид 4 1 (1) * * 2 (1) 66 3 1 2 1 n m m m c u hu h u c V       κ ; 4 1 (2) * 2 (2) 66 3 2 1 ; n m m m c u h u c V      4 1 ( ) ( ) 66 3 1 n k k m m m c u c V      3, 4, ..., 2k n , (3.20) а моменты деформаций определяем такими формулами: 4 1 (0) (0) 66 1 1 ; 3 n e m m m h c e u u c V h        κ 4 1 (1) (1) 66 1 1 n m m m c e hu c V h        ; 4 1 ( ) ( ) 66 1 1 n k k m m m c e c V h      , (3.21) ( 66 1 11/ 2e с с сκ , ( )k mс , ( )k mс – постоянные, определяемые значениями констант (2 )k mG ). С учетом выражений (3.20), (3.21) определяем из второго равенства (3.9) переме- щение  0 3u , т.е. 4 1 (0) (0) 66 3 1 n m m m c u U c V             0 1 2 1 21 1 / 3 n s s m m m m m s с c k с с               , (3.22) а из уравнений (3.7) – функцию напряжений F : 4 1 2 (0) 1 n m m m F hU h a V            0 2 1 21 11 13 1 2 n s s m m m m s c a c k с с          . (3.23) Здесь U и U – бигармонические функции ( U u  , U u   ). Принимая во внимание обозначения (3.3), представим соотношения (3.21) в виде 4 1 (0) (0) (0) 66 1 1 2 2 1 ( ) 3 n e m m m c u u U h U h a V           κ ; 4 1 (1) (1) (1) 66 1 1 2 2 1 ( ) n m m m c u u h U h a V           ;        4 1 66 1 1 2 2 1 n k k k m m m с u u h a V        ;    1k k m m ma k c   2, 3, ..., 2k n . Отсюда определим моменты перемещений, т.е. 4 1 (0) (0) 66 0 1 3 ( 1) n e m m m с u U h U h a V h Y                κ ; 104 4 1 (1) (1) 66 1 1 ( 1) n m m m c u h U h a V h Y               ( , 1, 2; )     ; (3.24) 4 1 ( ) ( ) 66 1 ( 1) n k k m m k m c u h a V h Y            2, 3, ..., 2k n . Здесь kY – произвольные достаточно гладкие вещественные функции. Их необходимо выбрать такими, чтобы выполнялись равенства (3.9), (3.10) и (3.12). Следовательно, если внести в (3.9) значения моментов (3.20) и (3.21), (3.24), то получим уравнение       4 1 10 0 1 1 1 ( 1) / 3 2 0 n m m m Y Y O V c c h u                 , (3.25) где 2 11 66/c c h  ,  0 mO – постоянные вида           0 0 1 2 1 213 1113 n s s m m m m m s c O c c c c c         . Не- трудно видеть, учитывая (3.8), что  0 0mO   1,4 1m n   . Для интегрирования уравнения (3.25) воспользуемся сопряженной гармонической функцией v , связанной с функцией u равенствами Коши – Римана 1 2u v   , 2 1u v   . (3.26) Тогда из (3.25) получаем (с точностью до константы) уравнение вида 0 1 13 2 c Y Y v c h       . (3.27) Аналогичным способом из уравнений (3.10), (3.12) после подстановки в них вы- ражений (3.20), (3.21), (3.24) и некоторых преобразований с учетом формул (3.26), (3.27) получим систему уравнений    * 244 44 1 2 1 2 2 12 2 166 66 3 3n s s s c c Y Y Y hv b h v c h c h         κ ; (3.28)           44 44 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 2 166 66 4 1 4 1 3 n k k k s s s s k s k c k c Y Y Y hv b h v c h c h               κ  2, 3, ..., 2k n ;           44 44 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 166 66 4 1 4 1 3 n k k k s s s s k s k c k c Y Y Y hv b h v c h c h             κ  1, 2, ..., 2k n , в которой v – сопряженная с u функция;  1 1 1 2 2 5 Y Y Y    ; 1 1 1 2 1 2 3k k k k k k Y Y Y Y k k            2, 3, ..., 2k n ; 13 44 13 4411 11 1 1 2 44 11 33 44 11 33 2 2 ; ; 3 3 3 5 5 c c c cc c c b c b c c c c c c                          13 2 1 33 1 3k c b c      ;  13 2 333k c b c    , 2k  ; * * 2 1 / 3κ κ . Далее представим решение уравнений (3.28) в виде 2 1 1 1Y y h v   ; * 2 2 2 2 2Y y hv v h v   κ ; 2 k k kY y h v    3, 4, ..., 2k n , (3.29) 105 где функции ky – общее решение однородной системы, которую в стандартной фор- ме предложим таким образом:   2 2 1 0 n kl kl l l p q h y      1, 2, ..., 2k n . Постоянные k в (3.29) определяем из алгебраической системы уравнений     * 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 n k k l l l l k l b          ;     * 2 1 2 1 2 2 2 1 n k k l l l l k l b         1, 2, ...,k n . В предположении, что характеристическое уравнение det 0kl klp q  имеет про- стые (не равные нулю) корни s  1, 2, ..., 2s n , решение системы (3.29) принимает вид 2 ( ) 1 n k k s s s y b     , (3.30) где s – метагармонические функции, обеспечивающие выполнение равенств 2 0s s sh     ; постоянные  k sb определяются алгебраическими дополнениями элементов какой-нибудь строки определителя 2 2kl kl n n p q   . Учитывая формулы (3.29), (3.30) и равенства Коши – Римана (3.26), получим из (3.24) выражения для моментов вектора  ku , т.е.   4 1 2 1(1) 2 (1) 66 1 1 1 ( ) ( 1) n n m m s s m s c u h U h u h a V h b                     ;   4 1 2 2(2) 2 3 (2) 66 2 2 1 1 ( 1) n n m m s s m s c u h u h u h a V h b                    κ ( , 1, 2; )     ; (3.31) 4 1 2 ( ) 3 ( ) ( ) 66 2 k 2 2 1 1 ( 1) n n k k k m m s s m n c u h u h a V h b               3, 4, ..., 2k n . Таким образом, значения функций (3.20) – (3.23) и (3.31) составляют общее реше- ние системы уравнений (2.1) – (2.3). §4. Напряженное состояние пластины с круговым отверстием. На основании полученного решения рассмотрим задачу о напряженном состоянии около кругового отверстия в неограниченной пластине, находящейся под действием линейно изменяющихся по толщине касательных усилий  12 1 1         , const  ,  0;1  . (4.1) При этом воспользуемся комплексной формой записи данного решения. Полагая    2ReU z z z     ;     2ReU z z z      , где  z ,   z ,  * z ,  * z – произвольные голоморфные функции переменной 1 2z x ix  , запишем моменты нормального перемещения (3.20), (3.22) в виде         4 1 (0) (0) 66 3 * * * * 1 n m m m c u z z z z z z c V            ;         4 1 (1) * * 2 (1) 66 3 1 2 * * 1 4 4 n m m m c u h z z h z z c V                      κ ; 106     4 1 (2) * 2 (2) 66 3 2 * * 1 4 n m m m c u h z z c V            ; 4 1 ( ) ( ) 66 3 1 n k k m m m c u c V      3, 4, ..., 2k n , а составляющие тангенциальных перемещений (3.31) представим таким образом:         4 1 2 (0) * 2 (1) (1) 66 * * 1 * 1 1 2 4 2 2 n n m z m s z s m s c u h z z z h z z h a V ih b W                       ;     4 1 2 (2) * 2 3 (2) (2) 66 2 2 * 1 1 8 8 2 2 n n m z m s z s m s c u h z h z h a V ih b W              κ ;   4 1 2 ( ) 3 ( ) ( ) 66 * 1 1 8 2 2 n n k k k k m z m s z s m s c u h z h a V ih b W             3, 4, ..., 2k n . Здесь 1 22 z x i x       ,    z z   ,    z z  , ( ) ( ) ( ) 1 2 k k ku u iu   . Соотноше- ния упругости (2.3) в комплексной форме имеют вид    0 0 11 22 F    ;      0 0 2 11 22 122 4k zi d F      ;         1 ( ) 11 22 12 66 13 32 2k k k kh c c c h u         ; (4.2)       ( ) 11 22 12 662 4k k k k zi c h u       ;      ( ) 1 ( ) 13 23 44 32k k k k zi c h u h u       . Введем полярную систему координат ,r  и воспользуемся формулами преобра- зования  ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 11 22 122 2k k k i k k k rr ri e i            ; ( ) ( ) ( ) ( ) 11 22 k k k k rr       ;  ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 13 23 k k i k k r e        . (4.3) Отсюда получаем выражения для граничных условий. В частности, для свободного от внешних усилий кругового отверстия радиуса R имеют место равенства    ( ) ( ), , 0k k rr r r R r i r       ;  ( ) 3 , 0k r r R r     0,1,..., 2k n . (4.4) Примем голоморфные функции  z ,  z ,  * z ,  z в виде   0 n n n z a z       ;   0 n n n z b z       ;  * 0 n n n z z        ;   0 n n n z z        , где na , nb , n , n  1n  – произвольные постоянные; 0a , 0b , 0 , 0 – константы, определяемые значениями напряжений на бесконечности [20]     0 0 0 0 11 22 4a a h     ;       0 0 0 0 22 11 122 4b i h       ;          1 1 0 0 0 0 11 22 11 22* 2 1 1 8 h                    * 1 11 66c c c  ;              1 1 1 0 0 0 0 22 11 12 22 11 122 1 1 2 2 8 i i h                      . При заданных значениях касательных напряжений (4.1) отличными от нуля на бесконеч- ности будут сдвигающие усилия    0 12 1     и скручивающий момент  1 12   . В этом случае имеем: 107 0 0 0a a  ;  0 1 2b i h  ; 0 0 0   ;    2 0 11 4i h         . Вид метагармонических функций mV зависит от значений корней характеристическо- го уравнения, которые могут быть действительными и комплексными. Если, в частно- сти, 1k – действительный положительный корень, а 2k и 3k – комплексно- сопряженные, то  1 1 in n n n V B K x e      ;  (1) 2 2 in n n n V C H x e      ;  (2) 3 3 in n n n V D H x e      . Здесь 1( )nK x , (1) 2( )nH x , (2) 3( )nH x – цилиндрические функции Бесселя, Ханкеля первого и второго рода, r R  , 1 1 1x Rh k , 1 2 2x Rh k  , 3 2x x ; nB , nC и nD – произвольные постоянные. Аналогичный вид имеют метагармонические функции sW . Подставляя значения голоморфных и метагармонических функций в формулы (4.2), (4.3) и учитывая граничные условия (4.4), получим алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных констант. Согласно данным функциям опреде- ляем компоненты напряженного состояния пластины. Так, в частности, окружные напряжения  определяются формулой         2 0 1 1 1 sin 2 n k k T P                  , в которой через    kT  обозначены выражения, содержащие цилиндрические функ- ции [20]. §5. Числовые результаты и их анализ. Изложим результаты числового анализа неоднородной по толщине трансверсаль- но-изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием. Контур отверстия – свободен от внешних усилий, а на бесконечности пластина находится под действием линейно изменяющихся по толщине касательных усилий. Численные результаты по- лучены для пластины с упругими постоянными 0,3  , 0, 25   , 1, 25E E  , 2,5E G  . На рис. 1 и 2 представлены графики изменения коэффициента концентрации на- пряжений   на контуре отверстия в точке 1  , 4  на срединной и гра- ничных плоскостях пластины в зависимости от параметра  , соответственно, при 0  и 1  . При 0  пластина находится под действием сдвигающих усилий на бесконечности, а при 1  – скручивающих моментов. Рис. 1 Рис. 2 108 Сплошные линии на рисунках характеризуют изменение напряжений на средин- ной плоскости пластины 0  , пунктирные и штрих-пунктирные – на граничных плоскостях 1  и 1   , соответственно. При этом цифра 1 соответствует графи- кам, построенным при 0,15  , а цифра 2 – при 0,3  . Как видно из рис. 1, максимальных значений напряжения  достигают на сере- динной плоскости пластины. Неравенство напряжений на лицевых граничных плос- костях обусловлено неоднородностью материала, характеризуемой параметром  . При заданных на бесконечности скручивающих моментах (рис. 2) максимальных зна- чений напряжения  достигают на граничных плоскостях пластины; они противо- положного знака и отличаются (в зависимости от величины параметра  ) по модулю. Кривые на рис. 3 характеризуют изменение напряжения  по контуру отвер- стия ( 0 2   ) при значениях параметров 0,15  , 0,3  , соответственно, на срединной (сплошная кривая) и граничных (сплошная для 1  и пунктирная – для 1   кривые) плоскостях пластины. При тех же значениях  и  на рис. 4 представлены графики изменения  от параметра  , т.е. при постепенном переходе от сдвигающих усилий к скручивающим моментам. С увеличением  напряжения  на граничных плоскостях выравнива- ются, принимая противоположные по знаку значения (сплошная кривая – для 1  и пунктирная – для 1   ). Р Е ЗЮМ Е . Методом розкладу невідомих функцій в ряди Фур’є за поліномами Лежандра по- будовано рівняння пружної рівноваги неоднорідних по товщині трансверсально-ізотропних пластин. Викладено спосіб представлення загального аналітичного розв’язку даних рівнянь. Дано розв’язок задачі про концентрацію напружень біля кругового отвору в необмеженій пластині, що перебуває під дією дотичних зусиль. 1. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины // Тр. Тбилиск. матем. ин-та. – 1965. – 30. – С. 3 – 103. 2. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. – К: Вища шк. – 1989. – 352 с. 3. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее применение к ре- шению инженерных задач. – Львів: Вища шк. – 1978. – 190 c. Рис. 4 Рис. 3 109 4. Хома І. Напружений стан біля кругового отвору в неоднорідній по товщині трансверсально ізотро- пній пластині // Theoretical Foundations of Civil Engineering / Polish-Ukrainian Transactions. – 2011. – 19. – P. 105 – 112. 5. Хорошун Л.П., Козлов С.В., Іванов Ю.А.,Кошевой И.К. Обобщенная теория неоднородных по тол- щине пластин и оболочек. – К.: Наук. думка. – 1988. – 152 с. 6. Чибиряков В.К., Смоляр А.М. Напряженно-деформированное состояние кусочно-неоднородных пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. – 1986. – № 48. – С. 48 – 53. 7. Aliage I.W., Reddy I.N. Nonlinear Thermoelastic Analysis of Functionally Graded Plates Using the Third- Order Deformation Theory // Int. J. Comput. Eng. Sci. – 2004. – 5, N 4. – P. 753 – 779. 8. Burniston E. E. On the Extension of an Infinite Elastic Plate Containing an Axisymmetric Hole // J. Appl. Mech. – 1972. – 39, N 2. P. 507 – 512. 9. Cheng Zhen-Qiang, Lim C.W., Kitipornchai S. Three-Dimensional Asymptotic Approach to Inhomogene- ous and Laminated Piezoelectric Plates // Int. J. Solids and Struct. – 2000. – 37, N 33. – P. 3153 – 3175. 10. Cicala P. Sulla Teoria Elastica Della Plate Soltile // Giorn. Genio Civile. – 1959. – 97, N 4. – P. 238 – 256. 11. Ding H.J., Chen W.Q., Zhang LC. Elasticity of Transversely Isotropic Materials. – Dordrecht: Springer. – 2006. – 435 p. 12. Fellers J.I., Soler A.I. Approximate Solution of the Finite Cylinder Problem Using Legendre Polynomi- als // AIAA J. – 1970. – 8, N 11. – P. 2037 – 2042. 13. Folias E.S., Wang J.S. On the Three-dimensional Stress Fields around a Circular Hole in a Plate of Arbi- trary Thickness // Comput. Mech. – 1990. – 6, N 5. – P. 379 – 391. 14. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkin Yu.A. Free Axisymmetric Vibrations of Cylindrical Shells Made of Functionally Graded Materials // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 6. – Р. 654 – 663. 15. Huang Xiao-Lin, Shen Hui-Shen Nonlinear Vibration and Dynamic Response of Functionally Graded Plates in Thermal Environments // Int. J. Solids and Struct. – 2004. – 41, N 9 – 10. – P. 2403 – 2427. 16. Kashtalyan M. Three-Dimensional Elasticity Solution for Bending of Funtionally Graded Rectangular Plates // European J. of Mechanics, A/Solids. – 2004. – 23, N 5. – P. 853 – 864. 17. Kashtalyan M., Rushchitsky J.J. Revisiting Displacement Functions in Three-dimensional Elasticity of Inhomogeneous Media // Int. J. of Solids and Structures. – 2009. – 46. – P.3463 – 3470. 18. Khoma I.Yu. Representation of the Solution of the Equilibrium Equations for Non-Thin Transversely Isotropic Plates // J. of Mathem. Sci. – 2000. – 101, N 6. – P. 3577 – 3584. 19. Khoma I.Yu. Tension of a Non-thin Transversely Isotropic Plate with a Noncircular Cylindrical Cavity // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 11. – P. 1285 – 1292. 20. Khoma I.Yu., Dashko O.G. Stress State of a Nonthin Transversely Isotropic Plate with a Curved Hole // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – Р. 461 – 473. 21. Khoma I.Yu., Starygina O.A. Influence of Elastic Properties on the Stress State of a Nonthin Trans- versely Isotropic Plate with a Circular Hole // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 67 – 79. 22. Ma L.S., Wang T.J. Relationships between Axisymmetric Bending and Buckling Solution of FGM Circu- lar Plates Based on Third-order Plate Theory and Classical Plate Theory // Int. J. of Solids and Struct. – 2004 – 41, N 1. – P. 85 – 101. 23. Nosier A., Follah F. Non-Linear Analysis of Functionally Graded Circular Plates under Asymmetric Transverse Loading // Int. J. Non-Linear Mech. – 2009. – 44, N 8. – P. 928 – 942. 24. Reddy J.N. Analysis of Functionally Graded Plates // Int. J. Numerical Methods in Engineering. – 2000. – 47. – P. 663 – 684. Поступила 21.03.2016 Утверждена в печать 29.11.2016

О представлении решений уравнений равновесия функционально неоднородных трансверсально-изотропных пластин

Institution

Ähnliche Einträge