Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)

Наведено аналіз сучасного стану і обговорено проблеми удосконалення методів дослідження вироджених варіаційних задач з акцентом на механіку космічного польоту. Увагу приділено дослідженню руху ракет в атмосфері. Включення до складу оптимальних траєкторій дуг сингулярного управління надає змогу в цьо...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Кифоренко, Б.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158761
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор) / Б.Н. Кифоренко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 3-62. — Бібліогр.: 134 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158761
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1587612019-09-13T01:26:01Z Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор) Кифоренко, Б.Н. Наведено аналіз сучасного стану і обговорено проблеми удосконалення методів дослідження вироджених варіаційних задач з акцентом на механіку космічного польоту. Увагу приділено дослідженню руху ракет в атмосфері. Включення до складу оптимальних траєкторій дуг сингулярного управління надає змогу в цьому випадку збільшити економічність ракетних двигунів шляхом заміни традиційних двигунів постійної тяги двигунами, що допускають дроселювання величини тяги. Наведені в огляді результати розрахунків для конкретних маневрів можуть слугувати джерелом інформації для прийняття рішень під час конструювання перспективної ракетно-космічної техніки. A review of investigations of the dynamical systems control problems is presented with emphasis on mechanics of space flight. The main attention is drawn to perfecting the methods of solving the degenerate variational problems on motion of rockets in the gravitational fields with allowance for the atmospheric resistance. These problems are immediately associated with the permanently actual problem of the practical astronautics – increasing the mass of useful load that is orbited by the carrier rockets in the circumplanetary orbits. An analysis is given for the modern approaches to solving the problems of control of rockets and spacecrafts motion over the trajectories with singular arcs that are optimal for motion of the variable mass body in the medium with resistance. The presented in this review results of some practical problems enable to estimate an advantage of using the optimal control, realization of which needs the complication of the optimal control system of the rocket engines functioning in comparison with the recent simpler laws of control. 2017 Article Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор) / Б.Н. Кифоренко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 3-62. — Бібліогр.: 134 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158761 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Наведено аналіз сучасного стану і обговорено проблеми удосконалення методів дослідження вироджених варіаційних задач з акцентом на механіку космічного польоту. Увагу приділено дослідженню руху ракет в атмосфері. Включення до складу оптимальних траєкторій дуг сингулярного управління надає змогу в цьому випадку збільшити економічність ракетних двигунів шляхом заміни традиційних двигунів постійної тяги двигунами, що допускають дроселювання величини тяги. Наведені в огляді результати розрахунків для конкретних маневрів можуть слугувати джерелом інформації для прийняття рішень під час конструювання перспективної ракетно-космічної техніки.
format	Article
author	Кифоренко, Б.Н.
spellingShingle	Кифоренко, Б.Н. Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор) Прикладная механика
author_facet	Кифоренко, Б.Н.
author_sort	Кифоренко, Б.Н.
title	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
title_short	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
title_full	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
title_fullStr	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
title_full_unstemmed	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
title_sort	сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158761
citation_txt	Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор) / Б.Н. Кифоренко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 3-62. — Бібліогр.: 134 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kiforenkobn singulârnyeoptimalʹnyeupravleniâdviženiemraketobzor
first_indexed	2025-07-14T11:21:24Z
last_indexed	2025-07-14T11:21:24Z
_version_	1837621140569194496
fulltext	2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 3 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 3 3 Б .Н .К и ф о р е н к о СИНГУЛЯРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ РАКЕТ (ОБЗОР) Институт механики им. С.П Тимошенко НАНУ, ул. П. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: bkifor@ukr.net Abstract. A review of investigations of the dynamical systems control problems is pre- sented with emphasis on mechanics of space flight. The main attention is drawn to perfect- ing the methods of solving the degenerate variational problems on motion of rockets in the gravitational fields with allowance for the atmospheric resistance. These problems are im- mediately associated with the permanently actual problem of the practical astronautics – increasing the mass of useful load that is orbited by the carrier rockets in the circumplane- tary orbits. An analysis is given for the modern approaches to solving the problems of con- trol of rockets and spacecrafts motion over the trajectories with singular arcs that are opti- mal for motion of the variable mass body in the medium with resistance. The presented in this review results of some practical problems enable to estimate an advantage of using the optimal control, realization of which needs the complication of the optimal control system of the rocket engines functioning in comparison with the recent simpler laws of control. Key words: space flight mechanics, degenerate variation problems, optimum control trajectories, singular arcs, launch vehicle engines efficiency. Введение. Оценивая в начале третьего тысячелетия научно-технические достижения челове- чества, необходимо признать начало практического освоения космического простран- ства одним из наиболее впечатляющих и вместе с тем неожиданных свершений про- шлого века. Преклонение перед дерзкими идеями провозвестников космической эпо- хи К. Э. Циолковского, Ф. А. Цандера, Ю.В. Кондратюка, Р. Годдарда, Г. Оберта, В. Гомана, Р. Эно-Пельтри и гениальными достижениями практиков Вернера фон Брау- на и С.П. Королева, которого «можно считать самым талантливым учеником заочной школы фон Брауна» [21, с. 146], ни в малейшей степени не снижает остроты пробле- мы оценки оправданности и своевременности тех поистине баснословных затрат, ко- торые произведены космическими державами для обеспечения современного уровня космической деятельности. Следует признать, что неизбежный выход «из колыбели» (К. Э. Циолковский) цивилизация Третьей планеты Солнечной системы вынуждена была сделать в связи с негативными особенностями своего исторического развития: в связи с драматическим отставанием социально-этического совершенствования участ- ников исторического процесса от экспоненциально ускоряющегося технического про- гресса. Выпущенный для устрашения потенциального противника в борьбе за миро- вое господство джинн космической экспансии начал, однако, довольно скоро вносить все более весомый вклад в решение насущных проблем человечества. Одним из важ- нейших результатов появления в околоземном пространстве Спутника 1 стало осоз- нание открытости всего, что происходит на поверхности планеты, для наблюдения из космоса. Ощущение невозможности изолироваться от остального мира привычными доселе границами стимулировало понимание актуальности поиска совершенно новых подходов к проблеме сохранения жизни на планете с учетом глобальности экологиче- ских, экономических и социальных ее аспектов. Подробный анализ состояния при- кладных проблем современной космонавтики представлен в докладе [49] и в работах [63, 124]. 4 В обзоре [93] дан краткий анализ проблем механики космического полета и обсу- ждается их связь с другими отраслями науки и современной техники. Основное отли- чие механики космического полета от классической астродинамики – необходимость учета сил тяги двигателей космических аппаратов (КА). Еще один источник усложне- ния проблем механики космического полета – сложность структуры КА, ее отличие от абсолютно твердого тела: наличие емкостей, заполненных жидкостью, заметная гибкость конструкции (в связи с наличием солнечных батарей, например), сложность больших комбинированных многомодульных комплексов типа международной кос- мической станции (МКС), наличие тросового соединения элементов. Из перечислен- ных в обзоре [93] проблем механики космического полета и практической космонав- тики наиболее актуальными в настоящее время следует признать исследования Земли из космоса, связанные с проблемами экологии и энергообеспечения планеты, созда- ние и обеспечение эффективного функционирования системы защиты планеты от ас- тероидной опасности [26, 54, 66, 111], исследование астероидов, ядер комет и спутни- ков планет с посадкой на их поверхность и доставкой на Землю образцов грунта [56, 123], освобождение околоземного космического пространства от космического мусо- ра [17 – 19], исследование космического пространства за пределами Солнечной сис- темы [83]. В обзорной работе [100] приведен анализ современного представления о про- граммах исследования Луны и Марса в 21 столетии, с целью предложить политикам, принимающим ключевые решения, научно обоснованную информацию о том, когда, как и почему каждый из пунктов программы исследований должен выполняться. Проблема организации первых пилотируемых экспедиций к Марсу из разряда гипоте- тических перешла в стадию практического планирования [63, 100, 126]. В том, что Марс является убедительной астробиологической целью, ни у кого не вызывает со- мнений. Однако только лишь научное исследование, само по себе, не может оправ- дать необычайно высокий риск для участников пилотируемой экспедиции. Не менее значимыми факторами, оправдывающими ее проведение, являются мощные импуль- сы процесса подготовки к этой экспедиции в образование и экономику [87] в связи с потребностью развития новых критически необходимых научных и инженерных дис- циплин. Поскольку решение о подготовке пилотируемой миссии на Марс является политическим, образовательные и экономические преимущества становятся при этом решающими факторами, что отмечено в этой работе. Исследуются различные аспекты комплексной проблемы планирования экспеди- ции. Предлагаются различные варианты ее реализации [46, 56, 100, 101]. Среди пред- ложенных нестандартных схем следует отметить идею постоянно перемещающегося между Землей и Марсом транспортного аппарата с использованием гравитационных полей планет для перехода с подлетной к планете траектории на отлетную без вклю- чения ракетных двигателей [112, 113]. При этом основной межпланетный транспорт- ный аппарат запускается с околоземной монтажной орбиты только один раз и обеспе- чивает «бесплатное сообщение» между планетами в течение длительного срока. Оценивается эффективность использования различных типов двигательных сис- тем [1, 78, 86, 117]. Предпочтение отдается перспективным двигателям, способным обеспечить минимизацию, при прочих равных условиях, времени пребывания экипа- жа под воздействием космической радиации [86, 91]. Оценки предполагаемой про- должительности перелета к Марсу колеблются от реалистических – порядка 180 су- ток, до 39 суток [92]. Последняя – по современным представлениям – вряд ли реали- зуема в обозримом будущем [127]. Осуществление марсианской экспедиции, создание постоянной базы на Луне, разработка системы противоастероидной защиты Земли, рынок спутниковых услуг, который диктуют стабильное увеличение массы спутников и ужесточение требований к их живучести, приведет, по-видимому, к разработке се- мейства новых или усовершенствованных двигателей с расширенными возможностя- ми, при этом более простых в использовании и производстве. В настоящем обзоре проведен анализ результатов исследования оптимизацион- ных задач механики полета ракет и космических аппаратов, имеющих непосредствен- ное отношение к перечисленным проблемам современной и перспективной практиче- 5 ской космонавтики. Выбор как круга обсуждаемых проблем, так и цитируемых работ других авторов, определяется, естественно, интересами автора. Хотя теоретические исследования в прикладных науках, как правило, непосредственно стимулируются запросами практики, относительная самостоятельность развития науки нередко при- водит к получению результатов намного ранее времени их практического осуществ- ления. Иногда ранее полученные результаты повторяются позднее и приоритет пер- вооткрывателей часто остается утерянным. Для практики этот нюанс, возможно, не столь существенен. К сожалению вновь «открытые» результаты иногда оказываются ошибочными (см. напр. [76], комментарий в §7). Theoria cum practice. Историки науки должны будут признать одним из основных факторов ее развития в ХХ веке ту острую необходимость решения необычайно сложных научно-технических задач, которая диктовалась космической гонкой. Мно- гие разделы современной механики вызваны к жизни потребностями ракетно- космической техники. Необходимость достижения космических скоростей, много- кратно превосходящих привычные для наземных и воздушных транспортных средств значения, да еще в условиях ограниченности внутренних ресурсов разгоняемого объ- екта из-за невозможности энергетической подпитки с Земли, делает проблему рацио- нальности управления беспрецедентно острой. В этой связи проблемы механики по- лета ракет почти с самых первых работ научного этапа исследования рассматривают- ся как вариационные. По-видимому, первой работой, содержащей анализ вариацион- ной задачи о движении ракеты, была статья [90], опубликованная в 1927г. Однако, эта публикация оказалась преждевременной, не вызвав отклика исследователей в течение почти двух десятилетий. Определяющее влияние на окончательное закрепление оп- тимизационного подхода к задачам механики полета оказали послевоенные публика- ции [28, 47, 48, 62]. Очень скоро выяснилась неэффективность классического вариа- ционного исчисления для решения задач, возникающих в практике управления дви- жением ракет, что стимулировало создание современной математической теории оп- тимальных процессов, которая является одним из наиболее впечатляющих достиже- ний механики и математики ХХ века. Одним из наиболее сложных разделов здесь считается теория особых (сингулярных) оптимальных управлений. Систематическое изложение современных подходов к решению задач оптимиза- ции управления движением ракет и космических аппаратов по траекториям с сингу- лярными дугами выполнено в настоящей публикации. Содержание обзора: анализ процесса формирования основ теории особых оптимальных управлений в связи с не- обходимостью решения практических задач создания космической техники; обсужде- ние проблем, связанных с вычислением соответствующих траекторий; иллюстрация прикладного значения теоретических результатов, подчас неожиданных с точки зре- ния здравого смысла; обсуждение нерешенных к настоящему времени вопросов тео- рии особых управлений как раздела современной математической теории оптималь- ных процессов. В обзоре рассмотрены только проблемы управления движением центра масс КА. Интересные задачи исследования особенностей движения КА вокруг центра масс, подчас неожиданные [4], проблемы определения ориентации и управления движени- ем вокруг центра масс [104] и инерциальной навигации [106] не рассмотрены. Не об- суждены также имеющие непосредственное отношение к механике космического по- лета проблемы управления системами с неопределенностью [106], движение КА с учетом деформации его конструктивных элементов [134] и взаимодействия конструк- ции КА с содержащимся в баках топливом [89], проблемы устойчивости движения [110]. Значительная часть обзора посвящена анализу оптимальных движений ракет в среде с сопротивлением, решение которых связано с преодолением принципиальных трудностей, характерных для построения оптимальных траекторий с сингулярными дугами. Анализ принципиальных трудностей вычисления оптимальных траекторий с сингулярными дугами и описание предложенного автором метода решения соответст- вующих оптимизационных задач изложены в §7. Там же изложены нерешенные к на- стоящему времени вопросы теории особых управлений, имеющие отношение к фило- софии управления объектами любой природы, функционирование которых можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. 6 §1. Математические модели ракетных двигателей и КА как объектов управ- ления. Богатый опыт взаимоотношений теоретиков и инженеров – создателей космиче- ской техники, накопившийся за период их исключительно интенсивного взаимодей- ствия, породил стройную и достаточно четко отработанную иерархию модельных подходов, обеспечивающих распределение задач между различными этапами теоре- тического анализа и конструкторской проработки КА. Рассматриваемые ниже модели относятся к начальному уровню указанной иерархии, на котором определяются ос- новные расчетные параметры КА и его конструктивных элементов при самых общих предположениях о влиянии указанных параметров на управление движением. 1.1. Некоторые соображения о логике развития системы математических моделей механики космического полета. Сведения об истории развития механики тел переменного состава, являющейся теоретической основой механики космического полета, изложены в монографиях и обзорных работах [57, 59, 67, 82, 133]. Как пока- зывают результаты современного исторического анализа [59], задачи механики тел переменного состава формулировались и исследовались задолго до обоснования идеи использования реактивного принципа как способа достижения космических скоро- стей. С основополагающих работ [28, 47, 62] и до настоящего времени механика кос- мического полета развивается, в основном, как механика материальной точки пере- менной массы. К настоящему времени установлены условия [6], определяющие адек- ватность использования упрощенного модельного представления о движении центра масс КА как материальной точки в конкретной задаче. Современная форма записи уравнений движения центра масс ракеты восходит к работам Мещерского И.В. [58]. Достаточно подробный исторический анализ развития механики тела переменной массы представлен в обзоре [59]. Автор обзора отмечает, что «по-видимому, впервые динамикой систем с переменными массами в явном виде занялся в начале XIX века Георг фон Бюкуа [59, стр. 5] (Georg von Buquou, 1781 – 1851). «Гидродинамическая» концепция записи уравнений произвольной системы переменного состава, основанная на работе Н.Е. Жуковского [20] и развитая затем исследованиями [9], позволила обосновать возможность упрощенной записи уравне- ний движения без учета вариационных сил и сил Кориолиса. Примерно до середины пятидесятых годов прошлого века внимание исследовате- лей уделяется, в основном, движению тел переменной массы с тепловыми химиче- скими реактивными двигателями, особенностью которых, существенной с точки зре- ния механики полета, является малый удельный вес двигательной системы (отноше- ние веса двигательной системы к максимальной реактивной тяге порядка единиц про- центов). Для работ этого этапа характерно пренебрежение массой двигателя, что дает возможность считать начальную массу космического аппарата M состоящей из по- стоянной массы «сухой» ракеты 1M и убывающей массы рабочего тела M  : 1( ) ( )M t M M t  . (1.1) При этом основная задача механики космического полета [14] – задача выполне- ния заданного маневра с максимальной полезной нагрузкой при фиксированной на- чальной массе – сводится к определению условий выполнения маневра с минималь- ными топливными затратами (0)M  . Применение формулы Циолковского позволяет сформулировать ее как задачу построения траектории полета, минимизирующей ха- рактеристическую скорость маневра. Полученное таким образом существенное упро- щение основной задачи позволило уже на первом этапе развития механики космиче- ского полета решить, хотя и в первом приближении, ряд важнейших задач механики. Результаты этих исследований изложены в работах многих авторов и обобщены в из- вестных монографиях [11, 14, 27]. Рассмотренные ниже математические модели обобщают классическую «двухком- понентную» модель, разделяющую массу КА на отбрасываемую и «сухую». Обобще- ние проводилось с привлечением минимума вновь вводимых параметров. Стремление 7 к «минимальным» моделям вызвано не столько трудностями в получении решений, сколько желанием упростить возможность их однозначной физической трактовки. Конечно, такие модели существенно проще многопараметрических моделей, исполь- зуемых при расчетах конкретных образцов проектируемых летательных аппаратов (ЛА), но и проблемы теоретического исследования отнюдь не идентичны задачам, решаемым в расчетно-конструкторских бюро. Довольно часто при использовании простой модели удается проинтегрировать уравнения движения ЛА в элементарных функциях. Уже одно это является решающим аргументом в пользу «минимальных» моделей, ибо «чем большие трудности порождает интегрирование дифференциальных уравнений динамики, тем с большей тщательностью мы должны исследовать те меха- нические задачи, в которых интегрирование удается свести к квадратурам» (Якоби; цитируется по книге И.В.Мещерского [58, стр. 42]. Так, для классической «двухком- понентной» модели оптимален импульсный режим работы движителя КА в поле мас- совых сил и уравнения межорбитальных переходов в центральном ньютоновском гра- витационном поле, например, интегрируются в элементарных функциях, что сыграло немаловажную роль на начальном этапе развития механики космического полета [87]. В начале 60-х годов ХХ столетия возникает интерес к изучению возможностей использования перспективных видов космических двигательных систем, таких как электрореактивные двигатели, солнечный парус. Эти двигательные системы отлича- ются большими значениями отношения собственной массы M  к максимальной тяге 0T (либо к максимальной мощности 0N ) [14], так что пренебречь массой двигатель- ной установки при формулировке основной задачи не представляется адекватным цели исследования. Анализ исследований по механике тел переменной массы с указанными двига- тельными системами позволил сделать вывод о развитии нового раздела механики, названного механикой космического полета с малой тягой (условное наименование, отвечающее современному уровню технической реализации физических принципов перспективных двигательных систем). Почти одновременно с первыми статьями, от- носящимися к механике полета с малой тягой, был опубликован ряд работ, в которых учитывалась и масса химических тепловых ракетных двигателей (двигатели большой тяги). Предложенная в [14] формулировка основной задачи дает возможность рас- сматривать задачи механики космического полета для всех исследуемых двигатель- ных систем с единых позиций и утверждать, что для современного подхода к этим задачам характерно исследование оптимальных соотношений между компонентами ракеты с учетом массы основных элементов двигательной системы, оптимального управления двигательной системой и оптимальных траекторий космического полета в совокупности. Следует отметить, что построение механики космического полета с учетом массы двигательной системы не перечеркивает полученных ранее результатов. Что касается результатов, полученных в предположении импульсного характера работы двигате- лей, то они могут служить хорошим первым приближением к точному решению ди- намической части задачи, если время работы двигателя t много меньше времени выполнения маневра ft [12, 74]. Вместе с тем, в работе [13, стр.89] проанализированы случаи несовпадения решения задачи с конечным значением максимальной тяги при предельном переходе 0T  с решением в импульсной постановке: «математическая корректность такого перехода не очевидна и требует обоснования». 1.2. Ракетные двигатели как объекты управления. Абсолютное большинство результатов исследований оптимального управления тягой ракет получено при ис- пользовании упрощенного представления зависимости величины тяги от секундного массового расхода рабочего тела q и скорости реактивной струи eV : eT qV . (1.2) 8 Эта формула справедлива для ракетных двигателей, работающих в вакууме. При движении в атмосфере указанная зависимость усложняется: ( )hT qV p p    . (1.3) Здесь V – скорость реактивной струи на срезе сопла двигателя; p – давление исте- кающих газов на срезе;  – площадь среза сопла; hp – давление в атмосфере. В рабо- те [62] предложено величину противодавления hp  объединять с аэродинамическим сопротивлением ракеты F . При этом выражение суммы сил тяги и сопротивления преобразуется так: vTe F T e      , (1.4) где e  – единичный вектор направления тяги; vT – величина тяги в вакууме. Первый член в правой части (1.4) содержит произведение основных управляющих функций vT и e  , на величину второго hF p e     , (1.5) управление e  влияет незначительно, так как при скоростях полета, характерных для ракет, величина F в (1.5) существенно превосходит hp  на большей части траекто- рии. Это позволяет в первом приближении принять величину   не зависящей от управления и заменить упрощенной v eT qV расходную характеристику двигателя ,hT qV p   (1.6) где q – массовый расход рабочего тела; V – коэффициент, имеющий размерность скорости и не зависящий, по одномерной теории сопла Лаваля, от q . Таким образом, в классической формуле (1.2), которая в большинстве работ используется и при ана- лизе движения ракет в атмосфере, величина ( ) ,h e p p V V q     (1.7) называемая эффективной скоростью истечения [9], принимается постоянной. Исследование вариационных задач механики полета позволило установить, что оптимальные траектории КА могут содержать участки максимальной, промежуточной и нулевой тяги. Что касается пассивных дуг, их анализ проводится в терминах небес- ной механики. Для анализа активных участков полета, в тех случаях, когда импульс- ная аппроксимация приложения тяги признается недостаточно точной, предложены приближенные подходы учета их реальной продолжительности, изложенные в из- вестных монографиях (см., например, [27]). Участки промежуточной, как правило, переменной, тяги включаются в состав траекторий полета в двух принципиально раз- личных случаях. «Вынужденное включение» связано с выходом на фазовые ограни- чения (на перегрузку, на тепловой поток, например). Вторая возможность включения участков переменной тяги в состав траектории возникает при выполнении на этих участках условий оптимальности особых (сингулярных) оптимальных управлений, которые встречаются в вырожденных вариационных задачах. Внимание к решениям этих задач обусловлено тем, что их практическая реализация – немалая «головная боль» конструкторов, как ракетных двигателей, так и систем управления. Поэтому оценить эффективность такого «экзотического» управления, требующего дросселиро- вания тяги, выяснить потери при переходе к более простым, с точки зрения реализа- ции, способам управления – безусловно, актуальная задача. Движение ракеты вдоль участков особого управления связано с необходимостью существенного дросселирования величины тяги. При этом расход рабочего тела дви- 9 гателя q и давление газов в струе p уменьшаются пропорционально изменению величины тяги и гипотеза о постоянстве эффективной скорости истечения eV стано- вится тем менее обоснованной, чем глубже степень дросселирования тяги. Указанная особенность привела к необходимости разработки более точного математического описания ракетного двигателя как объекта управления. Соответствующая математи- ческая модель предложена автором [29]. В этой работе представлена нелинейная, в отличие от упрощенной vT qV , расходная характеристика двигателя во всем диапа- зоне изменения расхода q : от нуля до максимального значения. Переход от упрощенной формулы (1.2) к более точному соотношению (1.3) при- вел к неожиданному результату: замене дуг промежуточной переменной тяги участ- ками скользящего режима работы двигательной системы [37]. Отличие между этими режимами принципиально: если особый режим связан с плавным, за исключением конечного числа точек разрыва, изменением управления, скользящий режим – это бесконечное число переключений управления на конечном отрезке времени. Получе- ние скользящего режима при анализе любой оптимизационной задачи должно насто- рожить исследователя, так как даже сама возможность включения соответствующей сингулярной дуги в состав траектории обеспечивается основной гипотезой современ- ной теории управления – гипотезой о безинерционности управления. И лишь в том случае, когда управления описываемого объекта действительно малоинерционные, информация об оптимальности скользящих режимов имеет не только теоретический интерес. В задачах механики космического полета величина тяги может считаться безинерционным управлением лишь при конечном числе переключений на оптималь- ной траектории с конечным временем полета. Это подтверждается, в частности, диа- граммами ( )T t для реальных ракетных двигателей, приведенными в монографиях по ракетодинамике (см., например, [2, 3]). 1.3. Минимально параметрическая математическая модель космического ап- парата. Рассмотрим математическую модель космического аппарата, отличающуюся от классической учетом массы двигательной системы M  и массы контейнеров для хранения рабочего тела двигателя M  . Начальная масса 0M ракеты представляется в этом случае следующим образом: 0 0 nM M M M M      . (1.8) Здесь nM – масса полезной нагрузки; 0M  – масса начального запаса рабочего тела. Функциональные зависимости 0 0( , )M M T  и 0 0( , )M M T  , где 0T – максимальная тяга ракетного двигателя, зависят от конструктивных особенностей конкретных дви- гательных систем, топливных баков и систем подачи рабочего тела в движитель. Од- нако общее свойство таких зависимостей, существенное с позиций механики полета, выражается следующими неравенствами: 0 0 0 0 0; 0; 0; 0. M M M M T TM M                  (1.9) При записи соотношений «минимальной» модели КА примем простейший из воз- можных способов представления зависимостей массы двигательной системы M  и контейнеров для хранения рабочего тела M  от 0M  и 0T : 0 1 0 1 1 1; ; const; constM T M M         , (1.10) При формулировке задачи об оптимальном выполнении некоторого динамическо- го маневра удельные параметры 1 и 1 принимаются фиксированными a priori, а 10 величины начальной массы рабочего тела 0M  и массы двигательной системы M  (либо максимальная реактивной тяги 0P ) являются искомыми параметрами оптими- зационной задачи. Соотношения (1.8), (1.10) после перехода к безразмерным пере- менным по формуле 1 0m MM  преобразуются к виду: 0 0 2 0 11 ; ; ,nm m m m m a m m            (1.11) где 0 0 0 2 1( );a P gM g   . Конечная масса КА ( )fm t с учетом естественного гра- ничного условия ( ) 0fm t  и формул (1.11) может быть представлена следующим образом: 1 2 0 1 1 ( ) 1 1 n f m m t a          . (1.12) После введения обозначений: 1 2 1 1 ; 1 1 nm m           (1.13) выражение (1.12) для конечной массы преобразуется к виду 0( ) .fm t m   (1.14) С использованием формулы (1.14) уравнения движения, краевые условия и огра- ничения на управления задачи о переходе КА с заданного начального многообразия 0S на указанное конечное многообразие 1S в фазовом пространстве с минимальным значением выбранного функционала: функции конечного состояния ( ( ),fr t  ( ),fv t  ( )n fm t ) записываются следующим образом:   0 0 0 1; ; ; ( (0), (0)) ; ( ( ), ( )) 1, 0 1, 0 1 . f f a Te F T r v v R m a r v S r t v t S m V e P V                         (1.15) Здесь r  и v  – радиус-вектор и вектор скорости центра масс КА в инерциальной сис- теме координат; e  – единичный вектор направления реактивной тяги; T – безразмер- ная управляющая функция – величина тяги, отнесенная к своему максимальному зна- чению 0T ; V – управляющая функция – скорость реактивной струи, отнесенная к сво- ему максимальному значению 0V ; F  – главный вектор поверхностных внешних сил, отнесенный к начальному весу ракеты; R  – главный вектор ускорения от внешних массовых сил, отнесенный к гравитационному ускорению в начальной точке. В случае основной задачи механики космического полета – задачи о доставке макси- мальной полезной массы nM при фиксированной стартовой массе 0M [14] уравнения связей вариационной задачи и условия трансверсальности содержат лишь один обобщен- ный удельный конструктивный параметр  . Переменная m в уравнениях движения (1.15) заменяется новой переменной m , заданной соотношением: ( ) ( )m t m m t    , так что 0( ) ( )m t m t a   . Уравнение изменения массы m с граничными условиями записывается в виде 0; (0) 1 ; ( ) max.fm aT V m a m t      Это равносильно принятию вместо четырехкомпонентной модели (1.11) трехкомпо- нентной модели КА, в которой начальная масса аппарата принимается состоящей из 11 полезной нагрузки m , запаса рабочего тела 0m и массы двигательной системы. В отличие от истинной массы полезной нагрузки nm величину m условимся имено- вать приведенной полезной нагрузкой, величину  – приведенной удельной массой двигателя. Связь значений этих величин с заданными при формулировке задачи пара- метрами nm , 1 и 1 задана соотношениями (1.13) и учитывает влияние массы баков. Ниже параметры m и  будем именовать сокращенно, опуская определение «при- веденный». Таким образом, возможность представления конечной массы ракеты в форме (1.13) позволяет уменьшить число используемых в модельном описании пара- метров с четырех ( 0 1, , ,nT m  и 1 ) до трех ( 0 ,a m и  ). 1.4. Theoria cum praxis. Необходимо отметить, что этот результат получен в ре- зультате преобразованию массовых соотношений (1.9) к безразмерной форме (1.10). При этом получено предсказанное теорией подобия свертывание удельных конструк- тивных параметров 1 и 1 в единую безразмерную комбинацию 1 1(1 )g    , а основных динамических параметров 0P и 0M – в комбинацию 0 0 0( )a P gM . Относительно простоты выбора формул (1.9), выражающих зависимость масс двигательной системы и топливных баков от запаса топлива и максимальной тяги, необходимо отметить, что выбор определенных аппроксимирующих выражений в этом случае достаточно произволен. Имеющийся в распоряжении теоретика фактиче- ский материал, как правило, отрывочен, часто учитывает опыт различных конструк- торских организаций, поэтому обоснованность выбора более точной нелинейной ап- проксимации указанных зависимостей для широкого диапазона изменения входящих в них переменных представляется методически малооправданным. Напротив, опреде- ление коэффициентов 1 и 1 , возможно различных – для различных по мощности классов двигательных систем, – дает надежную информацию о достигнутом уровне практической реализации принципов реактивного движения и степени конструктив- ного совершенства элементов ракет. При формулировке любой задачи прикладной направленности необходимо пом- нить указание академика А.Н. Крылова [52, с. 9, 10]: «Всякому известно, что никакое измерение не может быть произведено абсолютно точно; погрешности в данных пе- реходят и в определяемые по этим данным искомые [величины], даже и в том случае, когда вычисление производится по совершенно точным формулам и с полнейшей точностью. В технических вопросах искомые определяются для того, чтобы быть осуществленными на деле, [но]... для всякого изделия существуют «допуски»... . От- сюда ясно, что для прикладных вопросов нет надобности проводить вычисления по абсолютно точным формулам, ... лишь бы была уверенность, что происходящая от этого погрешность не превышает тех пределов, которые в данном вопросе допуска- ются». Отталкиваясь от приведенной рекомендации А.Н.Крылова, важно подчерк- нуть, что, коль скоро задача построения математической модели, адекватной реаль- ному исследуемому объекту, неисчерпаема, то необходимо добиваться адекватности описания цели исследования. Например, отказываться от модельного представления (1.9) необходимо в предельных случаях. Так, в задаче об определении оптимального числа ступеней ракеты параллельной схемы секционирования использование модели (1.9) приводит к тривиальному решению: оптимально бесконечно большое число бес- конечно малых ступеней. В этом случае приходится формулы (1.9) заменить более сложными нелинейными выражениями, учитывающими возрастание трудности кон- струирования и, как следствие, удельной массы изделий, при уменьшении их харак- терного размера или мощности (см. например, [45]). §2. Особенности движения ракет в атмосфере. В соответствии с принятым в механике делением внешних сил на массовые и по- верхностные в уравнениях (1.14) для сил, относящихся к различным классам, приняты разные обозначения: ( , )R R r v     – главный вектор ускорения центра масс КА, вы- 12 званного действием массовых сил; ( , )F r v    – главный вектор поверхностных сил. Не- обходимо отметить, что различие в характере воздействия массовых и поверхностных внешних сил на движение тела существенно в механике протяженных объектов, в частности, в механике сплошных сред. Так, в гидромеханике приходится оперировать с различными критериями подобия: числа Рейнольдса и Эйлера связаны с учетом по- верхностных сил; число Фруда – с влиянием массовых сил на изучаемый объект. В механике же материальной точки различие в воздействии массовых и поверхностных сил на движение становится ощутимым в случае точки переменной массы: если уско- рение от действия массовых сил определяется лишь положением тела в фазовом про- странстве, то величина ускорения \| ( , ) \| /F r v M    от влияния поверхностных сил воз- растает, при прочих равных условиях, в процессе уменьшения массы тела. 2.1. Массовые и поверхностные силы в механике точки переменной массы, h  парадокс. При равномерном поступательном движении летательного аппарата сила тяги Te  уравновешивает сумму F Rm   . Для этого тривиального случая модель материальной точки с сосредоточенной в центре инерции тела массой и силами Te  , F Rm   приложенными к той же точке, строго обоснована. Использование уравнений (1.14) для описания произвольных движений КА допустимо лишь с учетом следую- щего предположения: изменение направления силы реактивной тяги e  не вызывает вариаций аэродинамической силы ( , )F r v    . Принятие этой гипотезы справедливо для ракет, не имеющих приспособлений для создания аэродинамической подъемной силы. В этом случае аэродинамическая сила практически может быть сведена к силе сопро- тивления, направленной противоположно скорости, а подъемной и боковой силами можно пренебречь. Это предположение с достаточной для формулировки задач меха- ники полета степенью точности можно принять по отношению к современным раке- там [72], поскольку «участок траектории выведения, проходящий в плотных слоях атмосферы, характеризуется требованием 0  , что следует из стремления ограни- чить действующие на ракету аэродинамические моменты как для обеспечения проч- ности, так и для снижения требований к органам управления» ([72, с. 12], через  обозначен угол атаки). Качественное различие характера воздействия массовых и поверхностных внеш- них сил на движение точки переменной массы можно проиллюстрировать на приме- рах простейших прямолинейных движений. Целесообразность такого анализа обу- словлена возможностью получения аналитических решений модельных задач, сохра- няющих, при простоте формулировок, учет основных факторов, влияющих на дина- мику полета. В работе [39] показано, что если разгон ракеты происходит в однород- ном поле массовой силы в направлении, противоположном этой силе, конечная ско- рость 1v при уменьшении конечной массы 1m может стать сколь угодно большой, даже в случае массовой силы, возрастающей по величине с ростом скорости, напри- мер: R kv  . В этом случае имеем 0 1 0 1 0 1 0 exp ( ) , m m kV dm v V m m T m         (2.1) причем 1 0v  при 1 0m  . Если же поверхностная сила задана аналогичной формулой F v  , конечная скорость 11v , приобретаемая точкой при изменении массы в тех же пределах, вычис- ляется по формуле 0 1 11 0 0 0 1 ( ) T m v T V m                 , (2.2) 13 и максимальное значение 11v при 1 0m  равно 0T  – значению скорости движения, при которой сила сопротивления уравновешивается реактивной тягой. Очевидно, что при движении в однородной среде ( const)  с сопротивлением ( )F v   и с ограни- ченной тягой 0( )T T скорость движения не может превзойти величину корня урав- нения 0( ) 0F v T  . Интересно также сопоставить зависимость конечной высоты 1h , на которую поднимается ракета при вертикальном движении в однородном гравита- ционном поле при R g  в среде с сопротивлением 2F kv  (кривые 0  на рис. 1) , и в пустоте ( 0  ). Здесь 2 0 1kV gm  ; высота 1h отнесена к 2 0 (2 )V g ; 0V – скорость реактивной струи. Несмотря на то, что начальная скорость подъема возрас- тает при уменьшении 1m , 0 0 0 1ln( )v V m m , функция 1 1( )h m при 0  немонотонна (см. рис. 1), и, более того, стремится к нулю при 1 0m  . Немонотонный характер этой зависимости сохраняется и в случае подъема с ограниченной тягой (см. рис. 2). Такой характер зависимости конечной высоты 1h от конечной массы 1m определяется взаимодействием двух факторов, связанных с уменьшением 1m : увеличением скоро- сти 0v в конце разгона и ростом аэродинамического торможения 2 1kv m . Для доста- точно больших значений 1m увеличение начальной скорости приводит к росту конеч- ной высоты, пока при некотором * 1 1 ( )m m k функция 1 1( )h m не достигает максимума. При дальнейшем снижении 1m увеличение начальной скорости 0v не может компен- сировать нарастание аэродинамического торможения, вследствие чего конечная высо- та уменьшается. Величина * 1m возрастает при увеличении коэффициента аэродинами- ческого сопротивления k . Отмеченные особенности зависимости 1 1( )h m позволяют объяснить, необычный на первый взгляд, характер зависимости конечной высоты 1h от удельной массы дви- гательной системы  . Приведенные на рис. 3 кривые получены при решении задачи о подборе оптимального двигателя постоянной тяги и однократного включения, обес- печивающего подъем ракеты при вертикальном движении на максимальную высоту. Начальная масса ракеты 0M , масса полезной нагрузки nM и удельные массы движи- теля 1 и баков 1 заданы. Безразмерная конечная масса ракеты представлена в виде (1.14): 0( )m T m a   . Величина 0a подлежит определению из условия достижения максимальной высоты. Безразмерная сила сопротивления задается формулой 2( , ) hF h v bv e  . На рис. 3 представлена зависимость достигаемой ракетой конечной Рис. 1 Рис. 2 14 высоты 1h от приведенной удельной массы двигателя  для трех значений приведенной массы полезной нагрузки: на рис. 4 – зависимость оптимального значения начального реактивного уско- рения 0a от  при тех же значениях m . Кривые на рис. 3, 4 построены для 3, 10   . При такой постановке задачи есте- ственно было ожидать, что с уменьше- нием конструктивного параметра  конечная высота 1h , достигаемая раке- той, будет монотонно возрастать. Не может же более совершенный в весовом отношении движитель оказаться хуже более тяжелого. То, что видим на рис. 3 для 0,01m  и 0,001m  трудно на- звать иначе, чем h  – парадоксом. Исследуя влияние удельной массы  двигательной системы на величину конечной высоты 1h при движении с постоянной тягой, отметим, что параметры дви- гательной системы при малых m оказывают существенное влияние не только на движение ракеты на активном участке траектории, но и на высоту, набираемую в по- лете по инерции. Действительно, анализ уравнения движения ракеты при выключен- ном двигателе 0 ( , )dv F h v g dt m a      (2.3) иллюстрирует влияние как величины m , так и 0a на величину аэродинамического торможения. Уже при 0,01m  и 0,01  масса движителя 0m a  соизмерима с конечной массой 1m . Оптимальное значение 0a должно выбираться, с одной сторо- ны, как можно большим из-за необходимости уменьшить время подъема с включен- ным двигателем для снижения гравитационных потерь и увеличить знаменатель во втором члене формулы (2.3). С другой стороны, необходимо его уменьшить для уве- личения доли массы начального запаса топлива 0m в начальной массе ракеты: 0 01m m a     . Компромисс указанных требований приводит к зависимостям, представленным на рис. 4 Замечание 1. Тело переменной массы с двигателем постоянной тяги однократного включения может достигать высот, превосходящих значения, соответствующие вос- ходящим ветвям кривых на рис. 3, если конечное условие для массы 0( )fm t m a   заменить менее жестким: 0( )fm t m a   . Увеличение конечной высоты в этом случае может быть получено при выключении двигателя в момент дос- тижения массой тела некоторого оптимального значения 1 1 0( , , )m m m a      до полного выгорания топлива (см. рис. 2). Ясно, что уменьшать 1m имеет смысл лишь до достижения максимума функции 1 1( )h m . Оставшееся к этому моменту топ- ливо целесообразнее сохранить на борту как инертную массу, разогнанную до уже набранной скорости, увеличив тем самым знаменатель второго члена в правой части Рис. 3 Рис. 4 15 формулы (2.3), чем использовать для дополнительного разгона, сопряженного, увы, с таким уменьшением конечной массы 1m , которое увеличит аэродинамическое тормо- жение 1F m и уменьшит набираемую на заключительном пассивном участке высоту при движении по инерции. Замечание 2. Из проведенного выше анализа зависимости конечной высоты от конечной массы следует нецелесообразность немедленного сброса элементов конст- рукции и двигателя ракеты на пассивном участке полета в атмосфере, если при этом не происходит уменьшение отношения xc m ( xc – коэффициент аэродинамического сопротивления ракеты), т.е. возможность появления пассивных участков полета в ат- мосфере от момента окончания работы двигателя i -ой ступени до момента ее сброса и включения двигателя ( 1)i  -ой ступени, отмеченная в работе [121] и подробно ис- следованная в п. 3.4. 2.2. Внешние силы и оптимальное управление. Восходящие ветви графиков h  – парадоксальной зависимости высоты подъема от удельной массы двигателя (см. рис. 3) убеждают в нерациональности закона управления тягой 0( )T t T до пол- ного выгорания топлива. Проведем с помощью принципа максимума анализ опти- мального управления движением ракеты, описываемым системой уравнений (1.14) при переходе с заданного начального многообразия 0S на предписанное конечное многообразие 1S с минимальным значением заданной функции конечного состояния: ( ( ), ( ), ( ), )r T v T M T T  . Управляющие функции: T – величина тяги; e  – единичный вектор направления тяги; V – средняя эффективная скорость реактивной струи – могут быть в первом приближении приняты независимыми [14], причем 0 00 , 0 , 1T T V V e      . В соответствии с процедурой принципа максимума записываем гамильтониан H и при- соединенную систему: 2 ( , ) ( , ) ; ( ( , )); 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ; . v m r v m T T r v v r v T Te F r v H v R r v Te F r v V M M F r v R r v F r v R r v M r r M v v                                                                               (2.4) Здесь вектора – столбцы, верхний индекс T означает транспонирование. Регулярные оптимальные управления, доставляющие максимум функции H , записываются сле- дующим образом:  0 1 1 1 при 0, ; 0 при 0, v v m v v v T H e T H M VH               . (2.5) Следует отметить, что в абсолютном большинстве работ по механике полета ве- личина скорости истечения V не включается в число управляющих функций и при- нимается 0V V . Исключение составляет ряд работ, в которых принято, что запас энергии рабочего вещества ракеты ограничен (см. например, [55]). Оптимальность управления 0V V на активных участках траектории в рассматриваемой в настоящем параграфе задаче очевидна: при любой заданной программе тяги ( )T T t граничное управление 0V V обеспечивает минимальный расход топлива (см. первое уравнение системы (1.14), а выбор 0V V «ничего не стоит» – в отличие от работы [55]). При выполнении равенства 1( ) 0H t  на некотором интервале времени [ , ] [0, ]ft   16 управление величиной тяги ( )T t – особое [8]. На этом участке необходимые условия оптимальности 1 10, 0H dH dt  приводятся к виду 0 0 1 0; ( , ) 0.Tv v m v d M V F r v dt MV           (2.6) Необходимое условие оптимальности особого управления распадается на классиче- ское условие Лежандра–Клебша и условие Келли. Проверка этого утверждения и под- тверждение выполнения условия Лежандра – Клебша в рассматриваемой задаче при- ведена в диссертации [23]. Если условие Келли 2 3 0 0 1 1 1 1 0 T TT v v v v v F F F R A M F V V MV V V V V                                                     (2.7) выполняется при [ , ]t   , в состав оптимальной траектории может входит сингуляр- ная дуга. Необходимость одновременного выполнения при t  обоих условий (2.6) на- кладывает на выбор постоянных интегрирования системы уравнений движения (1.14) и присоединенной системы (2.4) одно добавочное условие в дополнение к стандарт- ным начальным, конечным и условиям трансверсальности. Однако, кроме указанных постоянных интегрирования, в задаче имеется еще и один свободный параметр – мо- мент t  окончания сингулярной дуги. Следовательно, в этом случае включение участка особого управления тягой в состав траектории не противоречит возможности построения решения системы дифференциальных уравнений (1.14), (2.4), удовлетво- ряющего произвольным начальным и конечным условиям, и условиям трансверсаль- ности. В типичном для механики полета случае ( )R R r    выполнение строгого нера- венства в условии (2.7) возможно лишь при 0F   . Иначе 0A  и особое управление должно вычисляться теперь из условия [8]: 4 4 1 0d H dt  . При этом в начальной точке сингулярной дуги при t  в дополнение к двум условиям (2.6) должны выполняться новые соотношения : 2 2 1 0d H dt  и 3 3 1 0d H dt  . Дополнительный свободный па- раметр  по-прежнему один, так что начальные и конечные условия оказываются связанными тремя соотношениями, что указывает на возможность включения сингу- лярных дуг такого порядка вырождения в оптимальную траекторию только в задачах со специально подобранными условиями на концах траектории. 2.3. Theoria cum practice. Необходимо отметить, что ни в публикациях, рассмат- ривающих проблему оптимизации управления в Задаче Годдарда, ни в монографиях [8, 50], в которых обсуждаются дуги переменной тяги, нет указаний на доказанную в п. 2.2 зависимость порядка вырождения особого оптимального управления от того, действуют ли на ракету поверхностные внешние силы. Интересно, что при движении КА с двигателем ограниченной мощности особое управление первого порядка выро- ждения также может быть оптимальным лишь в том случае, если на аппарат действу- ют силы аэродинамического сопротивления [32]. §3. Оптимальное управление движением ракет в атмосфере. Проведем оценку эффективности включения сингулярных дуг в состав траекто- рии движения ракет среде с сопротивлением. Оправдано ли оно? Дело в том, что включение в состав оптимальной траектории особых дуг – участков переменной тяги – связано с существенным усложнением конструкции двигательной системы: вместо движителя, рассчитанного на работу в режиме максимальной тяги и, возможно, до- пускающего неоднократное включение, необходим движитель, допускающий, кроме того, еще и изменение величины тяги, часто по достаточно сложной программе. По- этому весьма важным этапом исследования после построения оптимальной траекто- рии с участками особого управления является оценка эффективности оптимального 17 управления. Для этого значение функционала на оптимальной траектории необходи- мо сравнить с тем, что можно получить при других, пусть и не оптимальных, но легко реализуемых режимах управления. 3.1. Задача Годдарда. В классической задаче Годдарда [88] о подъеме ракеты до максимальной высоты при вертикальном движении уравнения движения центра масс ракеты с граничными условиями имеют вид 0 0 0, (0) 1, ( ) ;fm a T V m m t m a      , (0) 0, ( ) min;fh v h h t    (3.1) 0 ( , ) ( ), (0) 0, ( ) .f a T F h v v g h v v t opt m     Высота h в системе (3.1) отнесена к 2 1 0 0V g  , скорость движения v – к 0V , время – к 1 0 0V g  , а тяга T и сила сопротивления F отнесены к максимальной тяге 0T , причем 0 0 0 0a T g M , g – к 0g . Поскольку при формулировке задачи время выполнения подъема ft не задано, как и максимизируемая величина высоты подъема ( )fh t , соот- ветствующие условия трансверсальности приобретают форму: ( ) 0, ( ) 1f h fH t t  . Функция H задачи линейна по управлению: 0 1 0 0 1 0 ; ; .v m h v F H H TH a H v g H m m V                (3.2) На особом участке должны выполняться соотношения: 0 1 1 10; 0; 0 h v v F H H H H F m v                 (3.3) при нетривиальном наборе , ,h v m   . Поскольку система (3.3) линейна и однородна относительно компонент вектора  , ее определитель ( , , )S m h v должен быть равен нулю. Так получаем уравнение поверхности особого управления ( , , ) ( , )( 1) ( , ) ( ) 0.vS m h v F h v v vF h v mg h     (3.4) Из условия 1 0H  определяется величина особого управления 2 0 [ ( ) (1 ) ] 2 h v vv h vh s v vv m g m g F F F v vF T a F F F F               . (3.5) Полученные в статье [115] результаты упрощают процедуру вычисления опти- мальной траектории, поскольку однозначно определяют управление на начальном участке траектории: ( ) 1T t  при . Если параметры ракеты и атмосферы таковы, что на начальном участке максимальной тяги поверхность (3.4) достигается до выгорания топлива, за участком 1T  может следовать особая дуга траектории, т.е. при 0t   граничное управление величиной тяги 1T  заменяется особым, вычисленным по формуле (3.5). Вдоль особой дуги должно выполняться условие Келли [8]: 1 ( ) 0; ( ) 2v v vvH L F L F F F F u          (3.6) 18 и условие принадлежности особого управления открытому ядру области допустимых управлений: 0 1sT  . Обозначим момент сопряжения сингулярной дуги со следую- щей регулярной дугой оптимальной траектории символом  . Особая дуга может со- прягаться как с дугой максимальной тяги, так и с пассивной дугой: обе возможности не противоречат необходимым условия оптимальности. Разрешая систему уравнений (3.3) относительно компонент сопряженного вектора  при t  , получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) v v m h F g m v m                     (3.7) На участке [ , ]ft t уравнения движения и присоединенная система интегриру- ются численно и управление определяется по принципу максимума: 1 1 1 при 0; 0 при 0. H T H     (3.8) Таким образом, семейство экстремалей с особыми дугами в задаче Годдарда ока- зывается однопараметрическим (параметр  ). Применение метода вычисления опти- мальной траектории от поверхности особого управления [33] позволяет отказаться от поиска недостающих начальных значений вектора (0) , заменив его определением величины  , обеспечивающей выполнение конечных условий и условий трансвер- сальности. При этом не возникает трудностей, связанных с некорректностью задачи. Уменьшается время интегрирования присоединенной системы с интервала [0, ]ft до интервала [ , ]ft . 3.2 Эффективность оптимального управления. Ниже приводятся результаты оценки эффективности оптимального управления тягой ракеты при вертикальном движении в атмосфере, исследуется влияние на эффективность оптимального управ- ления конструктивных параметров ракеты и ее двигательной системы. Принята опи- санная в п. 1.3 трехкомпонентная модель ЛА, в которой массы двигательной системы, топливных баков и полезной нагрузки сведены в два приведенных параметра m и  . Рассмотрим ту же классическую задачу Годдарда, дополнив общепринятую формули- ровку (п. 3.1) требованием – определить еще и оптимальное распределение начальной массы между отдельными компонентами ракеты. Заданными считаются начальная масса ракеты 0M , масса полезной нагрузки nM , удельные конструктивные парамет- ры 1 и 1 . Алгоритм вычисления оптимальной траектории при фиксированном значении 0a , описанный в п. 3.1, рассматривается как способ задания функциональной зависимости 1 0( )h a , где 1h – высота подъема при фиксированном 0a . Оптимальное значение на- чальной тяговооруженности 0a определяется из условия максимума функции 1 0( )h a . Участок особого управления тягой не входит в состав оптимальной траектории, если поверхность (3.4) особого управления ( , , ) 0S m h v  не достигается на начальном участке максимальной тяги. Динамика фазовых переменных, управления ( )T t и функции ( ( ), ( ), ( ))S m t h t v t проиллюстрирована на рис. 5. При вычислениях приня- то: 0 2,6a  , 0,01  , 3b  0,01, 5m   . Начальный разгон происходит с мак- симальной тягой. Около половины топлива расходуется на активном участке особого управления. Набор высоты происходит, в основном, на этом участке, причем скорость подъема при этом меняется незначительно. Траектория заканчивается пассивным уча- стком. 19 Иной характер имеет управление при движении в атмосфере с быстро умень- шающейся по мере роста высоты плотностью (большие значения параметра  ). При- мер такой траектории при 200, 100b   приведен на рис. 6. За участком перемен- ной тяги следует второй участок максимальной тяги, продолжающийся до израсходо- вания всего запаса топлива. Такая последовательность объясняется быстрым умень- шением аэродинамического сопротивления из-за падения плотности атмосферы при наборе высоты. Кривые на рис. 7 дают возможность оценить влияние включения участка особого управления тягой в состав оптимальной траектории на конеч- ную высоту 1h . Кривая І иллюстрирует зависи- мость значения 1h от величины параметра 0a при оптимальном управлении, кривая ІІ – аналогичную зависимость для траектории, состоящей из актив- ного участка максимальной тяги, на котором рас- ходуется все топливо, и заключительного пассив- ного участка. Сравнение кривых указывает на за- метное увеличение величины 1h при включении особого участка в состав оптимальной траектории и на увеличение оптимального значения 0a . Зави- симости максимальной высоты 1h и начальной тяговооруженности 0a от удельной массы двига- теля  (сплошные кривые) представлены на рис. 8, 9, соответственно; штриховые линии представляют те же зависимости для ракеты с двигателем постоянной тяги од- нократного включения. Вычисления проведены при 3b  и 0,01m  . Уменьшение  приводит к росту 0a и увеличению конечной высоты. Для срав- нения на тех же рисунках представлены зависимости 1( )h  и 0 ( )a  для нерегулируе- мой двигательной системы однократного включения (штриховые линии). Сравнение штриховых и сплошных линий на рис. 8 указывает на большую эффективность опти- Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 20 мального управления для более легких двигательных систем. Немонотонность части штриховых линий ( h  -парадокс) пояснена в п. 2.1. При больших значениях  оп- тимальные траектории не содержат особых участков (сплошные и штриховые линии совпадают). Необходимо отметить, что эффективность дросселирования тяги убывает с уменьшением коэффициента b и увеличением полезной массы. 3.3 Подъем на заданную высоту, оптимальный по быстродействию. Эффек- тивность особого управления становится существенной при выполнении маневров, требующих высоких скоростей движения. Наибольшие скорости следует ожидать при необходимости выполнить маневр за минимальное время. Рассмотрим задачу Годдар- да, заменив условие ft opt требованием minft  . Уравнения движения и остальные краевые условия (3.1) не изменяются, лишь тре- бование максимизации конечной высоты заменятся условием достижения высоты за- данной: 1( )fh t h , значение скорости ракеты в конечной точке свободно: ( )v T opt . Зависимости времени ft достижения ракетой заданной высоты 1h и оптимального значе- ния начальной тяговооруженности 0a представлены на рис. 10, 11, соответственно, для трех значений 1h . Вычисления проведены для следующих значений параметров: 0,1, 3, 100m b    . Существенное отличие оптимального по быстродействию управления от управления, обеспечивающего подъем ракеты на максимальную высоту, состоит в том, что включение сингулярной дуги в состав траектории оптимально при значительно меньших значениях коэффициента b . Так, в задаче Годдарда при 100  Рис. 8 Рис. 9 Рис. 11 Рис. 10 21 и 0,001  особое управление оптимально при 47b  . Для случая оптимального быстродейст- вия при тех же значениях ,  и m для 1 0,22h  , например, участок особого управле- ния входит в состав оптимальной траектории уже при 3b  . На рис. 12 приведены графики зависимости от  оптимальных значений на- чальной тяговооруженности 0a для выбранных высот (сплошные кривые). Штриховые линии иллюстрируют аналогичные зависимости для ракет с оптимально подобранными двигателями постоянной тяги. Для оценки эффективности дросселирова- ния тяги при наискорейшем подъеме рассмотрим случай использования ракеты с вы- бранным для некоторой расчетной высоты оптимальным двигателем для подъема на высоты, превышающие расчетную [25]. Пусть, например, на ракете установлен двига- тель с 0 112,71a  , который оптимален при 1 0,022h  . Для этой высоты оптимально движение с постоянной тягой. На рис. 13 представлены кривые, иллюстрирующие оп- тимальные законы управления величиной тяги установленного на ракете двигателя в случае необходимости наискорейшего подъема на высоты, превосходящие расчетную. Начиная с некоторой высоты за начальным участком разгона с постоянной тягой следует сингулярная дуга с дросселируемой тягой. Чем выше заданная высота, тем раньше особый участок начинается и тем продолжительнее он оказывается. Эф- фективность дросселирования тяги воз- растает с увеличением превышения за- данной высотой расчетного значения (см. рис. 14). Через ft обозначено время подъема на высоту 1h ракеты с регули- руемым двигателем, через c ft – то же для ракеты с двигателем постоянной тяги, причем оба двигателя развивают одина- ковую максимальную тягу. Проиллюст- рированный выше результат демонстри- рует еще одно ожидаемое преимущество регулируемых двигательных систем: не- избежные потери при переходе от одно- разовых конструкций к конструкциям, оптимальным для заданного диапазона маневров, уменьшаются при замене не- регулируемых двигателей двигателями с дросселируемой тягой. 3.4. Оптимальное управление тя- гой многоступенчатой ракеты в ат- мосфере. Указанное в п. 2.1 отличие воз- действия массовых и поверхностных сил на движение ЛА оказывается существен- ным также и в механике полета много- ступенчатых ракет. Если ракета движет- ся в поле массовых сил, сброс отрабо- Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14 22 тавших элементов конструкции увеличивает – при неизменной тяге – величину реак- тивного ускорения и не влияет на величину ускорения от внешних сил. При движении в среде с сопротивлением отделение части массы ракеты не только увеличивает реак- тивное ускорение, но и изменяет также величину ускорения от силы сопротивления. Величина этого изменения зависит как от величины отделяемой массы, так и от изме- нения аэродинамических характеристик ракеты, вызванного сбросом. Поэтому опре- деление оптимального момента отделения отработавшей ступени при движении в среде с сопротивлением не является задачей с очевидным решением: отделять сразу по мере израсходования запаса топлива, как это оптимально при движении в поле массовых сил [3]. Впервые на это указано, по-видимому, в работе [121]. Уравнения движения многоступенчатого КА могут быть представлены с использованием видо- измененной системы (3.1): 0 0 0 ( , ) , ( ); . i i i i T Te F r v T T r v v R r M M V                (3.9) Здесь 0 iT и 0 iV – максимальная тяга и максимальная средняя эффективная скорость истечения реактивной струи двигателей, работающих на участке i -ой ступени; iF  – главный вектор сил аэродинамического сопротивления после сброса ( 1)i  -ой ступе- ни; [0,1]T  – управляющая функция (коэффициент дросселирования тяги). Полученные в работе [121] результаты указывают на возможность включения в состав оптимальной траектории участков скольжения по поверхности iM M , то есть пассивных участков перед сбросом отработавшей ступени. Учитывая непрерыв- ность ,r v   и H в it и предполагая безударное разделение ступеней, имеем: 1 0 1 0 1 0 1[ ] ( ) ( ) ( 0) ( 0) [ ]i i i i i i i i v e iT TH T T t H t T T t H t f     . (3.10) Здесь через 1H обозначена переключающая функция – коэффициент при управлении T в выражении функции H ; ef – проекция аэродинамического торможения – ( , )F r v M    на направление оптимальной тяги ( e  – проекция аэродинамического торможения). Ес- ли при сбросе массы [ ] 0e if  – аэродинамическое сопротивление ( , )F r v    уменьшается в меньшей степени, чем масса M – участок последующей ступени обязательно начина- ется с максимальной тяги. При любом другом управлении произведение 1 0 1( ) ( ) 0i i iT T t H t  и условие (3.10) не выполняется. Относительно управления в конце участка преды- дущей ступени, оно может быть любым. Таким образом, появление пассивного участка полета перед сбросом ступени, увеличивающим аэроди- намическое торможение, не противоречит необхо- димым условиям оптимальности. На этом участке полета по инерции происходит использование ки- нетической энергии отбрасываемой затем массы конструкции, накопленной на предыдущем участ- ке, для преодоления аэродинамического сопротив- ления. Указанная возможность отмечена выше при обсуждении h  -парадокса (см. п. 2.1). На рис. 15 приведены различные варианты оптимального управления ( )P t тягой двухступенчатой ракеты при движении в однородном гравитационном поле ( 1)g  и 2( , ) exp( )i iF h v b v h   в задаче Годдар- да [23]. Рис. 15 23 Вычисления проведены при следующих значениях параметров: а) 1 1 2 1 2 0 0 1100, 200, 1, 0,02, 0,01; 2, 0,15, 0,925, 0,01;i i ib V a a m m           б) 1 2 1 2 0 0 110, 5, 1, 0,02, 0,01; 2, 0,65, 0,675, 0,01;i i i ib V a a m m           в) 1 2 1 2 0 0 150, 25, 1, 0,02, 0,01; 2, 0,9, 0,775, 0,01.i i i ib V a a m m           3.5 Оптимизация управления полетом крылатых ракет. Рассмотрим движения ЛА в вертикальной плоскости в ньютоновском центральном гравитационном поле в атмосфере. Безразмерные уравнения движения запишем в виде: 0 2 0 2 coscos sin sin ; ; ; sin 1 cos ; , T u Xv r v v r m r T u Y v m qu mv r r v                          (3.11) где r – полярный радиус;  – полярный угол центра масс аппарата,  – скорость;  – угол наклона траектории к трансверсали; m – масса ЛА; 0T – максимальная тяга; q – максимальный расход рабочего тела; u – коэффициент дросселирования тяги; X – аэродинамическое сопротивление; Y – аэродинамическая подъемная сила;  – угол между вектором тяги и вектором скорости. Обезразмеривание произведено с ис- пользованием следующих масштабных множителей: r r , 1/ 2 3/2 t G r , 1/ 2 1/2 * .v G r Здесь r – характерное расстояние от притягивающего центра; G – гравитационная постоянная притягивающего центра. Тяга, подъемная сила и сила сопротивления от- несены к 0M g , расход q – к 1 0M t  , где g – гравитационное ускорение на расстоя- нии r от притягивающего центра; 0M – начальное значение массы ЛА. Зависимости силы сопротивления и подъемной силы от скорости, высоты и угла атаки  заданы: ( , , ), ( , , )X X r v Y Y r v   . Управляющие функции u и  ограничены: 0 1,u  1 2    . Система (3.11) относится к весьма распространенным при исследовании задач ме- ханики полета динамическим системам со скалярным управлением u , входящим ли- нейно в уравнения движения, и r -мерным векторным управлением w , от которого вектор фазовой скорости зависит нелинейно:  0 0 1 0( , ) ( , ) [ , ]x f x w uf x w u u u   . (3.12) Введем в рассмотрение присоединенные функции , , , ,r v m      и гамильтониан. Не- обходимые условия оптимальности особого управления u при 1 2    имеют вид [8]: 2 2 2 1 cos sin 0; cos sin 0; cos sin 0; ( , , ) ( , , ) 0. v v v v m H T u Y X m v m v H T H T q u m v u m v d H A x w uB x w udt                                                                    (3.13) Из первых двух уравнений следует: cos sin 0; 0.v vv Y vX            (3.14) 24 Рассмотрим неособое управление  , так что  и v одновременно не равны нулю. Следовательно, определитель системы (3.14) равен нулю. Это условие запишем в виде tg . X Y        (3.15) С учетом формул ( , , )X X r v  и ( , , )Y Y r v  уравнение (3.15) позволяет опреде- лить оптимальное значение угла  на особой дуге: 0 ( , )r v  . Обычно подъемная сила и сопротивление вычисляются по формулам 20,5 ( ) ( ) ,XX r v C S  20,5 ( ) ( )YY r v C S  , где ( )r – плотность атмосферы; S – характерная площадь; ( )XC  и ( )YC  – коэффициенты сопротивления и подъемной силы. В этом случае уравнение (3.15) преобразуется к такому виду: ( ) tg . ( ) X X Y Y C dC C dC        (3.16) Подставляя 0 в первое уравнение системы (3.14), получаем первый интеграл систе- мы уравнений движения и присоединенной системы при движении по сингулярной дуге: 0 0cos sin 0v v      . Дифференцируя левую часть этого соотношения по времени и приравнивая полученную производную нулю, получаем 0 0 0 02 0 sincos tg sin( ) tg cosv v v X X r m vur               0 0 tg cos( ) 0.v r v Y P Y u v v m               (3.17) Видим, что значение управления u , удовлетворяющее уравнению (3.17), не сов- падает с корнем четвертого уравнения (3.13), т.к. коэффициенты последнего зависят от частных производных функций 0 0( , , ), ( , , )Y r v X r v  второго порядка. Следова- тельно, удовлетворить оба упомянутых уравнения выбором одного значения u не- возможно и особое управление u неоптимально. Таким образом, использование подъемной силы в качестве управляющего воздей- ствия позволяет избежать дросселирования тяги, обусловленного стремлением сни- зить потери на преодоление аэродинамического сопротивления и вызывающего при этом увеличение гравитационных потерь. Отмеченное справедливо для аппаратов, управление величиной подъемной силы и направлением тяги у которых осуществля- ется одним воздействием – изменением ориентации аппарата по отношению к набе- гающему потоку (угол  ). Если система управления ЛА позволяет менять ориента- цию хорды крыла и тяги движителя независимо, эффективность управления (как, впрочем, и его сложность) возрастает. 3.6. Подъем-разгон в атмосфере. Ниже обсуждаются дополнительные возможно- сти, возникающие при усложнении системы управления движением ЛА, допускаю- щей независимое регулирование угла атаки и угла направления тяги. Движение центра масс летательного аппарата в центральном ньютоновском гра- витационном поле описывается следующей системой уравнений (траектория – пло- ская, система координат – полярная, начало отсчета – в притягивающем центре) [24]: 2 2 0 cos ( , , ) sin sin , cos ; , sin ( , , ) 1 cos ; , dr d v dv T X r v v dt dt r dt m r d T Y r v v dm T dt mv r dt Vvr                         (3.18) 25 где 0 2( ) ; ( ) ; ( ) ;x y x xX C F Y C F C C B       ( ) ;yC A  2 exp[ ( 1)]F bv r   ;  – угол атаки; xC коэффициент сопротивления; 0xC – коэффициент сопротивления при нулевом угле атаки; yC – коэффициент подъемной силы; F – численно равно произведению скоростного напора при 0  и 1v  на характерную площадь лета- тельного аппарата S ; A и B – коэффициенты функций, аппроксимирующих поляру аппарата (принимаются постоянными); 0( ) exp[ ( 1)]r r     – плотность воздуха (принимается убывающей по экспоненциальному закону с увеличением высоты). Со- отношения (3.18) обезразмерены аналогично системе (3.11). На управляющие функ- ции ( ), ( ), ( )T t t t  наложены ограничения: max 0 00 , ,T T        , где max 0 0, ,T   – заданные константы. Граничные значения , , ,r v m на левом и правом концах траектории принимаются заданными, за исключением значения максимизи- руемой координаты ( )v T ; угловая дальность ( )ft и время выполнения маневра ft не фиксируются при формулировке задачи: 0 0 0 1 1 (0) ; (0) 0; (0) ; (0) ; (0) 1; ( ) ; ( ) ; ( ) max; ( ) 0; ( ) . f f f f f r r v v m r t r t opt v t t m t m                Необходимо определить траекторию перемещения летательного аппарата из за- данного начального состояния в конечное с максимальной горизонтальной скоростью в конце траектории. Оптимальные значения управляющих функций определяются из условия максимума функции Гамильтона H , которую представим в следующем виде: 0 1H H TH  где 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 sin cos ( sin ) [ ( ) cos ]; cos sin . r v v m c H v r v m X r v m Y r v r v H m v m V                                       Оптимальные значения управляющих функций определяются соотношениями: 0 max 1 1 max 0 0 1 0 0 ˆ ˆпри ; при 0 ˆпри 0 (0 ); при 0; 0 при 0 ˆпри 0; s s T H T T H T T H                                   0 0 0 0 0 ˆ ˆпри 0; ˆпри 0 ( 0 ); ˆпри 0 ( 0 ), v v v                                    (3.19) где обозначено: ˆ ˆarctg( / ); / 2v vv A Bv        . При обращении в ноль переключающей функции 1( )H t на отрезке [ , ) [0, ]ft   управление величиной тяги особое: ( ) ( )sT t T t . При этом вдоль особой экстремали одновременно выполняются соотношения: 1 10, 0H H  , а величина особого управ- ления определяется из уравнения 1 0H  , линейного относительно sT [8]. В результате проведенного анализа исходная задача оптимального управления сведена к двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциаль- 26 ных уравнений движения и сопряженной системы. Численное решение этой краевой задачи проводится методом Ньютона. В рассматриваемой задаче из четырех подле- жащих определению в начальный момент времени компонент сопряженного вектора: (0), (0), (0), (0)r v m    достаточно определить лишь два, потому что, во-первых, сопряженная система линейна и однородна (поэтому одну из компонент вектора (0) можно выбрать произвольно), во-вторых, первый интеграл ( ) 0H t  позволяет ис- ключить еще одно значение сопряженной функции в начальный момент времени. От- носительно функции ( )t , то она равна тождественно нулю, поскольку правые части уравнений движения не зависят от фазовой переменной  , и конечное значение ( )ft не фиксируется при постановке задачи; следовательно ( ) 0ft  и ( ) 0ft  . Для решения задачи предлагается вместо поиска двух начальных значений компонент вектора (0) искать две их комбинации  и  , непосредственно связанные с на- чальными значениями управляющих функций: определяющих значения сопряженных функций в начальный момент времени: 1 0 0 (0) при 0, (0) при 0,r H        (3.20) и угол [ , ]    , значение которого задается таким образом: (0) sin ;  (0) cos (0)v v  . Задавшись некоторым значением вектора ( , )z   , определяем начальные значения всех сопряженных функций. Затем система уравнений оптималь- ного движения численно интегрируется на [0, ]ft с учетом условий выбора опти- мальных управлений (3.19). При ft t вычисляется невязка 2 2 1( ( ) ) ( )f fR r t r t    2 1( ( ) )fm t m  , которая является функцией двух параметров:  и  . Если будет най- ден минимум невязки * ( , ) 0R    , то тем самым будет решена двухточечная краевая задача. Расчеты проведены при следующих числовых значениях параметров: 0 0,05;xC  0,7; 0,7; 6200; 500;A B b     max 0 03; 0,5; 0,2618; 0,5236;cT V      0 0 01,00016; 0,021; 1,48.r v    В результате расчетов установлено, что достижение горизонтальной скорости на траектории возможно лишь при условии intz  . Область  состоит из пяти подоб- ластей и показана на рис. 16. Траектории, соответствующие значе- ниям z из различных подобластей, от- личаются числом и/или последовательно- стью граничных участков управления величиной тяги [24]. На рис. 17 представ- лены зависимости конечных значений высоты ( )fr t и массы ( )fm t ЛА от пара- метра  при двух постоянных значениях  (сплошные кривые: 4  ; штриховые: 8  ). Видно, что при регулярном управлении не все конечные состояния достижимы: кривые имеют разрывы пер- вого рода. Для значений ( , )  , удален- ных от точек разрыва, применение мето- дов подбора недостающих начальных Рис. 16 27 значений компонент вектора (0) типа метода Ньютона вполне оправданно, т. к. решение задачи непрерывно зависит от начальных условий. Вблизи же точек разрыва кривых на рис. 17 малым вариа- циям начальных условий отвечают большие изменения положения конечной точки в фазовом пространстве. На рис. 18 приведен пример динамики фазо- вых переменных, на рис. 19 – переклю- чающей функции 1 ( , )H   и управляю- щих функций рассматриваемой задачи. Сплошные кривые получены при на- чальных значениях 8,0217,  0,085   , штриховые – при 8,0218,  0,085   . Ход кривых на эти рисунках наглядно иллюстрирует некорректность задачи и проясняет существо трудностей, возни- кающих при ее решении методом типа метода Ньютона. Как отмечено в диссер- тации [23, с. 106], «при этом итерацион- ный процесс минимизации невязки ( )R z практически прекращается в связи с тем, что поверхность ( )R R z вблизи линии  имеет четко выраженный овражный характер, причем последовательность ( )nR z не стремиться к нулю при n  ». Таким образом, в вырожденных за- дачах оптимального управления устано- вить однозначное соответствие между полем экстремалей и системой парамет- ров, связанных с начальными значения- ми сопряженных функций (0) , не уда- ется. Такая параметризация не охватыва- ет траекторий, в состав которых входят особые участки. Процедура вычисления оптимальных траекторий в рассматри- ваемой задаче отличается от использо- ванной при решении задачи Годдарда (см. п. 3.1), поскольку здесь отсутствует поверхность особого управления. Для решения задачи применялся следующий метод. Зададимся двумя числами 0, 0   и обозначим 1 1 {( , ) : ( , ) }; ( , ) ( , ) : x H x dH x x dt                    . (3.21) Далее, как и в методе Ньютона, вы- бирается произвольным образом вектор Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19 28 ( , )z   . Система уравнений движения и сопряженная численно интегрируются. Если в процессе минимизации невязки при интегрировании окажется, что в некото- рый момент времени t  вектор ( ( ), ( ))x        , то состояние ( )x  динамиче- ской системы принимается за начало сингулярной дуги. При этом значения сопря- женных функций ( )  несколько подправляются с тем, чтобы равенства 1 0,H  1 0H  выполнялись строго, в отличие от (3.21). Проверка корректности такого изме- нения сопряженных функций, а также контроль правильности выбора чисел  и  осуществляется интегрированием системы уравнений оптимального движения из вновь полученной (после указанной коррекции точки ( ( ), ( ))x    в окрестность на- чального состояния) системы. Следующим этапом построения оптимальной траекто- рии является поиск момента схода с особого участка на регулярную дугу. 3.7. Theoria cum practice: тише едешь – дальше будешь! В этом разделе проана- лизируем некоторые следствия описанных выше результатов решения задачи о дви- жении ракеты в атмосфере и в ньютонов- ском центральном гравитационном поле в вакууме. На рис. 20 представлены полу- ченные для задачи Годдарда границы об- ластей оптимальности использования дросселирования тяги на плоскости кон- структивных параметров ( , )b , характе- ризующих степень конструктивного со- вершенства ракетного двигателя и аэро- динамики корпуса ракеты. Участок особо- го управления входит в состав оптималь- ной траектории подъема для тех значений  и b , при которых соответствующая точка лежит выше граничной кривой [15]. Анализ этих граничных кривых дает основание сформулировать следующий принцип соответствия при конструктивном совершенствовании ракет: 1) весовое совершенствование двигательной системы должно сопровождаться – при достижении некоторого порогового значения удельной массы  – переходом от нерегулируемого двигателя к двигателю, допускающему дросселирование величины тяги в достаточно широких пределах; 2) величина  уменьшается при совершенствовании аэродинамических характе- ристик ракеты. Таким образом, проведенный в данном разделе анализ оптимального управления движением ракеты в среде с сопротивлением показал, что подтверждается справед- ливость на первый взгляд парадоксальной мудрости: «Тише едешь – дальше бу- дешь!». Оказывается, при этом можно и подняться выше (п. 3.1), и даже достичь за- данной высоты быстрее (п. 3.2). Если удельная (относительно величины тяги) масса дви- гателя становится меньше, то можно использовать двигатель побольше. Но принцип: сила есть – ума не надо, – не рационален! Больший двигатель должен быть «умнее»! Отметим также, что наличие атмосферы позволяет использовать для улучшения характеристик РН как аэродинамическую, так и аэростатическую подъемную силу. В работе [30] автор данной монографии показал принципиальную возможность набора нулевой энергии ракетой, подымаемой на начальном этапе с помощью аэростата. В статье [34] эта идея анализировалась для старта аппарата с образцами грунта с по- верхности Венеры с последующим выходом на круговую орбиту ожидания ее спутни- ка. В результате расчетов, выполненных с актуальными ко времени их проведения Рис. 20 29 (1986 год) значениями параметров ракеты, двигателя и аэростата, оптимальная высота аэростатического подъема оказалась равной примерно 80 км. Почти через 30 лет по- сле этой публикации подразделение НАСА (NASA’s Systems Analysis and Concepts Directorate at Langley Research Center) предлагает миссию HAVOC (High Altitude Venus Operational Concept). «Миссия... предполагает несколько этапов реализации, включая посещение Венеры роботами для изучения текущей ситуации... Затем стано- вится возможной реализация следующего этапа миссии, с пребыванием на орбите Венеры в течение 30 дней, а также еще один этап – с путешествием в верхние слои атмосферы Венеры (и 30-дневным пребыванием)». Исследования предлагается проводить с аэроста- тического аппарата в атмосфере на высоте около 50 км (http://geektimes.ru/post/243103/). §4. Оптимальные скользящие режимы работы ракетных двигателей. Проанализированные в разделе §3 прикладные аспекты особого управления вели- чиной тяги ракет при движении в атмосфере стимулируют необходимость углублен- ного анализа теоретической обоснованности полученных выводов. Приведенные на рис. 5 и 12 примеры зависимости тяги ракетного двигателя от времени при движении вдоль сингулярных дуг оптимальных траекторий дают наглядное представление о характере возникающих здесь проблем. Глубина дросселирования тяги на особых участках траектории ставит под сомнение допустимость использования гипотезы о возможности применения в анализе и расчетах приближенного представления рас- ходной характеристики ракетного двигателя в форме (1.1) вместо (1.2), поскольку влияние второго слагаемого в формуле (1.2) перестает быть несущественным при уменьшении величины первого. Ниже проведем анализ оптимального управления движением ракет в атмосфере с более точным описанием зависимости величины тяги двигателя от расхода топлива и высоты полета. 4.1. Расходные характеристики реальных двигателей ограниченной скорости истечения. Величина тяги ракетного двигателя T при движении в атмосфере отли- чается от значения vT тяги в вакууме ,V hT T p   (4.1) где hp – давление в среде, в которой работает двигатель;  – площадь выходного сечения сопла двигателя. Как отмечено в п. 2.1, в большинстве работ по механике полета ракет в атмосфере расходная характеристика (4.1) заменяется приближенной: eT qV , а эффективная скорость истечения eV (см. (1.7)) принимается постоянной. Для более строгой формулировки задачи об управлении тягой в атмосфере может быть введена новая релейная управляющая функция  , принимающая значение еди- ницы на активном и равная нулю на пассивном участках движения: ( ) ; .hTe F qV p e F m q            (4.2) При записи уравнений движения ракеты с использованием представления (4.2) при- нимается, что управление производится включением ( 1 ) или выключением ( 0  ) двигателя, дросселированием расхода 0hp V q q   и поворотом вектора тяги. Анализ, приведенный в [37], показал, что при использовании такого описания ракетного двигателя как объекта управления оптимальным оказывается граничное управление расходом рабочего тела 0q q на всех активных ( 1 ) участках полета. Этот результат противоречит основному выводу, полученному в предыдущей главе, о том, что в состав оптимальных траекторий в среде, оказывающей сопротивление дви- жущемуся телу, могут входить особые дуги, движение вдоль которых происходит с некоторой оптимальной скоростью, меньшей максимально возможной. В той же ра- боте показано, что движение с указанной оптимальной скоростью может быть осуще- ствлено на участках скользящего режима управления. 30 Для проведения более тщательного анализа оптимального управления построим более точную зависимость величины тяги от расхода рабочего тела. Применение од- номерной теории сопла Лаваля дает для идеального (без учета потерь) двигателя сле- дующие формулы для тяги и расхода рабочего вещества [14]: 1 ( 1) ( 1) [2( 1)] * 2 1 2 ; . 1 1hT p p q p R                                (4.3) Здесь p и T – давление и температура рабочего тела в камере сгорания двигателя;  и R – показатель адиабаты и газовая постоянная рабочего тела;  – скоростной коэффициент рабочего тела в выходном сечении сопла;  – площадь критического сечения сопла. Соотношение (4.3) справедливо, пока течение в закритической части сопла остается сверхзвуковым. При дальнейшем уменьшении p ниже некоторого значения 2p внутри сопла размещается система скачков уплотнения и зависимость ( )T p становится нелинейной. Расчет величины тяги производится при этом с исполь- зованием полуэмпирических формул [61], так как соотношения, полученные по одно- мерной теории, не соответствуют наблюдаемым в эксперименте зависимостям. Фор- мула (4.3) для расхода газа на этом режиме работы сопла остается неизменной. При значениях p , меньших некоторого 1p , движение газа в сопле двигателя полностью дозвуковое. Для этого случая по одномерной теории потока идеального совершенного газа формулы тяги и расхода могут быть представлены следующим образом [29]: 1/2 2( 1) 1 1 2 2 1 ; 1 ( 1)h h h h h p p p T p q p p RT p p                                               . (4.4) Функциональная зависимость ( )T q , заданная параметрически (параметр p ) форму- лами (4.3), (4.4) и полуэмпирическими соотношениями из [61], является основой матема- тической модели ракеты, исследуемой ниже. Качественное представление о характере этой зависимости дают кривые на рис. 21, 22. В качестве управляющей функции при постановке задач оптимизации движения с использованием такой регулировочной характери- стики удобно выбирать величину давления в каме- ре сгорания  0,hp p p ; температура газов в ка- мере принимается максимальной, что соответству- ет управлению 0V V , оптимальному для идеаль- но регулируемых двигателей ограниченной скоро- сти истечения [14], поскольку отвечает минималь- ному значению расхода топлива. 4.2. Состав оптимальной траектории. Регу- лировочную характеристику ( )T p и ( )q p , опи- санную в п. 4.1 и представленную качественно на рис. 21, 22, используем для анализа оптимального управления тягой в задачах механики полета КА. Уравнения движения запишем в форме, аналогич- ной (1.14): ; ( ( ) ) ; ( ).r v v T p e F m R m q p             (4.5) Управляющие функции p и e  ограничены: 0 , 1hp p p e    . Ниже рассмотрена вариацион- Рис. 21 Рис. 22 31 ная задача Майера о выполнении некоторого динамического маневра с минимальным значением выбранного критерия качества – заданной функции фазовых координат в конечной точке. Из условия максимума гамильтониана H системы (4.5) ( ) ( )r v m T p e F H v R q p m                (4.6) при ( ) 0T p  заключаем о коллинеарности единичного вектора тяги e  базис-вектору Лоудена v . Введем обозначение 1 ( ) ( )v mH T p m q p   . Зависимость 1( )H p на интервале 2 0[ , ]p p p – линейна (см. (4.3)). При работе двигателя с системой скачков уплотне- ния внутри сопла ( 1 2( , )p p p ) функция 1( )H p выпукла 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0,V m H p T p q p mp p p             (4.7) так как на рассматриваемом интервале функция ( )q p линейна (см. (4.3)), а выпуклость функции ( )T p удается показать как для полуэмпирических формул [61], так и для соотношений (4.4), полу- ченных по одномерной теории. Поэтому точка максимума функции 1( )H p не может принадле- жать интервалу 1 2[ , )p p . То же справедливо и от- носительно интервала 1( , )hp p [29]. Следователь- но, функция (4.6) может принимать максимальные значения лишь в граничных точках области допустимых значений управления p (см. кривые 1, 3 на рис. 23) и оптимальные значения p на регулярных дугах оптимальной траектории, доставляющие максимум функции H , определяются следующим обра- зом: 0p p при 1 0( ) 0, hH p p p  при 1 0( ) 0H p  Выполнение равенства 1 0 1( ) ( )hH p H p (кривая 2 на рис. 23) вдоль некоторой дуги траектории есть необхо- димое условие оптимальности скользящего режима первого рода [94]. Участки про- межуточной тяги 0( , )hp p p не оптимальны. Для изучения линии нулевой близости скользящего режима проводится стандарт- ное преобразование исходной задачи, состоящее в переходе к ослабленной задаче пу- тем дополнения множества допустимых фазовых скоростей до его выпуклого замы- кания. Уравнения ослабленной задачи с учетом обращения в нуль тяги T и расхода q при hp p могут быть записаны следующим образом: 0 0; ( ( ) ) ; ( ) .r v v T p e F m R m q p              (4.8) В этой системе управляющая функция [0,1]  и множество допустимых управ- лений выпукло, в отличие от (4.2). Необходимые условия оптимальности скользящего режима в исходной задаче могут быть получены теперь как необходимые условия оптимальности особого управления  : 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 0; 0;v m v r v v v v v T p T p q pF T p q p v F m r m v m                                2 0 0 0 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 0.v v v v v v v v v T p T p q p T p q pF F T p F r m v m v v m                                       (4.9) Рис. 23 32 При записи соотношений (4.9) вектора представлены матрицами-столбцами, штрих – знак транспонирования. При тождественном обращении в нуль левой части неравенства (4.9) (условие Келли) порядок вырождения управления возрастает и осо- бое управление  может быть оптимально лишь при специальном подборе гранич- ных условий маневра. Таким образом, переход от классического представления регу- лировочной характеристики eT qV к более точной (рис. 21, 22) связан с существен- ным изменением состава оптимальной траектории: заменой дуг переменной тяги уча- стками оптимального скользящего режима. Отметим, что этот результат отнюдь не представляется очевидным на уровне здравого смысла. 4.3. Оптимальные траекто- рии с участками скользящего ре- жима в вертикальной плоскости. Ниже приведены результаты реше- ния некоторых задач об оптимизации движения КА в вертикальной плос- кости с использованием модели (4.8). Для построения оптимальных траек- торий применено преобразование исходной задачи к ослабленной. На рис. 24 приведена зависимость уп- равления ( )t в ослабленной задаче, соответствующей задаче Годдарда. Рис. 24, а соответствует оптималь- ному управлению, рис. 24, б – его кусочно постоянная аппроксимации с тремя переключениями, рис. 24, в – аппроксимация с одним переключе- нием. Вычисления проведены при следующих предположениях о со- противлении ( , )F h v и противодав- лении hp  : 2 exp( );F bv h  0 exp( ).hp vh   Кривые на рис. 24 построены для таких значений параметров [37]: 60,b  0 075, 0,5, 100, 0,01, 5, 0,01v a m        . Данные, приведенные на рис. 24, и формулы (24) – безразмерны. Обезразмеривание проведено с использованием тех же масштабных множителей, что и в уравнениях (3.1) п. 3.1. Рассмотрим задачу оптимизации движения в вертикальной плоскости. Движение центра масс ЛА без подъемной силы с тангенциальным направлением тяги описыва- ется системой 0 2 (1 ( )) ( , ) sin sin ; cos ; ;ha p r F r vdr d v dv v dt dt r dt m r          0 0 1 cos ; . ad dm v dt rv r dt V           (4.10) Здесь r и  – полярные координаты центра масс ЛА в выбранной инерциальной сис- теме координат, полюс которой расположен в притягивающем центре; v – скорость Рис. 24 33 полета;  – угол наклона вектора скорости, измеряемый от местной трансверсали. Гравитационное поле планеты примем ньютоновским центральным. Уравнения (4.10) обезразмерены стандартным образом [14], описанным при обез- размеривании уравнения (3.12). Рассмотрим вычисление оптимальной траектории выведения ЛА на орбиту спутника планеты, сформулировав для этого вариационную задачу о переводе объекта, описанного систе- мой (4.11) из начального состояния ( 0(0)r r , 0(0)v v , (0) 1m  , 0(0)  , (0) 0  ) в ко- нечное ( 1( )fr t r , ( ) 0ft  , 1( )fm t m ) с мак- симальным значением скорости ( )fv t . Угловая дальность точки выхода на орбиту ( )ft и время выполнения маневра ft не заданы. Про- цедура вычисления оптимальной траектории в этой задаче представлена в работе [43] . На рис. 25 приведен пример изменения правления  и переключающей функции 1H вдоль оптималь- ной траектории выведения КА на орбиту спут- ника Земли. За участком разгона с максималь- ной тягой следует примерно такой же длитель- ности сингулярная дуга и протяженный пассив- ный участок. Короткий участок максимальной тяги завершает разгон КА до орбитальной скоро- сти. Динамика фазовых переменных представле- на на рис. 26, сопряженных переменных – на рис. 27. Вычисления выполнены при: ( 1) 2( , ) ( ) ;r xF r v De C v v  0 4 4 1 1 2 3 4( ) ( )x xC v C b v b v b v b     ; 0 ( 1)( ) r h hP r P e   при следующих числовых значениях параметров: 0 0,05xC  , 1 0,15b  , 2 1b  , 4 3 3, 23 10b   , 5 4 1,63 10b   , 480D  , 0 0,15hP  . Зависимость эффективности оптимального управления при выполнении выведения КА на почти круговую орбиту спутника планеты про- иллюстрирована на рис. 28. По оси ординат отложено отнесенное к 1( )v T превышение v конечной скорости ( )v T при оптимальном управлении над величиной скорости 1( )v T , до которой удается разогнать аппарат при более простом управлении: два активных участка максимальной тяги, разделенных пассивным участком. При 0 1a  скользящий режим не оптимален, так что 1( ) ( ) 0v v T v T    . С уве- личением 0a эффективность оптимального управления возрастает. Отметим, что та же тенденция наблюдается и в задаче Годдарда Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 Рис. 28 34 (п. 3.1). Протяженность участков скользящего режима существенно возрастает в зада- че на быстродействие, для которой характерны более высокие значения оптимальной начальной тяговооруженности 0a [44]. 4.4. Оптимальная аппроксимация скользящих режимов. Как отмечено в п. 4.1, в связи с ощутимым временем переходных процессов при включении или выклю- чении реальных химических тепловых ракетных двигателей [2,3], необходимо даль- нейшее совершенствование математической модели ЛА как объекта управления, учитывающее указанную особенность. Одним из наиболее распространенных способов аппроксимации практически нереализуемого скользящего режима является режим с конечным числом переключений. В монографии [72] отмечено, что при решении вырожденных задач «...часто удается получить решение, очень точное по значению функционалов, в то время, как сама управляющая функция является довольно грубым приближением к точной». Даже если удается получить точное решение, оно «... не может быть описано сравнительно простым аналитическим выражением, и создание автоматики, обеспечивающей расход в точном соответствии с формой оптимального закона, было бы чрезвычайно трудным». Однако слабую чувствительность значения функционала к вариациям закона управления вблизи оптимума «... следует расценивать как благоприятное обстоятельство: ведь этим облегчается задача аппроксимации оптимального управления фактически реали- зуемыми средствами» [72, с. 355]. Проще всего ограничиться априорным предполо- жением о конечности допустимого числа переключения управления N . Плата за эту простоту – отсутствие оптимального элемента среди допустимых: минимальное зна- чение функционала достигается при N  . В этой связи практически приемлемой представляется следующая схема. Вначале задача решается без ограничения на число переключений. Если в состав оптимальной траектории входит участок скользящего режима, строится новое решение с фиксированным a priori значением N и получен- ная при этом величина функционала сравнивается с минимальной, отвечающей траек- тории со скользящим режимом. Если степень близости этих значений неудовлетвори- тельна, строится новое решение с 1N N . На рис. 24, а) представлена зависимость ( )t в задаче Годдарда. Аппроксимация этой зависимости траекторией с одним (рис. 24, в) и тремя переключениями (рис. 24, б) приводит к снижению достигаемой раке- той высоты. Так, при недостижимом оптимальном скользящем режиме безразмерная высота равна 1,399, при 1N  высота падает до значения 1,054, а при 3N  возрас- тает, по сравнению с подъемом с одним переключением, до 1,301. Сравнение приве- денных значений ( )h T показывает, что при переходе от 1N  к 3N  потери высо- ты, по отношению к нереализуемому скользящему режиму, снижаются с 25 % до 7 %. Замена участков скользящего режима дугами с конечным числом переключений управления – традиционный универсальный прием аппроксимации в теории опти- мальных скользящих режимов [50]. Для двигательных систем, выполненных конст- руктивно в виде пакетов, собранных из отдельных двигателей, может быть предложен более удобный, как с точки зрения практической реализации, так и возможности при- ближения оптимальной программы ( )t , способ: ступенчатая аппроксимация. При этом величина  при аппроксимации линии нулевой близости скользящего режима должна трактоваться как отношение числа включенных секций к полному числу сек- ций двигательной системы. Оптимальное управление ( )t на участке скользящего режима «отслеживается» в таком случае точно лишь для двигательной системы, со- ставленной из бесконечного числа бесконечно малых секций. При решении задачи об оптимальной аппроксимации скользящего режима при конечном числе секций n не- обходимо фиксировать a priori и допустимое число переключений N , так как в про- тивном случае неизбежно возникает скользящий режим работы одной или нескольких секций. 35 Если для вычисления массы двигателя в пакете использовать нелинейное соотноше- ние 0 (0 1)M T       , учитывающее усложнение конструирования при уменьше- нии размеров объекта, суммарная масса па- кета неограниченно возрастает с увеличени- ем n . Указанного уточнения линейной за- висимости достаточно для формулировки задачи об оптимальном числе секций двига- тельной системы. На рис. 29 представлена зависимость времени ft достижения задан- ной высоты h от начальной тяговооруженности 0a и числа секций двигательной сис- темы, полученная при решении задачи об оптимальном быстродействии при верти- кальном движении в атмосфере [73]. В приведенном примере оптимально значение 4n  . 4.5. Исследование эффективности сопла изменяемой геометрии. При исследо- вании влияния внешних факторов на полет ракеты еще К.Э. Циолковский указал на непосредственное воздействие давления атмосферы на величину тяги, развиваемой ракетным двигателем. Это отмечено уже в первой редакции работы «Исследование мировых пространств реактивными приборами» (Изд-во Тип. С.А.Семенова. – 1914. – 20с). В издании той же работы 1926 г. К.Э.Циолковский указывает на возможность уменьшения отрицательного воздействия атмосферных газов на реактивную струю и, следовательно, на величину тяги путем изменения конфигурации сопла. Скептическая оценка возможности практической реализации этой идеи у К.Э. Циолковского вполне оправдана состоянием технического уровня и научных исследований в ракетодинами- ке конца двадцатых годов прошлого века. В настоящее время в связи со стремлением к снижению затрат на запуск космиче- ских аппаратов возрастает интерес к изучению способов повышения экономичности ракетных двигателей. Исследование двигателей с соплом управляемой геометрии представляется целесообразным именно в этом аспекте, особенно для аппаратов с малым числом ступеней, вплоть до одноступенчатых. Теоретический интерес к этой проблеме обусловлен еще и тем, что описанная выше особенность управления вели- чиной тяги – оптимальность скользящего режима – результат учета именно влияния противодавления на величину тяги ракетных двигателей. При движении ЛА в атмосфере оптимальная степень расширения сопла изменяе- мой геометрии подбирается из условия максимума величины тяги по  [14]. При 0  в указанном режиме давление газа на срезе сопла cp связано с атмосферным давлением hp следующим образом: c h cp p  . Ко- эффициент потерь c меньше единицы и для современных движителей весьма близок к ней, так что сопло оптимальной степени расширения должно работать в режиме не- сколько недорасширенного истечения c hp p , близком к расчетному c hp p . На рис. 30, 31 представлены зависимо- сти от времени управляющих функций и фазовых переменных для регулируемого (сплошные кривые) и нерегулируемого (штриховые) двигателей в задаче Годдар- да. Активный участок оптимальной траек- тории состоит из двух дуг максимальной Рис. 29 Рис. 30 36 тяги, разделенных участком скользящего режима. Скорость в конце активного уча- стка на оптимальной траектории больше и достигается на большей высоте, что и обес- печивает приращение конечной высоты. Простейшим способом практической реализации изменения геометрии сопла является создание многопозиционного со- пла. Из технических соображений наиболее приемлемым является сопло двухпозици- онное [61]. При движении с большим про- тиводавлением сопло имеет малую степень расширения, соответствующую значению 1 0    . При подъеме на высоту с более разреженной атмосферой, на сопло надвигается надставка, доводящая значение  до 0 . При заданных значениях 1 и 0 высота переключения с 1 на 0 определяется условием выравнивания значений тяги с надставкой и без нее. Сравнение величин ко- нечной высоты (регулируемое сопло: ( ) 1,7424h T  , двухпозиционное: ( ) 1,7223h T  ) свидетельствует о приемлемой точности. Среди различных способов технической реализации ракетного двигателя с соплом переменной геометрии особый интерес представляет собой двигатель с соплом с цен- тральным телом [14]. Характерной особенностью этого двигателя является сущест- венное уменьшение потерь тяги при работе в условиях, когда давление в окружающей среде больше расчетного. В этом случае расширение газов в реактивной струе, омы- вающей центральное тело, происходит лишь до давления в среде. Следовательно, двигатель работает в этих условиях как двигатель с расчетным соплом, т.е. развивает максимальную на данной высоте тягу [39, 41]. Анализ экспериментальных результа- тов, приведенных в монографии [61] позволяет, с определенной степенью идеализа- ции, принять двигатель с центральным телом двигателем с расчетным соплом до тех пор, пока внешняя граничная характеристическая поверхность течения расширения в реактивной струе не достигает конца центрального тела. 4.6. Theoria cum practice. В большинстве работ по исследованию оптимальных режимов движения ракет противодавление при вычислении тяги не учитывается и введенная в монографии [9] эффективная скорость истечения принимается постоян- ной. Естественное для послевоенного уровня ракетной техники обоснование такого подхода приведено в [47]. Исключение составляют отдельные публикации, в которых тяга либо удельный импульс двигателя принимаются заданными функциями высоты полета. Из работ, посвященных непосредственно анализу оптимального управления движением ЛА с учетом противодавления, автору известны публикации [53, 125]. К сожалению, автор работы [125] не учел того обстоятельства, что при нулевом расходе рабочего тела ( 0q  ) тяга T , вычисленная по формуле hT qV p   , в нуль не об- ращается. В работе [53] записаны различные системы уравнений движения для актив- ных и пассивных участков, однако этот факт не учитывается при анализе оптимально- го управления. Таким образом, полученные в указанных публикациях результаты справедливы для частного случая движения с непрерывным активным участком, т.е. с двигателем однократного включения. Использование соотношений одномерной газо- динамики при записи формул для вычисления тяги в сочетании с необходимыми ус- ловиями оптимальности подтвердило преимущество управления тягой с сохранением максимального давления в камере сгорания [37, 41]. Во многих технических моногра- фиях также отмечается это требование, однако обосновывается оно учетом ухудшения характеристик процесса сгорания при снижении давления в реальных двигателях. Проведенный в п.п. 4.1, 4.2 анализ, основанный на использовании принятых в ра- кетодинамике представлений о регулировочной характеристике реальных двигателей, Рис. 31 37 дал возможность установить оптимальность скользящего режима работы двигателя. Принципиальная несводимость последнего к непрерывному дросселированию расхо- да поясняет трудности, с которыми столкнулись авторы работ [7, 53, 125] в попытке исследовать новую, по сути, задачу в рамках классической модели, подправленной формальным учетом противодавления, трудности, преодолеть которые пытались ав- торы работ [7, 70] априорным заданием геометрии регулировочной характеристики. Отметим, что указание на необходимость замены дуг переменной тяги участками скользящего режима работы двигателя дано в работе [37]. Первым обратил на это внимание В.Т.Злацкий. В статье [29] этот результат подтвержден анализом более точ- ной модели двигателя как объекта управления. В заключение данного параграфа обратим внимание на серьезнейшую проблему математического моделирования движения ракет в атмосфере. На самом деле давле- ние в кормовой части ракеты, в области, куда вытекает реактивная струя, не равно давлению hp в неподвижной атмосфере на высоте полета ракеты. Оно равно так на- зываемому донному давлению p , которое является результатом воздействия на по- верхность ракеты вблизи сопла (или сопел – при пакетной двигательной системе) как встречного потока набегающего на ракету атмосферного воздуха, обтекающего кор- пус ракеты, так и реактивной струи, вытекающей из сопла (сопел) двигателя. Для построения более адекватной, чем (4.5), (4.6) модели движения ракеты, необ- ходимо заменить hp на p и учесть изменение силы аэродинамического сопротивле- ния F при изменении расхода топлива. Если судить строго, расходная характеристи- ка 0( , , )hT T q T p , описанная в п. 4.1, описывает зависимость тяги от расхода топлива и атмосферного давления для неподвижной ракеты. С точки зрения управления си- туация усложняется тем, что сама величина p зависит не только от условий обтека- ния корпуса ракеты (числа Маха и Рейнольдса), но и от давления и скорости газов, истекающих из сопла, т. е., от управляющей функции К сожалению, вычисление дон- ного давления ракеты с работающим двигателем является столь сложной задачей га- зовой динамики, что надеяться на получение достаточно простых формул для аппрок- симации зависимостей ( , , )p p q r v  и ( , , )F F q r v пригодными для постановки оптимизационных задач механики полета аналитическими выражениями в форме, допускающей аналитическое исследование на максимум функции Гамильтона ( )H q , в ближайшее время при современном состоянии газодинамических расчетов, по- видимому, не представляется возможным. Необходимость отказа от использования классической формулы вычисления тяги ракетного двигателя по формуле ( )hT qV p p   актуальна для перспективной ракетной техники. В конце 2018 года в США должен состояться первый полет новой сверхтяжелой ракеты Space Launch System. На первой ступени ракеты планируют ис- пользовать двигатели RS-25D/E, применявшиеся еще для шаттлов (http://ria.ru/science/20110914/437459751.html), хотя необходимость их совершенство- вания очевидна. Для проведения поиска новых форм сопла основной проблемой явля- ется разработка более эффективных алгоритмов вычислительной газовой динамики, а также проведение экспериментальных исследований [22, 119]. Публикации, в которых исследуются особые управления движением ракет с регулируемым соплом двигателя (см. п. 4.5), автору не известны. §5. Оптимизация многоступенчатых ракет. Первые исследования проблемы достижения космических скоростей показали, что энергетические характеристики возможных компонент реактивного топлива и прочностные параметры конструкционных материалов не позволяют осуществить выход в космос с помощью одноступенчатой ракеты. Поэтому единственная возмож- ность разогнать полезную нагрузку до необходимой скорости, предложенная осново- положниками космонавтики и реализованная на практике, состояла в использовании 38 ракет многоступенчатых с незамедлительным отделением отработавших ступеней по мере выгорания топлива. Тем самым часть массы конструкции, выполнившая свою функцию, отбрасывалась и оставшееся топливо не расходовалось на разгон уже не- нужных элементов. При всей видимой целесообразности этого приема остается не выясненным один вопрос: в абсолютном большинстве современных ракет сбрасываемые ступени – это не только топливные баки, но и конструктивно связанные с ними движители. А имеет ли смысл сбрасывать, хоть и по частям, движитель? 5.1. Управление массой двигательной системы. Исторически первой задачей механики космического полета, при формулировке которой учитывалась масса двига- тельной системы, была задача оптимизации многоступенчатых ракет. Примем массу двигательной системы M  состоящей из массы движителя M  и массы контейнеров для хранения рабочего тела M  : M M M    Решение задачи об оптимальном уменьшении массы M  баков по мере израсходования запаса M  рабочего тела дви- жителя получено в ряде работ в классе кусочно-постоянных функций ( )M t (см., напр., [47]). Задача об оптимальном управлении массой движителя M  существенно отлича- ется от задачи сброса освободившихся элементов конструкции, не связанных с дви- жителем. Если необходимость немедленного отделения освободившихся контейнеров для хранения топлива не вызывает сомнения даже на уровне здравого смысла (что, как было отмечено в п. 3.4, оказывается не всегда целесообразным!), уменьшение массы движителя сопряжено со снижением максимальной тяги 0T , поскольку M  и 0P связаны функциональной зависимостью: 0 0( ), 0M M T M T      . Очевидно, реактивное ускорение 0 ( )a T M M M     при этом убывает. Действительно, при сбросе части движителя массой M  уменьшается не только знаменатель, но и чис- литель этого выражения, причем на большую величину 0 1T M     , поскольку произведение ускорения тяготения g на удельную массы 1 движителя (см. (1.13)) для современных ЖРД – величина порядка 0,01. Поэтому необходимость сброса части движителя в процессе выполнения маневра отнюдь не очевидна. Указанные сообра- жения побудили автора исследовать проблему управления массой двигательной сис- темы с позиции управления массой собственно движителя в чистом виде, принимая при формулировке вариационной задачи, что 0( )M M T  , т.е. вообще не учитывая массу контейнеров. Следует иметь при этом в виду, что полученные результаты име- ют ценность не только с методической точки зрения, поскольку могут быть пересчи- таны с учетом массы топливных баков на основе соображений, приведенных в п. 1.3. В качестве примера, иллюстрирующего целесообразность включения участка из- менения массы двигателя ограниченной скорости истечения в состав оптимальной траектории, рассмотрим маневр набора в однородном гравитационном поле макси- мальной скорости в направлении, противоположном силе тяжести: 0 0; (0) 1 (0); ( ) ;f T m a m a m t m V          0 0 1; (0) 0; ( ) min;f a T v v v t m a           ; (0) 1, ( ) .ft opt      (5.1) Фазовая координата  в системе (5.1) определяет текущее относительное значение массы двигательной системы: ( ) ( ) ( )ft m t m t   . Удается показать [14], что опти- мальные управления величиной тяги T и скорости истечения V в этой задаче гра- 39 ничные: 1, 1T V  . Это позволяет применить для построения оптимальной траекто- рии метод, предложенный в работе [114], и осуществить синтез оптимального управ- ления массой двигательной системы. Подставляя 1T  и 1V  в систему (5.1) и ис- ключая время t и управление  , представим конечную скорость в виде криволиней- ного интеграла по оптимальной траектории L на плоскости ( , )m  : 0 0 1 1 ( ) 0 . L v T dm d a m a                Состав оптимальной траектории определяется путем исследования знака фунда- ментальной функции: 0 2 2 0 0 1 . ( ) a m a a         На рис. 32 проиллюстрирован метод по- строения оптимального решения рассматри- ваемой задачи. Точкой O здесь отмечена проекция начала оптимальной траектории на плоскость ( , )m . Если точка O лежит выше линии 0  , оптимальная траектория состоит из отрезков границы области 0  , проходимых в следующем порядке: 1) Om – движение с постоянной массой движителя: ( 1, 0)   ; 2) mf – движение по сингулярной дуге   0 0a m     до некоторого (заранее не фиксированного) значения ( )ft , достигаемого при вы- полнении граничного условия ( )fm t . Уравнения движения (5.1) на обоих участках оптимальной траектории интегрируются в элементарных функциях. Выражение для вычисления конечной скорости может быть представлено следующим образом:       2 0 0 0 0 1 ( ) 1 ln ln lns f a v t a m a a              (5.2) Оптимальное значение начальной тяговооруженности 0 sa a , определенное из условия максимума по 0a величины ( )s fv t , не зависит от величины полезной массы m и определяется только величиной  , характеризующей массовое совершенство двигателя:  1 2sa    . Особый участок начинается при выполнении условия (1 ) (2 )m m       . Конечное значение относительной массы движителя вычис- ляется по формуле    ( ) 2 1ft m     . Если прямая 0  проходит выше точки O , оптимальная траектория начинается с мгновенного ( )n   сброса двига- теля до некоторого значения  при постоянном ( ) (0)m t m  , далее следует осо- бый участок. Рассмотренный случай соответствует неоптимальному (завышенному) значению начальной массы двигательной системы. При выполнении неравенства    1 2m     вся область допустимых положений лежит выше линии 0  Рис. 32 40 и оптимальная траектория не содержит сингулярной дуги. Следовательно, выполне- ние этого неравенства свидетельствует об неоптимальности уменьшения массы дви- гательной системы при наборе максимальной скорости в однородном гравитационном поле. На рис. 33 заштрихована область отсутствия сингулярной дуги в составе оптимальной траек- тории. Таким образом, исследование непрерыв- ной модели позволило указать на плоскости ( , )m  область, в которой любое (как непре- рывное, так и ступенчатое) уменьшение массы двигательной системы не приводит к увеличе- нию конечной скорости ракеты. Представляет интерес определение эффек- тивности оптимального управления массой дви- гателя путем сравнения величины конечной скорости (5.2), соответствующей опти- мальному значению начальной тяговооруженности и оптимальному управлению, с конечной скоростью ракеты с постоянной массой m : 0 0 0 0 1 ( )1 ( ) ln ( ) m a v T m a a          , (5.3) вычисленной при оптимальном значении 0a двигателя постоянной массы: 2 0 1 (1 ) (1 ) . 2 4 m m m a m           (5.4) Зависимость отношения sv (5.2) к 0v (5.3) от удельной массы двигателя  представ- лена на рис. 34 для различных значений полезной массы ракеты. Эффективность сброса массы двигателя возрастает с уменьшением массы полезной нагрузки. Сравне- ние оптимальных значений  1 2sa    (кривая І на рис. 35) и 0a (5.4) (кривая ІІ при 0,01m  ) указывает на существенное увеличение оптимального значения на- чальной тяговооруженности при переходе к двигателям с изменяемой массой. Проведенное исследование подтверждает эффективность сброса части массы движителя независимо от положительного влияния сброса освободившихся топлив- ных баков. Интересной особенностью оптимального решения является независимость оптимального начального ускорения  1 2sa    от одного из двух определяю- щих параметров задачи – от относительной массы разгоняемой полезной нагрузки 0m M M  . Преобразуя дифференциальное уравнение изменения скорости (второе уравнение системы (5.1)) с учетом соот- Рис. 33 Рис. 35 Рис. 34 41 ношения 0 0m a a      , выполняющегося вдоль сингулярной дуги, убеждаемся в том, что движение на участке уменьшения массы движителя происходит с постоян- ным ускорением (1 1  ), также не зависящим от m . Таким образом, режим набо- ра скорости ( )s T определяется степенью конструктивного совершенствования дви- жителя (значение  ), кроме момента окончания разгона ft , который находим из ус- ловия ( )fm t m  . 5.2. Оптимальная ступенчатая реализация идеальной оптимальной про- граммы управления массой двигателя. Рассмотрим задачу об оптимальной ступен- чатой реализации изображенной на рис. 3.2 программы управления массой движите- ля. Исследуем задачу о наборе максимальной скорости при вертикальном подъеме в однородном гравитационном поле без сопротивления с двигательной системой, сек- ционированной параллельно [16]. Предельный случай бесконечно большого числа бесконечно малых секций соответствует непрерывному управлению массой M  , изу- ченному выше. Уравнения движения при оптимальных значениях управлений интег- рируются в элементарных функциях, конечная скорость ( )v T вычисляется по формуле 1 0 1 0 ( ) ln . i in f fi i i m a v t t m a           Здесь через im обозначена сумма полезной нагрузки m и запаса рабочего тела, остающегося к моменту сброса i -ой секции двигательной системы, так что 0,n im m a   – масса движителя после сброса 1i  -ой секции. Величина конечной скорости зависит от 2n параметров: 1 2 1 2 0 0 0, , ..., ; , ,...,n na a a m m m   . Зафиксировав зна- чения 1 2 1, , ..., nm m m    ( nm m  задано), определим оптимальные значения 0 ia из ус- ловия максимума функции ( )fv t : 1 1 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 4opt m m m m a            ; 1 1 2 1 2 ( ) 2(1 ) (1 )4(1 ) i i i i i i i opt m m m m m m a                   ( 2, 3,..., )i n . Поиск максимума конечной скорости по 1n  переменной 1 2 1, ,..., ;nm m m    1 2 1... nm m m      проводится численно. Проведем сравнение полученных результа- тов со случаем непрерывного управления массой двигательной системы. На рис. 36 представлены оптимальные законы управ- ления массой движителя на плоскости ( , )m m  при различном числе n секций (линия с меткой n   – непрерывное управление). Приведенные зависимости соответствуют следующим значениям па- раметров: 0,1; 0,01m   . Эффектив- ность управления массой движителя может быть оценена с помощью кривых на рис. 37. Здесь по оси ординат отложено Рис. 36 42 отношение конечной скорости ( )n fv t ап- парата, двигательная система которого состоит из n секций, к конечной скорости ( )fv t , соответствующей непрерывному управлению величиной m . Сравнение приведенных данных показывает, что уже при 3n  потери конечной скорости 1( )fv t от замены оптимального непрерыв- ного закона ступенчатым не превосходят 6% при 0,01m  . При увеличении массы полезной нагрузки до 0,1m  оценка по- терь снижается до приемлемого уровня – 1%. 5.3. Theoria cum practice. Из большого числа работ, в которых проведен весовой анализ многоступенчатых ракет отметим монографию [3], в которой обсуждаются различные системы безразмерных весовых параметров, применявшихся разными ав- торами при оптимизации многоступенча- тых систем. Приведем в заключение неко- торые соображения относительно применения секционированных двигательных сис- тем. Хотя преимущества параллельной схемы очевидны уже при простом массовом анализе, трудности практической реализации, особенно для ракет, движущихся в ат- мосфере, привели к тому, что в современной космонавтике получила распространение смешанная схема: первые две ступени соединены параллельно, последующие – после- довательно. Вместе с тем, уже реализованная схема без принципиальных конструктив- ных изменений может быть усовершенствована с целью повышения ее эффективности. Рассмотрим двухступенчатую ракету, выполненную по схеме: центральный блок (вторая ступень) параллельно соединен с четырьмя боковыми блоками первой ступе- ни (РН «Восток», «Союз»). Боковые блоки первой ступени выполняются одинаковы- ми, так что первая ступень пакетной по сути схемы используется как обычная моно- блочная ракета, хотя и разделенная на четыре блока. Выполнение же первой ступени из блоков с различным запасом топлива, отделяемых по мере его израсходования, позволяет при непринципиальных конструктивных изменениях повысить доставляе- мую полезную массу. Это повышение при реализованных в настоящее время значени- ях удельной массы баков  и движителя  имеет порядок единиц процентов. Однако в специальных случаях, когда требуется повышенная прочность корпуса ракеты и высокие значения начальной тяговооруженности (твердотопливные ускорители, на- пример), а, следовательно, относительно большая сухая масса блока, первая ступень пакетной схемы, выполненная из двух пар блоков разного объема, оказывается весьма эффективной. Во вторых строках таблиц, 1, 2 приведены результаты расчетов величи- ны полезной массы m двухступенчатой ракеты с первой ступенью из двух пар раз- нообъемных блоков. Во третьих строках приведены для сравнения полезные массы om для двухступенчатой ракеты с первой ступенью с равнообъемными блоками. В третьих строках указано превышение m над om в процентах от 0m . Через  обозна- чена масса части конструкции блока, не зависящая от объема топливных баков. Все значения масс отнесены к начальной массе ракеты. Полезные массы рассчитывались для маневра с заданным отношением характеристической скорости к скорости истече- ния, равным ln10 . Данные табл. 1 получены при 0,01  , табл. 2 – при 0,1  . Рис. 37 43 Таблица 1  0,1 0,15 0,175 m 0,03386381 0,01340836 0,00386084 0m 0,03263547 0,01269703 0,00248092 % 3,8251 11,5 56,4274 Таблица 2  0,01 0,015 0,02 m 0,03386381 0,02552555 0,01752164 om 0,03263547 0,01206719 0,00444582 % 3,8251 111,5285 294,1149 Таким образом, переход от равноблочной схемы первой ступени к двум парам разнообъемных блоков повышает полезную массу ракеты. Дальнейшее повышение полезной массы при переходе к первой ступени из блоков трех разных объемов ока- зывается уже несущественным. Так, при 0,1  и 0,015  получаем 114,7  % (ср. с 111,5 % в табл. 2). §6. Проблемы математического описания ракетных двигателей как объектов управления. Проблема формализованного описания свойств и особенностей функционирова- ния изучаемых объектов, перманентно актуальная для научного познания, особенно обострилась на современном этапе в связи с беспрецедентной экспансией количест- венных подходов, стимулируемой безудержной компьютеризацией, с одной стороны, и осознанием научным сообществом роли математики как единственного языка меж- дисциплинарного общения, способного укротить хаос вавилонского столпотворения современной науки, не дать «реке знаний ...распасться на отдельные ручейки и иссяк- нуть» [60, стр. 14]. Важной особенностью процесса формирования идеологии форма- лизованного описания является его принципиальная неисчерпаемость, отражающая как объективную структурно-функциональную бесконечность мира объектов, так и неограниченность целей исследующих этот мир субъектов. Поэтому интерес к совер- шенствованию инструментария формализованного описания не снижается даже среди специалистов тех разделов науки, которые уже обладают развитой системой апроби- рованных математических моделей. Не является исключением в этом смысле и теория управляемых систем. Любую математическую модель можно сделать еще более полной. Но «никому не объять необъятного», тем более что чем полнее, тем сложнее. И не только количест- венно (помни «проклятие размерности»!), но часто и качественно. Яркий пример – последовательность моделей зависимости величины тяги от расхода топлива: от клас- сической прямой пропорциональности до далекой от разрешения проблемы вычисле- ния тяги ракеты, движущейся в атмосфере с учетом взаимодействия реактивной струи с потоком, обтекающим корпус ракеты. Очевидно, модель объекта должна быть адекватной лишь одному: цели исследования. Только в этом представляется выход из Бермудского треугольника В. С. Шеховцова (КБ «Южное»): 1) необходимость получить результаты наиболее точно; 2) необходимость просмотреть как можно больше вариантов; 3) необходимость выполнить работу к сроку – часто при жестких ограничениях на доступные для этого ресурсы. Каким образом такая модель может быть построена, обсуждается ниже. Основная масса существующих и вновь создаваемых человеком технических объектов относит- ся к разряду управляемых. При формализованном описании их функционирования к 44 обычным трудностям отображения естественных закономерностей, обеспечивающих их функционирование как объектов косной материи, добавляется необходимость уче- та возможностей управляющего субъекта влиять на их движение. Это свойство отра- жает их принципиальное отличие от описания естественно протекающих неуправляе- мых процессов и добавляет к традиционным при исследовании последних проблемам существования, единственности и устойчивости решений уравнений движения спе- цифические проблемы управляемости и выбора желаемого варианта из бесконечного (как правило) множества способов достижения целей управления. Указанная особен- ность стимулирует использование возможно более простых математических моделей, хотя бы на начальных этапах разработки концепции будущего технического объекта, когда представления о его возможностях, целях и оценках качества функционирова- ния еще не сформулированы окончательно. Вместе с тем, в естественном стремлении создать объект, который должен будет функционировать наилучшим образом, зало- жена возможность строить такие упрощенные модели. Эта возможность базируется на том, что совокупность «хороших» движений, как правило, составляет собственное подмножество множества движений допустимых, имеющее меньшие не только раз- меры, но часто и размерность, по крайней мере в пространстве управлений. Понятно, что математическая модель объекта, представляющая собой, по сути, отображение уже редуцированного множества управлений на множество допустимых фазовых ско- ростей, может быть сформулирована с использованием более простых формализмов. Ниже рассматривается реализация предложенного подхода при формулировке мате- матических моделей ракетных двигателей. Как отмечено в п. 1.2, абсолютное большинство классических и современных ра- бот по оптимизации траекторий КЛА выполнено с использованием наиболее простой математической модели зависимости величины тяги ракетного двигателя T от расхо- да рабочего тела q : T qV , где эффективная скорость истечения газов из сопла дви- гателя принимается постоянной. Эта формула, справедливая для ракеты, движущейся в вакууме, требует коррекции при описании маневров ЛА с ракетным двигателем в атмосфере. К каким неожиданным результатам может привести уточнение классиче- ского математического описания процесса генерирования тяги с учетом внешнего фактора – давления атмосферы – видно из содержания §4. Как будет показано ниже, более точный учет внутренних характеристик процесса генерирования тяги ракетного двигателя также в значительной степени корректирует полученные ранее результаты. Традиционно мерой эффективности генерирования реактивной тяги принимается отношение величины тяги T к весу рабочего вещества gq , расходуемого в единицу времени: ( )spI T gq . Величина spI , именуемая удельным импульсом ракетного дви- гателя, имеет размерность сек. Трактовка такой размерности: «кГ тяги на кГ топлива в секунду», – была естественной при привычном в прошлом использовании системы единиц МКГСС. Отношение же величины тяги в Н к массовому секундному расходу рабочего тела q в кг/сек имеет размерность скорости V T q и является так назы- ваемой эффективной скоростью реактивной струи [9]. В современных исследованиях оптимальных движений космических аппаратов продолжают использоваться класси- ческие математические модели ракетных двигателей как объектов управления. В ра- боте [96] автором настоящего обзора предложены описания двигателей, учитываю- щих некоторые основные особенности генерирования реактивной тяги и прибли- жающих соответствующие математические модели к реальным жидкостным, элек- трическим и ядерным ракетным двигателям. При использовании этих моделей для анализа оптимального управления движением ракет установлено, что множество управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, состоит из дуги границы конструктивно допустимого множества, заключенной между точками максимальной тяги и максимальной скорости реактивной струи. Результат инвариан- тен по отношению к краевым условиям маневра и функционалу задачи Майера. 45 6.1. Оптимальное управление тягой жидкостных ракетных двигателей. Оценка эффективности генерирования реактивной тяги величиной скорости реактив- ной струи V , как отмечено выше, хотя и соответствует здравому смыслу, требует дополнительного анализа. Вместо классического представления о возможности неза- висимого регулирования величин P и V примем следующую двухрасходную мате- матической модель жидкостного ракетного двигателя ЖРД [36]: расход рабочего тела q состоит из расходов топлива u и окислителя w , которые принимаются независи- мыми управлениями, определяющими величину тяги T . Тогда имеют место соотно- шения ( , );T T u w q u w   . (6.1) Введем в рассмотрение функцию w u  (аналог коэффициента избытка окис- лителя) в (6.1) и выразим зависимость ( , )T u w в виде ( , )T q V q   . (6.2) Такое представление удобно для дальнейшего анализа в связи с тем, что практи- чески для всех используемых в ЖРД двухкомпонентных топливных смесей зависи- мость скорости истечения V от q и  обладает следующими свойствами: 1) при фиксированном fq q скорость струи ( , )fV q  – унимодальная функция  с мак- симумом в точке, близкой к стехиометрическому соотношению s расходов компо- нентов u и w , обеспечивающему полноту экзотермической реакции их взаимодейст- вия в камере сгорания; 2) при фиксированном же f  функция ( , )fV q  в формуле (6.2) – монотонно возрастающая (с горизонтальной асимптотой) – за счет возрастания давления и температуры в камере сгорания двигателя, имеющей заданный объем, при увеличении расхода топливной смеси [2]. При этом уравнения движения центра масс ракеты могут быть представлены в виде ; ( ); . T r v v e R r M q M             (6.3) Рассмотрим задачу о переводе ракеты из заданного начального многообразия 0S на предписанное конечное многообразие 1S в пространстве – времени ( , , )r v t   с ми- нимальным значением выбранной функции конечного положения ( ( ),fr t  ( ), )f fv t t  . Анализ оптимального управления проведем с использованием принципа максимума. Сформируем функцию H : 0 ,v m T H e q H M       (6.4) где v и m – сопряженные функции. Часть 0H функции H , не зависящая от управ- ляющих функций ( ), ( )q t t и ( )e t  , вычисляется по формуле: 0 ( )r vH v R r        . Анализ формулы (6.4) иллюстрирует ошибочность общепринятого представления об оптимальности работы двигателя с минимальным значением скорости истечения. На самом деле, управляющие функции T и q должны выбираться из условия макси- мума их линейной комбинации (6.4), а не отношения V T q . Исследуя функцию H (6.4) на максимум по управлениям q и  , удалось установить, что оптимальные зна- чения ( )q t и ( )t принадлежат границе множества допустимых управлений Q . Дей- ствительно, часть функции H , зависящая от управлений, после выбора оптимального направления тяги: ( ) arg max ( , , ) v v e e t H e q       преобразуется к виду 46 1 ( , )v mH q V q m        (6.5) и не может принимать максимального значения во внутренней точке множества Q . При фиксированном f  величина 1H , как функция q , может обращаться в ноль не более чем в двух точках: (1) при 0q  и (2) при единственном – в силу монотонно- сти ( , )fV q  – значении 1q q , при котором равно нулю выражение в квадратной скобке в формуле (6.5). Последнее может иметь место лишь при 0m  . При этом 1( , ) 0H q   при 1q q . При 1q q 1( , )fH q  возрастающая функция q – как произ- ведение двух положительных монотонно возрастающих сомножителей. Следователь- но, оптимальное значение q либо равно нулю, если максимально допустимое значе- ние ( )fq  , отвечающее f , меньше 1( )fq  , либо равно максимально допустимому – граничному ( )fq  – в противном случае. Если 0 0[0, ] [0, ]Q u w  , оптимальные зна- чения ( , )u w принадлежат части отрезка границы Q от точки максимальной тяги до точки максимальной скорости истечения. Если двигатель выключается в какой либо внутренней точке оптимальной траектории, это точка максимального значения скоро- сти реактивной струи [36]. Поскольку указанные при любых значениях соображения выполняются при любых значениях сопряженных функций, полученный вывод инва- риантен относительно целей и цены управления. В работе [41] описана математическая модель ядерного ракетного двигателя, учи- тывающая ограниченность температуры и скорости разогрева реактора. Показано, что после разогрева реактора до максимально допустимой температуры и выхода на ре- жим максимальной мощности оптимальное значение реактивной тяги также принад- лежит отрезку границы множества допустимых управлений от точки максимальной тяги до точки максимальной скорости реактивной струи. То же справедливо по отно- шению к двухрежимным (bi–modal) двигательным системам [95]. 6.2. Эффективность оптимального управления величиной тяги ЖРД. В каче- стве примера рассмотрим задачу о наборе максимальной скорости при вертикальном подъеме в однородном гравитационном поле с использованием ЖРД. Начальную мас- су ракеты 0m представим в виде 0 0 0 (1 ) (1 )u u w wm m m m       . Здесь 0 um и 0 wm – начальные массы компонентов топливной смеси. Баковые коэффи- циенты u и w различаются в связи с разными плотностями компонентов. Осталь- ные элементы конструкции включены в m . Значения 0 0 0 , , , ,u w um m m m  и w – заданы. Необходимо определить управления ( )u t и ( )w t расходами компонентов, обеспечивающими разгон ракеты до максимальной скорости при полном израсходо- вании компонентов рабочего тела. Как показано в работе [36], расход одного из компонентов рабочего тела на ак- тивных участках траектории постоянен. Примем 0w w . Оптимальное значение рас- хода второго компонента ( )u t либо равно максимально допустимому 0u u , либо определяется из уравнения 0 0 0( , ) ( , ) ( )T u w T u w u w m    , (6.6) где  – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий. Скорость ( )v  , набираемая ракетой при подъеме, вычисляется по формуле 47 (0) 0 0 0 0 0( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) u u T u w T u w du v g T u w u w T u w         , (6.7) где  – время подъема. Пределы интегрирования в этой формуле задаются соотноше- ниями, следующими из формулы (6.6), записанной при 0t  и t  . Входящая в (6.6) постоянная  определяется из условия полного израсходования w -компонента топ- ливной смеси к моменту t  окончания разгона. Если зависимость 0( , )T u w кон- кретного двигателя аппроксимирована полиномом, квадратура в формуле (6.7) вы- числяется в элементарных функциях, так как подынтегральная функция рациональна. Заметим, что при 0g  формула (6.7) – обобщение формулы Циолковского на случай независимого регулирования расходов компонентов топливной смеси ЖРД. В этом случае ( )u t – монотонно убывает. Следовательно, тяга также монотонно убывает в процессе подъема. Таким образом, подъём начинается с наибольшей допустимой тя- ги. Оптимальность такого начала подъема вполне отвечает здравому смыслу: ведь масса ракеты в начальный момент наибольшая. По мере набора скорости подъема и уменьшения массы из-за расходования топливной смеси, тяга монотонно убывает, а локальная мера экономичности расходования рабочего тела для генерирования тяги – скорость реактивной струи V – монотонно возрастает, достигая наибольшего значе- ния в конечный момент времени. Чем меньше остается топлива, тем стремление его экономить становится все более приоритетным при выборе управления. Более того, в работе [36] показано, что при выключении двигателя во внутренней точке траектории ( t T ) скорость V достигает своего максимального, на множестве допустимых управлений, значения. В общем случае внутренние на интервале [0, ]T точки оконча- ния активных дуг – единственные точки траекторий. где управление тягой и расходом топлива отвечает здравому смыслу: отношение V T q – максимально. Замечание 1. При использовании топливной смеси с u w  и при разгоне в бес- силовом поле ( 0g  ) условие (6.6) есть условие максимума скорости реактивной струи 0 0( , ) ( )V T u w u w  . Расходы компонентов топливной смеси ( )u t и ( )w t при этом постоянны в течение всего времени разгона. Это единственный случай выполне- ния всего маневра при 0V V [36]. Напомним, что именно этот режим работы ЖРД предполагается оптимальным при решении задач управления движением ракет в классической ракетодинамике [27]. Замечание 2. Существенное отличие полученного режима управления тягой ра- кетного двигателя от классического – с максимальной тягой – управления состоит в переменности величины тяги, хотя и при принадлежности управления вдоль активных дуг оптимальной траектории границе множества допустимых управлений. Участки переменной тяги, оптимальность которых подтверждена с использованием классиче- ской математической модели двигателя, являются либо участками особого управле- ния (см. §3), либо дугами траектории, лежащими на границах множества допустимых положений в фазовом пространстве. Замечание 3. Необходимые условия оптимальности [8] особого управления рас- ходом 2 2( ) : 0, 0u t H u H u      в рассматриваемой математической модели ЖРД не выполняются, поскольку 2 2 2 2 1 0( , ) 0vH u T u w u m       , т. к. базис-вектор Лоудена 0v  , а функция 0( , )T u w – строго выпукла вверх. Поэтому реализация предсказанного в п. 3 движения с тягой, меньшей, чем та, которую развивает двига- тель в точке максимума скорости истечения, возможна лишь при скользящем режиме управления величиной тяги. Таким образом, управления расходами топлива ( )u t и окислителя ( )w t , удовле- творяющие необходимым условиям оптимальности, в общем случае, принадлежат 48 дуге границы множества допустимых управлений, заключенной между точками мак- симальной тяги и максимальной скорости истечения. Оценка эффективности опти- мального управления по сравнению с традиционным ( ( ) const, ( ) constu t w t  ) при- ведена в работах [36, 41]. Преимущество оптимальных управлений существенно в аварийных ситуациях при потере части запаса одного из компонентов топливной сме- си ЖРД [42]. 6.3. Оптимальное управление тягой электрических ракетных двигателей. Большая часть результатов классической и современной теории оптимальных движе- ний КА с электрическими ракетными двигателями (ЭРД) получена с использованием двух моделей двигательных систем [14]. Модель идеально регулируемого двигателя предполагает возможность неограниченного независимого регулирования величин тяги T и расхода q рабочего вещества; модель нерегулируемого двигателя – посто- янство величин тяги и расхода и возможность многократного включения-выключения движителя. Общим для всех моделей ЭРД является ограниченность подводимой к движителю электрической мощности максимальным значением 0N мощности борто- вого источника энергии. Теория рабочих процессов в реальных ЭРД дает следующие формулы для вычис- ления величины тяги и расхода рабочего вещества [99]: 2 2 ( ); .b b c T I U U q I         (6.8) Здесь c – отношение ионного тока, непосредственно обеспечивающего генерирова- ние тяги, к току I , складывающемуся из ионного и электронного токов; c – отно- шение анодного расхода к полному расходу рабочего вещества через движитель. Ко- эффициент ( )U учитывает потери натяжения в реальных движителях. Постоянная  определяется типом рабочего вещества: 1 am e  , где am – масса атома; e – заряд электрона. Формула (6.8) используется в качестве математической модели плаз- менного ЭРД с ограниченной мощностью: 0N I U N   . Максимальная электриче- ская мощность 0N , подводимая к движителю, принимается, как и раньше [14], про- порциональной массе vM источника мощности: 1 0 vN M  . Массовый коэффициент  , зависящий от мощности 0( )N  , принимается в большинстве современных публикаций постоянным. Рассмотрим вариационную задачу Майера с уравнениями движения центра масс КА (6.3), записанными с учетом соотношений (6.8). Управляющими функциями вы- берем I и U . Функция Понтрягина H принимает вид 02 ( )v m b c H I U U H m                . (6.9) Формула (6.9) записана с учетом условия совпадения оптимального направления вектора тяги с базис-вектором Лоудена v . Как видно из (6.9), точки поверхности ( , )H H I U – точки гиперболического типа, поэтому максимальные значения функ- ция H принимает в граничных точках множества допустимых управлений. Отметим, что на активных участках траектории 0I U N  . Подставляя 0I N U в (6.9) и ис- следуя полученную при этом функцию H на максимум по U , получаем уравнение для определения оптимального значения напряжения U : [ ( ) ( )] 2 ( ) 0 ( ( ))m v cU U U U U U M             . (6.10) 49 Заметим, что 0c  и базис-вектор Лоудена v на регулярных дугах в нуль не обращается. В стационарной точке функции ( )H U выполняется условие (6.10), при этом вторая производная функции H по U отрицательна: 2 2 2 2 [ ( ) ( )] sign sign ( ) 1 2 ( ) H U U U U U UU              , (6.11) поскольку коэффициент ( )U реальных двигателей – возрастающая функция с убы- вающей первой производной. Следовательно, корень уравнения (6.10) – точка макси- мума функции ( )H U , поэтому полученное при решении этого уравнения значение напряжения – оптимально. Поскольку (6.11) выполняется в любой стационарной точ- ке функции ( )H U , корень уравнения (6.10) – единственный. Замечание 1. Величина тяги T , вычисленная при 0I U N  , принимает значение 1 0 2 ( )b N U U    ; если же U – корень уравнения (6.10), оптимальная величина тяги вычисляется по формуле 0 [ ( ) ( )] b N T U U U        . Выражение в квадратных скобках – возрастающая функция U , поскольку его производная по U : ( ) 0U U  , т.к. ( ) 0U  ; следовательно, величина ( )T t оп- тимальной тяги убывает при увеличении ( )U t и увеличивается при ( ) 0U t  , причем значение ( ) 0U t  не достигается в связи с тем, что ( )I t  при ( ) 0U t  (расход рабочего тела движителя бесконечно возрастает (см. (6.8)) с учетом 0I N U . Таким образом, как и в классической теории оптимальных движений с идеально регулируе- мым двигателем, в состав оптимальной траектории не входят пассивные участки. Замечание 2. Упрощение уравнений обсуждаемой математической модели заме- ной 0( ) constU   , приводит, с учетом изложенного выше, уравнение изменения массы КА к виду 2 2 0 0 * 0 2 , 2 b b c I UdM a M a dt N M                     , (6.12) где a – реактивное ускорение. Уравнение (6.12) интегрируется в квадратурах. Это позволяет, подобно тому, как это было сделано для идеально регулируемого двигате- ля, разделить задачу доставки максимальной полезной массы при фиксированной стартовой массе КА на динамическую и параметрическую части. В классических формулах распределения начальной массы КА на полезную, массу двигательной сис- темы и массу начального запаса рабочего вещества [14] необходимо заменить удель- ную массу двигательной системы  на отношение   . Замечание 3. В реальных плазменных ЭРД ограничение 0N I U N   уточняется заданием вольтамперной характеристики источника мощности. В работах [96, 99] представлены результаты исследования оптимального управления движением КА с ЭРД с солнечной батареей. В дополнение к отмеченным выше свойствам управления показано, что оптимальное значение напряжения ( ) [ , ]T xxU t U U , где TU – напряже- ние, соответствующее максимальной тяге, xxU – напряжение холостого хода (точка максимальной скорости истечения). Оптимальное значение тока ( )I t определяется уравнением вольтамперной характеристики ( )vI I U . 50 Таким образом, для обсуждаемых в данном разделе математических моделей жидкостных, ядерных и электрических ракетных двигателей оптимальное управление величиной тяги принадлежит границе конструктивного множества допустимых управлений и изменяется в диапазоне от точки максимума тяги до точки максимума скорости реактивной струи. Это утверждение инвариантно относительно краевых ус- ловий выполняемого маневра и функционала оптимизационной задачи Майера [96]. 6.4. Математические модели оптимально управляемых объектов. Подведем итог вышеизложенному. В тех случаях, когда анализ необходимых условий опти- мальности, примененных к некоторой достаточно общей математической модели объ- екта управления, позволяет сузить в пространстве управлений (и, возможно, состоя- ний) исходное множество положений объекта, которые могут встречаться на опти- мальных режимах, появляется возможность построения уточненного математического описания функционирования объекта с редуцированным множеством возможных по- ложений. Такое описание назовем математической моделью оптимально управляемо- го объекта. Цель построения таких моделей – уточнение и конкретизация математи- ческого описания возможно более простыми средствами. В упомянутой в разделе 6.2 работе [41] описан процесс построения математической модели оптимально управ- ляемого ЖРД, работающего на топливной смеси кислород–водород. 6.5. Theoria cum practice. При обсуждении описанных выше математических мо- делей ракетных двигателей часто высказывались сомнения относительно целесооб- разности их формулировки вместо простейших классических, в то время, когда суще- ствуют сложные многопараметрические описания, учитывающие специфические осо- бенности столь сложной конструкции, которой является современный ракетный дви- гатель. Ответом на замечания подобного рода служит утверждение о том, что матема- тическая модель изучаемого объекта должна быть адекватна цели исследования. На- пример, нелинейная математическая модель ЖРД 11Д58МФ, разрабатываемого в РКК «Энергия», соответствует поставленным при ее разработке задаче: «моделировать маршевый режим работы двигателя, осуществлять энергетическую увязку параметров двигателя в условиях отклонения статических характеристик трубопроводов и всех его агрегатов (насосов, турбин, камеры сгорания (КС), газогенератора (ГГ), дроссе- лей, шайб и прочего и проводить всевозможные исследования связанные: с изменени- ем схемы двигателя; с аномальными и аварийными ситуациями; с работой двигателя совместно со стендовыми и ракетными системами и т. п.» [5, с. 16]. Но разрабатывать такую подробную модель для понимания необходимости работы ЖРД с регулируе- мым отношением компонентов топливной смеси, по меньшей мере, нерационально. Динамический смысл подъема ракеты с ЖРД с переменным соотношением расхо- дов компонентов топлива понятен: в начале движения необходимость разгона требует использовать режим, обеспечивающий максимальную тягу, пусть даже за счет не слишком выгодной расходной эффективности. По мере набора скорости и уменьше- ния разгоняемой массы соображения экономии сокращающегося запаса топлива на- чинают в возрастающей степени влиять на выбор управления расходами, повышая удельный импульс с некоторой потерей силы тяги. Возможность практической реали- зации этой идеи подсказана здравым смыслом. В 70-е годы изучается концепция двух- режимных ЖРД с трехкомпонентной топливной смесью [118]. Разработан двигатель, который «умеет работать в двух режимах: сначала как двигатель первой ступени, при этом в камере сгорания сжигаются традиционные для «околоземного» участка кисло- род (81,4%) с керосином (12,6%) и к ним еще добавляется водород (6%), а затем как двигатель второй ступени: на этот раз в той же камере сгорания сжигаются доказав- шие свою эффективность на «космическом» этапе полета кислород (86%) и водород (14%)» [65]. Отказываться от выбора идеального стехиометрического соотношения расходов приходится из-за того, что плотности горючего и окислителя часто очень различаются и требуемые для идеального соотношения баки слишком отличаются друг от друга по 51 объему и, следовательно, по массе. Несколько уменьшив больший бак, можно уменьшить суммарную массу баков, проиграв при этом в величине удельного им- пульса. В результате некоторая часть одного из компонентов топливной смеси не уча- ствует в экзотермической химической реакции компонентов, происходящей в камере сгорания, активно сбрасывается через сопло вместе с продуктами сгорания как инертная масса. Часть энергии, выделившаяся при реакции, расходуется на ускорение этой инертной массы, что уменьшает удельную – на единицу сбрасываемой через со- пло массы – энергию. В результате этих потерь скорость реактивной струи уменьша- ется, а величина тяги, напротив, возрастает, в чем можно убедиться элементарным подсчетом [73]. Необходимо отметить, что инертная масса уже давно и эффективно используется, например, в твердотопливных ракетных двигателях, а её использование для повыше- ния эффективности жидкостных или ядерных ракетных двигателей не является в на- стоящее время принципиально сложной технической проблемой. Теоретический же анализ проблемы управления работой двигателя ракеты с некоторым запасом инерт- ной массы приведен в работе [71]. Результаты этого исследования подтвердили пред- положение об эффективности активного сброса имеющейся на борту инертной массы за счет энергии реактивной струи как способа увеличения полезного груза ракеты. В статье [82] при оценке перспективных ракетных двигателей сделан акцент на исполь- зование в водородно-кислородном двигателе углеводородов и алюминия в качестве инертной массы и регулируемого отношения расходов компонентов топливной смеси. В 1975 автор настоящего обзора предложил идею активного сброса отходов системы обеспечения жизнедеятельности (СОЖ) экипажа, естественно накапливающихся на борту КА [31]. Результаты подробного исследования возникающей при этом вариа- ционной проблемы на примере длительной пилотируемой экспедиции на Марс пред- ставлены в работах [35, 97, 98]. Выполненное сравнение эффективности активного сброса отходов СОЖ с использованием системы регенерации рабочих веществ СОЖ из отходов для повторного использования показало, что активный сброс может обес- печить соизмеримую по величине массу стартового комплекса на околоземной орбите при существенном снижении требований к степени замкнутости системы регенера- ции. Этот результат свидетельствует о принципиальной возможности выполнения длительных пилотируемых экспедиций с современными СОЖ. Однако необходи- мость разработки биорегенеративных СОЖ нового поколения диктуется не только стремлением обеспечить экспедиции к планетам. Они нужны и для обеспечения функционирования постоянно действующих поселений, где бы они не находились, и для снижения затрат на жизнеобеспечение экипажей пилотируемых станций на око- лоземных орбитах. Поэтому речь должна идти о сочетании активного сброса и реге- нерации! Использование активного сброса отходов дает возможность способствовать ре- шению и других проблем реализации длительных пилотируемых межпланетных экс- педиций. В монографии [77, с. 89] отмечается: «Регенерированная вода... является практически деминерализованной и в длительных полетах не может быть использова- на для питьевых целей… . Учитывая отрицательное воздействие на организм человека условий невесомости, проявляющиеся... в снижении водопотребления и возможности нарушений в работе сердечнососудистой системы, необходимо для водопотребления экипажа использовать полноценную питьевую воду». Если взять весь запас питьевой воды с Земли, то контейнеры с водой (и c отходами после ее использования) целесо- образно разместить в виде дополнительной защитной оболочки жилого модуля КА [10]. Как показывают современные оценки [69], приведенные в статье большого ин- тернационального коллектива исследователей (16 авторов), такая конструкция позво- лит ослабить дозы облучения в отсеке. При подлете к цели накопившиеся отходы сбрасываются через сопло двигателя за счет энергии реактивной струи при тормозном импульсе, увеличивая тягу. Указанный прием даст возможность также не иметь про- блем с очисткой регенерированной воды от дейтерия, содержащегося в ней в непри- 52 емлемой для длительного употребления для питья концентрации [122]. В заключение отметим развитие обсуждавшейся в 1974 г. с коллегами в ЦАГИ идеи производить горючее для ракетных двигателей из углеродосодержащих компонентов отходов СОЖ, которая, наконец, признана актуальной совсем недавно [84]. Обратим внимание на еще один чрезвычайно важный аспект проблемы осуществ- ления первых пилотируемых экспедиций к планете Марс. Одним из основных рисков экспедиции является возможность выхода из строя компонентов СОЖ. Попытка уве- личения надежности за счет дублирования этих компонентов не решает проблемы кардинально – с учетом невозможности быстрой доставки необходимого оборудова- ния с Земли. Единственный выход – выбор наиболее простых способов обеспечения условий существования экипажа. Понятно, что самый надежный способ – это СОЖ на запасах. Понятно, что плата за надежность – существенное увеличение стартовой мас- сы экспедиционного комплекса. Идея активного сброса отходов СОЖ для увеличения тяги маршевых двигателей при активном участке перехода с межпланетной обиты на орбиту спутника Марса, при старте к Земле и при переходе на орбиту спутника Земли (all rocket scheme – наиболее надежная схема, сохраняющая все элементы комплекса!) может оказаться достаточно эффективной. В работе [35] этот подход использован для оценки его эффективности по сравне- нию с общепринятой в современной научно-технической литературе идеей примене- ния биорегенеративных СОЖ с высокой степенью замкнутости. Расчеты проводились для различных вариантов выполнения пилотируемой экспедиции к планете Марс. На рис. 38, 39 представлены зависимости отношения начальной массы стартового ком- плекса 0M к массе M возвращаемого на орбиту спутника Земли модуля от вели- чины коэффициента регенерации СОЖ  . Рис. 39 соответствует использованию пер- спективных ЖРД в качестве маршевых двигателей( 0 4500m/sV  ), рис. 38 – ядерных ракетных двигателей ( 0 8250m/sV  ), принято 51mM  . Рис. 38 Рис. 39 Сопоставление сплошных (с использованием активного сброса) и штриховых (без сброса) кривых указывает на высокую эффективность сброса при малых значениях  . Интересно, что в случае применения ЖРД активный сброс без регенерации ( 0  ) дает результаты, соизмеримые с оптимальной СОЖ ( 0,5  ) без сброса. Для ЯРД эффективность оптимальной СОЖ ( 0,7  ) достигается уже при 0,2  с активным сбросом. Полученные результаты подтверждают возможность выполнения первых пилотируемых полетов к Марсу с современными СОЖ с низкими значениями коэф- фициента регенерации, не ожидая разработки биорегенеративных СОЖ, для чего, по современным оценкам, может уйти не менее 10 – 15 лет. 53 Осуществление предложенного варианта пилотируемой экспедиции на Марс и обсуждаемой в новых публикациях пилотируемой экспедиции к Венере с пребывани- ем космонавтов в верхних слоях атмосферы не требует разработки принципиально новой техники. Поэтому эти полеты можно выполнить намного раньше, до разработ- ки биорегенеративных СОЖ с намного меньшими затратами, исключив из сметы под- готовки экспедиций разработку этих СОЖ. Главное преимущество обсуждаемой схе- мы – высокая надежность уже апробированной техники. А что касается безаварийной реализации этих экспедиций – она, безусловно, не может быть предметом какой-либо дискуссии с гуманитарной и психологической точек зрения. §7. Особые оптимальные управления: история, достижения, проблемы. При характеристике типичных задач механики полета в монографии [50, с. 186] отмечается: «из определения вырожденного режима следует, что искомый оптималь- ный режим будет заведомо невырожденным лишь тогда, когда функция Гамильтона строго выпукла на множестве допустимых управлений. Но это гораздо более редкая ситуация, чем противоположная, в которой вырожденный режим нельзя исключить из рассмотрения в процессе исследования. Это подтверждается и на практике. Например, решения типичных задач оптимального управления полетом летательных аппаратов как атмосферных, так и космических, оказываются вырожденными... . По-видимому, этим следует объяснить то внимание, которое уделяется проблемам вырожденных (иначе – «особых») режимов…». 7.1. Краткий обзор основных этапов становления теории особых оптималь- ных управлений. Первая вариационная задача, связанная с развитием ракетной тех- ники, попытки решения которой продемонстрировали неэффективность классическо- го вариационного исчисления и стимулировали углубленный анализ ее особенностей, приведший к формулировке необходимых условий оптимальности особых управле- ний, была сформулирована Р. Годдардом в 1919 году [88]. Постановка и решение этой задачи приведены в п. 3.1. Результаты анализа оптимального управления, приведен- ные в работах [62, 94], указали на особенность задачи, вызванную ее вырожденно- стью: уравнение Эйлера оказалось конечным соотношением между фазовыми пере- менными, а не дифференциальным уравнением. «Существенно, что мы получили не дифференциальное уравнение, а конечное соотношение… . Это означает, что данная ракета с данной массой … на данной высоте…должна подниматься с вполне опреде- ленной скоростью…, которая является наивыгоднейшей» [62, с. 263]. Речь идет об уравнении поверхности особого управления (3.4). Стало ясно, что удовлетворить условиям задачи на концах траектории, используя только экстремаль Эйлера, в общем случае невозможно. Первое решение задачи [62] получено методом непосредственного исследования вариации задолго до введения Л.И. Розоноэром [64] понятия особого оптимального управления. В опубликованной в 1962 году работе Д.Ф. Лоуден [107] установил возможность включения в состав тра- ектории движения КЛА в ньютоновском центральном гравитационном поле участков переменной тяги (сингулярных дуг). Исследование условий оптимальности дуг пере- менной тяги в задаче Годдарда и спиралей Лоудена вызвало широкую дискуссию и стимулировало разработку необходимых условий более высокого порядка, чем урав- нения Эйлера и принцип максимума Л.С. Понтрягина. Краткий исторический обзор процесса разработки современной теории особых оптимальных управлений приведен во Введении в монографию [8], в которой проана- лизированы основные из сформулированных к настоящему времени необходимых условий оптимальности особого управления. Отметим, что этот обзор охватывает ра- боты, вышедшие после публикации 1959 года Л.И. Розоноэра [64], и не уделяет вни- мания роли перечисленных выше более ранних исследований задач механики полета ракет как заказа практической ракетодинамики на разработку методов, более адекват- ных проблематике современной техники, чем классическое вариационное исчисление, поскольку в монографии [8] рассмотрены лишь теоретические аспекты проблемы оп- 54 тимальности особых управлений. Напротив, в обзорной работе [108] авторов, непо- средственно связанных с космическими исследованиями: экс-директора ONERA (На- циональное агентство по исследованию аэрокосмического пространства, Франция) П. Контенсу (P. Contensou) и научного консультанта ONERA К. Маршаля (C. Marshal), – прямо отмечается: «С исторической точки зрения научные исследования в области оптимизации появились сравнительно недавно... . До наступления космической эры такие работы были редкими и носили, преимущественно, теоретический характер... . Широкие возможности для развития теории оптимизации открылись в связи с изуче- нием космоса.» [108, с.138))]. 7.2. Метод вычисления оптимальных траекторий с сингулярными дугами интегрированием от особого многообразия. Возможность включения участков пе- ременной тяги в состав оптимальной траектории усложняет задачу вычисления опти- мальных траекторий с сингулярным дугами, поскольку вырожденные задачи, в кото- рых такие траектории могут быть оптимальными, являются некорректными. К обще- известным трудностям решения некорректных задач (см. например, [72]) при по- строении оптимальных траекторий с использованием необходимых условий опти- мальности добавляются специфические особенности, связанные с «переопределенно- стью» особых участков. На этих дугах должны выполняться как условия оптимально- сти регулярных управлений, так и необходимые условия оптимальности особых управлений, что затрудняет вычисление соответствующих траекторий общеприняты- ми численными методами. Остановимся на проблеме построения оптимальных траекторий с сингулярными дугами первого порядка вырождения [8]. На особых участках кроме уравнений дви- жения и присоединенной системы, выполняются соотношения 1 0H  и 1 0H  , пред- ставляющие собой первые интегралы указанных уравнений с нулевыми значениями постоянных интегрирования. Необходимость одновременного выполнения этих двух соотношений в начальной точке сингулярной дуги t  накладывает на начальные значения фазового (0)x  и присоединенного (0) векторов ограничение 0( (0), (0))x    , причем многообразие 0 может быть описано до начала численно- го решения задачи лишь в тех редких случаях, когда уравнения движения и присое- диненная система интегрируются в элементарных функциях. В большинстве же прак- тически интересных задач построение оптимальных траекторий с использованием принципа максимума и необходимых условий оптимальности особых управлений сопряжено с поиском недостающих начальных значений (0) на неизвестном a priori многообразии 0 , выход на которое в процессе поиска представляется весьма мало- вероятным, а варьирование (0) без схода с 0 практически невозможно. Даже если в процессе поиска при одной из проб выполняется условие 0( (0), (0))x    , после- дующее варьирование значений (0) , приводящее к сходу с многообразия 0 , суще- ственно меняет характер траектории (особый участок вновь отсутствует) даже при малых вариациях (0) , в чем, в частности, и состоит одно из проявлений некор- ректности вырожденной задачи. Иллюстрацией к изложенному могут служить кривые на рис. 18 и рис. 19, демонстрирующие пример вариации траектории и управления в процессе поиска начальных значений компонент сопряженного вектора при замене значения одного из искомых параметров с 8,0127  на 8,0128  . Для вычисления оптимальных траекторий с сингулярными дугами автором на- стоящего обзора предложен метод вычисления оптимальных траекторий с сингуляр- ными дугами интегрированием от поверхности особого управления [33], развитый затем совместно со Злацким В.Т. до метода интегрирования от особого многообразия [24]. Суть предложенного метода состоит в переходе от поиска вектора (0) на неиз- вестном многообразии 0 к поиску «под фонарем» (Р. Беллман): вначале на множе- 55 стве точек, удовлетворяющем всем необходимым условиям оптимальности особого участка, определяется точка *( , )X x  , такая, что полученная интегрированием уравнений движения при обратном течении времени траектория проходит в фазовом пространстве через заданное начальное положение (с разумно выбранной степенью точности). Затем строится особый участок и определяется момент схода с него из ус- ловия попадания в конечное состояние и выполнения условий трансверсальности. Предложенный метод получил признание специалистов. Реакцией на публикацию в 1983 году статьи [24], в которой был предложен метод вычисления оптимальных траекторий с сингулярными дугами интегрированием от особого многообразия, был доклад одного из разработчиков современной математической теории оптимального управления, автора классического условия оптимальности особого управления перво- го порядка вырождения, Г. Келли (Henry J. Kelley) в соавторстве с Р. Кумером (Renjith Kumar), на Fifth AIAA Conference on Guidance, Navigation and Control (Monterey, California. – August 17–19, 1987), опубликованный затем в Journal of Guidance, Control and Dynamics [102]. Во введении к тексту доклада и статьи отмечается, что численное решение как прямыми, так и непрямыми методами задач сингулярного оптимального управления вызывает существенные трудности. Предложенный в нашей статье эф- фективный подход («An effective approach») воспроизводится ними в связи с недос- тупностью нашей статьи («This is capitulated herein on account of inaccessibility of [11]»; 11 – номер ссылки на эту статью в тексте упомянутого доклада, стр. 1). Под- робный анализ предложенного подхода представлен в статье [128], в которой рас- смотрена задача о подъеме– разгоне ЛА в вертикальной плоскости и проведено под- робное исследование зависимости структуры оптимальной траектории от краевых условий маневра. С использованием этого подхода исследована задача Годдарда с ограниченным временем подъема [130]. Исследования особенностей управления тя- гой при достижении максимальной высоты продолжаются с учетом фазовых ограни- чений. Например, в работе [120] рассмотрено влияние ограничений на величину ско- ростного напора набегающего потока. В статье [115] исследовано влияние кризиса сопротивления на управление тягой в задаче Годдарда. Из современных публикаций необходимо отметить исследование особых управ- лений в задаче оптимизации выведения спутника на геостационарную орбиту тяже- лым многоступенчатым носителем Ариан 5. Проведенный анализ показал, что при некотором увеличении («slightly modifying» [109, с. 55)] площади миделевого сечения ракеты и удельного импульса двигателя оптимальной становится траектория с сингу- лярной дугой. По сообщению http://mediasat.info/2014/12/16/ariane-6/ разрабатывае- мый к 2020 году новый европейский носитель Ариан 6 будет снабжен четырьмя уско- рителями, в отличие от двух на ракете Ариан 5. Эта модификация заметно – примерно на 30 процентов – увеличит площадь миделя ракеты. Кроме того, полученные оценки эффективности особого управления при выведении Арин 5 в статье [109] следует рас- ценить лишь как весьма первоначальные. Авторы ограничивают анализ траектории участком подъема до отделения ускорителей, на котором скорость движения еще сравнительно невелика. Необходимо исследовать весь участок работы двигателя пер- вой ступени. Судя по фото новой индийской ракеты-носителя GSLV Mark III (см. http://lenta.ru/news/2014/12/18/ind/)и китайской Long March 2F (http://www.spaceflight101.com/long- march-2f.html), их форма подтверждает целесообразность проведения подобного анали- за. То же относится и к российским РН «Союз», «Протон», «Ангара», носителям США SLS-1/EM-1, «Falcon Heavy», «Титан-34D», РН КБ Южное» «Маяк 43-2Т», «Маяк-33-4Н». Необходимо отметить также, что речь идет о баллистической целесо- образности дросселирования тяги. «Собственно глубокое гибкое регулирование тяги (ГГРТ) целесообразно для задач выведения с фиксированным временем полета при отработке больших или неопределенных возмущений... . Увеличение глубины регу- лирования тяги позволяет существенно расширить диапазоны допустимых начальных ошибок по дальности и времени запуска РН. Для первых ступеней ракет ГГРТ позво- 56 ляет решить проблему обеспечения движения с ограничением величины скоростно- го напора. Кроме того, для всех ступеней становится возможным формирование траектории полета с ограниченным (комфортным) значением перегрузки»[75, с. 13]. В больших обзорных работах [81, 128] состояние проблемы численного решения задач оптимального управления в механике космического полета анализируется с ак- центом на возможность преодоления трудностей [81] путем использования методов геометрического оптимального управления [132], метода гомотопии, а также некото- рых подходов теории динамических систем, успешно применяемых в астродинамике. Преодоление трудностей решения в значительной степени зависит от наличия и дос- товерности информации о структуре искомой траектории, количестве и расположении особых участков до начала вычислений [72, 128]. Информация такого рода может быть получена путем тщательного анализа необходимых условий оптимальности с учетом особенностей конкретной задачи. Подводя итог изложенному, подчеркнем перманентную актуальность формулировки накопленного к настоящему времени опыта численного решения задач оптимизации тра- екторий с сингулярными дугами, приведенной в [128, с. 727]: «Remark 2.9. It must be noted that, when implementing a shooting method, the structure of the trajectory should be known in advance, particularly in the case where the trajectory involves singular arcs ... . This remark shows the importance of being able to determine at least locally the structure of optimal trajecto- ries: this is one of the main issues of geometric optimal control theory...» (Перевод: Замечание 2.9. Следует отметить, что при использовании метода стрельб, структура траектории должна быть известна заранее, особенно в том случае, когда траектория включает в себя особые дуги... . Это замечание показывает важность иметь возможность определить, по крайней мере, локально структуру оптимальных траекторий: это один из основных вопро- сов геометрической теории оптимального управления). Отметим, что именно определение указанной структуры обеспечивает эффективность предложенного автором настоящего обзора метода построения оптимальных траекторий с сингулярными дугами. Как указано в упомянутой выше монографии ([8, с. 15]), «условие особенности не есть признак ... исключительности ситуации, скорее, – это сигнал о том, что задача достаточно сложна и ее нельзя до конца исследовать лишь принципом максимума (необходимым условием первого порядка)». «А переход к условиям высокого порядка диктуется не только потребностями конкретных вычислений, но и общим уровнем развития науки..., где, как правило, работа с первыми приближениями признается уже недостаточной, грубой»([8, с. 19]). Поэтому поток публикаций по методам решения задач оптимизации с особыми управлениями не иссякает [79]. По-видимому, именно сложность проблемы является причиной появления работ с ошибочными результата- ми. Так, авторы статьи [76, с. 302], опубликованной в научном журнале мирового уровня, приводят собственное исследование оптимальности особого управления в задаче Годдарда и делают вывод о том, «что в этой задаче, в законе изменения тяги промежуточного участка не может быть», отвергая достижения мировой науки. 7.3. Нерешенная проблема: особая оптимальность особых управлений. Рассмот- рим некоторые особенности, возникающие при вычислении сингулярных управлений. Ниже рассматриваются сингулярные дуги первого порядка вырождения, входящие в состав оптимальных траекторий динамической системы со скалярным управлением в задаче 0 1 1( ) ( ); { ,..., } ; ( ) ( ( )) minn f u dx f x uf x x x x J u x t dt      . (7.1) Здесь x n -мерный фазовый вектор, скалярное управление ( ) (0,1)u t  , ′ (штрих) – операция транспонирования. Сопряженная система записывается в виде: 0 1f fd u dt x x            . (7.2) 57 Для системы (7.1), (7.2) представим гамильтониан в виде 0 1 0 0 1 1( , , ) ( , ) ( , ); ( , ) ( ); ( , ) ( ).H x u H x uH x H x f x H x f x           В случае движения в трехмерном ( 3)n  фазовом пространстве с незаданным временем выполнения маневра все особые дуги лежат на поверхности особого управ- ления, поскольку вдоль этих дуг выполняются три соотношения 01 1 1 1 0 0 0 10; 0; 0. dfdH df H f H f f f dt dx dx                 (7.3) Выполнение этих соотношений с ненулевыми компонентами сопряженного век- тора  возможно лишь в случае равенства нулю определителя системы (7.3). Это условие и дает уравнение поверхности особого управления ( ) 0S x  . Важным свойст- вом этой поверхности является независимость самого уравнения от вектора  . Сле- довательно, поверхность особого управления инвариантна относительно как условий на концах траектории, так и терминального функционала. Понятно, что полное реше- ние задачи, включающее не только сингулярные, но и регулярные дуги, будет стро- иться с учетом указанных условий, но если в состав оптимальной траектории войдет сингулярная дуга, фазовые координаты управляемого объекта необходимо должны быть связаны соотношением ( ) 0S x  . Более того, поскольку это соотношение – пер- вый интеграл системы (7.1), (7.2) то управление ( )u t при движении вдоль сингуляр- ной дуги должно определяться из условия обращения в нуль производной по времени от функции ( )S x , т.е. 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S x S x u x f x f x x x        , (7.4) а величина управления в каждой точке сингулярной дуги определяется только поло- жением объекта в фазовом пространстве и не зависит ни от цели управления ( )fx t , ни от оценки качества ( )J u ! Понятие «поверхность особого управления» используется в работах по теории особых управлений достаточно часто, однако, насколько известно автору, без указа- ний на инвариантность поверхности и, естественно, без обсуждения этого удивитель- ного с точки зрения философии управления свойства. В частном случае задачи Год- дарда уравнение поверхности особого управления (см. (3.4), (7.4)) ( , )( 1) ( , ) ( ) 0vF h v v vF h v mg h    (7.5) можно рассматривать как условие выбора скорости v движения ракеты массой m на высоте h . Напомним, что об этом отмечено еще в работе Д.Е.Охоцимского [62] за- долго до введения самого термина «особое управление». Для обеспечения движения по поверхности (7.5) величина тяги должна вычисляться по формуле (3.5) 2 0 [ ( ) (1 ) ] . 2 h v vv h vh s v vv m g m g F F F v vF T a F F F F               (7.6) Формула (7.5) – первый интеграл уравнений движения и сопряженной системы в задаче Годдарда, выполнение которого есть необходимое условие оптимальности особого управления. По-видимому, это запись некоего закона сохранения, выпол- няющегося при оптимальном целенаправленном движении вдоль вертикальной пря- мой в произвольном гравитационном поле с ускорением ( )g g h . Но это закон со- хранения чего? Отметим только, что уравнение ( ) 0S x  (уравнение (7.5) в задаче Годдарда) – это уравнение Эйлера в задаче Майера (7.1), т.е. условие равенства нулю вариации любого терминального функционала. 58 Метафизический принцип достаточного основания Лейбница: «Ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым, – без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе…», – стимулиру- ет поиск объяснения обсуждаемой инвариантности. Вычисления по формулам ( ) 0S x  и (7.4) – в общем случае, или (7.5), (7.6) – в задаче Годдарда, могут быть выполнены до (или вообще без!) формулировки какой-либо вариационной задачи для объекта, движение кото- рого описывается системой дифференциальных уравнений (7.1). Следовательно, они вы- ражают некоторое свойство этого объекта, которое проявляется при реализации его любых целенаправленных движений. В чем состоит это свойство? Автору не удалось получить ответ на этот вопрос – ни в общем случае, ни при 3n  , ни в конкретной задаче Годдарда. Единственное наблюдение, которым следует поделиться с заинтересованными читателями, состоит в «гидродинамической» трактовке системы уравнений (7.1). Об- ратимся для начала к системе дифференциальных уравнений движения при 3n  . В этом случае скорость dx dt движения объекта складывается из двух составляющих. Поле скоростей 0 ( )f x переносит объект независимо от желания управляющего субъ- екта. Изменить скорость движения управляющий может, добавляя к 0 ( )f x часть [0,1]u скорости второго поля 1( )f x . Первые два уравнения системы (7.3) в сово- купности свидетельствуют об ортогональности вектора  плоскости, в которой ле- жат вектора 0 ( )f x и 1( )f x . Таким образом, 0 1[ ( ) ( )]f x f x   , где const  . Понят- но, что в этой же плоскости будет расположен и выбранный в этот момент времени 0 1[ , ]t t t результирующий вектор dx dt при любом значении управления ( )u t . Третье уравнение системы (7.3), имеющее вид 0 1 1 0(( grad) ( grad )) 0f f f f   , может быть, с учетом 0 1[ ( ) ( )]f x f x   , представлено в форме rot 0   , но в чем смысл этого представления – по-прежнему не ясно. Заключение. В данной статье представлен обзор исследований проблем управления движением динамических систем с акцентом на механику космического полета. Основное внима- ние уделено совершенствованию методов решения вырожденных вариационных задач о движении ракет в гравитационных полях с учетом сопротивления атмосферы, по- скольку эти задачи непосредственно связаны с перманентно актуальной проблемой практической космонавтки – увеличением массы полезной нагрузки, выводимой ра- кетами-носителями на околопланетные орбиты. Обсуждены современные подходы к решению задач управления движением ракет и космических аппаратов по траектори- ям с сингулярными дугами, оптимальными при движении тела переменной массы в среде с сопротивлением. Предложенный автором обзора метод вычисления оптимальных траекторий с сингулярными дугами оказался эффективным при решении указанных задач. Пред- ставленные в обзоре результаты решения некоторых практически интересных задач дают возможность оценить выигрыш от использования оптимального управления, реализация которого требует усложнения системы управления работой ракетных дви- гателей, по сравнению с современными более простыми законами управления. В об- зоре проанализированы возможности улучшения характеристик ракетных двигателей путем использования сопел регулируемой геометрии, оптимизации независимого управления расходами компонентов топлива, использования отходов системы обес- печения жизнедеятельности экипажа в качестве ускоряемой в двигателе инертной массы при длительных межпланетных экспедициях, использования аэростатической подъемной силы на начальном этапе подъема. Показано, что необходимое для более тщательного анализа оптимизационных задач уточнение математической модели ра- кетного двигателя, как объекта управления, требует дальнейших теоретических и экс- периментальных исследований взаимодействия потока воздуха, обтекающего корпус ракеты, и струй газов, вытекающих из сопел двигателя. Обсуждена также нерешенная проблема инвариантности некоторых свойств сингулярных управлений относительно цели выполняемого ракетой маневра и оценки качества управления. 59 Р Е ЗЮМ Е . Дано аналіз сучасного стану і обговорено проблеми удосконалення методів до- слідження вироджених варіаційних задач з акцентом на механіку космічного польоту. Основну увагу приділено дослідженню руху ракет в атмосфері. Включення до складу оптимальних траєкторій дуг сингулярного управління дозволяє в цьому випадку збільшити економічність ракетних двигунів шляхом заміни традиційних двигунів постійної тяги двигунами, що допускають дроселювання вели- чини тяги. Наведені в огляді результати розрахунків для конкретних маневрів можуть служити джере- лом інформації для прийняття рішень при конструюванні перспективної ракетно-космічної техніки. 1. Акимов В. Н., Конюхов В.Г., Коротеев А.А. Эффективность применения космических многорежимных ядерных энергодвигательных установок с машинным преобразованием энергии // Изв. РАН, Энергетика. – 2008. – № 3. – С. 20 – 27. 2. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей – М.: Машиностроение, 1980. – 533 с. 3. Баррер М., Жомотт А., Вебеке Б.Ф., Ванденкеркхоне Ж. Ракетные двигатели – М.: Оборонгиз. – 1962. – 799 с. 4. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел – М.: Наука, 1977. – 432 с. 5. Беляев Е.Н., Воробьев А.Г., Гнесин Е.М. Разработка нелинейной математической модели жидкостного ракетного двигателя, работающего в стационарном режиме // Труды МАИ. – 2014. – № 73. – С. 16 – 33. 6. Борзов В.И. Задача о разделении движений в динамике полета // Известия АН СССР. Механика твердого тела. – 1981. – № 5. – С. 3 – 11. 7. Брэквелл Д.Ф. Оптимизация траекторий // Вопросы ракетной техники. – 1961. – № 1. – С. 46 – 69. 8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.: Наука, 1973. – 256 с. 9. Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет. – М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1959. – 360 с. 10. Глухих И.Н., Челяев В.Ф., Щербаков А.Н. Использование воды для защиты обитаемых космических объектов от высокоскоростных частиц: микрометеоров, космического мусора // Изв. РАН. Энергетика. – 2009. – № 1. – С. 92 – 95. 11. Гребенников Е.А., Демин В.Г. Межпланетные полеты. – М.: Наука, 1965. – 200 с. 12. Григорьев И.С., Григорьев К.Г. К проблеме решения в импульсной постановке задач оптимизации траекторий перелетов космического аппарата с реактивным двигателем большой тяги в произвольном гравитационном поле в вакууме // Космические исследования. – 2002. – 40, № 1. – С. 88 – 111. 13. Григорьев И.С., Григорьев К.Г. Об использовании решений задач оптимизации траекторий КА импульсной поста- новки при решении задач оптимального управления траекториями КА с реактивными двигателями ограничен- ной тяги // Космические исследования. – 2007. – № 4. – С. 358 – 366. 14. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. – М.: Наука, 1975. – 704 с. 15. Гродзовский Г. Л., Кифоренко Б. Н., Кузьменко В.В. Влияние весовых ограничений на набор максимальной высоты при движении в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. – 1974. – 5, № 1. – С. 53 – 59. 16. Гродзовский Г.Л., Кифоренко Б.Н. Оптимальное секционирование материальной точки переменной массы // Вычисл. и прикл. математика. – 1972. – № 18. – С. 17 – 24. 17. Дронь Н. М., Кондратьев А. И., Хорольский П. Г., Дубовик Л.Г. Сравнительная оценка характеристик космиче- ских тральщиков при трех вариантах маневра их выведения //Авиационно–космическая техника и техноло- гия. – 2010. – № 10(77). – С. 21 – 23. 18. Дронь Н.М., Дубовик Л.Г., Кондратьев А.И., Хорольский П.Г. Массовые характеристики космических мусоро- собирающих аппаратов, выводимых известными ракетами-носителями с использованием электроракетной двигательной установки // Механіка та машинобудування. – 2010. – № 1. – С. 8 – 12. 19. Дронь Н.М., Хорольский П.Г., Хитько А.В., Дубовик Л.Г. К выбору двигателя для маневрирования космического мусоросборщика на этапе очистки околоземного пространства // Механіка та машинобудування. Прикладная механика. – 2012. – № 2. – С. 3 – 8. 20. Жуковский Н.Е. К теории судов, приводимых в движение силой реакции вытекающей струи. Собрание сочине- ний. T. IV. – М.– Л.: ОНТИ НКТП СССР, гл. ред. авиац. лит., 1937. – 324 с. 21. Задонцев В.А. Две жизни и две ракеты Вернера фон Брауна (1912 – 1977) / К столетию со дня рождения // Авиационно-космическая техника и технология. – 2012. – № 9(96). – С. 146 – 158. 22. Засухин О.Н., Булат П.В., Продан Н.В. Развитие методов расчета донного давления // Фундаментальные ис- следования. – 2012. – № 6. – С. 273 – 279. 23. Злацкий В.Т. Исследование вырожденных задач механики полета / Дисс. канд. физ.-матем. наук . – К., 1982. – 179 с. 24. Злацкий В.Т., Кифоренко Б.Н. О вычислении оптимальных траекторий с участками особого управления // Вы- числ. и прикл. математика – 1983. – № 49. – С. 55 –62. 25. Злацкий В.Т., Кифоренко Б.Н. Оптимальное быстродействие при вертикальном движении тела переменной массы в атмосфере // Труды ЦАГИ. – 1976. – Вып. 1729. – С. 7 – 13. 26. Ивашкин В.В, Смирнов В.В. Качественный анализ некоторых методов уменьшения астероидной опасности для Земли // Астрономический вестник. – 1993. – 27, – №. 6. – С. 46 – 54. 27. Ильин В.А., Кузьмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. – М.: Наука. – 1976. – 744 с. 28. Ишлинский А.Ю. Два замечания к теории движения ракет // Докл. АН СССР. – 1946. – 53, №7.– С. 599 – 610. 29. Кифоренко Б.Н. К вопросу об оптимальном управлении величиной тяги ракет в атмосфере // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1982. – № 3. – С. 21 – 27. 30. Кифоренко Б.Н. Об использовании аэростатической подъемной силы при наборе максимальной энергии телом переменной массы // Труды ЦАГИ. – 1976. – Вып. 1729. – С. 3 – 6. 31. Кифоренко Б.Н. Об оптимизации параметров тела переменной массы при движении с активным сбросом отходов системы жизнеобеспечения // Космические исследования. – 1975. – 13, № 2. – С. 201 – 205. 60 32. Кифоренко Б.Н. Об особом управлении в механике полета с ограниченной мощностью и накоплением энергии // Космические исследования. – 1971. – 9, № 4. – С. 536 – 540. 33. Кифоренко Б.Н. Оптимальные траектории с участками особого управления // Сложные системы управления. – К.: Институт кибернетики АН УССР, 1974. – С. 45 – 55. 34. Кифоренко Б.Н., Багнюк Г.К. Использование аэростатической подъемной силы при движении тела переменной массы в плотной атмосфере // Труды ХХ науч. чтений, посвящен. разработке научн. наследия и развитию идей К. Э. Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1987. – С. 21 – 28. 35. Кифоренко Б.Н., Васильев И.Ю. Проблемы оптимизации пилотируемых межпланетных экспедиций // Космічна наука і технологія. – 2000. – 6, № 1. – С. 3 – 55. 36. Кифоренко Б.Н., Даулетов Г.К. Аналитическое исследование оптимального управления составом рабочего тела // Труды IХ научн. чтений памяти С.П. Королева. – М., 1987. – С. 100 – 109. 37. Кифоренко Б.Н., Злацкий В.Т., Кожуховский Н.Н. Особенности оптимального управления тягой ракеты в плот- ной атмосфере // Труды XI чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К. Э. Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1978. – С. 132 – 147. 38. Кифоренко Б.Н., Злацкий В.Т., Кузьменко В.В. Об эффективности оптимального управления степенью расши- рения газов в сопле ракетного двигателя/ // Труды ХII чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э. Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1979. – С. 61 – 64. 39. Кифоренко Б.Н., Кузьменко В.В. О влиянии внешних сил на движение материальной точки переменной массы // Труды VIII чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э. Циолковского. Сек- ция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1975. – С. 114 – 119. 40. Кифоренко Б.Н., Сидорчук А.П. Оптимальное управление ракетным двигателем с квазирасчетным соплом // Научное творчество К.Э Циолковского и современное развитие его идей. – М.: Наука, 1984. – С. 35 – 37. 41. Кифоренко Б.Н., Харитонов А.М. Математическое моделирование оптимально управляемых динамических объектов // Проблемы управления и информатики. – 2000. – № 4. – С. 35 – 48. 42. Кифоренко Б.Н., Харитонов А.М. Оптимальное управление расходами компонентов топлива в аварийной си- туации // Проблемы управления и информатики. – 1988. – № 3. – С. 25 – 33. 43. Кифоренко Б.Н., Хасенов Е.А. Вычисление оптимальных траекторий движения тела переменной массы в атмо- сфере // Вычисл. и прикл. математика. – 1983. – № 51. – С. 98 – 103. 44. Кифоренко Б.Н., Хасенов Е.А. Оптимальные плоские движения материальной точки переменной массы // Тру- ды XVI чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К. Э. Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1982. – С. 22 – 28. 45. Кифоренко Б.Н., Хасенов Е.А. Ступенчатое регулирование тяги в задаче о наборе высоты // Труды VIII научных чтений по космонавтике памяти С.П. Королева. – М., 1986. – С. 119–125. 46. Константинов М.С., Лёб Х.В., Петухов В.Г., Попов Г.А. Проектно-баллистический анализ пилотируемой мар- сианской миссии с ядерной электроракетной двигательной установкой // Труды МАИ. – 2011. – № 42. – 21с. 47. Космодемьянский А.А. Общие теоремы механики тела переменной массы // Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского. – 1946. – № 184. – 16 с. 48. Космодемьянский А.А. Экстремальные задачи механики точки переменной массы // ДАН СССР. – 1946. – 53, № 1. – С. 17 – 19. 49. Космонавтика в XXI веке. Доклад президента РКК «Энергия» им. С.П.Королева чл.-корр. РАН В.А.Лопоты // Вестник РАН. – 2011. – 81, № 9. – С. 771 – 793. 50. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. – М.: Наука, 1973. – 448 с. 51. Кротов В. Ф., Хрусталев М.М. Оптимальное управление тягой и углом атаки летательного аппарата при ма- невре подъем – разгон. Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. – М.: Наука, 1975. – С. 168 – 174. 52. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. – М.: Гос. Изд-во техн.-теорет. л-ры, 1954. – 398 с. 53. Кузьменко В.В. Особое управление движением ракеты в атмосфере // Труды 1Х чтений, посвященных разра- ботке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техники. – М.: ИИЕТ, 1975. – С. 138 – 146. 54. Ломакин И. В., Мартынов М.Б., Поль В.Г., Симонов А.В. Астероидная опасность, реальные проблемы и прак- тические действия // Вестник ФГУП НПО им. СА Лавочкина. – 2009. – № 1. – С. 53 – 62. 55. Макаров О.В. О движении точки переменной массы с минимальным расходом энергии // Известия АН СССР. Механика твердого тела. – 1977. – № 5. – С. 178 – 173. 56. Мартынов М.Б., Зеленый Л.М., Хартов В.В. Космическая программа исследования планет и малых тел Сол- нечной системы: принципы формирования, концепция технической реализации // Полет. – 2011. – N 4. – С. 107 – 118. 57. Мачабели Л.И. История развития механики тел переменной массы с 1917 по 1967 г.г. // Вопросы динамики и прочности. – 1969. – Вып. – 18. – С. 181 – 194. 58. Мещерский И.В. Работы по механике тела переменной массы – М.: Гостехиздат, 1949. – 276 с. 59. Михайлов Г.К. К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения (до начала второй мировой войны). – М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1974. – Препринт № 49. – 105 с. 60. Моисеев Н. Н. Человек, среда, общество. – М.: Наука, 1982. – 240 с. 61. Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей / Под ред. Кудрявцева В.М. – М.: Высш. шк., 1975. – 656 с. 62. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикл матем. и механика – 1946. – 10, № 2. – С. 251 – 272. 63. Пилотируемая экспедиция на Марс (Под ред. А.С. Коротеева). – М.: Российская академия космонавтики им. К.Э. Циолковского, 2006. – 320 с. 64. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем, II // Автоматика и телеме- ханика. – 1959. – 20, № 11. – С. 1442 – 1458. 65. Рубан О. Достаточно одной ступени // n–t.ru/tp/ts/dos.htm 61 66. Рыхлова Л.В., Шустов Б.М., Поль В.Г., Суханов К.Г. Насущные проблемы астероидной опасности // Околозем- ная астрономия. – 2007. – С. 25 – 33. 67. Санин Ф.П., Савчук В.С. К исследованиям истории развития ракетно-космической техники и физико- технической проблематики в Украине // Вісник Дніпропетровського нац. ун-ту. Ракетно-космічна техніка. – 2001. – № 5. – С. 11 – 16. 68. Сапа В.А. О вариационных принципах в механике переменной массы // Известия Академии наук Казахской ССР. Серия математика и механика. – 1961. – Вып. 9. – С. 116 – 123. 69. Сато Т., Ниита К., Шуршаков В.А. и др. Оценка ослабления дозы в отсеке космического аппарата при исполь- зовании воды как дополнительной защиты // Космические исследования. – 2011. – 49, № 4. – С. 329 – 334. 70. Тарасов Е.В. Космонавтика. – М.: Машиностроение, 1977. – 216 с. 71. Фаткин Ю.М. Использование инертной массы в двигателе ограниченной скорости истечения // Механика твердого тела. – 1967. – № 3. – С.164 – 168. 72. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. – М.: Наука, 1978. – 488 с. 73. Хасенов Е.А. Аппроксимация оптимального управления в вырожденных задачах механики полета. – Дисс. канд. физ.-матем. наук – К., 1985. – 122 с. 74. Хендельсмен М. Оптимальные траектории полёта в безвоздушном пространстве с постоянной тягой при ис- пользовании импульсных траекторий в качестве начальных приближений // Ракетная техника и космонавти- ка. – 1966. – № 6. – С. 151 – 158. 75. Хорольский П.Г. Баллистическая целесообразность глубокого гибкого регулирования маршевых двигателей ракет–носителей //Авиационно-космическая техника и технология. – 2006. – № 10. – С. 11 – 13. 76. Шахвердян А.С., Шахвердян С.В. Теория особых оптимальных управлений с приложением к механике косми- ческого полета // Космические исследования. – 2004. – 42, № 3. – С. 302 – 312. 77. Шибанов Г.П. Обитаемость космоса и безопасность пребывания в нем человека. – М.: Машиностроение, 2007. – 544 с. 78. Accettura A.G., Bruno C., Casotto S., Marzari F. Mission to Mars using integrated propulsion concepts: considerations, opportunities, and strategies // Acta Astronautica. – 2004. – 54, N 7. – P. 471 – 486. 79. Aronna M. S., Bonnans J. F., Martinon P. A shooting algorithm for optimal control problems with singular arcs // J. of Optimization Theory and Applications. – 2013. – 158, N 2. – P. 419 – 459. 80. Beichel R., O'Brien C.J., Taylor J.P. The next generation rocket engines // Acta Astronautica. – 1989. – 20. – P. 111 – 116. 81. Betts J.T. Survey of numerical methods for trajectory optimization // J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 1998. – 21, N 2. – P. 193 – 207. 82. Caisso P., Souchier A., Rothmund C. at al. A liquid propulsion panorama // Acta Astronautica. – 2009. – 65, N 11. – P. 1723 – 1737. 83. Chiravalle V.P. Nuclear electric ion propulsion for three deep space missions //Acta Astronautica. – 2008. – 62. – N 6. – P. 374 – 390. 84. Dhoble A.S., Pullammanappallil P.C. Design and operation of an anaerobic digester for waste management and fuel generation during long term lunar mission // Advances in Space Research. – 2014. – 54. – N 8. – P. 1502 – 1512. 85. Ehlmann B. L., Chowdhury, J., Marzullo T.C. at all. Humans to Mars: A feasibility and cost–benefit analysis // Acta Astronautica. – 2005. – 56, N 9. – P. 851 – 858. 86. Fedotov G.G. Possibilities of Combining High– and Low–Thrust Engines in Flights to Mars // Acta Astronautica. – 2004. – 55. – Р. 79 – 94. 87. Gobetz F.W., Doll J.R. A servey of impulsivе trajectories // AIAA Journal. – 1969. – 7, N 5. – P. 801 – 834. 88. Goddard R.H. A Method of Reaching Extreme Altitudes // Nature. – 1920. – 105, N 2. – P. 809 – 811. 89. Guz А.N., Kubenko V.D., Babaev A.E. Dynamics of Shell Systems Interacting with a Liquid // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 3. – P. 260 – 301. 90. Hamel G. Uber eine mit dem Problem der Rakete zusammenhangende Aufgabe der Variationsrechnung // ZAMM. – 1927. – 7, N 6. – P. 451 – 452. 91. Howe S.D. High energy–density propulsion – reducing the risk to humans in planetary exploration // Space Policy. – 2001. – Is. 17. – Р. 275 – 283. 92. Ilin A.V., Cassidy L.D., Glover T.W., Chang Díaz F.R. VASIMR ®Human Mission to Mars // Space, Propulsion & Energy Sciences Int. Forum (March 15 – 17, 2011, University of Maryland). – 12 p. 93. Ivashkin V.V. Analysis of space flight mechanics problems //Acta Astronautica. – 2003. – 52, Is. 8. – P. 663 – 670. 94. Kelley H.J., Kopp R.E., Moyer H.G. Singular extremals. Topics in optimization / Ed.G. Leitmann. – N.Y.: Acad. Press, 1967. – P. 63 – 101. 95. Kharytonov O.M., Kiforenko B.M. Finite–thrust optimization of interplanetary transfers of space vehicle with bimodal nuclear thermal propulsion // Acta Astronautica. – 2011. – 69, N 3. – P. 223 – 233. 96. Kiforenko B.N. Problems of the Mathematical Description of Rocket Engines as Plants //Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 608 – 612. 97. Kiforenko B.N., Vasil`ev I.Yu. How we will go to Mars // Acta Astronautica. – 2003. – 54, N 1. – P. 61 – 67. 98. Kiforenko B.N., Vasil`ev I.Yu. How Shall We Do Go to Mars // Proc. 46th Int. Astronautical Cong. (IAС–95)( Oslo, Norway, 1995). – IAF Pap. 95–A.6.0. – 9 p. 99. Kiforenko B.N., Vasil'ev I.Yu., Tkachenko Ya.V. On the problem of optimal control of the thrust value of the electric propulsion rocket with solar energy source // Acta Astronautica. – 2013. – 89, August–September. – P. 121 – 125. 100. Koelle H.H., Stephenson D.G. International Academy of Astronautics 5th cosmic study –preparing for a 21st century program of integrated, Lunar and Martian exploration and development (executive summary) // Acta astronautica. – 2003. – 52, N 8. – P. 649 – 662. 101. Konstantinov M.S., Petukhov V.G. The analysis of manned Mars mission with duration of 1000 days //Acta Astronau- tica. – 2012. – 73. – P. 122 – 136. 102. Kumar R., Kelley H.J. Singular optimal atmospheric rocket trajectories // J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 1988. – 11, N. 4. – P. 305 – 312. 103. Landau D.F., Longuski J.M. Comparative assessment of human-Mars- mission technologies and architectures // Acta Astronautica. – 2009. – 65, N 7. – P. 893 – 911. 62 104. Larin V.B. Attitude-Determination Problems for Rigid Body // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 7. – P. 870 – 898. 105. Larin V.B. Compensation of External Perturbations under Uncertainty // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 9. – P. 1145 – 1150. 106. Larin V. B., Tunik A.A. On Inertial-Navigation System without Angular-Rate Sensors // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49. – N 4. – P. 488 – 499. 107. Lawden D.F. Optimal intermediate-thrust arcs in a gravitational field // Astronautica Acta. – 1962. – 8, N 2. – С. 106 – 123. 108. Marshal C., Contensou P. Singularities in Optimization of Deterministic Dynamic Systems. Contensou P. // J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 1981. – 4, N 3. – P. 240 – 252. 109. Martinon P., Bonnans F., Laurent-Varin J., Trélat E. Numerical study of optimal trajectories with singular arcs for an Ariane 5 launcher // J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 2009. – 32, N 1. – P. 51 – 55. 110. Martynjuk А.А. Stability Analysis of Continuons Systems with Structural Perturbations // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 7. – P. 783 – 805. 111. Mazanek D.D., Brohpy J.R., Merrill R.G. Asteroid Retrieval Mission Concept–Trailblazing Our Future in Space and Helping to Protect Us from Earth Impactors // 3rd IAA Planetary Defense Conference; 15 – 19 Apr. 2013; Flagstaff, AZ; United States, 2013. – 16 p. 112. McConaghy T.T., Longuski J.L., Byrnes D.V. Analysis of a class of Earth–Mars cycler trajectories // J. of Spacecraft and Rockets. – 2004. – 41, № 4. – P. 622 – 628. 113. Meyer R.X. The «Flying Carpet» concept: A possible alternative to nuclear space propulsion // Acta Astronautica. – 2006. – 58, N 10. – P. 499 – 505. 114. Miele A. General Variational Theory of the Flight Paths of Rocket-Powered Aircraft, Missile, and Satellite Carriers // Astronautica Acta. – 1958. – 4, N 4. – P. 264 – 288. 115. Munick H. Goddard problem with bounded thrust // AIAA Journal. – 1965. – 3, N. 7. – P. 1283 – 1285. 116. Oberle H.J. Numerical computation of singular control functions in trajectory optimization problems // J. of Guid- ance, Control, and Dynamics. – 1990. –13, N 1. – P. 153 – 159. 117. Renk F., Hechler M., Messerschmid E. Exploration missions in the Sun-Earth-Moon system: A detailed view on se- lected transfer problems //Acta Astronautica. – 2010. – 67, N 1. – P. 82 – 96. 118. Salkeld R.J., Beichel R. Mixed–mode rocket vehicles for international space transportation systems // Acta Astronau- tica. – 1977. – 4, N 1. – P. 213 – 227. 119. Sanoob S.N., Prince M.G., Sundar B. Numerical Analysis of Aero–spike Nozzle for Spike Length Optimization // Int. J. of Research in Engineering & Technology. – 2013. – 1, N 6. – P. 1 – 14. 120. Seywald H., Cliff E.M. Goddard problem in presence of a dynamic pressure limit // J. of Guidance, Control, and Dy- namics. – 1993. – 16, N 4. – P. 776 – 781. 121. Shaver R.D. The Two–Stage Sounding Rocket Problem // J. of Spacecraft and Rockets. – 1967. – 4, N 10. – P. 1310 – 1315. 122. Sinyak Y., Grigoriev A., Gaydadimov V., et al. Deuterium-free water (1H2O)in complex life–.support systems of long- term space missions // Acta Astronautica. – 2003. – 52, N 7. – P. 575 – 580. 123. Strange, N., Landau, T. M., Lantoine, G., et al. Overview of mission design for NASA asteroid redirect robotic mission concept // 33rd Int. Electric Propulsion Conference. – Washington: The George Washington University, 2013. – 13 p. 124. Summerer L. Thinking tomorrows' space – Research trends of the ESA advanced concepts team 2002–2012 // Acta Astronautica. – 2014. – 95, February–March – P. 242 – 259. 125. Тawakley V.B. On Optimization Problem of Rocket Vehicles for a Generalised Thrust Characteristics // Zeitschrift für Flugwissenschaften – 1969. – 17, N 9. – P. 305 –312. 126. Taraba M., Zwintz K., Bombardelli C. et al. Project M3 – a study for a manned Mars mission in 2031 // Acta Astro- nautica. – 2006. – 58, N 2. – P. 88 – 104. 127. The Space Review: VASIMR: hope or hype for Mars exploration? http://t.co/YyHg9xAPns 128. Tre′lat E. Optimal control and applications to aerospace: some results and challenges // J. of Optimization Theory and Applications. – 2012. – 154, N 3. – P. 713 – 758. 129. Tsiotras P., Kelley H.J. Drag-law Effects in the Goddard Problem // Automatica. – 1991. – 27, N 3. – P. 481 – 490. 130. Tsiotras P. ,Kelley H.J. Goddard problem with constrained time of flight // J. of Guidance, Control, and Dynamics – 1992. – 15, N 2. – P. 289 – 296. 131. Weeks E. E., Faiyetole A.A. Science, technology and imaginable social and behavioral impacts as outer space develops // Acta Astronautica. – 2014. – 95. – P. 166 – 173. 132. Willems J.C., Kitapci A., Silverman L.M. Singular optimal control: a geometric approach // SIAM J. of Control and Optimization. – 1986. – 24, N 2. – P. 323 – 337. 133. Winter F.H., Neufeld M.J., Dougherty K. Was the rocket invented or accidentally discovered? Some new observations on its origins // Acta Astronautica. – 2012. – 77. – P. 131 – 137. 134. Zakrzhevsky A.E. The Dynamics of Systems of Rigid and Elastic Bodies as Applied to Spacecraft // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 8. – P. 1001 – 1036. Поступила 10.03.2016 Утверждена в печать 14.03.2017.

Сингулярные оптимальные управления движением ракет (обзор)

Репозитарії

Схожі ресурси