Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки

Наведено результати дослідження впливу початкового напруження на момент згину в пластині, що лежить на попередньо-напруженому напівпросторі, за дії рухомого навантаження. Рівняння руху пластини записано з врахуванням зсуву та інерції обертання. У просторі зображень одержано розв'язок в загально...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Бабич, С.Ю., Глухов, Ю.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158762
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-158762
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1587622019-09-13T01:26:15Z Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Наведено результати дослідження впливу початкового напруження на момент згину в пластині, що лежить на попередньо-напруженому напівпросторі, за дії рухомого навантаження. Рівняння руху пластини записано з врахуванням зсуву та інерції обертання. У просторі зображень одержано розв'язок в загальному випадку для стисливого і нестисливого напівпросторів, різних умов контакту та швидкостей руху навантаження. Числовий аналіз дослідження проведено для стисливого матеріалу з гармонійним потенціалом та для нестисливого матеріалу з потенціалом Бартенєва - Хазановича. Надано аналіз числових результатів (графіки, таблиці). The results of studying the effect of initial stress on the bending moment in a plate are presented when the plate lies on the initially stressed semi-space and experiences of the action of moving load. The equation of plate motion is written with taking into account the shear and inertia of rotation. The solution is obtained in the image domain for the general case of compressible and incompressible semi-space, different contact conditions, and speeds of load motion. The numerical study is carried out for the compressible material with harmonic potential and the incompressible material with Bartenew-Khazanovich potential. An analysis of numerical results is given in the form of plots and tables. 2017 Article Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158762 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Наведено результати дослідження впливу початкового напруження на момент згину в пластині, що лежить на попередньо-напруженому напівпросторі, за дії рухомого навантаження. Рівняння руху пластини записано з врахуванням зсуву та інерції обертання. У просторі зображень одержано розв'язок в загальному випадку для стисливого і нестисливого напівпросторів, різних умов контакту та швидкостей руху навантаження. Числовий аналіз дослідження проведено для стисливого матеріалу з гармонійним потенціалом та для нестисливого матеріалу з потенціалом Бартенєва - Хазановича. Надано аналіз числових результатів (графіки, таблиці).
format	Article
author	Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П.
spellingShingle	Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки Прикладная механика
author_facet	Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П.
author_sort	Бабич, С.Ю.
title	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
title_short	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
title_full	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
title_fullStr	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
title_full_unstemmed	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
title_sort	изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158762
citation_txt	Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT babičsû izgibplastinynauprugomosnovaniisnačalʹnyminaprâženiâmiprivozdejstviipodvižnojnagruzki AT gluhovûp izgibplastinynauprugomosnovaniisnačalʹnyminaprâženiâmiprivozdejstviipodvižnojnagruzki
first_indexed	2025-07-14T11:21:28Z
last_indexed	2025-07-14T11:21:28Z
_version_	1837621144767692800
fulltext	2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 3 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 3 63 С .Ю . Б а б и ч 1 , Ю .П . Г л у х о в 2 ИЗГИБ ПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ Инcтитут механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: 1 desc@inmech.kiev.ua, 2 gluchov.uriy@gmail.com Abstract. The results of studying the effect of initial stress on the bending moment in a plate are presented when the plate lies on the initially stressed semi-space and experiences of the action of moving load. The equation of plate motion is written with taking into ac- count the shear and inertia of rotation. The solution is obtained in the image domain for the general case of compressible and incompressible semi-space, different contact conditions, and speeds of load motion. The numerical study is carried out for the compressible material with harmonic potential and the incompressible material with Bartenew-Khazanovich poten- tial. An analysis of numerical results is given in the form of plots and tables. Key words: plate on elastic foundation, initial (residual) stresses, moving load, bending moment. Введение. Оценка напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций является сложной задачей, решение которой требует развития различных теоретических моде- лей, отвечающих определенным классам слоистых пластин и оболочек. Важная осо- бенность деформирования слоистых пластин и оболочек – существенное влияние по- перечных сдвигов. Теория пластин с учётом сдвиговых деформаций («теория Рейсснера – Миндлина») впервые изложена в середине прошлого века в статьях [7, 12, 15, 16]. Дальнейшее свое развитие эта теория получила в работах [1, 5, 6, 10, 11, 13, 14 и др.]. Обзор работ, посвященных данной теме, частично представлен в статьях [2, 17 и др.]. Широко распространенной моделью конструктивных элементов объектов маши- ностроения и строительства является пластина на упругом основании. Одной из много- численных задач, которые рассматриваются в рамках данной модели, является изучение дина- мики пластинки, лежащей на полупространстве с начальными напряжениями, при воздействии подвижной нагрузки. В рамках линеаризированной теории упругости для тел с началь- ными деформациями динамические процессы в упругом двухслойном полупростран- стве, состоящем из пластинки и подстилающего ее предварительно напряженного полупространства, посвящены работы [4, 8, 9 и др.]. Проблема изгиба пластин на упругом основании представляет собой одну из ак- туальных задач математической теории упругости. В данной работе проведено иссле- дование влияния начальных напряжений и скоростей движения поверхностной на- грузки на изгибающий момент в пластине, лежащей на упругом основании с началь- ными напряжениями. §1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим пластину толщиной 2h , лежащую на полупространстве, начальное напряженно-деформированное состояние которого определяется следующими компо- нентами вектора перемещений и тензора обобщенных напряжений: 0 0( 1) ; 0 ( , 1, 2, 3),j ij i i iiu x i j      64 где i – удлинения ( consti  ) вдоль осей лагранжевой системы координат ix , сов- падающей в естественном состоянии с декартовой системой координат. Наряду с ла- гранжевыми координатами введем декартовые координаты i начального деформи- рованного состояния, связанные с координатами ix соотношениями i i ix  . К свободной границе пластины приложена движущаяся с постоянной скоростью v нагрузка, не зависящая от координаты 3 . Такая нагрузка вызывает в рассматривае- мой слоистой среде плоское деформированное состояние. Для решения задачи воспользуемся соотношениями линеаризированной теории упругости для тел с начальными напряжениями [3]. Предполагая, что картина дефор- маций инвариантна относительно времени в движущейся вместе с нагрузкой системы координат  1 2,y y , где 1 1 vy t  ; 2 2y  , уравнение установившегося движения полупространства через функцию  1 2, y y можно записать в виде   2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 1 2 1 2 0, 1,2.j j y y y y                      (1.1) Функции 1 и 2 определяются из уравнения 4 2 12 0A A    , (1.2) где коэффициенты A и 1A в случае сжимаемого материала определяются из соотно- шений      22 2 2222 2112 2222 1111 2112 1221 1122 12122 v v ;A                           2 2 1 2222 2112 1111 1221 1 2 32 v v ; ,A                   (1.3) а в случае несжимаемого материала из соотношений –    2 2 2 2 22 2112 11 2222 22 1111 11 22 1122 12122 v 2 ;Aq q q q q            κ κ κ κ κ  2 2 2 1 22 2112 11 12212 v ; ; .ij ij i iA q q q q           κ κ (1.4) В формулах (1.3) и (1.4)  – плотность материала полупространства в естествен- ном состоянии,  и κ – параметры, характеризующие материал элементов слоистой среды. Предположим, что движение пластины может быть описано системой уравнений из теории пластин, учитывающей влияние инерции вращения и поперечного сдвига. Для пластины, находящейся под воздействием поперечных и тангенциальных поверх- ностных сил, соответствующие уравнения приведены в [12]. В системе координат 1 2( , )y y уравнения теории пластин представлены в таком виде: 2 21 1 12 1 1 2 2 v ; 1 G u h P y               2 2 1 1 1 22 1 1 2 v 2 ; w h G G h q P y y          κ κ 2 2 21 1 0 12 1 1 1 22 v 2 0. 3 1 Gh w G y y                        κ (1.5) В уравнениях (1.5) 1G , 1 и 1 – соответственно, модуль сдвига, коэффициент Пуассона и плотность материала пластины; u и w – перемещения срединной по- верхности пластины 2( 0)y  , a 0 – постоянная, которая принимает значение 1 или 0 65 в зависимости от учета или пренебрежения инерцией вращения пластины при выводе уравнений (1.5);  – угол поворота поперечного сечения пластины; κ – коэффициент сдвига в теории С.П.Тимошенко; q и  – соответственно, нормальные и касательные напряжения, действующие на поверхности раздела пластины и полупространства; 1P и 2P – касательные и нормальные составляющие нагрузки на свободной поверхнос- ти пластины. Величина изгибающего момента в пластине определяется по формуле 3 1 1 1 4 . 3 1 G h d M dy     (1.6) Рассмотрим два случая контакта между пластиной и полупространством при 2y h  : жесткий контакт 21 22 2 1; ; ; ;Q Q q u w u u h       (1.7) нежесткий контакт 21 22 20; 0; ; .Q Q q u w     (1.8) Таким образом, задача сводится к решению уравнений движения (1.1) и (1.5) при граничных условиях (1.7) или (1.8). Используя уравнения движения пластины (1.5) и условия (1.7) и (1.8) граничные условия представим в общем виде 2 2 1 1 1 21 1 12 2 1 1 ; d u d h Q P dy dy             2 2 3 1 22 22 1 1 2 ; d u d hG Q P dy dy    κ 2 2 2 1 1 212 1 1 2 0, dud G Q dy dy             κ (1.9) где введены следующие обозначения:   2 2 2 21 1 1 1 2 0 1 3 1 1 1 1 2 22 2 v ; v ; 2 v . 1 3 1 G Gh h h G                          κ Параметр 1 в (1.9) равен 1 при жестком контакте и равен 0 – при нежестком кон- такте. Значения функций 2 1 (v) и 2 2 (v) определяют вид уравнений движения (1.1) и, соответственно, выбор формы решения рассматриваемых уравнений. Влияние скоро- сти движения нагрузки на значение корней уравнения (1.2) для сжимаемого и несжи- маемого полупространства подробно исследовано в работах [4, 8, 9]. Запишем реше- ние задачи в общем виде для равных и неравных корней уравнения (1.2). Напряжения, перемещения и скорости перемещений в полупространстве через функции  j определяются по формулам [3] 2 2 (2) 2 2 (1) (12) (22) (11) (21) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 , 1, 2); ij ij ij ij ij ij ijQ i j y y y y y y                                    (1.10) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 22 2 1 2 1 2 , 1, 2; ), i i j j j i i i iu i j i j y y y y                      (1.11) где в случае сжимаемого материала – 66      (11) 2 (12) 2 22 1111 11 1212 2211 11 1221v ; v ;ii ii ii ii ii                           (21) (22) (11) 2 22 2112 11 2222 22 1122 2121 21 1111; ; v ;ii ii ii ii ii ij ij                              (22) (12) 2 12 2222 12 1221 21 1122 2121; v ;ij ij ij ij ij                      (21) (1) (2) 12 21 2112 12 1212 2211 11 21 1212 2211; ;ij ij                       ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1; v , 1, 2; ),j j i jj i jj i j i j            а в случае несжимаемого материала имеем  ( ) 1 2 1 1212 2 111 v ; iii ii jj jq q       κ    ( ) 2 2 1 1 (12) 1 2 1122 1212 22 21v 2 ; ;ii jj jj ii iiii j jjjj jj ii ij ijq q q q q                    κ κ κ κ κ (22) 1 (11) 1 (21) 1 11 12 22 21 11 12; ; ( , 1, 2; );ij ij ij ij ij ijq q q i j i j             κ κ κ  (12) 1 2 (12) 1 (12) (21) 1 22 22 1221 11 11 22 22 11 11 2112v ; ; ;q q q q             κ κ (21) 1 (21) (1) (2) 1 (2) (1) 1 (2) (1) 22 22 11 11 11 12 11 21 21 22 11 22; ; ; 0.q q q q                     Учитывая (1.10) и (1.11), граничные условия (1.9) представим в виде 2 2 2 2 2 (2) (2) (12) (22) (2) 1 1 11 12 21 212 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2y y y y y y                                   3 2 2 (1) 2 (1) (11) (21) 1 1 11 21 21 1 1 1 12 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ;h P y y y y y y                               3 2 2 (2) (2) (12) (22) 1 3 21 22 222 2 2 1 1 2 1 2 1 2 hG y y y y y y                            (1.12) 2 2 2 2 2 (1) (1) (11) (21) (1) 3 21 22 22 22 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ;P y y y y y y                                     2 2 2 (2) (2) (12) (22) 2 1 1 21 1 21 1 212 2 2 1 1 2 2 2 2G G y y y y                              2 2 (1) (1) (11) (1) (21) 1 21 1 21 1 22 1 212 2 1 2 1 2 2 0.G G y y y                      Таким образом, задача об установившемся движении двухслойного полупрост- ранства при воздействии подвижной нагрузки сводится к определению функций ( )j и  из граничных условий (1.12). 67 §2. Решение задачи в области изображений. Решение задачи получим с помощью интегрального преобразования Фурье по пе- ременной 1y и соответствующей формулы обращения. Применяя преобразование Фурье к уравнениям (1.1), имеем 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 22 2 2 2 0 ( 1, 2).j Fd d k k j = dy dy               (2.1) Определим решение задачи в общем виде для случаев неравных и равных корней, для различных условий сопряжения слоя и полупространства и для любой скорости движения нагрузки (дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой). Граничные условия (1.12) в пространстве изображений Фурье имеют вид 3 2 (22) 2 (2) 2 (12) 4 (2) (2) 21 1 1 12 21 1 1 113 2 2 2 2 Fd d d k k k dy dy dy                    2 (21) 2 (1) 2 (11) (1) 2 21 1 1 11 21 1 1 1 12 2 2 ;F F Fd d i k k k k h P dy dy                     2 (22) 2 (2) 2 (12) (2) 1 22 3 21 222 2 2 2 F Fd d ik hG ik k k dy dy                  κ (2.2) 3 2 (21) 2 (1) 2 (11) 4 (1) (1) 22 3 22 22 3 21 23 2 2 2 2 ;F Fd d d k k k P dy dy dy                      2 (2) 2 2 (2) (12) (22) 2 1 1 21 1 21 1 21 2 2 2 2 2 F F d d k G k G dy dy                  κ κ     2 2 (1) (11) (1) (21) (1) 1 21 1 21 1 22 1 21 2 2 2 2 0.Fd i k k G G dy                  κ κ Решение преобразованного уравнения (2.1) с учетом затухания на бесконечности будем искать в виде       1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 21 (1 ) 1 ,k k y h k k y hF j j j j С e y h С e                         (2.3) где ( ) ( , 1, 2)j mC j m  – постоянные интегрирования, 1 2 1 2 2 1 2 0, 0, 1; ; 1, 2; ; 1, 1, 2.j j j j j k j j                   Введем постоянные интегрирования (1) (1) (2) (2) 1 1 2 2 1 1 2 2; ; ; .С iC С iC С C С C    (2.4) Подставляя (2.3) и (2.4) в (2.2), получаем систему алгебраических уравнений от- носительно неизвестных 1 2,C C и F такого вида:    (1) (2) (1) (2) 2 (3) 2 11 11 1 12 12 12 2 13 1 1 ;F Fk a ka C a ka k a C a k P          2 (1) (2) (1) (2) 2 (3) 1 21 21 1 22 22 22 2 23 2 ;F Fk a ka C k a ka k a C a ik P        68    3 2 (1) (2) (1) 2 (2) 31 1 32 32 2 33 33 0,Fk a C k a ka C a k a      (2.5) где приняты обозначения:   1 2 1 2 (1) (11) (21) (1) (22) (21) (22) 11 21 1 21 12 21 2 21 21 2; 2 ;a a                          1 2 1 2 1 2 (2) (21) (1) (2) (1) (2) (12) 11 1 1 1 11 1 12 1 1 11 12 2 21; 2 1 ;a a                             1 2 (3) (1) 12 1 1 11 2 13 1 11 ; ;a a h            1 2 1 2 1 2 (1) (11) (21) (2) (11) (2) (1) (12) (22) (21) 21 1 22 22 21 3 2 21 1 22 22 2 22 22 2; ( ); 2 ( ) ;a a a                                  1 2 1 2 1 2 (2) (2) (1) (12) (3) (12) 22 3 21 22 2 2 22 22 3 2 23 12 1 ; 1 ; 2 ;a a a hG                       κ         1 2 1 2 1 2 (11) (2) (21) (11) (2) (12) (12) 31 1 2 1 21 1 1 21 21 32 1 2 1 212 ; 1 2 ;a G a G                       κ κ     1 2 (1) (2) (1) (22) (21) (22) (1) 32 1 21 2 22 1 21 2 21 21 2 33 12 2 2 ; 2 ;a G a G                   κ κ (2) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) (1 ) (2 ) 2 33 2 1 2; ; ( , , 1, 2).kj k k nj n n m m m j mk mk mk ja j k m               Решение системы (2.5) можно записать следующим образом: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ( = 1, 2); , ( ) ( ) F j F j F F F j P U iP U P U iP U C j k k        (2.6) где принято обозначения:  2 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5( ) ;k k b kb k b k b k b k b        (1) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 10 11 12 13 14 ;j j j j j jU k b kb k b k b k b        (2) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 20 21 22 23 30 31 32; ; 1,2;j j j j j j j j jU b kb k b k b U k b kb k b j              (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (1) 0 33 11 22 12 21 1 33 11 22 22 11 12 21 12 21;b a a a a a b a a a a a a a a a           (1) (1) (1) (1) (2) (2) (3) (1) (2) (2) (3) (1) 23 31 12 11 32 2 33 22 11 22 11 12 21 12 21;a a a a a b a a a a a a a a a             (2) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 23 31 12 11 32 11 32 33 11 22 12 21 13 21 32 31 22 ;a a a a a a a a a a a a a a a a a          (2) (2) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (2) 3 33 11 22 22 11 12 21 12 21 13 21 32 21 32 31 22b a a a a a a a a a a a a a a a a             (3) (2) (2) (1) (3) (2) (3) (2) (2) (3) (2) (3) (2) 23 31 12 11 32 33 22 11 12 21 5 33 22 11 12 21; ;a a a a a a a a a a b a a a a a          (2) (2) (2) (1) (3) (2) (2) (3) (1) (2) (2) (3) 4 33 11 22 11 22 12 21 12 21 13 21 32 22 31 ;b a a a a a a a a a a a a a a      (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (3) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (2) 10 22 33 11 22 33 23 32 12 22 33 33 22 23 32 13 33 22; ; ; ;b a a b a a a a b a a a a a a b a a          69 (1) (2) (3) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (2) (3) (1) (2) (1) (1) 14 33 22 10 12 33 11 12 33 12 12 33 33 12 13 32; ; ; ;b a a b a a b a a b a a a a a a      (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) 13 33 12 13 32 14 33 12 20 21 33 21 21 33 23 31 22 21 33; ; ; ; ;b a a a a b a a b a a b a a a a b a a       (1) (2) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (2) (2) 23 21 33 20 11 33 21 11 33 22 11 33 13 31 23 11 33; ; ; ; ;b a a b a a b a a b a a a a b a a       (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (3) 30 21 32 22 31 31 21 32 21 32 22 31 32 21 32 22 31; ; ;b a a a a b a a a a a a b a a a a       (2) (1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (1) (2) (2) (2) (2) (3) 30 11 32 12 31 31 11 32 11 32 12 31 32 11 32 12 31; ; .b a a a a b a a a a a a b a a a a       Применим преобразование Фурье к формулам (1.6) и (1.10): (2 )2 2 (12 ) (22 ) (11 ) (21 ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 , 1, 2); jm jm jm jm jm jm F FF jm jm jm jm jm d d d Q k ik k dy dy dy j m                                    3 1 1 4 . 3 1 F FikG h M     (2.7) С учетом (2.3), (2.4) и (2.6) выражения (2.7) можно представить в виде    2 1 (1) (2) 1 1 2( ) ; , 1,2;mjF F F mj mj mjQ i k k P iP m j           1 (1) (2) 1 1 2( ) ,F F FM k k i P P      (2.8) где      1 2 1 2 1 2 ( ) (11) (21) (1) (21) (22) (12) 1 2 2 = 2k y hj mm mm mm j mm mm mmk U e                               2 2 1 2 1 2 (12) (22) (12) (2) 2 2 21 ;k y h mm mm mm jk y h U e                      1 2 1 2 1 2 ( ) (11) (21) (1) (22) (21) (22) 1 2 2 212k y hj mn mn mn j mn mnk U e                                2 2 1 2 1 2 (12) (22) (12) (2) 2 2 1 ;k y h mn mn mn jk y h U e                    3 1( ) 1 4 . 3 1 jj G h U      Таким образом, решение задачи об установившемся движении двухслойного упру- гого полупространства с начальными напряжениями под воздействием подвижной на- грузки в области изображений Фурье имеет вид (2.8). Для того, чтобы перейти в фор- мулах (2.8) к оригиналам следует воспользоваться обратным преобразованием Фурье. §3. Числовые результаты и их анализ. Из полученных результатов следует, что вычисление интегралов обращения су- щественно зависит от скорости движения нагрузки. В зависимости от скорости v зна- менатель ( )k в интегралах обращения может иметь действительные положительные корни. Если ни один корень не лежит на действительной оси, то интегралы обраще- ния не имеют особенностей и их можно вычислить непосредственно. При наличии неравных действительных положительных корней знаменателя ( )k интегралы вдоль контура интегрирования от i  до i  можно заменить суммой главного зна- 70 чения интеграла и суммой всех вычетов, умноженной на ( )i . В случае существова- ния двойного положительного корня интегралы обращения не существуют даже в смысле Коши, т.е. появляется резонанс. Скорость движения нагрузки, соответствую- щая этому случаю, называется критической. Так как при постановке задачи предполагалось, что возмущения, вызванные движу- щейся нагрузкой, очень малы, то резонансная область была выключена из рассмотрения. Результаты исследований функции ( )k для сжимаемого и несжимаемого полу- пространства, различных случаев сопряжения пластины и полупространства и скоро- стей движения нагрузки приведены в работах [4, 8, 9]. В качестве примера исследован изгибающий момент в пластине, лежащей на по- лупространстве из сжимаемого материала с упругим потенциалом гармонического типа и полупространстве из несжимаемого материала – упругий потенциал Бартенева – Хазановича. Предполагалось, что начальное деформированное состояние является плоским 3 1,  а поверхностная нагрузка отсутствует 22 0 0S  и на свободную поверхность пластины действует линейная нагрузка, составляющие которой определяются по формулам 1 1 2 1 1( ) cos ; ( )sin ; ,P P y P P y P G      где  – угол наклона нагрузки к оси 1Oy . Сжимаемый материал. Упругий потенциал гармонического типа имеет вид [3] 2 1 20,5 ,s s    где  ,  – постоянные Ляме. Величины 1s и 2s представляют собой первый и вто- рой инварианты тензора деформаций линейной теории упругости, отнесенные к глав- ным осям. Выражения для вычисления составляющих тензора  для теории конечных (боль- ших) начальных деформаций и первого варианта теории малых начальных деформа- ций имеют вид 2 1 1 1 1111 2222 2112 1 1 1 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) ; ; ; (1 2 )(1 ) (1 2 ) 1 (1 2 )                             2 2 1 1 1221 2211 1122 1212 2121 1 1 1 2 (1 ) 2 (1 )2 ; ; . (1 )[1 (1 2 )] 1 2 1 (1 2 )                                 Здесь  – коэффициент Пуассона материала полупространства. Основные параметры имели значения: 1 0,5   ; 1 0,5G  ; 0,845κ ; 0,3  ; 1 0,25  ; 2  . (3.1) Для полупространства из сжимаемого материала с потенциалом гармонического типа вычисления проведены при дозвуковых (и докритических) 12v v c  , трансзву- ковых 12 11vc c  и сверхзвуковых 11v > c скоростях движения нагрузки ( 11c и 12c – скорости распространения в направлении оси 1,Oy соответственно, продольных и поперечных поляризованных волн в неограниченном теле с начальными напряжения- ми; v – критическая скорость движения нагрузки). Значения критических скоростей v для различных 1 и условий контакта при данных значениях основных параметров приведены в [8, 9]. Рассмотрим случай, когда * 12v v c  . На рис. 1 (а – жесткий контакт, б – нежест- кий контакт) приведены эпюры для изгибающего момента в пластине на глубине 71 2 / 2y h  для 2 2v 0,1 sc . Кривые 1 – 3 на рис. 1 соответствуют таким значениям 1 : 0,8;1,0;1,2. Значения критических скоростей для различных 1 и условий контакта при дан- ных значениях основных параметров (3.1) приведены в табл. 1. Таблица 1 1 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 12c 0,737 0,866 1,000 1,138 1,279 а – 0,773 0,839 0,889 0,926 * 1v б 0,539 0,638 0,719 0,786 0,840 а – 0,786 – – – * 2v б – – – – – Как видно из рис. 1, для докритических скоростей движения нагрузки наблюдает- ся полная симметрия для эпюры изгибающего момента в пластине относительно точ- ки приложения нагрузки. а б Рис. 1 На рис. 2 (а – жесткий контакт, б – нежесткий контакт) построены зависимости величины изгибающего момента в пластине от начальных напряжений при различных докритических скоростях движения нагрузки в точке 1 1y h  , 2 22y h   . Кривые 1 – 4 на рис. 2 соответствуют таким скоростям движения нагрузки 2v : 2 20,1 ; 0,2 ;s sc c 2 20,3 ; 0,4 .s sc c Полученные числовые результаты для докритических скоростей движения по- верхностной нагрузки позволяют сформулировать следующие выводы: при жестком контакте изгибающий момент в пластине меньше, чем при нежестком; значение изги- бающего момента в конкретной точке пластины тела зависит как от начальных на- пряжений в подстилающем полупространстве, так и от ее координат; при этом в ис- следуемом диапазоне значений 1 темп роста амплитуды изгибающего момента при сжатии больше, чем при растяжении; затухание с удалением от точки приложения нагрузки при сжатии происходит медленнее, чем при растяжении. Влияние начальных напряжений значительно увеличивается с ростом скорости движения нагрузки. Особенно это проявляется при предварительном сжатии. При жестком контакте влияние скорости и начальных напряжений менее существенно, чем при нежестком контакте. 72 а б Рис. 2 Рассмотрен случай, когда 12 11vc c  . Уравнение ( ) 0k  представляет собой алгебраическое уравнение третьего или четвертого порядка (в зависимости от усло- вий контакта) с комплексными коэффициентами. Следовательно, интегралы обраще- ния не будут иметь особенностей. Изменение изгибающего момента на глубине 2 2y h  в пластине в зависимости от расстояния до точки приложения нагрузки показано на рис. 3 (а – жесткий контакт, б – нежесткий контакт) для скорости 2 2v 2 sc . На рис. 3 применены те же обозначения, что и на рис. 1. а б Рис. 3 Если условно назвать напряжения до и после нагрузки прямой и обратными вол- нами, то из рис. 3 видно, что при данной скорости движения нагрузки симметрия от- носительно начала координат нарушается и прямая волна затухает быстрее обратной. Анализ графиков на рис. 3 показывает, что наличие начальных напряжений оказывает существенное влияние на изгибающий момент в пластине. Это влияние различно в зависимости от положения рассматриваемой точки слоистого тела относительно точ- ки приложения нагрузки. Для скоростей 11v c интегралы обращения, как и в предыдущем случае, не име- ют особенностей. На рис. 4 (а – жесткий контакт, б – нежесткий контакт) приведены результаты для скорости 2 2v 6 sc . Видно, что с ростом скорости симметрия все больше нарушается, причем прямая волна затухает намного быстрее и для сверхзву- кового случая практически отсутствует. Однако она полностью не исчезает. Это объ- ясняется, по-видимому, слоистостью среды. 73 а б Рис. 4 В случае жесткого контакта прямая волна затухает намного быстрее, чем при не- жестком контакте. Как и при трансзвуковом случае движения нагрузки изгибающий момент в пластине зависит от начальных напряжений и удаления от точки приложе- ния нагрузки. Несжимаемый материал. Изучим влияние начальных напряжений, механиче- ских характеристик пластины и полупространства, условий их сопряжения на значе- ние изгибающего момента в пластине в случае несжимаемого полупространства с упругим потенциалом типа Бартенева – Хазановича [3] 12 .S  Для составляющих тензора κ получим следующие выражения 1 1 2 1 3 2 1 1111 2222 1 2112 1 1 1221 1 12 ; 2 ( 1) ; 2 ( 1) ;                κ κ κ κ 1 2 1 1212 2121 1 1 1122 22112 ( 1) ; 0.         κ κ κ κ Основные параметры соответсвуют значениям (3.1). При указанных значениях основных параметров 1G и 1 критические скорости принимает значения, приве- денные в таблице 2. Для полупространства из несжимаемого материала с потенциалом типа Бартенева – Хазановича исследованы скорости движения нагрузки в диапазонах * 1v v c  и 1v > c (здесь через 1c обозначена скорость распространения поперечных волн в на- правлении оси 1Oy в неограниченном несжимаемом теле с начальными напряжения- ми). Отметим, что при данных значениях основных параметров при 1 1  для несжи- маемого полупространства 1 sc с , где sc – скорость сдвиговых волн в пластине. Рассмотрим случай, когда * 1v v c  . На рис. 5 (а – жесткий контакт, б – нежест- кий контакт) показан изгибающий момент в пластине при 2 / 2y h  для 2 2v 0,1 sc . Кривые 1, 2 и 3 на рис. 5 соответствуют значениям 1 0,8;1,0;1,2.  Для таких скорос- тей движения нагрузки эпюры величин, характеризующих напряженно-деформиро- ванное состояние, симметричны относительно точки приложения нагрузки. Таблица 2 1 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1c 0,790 0,898 1,000 1,098 1,190 а - 0,822 0,844 0,878 0,914 * 1v б 0,597 0,694 0,723 0,823 0,880 а – – – – – * 2v б – – – – – 74 а б Рис. 5 В точке 1 1y h  , 2 / 2y h  исследовалась зависимость изгибающего момента от начальных напряжений в полупространстве и скорости движения поверхностной нагрузки. Рис. 6, а соответствует жесткому контакту, а рис. 6, б – нежесткому контак- ту между пластиной и полупространством. Кривые 1, 2, 3 и 4 на рис. 6 соответствуют значениям скорости 2 2 2 2 2v : 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 .s s s sc c c c а б Рис. 6 Анализ полученных численных результатов для докритической скорости движе- ния нагрузки позволяет сделать следующие выводы. Так же, как и в случае сжимае- мого подстилающего полупространства, при жестком контакте изгибающий момент в пластине меньше, чем при нежестком. При заданных 1 темп роста значений изги- бающего момента при сжатии больше, чем при растяжении. Затухание с удалением от точки приложения нагрузки при сжатии происходит медленнее, чем при растяжении. Значения изгибающего момента и его зависимость от начальных напряжений, опре- деляются координатами рассматриваемой точки. С ростом скорости движения нагрузки влияние начальных напряжений значи- тельно увеличивается. Особенно увеличиваются определяемые параметры при росте скорости для сжатого материала. При жестком контакте влияние скорости и началь- ных напряжений менее существенно, чем при нежестком контакте. Рассмотрим случай, когда 1v c . Изменение изгибающего момента в пластине в зависимости от расстояния до точки приложения нагрузки показано на рис. 7 (а– же- сткий контакт, б – нежесткий контакт). Вычисления в данном случае проводились при 2 / 2y h  . Скорость движения нагрузки равнялась 2 2v 2 sc . Обозначения на рис. 7 75 а б Рис. 7 те же, что и на рис. 5. Для сверхзвуковой скорости движения нагрузки так же, как и в случае сжимаемого полупространства, эпюры определяемых величин несимметрич- ные относительно точки приложения нагрузки. При этом прямая волна затухает на- много быстрее, чем обратная, но не исчезает совсем вследствие наличия пластины. Из данных рис. 7 следует, что значение изгибающего момент в пластине при 1v c су- щественно зависит от начальных напряжений в полупространстве. Конкретный вид таких зависимостей определяется положением точки пластины относительно точки приложения нагрузки. Заключение. В рамках линеаризированной теории упругости для тел с начальными напряже- ниями дана постановка и получено решение плоской установившейся задачи о воз- мущении движущейся с постоянной скоростью поверхностной нагрузки двухслойно- го предварительно напряженного основания, состоящего из пластины и подстилаю- щего ее полупространства. Уравнения движения пластины учитывают сдвиг и инер- цию вращения. Приведены формулы для трансформант характеристик напряженно- деформированного состояния элементов двухслойной среды. Выполнено исследование зависимостей изгибающего момента в пластине от на- чальных напряжений, скорости движения нагрузки и условий контакта элементов двухслойной среды. Начальные (остаточные) напряжения оказывают существенное влияние на значение изгибающего момента в пластине. Это влияние зависит от скоро- сти движения поверхностной нагрузки, механических параметров элементов слоистой среды и условий их сопряжения. Численные результаты приведены в виде графиков, таблиц и дан их анализ. Р Е ЗЮМ Е . Представлено результати дослідження впливу початкового напруження на момент згину в пластині, що лежить на попередньо-напруженому напівпросторі, при дії рухомого навантажен- ня. Рівняння руху пластини записано з врахуванням зсуву та інерції обертання. В просторі зображень отримано розв’язок в загальному випадку для стисливого і нестисливого напівпросторів, різних умов контакту та швидкостей руху навантаження. Числовий аналіз дослідження проведено для стисливого матеріалу з гармонійним потенціалом та для нестисливого матеріалу з потенціалом Бартенєва – Хазано- вича. Дано аналіз числових результатів (графіки, таблиці). 1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1967. – 268 с. 2. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Серия: Механика твёрдых деформируемых тел. Т. 5. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с. 3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – K.: «A.С.K», 2004. – 672 с. 4. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Смешанные задачи для упругого основания с начальными напряжениями. – Саарбрюккен (Германия): LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. – 468 c. 76 5. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. – М.: Наука, 1982. – 567 с. 6. Маневич А.И., Колаковский З. К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых де- формаций // Прикл. механика. – 2014. – 50, № 2. – С. 104 – 114. 7. Уфлянд Я. С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // Прикл. математика и механика. – 1948. – 12, № 3. – С. 287– 300. 8. Babich S.Yu., Glukhov Yu.P., Guz A.N. Dynamics of a Prestressed Incompressible Layered Half-Space under Moving Load // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 3. – P. 268 – 285. 9. Babich S.Yu., Glukhov Yu.P., Guz A.N. Dynamic Problem for a Prestressed Compressible Layered Half- Space // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 4. – P. 388 – 405. 10. Kim S.-E., Thai H.-T., Lee J. A two variable refined plate theory for laminated composite plates // Com- posite Structures – 2009. – 89, N 2. – P. 197 – 205. 11. Manevich A. , Kolakowski Z. Free and forced oscillations of Timoshenko beam made of viscoelastic material // J. Theor. and Appl. Mech. (Warsaw). – 2011. – 49, N 1. – P. 3 – 16. 12. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1951. – 18, N1 – P. 31 – 38. 13. Reddy J. N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation // Int. J. Solids and Struct. – 1984. – 20. – Р. 881 – 896. 14. Reddy J. N., Phan N. D. Stability and vibration of isotropic, orthotropic and laminated plates according to a higher-order shear deformation theory // J. Sound and Vibr. – 1985. – 98. – P. 157 – 170. 15. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. and Phys. – 1944. – 23, N 4. – P. 184–191. 16. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1945. – 67. – P. A69 – A77. 17. Vasiliev V. V. Modern Conceptions of Plate Theory // Composite Struct. – 2000. – 48, N1. – 3. – P. 39 – 48. Поступила 10.08.2016 Утверждена в печать 14.03.2017

Изгиб пластины на упругом основании с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки

Репозитарії

Схожі ресурси