О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной
Досліджено задачу про електричний та напружений стани у ортотропному електропружному просторі з еліптичною тріщиною у разі силових та електричних навантажень. Розв'язок задачі одержано за допомогою використання потрійного перетворення Фур'є та Фур'є-образу функції Гріна для нескінченн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158764 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 82-90. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-158764 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1587642019-09-13T01:26:18Z О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Досліджено задачу про електричний та напружений стани у ортотропному електропружному просторі з еліптичною тріщиною у разі силових та електричних навантажень. Розв'язок задачі одержано за допомогою використання потрійного перетворення Фур'є та Фур'є-образу функції Гріна для нескінченного ортотропного п'єзоелектричного середовища. Тестування підходу здійснено у випадку розташування тріщини у площині ізотропії трансверсально-ізотропного п'єзоелектричного матеріалу, для якого існує точний розв'язок задачі. Порівняння результатів обчислень свідчать про високу ефективність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розподіл коефіцієнтів інтенсивності напружень вздовж фронту еліптичної тріщини у ортотропному електропружному матеріалі за рівномірних навантажень. A problem on electric and stress state in an orthotropic electroelastic space with elliptic crack is considered under the force and electric loading. A solution of this problem is obtained by using the triple Fourier transform and the Fourier direct image of the Green function for the infinite orthotropic piezoelectric medium. A testing the approach is carried out for the case of the crack location in an isotropy plane of the transversely isotropic piezoelectric material, for which the exact solution of the problem exists. A comparison of approximate and exact results testifies the high efficiency of the used approach. A numerical study is carried out and a distribution of stress intensity factors along the elliptic crack front in the orthotropic electroelastic material is studied for different loadings. 2017 Article О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 82-90. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158764 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено задачу про електричний та напружений стани у ортотропному електропружному просторі з еліптичною тріщиною у разі силових та електричних навантажень. Розв'язок задачі одержано за допомогою використання потрійного перетворення Фур'є та Фур'є-образу функції Гріна для нескінченного ортотропного п'єзоелектричного середовища. Тестування підходу здійснено у випадку розташування тріщини у площині ізотропії трансверсально-ізотропного п'єзоелектричного матеріалу, для якого існує точний розв'язок задачі. Порівняння результатів обчислень свідчать про високу ефективність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розподіл коефіцієнтів інтенсивності напружень вздовж фронту еліптичної тріщини у ортотропному електропружному матеріалі за рівномірних навантажень. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| spellingShingle |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной Прикладная механика |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| title_short |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| title_full |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| title_fullStr |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| title_full_unstemmed |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| title_sort |
о напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158764 |
| citation_txt |
О напряженном состоянии ортотропного пьезоэлектрического материала с эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 82-90. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs onaprâžennomsostoâniiortotropnogopʹezoélektričeskogomaterialasélliptičeskojtreŝinoj AT levčukoi onaprâžennomsostoâniiortotropnogopʹezoélektričeskogomaterialasélliptičeskojtreŝinoj |
| first_indexed |
2025-07-14T11:21:34Z |
| last_indexed |
2025-07-14T11:21:34Z |
| _version_ |
1837621151349604352 |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 3
82 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 3
В .С .К и р и лю к , О .И .Л е в ч у к
О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ОРТОТРОПНОГО ПЬЕЗО-
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНОЙ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина, e-mail: compos@inmech.kiev.ua
Abstract. A problem on electric and stress state in an orthotropic electroelastic space
with elliptic crack is considered under the force and electric loading. A solution of this prob-
lem is obtained by using the triple Fourier transform and the Fourier direct image of the
Green function for the infinite orthotropic piezoelectric medium. A testing the approach is
carried out for the case of the crack location in an isotropy plane of the transversely iso-
tropic piezoelectric material, for which the exact solution of the problem exists. A compari-
son of approximate and exact results testifies the high efficiency of the used approach. A
numerical study is carried out and a distribution of stress intensity factors along the elliptic
crack front in the orthotropic electroelastic material is studied for different loadings.
Key words: orthotropic electroelastic material, plane elliptic crack, uniform loading,
stress intensity factor.
Введение.
Во многих случаях при создании преобразователей энергии или датчиков для изме-
рительной аппаратуры различного назначения используются электроупругие (пьезо-
электрические) материалы. Такие материалы, как правило, обладают значительной
хрупкостью, что вызывает необходимость детального анализа распределения силовых и
электрических полей в пьезоэлектрических телах с концентраторами напряжений типа
полостей, включений, трещин. В то же время, решение трехмерных задач электроупру-
гости (с учетом связанности силовых и электрических полей и анизотропных свойств
электроупругих материалов) является достаточно сложной в математическом плане
проблемой, поскольку исходная система уравнений для определения электронапряжен-
ного состояния представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений
[1 – 3] значительно более сложной структуры, чем в случае упругого материала.
До настоящего времени наиболее полно исследованы двумерные задачи связан-
ной электроупругости для пьезоэлектрического материала с концентраторами напря-
жений, среди которых можно отметить работы [7, 9, 10 и др]. Заметим, что в случае
трансверсально-изотропного электроупругого материала, к которым относится наи-
более широкий класс пьезоэлектрических материалов, в статьях [19, 24] предложены
структурно подобные подходы к построению общих решений связанных уравнений
электроупругости, с помощью которых получены точные решения целого ряда задач
для трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала с полостями, вклю-
чениями, трещинами, которые специальным образом ориентированы относительно
оси симметрии электроупругого тела.
В этих случаях предполагалось, что ось симметрии материала совпадает с осью
вращения концентратора напряжений в виде полости или включения, а в случае кру-
говой или эллиптической трещины принято, что она расположена в плоскости, пер-
пендикулярной оси симметрии электроупругого материала [4, 6, 8, 11, 13, 14, 16 – 23,
26 – 28]. Среди указанных работ статьи [6, 8 – 10, 16 – 18, 21] содержат результаты
исследований коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) при специальной
ориентации трещин относительно оси симметрии в пьезоэлектрическом теле.
83
При этом в работах [13, 14, 16] исследованы общие закономерности распределения
КИН вдоль границы плоской трещины произвольной формы, расположенной в транс-
версально-изотропном пьезоэлектрическом материале в плоскости, перпендикулярной
оси симметрии. Установлено соответствие выражений КИН для плоской трещины той
же формы в трансверсально-изотропной электроупругой и изотропной упругой средах
при тех же силовых нагрузках [13, 14] и при симметричном тепловом потоке [16]. В
случае же другой ориентации дефектов (полостей, включений, трещин) в трансвер-
сально-изотропном пьезоэлектрическом материале указанные подходы не эффектив-
ны и не позволяют получить решения пространственных задач электроупругости.
Отметим, что для трансверсально-изотропного электроупругого материала с произ-
вольно ориентированной плоской трещиной круговой или эллиптической формы в ра-
боте [12] развит аналитико-численный подход, позволивший исследовать распределе-
ние КИН вдоль фронта трещины с учетом ее ориентации в материале. Отметим, что
отдельные задачи электроупругости для ортотропных пьезоэлектрических материалов
рассмотрены в работах [5, 29].
В данной работе аналитико-численный подход, основанный на использовании
тройного преобразования Фурье по пространственным переменным и Фурье-образа
функции Грина, распространен на случай ортотропного электроупругого материала с
эллиптической трещиной. При его применении используется также теорема Коши о
вычетах и квадратурные формулы Гаусса (при вычислении контурных интегралов,
возникающих в процессе решения задачи). Для частных случаев (при определении
трещины в плоскости симметрии электроупругого трансверсально-изотропного мате-
риала, а также в плоскости симметрии упругого ортотропного материала) имеет место
совпадение результатов с данными других исследований. Изучено распределение КИН
и КИНИН вдоль границы эллиптической трещины в ортотропном электроупругом
материале при постоянном давлении на поверхности трещины и сдвиге в материале.
1. Постановка задачи и основные уравнения.
Пусть ортотропная электроупругая среда содержит эллиптическую трещину, распо-
ложенную в плоскости xy (одной из трех ортогональных плоскостей упругой симмет-
рии). Полагаем, что электроупругий материал находится под действием силовых и
электрических полей полиномиального вида. Наличие трещины в среде, как концентра-
тора напряжений, приводит к появлению возмущений основных силовых и электричес-
ких полей.
Полная система уравнений принимает следующий вид:
уравнения равновесия при отсутствии объемных сил
, 0;ij j (1)
уравнения вынужденной электростатики
, ,0;i i i iD E ; (2)
соотношения Коши
, ,
1
( )
2ij i j j iu u ;
уравнения состояния
,ij ijmn mn nij nC e ; ,i imn mn in nD e k , (3)
где ij , ij , iu , iD , iE , – компоненты напряжений, деформаций, перемещений,
электрических перемещений (электрической индукции), напряженности электричес-
кого поля и электрический потенциал, соответственно. Также использованы следую-
щие обозначения тензоров: ijmnC , imne , ijk – упругие модули, пьезомодули, диэлек-
трические проницаемости пьезоэлектрического материала. Для ортотропных элек-
троупругих материалов упругие характеристики материала описываются девятью не-
зависимыми постоянными 11 22 33 12 13 23 44 55 66, , , , , , , ,c c c c c c c c c ; пьезомодули – пятью ве-
личинами 15,e 24 ,e 31,e 32 ,e 33e ; диэлектрические проницаемости – тремя независи-
84
мыми постоянными 11,k 22 ,k 33k . Компоненты записанных в выражениях (3) тензоров
связаны с соответствующими независимыми постоянными следующим образом:
1111 11;C c 2222 22 ;C c 3333 33;C c 1122 2211 12;C C c
1133 3311 13 2233 3322 23; ;C C c C C c 2323 2332 3232 3223 44;C C C C c
3131 3113 1331 1313 55;C C C C c 1212 1221 2121 2112 66;C C C C c
113 131 15;e e e 223 232 24 ;e e e 311 31;e e 322 32 ;e e 333 33;e e 11;k 22 ;k 33.k
Остальные компоненты этих трех тензоров равны нулю.
Для описания электроупругого состояния используем более унифицированные
обозначения [8]. Представим в следующем виде:
упругие перемещения и электрический потенциал –
, 1, 2, 3;
, 4;
m
M
u M
U
M
(4)
упругие деформации и интенсивность электрического поля –
, 1, 2, 3 ;
, , 4;
mn
Mn
n
M
Z
M
(5)
напряжения или электрические перемещения –
, 1, 2, 3;
, 4;
ij
iJ
i
J
D J
(6)
электроупругие модули –
, , 1, 2, 3;
, 1, 2, 3; 4;
, 4; 1, 2, 3;
, , 4.
ijmn
nij
iJMn
imn
in
C J M
e J M
E
e J M
k J M
(7)
С помощью введенных обозначений уравнения состояния (3) представим в сле-
дующем виде:
.iJ iJMn MnE Z (8)
Отметим, что рассматриваемая задача для плоской трещины не расщепляется, как
для случая трансверсально-изотропного материала при расположении эллиптической
трещины в плоскости изотропии материала, на две – симметричную и антисимметрич-
ную. Задачу следует рассматривать в общей постановке. При этом в граничные усло-
вия входят и нормальные и касательные усилия, а также нормальная составляющая
вектора электрической индукции на поверхности трещины:
13 1 2( , );f x x 23 1 2( , );g x x 33 1 2( , );P x x (9)
3 1 2( , ),D D x x 1 2( , ) ;x x S ( ) 0MU x
при | |x
,
85
где S – поверхность трещины. При заданном основном напряженном состоянии и
электрической индукции в среде и свободной от силовых и электрических воздейст-
вий поверхности трещины, представив силовое и электрическое поля суперпозицией
основного и возмущенного состояний, приходим к граничным условиям для опреде-
ления возмущенного состояния.
2. Метод решения.
Функция Грина ( )IJG x x
для бесконечной ортотропной электроупругой среды
(фундаментальное решение) удовлетворяет следующим уравнениям:
, ( ) 0;kJMn JM kn JME G x x
(10)
где ( )x x
– дельта функция Дирака; JM – символ Кронекера. Запятая после индек-
са означает дифференцирование по соответствующей переменной. Воспользуемся
интегральным выражением фундаментального решения
1 ( )
1 2 33
1
( ) ( ) ( )
(2 )
i x x
JM JMG x x A D e d d d
, (11)
где ( )JMA
– соответствующие алгебраические дополнения элементов матрицы
{ ( )} { } ( ( ) – ее определитель).JM iJMn i nK E D
(12)
Воспользовавшись тождеством Сомильяны для электроупругого материала, пред-
ставим возмущенное электрическое и напряженное состояния, обобщая случай для
чисто упругого материала [25], с помощью неизвестных скачков перемещений и элек-
трического потенциала через поверхность трещины
4
( )3
1 1 1 22
1 3
( )1
( ) ( ) ,
4 ( ) /
N
N N
i x xlJM l IJ
I MN
N S
E A
U x b x e d d dx dx
D
где для эллиптической трещины неизвестный вектор ( )b x
принимает вид
( , ) 2 2 2 2 1/2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( / / ) ( / / ) (1 / / ) ;p q p qb x b x a ix a x a ix a x a x a
(13)
1 2,a a – значения полуосей эллиптической трещины; ( , )p qb
– постоянные четырехкомпо-
нентного вектора, которые в общем случае являются комплексными числами. Сумми-
рование проводится для 3
M – корней уравнения ( ) 0D
с отрицательной мнимой ча-
стью при 3 0x , а вектор
M
имеет вид 1 2 3 1 2( , , ( , ))M
M
. Компоненты напря-
жений и электрической индукции будем вычислять с помощью выражений
,
4
3 ( )
1 2 1 22
1 3
( )
( )
( ) .
4 ( ) /
M
iJ iJKl K l
N N N
iJKl pQM p l KQ i x x
MN
N S
x E U
E E Ai
b x e d d dx dx
D
Следуя преобразованиям, аналогичным [25] для чисто упругого материала, в
плоскости трещины компоненты напряжений и электрической индукции можно полу-
чить в следующем виде:
2 4
( , )
1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2
, 10
( , , 0) ( / , / , ( / , / ))
4
p q N
iJ M iJM
p q N
i
x x b F a a a a
2
( ) ( , ) ( 1, 1)
2
( ) ( ) ;
( )
i p q p q p qe K y K y d
y
(14)
86
( )/22
( , ) ( )/2 ( )/2
0 0
1 ( )
( ) ( 1) ( ) ;
4
m np q
p q m n m n m n p q m n
p q m n
m n
y
K y C C C y
1 2 3 3
3
( )
( , , ) ,
( ) /
N
KQN N
iJM iJKl pQM p l N
A
F E E
D
(15)
где m n – целое четное число; 1 cos , 2 sin ; 1 1 1/y x a , 2 2 2/y x a ,
2 2 1/2
1 2( )y y y ; а m
nC – биномиальные коэффициенты.
Правая часть уравнений (14) является полиномом степени p q , когда 1y
(внутри эллиптической трещины). Посредством выбора неизвестных компонентов
( , ) ( 1, 2, 3, 4),p q
Mb приравнивая коэффициенты при подобных членах (целиком анало-
гично упругому случаю [25]), можно удовлетворить граничным условиям при задан-
ной силовой нагрузке и известной нормальной компоненте электрической индукции
полиномиального вида.
Исследуем случай равномерной силовой и электрической нагрузки в ортотропном
пьезоэлектрическом материале. Тогда на поверхности трещины получим
2 4
(0,0)
1 1 2 2 3 1 1 2 2
10
( ) ( / , / , ( / , / )) ,
4
N
iJ iJM M
N
i
x F a a a a b d
где функция ( , , )
1 2 3( , , )iJMF определяется по формулам (15).
После дополнительного анализа асимптотических выражений компонент напряже-
ний и электрической индукции в плоскости трещины (на основе определения коэф-
фициентов интенсивности напряжений и индукции IJK ) получим
4
2 4 2 4 1/4 2 2 2 2 (0,0)
1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2
1
( / / ) ( / , / , ( / , / )) ;N
iJ iJM M
N
k i a x a x a F x a x a x a x a b
33IK k ; 31 1 32 2IIK k n k n ; 31 2 32 1( )IIIK k n k n ; 34IV DK K k . (16)
Компоненты вектора нормали для эллиптической трещины имеют вид
2 2 4 2 4 1/2
1 1 1 1 1 2 2( / ) / ( / / )n x a x a x a , 2 2 4 2 4 1/2
2 2 2 1 1 2 2( / ) / ( / / )n x a x a x a . Воспользовавшись
при вычислении одномерных интегралов методом квадратур Гаусса и удовлетворив
граничным условиям на поверхности трещины, получим неизвестные значения скач-
ков перемещений и электрического потенциала.
Для тестирования развиваемого подхода рассмотрим задачу об эллиптической тре-
щине в трансверсально-изотропном пьезоэлектрическом материале, расположенной в
плоскости, перпендикулярной оси симметрии изотропии электроупругого материала,
при известном значении давления 0P на поверхности трещины, а также при заданных
сдвигающих усилиях 0
23 0 . Нормальная компонента электрической индукции 0
zD
полагаем равной нулю на поверхности трещины. Согласно результатам [13] при такой
ориентации плоской трещины коэффициенты интенсивности напряжений IK не зави-
сят от электроупругих свойств трансверсально-изотропного пьезоэлектрического мате-
риала и совпадают со значением КИН IK для плоской трещины в упругом изотропном
материале (при тех же симметричных нагрузках), а 0DK .
В то же время, коэффициенты интенсивности напряжений IIK и IIIK при сдвиге
зависят как от упругих, так и электрических свойств материала. Согласно исследова-
ниям, проведенным в работе [14], их значения для трансверсально-изотропного пьезо-
электрического материала можно получить из формул для КИН IIK и IIIK для упру-
87
гого изотропного материала при тех же сдвигающих нагрузках, где вместо коэффици-
ента Пуассона в соответствующие выражения следует подставить значение PIEZO ,
которое вычисляется специальным образом и зависит от десяти электроупругих по-
стоянных трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала.
Представим значения PIEZO для отдельных пьезокерамических материалов с по-
мощью данных [14]. Так, согласно проведенным исследованиям для пьезоэлектриче-
ских материалов PZT-4, PXE-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H получаем следующие значе-
ния PIEZO : 0,48513; 0,48815; 0,47324; 0,34369; 0,37867. Исходные значения электроуп-
ругих постоянных для приведенных материалов приняты согласно [1, 10, 12, 17].
3. Числовые результаты.
На основе результатов работ [13, 14] для электроупругой трансверсально-изотроп-
ной среды, содержащей эллиптическую трещину, при внутреннем давлении 0P на ее
поверхности и сдвиге 0
23 в пьезоэлектрическом материале приходим к следующим
выражениям КИН вдоль фронта внутренней эллиптической трещины:
1/2
2 2 2 2 1/40 ( sin cos )
( )I
P b
K a b
E k a
; (17)
2 0
1/2 23
2 2 2 2 2 2 2 1/4
1 1
sin
( ) ;
[( ) ( ) ( )]( sin cos )II
PIEZO PIEZO
k
K a b
k k E k k K k a b
(18)
1/2 2 03
23
2 2 2 2 2 2 2 1/4
1 1
(1 ) cos
;
[( ) ( ) ( )]( sin cos )
PIEZO
III
PIEZO PIEZO
kb
K
a k k E k k K k a b
(19)
0DK ,
где 2 2 1/2(1 / )k b a , 1 /k b a ; ( )K k и ( )E k – полные эллиптические интегралы пер-
вого и второго рода.
Сравнения результатов исследований КИН IK , IIK и IIIK на основе двух подходов
(с помощью формул (16) и согласно выражениям (17) – (19)) для трансверсально-изотроп-
ного пьезоэлектрического материала PZT-4 приведены в табл. 1 – 3, в которых значения
КИН, полученные по формулам (17) – (19), даны в круглых скобках. При вычислениях
одномерных интегралов использована квадратурная формула Гаусса по 24 узлам. Боль-
шая полуось эллиптической трещины при расчетах полагалась равной единице.
Сравнение значений 0/IK P a дано в табл. 1.
Таблица 1
/b a
0 / 10 / 5 3 /10 2 / 5 / 2
0,8
0,999915
(0,999915)
1,013080
(1,013080)
1,045309
(1,045310)
1,081427
(1,081428)
1,108205
(1,108205)
1,117939
(1,117939)
0,6
0,833213
(0,833214)
0,866524
(0,866525)
0,939174
(0,939174)
1,010530
(1,010529)
1,058848
(1,058849)
1,075674
(1,075674)
0,4
0,616144
(0,616154)
0,682027
(0,682038)
0,798007
(0,798020)
0,894199
(0894214)
0,954057
(0,954073)
0,974209
(0,974226)
0,2
0,337311
(0,337449)
0,454348
(0,454534)
0,588919
(0,589159)
0,681966
(0,682245)
0,681966
(0,682245)
0,736336
(0,736637)
88
В табл. 2 дано сравнение значений 0
23/ .IIK a
Таблица 2
/b a
0 / 10 / 5 3 /10 2 / 5 / 2
0,8
0
(0)
0,477913
(0,477913)
0,881015
(0,881016)
1,172114
(1,172115)
1,344609
(1,344610)
1,401495
(1,401496)
0,6
0
(0)
0,487578
(0,487579)
0,855688
(0,855690)
1,094589
(1,094593)
1,228048
(1,228051)
1,271049
(1,271052)
0,4
0
(0)
0,476210
(0,476249)
0,774158
(0,774221)
0,950514
(0,950990)
1,047732
(1,047816)
1,0788611
(1,078948)
0,2
0
(0)
0,401896
(0,402297)
0,589772
(0,590359)
0,700996
(0,701694)
0,763222
(0,763982)
0,783439
(0,784219)
В табл. 3 дано сравнение значений 0
23/IIIK a .
Таблица 3
/b a
0 / 10 / 5 3 /10 2 / 5 / 2
0,8
0,645407
(0,645408)
0,605842
(0,605843)
0,499470
(0,499471)
0,350766
(0,350767)
0,179953
(0,179953)
0
(0)
0,6
0,506915
(0,506916)
0,463572
(0,463573)
0,363834
(0,363835)
0,245675
(0,245676)
0,123265
(0,123266)
0
(0)
0,4
0,351312
(0,351340)
0,301842
(0,301866)
0,219445
(0,219463)
0,142285
(0,142297)
0,070110
(0,070116)
0
(0)
0,2
0,180392
(0,180572)
0,127369
(0,127496)
0,0835892
(0,0836725)
0,0524449
(0,0524972)
0,0255361
(0,0255615)
0
(0)
Сравнение данных расчетов с применением двух подходов на всем интервале
[0,2 ] изменения угла (интервал разбивался на 100 одинаковых подинтервалов, в
концах которых проводилось сравнение значений) показало, примерно, такую же точ-
ность совпадения результатов исследований.
Для другого частного случая рассматриваемой задачи – случая нахождения пло-
ской эллиптической трещины в упругом ортотропном материале (в плоскости упру-
гой симметрии) также проведены сравнения с данными расчетов [15]. Для этого при
вычислениях с помощью развиваемого подхода значения пяти пьезомодулей и величи-
ны трех диэлектрических проницаемостей полагались близкими нулевым значениям
(при расчетах они получены умножением исходных значений этих величин на 1210 ).
В результате получено совпадение результатов вычислений КИН IK , IIK , IIIK до
восьми значащих цифр, полученных с помощью использования преобразования Фу-
рье для задачи теории упругости (для ортотропной упругой среды) и для задачи элек-
троупругости (для ортотропного электроупругого пространства).
4. Анализ результатов исследований.
Рассмотрим ортотропный пьезоэлектрический материал Ba2NaNb5O15, электроуп-
ругие свойства которого (всего 17 независимых электроупругих параметров) приве-
дены в [3]. Полагаем, что эллиптическая трещина расположена в плоскости xy пьезо-
электрического материала. На рис. 1 – 3 показано распределение КИН IK , IIK , IIIK
при постоянном давлении 0P на поверхности трещины и сдвиге 0
yz в электроупру-
гом материале. Кривые 1, 2, 3 относятся к случаям отношений полуосей / 0,3b a ;
0,5 ; 0,7 , соответственно. Видно, что при увеличении отношения полуосей возраста-
ют и соответствующие значения коэффициентов IK , IIK , IIIK . При этом, максималь-
89
ные значения КИН IK и IIK достигаются
при / 2 (на малой полуоси контура
эллиптической трещины), а наибольшие
значения IIIK – при / 2 (на большей
полуоси эллипса, ограничивающего по-
верхности трещины). При этом нулевые
значения КИН IIK при сдвигающих уси-
лиях 0
yz достигаются в точках большей
полуоси на контуре трещины, а нулевые
значения IIIK – в точках малой полуоси.
Заключение.
Таким образом, в данной работе исследовано напряженное состояние в ортотроп-
ной электроупругой среде с эллиптической трещиной. Изучено распределение коэффи-
циентов интенсивности напряжений вдоль фронта эллиптической трещины, располо-
женной в плоскости симметрии материала, при постоянном давлении на поверхности
трещины, а также в случае сдвига в – ортотропном пьезоэлектрическом материале.
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено задачу про електричний та напружений стани у ортотропному елект-
ропружному просторі з еліптичною тріщиною при силових та електричних навантаженнях. Розв’язок
задачі отримано за допомогою використання потрійного перетворення Фур’є та Фур’є-образу функції
Гріна для нескінченного ортотропного п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу здійснено
у випадку розташування тріщини у площині ізотропії трансверсально-ізотропного п’єзоелектричного
матеріалу, для якого існує точний розв’язок задачі. Порівняння результатів обчислень свідчать про
високу ефективність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розподіл кое-
фіцієнтів інтенсивності напружень вздовж фронту еліптичної тріщини у ортотропному електропруж-
ному матеріалі при рівномірних навантаженнях.
1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – К.: Наук. думка, 1989. – 279 с. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций: В 6-ти т.; Т. 1).
2. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезокерамических и электропроводных тел. – М.:
Наука, 1988. – 472 с.
3. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п′єзоелектричних пластин. – К.:
Наук. думка, 2008. – 270 с.
4. Chen W.Q, Lim C.W. 3D point force solution for a permeable penny-shaped crack embedded in an infinite
transversely isotropic piezoelectric medium // Int. J. Fract.– 2005. – 131, N 3. – P. 231 – 246.
5. Chen W.Q., Cai J.B, Ye G.R, Wang Y.F. Exact three-dimensional solutions of laminated orthotropic piezo-
electric rectangular plates featuring interlaminar bonding imperfections modeled by a general spring
layer // Int. J. of Solids Struct. – 2004. – 41, N 18 – 19. – P. 5247 – 5263.
Рис. 3
Рис. 2
Рис. 1
90
6. Chiang C. R., Weng G.J. The nature of stress and electric-displacement concentrations around a strongly
oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric material // Int. J. Fract. 2005. – 134, N 3 – 4. –
P. 319 – 337.
7. Dai L., Guo W., Wang X. Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric
solids // Int. J. Solids Struct. – 2006. – 43, N 6. – P. 1818 – 1831.
8. Dunn M.L., Taya M. Electroelastic Field Concentrations In and Around Inhomogeneities In Piezoelectric
Solids // J. Appl. Mech. – 1994. – 61, N 4. – P. 474 – 475.
9. Kaloerov S.A. Determining the Intensity Factors for Stresses, Electric-Flux Density, and Electric-Field
Strength in Multiply Connected Electroelastic Anisotropic Media // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6.
– P. 631 – 637.
10. Kaloerov S.A., Samodurov A.A. Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multiply Connected
Plates // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 6. – P. 623 – 639.
11. Karnaukhov V.G., Kozlov V.I., Zavgorodnii A.V., Umrykhin I.N. Forced Resonant Vibrations and Self-
Heating of Solids of Revolution Made of a Viscoelastic Piezoelectric Material // Int. Appl. Mech. –
2015. – 51, N 6. – Р. 614–622.
12. Kirilyuk V.S. Elastic State of a Transversely Isotropic Piezoelectric Body with an Arbitrarily Elliptic
Crack // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 2. – P. 150 – 157.
13. Kirilyuk V.S. On the Stress State of a Piezoceramic Body with a flat Crack under Symmetric Loads // Int.
Appl. Mech. – 2005. – 41, N 11. – P. 1263 – 1271.
14. Kirilyuk V.S. Stress State of a Piezoelectric Ceramic Body with a Plane Crack under Antisymmetric
loads // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 2. – P. 152 – 161.
15. Kirilyuk V.S. Stress State of an Elastic Orthotropic Medium with Elliptical Crack under Tension and
Shear // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 4. – Р. 358 – 366.
16. Kirilyuk V.S. Thermostressed State of a Piezoelectric Body with a Plane Crack under Symmetric Ther-
mal Load // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N. 3. – Р. 320 – 330.
17. Levchenko V.V. Effect of Boundary Conditions on the Natural Frequencies and Vibration Modes of
Piezoelectric Plates with Radially Cut Electrodes // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – Р. 187 – 195.
18. Lin S., Narita F., Shindo Y. Electroelastic analysis of a penny-shaped crack in a piezoelectric ceramic
under mode I loading // Mech. Res. Com. – 2003. – 30, N 4. – P. 371 – 386.
19. Podil’chuk Yu.N. Representation of the General Solution of Statics Equations of the ELectroelasticity of
a Transversally Isotropic Piezoceramic Body in Terms of Harmonic Functions // Int. Appl. Mech. –
1998. – 34, N 7. – Р. 623 – 628.
20. Podil’chuk Yu.N. Electroelastic Equilibrium of Transversally Isotropic, Piezoceramic Media Containing
Cavities, Inclusions, and Cracks // Int. Appl. Mech. – 1998. – 34, N 10. – P. 1023 – 1034.
21. Shang F., Kuna M., Kitamura T. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric
material. Part 1: Analitical development // Theor. Appl. Fract. Mech. – 2003. – 40, N 3. – P. 237 – 246.
22. Sladek J., Sladek V., Krahulec S., Song C. Crack analyses in porous piezoelectric brittle materials by the
SBFEM // Engineering Fract. Mech. – 2016. – 160. – P. 78 – 94.
23. Wang Y.J., Gao C.F., Song H.P. The anti-plane solution for the edge cracks originating from an arbitrary
hole in a piezoelectric material // Mechanics Research Communications. – 2015. – 65. – P. 17 – 23.
24. Wang Z.K., Zheng B.L. The general solution of three-dimension problems in piezoelectric media // Int. J.
Solids Struct. – 1995. – 32, N 1. – P. 105 – 115.
25. Willis J.R. The stress field around an elliptical crack in an anisotropic elastic medium // Int. J. Eng. Sci. –
1968. – 6, N 5. – P. 253 – 263.
26. Zhang T.Y., Gao C.F. Fracture behaviors of piezoelectric materials // Theor. Appl. Fract. Mech. – 2004.
– 41, N 1 – 3. – P. 339 – 379.
27. Zhao M.H., Li Y., Yan Y., Fan C.Y. Singularity analysis of planar cracks in three-dimensional piezoelec-
tric semiconductors via extended displacement discontinuity boundary integral equation method // En-
gineering Analysis with Boundary Elements. – 2016. – 67. – P. 115 – 125.
28. Zhao M.H., Pan Y.B, Fan C.Y., Xu G.T. Extended displacement discontinuity method for analysis of cracks
in 2D poezoelectric semiconductors // Int. J. of Solids Struct. – 2016. – 94 – 95. – P. 50 – 59.
29. Zhou Y., Chen W.Q., Lu C.F. Semi-analytical solution for orthotropic piezoelectric laminates in cylindri-
cal bending with interfacial imperfections // Composite Structures. – 2010. – 92, N 4. – P. 1009 – 1018.
Поступила 31.08.2016 Утверждена в печать 14.03.2017
|