О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях
Досліджено проблему робастної стабілізації руху білінійних систем за інтервальних початкових умов шляхом застосування інтегральних нерівностей. Як приклад розглянуто модель руху автомобіля під час гальмування....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158782 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк, Е.А. Бабенко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 117-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-158782 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1587822019-09-13T01:25:44Z О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях Мартынюк, А.А. Бабенко, Е.А. Досліджено проблему робастної стабілізації руху білінійних систем за інтервальних початкових умов шляхом застосування інтегральних нерівностей. Як приклад розглянуто модель руху автомобіля під час гальмування. A problem of robust stabilization of motion of the bilinear systems under the interval initial conditions is solved by application of the integral inequalities. As an example, a model of car motion under braking is considered. 2017 Article О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк, Е.А. Бабенко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 117-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158782 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено проблему робастної стабілізації руху білінійних систем за інтервальних початкових умов шляхом застосування інтегральних нерівностей. Як приклад розглянуто модель руху автомобіля під час гальмування. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Бабенко, Е.А. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Бабенко, Е.А. О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях Прикладная механика |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Бабенко, Е.А. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| title_short |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| title_full |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| title_fullStr |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| title_full_unstemmed |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| title_sort |
о робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158782 |
| citation_txt |
О робастной стабилизации билинейных систем при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк, Е.А. Бабенко // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 117-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa orobastnojstabilizaciibilinejnyhsistempriintervalʹnyhnačalʹnyhusloviâh AT babenkoea orobastnojstabilizaciibilinejnyhsistempriintervalʹnyhnačalʹnyhusloviâh |
| first_indexed |
2025-07-14T11:22:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T11:22:26Z |
| _version_ |
1837621205572517888 |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 4 117
А .А .Ма р ты ню к 1 , Е .А . Б а б е н к о 2
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ПРИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
1 Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: amartynyuk@voliacable.com
2 Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого,
бульвар Шевченко, 81, 18000, Черкассы, Украина; e-mail: kutsokon78@gmail.com
Abstract. A problem of robust stabilization of motion of the bilinear systems under the
interval initial conditions is solved by application of the integral inequalities. As an exam-
ple, a model of car motion under braking is considered.
Key words: bilinear system, interval initial conditions, integral inequalities, robust sta-
bilization.
Введение.
Некоторые задачи механики (управление электромотором, работа манипулятора и др.)
описываются билинейными системами дифференциальных уравнений (см. [7, 8, 10, 16,
18] и библиографию там). Билинейные системы были предметом ряда работ (см. [5, 14] и
библиографию там), но при этом начальные условия рассматривались обычными. Про-
блема устойчивости и стабилизации движения при интервальных начальных условиях
движения, которые могут быть сколь угодно большими, не сводится к задаче об ус-
тойчивости и стабилизации в классической постановке. В то же время начальные дан-
ные движения во многих инженерных задачах являются интервальными. Это обстоя-
тельство стимулирует интерес к исследованию устойчивости и стабилизации движе-
ния при интервальных начальных условиях [6, 11].
Наряду с методом функций Ляпунова [9, 13] исследование интервальных били-
нейных систем при интервальных начальных данных движения допускает примене-
ние других методов общей теории уравнений.
В частности, в данной работе предлагается решение задачи стабилизации движе-
ния билинейной системы на основе метода интегральных неравенств.
1. Предварительные результаты.
Напомним некоторые определения из интервального анализа, следуя работам [3, 5].
Интервалом a называется множество вида: : [ , ] .a a a x R a x a
На множестве интервалов вводятся операции сложения, вычитания, умножения,
деления. Полученная таким образом алгебраическая структура называется классичес-
кой интервальной арифметикой.
Определение 1. Абсолютной величиной (модулем) интервала a называется вели-
чина max ,a a a .
Определение 2. Пусть 1 2, , ... , na a a – некоторые интервалы, тогда 1 2( , , ... , )T
na a a a
называется интервальным вектор-столбцом, а 1 2( , , ... , )na a a a – интервальным век-
тор-строкой.
118
Наряду с обозначением 1 2( , , ... , )na a a a и 1 2( , , ... , )T
na a a a используется также
следующее: [ , ]a a , где a обозначает вектор-столбец (или вектор-строку), образован-
ный левыми концами интервалов 1a , 2a , ... , na , a – вектор из правых концов.
Существует несколько способов введения нормы интервального вектора. Ниже
будем пользоваться таким определением:
22 2
1 2: ... .nI
a a a a
где 1 2( , , ... , )T
na a a a – интервальный вектор. При этом предполагаем, что норма
«обычных», точечных, векторов находится по формуле 2 2
1 ... nx x x . Можно
показать, что для любого точечного вектора x a , где a – интервальный вектор,
имеет место оценка
I
x a .
Во многих случаях важно иметь эффективную оценку постоянной N в неравен-
стве типа Ht te Ne ( 0, ),t где 0N и 0 . Учитывая результаты работ [1, 2],
укажем один способ такой оценки. Пусть j j ji – собственные значения матрицы
H и 0 1max , , n . Тогда верна оценка
0( ) ,tHte t e (1)
где
1
0
(2 )
( )
!
kn
k
k
H
t t
k
– полином по t степени 1n . Неравенство (1) перепишем в
виде
0( ) ; ( ) .tHt te t e t t e
Пусть 0 0 и 0 выбрано так, что 0 0. Тогда функция 0t при
t и поэтому ( )t имеет наибольшее значение на полуоси 0, , которое может
быть вычислено по обычным правилам определения экстремума дифференцируемой
функции. В следующей лемме показано, как это сделать.
Лемма 1. При выполнении сделанных выше предположений, справедлива оценка:
0* ( 0, ),tHte F s e t (2)
где *s – единственное решение уравнения
2 1( ) ( )n ns s (3)
на промежутке 0, ,
2 H
,
1
1
0
( )
!
kn
n
k
s
s
k
, 1( ) ( ) .s
nF s s e
Доказательство. Прежде чем перейти к доказательству леммы, исследуем кор-
ректность определения величины . Поскольку наибольшая из действительных час-
тей собственных значений матрицы ,H величина 0 – отрицательная, то 0H , по-
этому определено корректно.
Для того, чтобы получить оценку (2), определим наибольшее значение функции
( )t на промежутке 0, . Для упрощения вычислений в функции ( )t выполним
замену переменной t по формуле t s , в результате чего получим
1( ) ( ) ( ) ( ).t s s
nt t e s e s e F s
119
Тогда
0, 0,
max ( ) max ( )t F s
. Для того, чтобы получить наибольшее значение функции
( )F s на полуоси 0, , вычислим dF ds :
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) .s s sn n
n n
d s d sdF
e s e s e
ds ds ds
Следовательно, стационарные точки функции F s являются решениями уравнения
1
1
( )
( ).n
n
d s
s
ds
Преобразуем это уравнение. Поскольку ( )m s – многочлен Тейлора m -ой степени
функции se , а для любых m N и при всех s R имеет место равенство
1
( )
( ),m
m
d s
s
ds
(4)
то уравнение приводится к виду (3). Исследуем множество решений уравнения (3) на
промежутке [0, ) . Для этого рассмотрим семейство 1n функций ( ) = ( )k ks s
1( ),k s = 1, 2, ... , 1k n . Функции ( )k s обладают следующим свойством: посколь-
ку 0 и при этом для любой матрицы и любого типа нормы 02 ,H то
1
2 H
при любых допустимых значениях . А так как 1 и (0) 1m при
любом m N , то для функций ( )k s выполняются неравенства:
0 1 0k , 1, 2, , 1k n . (5)
С другой стороны, из предельных равенств
1
( )
lim
( )
k
s
k
s
s
, = 1, 2, ... , 1k n , следу-
ет, что существует число 0ks такое, что при всех > ks s :
( ) 0k s ( 1, 2, , 1).k n (6)
Из неравенств (5) и (6) и непрерывности k s следует, что на промежутке
(0, )ks функция ( )k s имеет хотя бы один ноль. Вне этого промежутка функция
( )k s нулей не имеет. Обозначим 1 2 1= max{ , , ... , }ns s s s . Если для некоторого k из
множества {1, 2, ... , 2}n функция ( )k s имеет единственный ноль на промежутке
(0, )s , то функция 1( )k s на (0, )s также имеет единственный ноль. Действительно,
пусть ( )k s имеет единственный ноль на (0, )s , тогда, поскольку
1 1
1
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ),k k k
kk k
d s d sd s
s s s
ds ds ds
то 1( )k s имеет на промежутке (0, )s единственную точку экстремума. Причем, до
этой точки 1( )k s убывает, а после – возрастает до . Следовательно, 1( )k s дей-
ствительно имеет на (0, )s единственный ноль.
Положим 1k . Функция 1 1 0( ) = ( ) ( ) = (1 ) 1 = ( 1)s s s s s имеет
единственный ноль на (0, )s , тогда согласно доказанному выше, функции 2 3( ), ,s
120
2, ( )n s и 1 1 2( ) ( ) ( )n n ns s s также имеют единственный ноль на (0, )s , а
значит, и на 0, . Т.е., уравнение (3) имеет на полуоси 0, единственное ре-
шение *s . Согласно достаточным условиям экстремума получаем, что *s s – точка
максимума функции ( )F s на промежутке 0, . Таким образом,
0,
max ( ) ( *)F s F s
,
поэтому 0* tHte F s e при всех 0,t , что и требовалось доказать.
2. Постановка задачи.
Далее сформулируем определение робастной экспоненциальной устойчивости
при интервальных начальных условиях. Рассмотрим систему уравнений управляемого
движения
, ,
dx
f t x u
dt
, (7)
000 0( ) ,x t x x x , (8)
где , , : , ( , 0, ) 0,n m n m nx R u R f R R R R f t u при всех t R и 0 ,mu U R
при интервальных начальных условиях (8). Кроме того, предполагается, что ( , , )Tf t x u
2( , , ) T Tf t x u x H Hx , где 0 характеризует границу неопределенности и H –
некоторая постоянная матрица.
Определение 3. Решение 0x системы (7) при некотором управлении 0 0( )u u t U
называется экспоненциально устойчивым при интервальных начальных условиях (8),
если существуют положительные постоянные ,M такие, что для любого 0t R и
000 ,x x x выполняется оценка
0
0 0 0( ; , ) t t
I
x t t x M x e при всех 0t t .
Определение 4. Система (7) робастно экспоненциально стабилизируема при ин-
тервальных начальных условиях (8), если существует управление 0 0( )u u t U , для
которого решение 0x системы (7) экспоненциально устойчиво при интервальных
начальных условиях (8).
3. Робастная стабилизация билинейной системы.
Рассмотрим уравнения управляемого движения билинейной системы с неточными
значениями параметров
0
1
( ) ( ) ( ) ( )
p
i i
i
dx
Ax t u t B x t Du t
dt
(9)
при интервальных начальных условиях (8).
Здесь ,nx R 0A A A , 0i i iB B B , 0D D D – матрицы соответствую-
щих размерностей, матрицы 0 0 0, ,iA B D – соответствуют номинальной системе и A ,
,iB D – неточности параметров системы и управления.
Заметим, что при фиксированных размерностях матриц 0 ,A A A 0 ,i i iB B B
0D D D в системе (9) в выражениях управлений ( )iu t и 0 ( )u t матрицы iK и 0K
имеют размерности, при которых правая часть уравнений (9) имеют размерность век-
тора состояния системы (9).
О системе (9) сделаем такие предположения:
1H . Существуют положительные постоянные a , ib , c , 1, 2, ,i p , такие, что
;A a ;i iB b D c ;
121
2H . Пара 0 0( , )A D – стабилизируемая, то есть существует матрица K такая, что
при управлении 0 ( ) ( )u t Kx t матрица 0 0A A D K такова, что
0
At te M e
, где 0 0M и 0 .
Перепишем систему (9) в виде
0 0 0
1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
p
i i i
i
dx
A D K x t u t B B x t A DK x t
dt
(10)
и предположим, что локальные управления
( ) ( )i iu t K x t , 1, 2, , ,i p (11)
вместе с глобальным управлением
0 ( ) ( )u t Kx t (12)
осуществляют заданные свойства движения объекта, который описывается системой (9).
Укажем условия, при которых управления (11) и (12) стабилизируют движение
системы (9) к робастно экспоненциально устойчивому.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что для системы (9) выполняются условия предполо-
жений 1H – 2H и, кроме того,
2
0 0 0 0
1
0
p
i i iI
i
M a c K x M K B b
. (13)
Тогда управления 0 ( )u t и ( )iu t стабилизируют движение системы (9) к робастно
экспоненциально устойчивому.
Доказательство. Учитывая (11), из уравнения (10) определим, что
0 0
10 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t tp
A t s A t sAt
i i i
i
x t e x e K x s B B x s ds e A DK x s ds
(14)
где 000 ,x x x . При выполнении условия 2H для системы
0 0
dx
A D K x
dt
(15)
существуют постоянные 0 0M и 0 такие, что
0
At te M e
(16)
при всех 0t . Учитывая условие 1H и оценку (16), из соотношения (14) получаем
неравенство
2
1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
It m f s f s s ds (17)
где ( ) ( ) ,tt x t e 0 0 ,I I
m M x 000 0 0 0max ( ) : ( ) , ,
I
x x t x t x x x 1f
0 ( ),M a c K 2 0 0
1
( )
p
s
i i i
i
f M K B b e
.
Применяя к неравенству (17) лемму Гронуолла – Беллмана, получаем оценку
1 2
0
( ) exp ( ) ( ) .
t
It m f f s s ds
(18)
Из (18) следует, что
122
2 1
0 0
( ) exp ( ) ( ) exp .
t t
It f s s ds m f ds
(19)
Умножая обе стороны неравенства (19) на 2 ( ) 0f t , при всех 0t получаем
2 2 1
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp .
t t
I
d
f s s ds m f t f ds
dt
Интегрируя это неравенство в пределах от 0 до t , определим, что
1
1 2 1
0 0 0
( ) exp 1 ( )exp .
t t s
I It m f ds m f s f d ds
(20)
Для того, чтобы разрешить это неравенство относительно ( )t , выясним знак вы-
ражения в правой части неравенства. Для этого упростим его, вычислив входящие в
него интегралы. В результате несложных преобразований получим:
0
0 0
1
2 1
00 0
1 exp 1 1
p
t s I i i i
M a c K ti
I
m M K B b
m f s f d ds e
M a c K
. (21)
Введем обозначение: 1 0 .M a c K Поскольку, как следует из неравен-
ства (13), 1 0 и 1 0te при любых 0t (причем последняя оценка является тем
точнее, чем больше t ), то получим такую оценку:
0 0
1
2 1
10 0
1 exp 1 ,
p
t s I i i i
i
I
m M K B b
m f s f d ds
которая справедлива при любых 0t . Последнее выражение является положитель-
ным, если воспользоваться условием (11) теоремы и учесть обозначение для постоян-
ной Im . Таким образом, правая часть неравенства (20) в силу условия теоремы явля-
ется положительной при любых 0t , поэтому (20) может быть решено относительно
( )t так:
0
1
1
0
0 02 1
10 0
1
exp
( ) .
1 exp
1 ( 1)
t
I M a c K t
I
t s p
I i i iI
ti
m f ds
m e
t
m M K B bm f s f d ds
e
(22)
Воспользовавшись далее снова оценкой 1 0te , справедливой при всех 0t , по-
лучим следующую оценку для ( )t
0( ) ( ) M a c K t
It M m e (23)
при всех 0t , где
1
1 0 0
1
p
i i i
i
u
M u
uM K B b
.
Учитывая, что ( ) ( ) tt x t e , из (23) получаем оценку для ( )x t :
1
0 0( ) t
I
x t M M x e (24)
при всех 0t .
Это доказывает утверждение теоремы 1.
123
4. Робастная стабилизация наблюдаемой системы.
Далее предположим, что в системе (9) 1p и будем рассматривать систему
уравнений
0( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( );
dx
Ax t u t Bx t Du t
dt
y t Cx t
(25)
000 0( ) [ , ],x t x x x (26)
где 0A A A , 0B B B , 0D D D матрицы соответствующих размерностей.
О системе (25) предположим следующее:
1H . Пара 0 ,A C – наблюдаемая, т.е. существует матрица G такая, что нулевое
решение системы
0=
d x
A GC x
dt
(27)
асимптотически устойчиво и, следовательно, существуют матрица K и постоянные
0 0N и 0 , при которых верна оценка
0
0
A GC t te N e при всех 0t . (28)
2H . Пара 0 0,A D – стабилизируемая, т.е. существуют постоянные 1 0N и
0 такие, что 0 0
1
A D K t te N e при всех 0t .
Следуя общей теории наблюдения (см. [14]), предположим, что “наблюдатель” в
системе (25) описывается системой уравнений
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( );
dz
z t u t B z t D u t Gy t
dt
(29)
000 0( ) ,z t z z z , (30)
где 0A GC – n n -постоянная матрица.
Введем расширенный вектор системы (25) и ошибки наблюдения ( ) ( ) ( )t z t x t
в виде
000( ) ( ( ), ( )) ; 0 [ , ]Tw t x t t w w w w
и перепишем уравнение (25) вместе с уравнением ошибки в виде
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
dx
Ax t A DK x t Kz t Bx t DK t
dt
d
t A DK x t Kz t B t Bx t
dt
(31)
где 0 0A A D K , и 0A GC . При этом учитывается, что управление – ( )u t
( ).Kz t
Систему (31), учитывая содержание вектора ( )w t и правой части, перепишем в
виде
000( ) ( ) ( ) ; 0 , ,
dw
Hw t Y t Z x t w w w w
dt
(32)
где 0
0
A D K
H
,
0
0
( ) ( )
( )
( ) ( )
Kz t B B x t
Y t
Kz t B Bx t
,
( )
( )
( )
A DK x t
Z x t
A DK x t
.
124
Из уравнения (32) получим, что
0
0
( ) ( ) ( ) .
t
H t sHtw t e w e Z x s Y s ds (33)
Согласно работе [2] верна оценка
,Ht te Ne max , , (34)
где const 0N и кроме того
( ) 2 ( ) ;Z x t a c K w t 2
0( ) 4 ( )Y t K B b w t при всех 0t . (35)
Далее обозначим 1 2f N a c K и 2 0( ) 4 sf s N K B b e и получим из
соотношения (33) оценку
2
1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
It m f s f s s ds (36)
где ( ) ( ) tt w t e , 0I I
m N w , 000 0 0 0max : ,
I
w w t w t w w w .
Применим к неравенству (36) технику оценивания из теоремы 1 получим неравен-
ство
1
0
2 1
0 0
exp
( ) ,
1 ( )exp
t
I
t s
I
m f ds
t
m f s f d ds
(37)
которое верно при всех 0t , если только
2
0 02 4 0
I
N a c K w N K B b . (38)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть для системы (25) выполняются предположения 1H – 2H и кро-
ме того выполняется условие (38). Тогда система (25) робастно экспоненциально ста-
билизируема с оценкой
1
0( ) t
I
w t M N w e , (39)
где 1 2 0N a c K , max , и
1
1 04
u
M u
uN K B b
.
Доказательство. При выполнении условий 1H – 2H получаем оценку (37), кото-
рая имеет место при всех 0,t , если выполняется условие (38). Из (37), учитывая
обозначения , 1f
, 2 ( )f s , получим выражение постоянной M в неравенстве (39), из
которого при условии (38) следует утверждение Теоремы 2.
5. Приложения.
Рассмотрим динамику торможения автомо-
биля при следующих предположениях [14]. Рас-
смотрим колесо автомобиля (рисунок), которое
вращается на оси с некоторой угловой скоро-
стью и систему торможения автомобильного
колеса. Система торможения состоит из бараба-
на, неподвижного относительно колеса, и тор-
мозной колодки, которая прислоняется к бара-
бану с переменной плотностью, создавая тем
самым силу трения 1f разной интенсивности.
125
Предполагается:
1) 1 1 1F c u x , где управление 1u – нормальная сила, приложенная к колодке, x –
поступательная скорость, 1c – константа;
2) кулоновское трение отсутствует;
3) другие силы трения 2F выражаются так: 2 2F c x 2(c – константа).
Учитывая силы инерции, трения и тяги двигателя, согласно второму закону Нью-
тона получим уравнение движения в таком виде:
1 1 2( ) = ,
d
m x kc u x kc x u
dt
где k – коэффициент пропорциональности, m – масса автомобиля, u – сила, обу-
словленная двигателем. Обозначив 1 =y x , 2 =y x , уравнение можно представить в
виде системы:
1
2
2 1 1 2
2
= ,
= ,
dy
y
dt
dy c u c u
y
dt m m m
или в векторном виде:
1= ,
dy
Ay u By Du
dt
(40)
где приняты обозначения:
1
2 1
2
0 1 0 0 0
= ; = ; = ; = .1
0 0
y
y A B Dkc kc
y
mm m
(41)
Предположим, что параметры m , 2c , 1c заданы неточно и принимают значения
из ограниченных промежутков 0 0[ , ]m m m m , 20 2 20 2[ , ]c c c c и 10 1[ ,c c
10 1],c c соответственно. Тогда A , B и C можно представить в виде: 0=A A A ,
0=B B B , 0=D D D , где
0 0 020 10
00 0
0 1 0 0 0
= ; = ; = ,1
0 0
A B Dkc kc
mm m
а A , B , C – прибавки, обусловленные неточностью параметров.
Определим условия, которым должны удовлетворять матрицы 1 2= [ , ]K k k и 1K
11 12[ , ],k k чтобы управления 1 1=u K y и =u Ky робастно экспоненциально стаби-
лизировали колесо автомобиля. Для этого сначала выясним, какой должна быть мат-
рица K , чтобы пара 0 0( , )A D была стабилизируемой, т.е. существовали числа 0 > 0M
и < 0 такие, что:
0 0
0
A D K t te M e , (42)
при всех 0t . То есть, чтобы выполнялась гипотеза 2H .
Матрицу K выберем, потребовав выполнения условия 0 0
1,2
max 0i
i
A D K
.
Это будет тогда, когда
0 0tr 0A D K и 0 0det 0A D K . (43)
126
Поскольку 0 0 20 21
0 0
0 1
A D K kc kk
m m
, то условия (43) примут вид
2 20
1
,
0.
k kc
k
(44)
Обозначив 0 0 0
1,2
max i
i
A D K
и воспользовавшись леммой 1, получим оцен-
ку (42), в которой 0M и определяются по формулам
0 0
1
20 0
0
2
;A D KA D K
M e
0 , (45)
где > 0 выбрано так, что 0 < 0 .
Чтобы получить условия робастной экспоненциальной устойчивости решения
= 0y системы (40), потребуем дополнительно выполнения неравенства (13) из усло-
вий теоремы 1:
2
0 0 0 0
1
0
p
i i iI
i
M a c K y M K B b
.
В данном случае сумма в левой части неравенства содержит только одно слагае-
мое, поэтому неравенство примет вид:
2
0 0 0 1 0 0
I
M a c K y M K B b , (46)
где a , b и c – положительные числа такие, что A a , B b и D c . По-
скольку 10
0
0
kc
B
m
, 2 2
1 2K k k , 2 2
1 11 12K k k , то неравенство (46) представим
так:
2 2 2 2 2 10
0 1 2 0 0 11 12
0
( ) 0,
I
kc
M a c k k y M k k b
m
(47)
Таким образом, если в системе (40) управления 1u и u имеют вид:
1 1= ; = ,u K y u Ky
и при этом матрицы 1 11 12= [ , ]K k k и 1 2= [ , ]K k k удовлетворяют условиям (44) и (47), в
которых 0M и находятся по формулам (45), где > 0 выбрано так, что 0 < 0 ,
а a , b и c – положительные числа такие, что A a , B b и D c , то реше-
ние = 0y системы (40) робастно экспоненциально устойчиво.
Это и есть достаточные условия робастной экспоненциальной стабилизации дви-
жения автомобиля.
6. Заключительные замечания.
В статье получены новые достаточные условия стабилизации движения неточной
билинейной системы (9) при интервальных начальных условиях движения при помо-
щи линейных управлений (11), (12) матрицы iK и 0K которых выбираются так, что
пара 0 0( , )A D стабилизируема и выполняется неравенство (13). В основу этих условий
положена оценка нормы решений системы (9) при интервальных начальных условиях (8).
Применение полученных условий стабилизации движения иллюстрируется на за-
даче о стабилизации движения автомобиля.
127
Заметим также, что интервальные начальные условия (8) в системе (9) порождают
множество (пучок) решений. Развитие этого подхода ведет к необходимости примене-
ния обобщенной производной множества состояний системы и иной техники анализа
движения. Это может быть предметом отдельного исследования билинейных систем.
РЕЗЮМЕ . Досліджено проблему робастної стабілізації руху білінійних систем при інтерваль-
них початкових умовах шляхом застосування інтегральних нерівностей. Як приклад розглянуто мо-
дель руху автомобіля при гальмуванні.
1. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. – М.:
Наука, 1966. – 576 с.
2. Тонков Е.Л. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во
Моск. ин-та хим. и машиностроения, 1972. – 87 с.
3. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. – Новосибирск:Изд-во XYZ, 2013. – 606 с.
4. El. Alami N. Analyse et Commande Optimale des Systemes Bilineaires Distribues // Applications aux
Procedes Energetiques. PhD thesis, Univesitede Perpignan, France, 1986. – 126 p.
5. Alefeld G., Mayer G. Interval analysis: theory and applications // J. of Computational Applied Mathemat-
ics. – 2000. – 121. – P. 421 – 464.
6. Babenko Ye.A., Martynyuk A.A. Stabilization of the Motion of a Nonlinear System with Interval Condi-
tions // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 2. – P. 182 – 191.
7. Benallou A., Mellichamp D., Seborg D. Charaterization of equilibrium sets for bilinear systems with feed-
back control // Automatica. – 1983. – 19. – P. 183 – 189.
8. Espana M., Landau I. Reduced order bilinear models for distillations columns // Automatica. – 1977. –
14. – P. 345 – 355.
9. Kardous Z., Benhadj Braiek N. Stabilizing Sliding Mode Control for Homogeneous Bilinear Systems
// Nonlinear Dynamics and Systems Theory. – 2014. – 14 (3). – P. 303 – 312.
10. Longchamp R. Stable feedback control of bilinear systems // IEEE Trans. Aut. Contr. – 1980. – 25. –
P. 302 – 306.
11. Martynyuk A.A., Babenko Ye.A. Finite time stability of uncertain affine systems // Mathematics in Engi-
neering, Science and Aerospace. – 2016. – 7, N 1. – P. 179 – 196.
12. Martynyuk A.A. Novel Bounds for Solutions of Nonlinear Differential Equations // Applied Mathematics.
– 2015. – 6. – P. 182 – 194.
13. Mohler R. Nonlinear systems: Applications to Bilinear Control, vol. 2. Englewood Cliffs, New Jersey:
Prentice Hall, 1991. – 275 p.
14. Mohler R. Bilinear control processes: with applications to engineering, ecology, and medicine. – New
York: Academic Press, 1973. – 305 p.
15. Pachpatte B.G. Inequalities for Differential and Integral Equations. – New York: Ames, 1997. – 611 p.
16. Ryan E., Buckingham N. On asymptotically stabilizing feedback control of bilinear systems // IEEE
Trans. Aut. Contr. – 1983. – 28. – P. 863 – 864.
17. Schumacher J.M. A direct approach to compensator design for distributed parameter systems // SIAM J.
Contr. and Optimization. – 1983. – 21. – P. 823 – 836.
18. Slemrod M. Stabilization of bilinear control systems with applications to nonconservative problems in
elasticity // SIAM J. Contr. Opt. – 1978. – 16. – P. 131 – 141.
Поступила 01.07.2016 Утверждена в печать 14.03.2017
|