Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2007
1. Verfasser: Шерстенников, Ю.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут економіки промисловості НАН України 2007
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-15957
record_format dspace
spelling irk-123456789-159572013-02-13T02:09:00Z Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы Шерстенников, Ю.В. Фінанси 2007 Article Article Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1817-3772 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957 ru Інститут економіки промисловості НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Фінанси
Фінанси
spellingShingle Фінанси
Фінанси
Шерстенников, Ю.В.
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
format Article
author Шерстенников, Ю.В.
author_facet Шерстенников, Ю.В.
author_sort Шерстенников, Ю.В.
title Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
title_short Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
title_full Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
title_fullStr Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
title_full_unstemmed Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
title_sort применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
publisher Інститут економіки промисловості НАН України
publishDate 2007
topic_facet Фінанси
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957
citation_txt Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT šerstennikovûv primeneniemodelimarkovskogoprocessakissledovaniûékonomičeskojéffektivnostirabotyfirmy
first_indexed 2025-07-02T17:18:36Z
last_indexed 2025-07-02T17:18:36Z
_version_ 1836556450340536320
fulltext 92 Економічний вісник Донбасу Введение. В ряду математических методов, широко применяющихся в исследовании динамики развития экономических систем, одно из центральных мест занимают модели, основанные на теории мар- ковского случайного процесса. Теория марковского процесса детально разработана в математическом от- ношении и имеет широкую область применения [1 — 3]. Так, в работе [4] рассматривается приложение мар- ковских процессов к задачам о распеределении ре- сурсов между различными отраслями производства и потреблением, оптимальных сроках замены обору- дования, регулировании водоснабжения и др. Применение модели марковского процесса к исследованию динамики экономических систем обыч- но сводится к выполнению численных расчетов с це- лью получения конкретных количественных характе- ристик процесса. При этом основной проблемой, с которой сталкиваются исследователи, является опре- деление параметров модели. Попытка детального опи- сания экономической системы в рамках модели Мар- кова приводит к необходимости определения большо- го количества параметров, которые имеют вероятнос- тный характер, и численное их определение оказыва- ется весьма проблематичным. Указанные затруднения сдерживают применение теории марковских процес- сов к исследованию экономических систем. В современной экономической теории имеется, по мнению автора, определенный концептуальный пробел. Отсутствуют исследования, которые должны ответить на следующие принципиальные вопросы: насколько де- тальным должно быть описание экономической систе- мы в рамках модели марковского случайного процес- са; в какой мере точность определения каждого из па- раметров модели влияет на достоверность конечного результата исследования. Настоящая работа призвана по возможности восполнить указанный пробел. Постановка задачи. Целью работы является применение модели однородной цепи Маркова к ис- следованию динамики развития фирмы, работающей в условиях рыночной неопределенности. Ставилась задача — оценить степень влияния каждого из пара- метров модели на конечный экономический результат деятельности фирмы и на основании этого сделать вы- воды о необходимой степени точности при определе- нии данного параметра модели. Ю.В. Шерстенников, г. Днепропетровск Ю.В. Шерстенников ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ФИРМЫ Другими словами, постановку задачи можно сформулировать следующим образом. Предположим, у нас есть возможность определить параметры моде- ли марковской цепи для описания работы фирмы с относительной погрешностью не менее 0,1 (или 10%). Параметры модели имеют вероятностный характер, и для их определения нужно выполнить сбор и статис- тическую обработку больших массивов данных. Эта работа сама по себе является достаточно трудоемкой. При этом возникают следующие вопросы: какую точ- ность можно ожидать от результатов, полученных при использовании данной модели; каким образом будет происходить накопление погрешности расчетов при увеличении горизонта планирования (т.е. при увели- чении числа шагов в цепи Маркова). Иначе говоря: будут ли результаты достоверными и стоит ли браться за применение модели цепи Маркова, если параметры модели не могут быть определены с погрешностью меньшей, чем, например 10%. Основное содержание исследования. Рассмот- рим деятельность некоторой, например туристической, фирмы. Экономические итоги своей деятельности фир- ма определяет в фиксированные моменты времени t. Если фирма подводит итоги ежемесячно, то параметр t нумерует месяцы (хотя он может нумеровать кварта- лы, годы и т.д.). Пользуясь терминологией, принятой в теории цепей Маркова, будем говорить, что в каж- дый конкретный момент времени t фирма может на- ходиться в одном из множества возможных состоя- ний ...,, 21 AA . Применительно к туристической фирме (аналогичное описание может быть применено к лю- бому предприятию) это означает следующее: если тур операторы в данном месяце выполнили план на 100%, то будем считать, что фирма находится в состоянии 1A ; если план выполнен на 99% — то в состоянии 2A и т.д. В дальнейшем возможно ограничиваться слу- чаем, что план всегда выполняется не менее чем на 91%. Хотя это ограничение и не является принципи- альным, тем не менее в реальной деятельности пред- приятий оно обычно выполняется. При указанном выше способе описания мы при- дем к модели цепи Маркова с размерностью 1010× . Назовем эту модель моделью Т (от слова «точная»). Для полного описания модели Т потребуется опреде- ление 190 параметров. Эта задача выглядит нереаль- 2007’2 93 ной. В таком случае от модели Т переходят к модели П («приближенная»). Это может быть сделано следу- ющим образом. Вместо 10 состояний (уровней) сис- темы рассматриваются (в простейшем случае) два: со- стояние 1A — план выполнен на 96—100% и состоя- ние 2A — план выполнен на 91—95%. Модель П имеет размерность 22× . Для полного описания модели П потребуется определение шести параметров. Упрос- тив описание модели, мы одновременно снизили ее точность. Вопрос о точности описания системы при помощи модели марковской цепи мы в данной работе не рассматриваем, поскольку он относится к общей теории марковских процессов, что не входит в нашу задачу. В настоящей работе размерность задачи (а сле- довательно, степень детальности и точности модели) не являются принципиальными. Результаты, получен- ные ниже, могут быть получены и для моделей с бо- лее высокой размерностью. Модель 22× интересует нас только с точки зрения прозрачности дальнейших выкладок. В дальнейшем будем придерживаться следую- щей терминологии. Если система находится в состоя- нии 1A , то будем говорить, что она находится «на уров- не i». Выше было отмечено, что даже для простейшей двухуровневой системы требуется определение шес- ти параметров. Нашей задачей является исследование вопроса о минимальной степени точности, с которой должен быть определен каждый из шести параметров двухуровневой системы, при которой модельные рас- четы могут считаться достоверными. Модель однородной (не зависящей от времени) цепи Маркова для двухуровневой системы состоит в определении двух матриц: матрицы вероятностей пе- реходов       = 2221 1211 pp pp P (1) и матрицы стоимостей       = 2221 1211 rr rr R (2) где ijp — вероятность перехода системы с уров- ня i на уровень j за один шаг эволюции (т.е. при изме- нении времени с момента t до момента 1+t ); ijr — доход, полученный при переходе системы с уровня i на уровень j за один шаг эволюции. Вероятности переходов ijp связаны следующи- ми соотношениями: 11211 =+ pp , (3) 12221 =+ pp . (4) Примем следующие обозначения: pp =11 , dpp −=21 . (5) В рассматриваемом примере с туристической фирмой (как и во многих других экономических сис- темах) величина d находится в пределах pd 8,00 << . С учетом (3) — (5) матрица P может быть запи- сана в виде       +−− − = dpdp pp P 1 1 . (6) Упростим также обозначения для матрицы R:       = 31 20 ~~ ~~ rr rr R . (7) Исследования различных экономических систем приводят к выводу, что для экономических систем между параметрами матрицы (7) имеют место следу- ющие соотношения: { }210 ~,~max~ rrr > , { }213 ~,~min~ rrr < . (8) Удобно в качестве денежной единицы выбрать величину 0 ~r . Тогда (7) примет вид:       = 31 21 rr r R , (9) где 0 ~ ~ r rr i i = . Введем обозначения: ii rr −=1 . (10) В этих обозначениях       −− − = 31 2 11 11 rr r R , (11) В реальных экономических задачах для 1r и 2r имеют место ограничения: 5,0,0 21 << rr . (11) Из (8) и (10) следует: { }213 ,max rrr > . (12) В модели цепи Маркова экономический резуль- тат (доход фирмы) зависит от уровня (состояния), с которого система начинает эволюцию. Обозначим че- рез )(tvi доход, полученный за t шагов эволюции системы (фирмы) в случае, когда при 0=t системаа находилась на i-ом уровне. Тогда вектор доходов рас- считывается из векторно-матричного уравнения [5]: ( )       ⋅++++=      2 12 2 1 ... )( )( g g PPPE tv tv t , (13) Ю.В. Шерстенников 94 Економічний вісник Донбасу где Е — единичная матрица 22× , ig — элементы главной диагонали матрицы TRP ⋅ , TR — транспонированная матрица стоимос- тей R . На рис. 1 показана динамика дохода фирмы в зависимости от времени t, в случае, когда в началь- ный момент времени фирма находится на первом уров- не. Расчеты выполнены при следующих значениях параметров: 9,0=p ; 2,0=d ; 2,01 =r ; 4,02 =r и трех значений параметра 3r . Все три линии на рисунке прак- тически сливаются. Численные расчеты показывают, что отклонение значений )(1 tv для значений парамет- ра 4,03 =r и 9,03 =r от значений )(1 tv для 6,03 =r не превышают 1%. Это означает, что при точности рас- четов 1% значения параметра 3r может быть вычис- лено как сумма: 213 rrr += (14) Ю.В. Шерстенников Рис. 1. Величина дохода )(1 tv в зависимости от t для трех значений 9,0;6,0;4,03 =r Рис. 2. Зависимость приведенных разностей доходов от времени: сплошная линия — отнv1 ; точечная — отнv2 . На рис. 2 показаны результаты расчета величин: )4,0( )8,0()4,0( 1 11 1 v vvv отн − = и )4,0( )8,0()4,0( 2 22 2 v vvv отн − = (15) В (15) в скобках указаны значения параметра 3r . Остальные параметры при расчете по (15) имеют сле- дующие значения: 9,0=p ; 2,0=d ; 1,01 =r ; 3,02 =r . Из рис. 2 видно что отнv1 и отнv2 при больших значе- ниях t сходятся к величине 0,017. Это означает, чтоо при больших t конкретное значение параметра 3r ста-а- новится несущественным. На рис. 3 показана зависимость величины )( )()()( 1 21 12 tv tvtvtv − = (16) от параметра d для двух значений t. Из рис. 3 видно, что при 12=t доход 1v может превышать 2v на 20%, а при 24=t — всего лишь на 10%. Поскольку )(1 tv — это доход, полученный фирмой за время t, в том случае, когда при 0=t фирма находилась на первомм уровне, то из результатов, представленных на рис. 3, следует, что для получения максимального экономи- ческого эффекта фирма должна принять меры, чтобы в самом начале проекта (при 0=t ) фирма находилась именно на уровне 1, а не 2. Это означает, что особое внимание рекламной и маркетинговой деятельности фирма должна уделить в самом начале проекта. Выводы. Проведенные исследования дают воз- можность сделать следующее утверждение: для зада- ния двухуровневой модели цепи Маркова достаточно определить пять параметров: 21,,, rrdp и 0 ~r . Динами- Рис. 3. Зависимость )(12 tv от d для различных t : сплошная линия — 12=t ; точечная — 24=t 2007’2 95 ка модели определяется расчетами, показанными на рис. 1—3. Параметр 0 ~r определяет масштаб дохода. Это означает, что от 0 ~r результаты зависят существен- но (линейно). Численный анализ показывает, что су- щественным параметром модели является также па- раметр p . Остальные параметры модели могут быть определены с точностью 10%, что приведет к погреш- ности вычислений доходов 1v и 2v не более чем 1,5%. Общий итог исследования может быть подведен следующим утверждением. В случае, если парамет- ры модели Маркова для данной фирмы могут быть определены с погрешностью в пределах 10%, приме- нение модели Маркова для оценки эффективности ра- боты фирмы являются вполне оправданным, а полу- ченные результаты дадут достоверную оценку (по крайней мере) для относительной эффективности ра- боты в зависимости от начального состояния фирмы. Полученные в работе результаты применимы для Ю.В. Шерстенников задач более высокой размерности, чем 22× , и по- зволяют существенно расширить область применения модели марковской цепи в экономических исследо- ваниях. Литература 1. Таха, Хэдми А. Введение в исследование опе- раций. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. — 911 с. 2. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1964. — 189 с. 3. Кемени Дж. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука, 1970. — 271 с. 4. Дынкин Е.Б., Юшке- вич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения. — М.: Наука, 1975. — 339 с. 5. Жлук- тенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2 ч. — Ч. ІІ: Математична статистика. — К.: КНЕУ, 2001. — 336 с.