Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы
Gespeichert in:
Datum: | 2007 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут економіки промисловості НАН України
2007
|
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-15957 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-159572013-02-13T02:09:00Z Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы Шерстенников, Ю.В. Фінанси 2007 Article Article Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1817-3772 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957 ru Інститут економіки промисловості НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Фінанси Фінанси |
spellingShingle |
Фінанси Фінанси Шерстенников, Ю.В. Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
format |
Article |
author |
Шерстенников, Ю.В. |
author_facet |
Шерстенников, Ю.В. |
author_sort |
Шерстенников, Ю.В. |
title |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
title_short |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
title_full |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
title_fullStr |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
title_full_unstemmed |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
title_sort |
применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы |
publisher |
Інститут економіки промисловості НАН України |
publishDate |
2007 |
topic_facet |
Фінанси |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/15957 |
citation_txt |
Применение модели марковского процесса к исследованию экономической эффективности работы фирмы / Ю.В. Шерстенников // Економічний вісник Донбасу. — 2007. — № 2(8). — С. 92-95. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
work_keys_str_mv |
AT šerstennikovûv primeneniemodelimarkovskogoprocessakissledovaniûékonomičeskojéffektivnostirabotyfirmy |
first_indexed |
2025-07-02T17:18:36Z |
last_indexed |
2025-07-02T17:18:36Z |
_version_ |
1836556450340536320 |
fulltext |
92
Економічний вісник Донбасу
Введение. В ряду математических методов,
широко применяющихся в исследовании динамики
развития экономических систем, одно из центральных
мест занимают модели, основанные на теории мар-
ковского случайного процесса. Теория марковского
процесса детально разработана в математическом от-
ношении и имеет широкую область применения [1 —
3]. Так, в работе [4] рассматривается приложение мар-
ковских процессов к задачам о распеределении ре-
сурсов между различными отраслями производства
и потреблением, оптимальных сроках замены обору-
дования, регулировании водоснабжения и др.
Применение модели марковского процесса к
исследованию динамики экономических систем обыч-
но сводится к выполнению численных расчетов с це-
лью получения конкретных количественных характе-
ристик процесса. При этом основной проблемой, с
которой сталкиваются исследователи, является опре-
деление параметров модели. Попытка детального опи-
сания экономической системы в рамках модели Мар-
кова приводит к необходимости определения большо-
го количества параметров, которые имеют вероятнос-
тный характер, и численное их определение оказыва-
ется весьма проблематичным. Указанные затруднения
сдерживают применение теории марковских процес-
сов к исследованию экономических систем.
В современной экономической теории имеется, по
мнению автора, определенный концептуальный пробел.
Отсутствуют исследования, которые должны ответить
на следующие принципиальные вопросы: насколько де-
тальным должно быть описание экономической систе-
мы в рамках модели марковского случайного процес-
са; в какой мере точность определения каждого из па-
раметров модели влияет на достоверность конечного
результата исследования. Настоящая работа призвана
по возможности восполнить указанный пробел.
Постановка задачи. Целью работы является
применение модели однородной цепи Маркова к ис-
следованию динамики развития фирмы, работающей
в условиях рыночной неопределенности. Ставилась
задача — оценить степень влияния каждого из пара-
метров модели на конечный экономический результат
деятельности фирмы и на основании этого сделать вы-
воды о необходимой степени точности при определе-
нии данного параметра модели.
Ю.В. Шерстенников,
г. Днепропетровск
Ю.В. Шерстенников
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА К ИССЛЕДОВАНИЮ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ФИРМЫ
Другими словами, постановку задачи можно
сформулировать следующим образом. Предположим,
у нас есть возможность определить параметры моде-
ли марковской цепи для описания работы фирмы с
относительной погрешностью не менее 0,1 (или 10%).
Параметры модели имеют вероятностный характер, и
для их определения нужно выполнить сбор и статис-
тическую обработку больших массивов данных. Эта
работа сама по себе является достаточно трудоемкой.
При этом возникают следующие вопросы: какую точ-
ность можно ожидать от результатов, полученных при
использовании данной модели; каким образом будет
происходить накопление погрешности расчетов при
увеличении горизонта планирования (т.е. при увели-
чении числа шагов в цепи Маркова). Иначе говоря:
будут ли результаты достоверными и стоит ли браться
за применение модели цепи Маркова, если параметры
модели не могут быть определены с погрешностью
меньшей, чем, например 10%.
Основное содержание исследования. Рассмот-
рим деятельность некоторой, например туристической,
фирмы. Экономические итоги своей деятельности фир-
ма определяет в фиксированные моменты времени t.
Если фирма подводит итоги ежемесячно, то параметр
t нумерует месяцы (хотя он может нумеровать кварта-
лы, годы и т.д.). Пользуясь терминологией, принятой
в теории цепей Маркова, будем говорить, что в каж-
дый конкретный момент времени t фирма может на-
ходиться в одном из множества возможных состоя-
ний ...,, 21 AA . Применительно к туристической фирме
(аналогичное описание может быть применено к лю-
бому предприятию) это означает следующее: если тур
операторы в данном месяце выполнили план на 100%,
то будем считать, что фирма находится в состоянии
1A ; если план выполнен на 99% — то в состоянии 2A
и т.д. В дальнейшем возможно ограничиваться слу-
чаем, что план всегда выполняется не менее чем на
91%. Хотя это ограничение и не является принципи-
альным, тем не менее в реальной деятельности пред-
приятий оно обычно выполняется.
При указанном выше способе описания мы при-
дем к модели цепи Маркова с размерностью 1010× .
Назовем эту модель моделью Т (от слова «точная»).
Для полного описания модели Т потребуется опреде-
ление 190 параметров. Эта задача выглядит нереаль-
2007’2
93
ной. В таком случае от модели Т переходят к модели
П («приближенная»). Это может быть сделано следу-
ющим образом. Вместо 10 состояний (уровней) сис-
темы рассматриваются (в простейшем случае) два: со-
стояние 1A — план выполнен на 96—100% и состоя-
ние 2A — план выполнен на 91—95%. Модель П имеет
размерность 22× . Для полного описания модели П
потребуется определение шести параметров. Упрос-
тив описание модели, мы одновременно снизили ее
точность. Вопрос о точности описания системы при
помощи модели марковской цепи мы в данной работе
не рассматриваем, поскольку он относится к общей
теории марковских процессов, что не входит в нашу
задачу. В настоящей работе размерность задачи (а сле-
довательно, степень детальности и точности модели)
не являются принципиальными. Результаты, получен-
ные ниже, могут быть получены и для моделей с бо-
лее высокой размерностью. Модель 22× интересует
нас только с точки зрения прозрачности дальнейших
выкладок.
В дальнейшем будем придерживаться следую-
щей терминологии. Если система находится в состоя-
нии 1A , то будем говорить, что она находится «на уров-
не i». Выше было отмечено, что даже для простейшей
двухуровневой системы требуется определение шес-
ти параметров. Нашей задачей является исследование
вопроса о минимальной степени точности, с которой
должен быть определен каждый из шести параметров
двухуровневой системы, при которой модельные рас-
четы могут считаться достоверными.
Модель однородной (не зависящей от времени)
цепи Маркова для двухуровневой системы состоит в
определении двух матриц: матрицы вероятностей пе-
реходов
=
2221
1211
pp
pp
P (1)
и матрицы стоимостей
=
2221
1211
rr
rr
R (2)
где ijp — вероятность перехода системы с уров-
ня i на уровень j за один шаг эволюции (т.е. при изме-
нении времени с момента t до момента 1+t );
ijr — доход, полученный при переходе системы
с уровня i на уровень j за один шаг эволюции.
Вероятности переходов ijp связаны следующи-
ми соотношениями:
11211 =+ pp , (3)
12221 =+ pp . (4)
Примем следующие обозначения:
pp =11 , dpp −=21 . (5)
В рассматриваемом примере с туристической
фирмой (как и во многих других экономических сис-
темах) величина d находится в пределах
pd 8,00 << .
С учетом (3) — (5) матрица P может быть запи-
сана в виде
+−−
−
=
dpdp
pp
P
1
1
. (6)
Упростим также обозначения для матрицы R:
=
31
20
~~
~~
rr
rr
R . (7)
Исследования различных экономических систем
приводят к выводу, что для экономических систем
между параметрами матрицы (7) имеют место следу-
ющие соотношения:
{ }210
~,~max~ rrr > , { }213
~,~min~ rrr < . (8)
Удобно в качестве денежной единицы выбрать
величину 0
~r . Тогда (7) примет вид:
=
31
21
rr
r
R , (9)
где
0
~
~
r
rr i
i = .
Введем обозначения:
ii rr −=1 . (10)
В этих обозначениях
−−
−
=
31
2
11
11
rr
r
R , (11)
В реальных экономических задачах для 1r и 2r
имеют место ограничения:
5,0,0 21 << rr . (11)
Из (8) и (10) следует:
{ }213 ,max rrr > . (12)
В модели цепи Маркова экономический резуль-
тат (доход фирмы) зависит от уровня (состояния), с
которого система начинает эволюцию. Обозначим че-
рез )(tvi доход, полученный за t шагов эволюции
системы (фирмы) в случае, когда при 0=t системаа
находилась на i-ом уровне. Тогда вектор доходов рас-
считывается из векторно-матричного уравнения [5]:
( )
⋅++++=
2
12
2
1 ...
)(
)(
g
g
PPPE
tv
tv t
, (13)
Ю.В. Шерстенников
94
Економічний вісник Донбасу
где Е — единичная матрица 22× ,
ig — элементы главной диагонали матрицы
TRP ⋅ , TR — транспонированная матрица стоимос-
тей R .
На рис. 1 показана динамика дохода фирмы в
зависимости от времени t, в случае, когда в началь-
ный момент времени фирма находится на первом уров-
не. Расчеты выполнены при следующих значениях
параметров: 9,0=p ; 2,0=d ; 2,01 =r ; 4,02 =r и трех
значений параметра 3r . Все три линии на рисунке прак-
тически сливаются. Численные расчеты показывают,
что отклонение значений )(1 tv для значений парамет-
ра 4,03 =r и 9,03 =r от значений )(1 tv для 6,03 =r не
превышают 1%. Это означает, что при точности рас-
четов 1% значения параметра 3r может быть вычис-
лено как сумма:
213 rrr += (14)
Ю.В. Шерстенников
Рис. 1. Величина дохода )(1 tv в зависимости от
t для трех значений 9,0;6,0;4,03 =r
Рис. 2. Зависимость приведенных разностей доходов
от времени: сплошная линия — отнv1 ;
точечная — отнv2 .
На рис. 2 показаны результаты расчета величин:
)4,0(
)8,0()4,0(
1
11
1 v
vvv отн
−
= и
)4,0(
)8,0()4,0(
2
22
2 v
vvv отн
−
= (15)
В (15) в скобках указаны значения параметра 3r .
Остальные параметры при расчете по (15) имеют сле-
дующие значения: 9,0=p ; 2,0=d ; 1,01 =r ; 3,02 =r .
Из рис. 2 видно что отнv1 и отнv2 при больших значе-
ниях t сходятся к величине 0,017. Это означает, чтоо
при больших t конкретное значение параметра 3r ста-а-
новится несущественным.
На рис. 3 показана зависимость величины
)(
)()()(
1
21
12 tv
tvtvtv −
= (16)
от параметра d для двух значений t. Из рис. 3 видно,
что при 12=t доход 1v может превышать 2v на 20%,
а при 24=t — всего лишь на 10%. Поскольку )(1 tv
— это доход, полученный фирмой за время t, в том
случае, когда при 0=t фирма находилась на первомм
уровне, то из результатов, представленных на рис. 3,
следует, что для получения максимального экономи-
ческого эффекта фирма должна принять меры, чтобы
в самом начале проекта (при 0=t ) фирма находилась
именно на уровне 1, а не 2. Это означает, что особое
внимание рекламной и маркетинговой деятельности
фирма должна уделить в самом начале проекта.
Выводы. Проведенные исследования дают воз-
можность сделать следующее утверждение: для зада-
ния двухуровневой модели цепи Маркова достаточно
определить пять параметров: 21,,, rrdp и 0
~r . Динами-
Рис. 3. Зависимость )(12 tv от d для различных t :
сплошная линия — 12=t ; точечная — 24=t
2007’2
95
ка модели определяется расчетами, показанными на
рис. 1—3. Параметр 0
~r определяет масштаб дохода.
Это означает, что от 0
~r результаты зависят существен-
но (линейно). Численный анализ показывает, что су-
щественным параметром модели является также па-
раметр p . Остальные параметры модели могут быть
определены с точностью 10%, что приведет к погреш-
ности вычислений доходов 1v и 2v не более чем 1,5%.
Общий итог исследования может быть подведен
следующим утверждением. В случае, если парамет-
ры модели Маркова для данной фирмы могут быть
определены с погрешностью в пределах 10%, приме-
нение модели Маркова для оценки эффективности ра-
боты фирмы являются вполне оправданным, а полу-
ченные результаты дадут достоверную оценку (по
крайней мере) для относительной эффективности ра-
боты в зависимости от начального состояния фирмы.
Полученные в работе результаты применимы для
Ю.В. Шерстенников
задач более высокой размерности, чем 22× , и по-
зволяют существенно расширить область применения
модели марковской цепи в экономических исследо-
ваниях.
Литература
1. Таха, Хэдми А. Введение в исследование опе-
раций. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. —
911 с. 2. Ховард Р. Динамическое программирование
и марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1964. —
189 с. 3. Кемени Дж. Конечные цепи Маркова. —
М.: Наука, 1970. — 271 с. 4. Дынкин Е.Б., Юшке-
вич А.А. Управляемые марковские процессы и их
приложения. — М.: Наука, 1975. — 339 с. 5. Жлук-
тенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія
ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод.
посібник: У 2 ч. — Ч. ІІ: Математична статистика. —
К.: КНЕУ, 2001. — 336 с.
|