К теории классов Соболева с критическим показателем

К теории классов Соболева с критическим показателем

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2019
Автори: Афанасьева, Е.С., Рязанов, В.И., Салимов, Р.Р.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2019
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Математика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/160125
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:К теории классов Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 3-8. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-160125
record_format dspace
spelling irk-123456789-1601252019-10-25T01:26:04Z К теории классов Соболева с критическим показателем Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Математика 2019 Article К теории классов Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 3-8. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/160125 517.5 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
К теории классов Соболева с критическим показателем
Доповіді НАН України
format Article
author Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
author_facet Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
author_sort Афанасьева, Е.С.
title К теории классов Соболева с критическим показателем
title_short К теории классов Соболева с критическим показателем
title_full К теории классов Соболева с критическим показателем
title_fullStr К теории классов Соболева с критическим показателем
title_full_unstemmed К теории классов Соболева с критическим показателем
title_sort к теории классов соболева с критическим показателем
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2019
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/160125
citation_txt К теории классов Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 3-8. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT afanasʹevaes kteoriiklassovsobolevaskritičeskimpokazatelem
AT râzanovvi kteoriiklassovsobolevaskritičeskimpokazatelem
AT salimovrr kteoriiklassovsobolevaskritičeskimpokazatelem
first_indexed 2025-07-14T12:45:05Z
last_indexed 2025-07-14T12:45:05Z
_version_ 1837626405853069312
fulltext 3 МАТЕМАТИКА ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8: 3—8 © Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, 2019 https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.003 УДК 517.5 Е.С. Афанасьева 1, В.И. Рязанов 1, Р.Р. Салимов 2 1 Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Славянск 2 Институт математики НАН Украины, Киев E­mail: es.afanasjeva@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com, ruslan.salimov1@gmail.com К теории классов Соболева с критическим показателем Представлено членом­корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским Установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева 1, 1 loc nW − с внешней дилатацией 1 loc( , ) n OK x f L −∈ является так называемым нижним Q­гомеоморфизмом с ( , )OQ K x f= , а также кольцевым Q∗ ­гомео­ морфизмом с 1 * ( , )n OQ K x f−= . Это позволяет исследовать локальное и граничное поведение отображений класса 1, 1 loc nW − . Ключевые слова: классы Соболева, критический показатель, внешняя и внутренняя дилатации, нижние и кольцевые Q­гомеоморфизмы. ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА 1. Предварительные замечания. Пусть D — область в , 2,nR n� и пусть : nf D R→ — не­ прерывное отображение. Если f имеет все первые частные производные в точке x D∈ , то ( )f x′ — якобиева матрица f, ( )f x′ — её операторная норма, 1 ( ) : sup ( ) h f x f x h = = ⋅′ ′ и ( ) det ( )fJ x f x= ( ) det ( )J x f x= ′ — якобиан отображения f . Напомним, что внешняя дилатация отображения f в точке x определяется равенством ( ) ( , ) ( ) n O f f x K x f J x ′ = , если ( ) 0fJ x ≠ ; ( , ) 1OK x f = , если ( ) 0f x =′ ; ( , )OK x f = ∞ в остальных точках. Внутренней дилатацией отображения f в точ­ ке x называется величина ( ) ( , ) ( ( )) f I n J x K x f l f x = ′ , где 1 ( ( )) min ( ) , h l f x f x h = = ⋅′ ′ если ( ) 0fJ x ≠ ; ( , ) 1IK x f = , если ( ) 0f x =′ ; ( , )IK x f = ∞ в остальных точках. Следуя [1, разд. 9.2], далее k ­мерной поверхностью S в nR называется произвольное непрерывное отображение : nS Rω → , где ω — открытое множество в kR и 1, , 1k n= −… . Функцией кратности поверхности S называется число прообразов {1( , ) card ( ) card : ( ) }, nN S y S y x S x y y R−= = ∈ω = ∈ . 4 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8 Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия точки y поверх­ нос тью S . Известно, что функция кратности является полунепрерывной снизу (см., напри­ мер, [2, c. 160]) и, значит, измерима относительно произвольной хаусдорфовой меры kH (см., например, теорему II(7.6) в [3]). Для борелевской функции : [0, ]nRρ → ∞ ее интеграл по поверхности S определяется равенством : ( ) ( , ) ( ) n k S R dA y N S y dH yρ = ρ∫ ∫ . Пусть Γ — семейство k ­мерных поверхностей S . Борелева функция : [0, ]nRρ → ∞ называется допустимой для семейства Γ , пишут admρ ∈ Γ , если 1k S dAρ∫ � для каждой поверхности S ∈Γ . Модулем семейства Γ называется величина adm ( ) inf ( ) ( ) n n R M x dm x ρ∈ Γ Γ = ρ∫ . В дальнейшем через ( , ; )E F G∆ обозначаем совокупность всех кривых : [0,1] nRγ → , соединяющих произвольные множества E и F в множестве nG R⊂ , т. е. (0) Eγ ∈ , (1) Fγ ∈ и ( )t Gγ ∈ для всех (0,1)t ∈ . 2. О кольцевых и нижних Q ­гомеоморфизмах. Пусть D и D′ — области в , 2nR n� , 0 \ { }x D∈ ∞ , : (0, )nQ R → ∞ — измеримая по Лебегу функция. Говорят, что гомеоморфизм :f D D→ ′ является кольцевым Q ­гомеоморфизмом в точке 0x D∈ , если соотношение 1 2 0( ( ( ), ( ); ( )) ( ) ( ) ( )n A D M f K f K f D Q x x x dm x ∩ ∆ η −∫� выполнено для любых двух конти­ нуумов 1K , 2K из D , которые принадлежат разным компонентам дополнения в nR колец 0 1 2 1 0 2 1 2( , , ) { : }, 0nA A x r r x R r x x r r r= = ∈ < − < < < < ∞ , и для каждой измеримой функции 1 2: ( , ) [0, ]r rη → ∞ такой, что 2 1 ( ) 1 r r r drη∫ � . Также говорим, что гомеоморфизм :f D D→ ′ есть кольцевой Q ­гомеоморфизм, если f является кольцевым Q ­гомеоморфизмом в каждой точке 0x D∈ . Понятие кольцевого Q ­гомеоморфизма впервые было введено в работе [4] в связи с ис­ следованием уравнений Бельтрами на плоскости, а позднее было распространено на про­ странственный случай в работе [5] (см. также [1, 6]). Говорят (см. [1, разд. 9.2]), что измеримая по Лебегу функция : [0, ]nRρ → ∞ является обобщенно допустимой для семейства Γ ( 1)n − ­мерных поверхностей S в nR , пишут ext admρ ∈ Γ , если 1 1n S dA−ρ∫ � для почти всех S ∈Γ , т. е. за исключением подсемейства Γ нулевого модуля. Гомеоморфизм :f D D→ ′ называется нижним Q ­гомеоморфизмом в точке 0x , если ext adm ( ) ( ( )) inf ( ) ( ) n D A x M f dm x Q xε ε ε ρ∈ Σ ∩ ρ Σ ∫� для каждого кольца 0 0 0 0 0( , , ), (0, ), (0, )A A x dε = ε ε ε ∈ ε ε ∈ 0 0 0 0 0( , , ), (0, ), (0, )A A x d= ε ε ε ∈ ε ε ∈ 5ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8 К теории классов Соболева с критическим показателем 0 0 0 0 0( , , ), (0, ), (0, )A A x d= ε ε ε ∈ ε ε ∈ , где 0 0sup x D d x x ∈ = − , а εΣ — семейство всех пересечений сфер 0( , )S x r с обла­ стью D , 0 0( , ) { : },nS x r x R x x r= ∈ − = 0( , )r ∈ ε ε . Говорят, что гомеоморфизм :f D D→ ′ является нижним Q ­гомеоморфизмом в области D , если f является нижним Q ­гомео­ морфизмом в каждой точке 0x D∈ . Понятие нижнего Q ­гомеоморфизма введено в работе [7] и теория таких отображений нашла интересные приложения в изучении краевых задач для уравнений Бельтрами, а так­ же локального и граничного поведения классов Орлича—Соболева (см., например, [8—10]). Следующее утверждение устанавливает связь между нижними и кольцевыми Q ­гомео­ морфизмами в nR (см. следствие 5 в [9]). Предложение 1. Пусть D и D′ — области в , 2nR n� , и функция : (0, )nQ R → ∞ интег­ рируема в степени 1n − в некоторой окрестности точки 0x D∈ . Если :f D D→ ′ — нижний Q ­гомеоморфизм в точке 0x , то f является кольцевым Q∗ ­гомеоморфизмом в точке 0x с 1 *( ) ( )nQ x Q x−= . Замечание 1. В определениях нижних и кольцевых Q ­гомеоморфизмов функцию Q достаточно задать только в области D или продолжить нулем вне D . По замечанию 8 в [9], заключение предложения 1 остается в силе, если функция Q интегрируема в степени 1n − лишь на почти всех сферах достаточно малых радиусов с центром в точке 0x . 3. О некоторых свойствах отображений класса Соболева 1, 1 loc nW − . По теореме 1.1 из недавней работы [11] имеет место следующее утверждение. Предложение 2. Пусть D — область в , 2nR n� , и : nf D R→ — непрерывное открытое дискретное отображение класса 1, 1 loc nW − с локально интегрируемой внутренней дилатацией. Тогда отображение f дифференцируемо почти всюду. При 3n� этот результат был новым даже для гомеоморфизмов. При 2n =- по известной теореме Геринга—Лехто (1959) любое непрерывное открытое отображение, имеющее п. в. частные производные, дифференцируемо п. в. Заметим, что последний результат для гомео­ морфизмов был доказан еще Меньшовым (1931) и его доказательство без изменений про­ ходит и для непрерывных открытых отображений. По теореме Вяйсяля (1961) заключение сохраняет силу для непрерывных открытых отображений класса 1, loc pW при любых 1p n> − и 3n� . В то же время известен пример Серрина (1961) непрерывных функций f класса 1, 1, 1 loc loc n nW W −⊂ , которые нигде не дифференцируемы. Следствие 1. Если открытое дискретное отображение : nf D R→ класса 1, 1 loc ( )nW D− име ет внешнюю дилатацию локально интегрируемую в степени 1n − , то f дифференцируе­ мо почти всюду. Далее, по теореме 1.3 работы [12] имеем следующий важный результат. Предложение 3. Пусть : , 2nf C R n→ � , — гомеоморфизм класса 1, 1 loc ( )nW C− в единич­ ном кубе : (0,1)nC = . Тогда f обладает N ­свойством Лузина относительно 1n − ­мерной меры Хаусдорфа на почти всех гиперплоскостях P , параллельных произвольной фиксирован­ ной координатной гиперплоскости 0P , т. е. для любого множества E P⊂ , если 1( ) 0nH E− = , то 1( ( )) 0nH f E− = . Этот результат был распространен на произвольные непрерывные открытые дискрет­ ные отображения : nf D R→ класса 1, 1 loc nW − (см. предложение 3.3 в [11]). Более того, любое непрерывное отображение : mf D R→ , 1m� , класса 1, loc pW при 1p n> − обладает указан­ 6 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8 Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов ным свойством (см., например, теорему 3 в [9]). Однако это неверно даже для гомеомор­ физмов : nf D R→ в классах 1, loc pW ни при каком 1p n< − . Действительно, известны при­ меры С.П. Пономарева гомеоморфизмов : n ng R R→ , принадлежащих классу 1, loc ( )p nW R для произвольного p n< , и не обладающих N ­свойством Лузина (см. [13]). Если теперь ( )g x — такой пример в 1nR − , то ( , ) : ( ( ), ),f x y g x y= 1nx R −∈ , y R∈ , не удовлетворяет N­свой­ ству Лузина на всех гиперплоскостях consty = . Лемма 1. Пусть D и D′ — области в , 2nR n� , :f D D→ ′ — гомеоморфизм класса Со­ болева 1, 1 loc ( )nW D− с 1 loc( , ) ( )n OK x f L D−∈ . Тогда 1 loc ( )nf L D−∈′ . 4. Основная лемма. Лемма 2. Пусть D — область в , 2nR n� , : nf D R→ — гомеоморфизм класса Соболева 1, 1 loc ( )nW D− с 1 loc( , ) ( )n OK f L D−⋅ ∈ и пусть C — куб в nR с гранями, параллельными коорди­ натным гиперплоскостям, такой что C D⊂ . Тогда сужение отображения f на C абсолют­ но непрерывно относительно 1n − ­мерной меры Хаусдорфа на почти всех гиперплоскостях P , параллельных произвольной фиксированной координатной гиперплоскости 0P . Кроме того, на почти всех таких гиперплоскостях P выполнено условие 1( ( )) 0nH f E− = , как только 0f =′ на измеримом множестве E P⊂ . Заметим тот очевидный факт, что хаусдорфовы меры квазиинвариантны при квази­ и зометриях, а классы Соболева 1, loc pW инвариантны (см., например, секцию 1.1.7 в [14]). По свойству Линделефа в nR (см., например, секцию I.5.XI в [15]) множество 0\ { }D x для любого 0 nx R∈ может быть покрыто счетным числом открытых сегментов сферических колец в 0\ { }D x с центром в точке 0x , и каждый такой сегмент может быть отображен на единичный куб в nR посредством квазиизометрии, переводящих куски сфер в куски ги­ перплоскостей. Таким образом, на основе предложений 2 и 3, а также применяя лемму 2, приходим к следующим выводам. Следствие 2. Пусть D — область в , 2nR n� , : nf D R→ — гомеоморфизм класса Со бо­ л ева 1, 1 loc ( )nW D− . Тогда отображение f дифференцируемо почти всюду и обладает N ­свой­ ством Лузина относительно 1n − ­мерной меры Хаусдорфа на почти всех сферах S с цент­ ром в произвольной точке 0 nx R∈ . Более того, если дополнительно 1 loc( , ) ( )n OK f L D−⋅ ∈ , то отображение f на почти всех таких сферах S локально абсолютно непрерывно и, кроме того, 1( ( )) 0nH f E− = , как только 0f =′ на измеримом множестве .E S⊂ 5. Основные результаты. Теорема 1. Пусть D и D′ — области в , 2nR n� , :f D D→ ′ — гомеоморфизм класса Со­ болева 1, 1 loc ( )nW D− с 1 loc( , ) ( )n OK x f L D−∈ . Тогда f является нижним Q ­гомеоморфизмом в произвольной точке 0x D∈ с ( , )OQ K x f= . Комбинируя предложение 2 и теорему 1, получаем еще одно важное следствие. Следствие 3. Пусть :f D D→ ′ — гомеоморфизм класса Соболева 1, 1 loc ( )nW D− с ( , ) ( )OK f L D⋅ ∈ 1 loc( , ) ( )nK f L D−⋅ ∈ . Тогда f является кольцевым Q∗ ­гомеоморфизмом с 1( , )n OQ K x f− ∗ = . ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. New York: Springer, 2009. 367 p. 2. Rado T., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. Berlin: Springer, 1955. 442 p. 3. Сакс С. Теория интеграла. Москва: Изд­во иностр. лит., 1949, 494 с. 7ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8 К теории классов Соболева с критическим показателем 4. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equation. J. Anal. Math., 2005. 96. P. 117—150. 5. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q­гомеоморфизмов. Сиб. матем. журн. 2007. 48, № 6. С. 1361—1376. 6. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach. De­ velopments of Mathematics. Vol. 26. New York etc.: Springer, 2012. 302 p. 7. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. К теории нижних Q­гомеоморфизмов. Укр. мат. вестн. 2008. 5, № 2. С. 159—184. 8. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И., Салимов Р.Р. Граничное поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами. Алгебра и анализ. 2013. 25, № 4. С. 101—124. 9. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И., Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. К теории классов Орлича—Соболева. Алгебра и анализ. 2013. 25, № 6. С. 50—102. 10. Ковтонюк Д.А., Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. К теории отображений классов Соболева и Орлича— Соболева: Под общей ред. Рязанова В.И. Киев: Наук. думка, 2013. 304 с. 11. Tengvall V. Differentiability in the Sobolev space 1, 1nW − . Calc. Var. Part. Differ. Equat. 2014. 51, № 1—2. P. 381—399. 12. Csörnyei M., Hencl S., Maly J. Homeomorphisms in the Sobolev space 1, 1nW − . J. Reine Angew. Math. 2010. № 644. P. 221—235. 13. Пономарёв С.П. Об N ­свойстве гомеоморфизмов класса 1 pW . Сиб. матем. журн. 1987. 28, № 2. С. 140—148. 14. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: Изд­во Ленигр. ун­та, 1985. 416 с. 15. Куратовский К. Топология. T. 1. Москва: Мир, 1966. 594 с. Поступило в редакцию 26.03.2019 REFERENCES 1. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. New York: Springer. 2. Rado, T. & Reichelderfer, P. V. (1955). Continuous transformations in analysis. Berlin: Springer. 3. Saks, S. (1949). Integral teory. Мoscow: Izd­vo Inostr. lit. (in Russian). 4. Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2005). On ring solutions of Beltrami equation. J. Anal. Math., 96, pp. 117­150. 5. Ryazanov, V. I. & Sevostyanov, E. A. (2007). Equicontinuous classes of ring homeomorphisms. Sib. matem. zhurn., 48, No. 6, pp. 1361­1376. 6. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). The Beltrami equation: A geometric approach. Developments of Mathematics, Vol. 26. New York etc.: Springer. 7. Kovtonyuk, D. A. & Ryazanov, V. I. (2008). On the theory of lower Q ­homeomorphisms. Ukr. mat. vestnik, 5, No. 2, pp. 159­184 (in Russian). 8. Kovtonyuk, D. A., Petkov, I. V., Ryazanov, V. I. & Salimov, R. R. (2013). Boundary behavior and the Dirichlet problem for the Beltrami equations. Algebra i analiz, 25, No. 4, pp. 101­124 (in Russian). 9. Kovtonyuk, D. A., Ryazanov, V. I., Salimov, R. R. & Sevostyanov, E. A. (2013). On the theory of Orlich­ Sobolev classes. Algebra i analiz, 25, No. 6, pp. 50­102 (in Russian). 10. Kovtonyuk, D. A., Salimov, R. R. & Sevostyanov, E. A. (2013). On the theory of mappings of classes Sobolev and Orlich­Sobolev. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian). 11. Tengvall, V. (2014). Differentiability in the Sobolev space 1, 1nW − . Calc. Var. Part. Differ. Equat., 51, No. 1­2, pp. 381­399. 12. Csörnyei, M., Hencl, S. & Maly, J. (2010). Homeomorphisms in the Sobolev space 1, 1nW − . J. Reine Angew. Math., No. 644, pp. 221­235. 13. Ponomarev, S. P. (1987). On N ­properties of classes 1 pW homeomorphisms. Sib. matem. zhurn., 28, No. 2, pp. 140­148 (in Russian). 14. Mazya, V. G. (1985). Spaces S.L. Sobolev. Leningrad: Izd­vo Leningr. un­ta (in Russian). 15. Kuratovskij, К. (1966). Тopology. Vol. 1. Мoscow: Мir (in Russian). Received 26.03.2019 8 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8 Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов О.С. Афанасьєва 1, В.І. Рязанов 1, Р.Р. Салімов 2 1 Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Слов’янськ 2 Інститут математики НАН України, Київ E­mail: es.afanasjeva@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com, ruslan.salimov1@gmail.com ДО ТЕОРІЇ КЛАСІВ СОБОЛЄВА З КРИТИЧНИМ ПОКАЗНИКОМ Встановлено, що будь­який гомеоморфізм f класу Соболєва 1, 1 loc nW − із зовнішньою дилатацією 1 loc( , ) n OK x f L −∈ є так званим нижнім Q­гомеоморфізмом із ( , )OQ K x f= та кільцевим Q∗­гомеоморфізмом із 1 * ( , )n OQ K x f−= . Це дає можливість дослідити локальну та граничну поведінку відображень класу 1, 1 loc nW − . Ключові слова: класи Соболєва, критичний показник, зовнішня та внутрішня дилатації, нижні та кільцеві Q­гомеоморфізми. O.S. Afanas’eva 1, V.I. Ryazanov 1, R.R. Salimov 2 1 Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Slovyansk 2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv E­mail: es.afanasjeva@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com, ruslan.salimov1@gmail.com TOWARD THE THEORY OF THE SOBOLEV CLASSES WITH CRITICAL EXPONENT It is established that an arbitrary homeomorphism f in the Sobolev class 1, 1 loc nW − with the outer dilatation 1 loc( , ) n OK x f L −∈ is the so­called lower Q­homeomorphism with ( , )OQ K x f= and the ring Q∗ ­homeomor­ phism with 1 * ( , )n OQ K x f−= . These results make it possible to research the local and boundary behaviors of the mappings 1, 1 loc nW − . Keywords: Sobolev’s classes, critical exponent, outer and inner dilatations, lower and ring Q ­homeomorphisms.

Схожі ресурси