Аналітична модель функціонування call-центру

An analytical model of the call center operation is developed as a retrial queueing system M/M/c with abandons. The main characteristics of an effective call center operation are defined, and some graphical dependences and numerical characteristics are given.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Коба, О.В., Пустова, С.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	"Доповіді НАН України" 2007
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1602
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Аналітична модель функціонування call-центру / О.В. Коба, С.В. Пустова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-1602
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-16022008-08-29T12:00:59Z Аналітична модель функціонування call-центру Коба, О.В. Пустова, С.В. Математика An analytical model of the call center operation is developed as a retrial queueing system M/M/c with abandons. The main characteristics of an effective call center operation are defined, and some graphical dependences and numerical characteristics are given. 2007 Article Аналітична модель функціонування call-центру / О.В. Коба, С.В. Пустова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1602 519.872 uk "Доповіді НАН України"
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Коба, О.В. Пустова, С.В. Аналітична модель функціонування call-центру
description	An analytical model of the call center operation is developed as a retrial queueing system M/M/c with abandons. The main characteristics of an effective call center operation are defined, and some graphical dependences and numerical characteristics are given.
format	Article
author	Коба, О.В. Пустова, С.В.
author_facet	Коба, О.В. Пустова, С.В.
author_sort	Коба, О.В.
title	Аналітична модель функціонування call-центру
title_short	Аналітична модель функціонування call-центру
title_full	Аналітична модель функціонування call-центру
title_fullStr	Аналітична модель функціонування call-центру
title_full_unstemmed	Аналітична модель функціонування call-центру
title_sort	аналітична модель функціонування call-центру
publisher	"Доповіді НАН України"
publishDate	2007
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1602
citation_txt	Аналітична модель функціонування call-центру / О.В. Коба, С.В. Пустова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT kobaov analítičnamodelʹfunkcíonuvannâcallcentru AT pustovasv analítičnamodelʹfunkcíonuvannâcallcentru
first_indexed	2025-07-02T05:00:22Z
last_indexed	2025-07-02T05:00:22Z
_version_	1836510004607188992
fulltext	k(r) = 0 i ν = (ν1, . . . , νm), h = (h1, . . . , hm)′ — вiдповiдно лiвий та правий власнi вектори з додатними елементами матрицi K(γ) i такi, що νh = 1. Позначимо C+ = max j∈E′ 1 hj sup x>0 F 0 j (x) ∞ ∫ x eγ(y−x)F 0 j (dy) , C− = min j∈E′ 1 hj inf x>0 F 0 j (x) ∞ ∫ x eγ(y−x)F 0 j (dy) . Наслiдок 1. При m0 1 < 0 для будь-якого i ∈ E′ та всiх u > 0 C−hie −γu 6 P{ξ+ > u/x(0) = i} 6 C+hie −γu. 1. Гусак Д.В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами на скiнчених ланцюгах Маркова та для напiвмаркiвських процесiв. – Київ: Iнститут математики НАН України, 1998. – 320 с. 2. Gusak D.V., Karnaukh E.V. Matrix factorization identity for almost semi-continuous processes on a Markov chain // Theory of Stoch. Processes. – 2005. – 11(27), No 1–2. – P. 41–47. 3. Grigelionis B. Two-sided Lundberg inequalities in a markovian environment // Liet. Matem. Rink. – 1993. – 33, No 1. – P. 30–41. 4. Asmussen S. Ruin probabilities. – Singapore: World Sci., 2000. – 385 p. Надiйшло до редакцiї 30.06.2006Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка УДК 519.872 © 2007 О.В. Коба, С. В. Пустова Аналiтична модель функцiонування call-центру (Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком) An analytical model of the call center operation is developed as a retrial queueing system M/M/c with abandons. The main characteristics of an effective call center operation are defi- ned, and some graphical dependences and numerical characteristics are given. У сучасних умовах українського та свiтового ринку послуг для збiльшення ролi задоволення потреб клiєнтiв важливим фактором є взаємозв’язок iз клiєнтами засобами телефонного зв’язку, зокрема call-центрами. У цiлому, call-центр — загальний термiн, який визначає процес обслуговування за учас- тю людини з використанням телефону. Спочатку call-центри використовувались для обслу- говування клiєнтiв лише за допомогою телефонних апаратiв. При цьому iнформацiя переда- валась голосом оператора. Проте зараз розпочалася активна iнтеграцiя до call-центру таких технологiй, як IP-телефонiя, електронна пошта, Iнтернет, бази даних, факсимiльний зв’я- зок, чат тощо. Спостерiгається повсюдне вбудовування пiдприємствами до своєї структури call-центрiв або укладання договору щодо надання послуг call-центрами стороннiм органi- зацiям. Call-центри поступово отримують ознаки широкого поширення i певного стандарту в соцiальнiй сферi та сферi обслуговування. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 17 Рис. 1. Структурна схема простого call-центру: ТМЗК — телефонна мережа загального користування; ТСПК — телефонна система приватного користування; ПIГВ/ПГВ — пристрої iнтерактивної голосової вiдповiдi; АРД — автоматичний розподiльник дзвiнкiв; СБДК — сервер бази даних клiєнтiв Таким чином, побудова математичної моделi функцiонування call-центрiв з метою ви- значення показникiв ефективностi їх функцiонування i оптимiзацiї є актуальною задачею. Дослiджуючи статистичнi данi функцiонування call-центрiв, С. Агюр та iншi дослiдни- ки [1, 2] вiдзначають негативнi наслiдки нехтування повернень викликiв для розрахунку показникiв функцiонування call-центрiв, зокрема оптимальної кiлькостi мiсць операторiв. У той же час протягом останнiх 20 рокiв iнтенсивно вивчаються системи масового обслуго- вування (СМО) з повторними викликами [3, 4]. А отже, на сьогоднi адекватною моделлю функцiонування call-центрiв є СМО з повторними викликами. Структура call-центру. На рис. 1 схематично представлене устаткування, яке вико- ристовується у процесi роботи call-центру. Поряд з послугами агентiв — операторiв, якi обслуговують дзвiнки, call-центри використовують пристрої iнтерактивної голосової вiдпо- вiдi (ПIГВ/ПГВ (interactive voice response units)). Цi спецiалiзованi комп’ютери дозволяють клiєнтам повiдомляти їхнi запити й надають можливiсть самообслуговування. Клiєнти, якi взаємодiють iз ПIГВ, використовують клавiатури своїх телефонiв або голоси для надання необхiдної iнформацiї, такої як номер розрахункового рахунку або ознаку типу необхiдної функцiї чи iнформацiї. Останнi розробки в областi технологiї розпiзнавання мови дозво- ляють ПГВ розпiзнавати складнi команди клiєнтiв. У вiдповiдь голосовий вiдповiдач ви- користовує синтезований голос для повiдомлення потрiбної iнформацiї: баланс грошей на рахунку, розклад лiтакiв тощо. Наведемо як приклад структуру call-центру української авiакомпанiї (див. рис. 1). Клiєнти, що проживають на територiї України, починають процес замовлення квитка, набираючи безкоштовний телефонний так званий “800”-номер. Компанiя, яка надає послуги телефонної мережi загального користування (ТМЗК (public service telephone network)), що забезпечує службу “800”-го номера для авiакомпанiї, знає двi важливих частини iнформацiї про кожний дзвiнок: телефонний номер того, хто дзвонить, який визначається автомати- чним визначником номера (АВН (automatic number identification)), i номер, з яким з’єднує- ться клiєнт, який визначається службою визначення автоматичного виклику (СВАВ (dialed number identification service)). Вiдповiдно цi два номери називаються АВН- i СВАВ-номери. Компанiя-провайдер телефонної мережi використовує їх для з’єднання клiєнтiв з call-цен- тром. Нехай call-центр розглядуваної авiакомпанiї має свiй власний телефонний комутатор, який називають телефонною системою приватного користування (ТСПК (private automatic branch exchange)). Номер, який набирає клiєнт, визначає мiсцезнаходження системи на те- лефоннiй мережi. 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2 Рис. 2. Схема функцiонування call-центру ТСПК зв’язана з ТМЗК за допомогою множини телефонних лiнiй, якi називаються магiстральними i належать авiакомпанiї. Якщо хоча б одна з магiстральних лiнiй вiльна, то клiєнта буде з’єднано з компанiєю. Дзвiнки можуть бути з’єднанi спочатку з ПГВ, який уточнює, що ж саме цiкавить клiєнтiв. Наприклад, клiєнтам може бути запропоновано “натиснути одиницю”, якщо во- ни хочуть отримати iнформацiю про статус рейсу. Клiєнтам може знадобитися з’єднання з операторами — у такому випадку дзвiнок буде спрямований до агента вiд автоматичного розподiльника дзвiнкiв (АРД (automatic call distributor)). Це — спецiалiзований комутатор, призначений для маршрутизацiї дзвiнкiв. Наприклад, авiакомпанiя може спецiально пере- направляти дзвiнки росiйськомовних клiєнтiв до певних агентiв. Такий тип iдентифiкацiї клiєнта може здiйснюватися по-рiзному: а) за допомогою окремого резервування “800”-го номера для росiйськомовних клiєнтiв; б) за допомогою АВН, який дозволяє комп’ютернiй системi call-центру визначити телефонний номер, як номер росiйськомовного клiєнта (на- приклад, номери телефонiв абонентiв АР Крим); в) за допомогою взаємодiї з ПГВ, який може запропонувати клiєнтам натиснути “3”, якщо вони хочуть, щоб обслуговування про- водилося росiйською мовою. Клiєнтам, що знаходяться у режимi очiкування, може бути надана для прослухову- вання музика, комерцiйнi радiопередачi або iнша iнформацiя. Якщо такi клiєнти вiшають трубку перш нiж їх обслужать, то кажуть про переривання. Клiєнти, якi не переривають обслуговування, через певний час зв’язуються з агентом. Агент з’єднаний за допомогою ПК або термiнала з корпоративною iнформацiйною системою (КIС), яка складається зi спецiального програмного забезпечення (ПЗ) i бази даних клiєнтiв (БДК). ПЗ робить запи- ти до БДК, при цьому повертається скеровуюча iнформацiя. Для розглядуваного випадку скеровуючою iнформацiєю є мова, якою розмовляє клiєнт. Так само ПЗ може використо- вуватися для автоматичного вiдображення потрiбної iнформацiї про клiєнта на монiторi робочої станцiї агента. Це так зване “вилiтаюче вiкно” (screen pop) заощаджує час агента i зменшує тривалiсть обслуговування. Функцiонування call-центру у загальному випадку можна уявити собi у виглядi схе- ми, зображеної на рис. 2. На вхiд call-центру з c агентами з певною iнтенсивнiстю надходять виклики вiд клiєнтiв. Такi дзвiнки називають первинними. Якщо в момент надходження вхiдного виклику будь-який з агентiв вiльний, то виклик отримує обслуговування, пiсля чого залишає систему. Якщо всi агенти зайнятi, то клiєнта розмiщують у чергу. Клiєнт на цьому етапi може вiдмовитись очiкувати на обслуговування у черзi. Вiн може або залиши- ти систему назавжди, або зробити повторний виклик через певний промiжок часу. Клiєнт, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 19 який знаходиться у черзi, або дочекається на обслуговування, або припинить очiкування i зможе повторити виклик знову або назавжди залишить систему. У реальних системах розмiр черги обмежений можливостями телекомунiкацiйного обладнання (наприклад, кiль- кiстю телефонних лiнiй, кiлькiстю лiнiй ПГВ тощо). А тому, якщо на момент надходження виклику до call-центру всi агенти i всi мiсця у черзi будуть зайнятi, то людина почує сигнал “зайнято” (при цьому кажуть, що сигнал блокується). З рис. 2 видно, що повторення є однiєю зi складових вхiдного потоку викликiв, а то- му їх iгнорування може сильно вплинути на основнi показники ефективностi функцiону- вання call-центру, зокрема при визначеннi оптимальної кiлькостi каналiв, необхiдних для забезпечення заданого рiвня обслуговування. Саме тому з усiх найрiзноманiтнiших аспек- тiв функцiонування call-центру найбiльш цiкавими та важливими є питання, якi пов’язанi з повторними спробами додзвону клiєнтiв, якi не змогли отримати обслуговування з пер- шого разу. Отже, call-центр являє собою багатоканальну СМО з вхiдними потоками первинних i повторних викликiв, з мiсцями чекання i вiдмовами. Аналiтична модель. Бiльшiсть реальних iснуючих телефонних систем неможливо описати анi СМО типу M/G/n/∞, анi СМО типу M/G/n/0: з одного боку, виклик, який застане всiх агентiв зайнятими, отримує вiдмову, i тому черга в системi не утворюється; з iншого боку, часто виклик, який отримав вiдмову (був блокований), повторює спробу з’єд- натися знову з агентом call-центру, тобто у системi утворюється потiк повторних викликiв. Роботу call-центру можна уявити собi за допомогою СМО з поверненнями i втратами. Для спрощення розглянемо процес функцiонування call-центру без черги: припустимо, що клiєнти, якi очiкують на обслуговування, знаходяться на так званiй орбiтi. Кажуть, що клiєнти, якi повертаються до системи, утворюють джерело повторних викликiв — орбiту. Орбiту можна розглядати як чергу, яка, проте, вiдрiзняється вiд звичайної черги. Повтор- ний виклик не може бути обслуженим одразу ж пiсля звiльнення каналу обслуговування, а лише тодi, коли на момент надходження повторного виклику будь-який з каналiв обслу- говування буде вiльним. Розглянемо таку СМО (рис. 3). Адекватнiсть даної моделi реальнiй пояснюється тим, що полiтика управлiння бiльшостi call-центрiв полягає в тому, що клiєнтiв не змушують очiкувати на обслуговування, а роз’єд- нують їх дзвiнки iз проханням передзвонити пiзнiше, при цьому не всi клiєнти є досить “терплячими”, щоб повторювати свої дзвiнки знову, тобто виникають втраченi дзвiнки. Нехай пiсля кiлькох невдалих повернень виклик залишає систему. Нехай Hj — iмо- вiрнiсть того, що пiсля j-ї невдалої спроби клiєнт зробить iще (j + 1) повторення. Набiр iмовiрностей {Hj , j > 1} називають функцiєю наполегливостi. Припустимо, що ймовiрнiсть повторного виклику пiсля невдалої повторної спроби не залежить вiд кiлькостi попереднiх повторних спроб (тобто H2 = H3 = · · · ). Нехай є c каналiв обслуговування, на якi надходить пуассонiвський потiк заявок з iн- тенсивнiстю λ. У контекстi телекомунiкацiйних технологiй їх називають первинними. Якщо при надходженнi заявки до системи будь-який iз каналiв обслуговування вiльний, заявка негайно займає цей канал i залишає систему пiсля обслуговування. Однак, якщо на мо- мент надходження нового виклику всi c каналiв зайнятi, тодi з iмовiрнiстю (1−H1) виклик залишає систему без обслуговування i з iмовiрнiстю H1 > 0 формує джерело повторних ви- кликiв. Кожне таке джерело утворює пуассонiвський процес повторних викликiв з парамет- ром ν. Якщо на момент надходження повторного виклику будь-який канал обслуговування вiльний, то виклик обслуговується i пiсля обслуговування залишає систему, а джерело по- 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2 Рис. 3. Call-центр як СМО типу M/M/c з поверненнями i втратами вернень зникає. В iншому випадку, тобто якщо усi канали зайнятi, з iмовiрнiстю (1 − H2) заявка залишає систему або з iмовiрнiстю H2 вiдправляється на орбiту i робить спробу зно- ву отримати обслуговування; i так доти, доки виклик не потрапить у канал або назавжди залишить систему без обслуговування. Нехай час обслуговування розподiлений експоненцiально з параметром µ. Без втрати загальностi можна припустити, що µ = 1. Припустимо, що iнтервали мiж надходженнями первинних i повторних викликiв i час обслуговування є взаємонезалежними. Функцiонування системи можна описати за допомогою двовимiрного процесу (C(t), N(t)), де C(t) — кiлькiсть зайнятих каналiв обслуговування, а N(t) — кiлькiсть клi- єнтiв на орбiтi в момент t. Враховуючи викладенi вище припущення, двовимiрний процес є марковським, визначеним на множинi станiв S = {0, 1, . . . , c} × {0, 1, . . .}. Випишемо iн- тенсивностi переходiв процесу (C(t), N(t)) за промiжок часу (t, t + dt), t > 0: а) при 0 6 i 6 c − 1, 0 6 j < ∞ q(ij)(nm) =                λ, (n,m) = (i + 1, j) iµ, (n,m) = (i − 1, j), jν, (n,m) = (i + 1, j − 1), −(λ + iµ + jν), (n,m) = (i, j), 0, в iнших випадках; (1) б) при i = c, 0 6 j < ∞ q(cj)(nm) =              λH1, (n,m) = (c, j + 1), jν(1 − H2), (n,m) = (c, j − 1), cµ, (n,m) = (c − 1, j), −(λH1 + jν(1 − H2) + cµ), (n,m) = (c, j), 0, в iнших випадках. (2) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 21 З практичної точки зору, найбiльш важливими показниками якостi обслуговування клi- єнтiв call-центру є: а) стацiонарна ймовiрнiсть блокування (iмовiрнiсть того, що при над- ходженнi заявки всi канали зайнятi) B = lim t→∞ P{C(t) = c}; б) стацiонарна середня кiлькiсть викликiв, що знаходяться на орбiтi, N = lim t→∞ EN(t); в) середня кiлькiсть зайнятих каналiв обслуговування Y = lim t→∞ EC(t); г) iмовiрнiсть того, що виклик буде втрачено, L = 1−Y µ/λ. Ергодичнiсть СМО. Розглянемо функцiю Ляпунова ϕ(i, j) = ai + j, де a — додатний параметр, який буде визначено далi. Середнi вiдхилення визначаються як: yij = ∑ (nm)6=(ij) q(ij)(nm)(ϕ(n,m) − ϕ(i, j)), i, n ∈ [0, c], j,m ∈ [0,∞). Обчислимо рiзницю ϕ(n,m) − ϕ(i, j) = a(n − i) + m − j: а) при 0 6 i 6 c − 1, 0 6 j < ∞ ϕ(n,m) − ϕ(i, j) =      a, (n,m) = (i + 1, j), −a, (n,m) = (i − 1, j), a − 1, (n,m) = (i + 1, j − 1); б) при i = c, 0 6 j < ∞ ϕ(n,m) − ϕ(c, j) =      1, (n,m) = (c, j + 1), −1, (n,m) = (c, j − 1), −a, (n,m) = (c − 1, j). Тодi, враховуючи (1), (2), маємо yij = { λa + jν(a − 1) + iµ(−a), 0 6 i 6 c − 1, 0 6 j < ∞, λH1 · 1 + cµ(−a) + jν(1 − H2) · (−1), i = c, 0 6 j < ∞. Таким чином, для всiх i = 0, 1, . . . , c iснує lim j→∞ yij = Li =      (a − 1) · ∞, 0 6 i 6 c − 1, −∞, i = c, H2 < 1, λH1 − acµ, i = c, H2 = 1. Процес (C(t), N(t)) є ергодичним, якщо всi змiннi Li вiд’ємнi [5, 6]. Для H2 < 1 це означає, що невiд’ємний параметр a повинен бути меншим за одиницю. Оскiльки таке зна- чення a можна завжди знайти, процес (C(t), N(t)) є ергодичним для будь-якої iнтенсивностi вхiдного потоку, якщо H2 < 1. Для H2 = 1 умова Lc < 1 означає, що a повинно лежати в iнтервалi (λH1/cµ; 1). Таке a можна знайти, якщо цей iнтервал не є порожнiм, тобто λH1/µ < c. Це достатня умова ергодичностi для випадку H2 = 1. Насправдi ж, дана умова водночас є i необхiдною умовою ергодичностi. Це випливає з формули для середньої кiль- костi зайнятих каналiв (середня кiлькiсть зайнятих каналiв Y має бути менша за загальну кiлькiсть наявних каналiв c). Показники ефективностi функцiонування. Позначимо через pij(t) = P{C(t) = = i, N(t) = j} iмовiрнiсть того, що в момент t система знаходиться в станi (i, j), тобто в системi зайнято i каналiв i на орбiтi знаходиться j викликiв. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2 Для стацiонарного режиму визначенi ймовiрностi задовольняють систему рiвнянь Кол- могорова: (λ + i + jν)pij =λpi−1,j + (j + 1)νpi−1,j+1 + (i + 1)pi+1,j , 0 6 i 6 c−1, 0 6 j < ∞, (3) (λH1 + jν(1 − H2) + c)pcj = λpc−1,j + (j + 1)νpc−1,j+1 + λH1pc,j−1 + + (j + 1)ν(1 − H2)pc,j+1, i = c, 0 6 j < ∞, (4) i умову нормування c ∑ i=0 ∞ ∑ j=0 pij = 1. (5) Позначимо твiрнi функцiї pi(z) = ∞ ∑ j=0 pijz j , 0 6 i 6 c. Тодi рiвняння (3), (4) набувають вигляду (λ + i)pi(z) + νzp′i(z) = λpi−1(z) + νp′i−1(z) + (i + 1)pi+1(z), 0 6 i 6 c − 1, (6) (λH1(1 − z) + c)pc(z) = λpc−1(z) + νp′c−1(z) + ν(1 − H2)(1 − z)p′c(z), i = c. (7) Введемо двовимiрну твiрну функцiю p(x, z) = ∞ ∑ i=0 xipi(z), 0 6 i 6 c. Тодi з останнiх двох рiвнянь маємо λ(1 − x)p(x, z) + ν(z − x)p′z(x, z) + (x − 1)p′x(x, z) + λxc(x − 1)pc(z) + + λH1x c(1 − z)pc(z) + ν(1 − H2)x c(z − 1)p′c(z) − νxc(z − x)p′c(z) = 0. Диференцiюючи це рiвняння вiдповiдно за z, x, xx, xz, zz у точцi x = 1, z = 1 отримуємо νN − λH1B − νH2Nc = 0, (8) λ + νN − Y − λB − νNc = 0, (9) λY + νp′′xz − p′′xx − λcB − νcNc = 0, (10) −λN − νp′′zz + (1 + ν)p′′xz + λNc − νH2cNc − λH1cB + νp′′czz = 0, (11) νp′′zz − λH1Nc − νH2p ′′ czz = 0, (12) де N = EN(t) = p′z(1, 1), B = P{C(t) = c} = pc(1), Y = EC(t) = p′x(1, 1), Nc = = E{N(t);C(t) = c} = p′c(1). Виокремлюючи з рiвнянь (8), (9) змiнну Nc, отримуємо ν(1 − H2)N = λH2 + λ(H1 − H2)B − H2Y. У випадку H2 < 1 це дозволяє нам виразити середню кiлькiсть викликiв на орбiтi N у термiнах розподiлу кiлькостi зайнятих каналiв: N = λH2 + λ(H1 − H2)B − H2Y ν(1 − H2) . ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 23 Для випадку H2 = 1, виокремлюючи з рiвнянь (8)–(12) змiннi Nc, p′′xz, p′′zz, p′′czz i беручи до уваги, що p′′xx(1, 1) = DC2(t) − EC(t), одержуємо Y = λ − λ(1 − H1)B, N = 1 + ν ν(c − λH1) [ λ + λ2 − EC2(t) − λ(1 − H1) ( λ + c + 1 − λH1 1 + ν ) B ] . Виокремлюючи N з рiвнянь (8)–(9), отримуємо Y = λ − λ(1 − H1)B − ν(1 − H2)Nc. Для розв’язання системи рiвнянь (3)–(5) чисельним методом часто використовується метод, розглянутий Уїлкiнсоном (Wilkinson), який пропонує замiнити вихiдну СМО з не- скiнченною ємнiстю орбiти (максимальною кiлькiстю викликiв на орбiтi) системою з обме- женою досить великою константою M ємнiстю орбiти. Тодi система рiвнянь (3)–(5) буде скiнченною, а СМО — ергодичною за будь-яких умов. Маємо (λ + i + jν)pM ij = λpM i−1,j + (j + 1)νpM i−1,j+1 + (i + 1)pM i+1,j , 0 6 i 6 c − 1, 0 6 j 6 M − 1, (13) (λ + i + Mν)pM iM = λpM i−1,M + (i + 1)pM i+1,M , 0 6 i 6 c − 1, (14) (λH1 + jν(1 − H2) + c)pM cj = λpM c−1,j + (j + 1)νpM c−1,j+1 + λH1p M c,j−1+ + (j + 1)ν(1 − H2)p M c,j+1, 0 6 j 6 M − 1, (15) (c + Mν(1 − H2))p M cM = λpM c−1,M + λH1p M c,M−1, (16) c ∑ i=0 M ∑ j=0 pij = 1. (17) де M — ємнiсть орбiти. Система (13)–(17) може бути розв’язана на комп’ютерi за допомогою стандартних про- цедур. Однак, використовуючи спецiальну форму цих рiвнянь, iмовiрностi p (M) ij можуть бути знайденi за допомогою рекурсивного алгоритму. Покажемо, що при M → ∞ показники функцiонування СМО з обмеженою ємнiстю орбiти наближаються до показникiв функцiонування вихiдної СМО. З табл. 1, де наведено Таблиця 1. Результати чисельних дослiджень. Залежнiсть iмовiрностi блокування BM i середньої ємностi орбiти NM вiд значення обмеження M (c = 10, λ = 8, ν = 15) M BM NМ 0 0,121661064 0 10 0,34633607 1,319351429 20 0,367794042 1,763403632 30 0,370144179 1,849197286 50 0,370431704 1,864710385 100 0,370435175 1,865009201 1000 0,370435175 1,865009209 2000 0,370435175 1,865009209 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2 Рис. 4. Залежнiсть iмовiрностi блокування (а) та вiдносного часу очiкування (б ) вiд iнтенсивностей пер- винних i повторних викликiв (H1 = H2 = 1, c = 10) залежнiсть iмовiрностi блокування i середньої кiлькостi викликiв на орбiтi вiд значення M , видно, що зi збiльшенням рiвня обмеження ємностi орбiти точнiсть обчислень збiльшується, а оскiльки результати для M = 1000 i M = 2000 збiгаються до останнього знаку пiсля коми, то можна вважати, що чисельнi результати для показникiв системи будуть досить точними при достатньо великому M . Якiсть обслуговування клiєнтiв call-центру характеризується кiлькома показниками ефективностi функцiонування. Середнiй час очiкування W = N/λ (за формулою Лiттла) на орбiтi зазвичай вважається найважливiшою серед цих характеристик. Однак W є середнiм значенням для усiх дзвiнкiв, навiть тих, якi не очiкували, а одразу ж отримали обслуго- вування. Бiльш глибоке розумiння дає ймовiрнiсть блокування B (iмовiрнiсть того, що час очiкування додатний i вiдмiнний вiд нуля) i вiдносний середнiй час очiкування WB = W/B (визначає додатний i вiдмiнний вiд нуля час очiкування). У результатi розв’язання систе- ми (13)–(17) отриманi залежностi ймовiрностi блокування (рис. 4, а) та вiдносного часу очiкування (рис. 4, б ) вiд iнтенсивностей первинних i повторних викликiв. 1. Aguir M. S., Karaesmen F., Aksin Z., Chauvet F. The impact of retrials on call center performance // OR Spectrum. – 2004. – 26(3). – P. 353–376. 2. Aguir M. S., Aksin O. Z., Karaesmen F., Dallery Y. On the interaction between retrials and sizing of call centers. – April, 2006. – available at http://home.ku.edu.tr/zaksin/Rappls_z.pdf. 3. Falin G. I., Templeton J.G. C. Retrial queues. – London: Chapmаn and Hall, 1997. – 395 p. 4. Yang T., Templeton J.G. C. A survey on retrial queues // Queueing Systems. – 1987. – 2. – P. 201–233. 5. Tweedie R. L. Sufficient conditions for regularity, recurrence and ergodicity of Markov processes // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1975. – No 78, part 1. – Р. 125–136. 6. Malyshev V.A., Menshikov M.V. Ergodicity, continuity and analyticity of countable Markov chains // Proc. Moscow Math. Soc. – 1979. – No 39. – P. 3–48. 7. Whitt W. Understanding the efficiency of multi-server service systems // Manag. Sci. – 1992. – 38(5). – P. 708–723. Надiйшло до редакцiї 03.07.2006Нацiональний авiацiйний унiверситет, Київ ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 25

Аналітична модель функціонування call-центру

Institution

Ähnliche Einträge