Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах

Запропоновано, теоретично обґрунтовано та програмно реалізовано високоточні чисельно-аналітичні алгоритми апроксимації розв'язків задач у неоднорідних середовищах на основі застосування лінійних поліноміальних операторів....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Біленко, В.І., Божонок, К.В., Дзядик, С.Ю., Стеля, О.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161376
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах / В.І. Біленко, К.В. Божонок, С.Ю. Дзядик, О.Б. Стеля // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 135–141. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-161376
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1613762019-12-08T01:26:06Z Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах Біленко, В.І. Божонок, К.В. Дзядик, С.Ю. Стеля, О.Б. Системний аналіз Запропоновано, теоретично обґрунтовано та програмно реалізовано високоточні чисельно-аналітичні алгоритми апроксимації розв'язків задач у неоднорідних середовищах на основі застосування лінійних поліноміальних операторів. Предложены, теоретически обоснованы и программно реализованы высокоточные численно-аналитические алгоритмы аппроксимации решений задач в неоднородных средах на основе применения линейных полиномиальных операторов. The authors propose, theoretically substantiate, and programmatically implemented high-precision numerical-analytical algorithms for approximation of problems solutions in inhomogeneous media on the basis of linear polynomial operators. 2018 Article Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах / В.І. Біленко, К.В. Божонок, С.Ю. Дзядик, О.Б. Стеля // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 135–141. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161376 519.622; 517.5 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Біленко, В.І. Божонок, К.В. Дзядик, С.Ю. Стеля, О.Б. Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано, теоретично обґрунтовано та програмно реалізовано високоточні чисельно-аналітичні алгоритми апроксимації розв'язків задач у неоднорідних середовищах на основі застосування лінійних поліноміальних операторів.
format	Article
author	Біленко, В.І. Божонок, К.В. Дзядик, С.Ю. Стеля, О.Б.
author_facet	Біленко, В.І. Божонок, К.В. Дзядик, С.Ю. Стеля, О.Б.
author_sort	Біленко, В.І.
title	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
title_short	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
title_full	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
title_fullStr	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
title_full_unstemmed	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
title_sort	кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161376
citation_txt	Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах / В.І. Біленко, К.В. Божонок, С.Ю. Дзядик, О.Б. Стеля // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 135–141. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bílenkoví kuskovopolínomíalʹníalgoritmianalízuprocesívuneodnorídnihseredoviŝah AT božonokkv kuskovopolínomíalʹníalgoritmianalízuprocesívuneodnorídnihseredoviŝah AT dzâdiksû kuskovopolínomíalʹníalgoritmianalízuprocesívuneodnorídnihseredoviŝah AT stelâob kuskovopolínomíalʹníalgoritmianalízuprocesívuneodnorídnihseredoviŝah
first_indexed	2025-07-14T13:57:55Z
last_indexed	2025-07-14T13:57:55Z
_version_	1837630987489509376
fulltext	ÓÄÊ 519.622; 517.5 Â.². Á²ËÅÍÊÎ, Ê.Â. ÁÎÆÎÍÎÊ, Ñ.Þ. ÄÇßÄÈÊ, Î.Á. ÑÒÅËß ÊÓÑÊÎÂÎ-ÏÎË²ÍÎÌ²ÀËÜÍ² ÀËÃÎÐÈÒÌÈ ÀÍÀË²ÇÓ ÏÐÎÖÅÑ²Â Ó ÍÅÎÄÍÎÐ²ÄÍÈÕ ÑÅÐÅÄÎÂÈÙÀÕ Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî, òåîðåòè÷íî îá´ðóíòîâàíî òà ïðîãðàìíî ðåàë³çîâà- íî âèñîêîòî÷í³ ÷èñåëüíî-àíàë³òè÷í³ àëãîðèòìè àïðîêñèìàö³¿ ðîçâ’ÿçê³â çàäà÷ ó íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâèùàõ íà îñíîâ³ çàñòîñóâàííÿ ë³í³éíèõ ïîë³íîì³àëü- íèõ îïåðàòîð³â. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êóñêîâî-ïîë³íîì³àëüíà àïðîêñèìàö³ÿ, íåîäíîð³äí³ ñåðåäî- âèùà, íåíàñè÷óâàí³ñòü, íàéêðàùå íàáëèæåííÿ, àëãåáðà¿÷íî-íåë³í³éí³ ð³âíÿí- íÿ, îïòèìàëüí³ àëãîðèòìè, îïòèì³çàö³ÿ îá÷èñëåíü, ïàðàáîë³÷í³ ñïëàéíè ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó. ÂÑÒÓÏ Ñòàòòþ ïðèñâÿ÷åíî ðîçâ’ÿçàííþ ïðîáëåìè ï³äâèùåííÿ òî÷íîñò³ ê³ëüê³ñíîãî äîñë³äæåííÿ (àíàë³çó òà ïðîãíîçó) ïðîöåñ³â ó áàãàòîêîìïîíåíòíèõ ñåðåäîâè- ùàõ ³ íåîäíîð³äíèõ ñêëàäíèõ ³íæåíåðíèõ îá’ºêòàõ, à òàêîæ âèçíà÷åííÿ ¿õí³õ äèíàì³÷íèõ õàðàêòåðèñòèê. Öÿ ïðîáëåìà áóëà ñôîðìóëüîâàíà òà ðîçâ’ÿçóâàëà- ñÿ íà îñíîâ³ ð³çíèöåâèõ ìåòîä³â ó ðîáîòàõ àêàäåì³ê³â ÍÀÍ Óêðà¿íè ².Â. Ñåðã³ºíêà òà Â.Ñ. Äåéíåêè [1, 2], à òàêîæ ¿õí³õ ó÷í³â ³ ïîñë³äîâíèê³â. Ìåòîþ ðîáîòè º êîíñòðóþâàííÿ òà òåîðåòè÷íå îá´ðóíòóâàííÿ äâîõ âçàºìî- äîïîâíÿëüíèõ àëãîðèòì³â íà îñíîâ³ â³äîìîãî àïðîêñèìàö³éíîãî ìåòîäó Â.Ê. Äçÿ- äèêà òà ïàðàáîë³÷íèõ ñïëàéí³â äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ó íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâè- ùàõ, ìîäåëÿìè ÿêèõ º ð³âíÿííÿ ïàðàáîë³÷íîãî òèïó ç ïî÷àòêîâî-êðàéîâèìè óìî- âàìè. Òàê³ àëãîðèòìè ìàþòü âàæëèâ³ âëàñòèâîñò³ íåíàñè÷óâàíîñò³ çà òî÷í³ñòþ òà îïòèìàëüíîñò³ â ñåíñ³ íàéêðàùîãî ïîë³íîì³àëüíîãî íàáëèæåííÿ ó êâàäðàòè÷í³é òà ð³âíîì³ðí³é ìåòðèêàõ. Àêòóàëüí³ñòü ïîäàëüøîãî ðîçâèòêó òà çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³éíîãî ìåòî- äó Â.Ê. Äçÿäèêà [3, 4] çóìîâëåíà çðîñòàííÿì âèìîã äî òðüîõ îñíîâíèõ õàðàêòå- ðèñòèê îá÷èñëþâàëüíèõ àëãîðèòì³â: òî÷íîñò³, øâèäêîä³¿ òà ³íôîðìàö³éíî¿ ñêëàä- íîñò³ [2, 5] ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçàííÿ ñó÷àñíèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷íîãî òà êîìï’þòåðíîãî ìîäåëþâàííÿ. Äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ïîä³áíèõ çàäà÷, ÿê ïðàâèëî, âèêîðèñòîâóþòüñÿ ïîòóæí³ ð³çíèöåâ³ ìåòîäè, ìåòîäè ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â, ñïëàéí-ôóíêö³¿, ³íòåã- ðî-³íòåðïîëÿö³éí³ ìåòîäè òà ³íø³ [6–9]. Ö³ ìåòîäè ìàþòü îñíîâíèé íåäîë³ê — ÿâèùå íàñè÷åííÿ (â³äîìà ïðîáëåìà Ôàâàðà–Êîëìîãîðîâà â òåîð³¿ íàáëèæåííÿ ôóíêö³é òà íàñè÷åííÿ â ÷èñåëüíîìó àíàë³ç³), íàñë³äêîì ÿêîãî ìîæå áóòè «âèáóõ» ïîõèáîê [3, 10, 11]. Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî ö³ àëãîðèòìè º çðó÷íèìè äëÿ êîìï’þòåðíî¿ ðåàë³çàö³¿ â ñèñòåìàõ êîìï’þòåðíî¿ àëãåáðè [12]. Âèâ÷àþòüñÿ ïèòàííÿ ùîäî çàñòîñóâàííÿ ðîçðîáëåíèõ àëãîðèòì³â äî ïðè- êëàäíèõ çàäà÷ îõîðîíè íàâêîëèøíüîãî ñåðåäîâèùà òà ñóì³æíèõ îáëàñòåé, çîêðå- ìà, äëÿ ³íôîðìàö³éíî-ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ åêîëîã³÷íîãî ñòàíó ´ðóíòîâèõ âîä [13]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Íåõàé X — áàíàõ³â ïðîñò³ð âåêòîðíîçíà÷íèõ ôóíêö³é u, A x t u( , ) � � � � � � � � � � � � �x a x t u x b x t u u x ( , ) ( , , ) — àëãåáðà¿÷íî-íåë³í³éíèé äèôåðåíö³àëüíèé ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 135 � Â.². Á³ëåíêî, Ê.Â. Áîæîíîê, Ñ.Þ. Äçÿäèê, Î.Á. Ñòåëÿ, 2018 îïåðàòîð, ùî ä³º â X , a b f x t u, , ( , , ) — êóñêîâî-ïîë³íîì³àëüí³ ôóíêö³¿ â³äïîâ³äíîãî ÷èñëà çì³ííèõ íà â³äð³çêàõ [ ; ]� �l l 1 , äå x l� � (l s� 0, ) — òî÷êè ñïðÿæåííÿ [1, 2]. Ðîçãëÿíåìî îïåðàòîðíå ð³âíÿííÿ � � � u t A x t u f x t u( , ) ( , , ) (1) â îáëàñò³ � � �[ , ] [ , ]0 0H , H , � 0, ç ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ u x u x( , ) ( )0 0� ³ êðà- éîâèìè óìîâàìè u t t( , ) ( )0 1� � , u H t t( , ) ( )� �2 . Íåõàé ó òî÷êàõ x l� � , l s�1, , çàäàí³ óìîâè ñïðÿæåííÿ [2] R q R q ul l l l l l1 2 � � ( ) ( ) [ ]( )� � � � , (2) [ ]( )q l l� �� , [ ]( )u l l� � �1 1, (3) äå R Rl l1 2 0, � , R Rl l1 2 0 � , � �l l, — â³äîì³ ñòàë³, [ ]( ) ( ) ( )� � � � � �l l l� � � , � � � �� ( ) ( )l l 0 . ÀËÃÎÐÈÒÌ Çàïðîïîíîâàíèé àëãîðèòì, ÿêèé óçàãàëüíþº àëãîðèòìè, ïîáóäîâàí³ ó ïîïå- ðåäí³õ ðîáîòàõ àâòîð³â [4, 14–16] íà îñíîâ³ çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³éíîãî ìåòîäó Â.Ê. Äçÿäèêà [3] (a-ìåòîäó) ïîëÿãàº ó ðåàë³çàö³¿ òàêî¿ ñõåìè: 1. Íà êîæíîìó â³äð³çêó [ ; ]� �l l 1 , äå x l� � (l s� 0, ) — òî÷êè ñïðÿæåííÿ, çà- äà÷ó (1) çàïèøåìî â åêâ³âàëåíòí³é ³íòåãðî-ôóíêö³îíàëüí³é ôîðì³ [4, 16] Lu F x t u� ( , , ), (4) äå Lu — àëãåáðà¿÷íî-íåë³í³éíèé ³íòåãðàëüíèé îïåðàòîð, F x t u( , , ) — àëãåá- ðà¿÷íà ôóíêö³ÿ òðüîõ çì³ííèõ, îòðèìàíà â ðåçóëüòàò³ åêâ³âàëåíòíîãî ïåðåõîäó, âèäó F x t u A x t uijk k K j J i I i j k( , , ) � �� 000 , (5) Aijk — â³äîì³ êîåô³ö³ºíòè. 2. Íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê ³íòåãðî-ôóíêö³îíàëüíîãî ð³âíÿííÿ (4) øóêàºìî ó âèãëÿä³ ïîë³íîì³â u x t c x tmn ij j n i m i j( , ) ( ) ( )� � �� 00 � � , (6) äå { }� k k( )� � � 0 — êëàñè÷í³ îðòîãîíàëüí³ ìíîãî÷ëåíè (Ëåæàíäðà, ×åáèøî- âà–Åðì³òà, ×åáèøîâà–Ëàãåððà òà óçàãàëüíåí³ ìíîãî÷ëåíè ßêîá³). 3. ²íòåãðî-ôóíêö³îíàëüíå ð³âíÿííÿ (4) çàì³íþºìî îïåðàòîðíèì ð³âíÿííÿì Lu x t F x t u x t x tmn mn mn( , ) ( , , ( , )) ( , )� � (7) â³äíîñíî ïîë³íîì³àëüíîãî ðîçâ’ÿçêó (6) ç íåâ³äîìîþ íåâ’ÿçêîþ � � �mn ij j n i m ij i jx t x t( , ) ( ) ( )� �� 00 , (8) äå 00 1 4 � , 0 0 1 2 j i� � , ÿêùî i � 1 ³ j � 1, òà ij �1, ÿêùî ij� 0. 136 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 4. Êîíñòðóþºìî ³òåðàö³éíèé ïðîöåñ, ÿêèé âðàõîâóº îñîáëèâîñò³ àëãåáðà¿÷íèõ íåë³í³éíîñòåé äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó ð³âíÿííÿ (7) Lu x t F x t u x t x tmn mn mn � � �� 1 ( , ) ( , , ( , )) ( , ). (9) 5. Ï³ñëÿ âèêîíàííÿ îïåðàö³é ìíîæåííÿ òà ³íòåãðóâàííÿ â (7) íà êîæíîìó êðîö³ ³òåðàö³¿ � ïðèð³âíþºìî êîåô³ö³ºíòè ïðè îäíàêîâèõ ÷ëåíàõ x ti j ³ â îòðè- ìàí³é òàêèì ÷èíîì ñèñòåì³ íåë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü âèçíà÷àºìî âñ³ íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè cij ÷åðåç ij , i m� 0, , j n� 0, . ÒÅÎÐÅÒÈ×ÍÅ ÎÁ¥ÐÓÍÒÓÂÀÍÍß ÀËÃÎÐÈÒÌÓ Îö³íêó ïîõèáêè àëãîðèòìó äîñë³äèìî äëÿ âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿ � i òà � j ó ôîðìóëàõ (6), (8) — öå ìíîãî÷ëåíè ×åáèøîâà ïåðøîãî ðîäó Tk ( )� � � �cos arccos( ( ))k , k � 0 1 2, , ,�, çì³ùåí³ â³äïîâ³äíî íà ñåãìåíòè [ , ]0 H ³ [ , ]0 : T x Hi ( / )2 1� òà T tj ( / )2 1 � . Ïîçíà÷èìî Lg 2 [ ]� ïðîñò³ð ñóìîâíèõ ç êâàäðàòîì ôóíêö³é ïðè ÷åáèøîâñüê³é âàç³ g h x h t ( , ): / � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 1 1 2 1 2 2 (10) íà ïðÿìîêóòíèêó � � �[ , ] [ , ]0 0h ç çàãàëüíîâ³äîìîþ íîðìîþ \|\| \| \| . [ ] � Lg 2 � Íà îñíîâ³ ðåçóëüòàò³â [4, 14–16] ñïðàâåäëèâ³ òàê³ òâåðäæåííÿ: Òåîðåìà 1. ²ñíóþòü ñê³í÷åíí³ ÷èñëà h H�( , ]0 , �( , ]0 ³ B B h� �( , ) const òàê³, ùî äëÿ � � ~ ( , ]h h0 , ~ ( , ] � 0 ³ äîâ³ëüíèõ íàòóðàëüíèõ m ³ n òàêèõ, ùî 1 1 m n B h � , ñïðàâåäëèâ³ òâåðäæåííÿ: à) îïåðàòîðíå ð³âíÿííÿ (7) ìàº ðîçâ’ÿçîê; á) ó ïðÿìîêóòíèêó � � �[ , ] [ , ]0 0h ìàþòü ì³ñöå îö³íêè \| ( , ) ( , )\| ( ), ( )u x t u x t A m nE umn m n C� � � , A A h� � �( , ) const 0. (11) Òåîðåìà 2. Íåõàé äëÿ äåÿêèõ h H�( , ]0 , �( , ]0 ³ äåÿêèõ m n, , , , ...�1 2 3 â êóë³ � � � � � � � ( ): [ ]:\| \| \| \| [ ] � � �� Lg Lg 2 2 íà êîæíîìó êðîö³ � ³òåðàö³éíîãî ïðîöåñó ³ñíóº ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê u x t( , ) çà- äà÷³ (1) ³ ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê (6) îïåðàòîðíîãî ð³âíÿííÿ (7) íà �. Òîä³ äëÿ âêàçà- íèõ m ³ n íà � ñïðàâåäëèâ³ îö³íêè: a) \| \| ( , ) ( , )\| \| \| \| (u x t u x t C K hmn X ij j n i m ij� � �� 1 00 1 ); á) \| \| ( , ) ( , )\| \| ( ) ( ),u x t u x t C E u K hmn X m n h X� � � ��2 2 , äå X Lg� 2 [ ]� ç âàãîþ (10); E um n h X, ( ) — ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ íàéêðàùèõ íàáëèæåíü ôóíêö³é u x t( , ) àëãåáðà¿÷íèìè ïîë³íîìàìè äâîõ çì³ííèõ ñòåïåíÿ íå âèùå, í³æ m ³ n, íà ïðÿìîêóòíèêàõ � � � l l l� � [ , ] [ , ]1 0 â³äïîâ³äíî; C C h si i� �( , , ) const ( , )i �1 2 , K K h sj j� �( , , ) const ( , )j �1 2 ; � � ( )h âèçíà- ÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ � � ( ) \| \| \| \| [ ( )] ! exp[ ( )] [ ] h f h h v h h L v g � 2 2 4 2 4 � , äå h H� max ( , ) . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 137 ÐÅÇÓËÜÒÀÒÈ ÎÁ×ÈÑËÞÂÀËÜÍÎÃÎ ÅÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÓ 1. Íåõàé â îáëàñò³ � !1 2 , ( ( , ), ( , )) 1 21 0 0 1� � � çàäàíî ð³âíÿííÿ ïà- ðàáîë³÷íîãî òèïó (1), à íà ê³íöÿõ â³äð³çêà [ , ]�1 1 çàäàí³ óìîâè Ä³ð³õëå u t e c( , )� � �1 1 2 , u t t( , )1 5 2� , äå k x t x x ( , ) , [ , ], , [ , ], � � � � � � � � 1 1 0 2 0 1 f x t e t x x t x x ( , ) , [ , ], , [ , ], � � � � � � � � " �" 2 1 0 40 2 0 13 t �[ , ].0 1 Ó òî÷ö³ x � �� 0 íåîäíîð³äí³ óìîâè ñïðÿæåííÿ ìàþòü âèãëÿä (2), (3), äå R1 0 5� , , R2 0 25� , , � 3, � 0 5, . Ïî÷àòêîâà óìîâà ìàº âèãëÿä u x e x x x x x 0 5 1 0 2 2 0 1 ( ) , [ , ], , [ , ]. � � � � � � " �" Êëàñè÷íèé òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ, ìàº âèãëÿä u x t e t x x x t x x ( , ) , [ , ], , [ , ], � � � � � � " �" 2 5 2 1 0 2 2 0 1 t �[ , ].0 1 Öÿ ïî÷àòêîâî-êðàéîâà çàäà÷à áóëà ðîçâ’ÿçàíà ÷èñåëüíî çà äîïîìîãîþ çàïðî- ïîíîâàíîãî âèùå àëãîðèòìó. Òóò äëÿ êîæíîãî t �[ , ]0 1 âèêîðèñòàí³ çíà÷åííÿ h � 0125, , � 0 1, . Ó ðîáîò³ [1] çàñòîñîâàíî ìåòîä ê³íöåâèõ åëåìåíò³â òà ð³çíèöåâó ñõåìó Êðàíêà–Í³êîëñîíà. Â³äíîñíà ïîõèáêà íà êîæíîìó ÷àñîâîìó øàð³ íå ïåðåâèùóâàëà 10 4� %, äå uT ³ un — òî÷íèé ³ íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê â³äïîâ³äíî. 2. Ðîçâ’ÿçóºòüñÿ îïåðàòîðíå ð³âíÿííÿ äëÿ m n� � 2 íà êâàäðàò³ D � [ , / ]0 1 2 2 . Çíàõîäèìî íàáëèæåíèé ïîë³íîì³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê u x t x t xt2 2 0 000289 0 005290 0 952230 0 5184, ( , ) , , ( ) , ,� � � 36 2 2( )x t � � � �\| \| ( , ) ( , )\| \| ,, [ ]u x t u x t C D2 2 0 0043, äå u x t csh x t( , ) ( )� � �1. ÑÏËÀÉÍÎÂÀ ÑÕÅÌÀ ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß ÍÅÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÎÃÎ Ð²ÂÍßÍÍß ÊÎÍÂÅÊÖ²¯-ÄÈÔÓÇ²¯ Ðîçãëÿíåìî êðàéîâó çàäà÷ó äëÿ íåñòàö³îíàðíîãî ð³âíÿííÿ êîíâåêö³¿-äèôóç³¿ � � � � � � � � u x t t D x t u x t x V x t u x t x f x t ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 , ( , ),x L t� �0 0, (12) u t U t( , ) ( )0 0� , (13) u L t U tL( , ) ( )� , (14) u x g x( , ) ( )0 � , (15) äå V x t D x t( , ) , ( , )# � ��0 10 . Ââåäåìî ð³âíîì³ðíó ñ³òêó çà ÷àñîâîþ çì³ííîþ $ $t k kt t t k t: , , , , ..., � � �1 00 1 2 0, $t � const. Çàïèøåìî äèñêðåòèçîâàíó çà ÷àñîâîþ çì³ííîþ çàäà÷ó: D x t d u x t dx V x t du x t dx t uk k k k( , ) ( , ) ( , ) ( , ) � �1 2 1 2 1 1 1 $ ( , )x tk �1 � � � f x t t u x tk k( , ) ( , )1 1 $ , (16) 138 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 u t U tk k( , ) ( )0 1 0 1 � , (17) u L t U tk L k( , ) ( ) �1 1 , (18) u x t g x k( , ) ( ), , , ,0 0 1 2 3� � � (19) Íåõàé íà â³äð³çêó [ , ]0 L çàäàí³ ðîçáèòòÿ $ x ³ $ à) $ x Nx x x L:0 0 1� � � � �� , á) $ :0 0 1 1� � � � �� N L, (20) äå x x i Ni i i� � � � 1 1 2, , . Ïîçíà÷èìî Ci òà � i çíà÷åííÿ äåÿêèõ ñ³òêîâèõ ôóíêö³é, â³äïîâ³äíî, íà ñ³òêàõ à) òà á), ïðè÷îìó �0 0�C , � N NC� �1 . Áóäåìî øóêàòè ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ ó âèã- ëÿä³ ïàðàáîë³÷íîãî ñïëàéíà [17, 18]. Äëÿ öüîãî çàïèøåìî êóñêîâî-êâàäðàòè÷íó ôóíêö³þ C x( ) â k 1-é ìîìåíò ÷àñó, x i i� [ , ] 1 , i N� �0 2, , òà çíàéäåìî ïåðøó òà äðóãó ïîõ³äí³ ö³º¿ ôóíêö³¿ íà êîæíîìó â³äð³çêó, ï³äñòàâèìî ¿õ ðàçîì ³ç ñàìîþ ôóíêö³ºþ ó ð³âíÿííÿ (16). Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³ àëãîðèòìó, ïîêëàäåìî D V� �const const, , òà ðîçãëÿíåìî ð³âíîì³ðíó ñ³òêó $ ç êðîêîì h. Ç íåïåðåðâ- íîñò³ ïåðøèõ ïîõ³äíèõ ôóíêö³¿ C x( ) ó âíóòð³øí³õ âóçëàõ ñ³òêè $ îäåðæóºìî äëÿ âíóòð³øí³õ âóçë³â ñ³òêîâî¿ îáëàñò³ íà ìîìåíò ÷àñó tk 1: �� i i i i i k k k x k x kf f � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) / (� � � x k x k i i 1 2) / , i N� �1 2, , (21) äå � � �� a h 1 2 2 2 , � � � �� a b h h h 1 2 2 2 2 2 2( ( ) ), � � �� b h h 1 2 2 2( ) , äå � º ïîçíà÷åííÿì $t. Íåõàé äëÿ ðîçáèòòÿ (20) âèêîíóþòüñÿ óìîâè i i h � 1 , i N� �0 2, , h� 0, N L h� / 1, x x h x x h i N x x hi i N N1 0 1 11 2 0� � � � � � � � �� , , , , , , V � 0, �� h D V\| \| . Òîä³ âèêîíóþòüñÿ íåð³âíîñò³ a � 0 òà b� 0, äå a D h V h � 2 2 �, b D h V h h � � � � � � � � 2 1 � . Çà óìîâè � � �� max ( , )1 2 , äå � � � 1 2 2 � ( )D V , � � � 2 2 2 � � � ( ) ( ) h D V Vh , ìàºìî � � 0, � > 0, � > 0, \| \|� � �� a h 1 2 2 2 , \| \| ( )� � �� b h h 1 2 2 2 , \| \| ( ( ))� � � �� a b h h h 1 2 2 2 2 . Òîä³ \| \| \| \| ( ( )) ( ( )� � � � � � � � � � � �a b h h h a b h h h 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ) \| \|� � . Òàêèì ÷èíîì, çà âèçíà÷åíèõ óìîâ ð³çíèöåâà ñõåìà (21) º ìîíîòîííîþ. Òàê ñàìî öå ìîæíà ïîêàçàòè äëÿ â³ä’ºìíî¿ øâèäêîñò³. ÏÐÈÊËÀÄ ÐÎÇÐÀÕÓÍÊ²Â Íåõàé äëÿ çàäà÷³ (12)–(16) çàäàí³ êðàéîâ³ óìîâè ïåðøîãî ðîäó òà ïî÷àòêîâà óìîâà U t0 1( ) � , UL t( ) � 0, g(x) � 0. Ó ÷èñåëüíèõ ðîçðàõóíêàõ êîåô³ö³ºíòè òà ïàðàìåòðè çàäà÷³ íàáóâàëè çíà÷åíü D � 00005. , V �1, 0 10� �t , L �12. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 139 Îá÷èñëåííÿ çà çàïðîïîíîâàíîþ ñõåìîþ ïîð³âíþâàëè ç òî÷íèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³. Ðåçóëü- òàòè ïîð³âíÿííÿ òî÷íîãî òà ðîçðàõîâàíîãî ðîç- â’ÿçê³â äëÿ ìîìåíòó ÷àñó T �10 íàâåäåíî íà ðèñ. 1 (ñóö³ëüíà ë³í³ÿ — òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê; øòðèõîâà ë³í³ÿ — ÷èñåëüíèé ðîçâ’ÿçîê). ÂÈÑÍÎÂÊÈ 1. Íà îñíîâ³ àïðîêñèìàö³éíîãî ìåòîäó Â.Ê. Äçÿäè- êà [3] ñêîíñòðóéîâàíî òà òåîðåòè÷íî îá´ðóíòîâàíî âèñîêîòî÷íèé àëãîðèòì áåç íàñè÷åííÿ òî÷íîñò³ äëÿ àíàë³çó ïðîöåñ³â ó íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâèùàõ. 2. Ñôîðìóëüîâàíî òåîðåìè ïðî ³ñíóâàííÿ ðîçâ’ÿçê³â òà îö³íêè ïîõèáîê â³äïîâ³äíèõ çàäà÷ íà îñíîâ³ çàïðîïîíîâàíîãî àëãîðèòìó ó ð³âíîì³ðí³é òà êâàäðà- òè÷í³é ìåòðèêàõ, ùî ìîæóòü áóòè äîâåäåí³ àíàëîã³÷íî â³äïîâ³äíèì òåîðåìàì çà ñõåìàìè òà ì³ðêóâàííÿìè, íàâåäåíèìè â ðîáîòàõ [3, 15, 16]. 3. Ïðîâåäåíî îá÷èñëþâàëüí³ åêñïåðèìåíòè íà òåñòîâèõ çàäà÷àõ [16, 19], ÿê³ äîáðå ïðî³ëþñòðóâàëè òåîðåòè÷íî ïðîãíîçîâàí³ âëàñòèâîñò³ íåíàñè÷óâàíîñò³ òà îïòèìàëüíîñò³ â ñåíñ³ íàéêðàùèõ íàáëèæåíü ïîáóäîâàíîãî àëãîðèòìó ³, îòæå, åôåêòèâíîñò³ ó âèïàäêó çàäà÷ â íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâèùàõ çà íåïîâíî¿ ³íôîð- ìàö³¿ ùîäî ïî÷àòêîâèõ äàíèõ. 4. Ðîçðîáëåíî íà îñíîâ³ ïàðàáîë³÷íèõ ñïëàéí³â àëãîðèòì ðîçâ’ÿçóâàííÿ êðà- éîâî¿ çàäà÷³ äëÿ íåñòàö³îíàðíîãî ð³âíÿííÿ êîíâåêö³¿-äèôóç³¿ [17, 18]. Ïðîâåäåíî îá÷èñëþâàëüíèé åêñïåðèìåíò äëÿ òåñòîâèõ çàäà÷. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2001. 606 ñ. 2. Ñåðã³ºíêî ².Â. Ìåòîäè îïòèì³çàö³¿ òà ñèñòåìíîãî àíàë³çó äëÿ çàäà÷ òðàíñîá÷èñëþâàëüíî¿ ñêëàäíîñò³. Êè¿â: Àêàäåìïåð³îäèêà, 2010. 239 ñ. 3. Äçÿäûê Â.Ê. Àïïðîêñèìàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâ- íåíèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1988. 304 ñ. 4. Á³ëåíêî Â.²., Áîæîíîê Ê.Â., Äçÿäèê Ñ.Þ., Ñòåëÿ Î.Á. Íàáëèæåííÿ ïîë³íîìàìè ðîçâ’ÿçê³â àë- ãåáðà¿÷íî-íåë³í³éíèõ ð³âíÿíü ìàòåìàòè÷íî¿ ô³çèêè. Çá³ðíèê ïðàöü ²íñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2016. Ò. 13, ¹ 3. Ñ. 7–27. 5. Èâàíîâ Â.Â. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé íà ÝÂÌ: Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. 584 ñ. 6. Ñåðãèåíêî È.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. ×èñëåííûé ñèñòåìíûé àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäå- ëåííûõ ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2013. Ò. 49, ¹ 4. Ñ. 46–61. 7. Ñåðã³ºíêî ².Â., Çàä³ðàêà Â.Ê., Ëèòâèí Î.Ì. Åëåìåíòè çàãàëüíî¿ òåîð³¿ îïòèìàëüíèõ àëãîðèòì³â òà ñóì³æí³ ïèòàííÿ. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2012. 400 ñ. 8. Ñåðãèåíêî È.Â., Õèìè÷ À.Í., ßêîâëåâ Ì.Ô. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ äîñòîâåðíûõ ðåøåíèé ñèñòåì ëè- íåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2011. Ò. 47, ¹ 1. Ñ. 62–73. 9. Áàáè÷ Ì.Ä., Çàäèðàêà Â.Ê., Ëþäâè÷åíêî Â.À., Ñåðãèåíêî È.Â. Îá èñïîëüçîâàíèè ðåçåðâîâ îïòèìèçàöèè âû÷èñëåíèé â êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèÿõ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðèêëàäíîé è âû÷èñ- ëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè ñ òðåáóåìûìè çíà÷åíèÿìè õàðàêòåðèñòèê êà÷åñòâà. Æóðí. âû÷èñë. ìà- òåìàòèêè è ìàò. ôèç. 2010. Ò. 50, ¹ 12. Ñ. 2285–2295. 10. Áàáåíêî Ê.È. Î ÿâëåíèè íàñûùåíèÿ â ÷èñëåííîì àíàëèçå. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1978. Ò. 241, ¹ 3. Ñ. 505–508. 11. Ãàâðèëþê È.Ï., Ìàêàðîâ Â.Ë. Ñèëüíî ïîçèòèâíûå îïåðàòîðû è ÷èñëåííûå àëãîðèòìû áåç íà- ñûùåíèÿ òî÷íîñòè. Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2004. 500 ñ. 12. Ëåòè÷åâñêèé À.À., Ëåòè÷åâñêèé À.Àë., Ïåñ÷àíåíêî Â.Ñ., Ãóáà À.À. Ãåíåðàöèÿ ñèìâîëüíûõ òðàññ â ñèñòåìå èíñåðöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 1. Ñ. 7–19. 13. Ïîëóáàðèíîâà-Êî÷èíà Ï.ß. Òåîðèÿ äâèæåíèÿ ãðóíòîâûõ âîä. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 664 ñ. 140 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 Ðèñ. 1 14. Âîëêîâ Â.À., Ëåòè÷åâñêèé À.À., Äåíèñåíêî Ï.Í., Áèëåíêî Â.È. Ðåàëèçàöèÿ ÷èñëåííî-àíàëèòè- ÷åñêèõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâ- íåíèÿìè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1997. ¹ 1. Ñ. 108–112. 15. Áèëåíêî Â.È. Àïïðîêñèìàöèîííûé ìåòîä äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà Âîëü- òåððà–Óðûñîíà ñ ïîëèíîìèàëüíûìè íåëèíåéíîñòÿìè. Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôè- çèêè. 1989. Ò. 29, ¹ 10. Ñ.1577–1581. 16. Á³ëåíêî Â.²., Äåð³ºíêî À.²., Êèðèëàõà Í.Ã. Êóñêîâî-ïîë³íîì³àëüí³ íàáëèæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â æî- ðñòêèõ çàäà÷ íà îñíîâ³ àïðîêñèìàö³éíîãî ìåòîäó Â.Ê. Äçÿäèêà. Æóðí. îá÷èñë. òà ïðèêëàä. ìà- òåìàòèêè. 2013. ¹ 2. Ñ. 68–77. 17. Ñòåëÿ Î.Á. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü çà äîïîìî- ãîþ ïàðàáîë³÷íèõ ñïëàéí³â. Æóðí. îá÷èñë. òà ïðèêëàä. ìàòåìàòèêè. 2007. 1(94). Ñ. 91–98. 18. Ñòåëÿ Î.Á. Ìîäåëèðóþùèé êîìïëåêñ äëÿ ðàñ÷åòà ïîòîêà ãðóíòîâûõ âîä â ñëîæíûõ ãèäðîãåî- ëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. Ìàòåìàòè÷åñêàå ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 23, ¹ 4. Ñ. 120–130. 19. Bozhonok E.V. Some existence conditions for the compact extrema of variational functionals of several variables in Sobolev space W2 1. Operator Theory: Advances and Applications. 2009. Vol. 190. P. 141–155. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 20.12.2017 Â.È. Áèëåíêî, Å.Â. Áîæîíîê, Ñ.Þ. Äçÿäûê, Î.Á. Ñòåëÿ ÊÓÑÎ×ÍÎ-ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÛÅ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÀÍÀËÈÇÀ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Â ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíû, òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàíû è ïðîãðàììíî ðåàëèçî- âàíû âûñîêîòî÷íûå ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå àëãîðèòìû àïïðîêñèìàöèè ðå- øåíèé çàäà÷ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ íà îñíîâå ïðèìåíåíèÿ ëèíåéíûõ ïîëè- íîìèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, íåîäíîðîäíûå ñðåäû, íåíàñûùàåìîñòü, íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå, àëãåáðàè÷åñêè-íåëèíåé- íûå óðàâíåíèÿ, îïòèìàëüíûå àëãîðèòìû, îïòèìèçàöèÿ âû÷èñëåíèé, ïàðàáî- ëè÷åñêèå ñïëàéíû ñïåöèàëüíîãî âèäà. V.I. Bilenko, K.V. Bozhonok, S.Yu. Dzyadyk, O.B. Stelya PIECEWISE POLYNOMIAL ALGORITHMS FOR ANALYSIS OF PROCESSES IN INHOMOGENEOUS MEDIUM Abstract. The authors propose, theoretically substantiate, and programmatically implemented high-precision numerical-analytical algorithms for approximation of problems solutions in inhomogeneous media on the basis of linear polynomial operators. Keywords: piecewise polynomial approximation, inhomogeneous medium, unsaturation, best approximation, algebraic-nonlinear equations, optimal algorithms, computational optimization, parabolic splines of special kind. Á³ëåíêî Âàëåíòèí ²âàíîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê, ïðîôåñîð êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî ïåäàãîã³÷íîãî óí³âåðñèòåòó ³ì. Ì.Ï. Äðàãîìàíîâà, Êè¿â, e-mail: v.i.bilenko@npu.edu.ua. Áîæîíîê Êàòåðèíà Âàëåð³¿âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî ïåäàãîã³÷íîãî óí³âåðñèòåòó ³ì. Ì.Ï. Äðàãîìàíîâà, Êè¿â, e-mail: katboz2014@gmail.com. Äçÿäèê Ñâ³òëàíà Þð³¿âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Äåðæàâíîãî óí³âåðñèòåòó òåëåêîìóí³êàö³é, Êè¿â. Ñòåëÿ Îëåã Áîðèñîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê, çàâ³äóâà÷ ëàáîðàòîð³¿ Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, Êè¿â, e-mail: oleg.stelya@gmail.com. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 141

Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах

Репозитарії

Схожі ресурси