Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня
Наведено алгоритм розв'язання бігармонічної задачі для жорстко защемленої пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п'ятого степеня на трикутній сітці вузлів. Проведено обчислювальний експеримент із знаходження розв'язку задачі на квадратній області для різних с...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161453 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня / О.М. Литвин, О.О. Литвин, І.С. Томанова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 105-109. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-161453 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1614532019-12-10T01:26:22Z Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня Литвин, О.М. Литвин, О.О. Томанова, І.С. Системний аналіз Наведено алгоритм розв'язання бігармонічної задачі для жорстко защемленої пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п'ятого степеня на трикутній сітці вузлів. Проведено обчислювальний експеримент із знаходження розв'язку задачі на квадратній області для різних схем розбиття. Приведен алгоритм решения бигармонической задачи для жеско защемленной пластины методом Ритца с использованием явных формул для сплайнов пятой степени на треугольной сетке узлов. Проведен вычислительный эксперимент по нахождению решения задачи на квадратной области для различных схем разбиения. An algorithm is represented to solve biharmonic problems for a closed clamped plate by the Ritz method using explicit formulas for splines of the fifth degree on a triangular grid of nodes. A computational experiment is performed to find the solution of the problem on a square domain for various partition schemes. 2018 Article Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня / О.М. Литвин, О.О. Литвин, І.С. Томанова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 105-109. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161453 519.6 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Литвин, О.М. Литвин, О.О. Томанова, І.С. Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня Кибернетика и системный анализ |
| description |
Наведено алгоритм розв'язання бігармонічної задачі для жорстко защемленої пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п'ятого степеня на трикутній сітці вузлів. Проведено обчислювальний експеримент із знаходження розв'язку задачі на квадратній області для різних схем розбиття. |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.М. Литвин, О.О. Томанова, І.С. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Литвин, О.О. Томанова, І.С. |
| author_sort |
Литвин, О.М. |
| title |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| title_short |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| title_full |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| title_fullStr |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| title_full_unstemmed |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| title_sort |
розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161453 |
| citation_txt |
Розв’язання бігармонічної задачі про згин пластини методом Рітца з використанням явних формул для сплайнів п’ятого степеня / О.М. Литвин, О.О. Литвин, І.С. Томанова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 105-109. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom rozvâzannâbígarmoníčnoízadačíprozginplastinimetodomrítcazvikoristannâmâvnihformuldlâsplajnívpâtogostepenâ AT litvinoo rozvâzannâbígarmoníčnoízadačíprozginplastinimetodomrítcazvikoristannâmâvnihformuldlâsplajnívpâtogostepenâ AT tomanovaís rozvâzannâbígarmoníčnoízadačíprozginplastinimetodomrítcazvikoristannâmâvnihformuldlâsplajnívpâtogostepenâ |
| first_indexed |
2025-07-14T14:01:20Z |
| last_indexed |
2025-07-14T14:01:20Z |
| _version_ |
1837631202771599360 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Î.Ì. ËÈÒÂÈÍ, Î.Î. ËÈÒÂÈÍ, ².Ñ. ÒÎÌÀÍÎÂÀ
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß Á²ÃÀÐÌÎͲ×Íί ÇÀÄÀײ ÏÐÎ ÇÃÈÍ
ÏËÀÑÒÈÍÈ ÌÅÒÎÄÎÌ Ð²ÒÖÀ Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ
ßÂÍÈÕ ÔÎÐÌÓË ÄËß ÑÏËÀÉͲ ϒßÒÎÃÎ ÑÒÅÏÅÍß
Àíîòàö³ÿ. Íàâåäåíî àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ æîðñòêî
çàùåìëåíî¿ ïëàñòèíè ìåòîäîì гòöà ç âèêîðèñòàííÿì ÿâíèõ ôîðìóë äëÿ
ñïëàéí³â ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ íà òðèêóòí³é ñ³òö³ âóçë³â. Ïðîâåäåíî îá÷èñëþâàëü-
íèé åêñïåðèìåíò ³ç çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ íà êâàäðàòí³é îáëàñò³ äëÿ
ð³çíèõ ñõåì ðîçáèòòÿ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñïëàéíè ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ, á³ãàðìîí³÷íà çàäà÷à, ñèñòåìà
гòöà, ïðÿìîêóòíà ïëàñòèíà, æîðñòêî çàùåìëåíà ïëàñòèíà.
Ïåðø³ çì³ñòîâí³ ðîáîòè ùîäî âèêîðèñòàííÿ òðèêóòíèê³â ÿê ñê³í÷åííèõ
åëåìåíò³â áóëè ïðèñâÿ÷åí³ çàñòîñóâàííþ òðèêóòíèê³â ïåðøîãî ïîðÿäêó [1].
Ïîò³ì ç’ÿâèëèñÿ äàí³ ùîäî çàñòîñóâàííÿ òðèêóòíèê³â âèùèõ ïîðÿäê³â [2]: êîì-
ïëåêñíèõ ìîäåëåé Àðã³ð³ñà, Áåëëà, Áîãíåðà–Ôîêñà–Øì³òà, ѳå–Êëàôà–Òî÷åðà.
Ó ðîáîòàõ [3, 4] îòðèìàíî ÿâí³ ôîðìóëè äëÿ ñïëàéí³â ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ, ÿê³
ñïðîùóþòü îá÷èñëåííÿ ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçàííÿ áàãàòüîõ çàäà÷ ïðèêëàäíî¿ ìàòåìà-
òèêè. Íàâåäåíî àëãîðèòì ïîáóäîâè ðîçâ’ÿçêó á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ æîðñòêî
çàùåìëåíî¿ ïðÿìîêóòíî¿ ïëàñòèíè çà äîïîìîãîþ ÿâíèõ ôîðìóë äëÿ ñïëàéí³â
ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ [5]. Ó ðîáîòàõ [6, 7] ðîçãëÿíóòî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ïðî êîëè-
âàííÿ òîíêèõ ïëàñòèí òà îáîëîíîê ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â (ç âèêîðèñ-
òàííÿì òðèêóòíèõ òà ïðÿìîêóòíèõ åëåìåíò³â ³ êóñêîâî-ïîë³íîì³àëüíèõ áà-
çèñ³â 2-, 3- òà 5-ãî ñòåïåí³â), à òàêîæ ðîçâ’ÿçàííÿ ÷àñòêîâî¿ àëãåáðà¿÷íî¿ ïðî-
áëåìè âëàñíèõ çíà÷åíü, ÿêà âèíèêຠâ ðåçóëüòàò³ äèñêðåòèçàö³¿, ìåòîäîì
³òåðàö³é íà ï³äïðîñòîð³.
Ó ö³é ðîáîò³ ðîçãëÿíóòî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó гòöà äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ á³ãàð-
ìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ óìîâ æîðñòêîãî çàùåìëåííÿ ïî âñ³é ìåæ³. Íàâåäåíî ñõåìó
ïîáóäîâè çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó ìåòîäó гòöà ó âèãëÿä³ ñèñòåìè ë³í³éíèõ ð³âíÿíü.
Ïðåäñòàâëåíî àëãîðèòì ïîáóäîâè ëîêàëüíèõ òà ãëîáàëüíèõ ìàòðèöü.
Ïîòð³áíî çíàéòè ðîçâ’ÿçîê á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³
�
�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
4
4
4
2 2
4
4
2
u
x
u
x y
u
y
q
D
, ( , )x y G� , D
const , �u
G�
0 ,
�
�
�
u
G�
0,
äå G — îïóêëèé áàãàòîêóòíèê.
Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ ñêîðèñòàºìîñÿ ìåòîäîì гòöà [8]. ßê íàá³ð
ôóíêö³é { }� k x y( , ) äëÿ ìåòîäó гòöà îáåðåìî íàá³ð ç 21-¿ áàçèñíî¿ ôóíêö³¿,
ÿê³ ìè âèêîðèñòîâóâàëè äëÿ ïîáóäîâè ïîë³íîìà 5-ãî ñòåïåíÿ [5]. Äëÿ çíàõîä-
æåííÿ íåâ³äîìèõ êîíñòàíò c ii , ,
1 21, ï³äñòàâèìî u* çàì³ñòü u ó ôóíêö³îíàë
òà ïðèð³âíÿºìî ïîõ³äíó ïî c ii , ,
1 21, íóëþ. Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ñèñòåìó
ð³âíÿíü
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
2
2
2
2
2
2
2
u
x
u
y x y
qk k
* *
� �
� k
G
dxdy
�
�
�
�
�
�
�
�
��
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 105
© Î.Ì. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, ².Ñ. Òîìàíîâà, 2018
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�c
x y x y
k
k k s s
2
2
2
2
2
2
2
2
� � � �
q dxdys
kG
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��� �
1
21
0 , s
1 21, .
Âðàõîâóþ÷è âëàñòèâîñò³ ³íòåãðàë³â, ìàºìî ë³í³éíó ñèñòåìó ð³âíÿíü â³äíîñíî
çì³ííèõ c ii , ,
1 21,
c
x y x y
k
k k s s
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
2
� � � �
1
21
��� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�dxdy q dxdy
G
s
G
[ ]� , s
1 21, .
Çàì³íèìî îòðèìàíó ñèñòåìó ð³âíÿíü ¿¿ ìàòðè÷íèì âèãëÿäîì
A c b
,
A x y x y x yij i i j j
� �[( ( , ) ( , )) ( ( , )( , ) ( , ) ( , ) (� � � �2 0 0 2 2 0 0, ) ( , ))]2 x y dxdy
G
�� ,
b q x y x y dxdyi i
G
��� [ ( , ) ( , )]� ,
�( , )
( , )
, ,x y
S f x y
c
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
5 1 21 , �
�( , ) ( , )
( , )
, ,2 0
2
2
1 21x y
f x y
x
ii
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
,
�
�( , ) ( , )
( , )
, ,0 2
2
2
1 21x y
f x y
y
ii
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
,
äå S f x y5 ( , ) — ñïëàéí íà â³äïîâ³äíîìó òðèêóòíèêó, îòðèìàíèé çà äîïîìîãîþ
ÿâíèõ ôîðìóë, íàâåäåíèõ ó ïîïåðåäí³õ ðîáîòàõ àâòîð³â [5].
Àëãîðèòì ïîáóäîâè ðîçâ’ÿçêó á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ æîðñòêî çàùåìëåíî¿
ïëàñòèíè º òàêèì.
1. Ðîçáèâàºìî îáëàñòü íà N òðèêóòíèê³â Tk , k N
1, , òà íà êîæíîìó ç íèõ
áóäóºìî ñèñòåìó êóñêîâî-ïîë³íîì³àëüíèõ ñïëàéí³â [5].
2. Áóäóºìî ëîêàëüí³ ìàòðèö³ Ak òà ëîêàëüí³ âåêòîðè bk äëÿ êîæíîãî ç òðè-
êóòíèê³â, k N
1, .
3. Áóäóºìî ìàòðèö³ ïåðåõîäóU k Nk , ,
1 , äëÿ êîæíîãî ç òðèêóòíèê³â âèãëÿäó:
U
c c
c c
ij
i
T
j
i
T
j
k
k
�
�
�
��
1
0
, ,
, .
4. Áóäóºìî ðîçøèðåí³ ëîêàëüí³ ìàòðèö³ âèãëÿäó A U A Uk k k k
*
T òà ëîêàëüí³
âåêòîðè âèãëÿäó b U b Uk k k k
*
T , k N
1, .
5. Áóäóºìî ãëîáàëüíó ìàòðèöþ A Ak
k
N
� *
1
, òà ãëîáàëüíèé âåêòîð b bk
k
N
� *
1
.
6. Çíàõîäèìî íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè, ðîçâ’ÿçàâøè ñèñòåìó ë³í³éíèõ àëãåáðà¿-
÷íèõ ð³âíÿíü, ÿêà â ìàòðè÷í³é ôîðì³ ìຠâèãëÿä
A c b
.
106 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
7. ϳäñòàâëÿºìî îäåðæàí³ çíà÷åííÿ ó ñïëàéíè ³ îòðèìóºìî íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿ-
çîê á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ æîðñòêî çàùåìëåíî¿ ïëàñòèíè íà îáëàñò³ G â³äïîâ³äíî
äî çàäàíîãî ðîçáèòòÿ íà òðèêóòíèêè. Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ äëÿ âñ³º¿ îáëàñò³ G
ìàòèìå âèãëÿä
u x y S x y x y Tk k( , ) ( , ), ( , )
� .
Çàóâàæåííÿ 1. Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ ïîâèííà íàëåæà-
òè êëàñó L2 .
Òåîðåìà 1 (ïðî çá³æí³ñòü ðîçâ’ÿçêó äèñêðåòíî¿ çàäà÷³ äî íåïåðåðâíî¿). ßêùî
òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê u x y( , ) íàëåæèòü êëàñó C G W G6
2
2( ) ( )! , òî ïðîöåñ çíàõîäæåí-
íÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó â åíåðãåòè÷í³é íîðì³ äî òî÷íîãî áóäå çá³ãàòèñÿ, òîáòî
³ñíóþòü òàê³ ñòàë³, äëÿ ÿêèõ âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü
|| || || ||u u M u uh W
� " � �
2
2 ,
äå u — òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³, uh — íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê, çíàéäåíèé çà
äîïîìîãîþ ñïëàéí³â, u� — ³íòåðïîëÿíò ðîçâ’ÿçêó â íîðì³ W
2
2 .
Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç âèçíà÷åííÿì íîðìè Ñîáîëåâà
|| || ( )
( ) ( )
u u u u
u u
x
u u
yW
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� �
2
2
2
2
��
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2
2
( )u u
xG
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
( ) ( )u u
x y
u u
y
d� � xdy
�
�
1 2/
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
( )
( ) ( ) (
u S
u S
x
u S
y
i
i i2
2 2 2 u S
x
i
TT G
ii
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
#
)
2
2
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
( ) ( )u S
x y
u S
y
di i xdy
�
�
1 2/
.
Î÷åâèäíî, ùî
( ) ( )u u dxdy O h
G
h
� $ %$$� %�
2
0
12 .
Àíàëîã³÷íî äëÿ îñòàíí³õ äîäàíê³â
� �
�
�
�
��
�
�
$ %$$� %
( )
( )
u u
x
dxdy O h
G
h
�
2
0
10 ,
� �
�
�
�
��
�
�
$ %$$� %
( )
( )
u u
y
dxdy O h
G
h
�
2
0
10 ,
� �
�
�
�
�
�
�
�
$ %$$� %
2
2
2
0
8( )
( )
u u
x
dxdy O h
G
h
� ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 107
� �
� �
�
�
�
�
�
�
$ %$$� %
2
2
0
8( )
( )
u u
x y
dxdy O h
G
h
� ,
� �
�
�
�
�
�
�
�
$ %$$� %
2
2
2
0
8( )
( )
u u
y
dxdy O h
G
h
� .
Âðàõîâóþ÷è öå, îòðèìóºìî
|| ||u u
W h
� $ %$$
%�
2
2
0
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]O h O h O h O h O h O h dxdy
TT
ii
12 10 10 8 8 8� � � � ��
#G
�
�
�
�
��
�
�
&
1 2/
&
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
#
O h dxdy O h dxdy
TT G Gii
( ) ( )
/
8
1 2
8
&
1 2
4
/
( )O h .
Òàêèé ïåðåõ³ä ìîæëèâèé, áî äëÿ h % 0 íåñê³í÷åííî ìàë³ á³ëüø âèñîêîãî ïî-
ðÿäêó ïðÿìóþòü äî íóëÿ ç á³ëüøîþ øâèäê³ñòþ.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàâäÿêè çàñòîñóâàííþ ÿâíèõ ôîðìóë äëÿ ñïëàéí³â ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ çíà÷íî
çìåíøóþòüñÿ îá÷èñëþâàëüí³ âèòðàòè ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçàííÿ áàãàòüîõ çàäà÷ ïðèêëàä-
íî¿ ìàòåìàòèêè òà ìåõàí³êè. Öþ ðîáîòó ïðèñâÿ÷åíî ðîçðîáëåííþ àëãîðèòìó çíà-
õîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó á³ãàðìîí³÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ æîðñòêî çàùåìëåíî¿ ïëàñòèíè çà äî-
ïîìîãîþ ÿâíèõ ôîðìóë äëÿ ñïëàéí³â ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ ìåòîäîì гòöà. Íàâåäåíî
ôîðìóëè äëÿ ïîáóäîâè ëîêàëüíèõ òà ãëîáàëüíèõ ìàòðèöü гòöà.
Ó ðåçóëüòàò³ çàñòîñóâàííÿ ÿâíèõ ôîðìóë äëÿ áàçèñíèõ ³íòåðïîëÿö³éíèõ
ïîë³íîì³â 5-ãî ñòåïåíÿ àâòîìàòè÷íî çàáåçïå÷óºòüñÿ íåïåðåðâí³ñòü ñàìî¿ ôóíêö³¿
òà ¿¿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ïåðøîãî ïîðÿäêó [5]. Ïðè öüîìó ïîðÿäîê ñèñòåìè
ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü (ÑËÀÐ) áóäå ³ñòîòíî íèæ÷èì, í³æ ó ðàç³ ðîçâ’ÿ-
çàííÿ ñèñòåìè, ÿêà ìຠ21 íåâ³äîìó â êîæíîìó òðèêóòíèêó ³ çàáåçïå÷óº íåïå-
ðåðâí³ñòü ñàìî¿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïåðøèõ ïîõ³äíèõ ïî íîðìàë³ ì³æ òðèêóòíèêàìè. Íà-
ïðèêëàä, äëÿ ðîçáèòòÿ íà ÷îòèðè òðèêóòíèêè çà äîïîìîãîþ çàïðîïîíîâàíîãî ìå-
òîäó ïîðÿäîê ÑËÀÐ áóäå 14, à ó ñòàíäàðòíîìó âèïàäêó — 21 4 84'
. Ó ðàç³
³íøèõ âàð³àíò³â ðîçáèòòÿ ñèòóàö³¿ àíàëîã³÷í³.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Îäåí Ä. Êîíå÷íûå ýëåìåíòû â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä. Ìîñêâà: Ìèð, 1976.
464 ñ.
2. Ñüÿðëå Ô. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷. Ìîñêâà: Ìèð, 1980. 512 ñ.
3. Ñåðãèåíêî È.Â., Ëèòâèí Î.Í., Ëèòâèí Î.Î., Äåíèñîâà Î.È. ßâíûå ôîðìóëû äëÿ èíòåðïîëÿöè-
îííûõ ñïëàéíîâ 5-é ñòåïåíè íà òðåóãîëüíèêå. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014. Ò. 50,
¹ 5. Ñ. 17–33.
4. Zlamal M., Zenesek A., Kolar V., Kratochvil J. Mathematical aspect of the finite element method.
Tech. Phys. and Math. Principles Finite Element Method. 1971. Vol. 1. P.15–39.
5. Ëèòâèí Î.Ì., Òîìàíîâà ².Ñ. Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïðî çãèí ïëàñòèíè ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ åëå-
ìåíò³â ç âèêîðèñòàííÿì ñïëàéí³â ï’ÿòîãî ñòåïåíÿ íà òðèêóòí³é ñ³òö³. Ïðîáëåìû ìàøèíîñòðîå-
íèÿ. 2017. Ò. 20, ¹ 1. Ñ. 52–61.
108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
6. Ìîë÷àíîâ È.Í., Ïîïîâ À.Â., Õèìè÷ À.Í. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ÷àñòè÷íîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé äëÿ áîëüøèõ ïðîôèëüíûõ ìàòðèö. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1992. ¹ 2,
Ñ. 141–147.
7. Ëÿøêî È.È., Ìîë÷àíîâ È.Í., Ïîïîâ À.Â. ×èñëåííîå ðåøåíèå îäíîé çàäà÷è î êîëåáàíèÿõ òîí-
êèõ ïëàñòèí ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñ-
òè è ïëàñòè÷íîñòè: Ìàòåðèàëû IV Âñåñîþçíîé êîíô. 1976. Ñ. 97–104.
8. Ìèõëèí Ñ.Ã., Ñìîëèöêèé Õ.Ë. Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåã-
ðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ìîñêâà: Íàóêà, 1965. 384 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 29.06.2017
Î.Í. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, È.Ñ. Òîìàíîâà
ÐÅØÅÍÈÅ ÁÈÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×È Î ÑÃÈÁÅ ÏËÀÑÒÈÍÛ ÌÅÒÎÄÎÌ ÐÈÒÖÀ
Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ßÂÍÛÕ ÔÎÐÌÓË ÄËß ÑÏËÀÉÍΠÏßÒÎÉ ÑÒÅÏÅÍÈ
Àííîòàöèÿ. Ïðèâåäåí àëãîðèòì ðåøåíèÿ áèãàðìîíè÷åñêîé çàäà÷è äëÿ æåñ-
êî çàùåìëåííîé ïëàñòèíû ìåòîäîì Ðèòöà ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿâíûõ ôîðìóë
äëÿ ñïëàéíîâ ïÿòîé ñòåïåíè íà òðåóãîëüíîé ñåòêå óçëîâ. Ïðîâåäåí âû÷èñ-
ëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ïî íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà êâàäðàòíîé îá-
ëàñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ ñõåì ðàçáèåíèÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïëàéíû ïÿòîé ñòåïåíè, áèãàðìîíè÷åñêàÿ çàäà÷à, ñèñòåìà
Ðèòöà, ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà, æåñòêî çàùåìëåííàÿ ïëàñòèíà.
O.M. Lytvyn, O.O. Lytvyn, I.S. Tomanova
SOLVING THE BIHARMONIC PROBLEM OF A CLOSED CLAMPED PLATE BY THE RITZ
METHOD USING EXPLICIT FORMULAS FOR SPLINE OF THE FIFTH DEGREE
Abstract. An algorithm is represented to solve biharmonic problems for a closed
clamped plate by the Ritz method using explicit formulas for splines of the fifth
degree on a triangular grid of nodes. A computational experiment is performed
to find the solution of the problem on a square domain for various partition
schemes.
Keywords: splines of the fifth degree, biharmonic problem, Ritz system, rectangular
plate, closed clamped plate.
Ëèòâèí Îëåã Ìèêîëàéîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿,
Õàðê³â, e-mail: academ_mail@ukr.net.
Ëèòâèí Îëåã Îëåãîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿, Õàðê³â,
e-mail: Olegolitvin55@gmail.com.
Òîìàíîâà ²ðèíà Ñåð㳿âíà,
àñï³ðàíòêà êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿, Õàðê³â,
e-mail: tomanova.iryna@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 109
|