Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей
Рассмотрена задача стохастичного программирования, в которой оценочная функция аппроксимируется ее эмпирической оценкой на основании наблюдений неоднородного случайного поля с непрерывным временем и сильным перемешиванием. Исследована сильная состоятельность указанной оценки и найдено ее асимптотиче...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161461 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей / Д.А. Гололобов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 189-192. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-161461 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1614612019-12-10T01:26:30Z Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей Гололобов, Д.А. Короткі повідомлення Рассмотрена задача стохастичного программирования, в которой оценочная функция аппроксимируется ее эмпирической оценкой на основании наблюдений неоднородного случайного поля с непрерывным временем и сильным перемешиванием. Исследована сильная состоятельность указанной оценки и найдено ее асимптотическое распределение при условии ограничения на неизвестный параметр в виде систем неравенств. Розглянуто задачу стохастичного програмування, в якій оціночна функція апроксимується її емпіричною оцінкою на основі спостережень неоднорідного випадкового поля з неперервним часом та сильним перемішуванням. Досліджено сильну конзистентність вказаної оцінки та знайдено її асимптотичний розподіл за умови обмежень на невідомий параметр у вигляді системи нерівностей. The author considers a stochastic programming problem where the estimation function is approximated by its empirical estimate for observations of a non-homogeneous random field with continuous time and strong mixing. The strong consistency of this estimate is investigated and its asymptotic distribution is found under the constraint imposed on the unknown parameter in the form of systems of inequalities. 2018 Article Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей / Д.А. Гололобов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 189-192. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161461 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Гололобов, Д.А. Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрена задача стохастичного программирования, в которой оценочная функция аппроксимируется ее эмпирической оценкой на основании наблюдений неоднородного случайного поля с непрерывным временем и сильным перемешиванием. Исследована сильная состоятельность указанной оценки и найдено ее асимптотическое распределение при условии ограничения на неизвестный параметр в виде систем неравенств. |
| format |
Article |
| author |
Гололобов, Д.А. |
| author_facet |
Гололобов, Д.А. |
| author_sort |
Гололобов, Д.А. |
| title |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| title_short |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| title_full |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| title_fullStr |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| title_sort |
асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161461 |
| citation_txt |
Асимптотические свойства метода эмпирических средних для нестационарных случайных полей / Д.А. Гололобов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 189-192. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT gololobovda asimptotičeskiesvojstvametodaémpiričeskihsrednihdlânestacionarnyhslučajnyhpolej |
| first_indexed |
2025-07-14T14:01:58Z |
| last_indexed |
2025-07-14T14:01:58Z |
| _version_ |
1837631242492706816 |
| fulltext |
Ä.À. ÃÎËÎËÎÁÎÂ
ÓÄÊ 519.21 ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÅÒÎÄÀ
ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÐÅÄÍÈÕ ÄËß
ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÎËÅÉ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ñòîõàñòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, â êîòî-
ðîé îöåíî÷íàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ åå ýìïèðè÷åñêîé îöåíêîé íà
îñíîâàíèè íàáëþäåíèé íåîäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ íåïðåðûâíûì âðå-
ìåíåì è ñèëüíûì ïåðåìåøèâàíèåì. Èññëåäîâàíà ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü
óêàçàííîé îöåíêè è íàéäåíî åå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè óñëî-
âèè îãðàíè÷åíèÿ íà íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð â âèäå ñèñòåì íåðàâåíñòâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ, ñëó÷àéíîå ïîëå, âåðîÿò-
íîñòü, ôóíêöèÿ, ìèíèìèçàöèÿ, íåñòàöèîíàðíîå ïîëå, íåïðåðûâíîå âðåìÿ.
Îäíèì èç ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàì-
ìèðîâàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ. Îí îñíîâàí íà çàìåíå ôóíê-
öèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ åå ýìïèðè÷åñêîé îöåíêîé è íà ïîñëåäóþùåì
èññëåäîâàíèè ïîëó÷åííîé òàêèì îáðàçîì ïðèáëèæåííîé äåòåðìèíèðîâàííîé
îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è.  íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñ-
êîé îïòèìèçàöèè íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé ñëó÷àéíûõ ïîëåé ñ íåïðåðûâíûì
âðåìåíåì ïðè óñëîâèè ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ è îãðàíè÷åíèé â âèäå ñèñòåì
íåðàâåíñòâ.
Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.
Ïóñòü � � � � �( ) ( , ) ( , , , , )
� �
�t t t t tm� � 1 2 ,
�
�t t t t Tm
m� � �( , , , )1 2 � , — ñëó-
÷àéíîå ïîëå:
�( ) ( , , ) ( ( ))
�
t P Y Y: ,� � �� ,
ãäå ( , , )� � P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ( ( ))Y Y, � — ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðà-
íñòâî. Ïóñòü òàêæå I — çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî �
l , l � 1, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
I l� � ; f X Y: � �� � � (ãäå X Y, — íåêîòîðûå ìíîæåñòâà) — íåîòðèöàòåëü-
íàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) ôóíêöèÿ f t u z( , , )
� �
,
�
u I� , íåïðåðûâíà äëÿ âñåõ z Y� ;
2) äëÿ âñåõ
�
u I� îòîáðàæåíèå f t u z( , , )
� �
, z Y� , ÿâëÿåòñÿ �( )Y -èçìåðèìûì.
Ïðîàíàëèçèðóåì
{�( ), [ , ], [ , ], , [ , ]; , , ,
�
� �t t T t T t T T T Tm m m1 1 2 2 1 20 0 0� � � 0} .
Çàäà÷à ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
min ( , , ( )) min ( )� �
� � � �
u I u I
f t u F u
� �
�E{ }� 0 . (1)
Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû, èñïîëüçóåìûå
â äàëüíåéøåì.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 189
Ä.À. Ãîëîëîáîâ, 2018
Îïðåäåëåíèå 1 [1]. Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ îäíîðîäíîãî â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àé-
íîãî ïîëÿ �( )
�
t ,
�
t R m� , m � 1, çàäàííîãî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå
( , , )� � P ñî çíà÷åíèÿìè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ( , )X � , ñóùåñòâóåò òàêàÿ
ôóíêöèÿ �( )d , d � 0, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê íóëþ, d �� , ÷òî äëÿ ëþáûõ
ìíîæåñòâ S S1 2, � �
� âûïîëíÿåòñÿ
sup | P P P
A F S
A F S
A A A A d S S
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2
�
�
�
( )
( )
( ) ( ) ( ) | ( ( ,� � )) .
Çäåñü
F S t t S( ) ( ),� �� �{ }
� �
, d S S t t t S t S( , ) | | | | , ,1 2 1 2 1 1 2 2�
� �inf { }
� � � �
,
ãäå | | | |� — åâêëèäîâà íîðìà â �
m . Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíîå ïîëå �( )
�
t
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì �( )d .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1), êîòîðóþ ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñëåäóþùåé çàäà-
÷åé ìèíèìèçàöèè:
min
...
( , , , , ( , , , ))� � �
�
�
u I m
m m
T
T T T
f t t t u t t t
�
1
1 2
1 2 1 2
0
, �
mT
m
T
dt dt dt��� �
0
1 2
0
21
...
�
�
min ( ), , ,� �
�
u I
T T TF u
m1 2
.
Ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèå î ñèëüíîé ñîñòîÿòåëüíîñòè äàííîé ýìïèðè-
÷åñêîé îöåíêè.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ f t t t u t t tm m( , , , ( , , , ))1 2 1 2�
�
�, , � óäîâ-
ëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
1. Äëÿ âñåõ
�
u I� ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ F u( )
�
òàêàÿ, ÷òî
F u F u
T T T T T T
m
m
( ) lim ( )
, , , , , ,
� �
� �
�
��1 2
1 2
E ,
è òî÷êà
�
u I*� òàêàÿ, ÷òî F u F u( ) ( )*� �
� , åñëè
� �
u u*� .
2. Eñëè I îãðàíè÷åíà, òî f t t t u t t tm m( , , , , ( , , , ))1 2 1 2�
�
�, � �� ïðè
| | | |
�
u p �� äëÿ âñåõ ôèêñèðîâàííûõ t t tm1 2, , ,� è �( , , , )t t tm1 2 � .
3. Äëÿ âñåõ � ñóùåñòâóþò � 0 0 è ôóíêöèÿ c( ) ,� � 0 0 ; c( )� � 0, � � 0,
òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ � �s K è � � �: 0 0� � , âûïîëíÿþòñÿ
P lim sup |
|| || , || ||
[ , ]
� � � � �� �
�
T u u u u
T
T
f
p
��
� �
�
�
1
0
� �
( , , ( )) ( , , ( )) | ( )
� � � � � �
t u t f t u t c� � �
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�1.
4. Âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ �( )
�
t :
� �sup P P P
( )
(
A F S
A F S
mA A A A d O d
1 1
2 2
1 2 1 2
�
�
� �
)
( ) ( ) ( ) ( ) (� � �
�
) �
� �
c
d m1
,
ãäå c 0, d �� , � 0 (â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1).
5. Ïóñòü E{ }| | ( ) | |� �
�
t 2� � � äëÿ âñåõ �� � �2m u p; | | | |
�
.
Îáîçíà÷èì
� �
� � �u F u
T T T
u I
T T T
m m1 2 1 2, , , , , , ( )�
�
argmin . Òîãäà
P lim | | | |
, , ,
, , ,
*
T T T
T T T p
m
m
u u
1 2
1 2
0 1
�
�
� �
��
��
�
�
�
�
�
� .
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû, îïèñàííûå â [1–3] äëÿ ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì.
190 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ðàññìîòðèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå èññëåäóåìûõ îöåíîê.
Ïóñòü � � � � �( ) ( , ) ( , , , , ) ,
� �
�
�
t t t t t t tm
m
i� � � � �1 2 , � � � , — ñëó÷àéíîå
ïîëå ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, êîòîðîå èìååò ðàçìåðíîñòü m:
� : ,( , , ) ( ( ))� � �P Y Y� .
Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
J u g u g u g ul
n� � � �{ }
� � � �
�
� �
� : ( ) ( ( ), , ( )) ,1 0 l n, � 1.
Çàäàäèì ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ
F u
T T T
f t t t u t t t
T
m
m m
�
�
� �
�
�( )
...
( , , , , ( , , , ))� 1
1 2
1 2 1 2
0
, �
TT
m
T m
dt dt dt���
0
1 2
0
21
� ,
ãäå f X Y: � �� � � — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Òðàåêòîðèè ïîëÿ �( )
�
t ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè.
Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
Óñëîâèå 1. Ôóíêöèè g ui ( )
�
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû è äëÿ íå-
êîòîðûõ c, � 0 ïðè | | | |
� �
u u
�0 �, � �� 0 , âûïîëíÿåòñÿ
�
�
�
�
� �
�
��
g u
u
ci
k
( )
�
,
�
� �
�
�
�
�
�
��
2g u
u u
ci
j k
( )
�
.
Îáîçíà÷èì N1 ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, äëÿ êîòîðûõ g ui ( )
�
0 0� , è N 2 — ìíî-
æåñòâî èíäåêñîâ, äëÿ êîòîðûõ g ui ( )
�
0 0� .
Óñëîâèå 2. Âåêòîðû
� �
�g ui ( )0 0, i N� 1, ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Óñëîâèå 3. Ôóíêöèè g ui ( )
�
âûïóêëûå.
Óñëîâèå 4. Ñóùåñòâóåò òî÷êà
�
u * òàêàÿ, ÷òî
� � �
g u( )� � 0.
Óñëîâèå 5. Ôóíêöèÿ f t u y( , , )
� �
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî
âòîðîé ïåðåìåííîé è
E max ( , , ( ))
|| ||
�
� � �
u cp
f t u t
�
�
�
�
�
�
�
� �� .
Óñëîâèå 6. Òî÷êà
�
u * — åäèíñòâåííûé ìèíèìóì íà J ôóíêöèè F u( )
�
, ò.å.
F u F u( ) ( )*� �
� ,
� �
u u� * , è
P lim | | ( ) | |�
� � �
T
pu T u
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 1.
Óñëîâèå 7. Ñóùåñòâóåò � 0 0 òàêîå, ÷òî ïðè | | ( ) | |*� � �
u T u p
� � èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî
�
� �
�
�
�
�
�
��
2 f t u y
u u
c
k l
( , , )
� �
.
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîå óòâåðæäåíèå îá àñèìïòîòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè
äàííîé ýìïèðè÷åñêîé îöåíêè.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âåêòîð �f t t t u t t tm m( , , , , ( , , , ))1 2 1 2�
�
�, � óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ ï. 4 òåîðåìû 1, óñëîâèÿì 1–7 è ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) E | | ( , , , , , ( , , , )) | |� � ��
f t t t u t t tm m p1 2 1 2
2
�
�
��
�
, �� 2m;
2) lim ( , , , , ( , ,
...T T T m
m
m T T T
f t t t u t t
1 2
1
1 2
1 2 1 2
��
�E ,
�
� � �
�
� , . . .))t dt dt dtm
TT
m
T m
00
1 2
0
21
���
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� ��
1
1 2
1 2 1 2
00
2
T T T
f t t t u t t t
m
m m
TT m
...
( , , , , ( , , , ))� �
�
�,���
!
"
#
#
$
%
&
&
�dt dt dtm
T
1 2
0
2
1
... � ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 191
ãäå � 2 — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà âåêòîð � �
T
�
�
T T T u um T T Tm1 2 1 2
... ( ), ,...,
*� �
ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîìó âåêòîðó, êîòîðûé
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ:
1
2
( ) ( ) min*� � � � �
u u u uT ' � �� , ( ( ))*
� � �
�g u uT 0, i N� 1,
ãäå
�
� — ãàóññîâ âåêòîð ñ ïàðàìåòðàìè ( , )0 2� .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå, ïðèâåäåííîé â [4, ãë. 3].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå îöåíîê ìåòîäà
ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ â óñëîâèÿõ ñèëüíî-
ãî ïåðåìåøèâàíèÿ. Äîêàçàíà ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè è íàé-
äåíî åå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è
êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëü-
çîâàíû ïðè ÷èñëåííîì íàõîæäåíèè è èññëåäîâàíèè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ìå-
òîäà ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Knopov P.S., Kasitskaya E.J. Empirical estimates in stochastic optimization and identification. Dordrecht;
Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2005. 250 p.
2. Knopov P.S. Asymptotic properties of some classes of M-estimates. Cybernetics and Systems Analysis.
1997. N 4. P. 468–481.
3. Åðìîëüåâ Þ.Ì. Ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ â çàäà÷àõ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Êèáåð-
íåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2006. ¹ 6. Ñ. 3–18.
4. Knopov P.S., Korkhin A.S. Regression analysis under a priori parameter restrictions. New York; Dordrecht;
Heidelberg; London: Springer Science+Business Media, 2012. 234 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 16.02.2018
Ä.Î. Ãîëîëîáîâ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×Ͳ ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÌÅÒÎÄÓ ÅÌϲÐÈ×ÍÈÕ ÑÅÐÅÄÍ²Õ ÄËß ÍÅÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ
ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÕ ÏÎ˲Â
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ñòîõàñòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ, â ÿê³é îö³íî÷íà
ôóíêö³ÿ àïðîêñèìóºòüñÿ ¿¿ åìï³ðè÷íîþ îö³íêîþ íà îñíîâ³ ñïîñòåðåæåíü íå-
îäíîð³äíîãî âèïàäêîâîãî ïîëÿ ç íåïåðåðâíèì ÷àñîì òà ñèëüíèì ïåðåì³øó-
âàííÿì. Äîñë³äæåíî ñèëüíó êîíçèñòåíòí³ñòü âêàçàíî¿ îö³íêè òà çíàéäåíî ¿¿
àñèìïòîòè÷íèé ðîçïîä³ë çà óìîâè îáìåæåíü íà íåâ³äîìèé ïàðàìåòð ó âèãëÿä³
ñèñòåìè íåð³âíîñòåé.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìåòîä åìï³ðè÷íèõ ñåðåäí³õ, âèïàäêîâå ïîëå, éìîâ³ðí³ñòü,
ôóíêö³ÿ, ì³í³ì³çàö³ÿ, íåñòàö³îíàðíå ïîëå, íåïåðåðâíèé ÷àñ.
D.A. Gololobov
ASYMPTOTIC PROPERTIES OF THE METHOD OF EMPIRICAL ESTIMATE
FOR NON-STATIONARY RANDOM FIELDS
Abstract. The author considers a stochastic programming problem where the
estimation function is approximated by its empirical estimate for observations of
a non-homogeneous random field with continuous time and strong mixing.
The strong consistency of this estimate is investigated and its asymptotic
distribution is found under the constraint imposed on the unknown parameter
in the form of systems of inequalities.
Keywords: method of empirical estimate, random field, probability, function,
minimization, non-stationary field, continuous time.
Ãîëîëîáîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà òåëåêîììóíèêàöèé, Êèåâ,
e-mail: dut.gololobov.dma@meta.ua.
192 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
|