Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями
A system of differential equations of equilibrium of non-thin transversely isotropic plates with a similar field of initial strains is built. The general solution of the present system is found, and, on its base, the problem of a strained state of the plate weakened by a round cylindrical cavity has...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1616 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями / І.Ю. Хома, О.А. Кондратенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 71-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1616 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-16162008-09-01T12:00:19Z Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями Кондратенко, О.А. Хома, І.Ю. Механіка A system of differential equations of equilibrium of non-thin transversely isotropic plates with a similar field of initial strains is built. The general solution of the present system is found, and, on its base, the problem of a strained state of the plate weakened by a round cylindrical cavity has been considered. 2007 Article Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями / І.Ю. Хома, О.А. Кондратенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 71-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1616 539.3 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Кондратенко, О.А. Хома, І.Ю. Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| description |
A system of differential equations of equilibrium of non-thin transversely isotropic plates with a similar field of initial strains is built. The general solution of the present system is found, and, on its base, the problem of a strained state of the plate weakened by a round cylindrical cavity has been considered. |
| format |
Article |
| author |
Кондратенко, О.А. Хома, І.Ю. |
| author_facet |
Кондратенко, О.А. Хома, І.Ю. |
| author_sort |
Кондратенко, О.А. |
| title |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| title_short |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| title_full |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| title_fullStr |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| title_full_unstemmed |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| title_sort |
деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1616 |
| citation_txt |
Деякі співвідношення узагальненої теорії нетонких пластин з початковими напруженнями / І.Ю. Хома, О.А. Кондратенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 71-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT kondratenkooa deâkíspívvídnošennâuzagalʹnenoíteoríínetonkihplastinzpočatkoviminapružennâmi AT homaíû deâkíspívvídnošennâuzagalʹnenoíteoríínetonkihplastinzpočatkoviminapružennâmi |
| first_indexed |
2025-07-02T05:01:00Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:01:00Z |
| _version_ |
1836510044585197568 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2007
I.Ю. Хома, О.А. Кондратенко
Деякi спiввiдношення узагальненої теорiї нетонких
пластин з початковими напруженнями
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
A system of differential equations of equilibrium of non-thin transversely isotropic plates with
a similar field of initial strains is built. The general solution of the present system is found,
and, on its base, the problem of a strained state of the plate weakened by a round cylindrical
cavity has been сonsidered.
Проблемi дослiдження пружних тiл з початковими напруженнями придiляється достатньо
уваги [1–3]. Напружено-деформований стан нетонких ортотропних оболонок вивчався в [4].
В роботах [5, 6] викладено метод побудови рiвнянь рiвноваги нетонких анiзотропних обо-
лонок з початковими напруженнями. Редукцiя тривимiрної задачi теорiї пружностi до дво-
вимiрної здiйснюється за допомогою методу розкладу функцiй компонент напружень σij
i перемiщень uj в скiнченний ряд Фур’є за полiномами Лежандра Pk(ς) координати тов-
щини [7]
{σij(x1, x2, x3), uj(x1, x2, x3)} =
N∑
k=0
{h−1σ
(k)
ij (x), u
(k)
j (x)}Pk(ς), (1)
де ς = h−1x3, x = (x1, x2) — точка серединної поверхнi S; h — половина товщини оболон-
ки. Вiдносно коефiцiєнтiв розкладу σ
(k)
ij (x1, x2), u
(k)
j (x1, x2) як функцiй двох незалежних
змiнних виводиться система диференцiальних рiвнянь i вiдповiднi граничнi умови.
Нижче розглядається система рiвнянь рiвноваги трансверсально-iзотропних пластин
з однорiдним полем початкових напружень p
(0)
ij . При цьому вважається, що p
(0)
ij = const
при i = j, p
(0)
ij = 0 при i 6= j. Рiвняння рiвноваги пластини (в припущеннi, що граничнi
площини x3 ± h вiльнi вiд зовнiшнiх зусиль) мають вигляд
∂ασ
(k)
αj − h−1σ
(k)
3j = 0 (j = 1, 2, 3; k = 0, 1, . . . , N), (2)
де ∂α = ∂/∂xα; σ
(k)
3j = (2k + 1)(σ
(k−1)
3j + σ
(k−3)
3j + · · · ), причому σ
(−k)
3j = 0, якщо k > 0;
N — довiльне натуральне число, яке надалi вважатиметься парним, тобто N = 2n (n =
= 1, 2, . . . , < ∞). Спiввiдношення мiж функцiями напружень σ
(k)
ij i деформацiй ε
(k)
ij для
трансверсально-iзотропного тiла визначаються формулами
σ
(k)
11 = h[(c11 + p
(0)
11 )ε
(k)
11 + c12ε
(k)
22 + c13h
−1u
(k)
3 ]; σ
(k)
12 = h[(c66 + p
(0)
11 )ε
(k)
12 + c66ε
(k)
21 ];
σ
(k)
22 = h[c12ε
(k)
11 + (c11 + p
(0)
22 )ε
(k)
22 + c13h
−1u
(k)
3 ]; σ
(k)
21 = h[c66ε
(k)
12 + (c66 + p
(0)
22 )ε
(k)
21 ];
σ
(k)
33 = h[c13(ε
(k)
11 + ε
(k)
22 ) + (c33 + p
(0)
33 )h−1u
(k)
3 ]; σ
(k)
31 = h[c44ε
(k)
13 + (c44 + p
(0)
33 )u
(k)
1 ];
σ
(k)
13 = h[(c44 + p
(0)
11 )ε
(k)
13 + c44h
−1u
(k)
1 ]; σ
(k)
32 = h[c44ε
(k)
23 + (c44 + p
(0)
33 )u
(k)
2 ];
σ
(k)
23 = h[(c44 + p
(0)
22 )ε
(k)
23 + c44h
−1u
(k)
2 ] (k = 0, 1, . . . , N).
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 71
Тут c11, c12, . . . , c66 — пружнi сталi матерiалу;
ε
(k)
αj = ∂αu
(k)
j ; ε3j = u
(k)
j = (2k + 1)(u
(k+1)
j + u
(k+3)
j + · · · ) (α = 1, 2; j = 1, 2, 3),
u
(k)
j = 0, якщо k > N .
Наявнiсть початкових напружень p
(0)
ij у визначальних рiвняннях (3) приводить до не-
симетричностi дотичних напружень σ
(k)
ij . У цьому випадку рiвняння рiвноваги (2) в комп-
лекснiй формi записуються таким чином:
∂z[σ
(k)
11 − σ
(k)
22 + i(σ
(k)
12 + σ
(k)
21 )] + ∂z[σ
(k)
11 + σ
(k)
22 + i(σ
(k)
12 − σ
(k)
21 )] − h−1σ
(k)
3+ = 0;
∂zσ
(k)
+ + ∂zσ
(k)
+ − h−1σ
(k)
33 = 0 (k = 0, 1, . . . , N),
(4)
де
2∂z =
∂
∂x1
−i
∂
∂x2
; 2∂z =
∂
∂x1
+i
∂
∂x2
; z= x1 + ix2; z= x1−ix2; σ
(k)
+ = σ
(k)
13 +iσ
(k)
23 .
Припустимо, що p
(0)
11 = p
(0)
22 , тодi рiвняння стану (3) можна зобразити формулами
σ
(k)
11 + σ
(k)
22 = 2h[(c12+ dc66)e
(k)+ c13h
−1u
(k)
3 ]; σ
(k)
33 = h[c13e
(k)+ (c33+ p
(0)
33 )h−1u
(k)
3 ];
σ
(k)
11 + σ
(k)
22 + i(σ
(k)
12 − σ
(k)
21 ) = 2h[(c12 + c66)e
(k) + p
(0)
11 ∂zu
(k)
+ + c13h
−1u
(k)
3 ];
σ
(k)
11 − σ
(k)
22 + i(σ
(k)
12 + σ
(k)
21 ) = 4dhc66∂zu
(k)
+ ; σ
(k)
12 − σ
(k)
21 = 2hp
(0)
11 Im(∂zu
(k)
+ );
σ
(k)
+ = h[2(c44 + p
(0)
11 )∂zu
(k)
3 + c44h
−1u
(k)
+ ]; σ
(k)
12 + σ
(k)
21 = 4dhc66 Im(∂zu
(k)
+ );
σ
(k)
3+ = h[2c44∂zu
(k)
3 + (c44 + p
(0)
33 )h−1u
(k)
+ ] (k = 0, 1, . . . , N),
(5)
де u
(k)
+ = u
(k)
1 + iu
(k)
2 ; d = 1 + p
(0)
11 /2c66; e
(k) = ∂zu
(k)
+ + ∂zu
(k)
+ .
Якщо внести значення моментiв (5) у рiвняння рiвноваги (4), то отримаємо систему
диференцiальних рiвнянь вiдносно невiдомих функцiй u
(k)
j . За структурою вона розпада-
ється на двi групи рiвнянь, що описують вiдповiдно симетричне i кососиметричне (вiднос-
но серединної площини S) деформування пластини. Так, при симетричному деформуваннi
пластини система рiвнянь має вигляд
c∗66∆u
(2k)
+ + 2(c12 + c66)∂ze
(2k) + (4k + 1)h−1
[
−2c44
k∑
s=1
∂zu
(2s−1)
3 +
+ 2c13
n∑
s=k+1
∂zu
(2s−1)
3 − c̃44h
−1
n∑
s=1
β
(k)
2s u
(2s)
+
]
= 0 (k = 1, 2, . . . , n);
c∗44∆u
(2k−1)
3 + (4k−1)h−1
[
−c13
k−1∑
s=0
e(2s)+ c44
h∑
s=k
e(2s)− c̃33h
−1
n∑
s=1
α
(k)
2s−1u
(2s−1)
3
]
= 0.
(6)
Тут ∆ = 4∂z∂z — оператор Лапласа;
c∗66 = c66(1 + d1); c∗44 = c44(1 + d2); c̃33 = c33(1 + d3); c̃44 = c44(1 + d4);
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
d1 =
p
(0)
11
c66
; d2 =
p
(0)
11
c44
; d3 =
p
(0)
33
c33
; d4 =
p
(0)
33
c44
;
α
(k)
2s−1 =
{
s(2s− 1), 1 6 s 6 k;
k(2k − 1), k 6 s 6 n;
β
(k)
2s =
{
s(2s+ 1), 1 6 s 6 k;
k(2k + 1), k 6 s 6 n.
Розв’язок рiвнянь (6) визначається таким же способом, як i в [8]:
c66u
(0)
+ = æ∗ϕ(z) − zϕ′(z) − ψ(z) + h
2n∑
m=1
a(0)
m ∂zVm;
c66u
(2k)
+ = λ
(2k)
∗ h2ϕ′′(z) + h
2n∑
m=1
a(2k)
m ∂zVm + ih
n∑
s=1
b(2k)
s ∂zws (k = 1, 2, . . . , n);
c66u
(1)
3 = −æ∗
1h[ϕ
′(z) + ϕ′(z)] +
2n∑
m=1
c(1)m Vm;
c66u
(2k−1)
3 =
2n∑
m=1
c(2k−1)
m Vm (k = 2, 3, . . . , n),
(7)
де ϕ(z), ψ(z) — довiльнi аналiтичнi функцiї; Vm i ws — функцiї, що визначаються з рiвностей
∆Vm − kmh
−2Vm = 0; ∆ws − tsh
−2ws = 0, (8)
в яких параметрами km i ts є коренi вiдповiдних характеристичних рiвнянь [8]. Враховую-
чи розв’язок (7), спiввiдношення (5) для симетричного деформування пластини набудуть
вигляду
σ
(0)
11 − σ
(0)
22 + i(σ
(0)
12 + σ
(0)
21 ) = 4dh
[
−zϕ′′(z) − ψ′(z) + h
2n∑
m=1
a(0)
m ∂2
zVm
]
;
σ
(0)
11 + σ
(0)
22 = 4hæ0[ϕ
′(z) + ϕ′(z)] + 2
2n∑
m=1
d(0)
m Vm;
σ
(0)
33 =
2n∑
m=1
d̃(0)
m Vm; σ
(0)
12 − σ
(0)
21 = −id1h(æ + 1)[ϕ′(z) − ϕ′(z)];
σ
(2k)
11 + σ
(2k)
22 = 2
2n∑
m=1
d(2k)
m Vm; σ
(2k)
12 − σ
(2k)
21 = 0,5d1
n∑
s=1
b(2k)
s tsws (k = 1, 2, . . . , n);
σ
(1)
+ = æ11h
2ϕ′′(z) + 2h
2n∑
m=1
p(1)
m ∂zVm + 2ih
n∑
s=1
q(1)s ∂zws;
σ
(2k−1)
+ = 2h
2n∑
m=1
p(2k−1)
m ∂zVm + 2ih
n∑
s=1
q(2k−1)
s ∂zws (k = 2, 3, . . . , n);
σ
(2k−1)
3+ = 2h
2n∑
m=1
p
(2k−1)
3m ∂zVm + 2ih
n∑
s=1
q
(2k−1)
3s ∂zws (k = 1, 2, . . . , n).
(9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 73
Розглянемо в областi S полярну систему координат r, ϑ i скористаємося формулами
переходу вiд однiєї системи координат до iншої. Тодi матимемо спiввiдношення
σ(2k)
rr + σ
(2k)
ϑϑ = σ
(2k)
11 + σ
(2k)
22 ; σ
(2k)
rϑ − σ
(2k)
ϑr = σ
(2k)
12 − σ
(2k)
21 ;
σ(2k)
rr + σ
(2k)
ϑϑ + i(σ
(2k)
rϑ − σ
(2k)
ϑr ) = σ
(2k)
11 + σ
(2k)
22 + i(σ
(2k)
12 − σ
(2k)
21 );
σ(2k)
rr − σ
(2k)
ϑϑ + i(σ
(2k)
rϑ + σ
(2k)
ϑr ) = e−2iϑ[σ
(2k)
11 − σ
(2k)
22 + i(σ
(2k)
12 + σ
(2k)
21 )];
σ
(2k−1)
r3 + iσ
(2k−1)
ϑ3 = e−iϑσ
(2k−1)
+ ; σ
(2k−1)
3r + iσ
(2k−1)
3ϑ = e−iϑσ
(2k−1)
3+ ;
u(2k)
r + iu
(2k)
ϑ = e−iϑu
(2k)
+ .
(10)
Функцiї σ
(2k)
33 , u
(2k−1)
3 залишаються, очевидно, незмiнними. На основi наведених формул
розглянемо задачу про напружений стан пластини, послабленої круговою цилiндричною
порожниною. На площинi S це буде область з круговим отвором радiусом R. Припустимо,
що поверхня порожнини вiльна вiд напружень i не деформується вздовж твiрної. Сформу-
льованi крайовi умови на контурi кругового отвору матимуть вигляд
∣∣σ(2k)
rr (r, ϑ) + iσ
(2k)
rϑ (r, ϑ)
∣∣
r=R
= 0 (k = 0, 1, . . . , n);
u
(2k−1)
3 (r, ϑ)
∣∣
r=R
= 0 (k = 1, 2, . . . , n).
(11)
На нескiнченностi пластина знаходиться пiд дiєю постiйних розтягуючих σ∞11 = 2p1,
σ∞22 = 2p2 i зсувних σ∞12 = 2τ зусиль (p1, p2, τ = const).
Зобразимо аналiтичнi функцiї Φ(z) = ϕ′(z), Ψ(z) = ψ′(z) у виглядi рядiв
Φ(z) =
∞∑
n=0
anz
−n; Ψ(z) =
∞∑
n=0
bnz
−n, (12)
де an, bn (n > 0) — довiльнi постiйнi; константи a0 i b0 визначаються (згiдно з формулами (9)
значеннями моментiв компонент напружень на нескiнченностi. Вигляд функцiй Vm i ws
залежить вiд значень коренiв характеристичних рiвнянь. Так, якщо k1 — дiйсний додатний
корень, а k2 i k3 — комплексно-спряженi, то
V1 =
∞∑
n=−∞
BnKn(x1ρ)e
inϑ; V2 =
∞∑
n=−∞
CnH
(1)
n (x2ρ)e
inϑ;
V3 =
∞∑
n=−∞
DnH
(2)
n (x3ρ)e
inϑ;
(13)
де Bn, Cn, Dn — довiльнi постiйнi; Kn(x1ρ), H
(1)
n (x2ρ) i H(2)
n (x3ρ) — цилiндричнi функцiї
Макдональда, Ханкеля першого i другого роду: ρ = r/R; x1 = Rh−1
√
k1; x2 = Rh−1
√
−k2;
x3 = x2. Аналогiчне зображення має мiсце i для функцiї ws. Тут використанi цилiндричнi
функцiї, якi затухають на нескiнченностi.
Якщо внести значення функцiй (12), (13) у формули (7), (9), (10) i врахувати граничнi
умови (11), одержимо систему алгебраїчних рiвнянь для визначення довiльних постiйних.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Таблиця 1. Залежнiсть поперечних напружень вiд змiни параметра λ3
λ −0,08 −0,06 −0,04 0 0,04 0,06 0,08
σ33/2p 0,622 0,625 0,628 0,633 0,637 0,639 0,640
σr3/2p 0,329 0,395 0,453 0,549 0,622 0,654 0,680
σ3r/2p 0,581 0,572 0,564 0,549 0,534 0,527 0,520
Таблиця 2. Змiна поперечних напружень по товщинi пластини
ς 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,95 1,0
σ33/2p 0,464 0,470 0,470 0,461 0,436 0,217 0,004
σr3/2p 0 0,079 0,117 0,146 0,223 0,231 0,175
σ3r/2p 0 0,073 0,099 0,107 0,154 0,114 0,030
Для прикладу розглянемо випадок, коли пластина знаходиться в полi всесторонного
розтягу, тобто коли p1 = p2 = p, τ = 0. При числових розрахунках брали до уваги значення
технiчних постiйних матерiалу, згiдно з якими параметри dj (j = 1, 2, 3, 4) визначаються
формулами
d1 = 2λ1(1 + ν); d2 =
λ1E
G′
; d3 = λ3(1 − 2ν ′2)(1 + ν)−1; d4 =
λ3E
G′
.
Тут λ1 = p
(0)
11 /E; λ3 = p
(0)
33 /E; E, E′ — модулi пружностi в площинi iзотропiї i нормальнiй
до неї площинi, ν, ν ′ — коефiцiєнти Пуассона; G′ — поперечний модуль зсуву; e = E/E′.
В табл. 1 наведенi значення поперечних напружень σ33, σr3, σ3r на поверхнi порожнини
ρ = 1 в точцi ς = 1 (при ν = ν ′ = 0,25; E/G′ = 2,5; e = 1,25; λ1 = 0) залежно вiд
змiни параметра λ3, що характеризує змiну початкових напружень p
(0)
33 . Табл. 2 iлюструє
змiну цих же напружень по товщинi пластини на цилiндричнiй поверхнi ρ = 1,04. Наведенi
числовi данi характеризують швидкiсть затухання поперечних напружень при вiддаленнi
вiд поверхнi порожнини. Iз наведених таблиць видно, що початковi напруження впливають
на напружений стан пластини i їх потрiбно враховувати при аналiзi концентрацiї напружень
бiля отворiв.
1. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Київ: Наук. думка,
1991. – 288 с. (Неклассические проблемы механики разрушения: в 4-х т: Т. 2.).
2. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницький В. Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными
напряжениями. – Київ: Вища шк., 1995. – 304 с.
3. Babich S.Yu., Guz A.N., Rudnitskii V.B. Contact problems for prestressed elastic bodies and rigid and
elastic punches // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, № 7. – P. 744–765.
4. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S. N. Influence of variable thickness on displacements and stresses in
nonthin cylindrical orthotropic shells with elliptic cross-section // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, № 8. –
P. 900–907.
5. Хома I.Ю. Про рiвняння математичної теорiї оболонок з початковими напруженнями. // Сучаснi
проблеми математики. Матер. Мiжнар. наукової конф. – Чернiвцi–Київ. – 1998. – С. 176–180.
6. Хома И.Ю., Хома Ю.И. К теории нетонких оболочек с начальными напряжениями и деформация-
ми // Теорет. и прикл. механика. – 2004. – Вып. 39. – С. 134–140.
7. Khoma I.Yu. Thermopiezoelectric equations for nonthin ceramic shells // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41,
№ 2. – P. 118–128.
8. Khoma I.Yu. Representation of the solution of the equilibrium equations for non-thin transversely isotropic
plates // J. Mathem. Sci. – 2000. – 101, № 6. – P. 3577–3584.
Надiйшло до редакцiї 29.06.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 75
|