Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры
В данной статье рассматриваются задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам области определения переменной интегрирования. Алгоритм метода представляет собой итерационный процес...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162149 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры / А.А. Дячук, Н.Л. Костьян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 49-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-162149 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1621492020-01-04T01:25:31Z Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры Дячук, А.А. Костьян, Н.Л. В данной статье рассматриваются задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам области определения переменной интегрирования. Алгоритм метода представляет собой итерационный процесс. Задача сводится к решению систем в общем случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов соответствующих полиномов. На каждом шаге итерации определяется аналитическое выражение для очередного полинома, что позволяет найти решение в любой точке заданного интервала. In this article tasks of solving Volterra integral equations of 1 and 2 kinds were considered. An approximate solution is defined as a piecewisesmooth polynomial composed of polynomials over sections of the domain of definition of the variable of integration. The algorithm of the method is an iterative process. The problem is reduced to solving systems in the general case of non-linear equations with respect to the coefficients of the corresponding polynomials. At each step of the iteration, an analytic expression for the next polynomial is determined, which allows finding a solution at any point of the given interval. 2018 Article Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры / А.А. Дячук, Н.Л. Костьян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 49-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 2308-5916 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162149 519.64 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данной статье рассматриваются задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам области определения переменной интегрирования. Алгоритм метода представляет собой итерационный процесс. Задача сводится к решению систем в общем случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов соответствующих полиномов. На каждом шаге итерации определяется аналитическое выражение для очередного полинома, что позволяет найти решение в любой точке заданного интервала. |
| format |
Article |
| author |
Дячук, А.А. Костьян, Н.Л. |
| spellingShingle |
Дячук, А.А. Костьян, Н.Л. Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| author_facet |
Дячук, А.А. Костьян, Н.Л. |
| author_sort |
Дячук, А.А. |
| title |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_short |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_full |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_fullStr |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_full_unstemmed |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_sort |
коллокационные алгоритмы решения уравнений вольтерры |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162149 |
| citation_txt |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры / А.А. Дячук, Н.Л. Костьян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 49-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| work_keys_str_mv |
AT dâčukaa kollokacionnyealgoritmyrešeniâuravnenijvolʹterry AT kostʹânnl kollokacionnyealgoritmyrešeniâuravnenijvolʹterry |
| first_indexed |
2025-07-14T14:42:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T14:42:12Z |
| _version_ |
1837633773831716864 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 17
49
the three reference nodes, based on these corners and at the positions of the ref-
erence nodes (which form the triangle), calculates its own position using simple
trigonometric relationships.
Key words: wireless sensor network, node, anchor, error, localization,
zigbee.
Отримано: 16.07.2018
УДК 519.64
А. А. Дячук*, канд. техн. наук,
Н. Л. Костьян**, канд. техн. наук
* НУ «Институт экономики и прогнозирования НАН Украины», г. Киев,
**Черкасский государственный технологический университет,
г. Черкассы
КОЛЛОКАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ
Несмотря на широкое использование метода коллокации для
решения интегральных уравнений с постоянными пределами
интегрирования, до сих пор мало внимания уделялось реализа-
ции данного метода применительно к интегральным уравнени-
ям с переменными пределами. В данной статье рассматривают-
ся задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и
2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-
гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам
области определения переменной интегрирования. Алгоритм
метода представляет собой итерационный процесс. Задача сво-
дится к решению систем в общем случае нелинейных уравнений
относительно коэффициентов соответствующих полиномов. На
каждом шаге итерации определяется аналитическое выражение
для очередного полинома, что позволяет найти решение в лю-
бой точке заданного интервала. Особенностью коллокационного
алгоритма для уравнений Вольтерры 2 рода является замена
квадратурными формулами интегралов, которые входят в си-
стему уравнений относительно приближенных значений коэф-
фициентов. Выбор коэффициентов квадратурных формул зави-
сит от принятого количества узлов на участке. В работе рас-
смотрен частный случай системы для трех узлов. При этом была
произведена замена подынтегрального выражения решаемого
уравнения интерполяционным многочленом в форме Ньютона.
Результаты решения тестовых примеров подтверждают работо-
способность предложенных алгоритмов и свидетельствуют о
высокой точности расчетов. Метод коллокации позволяет полу-
чать решения уравнений Вольтерры по участкам промежутка
интегрирования, выбирая их длину и применяя на каждом из
них аппроксимирующее выражение с небольшим числом коор-
© А. А. Дячук, Н. Л. Костьян, 2018
Математичне та комп’ютерне моделювання
50
динатных функций. Данный метод может быть использован при
идентификации динамических объектов и систем, а также при
решении задач восстановления входных сигналов.
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерры,
метод коллокации, квадратурные формулы.
Введение. При решении многих проблем физики и техники воз-
никает необходимость в решении обратных задач динамики на осно-
ве применения моделей в форме интегральных уравнений Вольтерры.
Для решения данного класса уравнений применяются аналитические,
операционные, квадратурные, итерационные и другие методы [1, 2].
Прямое применение аналитических и итерационных методов реше-
ния интегральных уравнений может быть связано с определенными
трудностями при создании высокопроизводительных алгоритмов и
структур специализированных средств вычислительной техники,
предназначенных для реализации интегральных моделей динамиче-
ских систем. Особенности задачи решения уравнений Вольтерры
1 рода приводят к существенным ограничениям возможностей непо-
средственного применения метода квадратур. На практике трудно
воспользоваться квадратурными формулами, более точными, чем
формула трапеций. В связи с этим в случае необходимости возможен
выбор какого-либо другого метода. Перспективными в этом отноше-
нии являются алгоритмы, основанные на идее метода коллокации [3],
Хорошо известно применение метода коллокации для решения инте-
гральных уравнений с постоянными пределами интегрирования [4–8].
В этом случае эффективность метода может оказаться невысокой из-
за того, что промежуток интегрирования фиксирован. Если он оказы-
вается большим, то повышение точности результатов достигается
только за счет увеличения количества координатных (базисных)
функций, совокупность которых аппроксимирует искомое решение.
В случае уравнений типа Вольтерры имеется возможность полу-
чать решение по участкам, выбирая их длину и применяя на каждом
из них аппроксимирующее выражение с небольшим числом коорди-
натных функций. Целью работы является рассмотрение метода кол-
локации применительно к уравнениям типа Вольтерры.
Изложение основного материала. Решение уравнения Вольтер-
ры 1-го рода. Рассмотрим уравнение Вольтерры 1 рода в общем виде
[ , , ( )] ( ), [ , ].
x
a
K x s y s ds f x x a b (1)
Метод коллокации, применительно к решению уравнения (1),
состоит в следующем. Промежуток [a, b] разбивается на N участков,
на каждом из которых искомое решение представляется и виде функ-
ции определенного вида
Серія: Технічні науки. Випуск 17
51
1 2( ) ( , , , , )my x x c c c (2)
зависящей от свободных параметров , 1,ic i m .
Решаемое уравнение на каждом (k + 1)-м участке 1,k kx x x
1, 1k N представляется в виде
1[ , , ( )] ( ) ( ), [ , ]
k
x
k k k
x
K x s y s ds f x x x x x , (3)
где функция ( )k x представляет собой интеграл
1( ) [ , , ( )] , [ , ], [ , ]
k
x
k k k k
a
x K x s y s ds s a x x x x , (4)
который всегда может быть вычислен по известному на промежутке
ka x x приближенному решению ( )y x , полученному предвари-
тельно для k – 1 предшествующих участков. Начальное значение y(a)
искомого решения находится каким-либо вспомогательным способом
или считается заданным.
Для решения уравнения (3) используется представление (2) а
свободные параметры , 1,ic i m определяются из условия обраще-
ния в нуль невязок
,
, , 1 2 ,( , ) [ , , ( , , , , ) ( )
k j
k
x
i k j k j m k j k
x
c x K x s s c c c f x , (5)
где xk,j (j = 1, 2, … , m) — узлы, соответствующие разбиению отрезка
[xk, xk + 1] на m частей (подотрезков). Выражение (5) представляет со-
бой систему m уравнений относительно c1, c2, c3, … , cm.
Исходя из удобств вычислений, искомое решение на участке це-
лесообразно представлять в виде многочлена вида
1
( ) ( ),
m
i i
i
y x c x
(6)
где i x — линейно независимые координатные фикции.
Рассмотрим вариант метода коллокации, основанный на применении
кусочно-гладких полиномов, применительно к решению уравнения (1).
В промежутке интегрирования [a, b] выделим узлы
, ( ) , 0, , 0, 1k jx a km j h j m k N ,
где индекс k соответствует k + 1-му участку (отрезку 1k kx x x ) а
индекс j — подотрезку , , 1k j k jx x x внутри участка; 1m — ко-
личество подотрезков; при этом , 1,0 0,0;k m kx x x a .
Математичне та комп’ютерне моделювання
52
Решение будем искать в виде кусочно-гладкого полинома
( ) ( )y x P x составленного по участкам из полиномов вида
,
,0 ,0
1
( ) ( ) ( ) , 0, 1
!
m
k j j
k k k k
j
c
P x P x x x k N
j
. (7)
Полагая ( ) [ , ]P x c a b , имеем ,0 1 1( ) ( , )k k k kP x P x m .
Будем считать известим значение 0 0,0 0 0( ) ( ( ))P x y y y a . Тогда
на первом участке приближенное решение уравнения (1) имеет вид
0,
0 0 0,0 0,0
1
( ) ( ) ( )
!
m
j j
j
c
P x P x x x
j
. (8)
Подcтавив (8) в решаемое уравнение (1) для фиксированных
значений 0, ( 1, )jx j m , подучим систему
0 ,
0, 0 0,( , , ( )) ( ), 1,
j
x
j j
a
K x s P s ds f x j m , (9)
которая после вычисления интегралов представляет собой систему в
общем случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов
c0,1, … , c0,m , нахождение которых позволяет получить P0(x).
Приближенное решение на втором участке ищется в виде
1,
1 1 1,0 1,0
1
( ) ( ) ( )
!
m
j j
j
c
P x P x x x
j
, (10)
где значение P1(x1, 0) известно из вычислений на предыдущем шаге и
равно
0,
1 1.0 0 0, 0 0,0 0, 0,0
1
( ) ( ) ( ) ( )
!
m
j j
m m
j
c
P x P x P x x x
j
.
После подстановки (10) в решаемое уравнение, представленное
в виде (3), получаем систему уравнений
1,1 1,0
1,0
1,2 1,0
1,0
1, 1,0
1,
1,0
1,1 1 1,1 1,1 0
1,2 1 1,2 1,2 0
1, 1 1, 0
[ , , ( )] ( ) [ , , ( )] ,
[ , , ( )] ( ) [ , , ( )] ,
[ , , ( )] ( ) [ , , ( )] ,
m
m
x x
x a
x x
x a
x x
m m
x a
K x s P s ds f x K x s P s ds
K x s P s ds f x K x s P s ds
K x s P s ds f x K x s P s ds
(11)
которая позволяет найти значения 1,1 1,2 1,, , , mc c c .
Серія: Технічні науки. Випуск 17
53
Далее подобным образом определяются полиномы P2(s), P3(s), …,
PN – 1(s). Для нахождения коэффициентов ,1 ,2 ,, , ,k k k mc c c ( 1, 1)k N в
общем случае используются выражения
,
,0
, , ,[ , , ( )] ( ) ( )
k j
k
x
k j k k j k k j
x
K x s P s ds f x x ,
где
1,0 2 ,0
1,0
,0
1,0
, , 0 , 1
, 1
( ) [ , , ( )] [ , , ( )]
[ , , ( )] , 1, 1, 1, .
k
k
x x
k k j k j k j
a x
x
k j k
x
x K x s P s ds K x s P s ds
K x s P s ds k N j m
(12)
Решение уравнения Вольтерры 2-го рода. Рассмотрен метод
коллокации применительно к уравнению Вольттерры 2-го рода
( ) ( ) [ , , ( )] , , [ , ].
x
a
y x f x K x s y s ds s x a b (13)
Уравнение (13) можно представить в виде
1
1( ) ( ) [ , , ( )] ( ), , [ , ],
k
x
k k
x
y x f x K x s y s ds x s x x x
(14)
где
1
1 1( ) [ , , ( )] , [ , ], ( , ).
k
x
k k k k
a
x K x s y s ds s a x x x x
(15)
Для построения приближенного решения уравнения (13) разобь-
ем каждый из N участков промежутка [a, b] на m частей длиной h и,
таким образом, весь промежуток интегрирования будет представлять
собой сетку с шагом h, а длина каждого участка равна mh. Решение
ищем в виде кусочно-гладкой функции Р(x), представляющую собой
следующие друг за другом с шагом mh полиномы степени m, т.е. на
каждом k-м участке P(x) является полиномом вида
,
0
1
( ) [ ( 1) ] , ( 1) ,
( ) ( ), 1, .
m
i
k k i
i
k k
P x c x k mh k mh x kmh
P kmh P kmh k N
(16)
Согласно методу коллокации [7] потребуем, чтобы приближен-
ное решение удовлетворяло уравнению (13) в точках
, 0, ( 1)jx x jh j N m
Математичне та комп’ютерне моделювання
54
(точкax коллокации). Для этого подставим выражение (16) в уравне-
ние (13) и запишем его для значения x = xj, что позволяет для каждо-
го участка (k – 1)mh < x < kmh получать систему уравнений
( 1)
[( 1) ] [( 1) , , ( )] [( 1) ],
1, .
k mh ih
k
a
P k mh ih K k mh ih s P s ds f k mh ih
i m
(17)
Если систему (17) представить в виде (14) и заменить интегралы
квадратурами, то можно перейти к явному виду системы конечных
уравнений относительно неизвестных коэффициентов ck, j нахождение
которых позволяет получить конкретное приближенное решение в
форме кусочно-гладкого полинома.
Разделяя в (17) интеграл на две части согласно (14), имеем
( 1)
( 1)
( 1)
[( 1) ] [( 1) , , ( )]
[( 1) , , ( )] [( 1) ],
k mh ih
k k
k mh
k mh
a
P k mh ih K k mh ih s P s ds
K k mh ih s P s ds f k mh ih
(18)
где 1,i m и функция P(x) представляет собой решение, получен-
ное предварительно для предыдущих k − 1 участков на промежутке
[0, (k − 1)mh].
Квадратурные формулы, применяемые для замены в (18) инте-
гралов, целесообразно выбирать, исходя из наличия m – 1-го задей-
ствованного узла на каждом k-м участке, что соответствует точности
порядка O(hm + 2). Следует также учитывать, что из решения системы
(18) на предыдущем k – 1-м участке известно значение
,0 1[( 1) ] [( 1) ]k k kc P k mh P k mh .
Таким образом, замена в (18) интегралов квадратурными фор-
мулами приводит к следующей системе относительно приближения
значений , ( 1, )k ic i m коэффициентов полиномов (16):
, ,
0 0 0
1
,
1 0 0
( ) [( 1) , ( 1) , ( ) ]
[( 1) , ( 1) , ( ) ]
[( 1) ]; 1, ,
m m m
n n
k n ij k n
n j n
k m m
n
mj l n
l j n
ih c A K k mh ih k mh jh jh c h
A K k mh ih l mh jh jh c h
f k mh ih i m
(19)
где Aij — коэффициенты квадратурных формул, набор которых зави-
сит от принятого количества узлов m на участке.
Серія: Технічні науки. Випуск 17
55
Рассмотрим подробнее систему (19) для т = 3. Полином (16) при
этом принимает вид
2 3
,0 1 ,2 ,3( ) ,k k k k kP x c xc x c x c
а значения узлов равны 3( 1) , 1, , 1, 3ix k h ih k N i .
Применительно к подынтегральному выражению решаемого
уравнения введем обозначения
( ) ( , , ( )), ( , , ( ))i i k ij i j k jK s K x s P s K K x x P x .
Заменяя ( )iK s интерполяционным многочленом в форме Нью-
тона, имеем
,1 ,0
,0 0
,2 , ,0
0 1 2
,3 ,2 ,1 ,0 4
0 1 2 3
( , , ( )) ( )
2
( )( )
2
3 3
( )( )( ) ( ).
6
i i
i k i
i i j i
i i i i
K K
K x s P s K s x
h
K K K
s x s x
h
K K K K
s x s x s x O h
h
(20)
Интегрируя (20) в соответствующих пределах, получим для пер-
вого участка
1
0
,0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0
5
,3 ,2 ,1 ,0
3
,0 ,1 ,3 ,3
( , , ( )) ( ) 2
2 12
3 3
24
(9 19 5 ) ,
24
x
i k i i i i i i
x
i i i i
i i i i
h h
K x s p s ds K h K K K K K
h
K K K K O h
h
K K K K O h
2
0
,0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0
5
,3 ,2 ,1 ,0 ,0 ,1 ,2
, , 2 2 2
3
3 3 4 ,
3
x
i k i i i i i i
x
i i i i i i i
h
K x s P s ds K h K K h K K K
h
K K K K O K K K O h
3
0
,0 ,1 ,0
,2 ,1 ,0 ,3 ,2 ,1 ,0
5
,0 ,1 ,2 ,3
9
, , 3
2
9 3
2 3 3
4 8
3
3 3 .
8
x
i k i i i
x
i i i i i i i
i i i i
h
K x s P s ds K h K K
h h
K K K K K K K
h
K K K K O h
Математичне та комп’ютерне моделювання
56
Полученные весовые коэффициенты не изменяются от участка к
участку. В частности, весовые коэффициенты последней формулы
сохраняются для интегралов от функции , ,i lK x s P s с пределами
3 1l h , 3lh , где 1, 1l k .
Пренебрегая остаточными членами квадратурных формул, имею-
щими порядок O(h5), и подставляя полученные выражения в (19) имеем
2 3
,1 ,2 ,3 1,0 1,1 1,2 1,3 1
2 3
,1 ,2 ,3 2,0 2,1 2,2 2
2 3
,1 ,2 ,3 3,0 3,1 3,2 3,3 3
9 19 5 ,
24
4 8 4 ,
3
3
3 9 27 3 3 ,
8
k k k
k k k
k k k
h
c h c h c h K K K K F
h
c h c h c h K K K F
h
c h c h c h K K K K F
(21)
1 3 3
,3 ,
1 0 0
,0
3 1 , 3 1 ,
3 1` ,
i
k
n
j l n
l j n
k
F
A K k h ih l h jh c jh h
f k h ih c
где
0,3 3,3 1,3 2,3
3 9
,
8 8
A A A A , а выражения для ( , 1,3)ijK i j за-
висят от ck, j.
Легко видеть, что при m = 1 имеем 0,1 1,1
1 1
,
2 2
A A т.е. прихо-
дим к формуле трапеций, а при m = 2 подучаем
0,1 1,1 2,1
0,2 1,2 2,2
5 2 1
, , ,
12 3 2
1 4 1
, ,
3 3 3
A A A
A A A
.
Для численного решения системы (21) наиболее подходят ите-
рационные методы, а в качестве начальных приближений для k-го
участка можно принять значения
,0 1 , 1,1 , , 1, , 2k k k i k ic P k mh c c i m k
(для первого участка можно положить 1( ) ( )P x f a ).
Система (21) всегда может быть приведена к виду, необходимо-
му для применения итерационных методов. В частности, путем со-
ставления линейных комбинаций получаем систему (22) в форме,
удобной для применения метода простой итерации.
Серія: Технічні науки. Випуск 17
57
,1 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,1
2,2 3,0 3,1 3,2 3,3 1 2 3
,2 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,12
2,2 3,0 3,1 3,2 3
1
((9 19 5 4 16
3 1
4 3 3 ) 3 ),
8 2 3
1
(( 45 95 25 5 32 128
32 9 27 27 9
k
k
c K K K K K K
h
h
K K K K K F F F
c K K K K K K
h
K K K K K
,3 1 2 3
,3 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,13
2,2 3,0 3,1 3,2 3,3 1 2 3
5 1
) 2 ),
48 2 2
1
((9 19 5 16 64
1 1 1
16 3 9 9 3 ] ).
48 2 2 6
k
h
F F F
c K K K K K K
h
h
K K K K K F F F
(22)
Чтобы убедиться в эффективности метода коллокации при ре-
шении уравнений Вольтерры 1 и 2 рода, рассмотрим следующие те-
стовые примеры.
Пример 1. Задано уравнение Вольтерры 1 рода
0
( ) ( ) 2 sin cos 1, (0) 1
x
x s y s ds x x x y .
Следуя рассмотренному методу, найдем приближенное решение
на 1-м участке, принимая , 2
60
h m
. Значения узлов, разделяю-
щих участки:
0,0 1,0 2,00; ; ;
30 15
x x x
Первый участок (как и остальные), разбивается на две части, ко-
торые ограничены точками коллокации:
0,0 0,1 0,2 1,00; ;
60 30
x x x x
.
На 1-м участке искомое решение представляем выражением
0
2
0 0,0 0,1 0,0 0,2 0,0
( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ,
2
y x P x
P x c x x c x x
где 0 0,0( ) (0)P x y и подстановка которого в исходное уравнение при
0,1x x и 0,2x x приводит к системе
Математичне та комп’ютерне моделювання
58
60
2
0,1 0,2
0
30
2
0,1 0,2
0
1
( )(1 ) 2 sin cos 1,
60 2 60 60 60
1
( )(1 ) 2 sin cos 1.
30 2 30 30 30
s c s c s ds
s c s c s ds
После вычисления интегралов система принимает вид
0,1 0,2
0,1 0,2
0,000120 0,000007 0,0000026,
0, 000958 0,000035 0,000036,
c c
c c
а ее решение 0,1 0,20,008318; 0,8008757c c . Тогда
2
0 ( ) 1 0, 008318 0,8008757
2
x
P x x .
Вычислив значение 0( ) ( ) 0,990339
30 30
y P
, можно сравнить
его с точным ( ) 0,994517
30
y
(точное решение y(x) = cosx).
Пример 2. Уравнение Вольтерры 2 рода
0
1
2
1
x
y s s
y x ds
s y s
(точное решение 1 4 2 ln 1y x x x ) решалось на интервале
[0; 6,375] при h = 0,025, m = 3.
Ввиду того, что ядро решаемого уравнения не зависит от x, си-
стема (22) имеет более простой вид. Для этого случая
0
1,0 2,0 3,0 1,1 2,1 3,1 1; ;K K K K K K K K
1,2 2,2 3,2 2 1,3 2,3 3,3 3; .K K K K K K K K
Учитывая выполнение уравнения (13) в точке x = 3(k – 1)h, легко
видеть, что 0, 1,3iF i .
Таким образом, согласно (22) для k-го участка получаем систему
,1 0 1 2 3
,2 0 1 2 3
,3 0 1 2 32
1
3 3 3 ,
4
1
11 3 15 7 ,
24
1
,
12
k
k
k
c K K K K
c K K K K
h
c K K K K
h
Серія: Технічні науки. Випуск 17
59
где
0 0
0
0 0
1
,
1
y x
K
x y
2 3
0 ,1 ,2 ,3 0
1 2 3
0 0 ,1 ,2 ,3
1
,
1
k k k
k k k
y c h c h c h x h
K
x h y c h c h c h
2 3
0 ,1 ,2 ,3 0
2 2 3
0 0 ,1 ,2 ,3
2 4 8 2 1
,
2 1 2 4 8
k k k
k k k
y c h c h c h x h
K
x h y c h c h c h
2 3
0 ,1 ,2 ,3 0
3 2 3
0 0 ,1 ,2 ,3
3 9 27 3 1
,
3 1 3 9 27
k k k
k k k
y c h c h c h x h
K
x h y c h c h c h
0 0 13 1 , 3 1 .kx k h y P x h
Полученная система уравнений решалась методом простых ите-
раций, а в качестве начальных приближений выбирались значения
,0 0 ,1 ,2 ,32, 0k k k kc y c c c для k = 1 и , 1, , 1,3k i k ic c i для 2k .
Полученный вид решаемой системы непосредственно использо-
вался в качестве итерационного выражения и обеспечил сходимость
процесса. При других формах итерационных выражений процесс по-
следовательных приближений может оказаться расходящимся.
Результаты итерационного процесса для коэффициентов c1,i и c2, i
приведены в табл. 1 и табл. 2 соответственно. В табл.3 для ряда зна-
чений аргумента приведены результаты приближенного решения
y x , точного решения jy x и ошибка.
Таблица 1
Значения коэффициента c1,i
Номер итерации c1, 1 c1, 2 c1, 3
0 0 0 0
1 1,4999595 –1,2469478 0,5978266
2 1,5000319 –0,3149309 -0,2673441
3 1,4999887 –0,3116330 0,0476275
4 1,4999968 –0,3122627 0,0625618
5 1,4999972 –0,3122876 0,0629694
6 1,4999972 –0,3122882 0,0629775
Таблица 2
Значения коэффициента c2,i
Номер итерации c2,1 c2,2 c2,3
0 1,4999972 –0,3122882 0,0629775
1 1,4542129 –0,2714302 0,0365664
2 1,4542105 –0,2980747 0,0635452
Математичне та комп’ютерне моделювання
60
Продолжение таблицы 2
3 1,4542117 –0,2981652 0,0551428
4 1,4542115 –0,2981493 0,0547663
5 1,4542115 –0,2981487 0,0547567
Таблица 3
Результаты решения тестового примера 2
j
x j
y x j
y x j
y x
0 2,000000000 2,000000000 0
0,075 2,110769735 2,110769734 0,000000001
0,15 2,218181613 2,218181612 0,000000001
0,6 2,798853594 2,798853590 0,000000004
1,2 3,424577755 3,424577748 0,000000007
1,8 3,900713732 3,900713722 0,000000011
2,4 4,236308787 4,236308773 0,000000014
3,0 4,431543818 4,431543799 0,000000019
3,6 4,478537424 4,478537399 0,000000024
4,2 4,358961092 4,358961061 0,00000003I
4,8 4,036250689 4,036250650 0,000000039
5,4 3,431044869 3,431044831 0,000000038
6,0 2,302347325 2,302347800 -0,000000475
Пример 3. Было взято уравнение Вольтерры 2 рода с тем же
точным решением, что и в примере 2, но с ядром общего вида.
0
2
2
2 1
x
y s x s
y x x ds
s y s
,
точное решение 1 4 2 ln 1y x x x . Уравнение решалось на
интервале [0; 6,375] с шагом h = 0,0125, m = 3 (для exp 2 1 6.4x
решение не существует).
В табл. 4 приведено решение y x , точное решение y x и
ошибка для этого уравнения.
Таблица 4
Результаты решения тестового примера 3
j
x j
y x j
y x j
y x
0 2,0000000000 2,0000000000 0
0,6 2,7988535896 2,7988535900 –4 10-10
1,2 3,4245777471 3,4245777478 –8 10-10
1,8 3,9007137204 3,9007137217 –1,3 10-9
2,4 4,2363087713 4,2363087731 –1,8 10-3
3,0 4,4315437967 4,4315437993 –2,5 10-9
Серія: Технічні науки. Випуск 17
61
Продолжение таблицы 4
3,6 4,4785373958 4,4785373992 –3,4 10-9
4,2 4,3589610561 4,3589610606 –4,5 10-9
4,8 4,0362506434 4,0362506497 –6,3 10-9
5,4 3,4310448204 3,4310448306 –1,01 10-8
6,4 2,302477494 2,3023478001 –5,07 10-8
Резкое возрастание погрешности вблизи точки x = 6,4 объясня-
ется тем, что в этой точке все производные решения обращаются в
и для x > 6.4 решения уравнения не существует.
Выводы. В работе изложен метод коллокации для интегральных
уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение уравнений
представляется в форме кусочно-гладкого полинома, что позволяет
найти решение в любой точке заданного интервала. Результаты рас-
четов тестовых примеров 1–3 подтверждают работоспособность ал-
горитмов, реализующих данный метод. Алгоритм решения уравнений
Вольтерры 1 рода прост в реализации. Алгоритм коллокационного
метода для уравнений Вольтерры 2 рода предусматривает использо-
вание квадратурных формул. Максимальная абсолютная погрешность
результата при решении уравнения Вольтерры 2 рода с ядром общего
вида составила 5,07∙10 –8. Метод может быть использован при рас-
смотрении задач восстановления входных воздействий и идентифи-
кации динамических объектов и систем.
Список использованной литературы:
1. Довгий С. А. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложе-
ния / С. А. Довгий, И. К. Лифанов. — К. : Наукова думка, 2002. — 342 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновен-
ные дифференциальные уравнения) : учеб. пособие для вузов / В. М. Верж-
бицкий. — 2-е изд., испр. — М. : ОНИКС 21 век, 2005. — 400 с.
3. Габдулхаев Б. Г. Прямые и проекционные методы решения слабосингуляр-
ных интегральных уравнений I-го рода : учебное пособие / Б. Г. Габдул-
хаев. — Казань : Казанский государственный университет, 2006. — 137 с.
4. Бойков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений : монография / И. В. Бойков. — Пенза : Пензенский государ-
ственный университет, 2004. — 297 с.
5. Имомов А. И. Организация приближённого решения интегральных урав-
нений в MathCAD / А. И. Имомов // Молодой ученый. — 2014. —
№ 14 (73). — С. 6–15.
6. Карчевский Е. М. Численные методы решения интегральных уравнений и
комплекс программ на языке Matlab : учебное пособие / Е. М. Карчевс-
кий. — Казань : Казанский федеральный университет, 2017. — 61 с.
7. Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения /
А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с.
8. Спиридонов А. О. Метод коллокации решения нелинейных спектральных
задач для граничных интегральных уравнений Мюллера / А. О. Спиридо-
Математичне та комп’ютерне моделювання
62
нов, Е. М. Карчевский, А. И. Носич // Известия высших учебных заведе-
ний. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2015. —
№ 2 (34). — С. 32-45.
Despite the extensive use of the collocation method for solving integral
equations with constant integration limits, little attention has been paid so far to
the implementation of this method with respect to integral equations with vari-
able limits. In this article tasks of solving Volterra integral equations of 1 and
2 kinds were considered. An approximate solution is defined as a piecewise-
smooth polynomial composed of polynomials over sections of the domain of
definition of the variable of integration. The algorithm of the method is an itera-
tive process. The problem is reduced to solving systems in the general case of
non-linear equations with respect to the coefficients of the corresponding poly-
nomials. At each step of the iteration, an analytic expression for the next poly-
nomial is determined, which allows finding a solution at any point of the given
interval. A special feature of the collocation algorithm for Volterra equations of
the 2nd kind is the replacement of integrals by quadrature formulas, which are
comprised into the system of equations with respect to the approximate values
of the coefficients. The choice of the coefficients of quadrature formulas de-
pends on the accepted number of nodes in the section. A special case of a sys-
tem for three nodes is considered in the article. In doing so, the integrand of the
solved equation was replaced by an interpolation polynomial in the Newton
form. The results of the solution of the test cases confirm the efficiency of the
proposed algorithms and indicate the high accuracy of the calculations. The
collocation method allows to obtain solutions of the Volterra equations for the
segments of the integration interval, choosing their length and applying on each
of them an approximating expression with a small number of coordinate func-
tions. This method can be used in identifying of the dynamic objects and sys-
tems, as well as in solving problems of reduction input signals.
Keywords: Volterra integral equations, collocation method, quadra-
ture formulas.
Отримано: 15.05.2018
|