Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters
The article deals with the method of signal restoration at the input of a nonlinear dynamic object with distributed parameters. To describe these objects, a universal mathematical model in the form of a Volterra integro-degree series has been chosen. The problem of signal restoration is reduced to t...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162167 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters / V. Ivaniuk, V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 65-73. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-162167 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1621672020-01-04T01:25:39Z Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters Ivaniuk, V., Ponedilok, V. The article deals with the method of signal restoration at the input of a nonlinear dynamic object with distributed parameters. To describe these objects, a universal mathematical model in the form of a Volterra integro-degree series has been chosen. The problem of signal restoration is reduced to the problem of solving the Volterra polynomial equation of the first kind. The numerical implementation of such models is suggested to be carried out using quadrature methods, in particular, the method of trapezoids. In order to increase the stability of the solution in the presence of noise interference in the input data, it is suggested to use the differential regularization operator, which allows the incorrectly set task to be transformed into a class of correct ones. У статті розглянуто метод відновлення сигналу на вході нелінійного динамічного об’єкта з розподіленими параметрами. Для опису даних об’єктів обрано універсальну математичну модель у вигляді інтегро-степеневого ряду Вольтерри. Задача відновлення сигналу зводиться до задачі розв’язування поліноміального рівняння Вольтерри першого роду. Чисельну реалізацію таких моделей пропонується здійснювати з використанням квадратурних методів, зокрема, методу трапецій. Для збільшення стійкості розв’язку при наявності шумових завад у вхідних даних запропоновано використання диференціального регуляризаційного оператора, який дозволяє некоректно поставлену задачу перевести у клас коректних. 2018 Article Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters / V. Ivaniuk, V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 65-73. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. 2308-5916 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.65-73 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162167 004.94 en Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
The article deals with the method of signal restoration at the input of a nonlinear dynamic object with distributed parameters. To describe these objects, a universal mathematical model in the form of a Volterra integro-degree series has been chosen. The problem of signal restoration is reduced to the problem of solving the Volterra polynomial equation of the first kind. The numerical implementation of such models is suggested to be carried out using quadrature methods, in particular, the method of trapezoids. In order to increase the stability of the solution in the presence of noise interference in the input data, it is suggested to use the differential regularization operator, which allows the incorrectly set task to be transformed into a class of correct ones. |
| format |
Article |
| author |
Ivaniuk, V., Ponedilok, V. |
| spellingShingle |
Ivaniuk, V., Ponedilok, V. Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| author_facet |
Ivaniuk, V., Ponedilok, V. |
| author_sort |
Ivaniuk, V., |
| title |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters |
| title_short |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters |
| title_full |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters |
| title_fullStr |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters |
| title_full_unstemmed |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters |
| title_sort |
method of restoration of input signals of nonlinear dynamic object with destributed parameters |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162167 |
| citation_txt |
Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Object with Destributed Parameters / V. Ivaniuk, V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 65-73. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| work_keys_str_mv |
AT ivaniukv methodofrestorationofinputsignalsofnonlineardynamicobjectwithdestributedparameters AT ponedilokv methodofrestorationofinputsignalsofnonlineardynamicobjectwithdestributedparameters |
| first_indexed |
2025-07-14T14:43:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T14:43:12Z |
| _version_ |
1837633836519784448 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 18
65
tions of the rotational motion of a rigid body in the Rodrigues Hamilton
parameters. In this paper, this approach was used to solve the main prob-
lems of controlling the angular motion of a spacecraft: stabilization prob-
lems and terminal control problems. The article may be useful to develo-
pers of spacecraft attitude control systems.
Key words: Rodrig-Hamilton parameters, spacecraft, quaternion, ori-
entation, dynamical equation for the quaternion.
Отримано: 28.11.2018
UDC 004.94
DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.65-73
V. Ivaniuk, Cand. of Eng. Sciences,
V. Ponedilok
Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University
METHOD OF RESTORATION OF INPUT SIGNALS
OF NONLINEAR DYNAMIC OBJECT
WITH DESTRIBUTED PARAMETERS
The article deals with the method of signal restoration at the
input of a nonlinear dynamic object with distributed parameters. To
describe these objects, a universal mathematical model in the form
of a Volterra integro-degree series has been chosen. The problem
of signal restoration is reduced to the problem of solving the
Volterra polynomial equation of the first kind. The numerical im-
plementation of such models is suggested to be carried out using
quadrature methods, in particular, the method of trapezoids. In or-
der to increase the stability of the solution in the presence of noise
interference in the input data, it is suggested to use the differential
regularization operator, which allows the incorrectly set task to be
transformed into a class of correct ones. The possibility of applying
such an approach is studied in solving the Volterra polynomial in-
tegral equation of the second order type, which describes nonlinear
dynamic objects with quadratic nonlinearity. The computational
formulas for solving this type of equations are given in the article.
The received nonlinear second-order algebraic equations after ap-
proximation of the initial equation by integral sums are solved by
iterative methods with initial approximation in the form of a pre-
calculated radical. The developed algorithms are implemented as
software modules in the Matlab, with the help of which a number
of computational experiments have been carried out. As an exam-
ple, non-linear dynamic objects that contain static non-linearity of
the second order and dynamic links that are typical for objects with
distributed parameters have been chosen. Such links are: a semi-
integral link, an attenuation link (semi-delay) and a semi-inertial
© V. Ivaniuk, V. Ponedilok, 2018
Математичне та комп’ютерне моделювання
66
link. On the basis of applying the equivalent transformations, the
macromodels of objects with distributed parameters have been ob-
tained in the form of a polynomial integral Volterra equation of
the I kind of the second order with the kernels that describe the
above-mentioned components. The results of the computational
experiments, presented in the form of graphs, showed that the sug-
gested approach can be effectively used in restoration of signals at
the input of nonlinear dynamic objects with distributed parameters.
Key words: signal restoration, nonlinear dynamic objects with
distributed parameters, Volterra series, Volterra equation of the
first kind, Matlab / Simulink.
Introduction. While solving the problem of signal restoration at the
input of nonlinear dynamical systems, there is usually a need to solve
Volterra nonlinear equations of the first kind [1, 3, 5, 6]. Applying of in-
tegro-degree Volterra series, which is a universal mathematical model for
describing nonlinear dynamical system [4],
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ...
t t t
y t K t x d K t x x d d , (1)
where ( ), ( )x t y t — respectively, the input and output signals of the ob-
ject, t — time of the transient process, 1( , , , )i iK t — Volterra kernel,
makes it possible to simplify nonlinear mathematical models by convert-
ing them to a quasi-linear type [1, 4]. It also should be noted that the ap-
plying of Volterra series will allow to solve the problems of modeling dy-
namic objects with lumped and distributed parameters based on the same
means, because for these objects, mathematical models will differ only in
the form of kernels [2, 6].
In general, the problem of restoration can be reduced to the Volterra pol-
ynomial integral equations of the 1st kind (1). In the linear variant, we will
have a classical form of the integral of Volterra equation of the 1st kind with
one kernel 1K [1, 4]. The invalidity of signal restoration problem requires the
applying of indirect approaches to the solving of integral equations of the first
kind. The most effective approach to solving these problems is the appliance
of regularization methods, the application of which will allow obtaining the
sustainable solutions to the problem of restoration [3, 6].
Therefore, the development of new methods for solving Volterra
polynomial integral equations of the 1st kind based on regularization algo-
rithms for restoration of input signals of nonlinear dynamic objects, both
with lumped and distributed parameters, is an urgent task.
The aim of the work is to develop an effective method for solving
inverse problems of dynamics of nonlinear objects with distributed param-
eters by solving Volterra polynomial integral equations of the first kind.
Серія: Технічні науки. Випуск 18
67
The main part. Solving of this problem will be considered on the ex-
ample of solving the Volterra polynomial integral equation of the 2nd kind:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ).
t t t
K t x d K t x x d d y t (2)
The problem of regenerating a signal that is altered by a nonlinear dy-
namic object is incorrect, and using of classical methods for solving such
problems in the presence of noise interference in signals does not allow ob-
taining stable solutions with the necessary accuracy. It is suggested to use a
differential regularization operator of first kind dx
dt
, where — a parame-
ter of regularization. In this case the solution of Volterra polynomial equation
is reduced to solving of the following integro-differential equation:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( )
t t tdx K t x ds K t x x d d y t
dt
. (3)
The given problem is suggested to be solved by replacing the inte-
grals in (3) quadrature formulas, which allows to obtain a number of ad-
vantages, in particular, the simplicity of implementation and high stability
of computational algorithms due to the regularizing properties of choosing
the quadrature step [6]. Applying to (3) the method of trapezoids and dif-
ference formula of the first kind [1, 3], the following will b received:
1
1
1 1
1
2
1 0 0 2 0 0 0 0
1
2
2 0, 2 , 0 0
1
1 1
2
2 ,
1 1
2
2 0 2 0 0
2
2
1 , ,
2
1 1, , ,
2 4
1 , , , ,
2
, ,
1 , , , ,
4
1
2
i
i i
i i i i j j
j
i i
i
i j i j j
j
i i
i j g j g
j g
i i i i i
i
x t x t
hK t t x t hK t t x t
h
hK t t x t h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t x t
h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t x t
h K t
1
, 2 ,
1
2
2 ,
, , , ,
1 , , ,
4
i
i j i j i j i
j
i i i i i i
t t K t t t x t x t
h K t t t x t x t y t
(4)
Математичне та комп’ютерне моделювання
68
where 1..i n , 1i ih t t . The (4) should be rewritten by grouping the
summands for the target value :ix t
2 2
2 ,
2
2 0 2 0 0
1
2
2 , 2 ,
1
1
1
1 1 0 0
1
2
2 0 0 0 0
2
2 0, 2 , 0 0
1 , ,
4
1 , , , ,
4
1 , , , ,
2
1 ,
2
1, ,
2
1 , ,
4
1 , , , ,
2
i i i i
i i i i
i
i i j i j i j
j
i i i
i
i j j i
j
i
i j i j
h K t t t x t
h K t t t K t t t x t
h K t t t K t t t x t
hK t t x t
h
hK t t x t hK t t x t
h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t
1
1
1 1
2
2 , 1
1 1
, , 0
i
j
j
i i
i j g j g i i
j g
x t
h K t t t x t x t x t y t
h
(5)
n quadratic equations (5) are solved sequentially on the basis of the itera-
tive method, and, for the initial approximation the root of the previous
equation is taken [3].
Software implementation of the method. On the basis of the sug-
gested method, a software tool for restoration of signals in the form of a
program module for solving the Volterra polynomial integral equation of
the 1st kind of the second order by the method of trapezoids was developed
in Matlab environment — a function
x=invvolterraseries2treg(kern,y,t,h,alpha),
where kern — kernel of Volterra series, which are given as an array of
functions; y — ordinate vector y t ; t — vector of values of time varia-
ble t; h — simulation step, alpha — regularization parameter.
Structural and algorithmic method of obtaining solutions. Let’s
consider a dynamic object with non-inertial nonlinearity, which is de-
scribed by the structural scheme represented in Fig. 1. On a structure dia-
gram A x t — linear component, F u t — nonlinear component.
Серія: Технічні науки. Випуск 18
69
F u t
A x t
x t u t y t
Fig. 1. Structure diagram of object model
For objects with distributed parameters the following basic typical ir-
rational and transcendental links can be distinguished, they are defined by
the operator A x t : semi-integral, semi-inertial, delaying and damping
(or semi-delaying) [2]. In table 1 the Volterra operator A x t for the
above links is described.
Table 1
A set of typical irrational and transcendental units
Link name Volterra operator
Semi-integral
0
( )
t k
u t x t d
Semi-inertial
0
( )
t
Tk T
u t e erfc x t d
T k T
Delaying
0
( ) ( )
t
u t x t d
Damping (semi-
delaying) 4
3
0
0.5 ( )
Tt T
u t e x t d
k, T — constants
In the case if a non-inertial nonlinear element F u t , can be repre-
sented by a Taylor series or a polynom, the macromodel in the form of a
structural diagram (Fig. 1) is represented by Volterra serries (1) [4].
Computational experiments. Let’s consider the case when the linear
part is determined by the semi-integral link, and the nonlinear part has the
form: 2F u t u u . After applying equivalent transformations [4] the mac-
romodel in the form of an integro-degree series Volterra is obtained as a result:
2
1 2 1 2
1 20 0 0
( )
t t tk ky t x t d x t x t d d
. (6)
At numerical realization of the received model at the point of zero of
kennel are singular, therefore instead of zero point the value of h modeling
Математичне та комп’ютерне моделювання
70
step is taken. With the help of the developed software assets, a number of
computational experiments have been conducted. In fig. 2 a signal with
noise interference is shown, on the basis of which the input signal is re-
stored. In fig. 3 the accurate and restored signals are provided.
Fig. 2. Signal on the output of the nonlinear dynamic object (6)
Fig. 3. Signal on the output of the nonlinear dynamic object (6)
( — accurate, ————— — restored)
Серія: Технічні науки. Випуск 18
71
In the case when the linear part is determined by the semi-inertial
link, the macro-model in the form of the integro-degree Volterra series has
the form:
1 2
0
2
1 2
1 2 1 22
0 0
( )
.
t
T
t t
T T
k Ty t e erfc x t d
T k T
k T Te erfc e erfc x t x t d d
k T k TT
(7)
On Fig. 4 the results of signal restoration are given.
0 5 10 15 20
t, s
0
1
2
3
4
5
6
x,
x
xn
d.
un
.
Fig. 4. Signal on the output of the nonlinear dynamic object (7)
( — accurate, ————— — restored)
The macro model in the form of the integro-degree Volterra se-
ries, providing that the linear part is determined by the link of delay,
has the form:
1 2
1 2
4
3
0
42
1 2 1 23 3
1 20 0
( ) 0.5
10.5 .
Tt
Tt t
Ty t e x t d
T e x t x t d d
(8)
On Fig. 5 the results of signal restoration are given.
Математичне та комп’ютерне моделювання
72
Fig. 5. Signal on the output of the nonlinear dynamic object (8)
( — accurate, ————— — restored)
Conclusions. The computational experiments have shown that the
developed regularization method for solving Volterra polynomial integral
equations of the first kind on the basis of on the introduction of a differen-
tial regularization operator allows obtaining high accuracy in regenerating
of signals at the input of nonlinear dynamic objects with distributed pa-
rameters in the presence of noise interference.
References:
1. Ivaniuk V. А. Integral models of irrational and transcendental links / V. А. Ivaniuk,
V. О. Tykhokhod, S. О. Protasov // Mathematical and computer simulation. Series:
Engineering sciences : collection of research papers / Kamianets-Podilskyi National
Ivan Ohiienko University, V. M. Hlushkov Institute of Cybernetics of the National
Academy of Sciences of Ukraine, Kamianets-Podilskyi : Kamianets-Podilskyi Na-
tional Ivan Ohiienko University, 2011. — ISSUE 5. — P. 101–109.
2. Ivanyuk V. Solving inverse problems of dynamics of nonlinear objects based
on the Volterra series / V. Ivanyuk, V. Ponedilok, J. Sterten // Computational
problems of electrical engineering — Lviv : Lviv Polytechnic National Uni-
versity, 2016. — Vol. 6, No. 1. — P. 9–16.
3. Ponedilok V. Regularization Method of Restoration of Input Signals of Non-
linear Dynamic Objects that Determined by Integro-Degree Volterra Series /
V. Ponedilok // Mathematical and computer modelling. Series: Technical sci-
ences: scientific journal / V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the Na-
tional Academy of Sciences of Ukraine, Kamianets-Podilskyi National Ivan
Ohiienko University. — Kamianets-Podilskyi : Kamianets-Podilskyi National
Ivan Ohiienko University, 2018. — ISSUE 17. — P. 133–140.
Серія: Технічні науки. Випуск 18
73
4. Pupkov K. А. Functional series in the theory of nonlinear systems /
К. А. Pupkov, V. I. Kapalin, А.S. Yushchenko. — М. : Nauka, 1976. — 448 p.
5. Solodusha S. V. Simulation of automatic control systems based on Volterra
polynomials / S. V. Solodusha // Simulation and analysis of information sys-
tems. — 2012. — № 1. — P. 60–68.
6. Verlan A. F. Integral equations: Methods. Algorithms. Programs: Reference
book / A. F.Verlan, V. S. Sizikov. — К. : Nauk. dumka, 1986. — 548 p.
МЕТОД ВІДНОВЛЕННЯ СИГНАЛУ НА ВХОДІ
НЕЛІНІЙНОГО ДИНАМІЧНОГО ОБ’ЄКТА
З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ
У статті розглянуто метод відновлення сигналу на вході неліній-
ного динамічного об’єкта з розподіленими параметрами. Для опису
даних об’єктів обрано універсальну математичну модель у вигляді ін-
тегро-степеневого ряду Вольтерри. Задача відновлення сигналу зво-
диться до задачі розв’язування поліноміального рівняння Вольтерри
першого роду. Чисельну реалізацію таких моделей пропонується
здійснювати з використанням квадратурних методів, зокрема, методу
трапецій. Для збільшення стійкості розв’язку при наявності шумових
завад у вхідних даних запропоновано використання диференціального
регуляризаційного оператора, який дозволяє некоректно поставлену
задачу перевести у клас коректних. Можливість застосовування тако-
го підходу досліджено при розв’язуванні поліноміального інтеграль-
ного рівняння Вольтерри І роду другого порядку, яке описує нелінійні
динамічні об’єкти із квадратичною нелінійністю. В статті наведено
обчислювальні формули для розв’язання даного типу рівнянь. Отри-
мані нелінійні алгебраїчні рівняння другого порядку після апрокси-
мації вихідного рівняння інтегральними сумами розв’язуються ітера-
ційними методами із початковим наближенням у вигляді попередньо
обчисленого кореня. Розроблені алгоритми реалізовано у вигляді про-
грамних модулів в середовищі Matlab, за допомогою яких проведено
ряд обчислювальних експериментів. Як приклад, вибрано нелінійні
динамічні об’єкти, які містять статичну нелінійність другого порядку
та динамічні ланки, які є типовими для об’єктів із розподіленими па-
раметрами. Такими ланками є: напівінтегральна ланка, ланка затухан-
ня (напівзапізнення) та напівінерційна ланка. На основі застосування
еквівалентних перетворень отримано макромоделі об’єктів з розподі-
леними параметрами у вигляді поліноміального інтегрального рів-
няння Вольтерри І роду другого порядку із ядрами, які описують вка-
зані вище ланки. Результати обчислювальних експериментів, які на-
ведено у вигляді графіків, показали, що запропонований підхід може
ефективно використовуватись при відновленні сигналів на вході нелі-
нійних динамічних об’єктів із розподіленими параметрами.
Ключові слова: відновлення сигналів, нелінійні динамічні об’єкти
з розподіленими параметрами, ряди Вольтерри, рівняння Вольтерри І
роду, Matlab/Simulink.
Отримано: 12.11.2018
|