Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці

Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці

У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2018
1. Verfasser: Ковальська, І.Б.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162201
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці / І.Б. Ковальська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 54-61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-162201
record_format dspace
spelling irk-123456789-1622012020-01-05T01:25:39Z Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці Ковальська, І.Б. У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці. In this paper we obtain exact order estimates for the upper bounds of deviations of Zigmund sums from infinitely-differentiable functions in the integral metric. 2018 Article Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці / І.Б. Ковальська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 54-61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162201 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці.
format Article
author Ковальська, І.Б.
spellingShingle Ковальська, І.Б.
Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Ковальська, І.Б.
author_sort Ковальська, І.Б.
title Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
title_short Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
title_full Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
title_fullStr Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
title_full_unstemmed Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
title_sort наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2018
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162201
citation_txt Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці / І.Б. Ковальська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 54-61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT kovalʹsʹkaíb nabližennâneskínčennodiferencíjovnihfunkcíjvíntegralʹníjmetricí
first_indexed 2025-07-14T14:43:50Z
last_indexed 2025-07-14T14:43:50Z
_version_ 1837633876730576896
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 54 While studying certain physical processes and phenomena in media with variable characteristics and small dispersion the Korteweg-de Vries equation with singular perturbation is appeared as a mathematical model. Methods of asymptotic analysis are effective instruments for studying the Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and a small parameter because they allow us to construct approximate solutions to the equation as well as to ana- lyze its different properties. Consideration of singular perturbed equations of in- tegrable type is current problem of modern applied mathematics that includes a problem of constructing asymptotic soliton like solutions. The paper deals with constructing the asymptotic soliton like solutions to the singular perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients of special form. There is constructed a main term of the asymptotic solution. The solution is shown to belong to the space of quickly decreasing functions and the solution is demonstrated to define for any values of independent variables in contradistinction to the general case. The theorem on accuracy with which the asymptotic solution satisfies the equation is proved. Key words: the Korteweg-de Vries equation, soliton solution, singular perturbation, asymptotic solution. Отримано: 26.05.2018 УДК 517.5 І. Б. Ковальська, канд. фіз.-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський НАБЛИЖЕННЯ НЕСКІНЧЕННО-ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ В ІНТЕГРАЛЬНІЙ МЕТРИЦІ Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвива- ється в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення та- ких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідо- вності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею Λ. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визна- чає конкретний метод підсумовування рядів Фур’є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда. Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 році. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-диферен- ційовних функцій для дробових r. Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теля- ковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін. У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функ- цій в інтегральній метриці. © І. Б. Ковальська, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 55 Нехай N — деякий клас сумовних 2π-періодичних функцій. Тоді, якщо для f(x) існує (ψ; β)-похідна (в розумінні Степанця) і ця похідна належить класу N, то такі функції f(x) об’єднують в окремий клас L(ψ; β)N, що характеризується (ψ; β) диферен- ціальними властивостями самої функції і умовами, накладе- ними на її (ψ; β) похідну. У статті класи L(ψ; β)N складаються з функцій, ряди Фур’є яких збігаються до нескінченно-диференційовних функцій, а їх (ψ; β)-похідні в інтегральній метриці належать одиничній кулі. Основним результатом роботи є наступне твердження. Теорема. Якщо дана функція f(t, n, r) — рівномірно обме- жена, а функції f(x) належать згаданому класу L(ψ; β)N, то для довільних n  N, для верхніх граней відхилень сум Зігмунда від функцій з класу L(ψ; β)N справедливі точні порядкові оцін- ки, де порядок визначається степенем — r методу Зігмунда. Із допоміжних тверджень доводиться 2 леми і для того, щоб показати непокращуваність порядкової оцінки будується екстремальна функція g(x)  L(ψ; β)N. Ключові слова: порядкові оцінки, суми Зігмунда, нескін- ченно-диференційовні функції, простір Lp. Вступ. Теорія наближення функцій виникла як в результаті вну- трішнього розвитку математики так і з потреб практики. В ній відо- бражена одна з фундаментальних ідей математики — моделювання складних об’єктів і явищ з допомогою більш простих і зручних. Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвивається в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення таких функ- цій є послідовності частинних сум цього ряду і послідовності  ,nU f  лінійних операторів, що визначаються матрицею  n k  , 0, 1, 2,...,n  0, 1, 2,... :k     ( ) ( )0 0 1 , , cos sin , 2 n n n n k kk k a U f x a kx b kx       де    1 1cos , sink ka f t kt dt b f t kt dt          — коефіцієнти Фур’є функції f(x). Тригонометричний поліном   ( ) ( )0 1 , cos 2 n n n n k k U f kt       називають ядром оператора (методу)  ,nU f  . У випадку, коли ( ) 1 , 0, 0, 1, 2,..., 1 r n k k r k n n           виходить поліном, що відпо- відає методу Зігмунда. Поліноми Математичне та комп’ютерне моделювання 56     1 ( ) 0 1 , 1 cos sin 2 rn r n k k k a kZ f x a kx b kx n               називають сумами Зігмунда. Суми Зігмунда для 0r  були введені А. Зігмундом в [3]. Там же були доведені деякі твердження, які встановлювали точні порядки відхилень цих сум на класах ,r r r rW W H . Дослідження А. Зігмунда були продовжені Б. Надем [6] і С. А. Те- ляковським [5], а також А. В. Єфимовим [4], О. І. Степанцем і Д. М. Бушевим [2]. Постановка задачі. Нехай  f x — сумовна, 2 -періодична функція, і           0 1 0 cos sin , 2 n n k k k k k a f S f a f kx b f kx A f x        — її ряд Фур’є. Нехай далі ( )k — довільна функція натурального аргументу і  — фіксоване дійсне число, R  . Припустимо, що ряд       1 1 cos sin 2 2k k k a f kx b f kx k                       є рядом Фур’є деякої функції з  0; 2L  . Цю функцію позначимо через  f   і назвемо, згідно [1],  ;  -похідною функції  f  , а множину функцій  f  , що задово- льняють таку умову, позначимо L . Нехай N — деякий клас сумовних 2 -періодичних функцій. Тоді, якщо f L і крім того f N   , то будемо вважати, що функ- ція  f x належить до класу L N  . Розглянемо величини відхилень сум Зігмунда     1 ( ) 0 1 , 1 , 2 rn r n k k a kZ f x A f x n              порядку 1n  від функцій з класів L N  , коли N — деяка підмножи- на в просторі pL :  : 1p pN S     і верхні грані цих відхилень на класах L N  : Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 57 En ( )( ) sup ( ; ) sup ( ) ( , )r s n ns sf L N f L N L N f x f x Z f x             . При цьому покладемо  , , 1; .p pL S L p      Нехай множини L складаються з функцій, ряди Фур’є яких збі- гаються до нескінченно-диференційовних функцій        1 1: , 2 tt t t t t                           M . Згідно з [1] позначимо через M множину функцій  M , для яких величина  t t  обмежена зверху   : , 1t t K t        M M . У роботі отримаємо точні порядкові оцінки величини En  , p s L для   , pf x L в метриці простору sL , де 1 2 0 ( ) s s sf f t dt          , якщо наближення здійснюється регулярним лінійним методом підсу- мовування рядів Фур’є — методом Зігмунда. Основним результатом роботи є наступне твердження: Теорема. Нехай  M і функція   1 cos , 2 n n k k kt                  , 1 1; , ; r n k kk k n n k k n                 така, що     r n nf t t n  є рівномі- рно обмежена. Тоді, якщо 1 ,p s   і , pf L , то n N   2 , 1 p sr C n   En    1 ,, 1 p sp rs L C n     , де  1 ,p sC і  2 ,p sC — сталі, що залежать лише від p і s . Допоміжні твердження. Лема 1. Якщо функція  k така, що ряд 1 ( ) , 0r k k k r     збі- жний, то функція     r n nf t t n  , де Математичне та комп’ютерне моделювання 58 1 1 ( ) ( )cos ( )cos , 0, 2 2 rn n k k n kt k kt k kt r R n                                  є рівномірно обмеженою при всіх n N і t R . Доведення. Покажемо, що n N  функція  nf t обмежена. 1 1 ( ) ( )cos ( ) cos 2 2 rn n k k n kt k kt k kt n                                1 1 1 ( ) cos ( ) cos 2 2 n r r k k n k k kt k kt n                          1 1 1 ( ) ( ) n r r k k n k k k n           . Відомо, що  n  M і n N  (див. наприклад, [1]) 1 2 0 ( ) K ( ) 2 K ( )j k n j k n n           . Оскільки ряд 1 ( ) r k k k    збіжний, то 1 ( ) n r n k S k k    обмежена і 1 ( ) n r k k k S    n N  . Із цих співвідношень отримаємо:    ; r n nf t t n      1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 n r r r r k k n n k k k S K n n S K K n                        . Лема доведена. Лема 2. Нехай  k M , 1 ,p s   . Тоді , pf L  і n N  : En   ,, 1 p sp rs L C n     , де ,p sC — стала, що залежить лише від p і s . Доведення. Оскільки    M M , то для таких функцій виконується нерівність 1 ( )n k k k     і ряд 1 ( )cos 2k k kt          є ря- дом Фур’є деякої сумовної функції. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 59 Тому , pf L  майже скрізь на періоді має місце рівність             1 1, , cos 2 nr n n k k f x f x Z f x f x t kt dt                    , де       , 1 1; , . r n k kk k n n k k n                 Використовуючи нерівність Юнга для згорток періодичних функ- цій 1 1 12 , 1 , 1s p qy z y z p s q p s                 , знаходимо:       1 12 , 2 cos 2 n n ks k f x f x t kt dt                           1 1 2 cos cos 2 2 rn p k k n q kf x t k kt k kt n                                            1 22 2n n nr rq q qp p f x t t f x t f t f t n n           . Згідно леми 1 функція  nf t обмежена. Тому   2 1, . 2n r rs Cf x K n n       З нерівності Гельдера для ,pf L 1 ,p s   слідує, що     1 2 . p p p s pss pf f t dt f                 Тоді оцінку можна записати для 1 ,p s   у вигляді En   , ,, 1sup ( ; ) p n p sp s rs f L L f x C n         , де ,p sC — стала, що залежить лише від p і s . Лема доведена. Щоб показати непокращуваність по порядку отриманої оцінки, розглянемо функцію     11 cos 2 g x a x         , де cos pa x . Легко бачити, що       1 11 cos 1 1 2 2p p g x a x              , Математичне та комп’ютерне моделювання 60 тобто   , pg x L і En               , , sup , , p r r n np s s sf L L f x Z f x g x Z g x                 11 1 1 1cos 1 2 1r s g x t t dt a n                               1 1 , 2cos cos 2 2 2 cos cos cos , 2 2 r s r p s r r r ss x t t dt n Ca ax t t dt x n n n                                               де ,p sC — стала, що залежить лише від p і s . Із отриманого співвідношення, а також лем 1 і 2 слідує теорема. Висновки. В статті отримані точні порядкові оцінки величини En  , p s L для   , pf x L в метриці простору sL у випадку, коли наближення здійснюється регулярним лінійним методом підсумову- вання рядів Фур’є-методом Зігмунда. Список використаних джерел: 1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций / А. И. Степанец. — К. : Наук. думка, 1987. — 268 с. 2. Бушев Д. Н. О приближении слабо дифференцируемых периодических функций / Д. Н. Бушев, А. И. Степанец // Укр. мат. журн. — 1990. — Вип. 42. — № 3. — С. 405–412. 3. Zygmund A. Smooth Functions / A. Zygmund // Duke Math. J. — 1945. — Vol. 12. — P. 47–76. 4. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье / А. В. Ефи- мов // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1960. — Вип. 24. — № 5. — С. 743–756. 5. Теляковский С. А. О приближении дифференцируемых функций линей- ными средними их рядов Фурье / С. А. Теляковский // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1960. — Вип. 24. — № 2. — С. 213–242. 6. Nagy B. Sur une generale procedes de summation pour les series de Fourier / B. Nagy // Hung. Acta Math. — 1948. — № 3. — Р. 14–62. APPROXIMATION OF THE INFINITELY-DIFFERENTIABLE FUNCTIONS IN AN INTEGRAL METRIC Since every summable 2π-periodic function is expanded in the Fourier series, the most convenient way to approximate it is to use the sequences of the partial sums of this series and sequences of linear operators, that are de- fined by some triangular matrix Λ. This matrix defines the way of con- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 61 structing polynomials and a particular method of summing the Fourier se- ries. One of them is a regular method, called the Zygmund sums. Zygmund’s sums were defined by A. Zigmund in 1945. He proved some statements, that established exact order estimates of the upper founds of the de- viations of these sums on classes of r-differentiable functions for fractional r. The research of Zigmund was continued by B. Nagy, S. A. Telyakovskiy, A. V. Efimov, A. I. Stepanets, D. N. Bushev and other. In this paper we obtain exact order estimates for the upper bounds of deviations of Zigmund sums from infinitely-differentiable functions in the integral metric. Let N — be a class of summable 2π-functions. If for function f(x) peri- odic there exists a derivative (in the sense of Stepanets) and it belongs to the class N, then such functions f(x) are united in a separate class L(ψ; β)N. This class is characterized by the (ψ; β)-differential properties of the func- tions themselves and the conditions imposed on their derivatives. In this article the classes L(ψ; β)N consist of functions for which the Fourier series are converged to infinitely-differentiable functions and their (ψ; β)-derivatives in the integral metric belong to the unit ball. The main result of the paper is the theorem: if the given function f(t, n, r) — uniformly bounded and the functions f(x) belong to the class L(ψ; β)N, then for any n  N and for upper founds of deviations of Zigmund sums from functions of the class L(ψ; β)N, the exact order estimates are valid, where the order is determined by the number — r of Zigmund sums. From auxiliary assertions, 2 lemmas are proved and an extremal func- tion g(x)  L(ψ; β)N is constructed in order to show that the order esti- mates are unimprovable. Key words: order estimates, Zygmund sums, infinitely-differentiable functions, integral metric. Отримано: 14.05.2018

Ähnliche Einträge