Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці

Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Бак, С.М., Ковтонюк, Г.М., Печериця, І.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162213
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак, Г.М. Ковтонюк, І.В. Печериця // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 5-14. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-162213
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1622132020-01-05T01:25:33Z Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці Бак, С.М. Ковтонюк, Г.М. Печериця, І.В. Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю This paper is devoted to the study of a discrete nonlinear Schrödinger equation on a two-dimensional lattice. This type of equations with saturable nonlinearity is studied. 2018 Article Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак, Г.М. Ковтонюк, І.В. Печериця // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 5-14. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 2308-5878 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.5-14 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162213 517.97 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю
format	Article
author	Бак, С.М. Ковтонюк, Г.М. Печериця, І.В.
spellingShingle	Бак, С.М. Ковтонюк, Г.М. Печериця, І.В. Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Бак, С.М. Ковтонюк, Г.М. Печериця, І.В.
author_sort	Бак, С.М.
title	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_short	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_full	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_fullStr	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_full_unstemmed	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_sort	стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162213
citation_txt	Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак, Г.М. Ковтонюк, І.В. Печериця // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 5-14. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT baksm stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí AT kovtonûkgm stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí AT pečericâív stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí
first_indexed	2025-07-14T14:44:25Z
last_indexed	2025-07-14T14:44:25Z
_version_	1837633913463242752
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 5 УДК 517.97 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.5-14 С. М. Бак, канд. фіз.-мат. наук, Г. М. Ковтонюк, канд. пед. наук, І. В. Печериця, магістрант Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, м. Вінниця СТОЯЧІ ХВИЛІ З ПЕРІОДИЧНОЮ АМПЛІТУДОЮ В ДИСКРЕТНОМУ НЕЛІНІЙНОМУ РІВНЯННІ ТИПУ ШРЕДІНГЕРА ІЗ НАСИЧУВАНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ НА ДВОВИМІРНІЙ ҐРАТЦІ Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рів- няння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю. Спочатку розглянуто рівняння типу Шредінгера з більш загальною нелінійністю, яка має такі ж властивості, як і насичувана нелінійність. Для таких рі- внянь одержано результат про існування розв’язків у вигляді сто- ячих хвиль з періодичною амплітудою (зауважимо, що такі розв’язки часто називають бризерами). Для цього дане рівняння подано в операторному вигляді в просторі двохсторонніх послі- довностей. Припущено, що коефіцієнти відповідного лінійного оператора утворюють k-періодичні послідовності. Цей оператор є обмеженим і самоспряженим у просторі всіх k-періодичних пос- лідовностей. Потім побудовано спеціальний функціонал, критич- ні точки якого в цьому просторі є розв’язками вихідного рівняння. Знайдено похідну Гато цього функціоналу. Далі розглянуто мно- говид Нехарі для заданої варіаційної задачі, який представляє со- бою множину нетривіальних критичних точок побудованого фу- нкціоналу в просторі k-періодичних послідовностей. Показано, що цей многовид Нехарі непорожній і замкнений підмноговид даного простору. Крім того, розглянуто відповідну задачу мінімі- зації і показано, що на розглянутому многовиді Нехарі ця задача за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рів- няння має нетривіальні періодичні розв’язки. І остаточно, в силу того, що насичувана нелінійність задовольняє вказані умови, в статті встановлено існування двох нетривіальних стоячих хвиль з k-періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержані в статті результати є поширенням вже відомих результатів для дискретних нелінійних рівнянь типу Шредінгера на одновимірних та двовимірних ґратках. Ключові слова: дискретне нелінійне рівняння Шредінгера, двовимірна ґратка, стоячі хвилі, критичні точки, многовид Нехарі, насичувана нелінійність. © С. М. Бак, Г. М. Ковтонюк, І. В. Печериця, 2018 Математичне та комп’ютерне моделювання 6 Вступ. Останнім часом значну увагу приділяють моделям, дис- кретним за просторовою змінною. Серед рівнянь, які описують такі моделі, найбільш відомими є рівняння ланцюгів осциляторів, дискре- тне рівняння sin-Ґордона, система Фермі–Пасти–Улама, дискретне нелінійне рівняння Шредінгера. Серед розв’язків таких систем особливої уваги заслуговують біжучі хвилі. В статтях [1; 2; 7; 8; 14; 15; 18; 19] досліджено питання існування біжучих хвиль в системах осциляторів на двовимірній ґратці. В той же час для систем Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці відомі декіль- ка праць [3; 16], в яких отримано умови існування періодичних та відо- кремлених біжучих хвиль. В статтях [6; 9; 17] вивчались бiжучi хвилi для дискретного рівняння sin-Ґордона на двовимірній ґратці. Ще одним важливим класом розв’язків є стоячі хвилі. В статтях [4; 5; 13; 20; 21] досліджувалось питання існування стоячих хвиль для дискретних нелінійних рівнянь типу Шредінгера. Метою цієї статті є одержання умов існування стоячих хвиль з періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці. Постановка задачі. У цій статті вивчається дискретне нелінійне рівняння типу Шредінгера на плоскій цілочисловій ґратці із насичу- ваною нелінійністю                     , , 1, 1, 1, , , 1 2 , 2 , 1 , 1 , , ,2 , 0, , , 1 n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m i t a t a t b t t b t c t t n m t                           & ′ (1) де  ,n m t — хвильова функція  ,n m -ї частинки,  , ,n ma  , , 0n mb  ϒ . Зауважимо, що в статті [10] вивчались двовимірні солітони в подібних рівняннях. Стоячі хвилі в цьому випадку мають вигляд    , , expn m n mt u i t   , (2) де  ,n mu ϒ називається амплітудою стоячої хвилі, а ϒ — час- тотою. Такі розв’язки іноді називають бризерами або лакунарними солітонами. Будемо вивчати стоячі хвилі з k -періодичною амплітудою, тоб- то відповідно , , , .n k m n m k n mu u u   (3) Підставляючи стоячу хвилю (2) в рівняння (1) і враховуючи, що  exp 1i t  , одержимо рівняння Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 7 , , 1, 1, 1, , , 1 3 , , 1 , 1 , , 2 , 0. 1 n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m u a u a u b u u b u c u u                  (4) Позначимо через   , 1, 1, 1, , , 1 , 1 , 1 , ,, ,n m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn mLu a u a u b u b u c u            3 , , 2 , . 1 n m n m n m u f u u    Тоді рівняння (4) набуде вигляду  , , ,n m n m n mLu u f u  . (5) Надалі будемо розглядати більш загальне рівняння (5) з деякою нелінійністю  , .n mf u Нехай  F t первісна функція для функції  f t , тобто     0 . t F t f s ds  Тоді всюди далі припустимо, що вико- нуються наступні умови:  1i послідовності  ,n ma і  ,n mb періодичні, тобто ,n k ma   , ,n m k n ma a  , , , ,n k m n m k n mb b b   , , , ,n k m n m k n mc c c   і нижньою межею спектра оператора L є число 0;  2i     , 0f t o t t  і  lim ; t f t l t     3i  1f C ϒ і     2 , 0;f t t f t t t   4i    1lim . 2t f t t F t         Зауваження 1. За виконання умови  1i оператор L є обмеже- ним і самоспряженим у просторі 2l , а за виконання умов  2i ,  3i функція  f t t строго зростаюча, тоді як функція    1 2 f t t F t стро- го зростає при 0t  і строго спадає при 0.t  Варіаційне формулювання задачі. Нехай 2k  — ціле число. Тоді через kE позначимо простір всіх k -періодичних послідовностей  ,n mu , які задовольняють умову (3). Це скінченновимірний простір Математичне та комп’ютерне моделювання 8 зі скалярним добутком     , , , , k n m n mk n m Q u v u v    та нормою   1 22 , , , k n mk n m Q u u           де   2, : , 1 , 2 2k k kQ n m n m k                   ′ [ ]x — ціла частина .x Іноді ми будемо розглядати pl -норму на kE   1 , , , 1 .p k k pp n ml n m Q u u p              Нагадаємо, що при 1 p q    q p k kl lu u . (6) Зауважимо, що оператор L  є обмеженим і самоспряженим у просторі kE . На цьому просторі розглянемо функціонал         , , 1 , , 2 k k k n mk n m Q J u L u u u F u      (7) де kL — оператор L , який діє в просторі kE . Безпосереднім обчис- ленням одержуємо: Лема 1. Похідна Гато функціоналу kJ визначається за формулою         , , , , , k k k n m n mk n m Q J u h L u u h f u h       , , ku h E , (8) а його критичні точки є розв’язками рівняння (5) з простору kE . Допоміжні леми. Для функціоналу kJ означимо многовид Нехарі   : \| , 0, 0 .k k k kN u E J u u u E     (9) Введемо позначення    : ,k kI u J u u . Це 1C -функціонал, по- хідна Гато якого визначається формулою            , , , , , , , k k k n m n m n m n mk n m Q I u h L u u h f u f u u h       . (10) Лема 2. Нехай виконуються умови    1 4i i , 0l   , 0.  Тоді множина Nk є непорожнім замкненим C1-підмноговидом у прос- торі kE , на якому   0kI u  . Крім того, існує 0 0  таке, що 0ku  та .ku N Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 9 Доведення. Нехай  , l   і E — спектральний підпростір оператора kL  в просторі kE , що відповідає відрізку  0,  . Оскі- льки  kL     , то  0E  . Нехай \{0}v E . За умовою  2і         2 , , , , , k k k n m n mk n m Q J tv tv t L v v v f tv tv          2 2, 0k kt L v v v o t    для достатньо малих 0t  . З іншого боку,         2 , , , , , k k k n m n mk n m Q J tv tv t L v v v f tv tv           2 , ,22 ,, . k n m n m k n mn m Q f tv v t v tv             За умовою  2і сума в дужках збігається до 2 kl v , а тому   , 0kJ tv tv  для достатньо великих 0t  . Тоді існує * 0t  таке, що  * , * 0kJ t v t v  і * kt v N . Отже, kN   . Нехай ku N , тоді з рівностей (7) і (9) маємо              2 , , , , , , , 2 . k k k k n m n m n m n m n m Q I u u I u u I u f u u f u u        За умовою  3і ця сума є від’ємною. Тому   0kI u  і за теоремою про неявну функцію kN є 1C -підмноговидом в просторі kE . Замкне- ність kE очевидна. Перейдемо тепер до другої частини леми. Нехай    sup t r f t r t    . Це зростаюча функція при 0r  і згідно  2і   0r  при 0r  . Нехай ku N . Зазначимо, що оператор kL  додатно визначений. Тоді з означення многовиду Нехарі і нерівності (6) маємо       2 , , , , k k n m n mk k n m Q u L u u u f u u          2 2 . kl k k ku u u u     А це означає, що  ku  . Оскільки функція  зростаюча, то знайдеться 0 0  таке, що 0ku  , ku N . Математичне та комп’ютерне моделювання 10 Зауваження 2. Доведення леми показує, що якщо   0kJ v  , то існує єдине  * 0, 1t  таке, що * kt v N , а також існує таке \{0}kv E , що   0kJ v  . З рівності (7) випливає, що на kN             , , , , 1 1 . 2 2 k k k k n m n m n m n m Q J u J u I u f u u F u           (11) Лема 3. Існує таке число  0 0 0k   , що   0kJ u  для всіх ku N . Доведення. Нехай ku N , тоді             , , , , 1 1 . 2 2 k k k k n m n m n m n m Q J u J u I u f u u F u           За лемою 2, 0 0ku   . Отже, існують  0 0, kn m Q (не залежать від u ) і  0 0 0, 0k    (також не залежить від u ) такі, що 0 0nu  . Тоді, поклавши    0 0 0 0 1 2 f F     , за зауваженням 1 маємо, що   0kJ u  для ku N . Лема 4. Якщо ku N , то функція    kt J tu  , 0t  має єдину критичну точку при 1t  . Доведення. Знайдемо похідну          , , 1 , 2 k k n mk n m Q t L tu tu tu F tu                       2 , , 1 , 2 k k n mk n m Q t L u u u F tu                     , , , , k k n m n mk n m Q t L u u u f tu u             , 2 , ,, , . k n m k n mk n mn m Q f tu t L u u u u tu              Оскільки на kN          , , , , , , 1 , , 0 k k n m n m n m n m n m kk n m Q L u u u f u u J u u         , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 11 то 1t  є критичною точкою функції  t . Її єдиність випливає зі строгої монотонності функції  f t t . Основний результат. За лемою 4 точки мінімуму функціоналу kJ на kN є розв’язками рівняння (5). Тому природно розглянути на- ступну задачу мінімізації   inf :k k km J u u N  . (12) Лема 5. Нехай виконуються умови    1 4i i , 0l   , 0.  Тоді задача (12) має розв’язок. Доведення. Нехай   ,j j ku u N — мінімізуючи послідовність для kJ , тобто  j k kJ u m . З рівності (11) маємо         , , , , 1 . 2 k j j j j k n m n m n m n m Q J u f u u F u         Тоді умова  4і означає, що j l u  обмежена. Оскільки простір kE скінченновимірний, а l -норма еквівалентна евклідовій нормі на kE , то послідовність  ju є обмеженою. Переходячи до підпослідовнос- ті, ми можемо вважати, що  ju збігається до ku N і  k kJ u m . □ Основними результатами цієї статті є наступні дві теореми. З леми 5 випливає теорема: Теорема 1. Нехай виконуються умови    1 4i i , 0l   , 0.  Тоді для будь-якого 2k  рівняння (5) має нетривіальний k - періодичний розв’язок  k ku E . Крім того, якщо функція f непар- на, то рівняння (5) має два нетривіальні розв’язки  k ku E  . Оскільки насичувана нелінійність   3 , , 2 , , 0 1 n m n m n m u f u u     за- довольняє умови    2 4і і , то з теореми 1 випливає теорема: Теорема 2. Нехай виконується умова  1i , 0   , 0.  То- ді для будь-якого 2k  рівняння (4) має два нетривіальні розв’язки  k ku E  . Математичне та комп’ютерне моделювання 12 Висновки. Таким чином, у цій статті одержано результат про існування стоячих хвиль з періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці. Список використаних джерел: 1. Бак С. Н. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решет- ках / С. Н. Бак, А. А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 154–175. 2. Бак С. М. Існування відокремлених біжучих хвиль для системи нелінійно зв’язаних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Український математичний журнал. — 2017. — Т. 69, № 4. — С. 435–444. 3. Бак С. М. Існування періодичних бiжучих хвиль в системі Фермі-Пасти- Улама на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні студії. — 2012. — Т. 37, № 1. — С. 76–88. 4. Бак С. М. Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Ма- тематичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський націона- льний університет імені Івана Огієнка, 2017. — Вип. 16. — С. 21–29. 5. Бак С. М. Існування стоячих хвиль для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуванню нелінійністю / С. М. Бак // Математичні студії. — 2010. — Т. 33, № 1. — С. 78–84. 6. Бак С. М. Періодичні біжучі хвилі в дискретному рівнянні sin-Ґордона на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделю- вання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець- Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. — Вип. 9. — С. 5–10. 7. Бак С. М. Існування дозвукових періодичних біжучих хвилі в системі нелі- нійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2014. — Вип. 10. — С. 17–23. 8. Бак С. М. Існування надзвукових періодичних біжучих хвилі в системі нелі- нійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2015. — Вип. 12. — С. 5–12. 9. Бак С. М. Існування гетероклінічних біжучих хвиль у системі осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні методи та фізико- механічні поля. — 2014. — Т. 57, № 3. — С. 45–52. 10. Бак С. М. Існування та єдиність глобального розв’язку задачі Коші для нес- кінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 3-9. 11. Бак С. М. Коректність задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів, розміщених на двовимірній решітці / С. М. Бак, О. О. Бара- нова, Ю. П. Білик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 13 Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2010. — Вип. 4. — С. 18–24. 12. Бак С. М. Коректність задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів з кубічним потенціалом на двовимірній ґратці / С. М. Бак, К. Є. Рум’янцева // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2012. — Вип. 6. — С. 29–36. 13. Мезенцев В. К. Двумерные солитоны в дискретных системах / В. К. Ме- зенцев, С. Л. Мушер, И. В. Рыженкова, С. К. Турицын // Письма в ЖЭТФ. — 1994. — Т. 60, вып. 11. — С. 815–821. 14. Bak S. M. Existence of heteroclinic traveling waves in a system of oscillators on a two-dimensional lattice / S. M. Bak // Journal of Mathematical Sciences, 2016. — Vol. 217, № 2 (August). — P. 187–197. 15. Bak S. M. Existence of solitary traveling waves in a system of nonlinearly coupled oscillators on the 2D lattice / S. M. Bak // Ukrainian mathematical Journal. — 2017. — Vol. 4 (69). — P. 509–520. 16. Bak S. M. Existence of solitary traveling waves in Fermi-Pasta-Ulam system on 2D lattice / S. M. Bak, G. M. Kovtonyuk // Matematychni Studii. — 2018. — Vol. 50, № 1. — P. 75–87. 17. Bak S. The existence of heteroclinic traveling waves in the discrete sine-Gordon equation with nonlinear interaction on a 2D-lattice / S. Bak // Journal of mathemati- cal physics, analysis, geometry. — 2018. — Vol. 14, № 1. — P. 16–26. 18. Feckan M. Traveling waves in Hamiltonian systems on 2D lattices with nearest neighbour interactions / M. Feckan, V. Rothos // Nonlinearity. — 2007. — № 20. — P. 319–341. 19. Friesecke G. Geometric solitary waves in a 2D math-spring lattice / G. Friesecke, K. Matthies // Discrete and continuous dynamical systems. — 2003. — Vol. 3, № 1 (February). — P. 105–114. 20. Pankov A. Gap solitons in periodic discrete NLS equations / A. Pankov // Non- linearity. — 2006. — № 19. — P. 27–40. 21. Pankov A. Periodic and decaying solutions in DNLS with saturable nonlineari- ty / A. Pankov, V. Rothos // Proc. Royal Society A. — 2008. — № 464. — P. 3219–3236. STANDING WAVES WITH PERIODIC AMPLITUDE IN THE DISCRETE NONLINEAR SCHRÖDINGER TYPE EQUATION WITH SATURABLE NONLINEARITY ON 2D-LATTICE This paper is devoted to the study of a discrete nonlinear Schrödinger equa- tion on a two-dimensional lattice. This type of equations with saturable nonlin- earity is studied. We first consider the Schrödinger type equation with a more general nonlinearity, which has the same properties as saturable nonlinearity. For such equations, we obtain the result of the existence of solutions in the form of standing waves with periodic amplitude (note that such solutions are often called breathers). To do this, the given equation is presented by operator form in the space of two-sided sequences. It is assumed that the coefficients of the corresponding linear operator form k-periodic sequences. This operator is Математичне та комп’ютерне моделювання 14 bounded and self-adjoint in the space of all k-periodic sequences. Then a spe- cial functional was constructed, the critical points of which in this space are so- lutions of the original equation. A Gateaux derivative of this functional is found. Next we consider the Nehari manifold for a given variational problem, which is a set of nontrivial critical points of a constructed functional in the space of k-periodic sequences. It is shown that this manifold is a non-empty and closed subset of a given space. In addition, the corresponding minimization problem is considered and it is shown that this problem has a solution in the Nehari manifold. Consequently, under these conditions the original equation has nontrivial periodic solutions. Finally, due to the fact that saturable nonline- arity satisfies these conditions, the existence of two nontrivial standing waves with k-periodic amplitude for a discrete nonlinear Schrödinger equation with saturable nonlinearity on a two-dimensional lattice is established. The results of this paper are the distribution of already known results for discrete nonlinear Schrödinger equations on 1D and 2D-lattices. Key words: discrete nonlinear Schrödinger equation, 2D-lattice, standing waves, critical points, Nehari manifold, saturable nonlinearity. Отримано: 14.11.2018 UDC 519.6 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.14-24 A. Ya. Bomba, Doct. of Techn. Sciences, M. V. Boichura Rivne State Humanitarian University, Rivne NUMERICAL COMPLEX ANALYSIS METHOD FOR PARAMETERS IDENTIFICATION OF ANISOTROPIC MEDIA USING APPLIED QUASIPOTENTIAL TOMOGRAPHIC DATA. PART 1: PROBLEM STATEMENT AND ITS APPROXIMATION The approach to the solving of gradient problems of parameters identification of quasiideal fields with using applied quasipotential tomographic data based on numerical complex analysis methods is transferred to cases of anisotropic media. We, similar to the existing works of world scientists, some additional information about the na- ture of the distribution of conductivity inside the domain (research object) is considered a priori known. However, in opposite to the tra- ditional approaches to the statement and solving the problems of electrical impedance tomography, we set the local velocities distribu- tion of a substance (liquid, current) in addition to the averaged poten- tial at the contact sections of plate and body and at other sections (stream lines), we set the potential distribution (according to experi- mental data, which we approximate using splines, Bezier curves, etc.). Generation of initial data at the boundary of the investigated object is carried out in accordance with the polar model of current in- jection and a given sum of eigenvalues of the conductivity tensor of © A. Ya. Bomba, M.V. Boichura, 2018

Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці

Репозитарії

Схожі ресурси