Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною

Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною

У пропонованій статті методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною к...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2018
Hauptverfasser: Конет, І.М., Пилипюк, Т.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162221
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 86-99. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-162221
record_format dspace
spelling irk-123456789-1622212020-01-05T01:25:30Z Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною Конет, І.М. Пилипюк, Т.М. У пропонованій статті методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною клиновидному за кутовою змінною циліндричнокруговому просторі з циліндричною порожниною. By the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (matrices of influence and Green matrices) the only exact analytical solutions of the parabolic boundary value problems of mathematical physics in a piecewise homogeneous wedge-shaped cylindrical circular space with a cylindrical cavity were constructed for the first time. 2018 Article Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 86-99. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 2308-5878 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.86-99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162221 517.946 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У пропонованій статті методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною клиновидному за кутовою змінною циліндричнокруговому просторі з циліндричною порожниною.
format Article
author Конет, І.М.
Пилипюк, Т.М.
spellingShingle Конет, І.М.
Пилипюк, Т.М.
Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Конет, І.М.
Пилипюк, Т.М.
author_sort Конет, І.М.
title Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_short Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_full Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_fullStr Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_full_unstemmed Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_sort параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2018
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162221
citation_txt Параболічні крайові задачі в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 86-99. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT konetím parabolíčníkrajovízadačívkuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomuprostorízporožninoû
AT pilipûktm parabolíčníkrajovízadačívkuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomuprostorízporožninoû
first_indexed 2025-07-14T14:44:49Z
last_indexed 2025-07-14T14:44:49Z
_version_ 1837633938503237632
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 86 УДК 517.946 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.86-99 І. М. Конет, д-р фіз.-мат. наук, професор, Т. М. Пилипюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський ПАРАБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ПРОСТОРІ З ПОРОЖНИНОЮ У пропонованій статті методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудо- вано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіаль- ною змінною клиновидному за кутовою змінною циліндрично- круговому просторі з циліндричною порожниною. Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов Діріхле і Неймана та їх можливих комбінацій (Діріхле– Неймана, Неймана–Діріхле). Для побудови розв’язків досліджуваних задач застосовано скіченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної, інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі щодо аплікат- ної змінної та гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі з n точками спряження щодо радіальної змінної. Послідовне застосування інтегральних перетворень дозво- ляє звести тривимірні початково-крайові задачі до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рі- вняння 1-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в за- мкнутому вигляді. Застосування обернених інтегральних перетворень віднов- лює в явному вигляді розв’язки розглянутих задач через їх ін- тегральне зображення. Ключові слова: параболічне рівняння, початкові та кра- йові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, голо- вні розв’язки. Вступ. Теорія крайових і початково-крайових (мішаних) задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними, зокрема рів- нянь математичної фізики, — важливий розділ сучасної теорії дифе- ренціальних рівнянь, який в наш час інтенсивно розвивається. Її актуальність обумовлена як значимістю її результатів для роз- витку багатьох розділів математики, так і численними застосування- ми її досягнень при дослідженні різноманітних математичних моде- © І. М. Конет, Т. М. Пилипюк, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 87 лей різних процесів і явищ фізики, механіки, хімії, біології, медици- ни, економіки, техніки, новітніх технологій. Вагомі результати з теорії задачі Коші та початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу одержано у відомих працях Городецького В. В. [2], Житарашу М. В., Ейдельмана С. Д. [6], Загор- ського Т. Я. [7], Івасишена С. Д. [8], Ладиженської О. А., Солонніко- ва В. А., Уральцевої Н. М. [13], Ландіса Є. М. [14], Матійчу- ка М. І. [15], Пукальського І. Д. [17], Фрідмана А. [21], Ейдельма- на С. Д. [23] та інших вітчизняних і зарубіжних математиків. Відомо, що складність досліджуваних крайових і мішаних задач суттєво залежить як від коефіцієнтів рівнянь (різні види виродженостей і особливостей коефіцієнтів), так і від геометричної структури області (гладкість межі, наявність кутових точок тощо), в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивості розв’язків і роз- винуто різноманітні методи побудови розв’язків (точні та наближені) крайових задач для лінійних, квазілінійних і деяких нелінійних рівнянь різних типів (еліптичних, параболічних, гіперболічних) в однозв'язних областях (однорідних середовищах), які обумовлені згаданими вище властивостями коефіцієнтів рівнянь і геометрії області, та побудовано функціональні простори коректності задач в сенсі Адамара. Водночас багато важливих прикладних задач термомеханіки, теп- лофізики, дифузії, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії ко- ливань приводять до крайових і мішаних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними різних типів не тільки в однорідних середовищах, коли коефіцієнти рівнянь є неперервними, але й в неод- норідних і кусково-однорідних середовищах, коли коефіцієнти рівнянь є кусково-неперервними чи, зокрема, кусково-сталими [4, 5, 18]. Відомо, що крім методу відокремлення змінних та його узагаль- нень, одним з важливих і ефективних методів вивчення лінійних кра- йових і мішаних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в однорідних середовищах є метод інтегральних перетво- рень, який дає можливість побудувати в аналітичному вигляді точні розв’язки задач через їх інтегральне зображення. У той же час для досить широкого класу лінійних задач у куско- во-однорідних середовищах ефективним виявився метод гібридних інтегральних перетворень, що породжені відповідними гібридними диференціальними операторами, коли на кожній компоненті зв’язності кусково-однорідного середовища розглядаються або ж різ- ні диференціальні оператори, або ж диференціальні оператори того ж самого вигляду, але з різними наборами коефіцієнтів [3, 9-12]. У цій статті за допомогою методу інтегральних і гібридних інте- гральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків по- Математичне та комп’ютерне моделювання 88 будовано інтегральні зображення єдиних точних аналітичних роз- в’язків параболічних початково-крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому прос- торі з циліндричною порожниною. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині 1 1 1 0 1 1 1 {( , , , ) : 0; ( ; ), 0, ; n n n j j j n j j D t r z t r I I R R R R               Υ Υ 0 0(0; ),0 2 ; ( ; )}z         класичного розв'язку лінійних диференціальних рівнянь з частинни- ми похідними параболічного типу 2-го порядку [16] 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , , , ); ; 1, 1, j j rj zj j j j j j u a a a u t r rr r z u f t r z r I j n                               (1) з початковими умовами 0( , , , ) ( , , );j t ju t r z g r z   ;jr I 1, 1j n  (2) крайовими умовами 0; s j s z u z     0; s j s z u z     0,1;s  1, 1j n  (3) 0 0 0 11 11 1 0 ( , , ); r R u g t z r          1 0; s n s r u r      0,1;s  (4) одними з крайових умов на гранях клина [11] 0 1 ( , , );j ju g t r z  0 1 ( , , );j ju w t r z   1, 1j n  , (5) 0 2 ( , , );j ju g t r z  0 2 ( , , );j j u w t r z       1, 1j n  , (6) 0 3 ( , , );j j u g t r z     0 3 ( , , );j ju w t r z   1, 1j n  , (7) 0 4 ( , , );j j u g t r z     0 4 ( , , );j j u w t r z       1, 1j n  (8) та умовами спряження [12] 1 1 2 2 1 0; k k k k k j j k j j k r R u u r r                          (9) 1, 2;j  1, ,k n Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 89 де , , , , ,k k rj j zj j js jsa a a    — деякі сталі; 2 1 1 2 0;k k k k jk j j j jс       1 2 0;k kc c  0 11 0,  0 11 0;  0 0 11 11 0;    1 2 1( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , ) ;nf t r z f t r z f t r z f t r z    Κ  1 2 1( , , ) ( , , ), ( , , ), , ( , , )ng r z g r z g r z g r z    Κ ; 0 ( , , )g t z , ( , , )pjg t r z , ( , , )pjw t r z ; ( 1,4 ; 1, 1)p j n   — задані обмежені неперервні функції;  1 2 1( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )nu t r z u t r z u t r z u t r z    Κ — шукана неперервно диференційовна за змінною t і двічі неперер- вно диференційовна за геометричними змінними ( , , )r z функція. Зауважимо, що: 1) у випадку 0j  ( 1, 1j n  ) рівняння (1) є класичним тривимір- ним неоднорідним рівнянням теплопровідності (дифузії) для ор- тотропного середовища у циліндричній системі координат; 2) якщо 11 0,k  11 1;k  12 0,k  12 1;k  21 1 ,k k  21 0;k  22 2 ,k k  22 0,k  де 1 ,k 2 k — коефіцієнти теплопровідності, то умови спряження (9) збігаються з умовами ідеального теплово- го (термічного) контакту; 3) якщо 11 ,k kb  11 1;k  12 0,k  12 1;k  21 1 ,k k  21 0;k  22 2 ,k k  22 0,k  де kb – коефіцієнт термоопору, то умови спря- ження (9) збігаються з умовами неідеального теплового контакту. Таким чином, у зазначених випадках 1, 2 (або 1, 3) розглянута параболічна крайова задача математичної фізики моделює процеси теплопровідності в кусково-однорідному клиновидному циліндрич- но-круговому просторі з порожниною. Основна частина. Припустимо, що розв’язки параболічних по- чатково-крайових задач спряження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) існують і задані й шукані функції задо- вольняють умови застосовності залучених нижче прямих та оберне- них інтегральних і гібридних інтегральних перетворень [12, 19, 20]. Згідно з [20] визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1 ,m ikF  інтегральні перетворення Фур’є щодо кутової змінної 0(0; )  за формулами: Математичне та комп’ютерне моделювання 90 0 , , , 0 [ ( )] ( ) ( ) ,m ik m ik m ikF f f U d f       (10) 1 , , , , 0 0 2[ ] ( ) ( ),ik m ik m ik m m ik m ik m F f f U f         (11) де ,11 ,11( ) sin( );m mU    ,11 0 ;m m   ,12 ,12( ) sin( );m mU    ,12 0 (2 1) ; 2m m    ,21 ,21( ) cos( );m mU    ,21 ,12;m m  ,22 ,22( ) cos( );m mU    ,22 ,11;m m  0 0;ik  1ik m  при 11,12, 21;ik  1, 2,3, ;m  Κ 22 0 1 ; 2   22 1m  при 1,2,3, .m  Κ При цьому для інтегрального оператора ,m ikF виконується то- тожність 2 2 , , , ,2 ;m ik m ik m ik m ik d fF f d           , 1, 2,i k  (12) де 1 ,11 0 0 (0) ( 1) ( ) ;m m m f f         0 ,12 0 (2 1) (0) ( 1) ; 2 m m m dff d            ,21 0 00 (2 1)( 1) ( ); 2 m m df m f d            0 ,22 0 ( 1) .m m df df d d          Інтегральний оператор ,m ikF , який діє за формулою (10), вна- слідок тотожності (12) тривимірній початково-крайовій задачі спря- ження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині  ( , , ); 0; ; ( ; )nD t r z t r I z       класичного розв’язку двови- мірних диференціальних рівнянь параболічного типу 2-го порядку Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 91 22 2 , ,2 2 2 , ,2 2 2 , 1 ( , , ); ; 1, 1 jm ik jm ik rj zj jm ik j jm ik jm ik j u a a u u t r rr r z G t r z r I j n                           (13) з початковими умовами , ,0 ( , , ) ( , );jm ik jm ikt u t r z g r z   ;jr I 1, 1,j n  (14) крайовими умовами , 0; s jm ik s z u z     , 0; s jm ik s z u z     0,1s  ; 1, 1,j n  (15) 0 0 0 11 11 1 , 0 , ( , );m ik m ik r R u g t z r         1, , 0; s n m ik s r u r      (16) 0,1s  та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u r r                          (17) 1, 2; 1,j p n  , де 1 , , ;jm ik rj j m ika a  2 2 , , ,( , , ) ( , , ) ( , , ).jm ik m ik j m ikG t r z f t r z a r t r z    Застосуємо до двовимірної початково-крайової задачі спряження (13)–(17) інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі ( ; )  щодо змінної z [19]:  ( ) ( ) exp( ) ( ),F g z g z i z dz g       % 1,i   (18) 1 1[ ( )] ( ) exp( ) ( ), 2 F g g i z d g z         % % (19) 2 2 2 2 [ ( )] ( ).d gF F g z g dz             % (20) Інтегральний оператор F , який діє за формулою (18), внаслідок тотожності (20) крайовій задачі (13)–(17) ставить у відповідність за- дачу побудови обмеженого на множині  ( , ); 0; nD t r t r I     кла- сичного розв’язку одновимірних диференціальних рівнянь В -пара- болічного типу 2-го порядку Математичне та комп’ютерне моделювання 92  , , 2 2 2 2 , , , [ ] ( , , ); ; 1, 1 jm ik jm ik rj jm ik zj j jm ik jm ik j u a B u a u t G t r r I j n               % % % % (21) з початковими умовами , ,0 ( , , ) ( , );jm ik jm ikt u t r g r   % % ;jr I 1, 1,j n  (22) крайовими умовами 0 0 0 11 11 1 , 0 , ( , );m ik m ik r R u g r r          % % 1, , 0; s n m ik s r u r      % (23) 0,1s  та умовами спряження 0 , 1, ,1 1 2 2 0;p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u r r                          % % (24) 1, 2;j  1, ,p n де , 22 , 2 2 1 jm ik jm ikB r rr r       — класичний диференціальний опера- тор Бесселя. До одновимірної початково-крайової задачі спряження (21)–(24) за- стосуємо гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі 0( 0)nI R  з n точками спряження щодо радіальної змінної r [12]:   0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),n R M f r f r V r r rdr f      % (25) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),nM f f V r d f r             % % (26) 1 0 1 2 2 ( ) ( , ) 1 2 0 01 0 1 1 0 11 110 11 [ ( )] ( ) ( ) ( , ) ( , ) . k k Rn n m ik k k k k R r R M B f r f f r V r rdr a R dfV R f dr                             % (27) У формулах (25)–(27) беруть участь, виписані в [12], спектраль- на функція ( , )V r  , вагова функція ( )r , спектральна щільність ( ) та гібридний диференціальний оператор Бесселя , 1, , 2 2 ( , ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , jm ik n m ik n m ik j j j n n j B a r R R r B a r R B            Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 93 де ( )x — одинична функція Гевісайда. Запишемо систему диференціальних рівнянь (21) та початкові умови (22) у матричній формі 1 , 2 , 1, , 2 2 1 1 1 , 2 2 2 2 2 , 2 2 1 1 1, , ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) m ik m ik n m ik m ik m ik n n n m ik a B q u t r t a B q u t r t a B q u t r t                                          % % ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ % = 1 , 2 , 1, , ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ik m ik n m ik G t r G t r G t r                       % % ΛΛΛΛΛ % ,(28) 1 ,1 , 2 , 2 , 1, , 1, ,0 ( , )( , , ) ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( , ) m ikm ik m ik m ik n m ik n m ikt g ru t r u t r g r u t r g r                             %% % % ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ % % (29) де 2 2 2 2( ) ;j zj jq a    1, 1.j n  Інтегральний оператор ( )nM , який діє за формулою (25), зобра- зимо у вигляді операторної матриці-рядка   1 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n R R n R R n n n n R R M V r rdr V r rdr V r rdr V r rdr                       Λ Λ Λ Λ Λ (30) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (28), (29). Вна- слідок тотожності (27) одержуємо задачу Коші для звичайних дифе- ренціальних рівнянь 1-го порядку 1 1 2 2 2 , , 1 1 2 1 0 1 1 0 0 ,0 11 ( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ), n n j j jm ik jm ik j j m ik d q u t G t dt a R V R g t                            %% %% % (31) 1 1 1 , , 1 10 ( , , ) ( , ), n n jm ik jm ik j jt u t g         % %% % (32) де 1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) ; j j R jm ik jm ik j j R u t u t r V r rdr       %% % Математичне та комп’ютерне моделювання 94 1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) ; j j R jm ik jm ik j j R G t G t r V r rdr       %% % 1, 1,j n  1 , ,( , ) ( , ) ( , ) , j j R jm ik jm ik j j R g g r V r rdr       %% % 1, 1.j n  Припустимо, не зменшуючи загальності розв’язку задачі, що  2 2 2 2 1 2 1 1max ( ), ( ),..., ( ) ( )nq q q q     і покладемо всюди 2 j  2 2 1 ( ) ( );jq q   1, 1j n  . Задача Коші (31), (32) набуває вигляду 2 , 2 1 0 1 , , 1 0 0 ,0 11 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ),m ik m ik m ik m ik du a R u G t V R g t dt             %% %% %% % (34) де 1 , , 1 ( , , ) ( , , ); n m ik jm ik j u t u t       % %% % 1 , , 1 ( , , ) ( , , ); n m ik jm ik j G t G t       % %% % 1 1 , , 1 ( , ) ( , ); n m ik jm ik j g g       % %% % 2 2 2 2 2 1 1( , ) .zq        Легко перевірити, що єдиним розв’язком задачі Коші (33), (34) є функція , , 0 2 1 0 1 , 1 0 0 ,0 11 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) , t m ik m ik m ik m ik u t N t g N t a R G V R g t d                              % %% % %% % (35) де розв’язуюча функція (функція Коші) 2( , , ) exp( ( , ) ).N t t     Оскільки суперпозиція операторів ( )nM та 1 ( )nM  є одиничним опе- ратором, то оператор 1 ( )nM  , як обернений до оператора, визначеного за формулою (30), зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця   1 0 21 ( ) 0 1 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) n n V r d V r d M V r d                                         Λ Λ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ Λ (36) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 95 і застосуємо за правилом множення матриць до матриці-елемента , ( , , )m iku t     %% , де функція , ( , , )m iku t  %% визначена формулою (35). Одержуємо єдиний розв’язок одновимірної початково-крайової зада- чі спряження (21)–(24): , , 0 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( )jm ik m ik ju t r N t g V r d            %% % , 0 0 ( , , ) ( , , ) t m ikN t G           %% (37) 2 1 0 1 1 0 0 ,0 11 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ;m ik j a R V R g t V r d d              % 1, 1.j n  Застосувавши послідовно до функцій , ( , , ),jm iku t r % визначених формулами (37), обернені оператори 1F  та 1 ,m ikF  , і виконавши еле- ментарні перетворення, одержуємо функції 0 1 1 , 1 0 0 ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , , ) p p Rtn ik j ik jp p p R u t r z E t r z f                        1 1 2 1 1 0 ( , , , , , , ) p p Rtn ik p p jp p p R d d d a Q t r z d d d                         (38) 0 , 0 0 0 ( , , , , ) ( , , ) ; t jr ikW t r z g d d d                   1, 1,j n  які визначають єдині розв’язки параболічних початково-крайових задач спряження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)– (4), (8), (9) при відповідних значеннях ik (11, 12, 21, 22). У формулах (38) застосовано компоненти , , , 0 0 2( , , , , , ) ( , , , ) ( ) ( )ik ik m ik jp m jp m ik m ik m E t r z K t r z U U            (39) матриці впливу (функції впливу), функції Гріна , 0 0 , , 2( , , , , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( ) ik ik m ik jp m jp m m ik m ik Q t r z K t r z U                      (40) та компоненти 2 1 0 1 , 1 00 11 ( , , , , ) ( , , , , , )ik jr ik j a R W t r z E t r R z         радіа- льної матриці Гріна (радіальні функції Гріна) відповідних початково- крайових задач спряження, де Математичне та комп’ютерне моделювання 96 , 0 0 ( , , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) cos( ) .m ik jp j pK t r z N t V r V z d d               Проаналізуємо формули (38) в залежності від типу крайових умов на гранях кусково-однорідного клиновидного циліндрично- кругового простору з циліндричною порожниною. Розглянемо, на- приклад, випадок крайових умов (5). У цьому випадку функції Гріна 11 ,11 2 10 2( , , , , , , ) ( , , , )m jp jp m Q t r z mK t r z              1 1 1 0 ( , , ) ( 1) ( , , ) sin .m p p mg               Якщо визначити тангенціальні функції Гріна 11 ,11 ,1 2 010 2( , , , , , , ) ( , , , ) sin ,m jp jp m mW t r z mK t r z               11 1 ,11 ,2 2 010 2( , , , , , , ) ( 1) ( , , , ) sin ,m m jp jp m mW t r z K t r z                 то розв’язок параболічної початково-крайової задачі спряження (1)– (4), (5), (9) можна записати у вигляді 0 1 1 11 ,11 1 0 0 ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , , ) p p Rtn j jp p p R u t r z E t r z f                        1 1 2 11 ,1 1 1 0 [ ( , , , , , , ) ( , , ) p p p Rtn jp p p R d d d a W t r z g                       11 1 ,2 1( , , , , , , ) ( , , )]jp p pW t r z d d d              0 ,11 0 0 0 ( , , , , , ) ( , , ) ; t jrW t r z g d d d                    1, 1.j n  З використанням властивостей функцій впливу 11 ( , , , , , )jpE t r z   і функцій Гріна 11 , ( , , , , , , )jp sW t r z    , ( 1, 2)s  , ,11( , , , , , )jrW t r z   без- посередньо перевіряється, що функції ,11( , , , )ju t r z , визначені форму- лами (41), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), крайові умо- ви (3), (4), (5) та умови спряження (9) в сенсі теорії узагальнених функ- цій [22]. Єдиність розв’язку (41) випливає із його структури (інтеграль- ного зображення) та єдиності головних розв’язків (функцій впливу та Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 97 функцій Гріна) параболічної початково-крайової задачі спряження (1)–(4), (5), (9). Методами з [1, 22] можна довести, що при відповідних умовах на вихідні дані, формули (41) визначають обмежений класичний розв’язок розглянутої задачі. Підсумком викладеного вище є така теорема. Теорема. Якщо функції ( , , , ),jf t r z ( , , ),jg r z 1 ( , , )jg t r z , 1 ( , , )j t r z , ( 1, 1)j n  задовольняють умови: 1) неперервно диференційовні за змінною t і двічі неперервно ди- ференційовані за геометричними змінними; 2) мають обмежену варіацію за геометричними змінними; 3) абсолютно сумовні за змінною z на ( ; )  ; 4) абсолютно сумовні з ваговою функцією ( )r r за змінною r на кусково-однорідній полярній осі nI  ; 5) справджують умови спряження, а функція 0 ( , , )g t z також задо- вольняє умови 1)–3), то параболічна початково-крайова задача спряження (1)–(4), (5), (9) має єдиний обмежений класичний розв’язок, який визначається за формулами (41). Випадки крайових умов (6), (7) чи (8) на гранях клина 0  , 0  аналізуються аналогічно. Зауваження 1. У випадку 0rj j zj ja a a a    формули (38) визначають структури розв’язків розглянутих задач в ізотропному кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просто- рі з циліндричною порожниною. Зауваження 2. Випадок зміни  в межах від 1 до 2 зводить- ся до розглянутого заміною 1     0 2 1( )    . Зауваження 3. Параметри 0 0 11 11,  дозволяють виділяти з фор- мул (38) розв’язки початково-крайових задач спряження у випадках задання на радіальній поверхні 0r R крайових умов 1-го роду, 2-го роду та 3-го роду. Зауваження 4. Аналіз формул (38) в залежності від аналітично- го виразу функцій ( , , , ),jf t r z ( , , ),jg r z ( , , )kjg t r z , ( , , ),kj t r z 1, 1,j n  1,4,k  0 ( , , )g t z проводиться безпосередньо із загальних структур. Математичне та комп’ютерне моделювання 98 Висновки. За допомогою методу інтегральних і гібридних інте- гральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (функцій впливу та функцій Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з цилі- ндричною порожниною. Одержані інтегральні зображення розв’язків носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від параметрів і даних задачі й можуть бути використані як в подальших теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків математичних моделей еволюційних процесів у кусково-однорідних середовищах. Список використаних джерел: 1. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 274 с. 2. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь параболічного типу / В. В. Городецький. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с. 3. Громик А. П. Температурні поля в кусково-однорідних просторових се- редовищах / А. П. Громик, І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Кам’янець- Подільський : Абетка-Світ, 2011. — 200 с. 4. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — К. : Наук. думка, 2001. — 606 с. 5. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 6. Житарашу Н. В. Параболические граничные задачи / Н. В. Житарашу, С. Д. Эйдельман. — Кишинев : Штиинца, 1992. — 327 с. 7. Загорский Т. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных урав- нений с частными производными параболического типа / Т. Я. Загор- ский. — Львов : Изд-во ЛГУ, 1961. — 115 с. 8. Ивасишин С. Д. Матрица Грина параболических задач / С. Д. Иваси- шин. — К. : Вища школа, 1990. — 199 с. 9. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково- однорідних просторових середовищах / І. М. Конет. — Кам’янець- Подільський : Абетка-Світ, 2013. — 120 с. 10. Конет І. М. Параболічні крайові задачі в кусково-однорідних середови- щах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам’янець-Подільський : Абетка- Світ, 2016. — 244 с. 11. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 12. Конет І. М. Параболічні крайові задачі в кусково-однорідних циліндрич- но-кругових середовищах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам’янець- Подільський : Абетка-Світ, 2017. — 80 с. 13. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболиче- ского типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1967. — 736 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 99 14. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболиче- ского типов / Е. М. Ландис. — М. : Наука, 1971. — 288 с. 15. Матійчук М. І. Параболічні та еліптичні крайові задачі з особливостями / М. І. Матійчук. — Чернівці : Прут, 2003. — 248 с. 16. Перестюк М. О. Теорія рівнянь математичної фізики / М. О. Перестюк, В. В. Маринець. — К. : Либідь, 2006. — 424 с. 17. Пукальський І. Д. Крайові задачі для нерівномірно параболічних та еліп- тичних рівнянь з виродженостями і особливостями / І. Д. Пукальський. — Чернівці : Рута, 2008. — 253 с. 18. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 19. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. 20. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер. — М. : Гостехтеориздат, 1956. — 204 с. 21. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического ти- па / А. Фридман. — М. : Мир, 1968. — 428 с. 22. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. PARABOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL-CIRCULAR SPACE WITH A CAVITY By the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (matrices of influence and Green matrices) the only exact analytical solutions of the parabolic boundary value problems of mathematical physics in a piecewise homogeneous wedge-shaped cylindrical circular space with a cylindrical cavity were constructed for the first time. The cases of the Dirichlet and Neumann boundary conditions and their possible combinations (Dirichlet-Neumann, Neumann-Dirichlet) on the edges of the wedge are considered. The finite integral Fourier transform relative to the angular variable, Fourier integral transform on the Cartesian axis relative to the variable z and Weber-type hybrid integral transform on the polar axis with n conjuga- tion points relative to the radial variable are used to construct solutions. The sequential application of integral transforms allows us to reduce the three-dimensional initial-boundary value problems to the Cauchy prob- lem for the ordinary linear non-uniform differential equation of the 1st or- der, the only solution of which is written in a closed form. The use of inverse integral transforms restores the solutions of the con- sidered problems in explicit form through their integral image. Key words: parabolic equation, initial and boundary conditions, con- jugation conditions, integral transforms, main solutions. Отримано: 12.11.2018

Ähnliche Einträge