Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті

Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого род...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Подгорний, О.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162224
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті / О.Р. Подгорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 113-125. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-162224
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1622242020-01-05T01:25:38Z Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті Подгорний, О.Р. Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. The problem of the stationary porous media flow theory in an isotropic inhomogeneous media is considered in the assumption that the Darcy law is fulfilled. The mathematical model of this problem is the elliptic equation for the stream function, supplemented by second kind boundary conditions at the reservoir boundaries, and the first kind boundary conditions in regions that are impenetrable to the liquid. 2018 Article Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті / О.Р. Подгорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 113-125. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 2308-5878 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.113-125 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162224 519.63:532.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини.
format	Article
author	Подгорний, О.Р.
spellingShingle	Подгорний, О.Р. Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Подгорний, О.Р.
author_sort	Подгорний, О.Р.
title	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
title_short	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
title_full	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
title_fullStr	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
title_full_unstemmed	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
title_sort	чисельний аналіз методом r-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162224
citation_txt	Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті / О.Р. Подгорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 113-125. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT podgornijor čiselʹnijanalízmetodomrfunkcíjfílʹtracíjnihtečíjuneodnorídnomugruntí
first_indexed	2025-07-14T14:44:59Z
last_indexed	2025-07-14T14:44:59Z
_version_	1837633948664987648
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 113 УДК 519.63:532.5 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.113-125 О. Р. Подгорний, аспірант Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ МЕТОДОМ R-ФУНКЦІЙ ФІЛЬТРАЦІЙНИХ ТЕЧІЙ У НЕОДНОРІДНОМУ ҐРУНТІ Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотроп- ному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. При цьому, в пос- тановку задачі входить невідоме значення повних витрат рідини, для знаходження котрого формулюється додаткове інтегральне співвідношення. Для її чисельного аналізу пропонується викорис- тати структурно-варіаційний метод (метод R-функцій), що дозво- лить найбільш повно урахувати в обчислювальному алгоритмі всю геометричну та аналітичну інформацію, яка входить у поста- новку задачі. Від вихідної задачі здійснено перехід до крайової задачі з відомими крайовими умовами. Згідно з методом R- функцій для побудованої структури розв’язку, яка точно враховує всі крайові умови отриманої задачі, обґрунтовано використання варіаційного методу Рітца для апроксимації невизначеної компо- ненти. Після цього, з додаткового інтегрального співвідношення знайдено наближене значення невідомих витрат рідини і набли- жений розв’язок вихідної задачі. Було проведено обчислювальний експеримент для різних значень коефіцієнтів фільтрації в області, яка має вигляд нижньої половини кільця, з умовою, що координа- тні функції були побудовані на основі поліномів Лежандра. У ви- падку сталого коефіцієнта фільтрації наближений розв’язок задачі було порівняно з точним розв’язком. Виявлено, що похибка ви- значення повних витрат рідини та наближеного розв’язку задачі зменшується зі збільшенням кількості координатних функцій. Та- кож було розглянуто випадки, де коефіцієнт фільтрації збільшу- ється з глибиною. Встановлено, що зі збільшенням кількості ко- ординатних функцій значення повних витрат має тенденцію до збігу. Отже, запропонований метод чисельного аналізу довів свою ефективність і може бути використаний для розв’язку практичних задач. Перевагами розробленого методу є отримання розв’язку крайової задачі у вигляді єдиного аналітичного виразу і точне за- доволення всіх крайових умов задачі. Ключові слова: фільтраційна течія, задача напірної фі- льтрації, функція течії, метод R-функцій, метод Рітца. Вступ. Фільтраційною течією називається просочування у порис- тому середовищі рідин, нафти та газу, газованої [12]. До розгляду таких © О. Р. Подгорний, 2018 Математичне та комп’ютерне моделювання 114 течій призводять процеси осушення і зрошення, втікання морської води в прісну, обтікання гідротехнічних споруд, просочування води крізь зем- ляні дамби тощо. Математичними моделями цих процесів зазвичай є крайові та початково-крайові задачі для рівнянь з частинними похідни- ми. Точні розв’язки задач фільтрації у деяких випадках можна отримати методами теорії функцій комплексної змінної [7], але більш універсаль- ними для практичних застосувань є чисельні методи. Серед чисельних методів теорії фільтрації можна зазначити метод сіток, метод скінченних елементів, метод мажорантних областей, метод суматорних подань, ме- тод фіктивних областей тощо [3–6, 8, 9]. До загальних недоліків існую- чих чисельних методів можна віднести те, що при розгляді задач у обла- стях складної геометрії межа області у обчислювальному алгоритмі вра- ховується лише наближено, наприклад, як масив точок у сіткових мето- дах чи як ламана у методі скінченних елементів. Точно врахувати геоме- тричну та аналітичну інформацію, що міститься у постановці крайової чи початково-крайової задачі математичної фізики, дозволяє структурно- варіаційний метод R-функцій [13]. У чисельному аналізі фільтраційних течій метод R-функцій було застосовано у [1, 2, 15], але в них було розг- лянуто лише задачі фільтрації під гідротехнічними спорудами і вважало- ся, що фільтраційні витрати рідини є заданими. Отже, розробка нових та вдосконалення існуючих методів чисе- льного аналізу фільтраційних течій на основі використання методу R- функцій є актуальною науковою задачею. Метою роботи є розробка нових та вдосконалення існуючих ме- тодів чисельного аналізу плоских стаціонарних фільтраційних течій на основі математичної моделі напірної фільтрації у термінах «функ- ція течії». Дана робота продовжує дослідження, розпочаті у [11]. 1. Постановка задачі. Розглянемо стаціонарну задачу напірної фільтрації [11]. Нехай маємо фільтраційний потік води, схема якого наведена на рис. 1.  1 2 3 4 H Рис. 1. Схема фільтраційного потоку води Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 115 На рис. 1 область фільтрації  обмежена непроникними межа- ми 1 і 3 (вони є лініями течії) та двома межами водойми 2 і 4 (вони є потенціальними лініями). Позначимо через ( , )x yv vv вектор швидкості фільтраційного потоку. Вважатимемо, що викону- ється закон Дарсі, який означає, що втрати напору при фільтрації пропорційні швидкості фільтрації. Уводячи у розгляд за допомогою співвідношень xv y    , xv x     (1) функцію течії  , отримаємо таку задачі: 1 1 0 x x y y                     у  , (2) 1 0   , 3 Q   , (3) 2 0 n      , 4 0 n      , (4) де ( , )x y  — коефіцієнт фільтрації, n — зовнішня нормаль до відповідних ділянок межі, H  — діючий напір, Q — повни витрати рідини, які є заздалегідь невідомими і визначаються інтегральним співвідношенням 3 1 ds H n       . (5) 2. Метод чисельного аналізу. Розглянемо допоміжну задачу 1 1 0u u x x y y                  у  , (6) 1 0u   , 3 1u   , (7) 2 0u n     , 4 0u n     . (8) Нехай функції ( , )x y , ( , )i x y , 1, 2,3, 4i  , побудовані користу- ючись конструктивним апаратом теорії R-функцій [13] є такими, що: ( , ) 0x y  на  ; ( , ) 0x y  у  ; 1 n       , ( , ) 0i x y  на i ; ( , ) 0x y  у ( \ )i   ; 1 i i n       , 1, 2,3, 4i  . Математичне та комп’ютерне моделювання 116 У [11] було доведено, що жмуток функцій (2 4) (2 4)1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 1 31 1 1 3 2 4 1 3 2 4 ( )u f D f D                              , (9) де ( , )x y   — невизначена компонента, а 1 1 3 ( , )( , ) ( , ) ( , ) x yf x y x y x y      , (2 4) 2 4 2 4 1 g gD g x x y y             , 2 4 2 4( , ) ( , ) ( , )x y x y x y     , 1 3 1 3( , ) ( , ) ( , )x y x y x y     , є структурою розв’язку крайової задачі (6)–(8), тобто при будь-якому виборі невизначеної компоненти  функція вигляду (9) точно задо- вольняє крайові умови (7), (8). У задачі (6)–(8) зробимо заміну u v  , де (2 4)1 3 2 4 1 1 3 2 4 f D f             , а v — нова невідома функція. Тоді функція v буде розв’язком крайової задачі 1 1v v F x x y y                  у  , (10) 1 3 0v    , 2 4 0v n      , (11) де 1 1F x x y y                     . З задачею (10), (11) пов’яжемо оператор A цієї крайової задачі, який діє у просторі 2 ( )L  за правилом 1 1v vAv x x y y                   . (12) Вважатимемо, що область визначення AD оператора A вигляду (12) складається з тих функцій з 2 ( )L  , які належать множині 2 1( ) ( )C C   та задовольняють крайові умови (11). Зрозуміло, що AD — лінеал. Дослідимо властивості оператора A вигляду (12). Очевидно, що A — лінійний оператор. Розглянемо тепер скалярний добуток 1 2( , )Av v , де 1 2, Av v D . Застосовуючи першу формулу Гріна [10], отримаємо, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 117 1 1 1 2 2 1 1( , ) v vAv v v dxdy x x y y                      1 2 1 2 1 2 1 1v v v v vdxdy v ds x x y y n                    . Інтеграл за  дорівнюватиме нулеві, оскільки 1 2, Av v D , а отже, 1 3 2 0v    , 2 4 1 0v n      , і 1 3 2 4 1 1 1 2 2 2 1 1 1v v vv ds v ds v ds n n n                 . Тоді 1 2 1 2 1 2 1( , ) v v v vAv v dxdy x x y y              (13) і 1 2 1 2 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0Av v v Av Av v Av v    , тобто A — симетрич- ний оператор. Додатність оператора A випливає з того, що для всіх Av D 221( , ) 0v vAv v dxdy x y                  , причому через умови (11) рівність ( , ) 0Av v  можлива лише, якщо 0v  . Доведемо тепер додатну означеність оператора A вигляду (12). Як відомо [14], для функцій u з простору Соболєва 1 2 ( )W  матиме місце нерівність 1 2 1 22 2 2 ( )W u uu c dxdy u ds x y                          , (14) де  — область з межею Липшиця  , 1 — відкрита частина межі  області  додатної міри Лебега, 0c  — стала, залежна тільки від області  і від 1 . Оскільки 1 2 22 2 2 ( )W u uu u dxdy x y                    , то з нерівності (14) випливає оцінка Математичне та комп’ютерне моделювання 118 2 1 22 2 2 2 ( )L u uu u dxdy c dxdy u ds x y                             . (15) Нехай коефіцієнт фільтрації задовольняє для всіх ( , )x y  не- рівності 1 20 ( , )x y     . Тоді для всіх Av D 2 22 21 1( , ) v v v vAv v dxdy dxdy x y x y                                             . Обираючи далі у (15) 1 1 3    і враховуючи, що 1 3 0v    для функцій Av D , отримуємо нерівність 2 21 ( )( , ) ( ) LAv v c u    , яка означає, що A — додатно означений оператор. Введемо на AD енергетичний добуток 1 2[ , ]v v , поклавши відпо- відно до (13) для будь-яких 1 2, Av v D 1 2 1 2 1 2 1[ , ] v v v vv v dxdy x x y y              . (16) Поповнюючи AD у сенсі збіжності за енергетичною нормою 221[ , ]A v vv v v dxdy x y                   , (17) породженою скалярним добутком (16), отримаємо енергетичний про- стір HA оператора A вигляду (12). Отже, відповідно до теореми про функціонал енергії [10] задача (10), (11) за умови 2 ( )F L  має у AH єдиний (узагальнений) розв’язок v , який є точкою мінімуму у HA функціонала енергії 22 2 1[ ] 2( , ) 2A v vJ v v F v Fv dxdy x y                        . Наближений розв’язок екстремальної задачі [ ] inf Av H J v   відпо- відно до методу Рітца шукатимемо у вигляді 1 n n k k k v c     . Відповідно до структури (9) координатну послідовність { }k складемо з функцій (2 4)1 3 2 4 1 3 1 31 1 3 2 4 ( )k k kD                   , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 119 де { }k — будь-яка повна у 2 ( )L  система функцій (степеневі чи тригонометричні поліноми, сплайни тощо). Тоді для визначення сталих kc , 1, 2,...,k n , маємо систему лі- нійних алгебраїчних рівнянь (систему Рітца) 1 [ , ] ( , ) n k j k j k c F     , 1, 2,...,j n , де 1[ , ] j jk k k j dxdy x x y y                   , ( , )j jF F dxdy     , , 1, 2,...,k j n . Із загальних теорем збіжності метода Рітца [10] випливає збіж- ність { }nv до v як у нормі (17), так і у нормі 2 ( )L  . Тоді функцію u v   можна розглядати як узагальнений розв’язок задачі (6)–(8), до якого у нормі 2 ( )L  збігатиметься послі- довність наближених розв’язків { }nu цієї задачі, яка формується за правилом un = φ + vn. Зрозуміло, якщо u* — розв’язок задачі (6)–(8), то функція Q u    , де відповідно до (5) 3 1 1 uQ H ds n               , є розв’язком вихідної задачі (2)–(4). Отже, справджується така теорема. Теорема. Нехай 2 ( )F L  . Тоді послідовність n n nQ u  , де 3 1 1 n n u Q H ds n             , n nu v  , збігається у 2 ( )L  до узагальненого розв’язку задачі (2)–(4). Зазначимо, що умова 2 ( )F L  як раз і є умовою застосовності до розв’язання задачі метод R-функцій. Зазначимо також, що умова 2 4 0v n      є природною, а отже, при виборі координатної послідовності { }k їй можна не задовольняти. Математичне та комп’ютерне моделювання 120 3. Результати обчислювального експерименту. Обчислюваль- ний експеримент у задачі (2)–(4) було проведено у області  , зобра- женій на рис. 2. Межа  цієї області складається з зовнішнього ко- ла радіуса R , внутрішнього кола радіуса r ( r R ) та двох відрізків горизонтальної прямої 0y  . Для області  функції 1( , )x y , 2 ( , )x y , 3 ( , )x y , 4 ( , )x y обираємо у вигляді: 2 2 2 1 1( , ) ( ) 2 x y R x y R     , 2 ( , )x y y   , 2 2 2 3 1( , ) ( ) 2 x y r x y r     , 4 ( , )x y y   . Рис. 2. Область  Для обчислювального експерименту було обрано такі коефіцієн- ти фільтрації [8]: 0 0,391  , 2 1 1,593 ye  , 2 2 0,811ch y  . Відомо [8], що у ґрунтах з коефіцієнтами фільтрації, які змен- шуються з глибиною, напір більше на понур і менше на підошву флютбету, ніж в однорідному ґрунті. При цьому, чим швидше змен- шується коефіцієнт фільтрації з глибиною, тим більший перерозподіл тиску відбувається між понурою та підошвою флютбету. За функції { }k було обрано поліноми Лежандра. Точний розв’язок задачі (2)–(4) для сталого коефіцієнта фільтрації має вигляд: 2 2 * * ln ln x y RQ r R    , де 0 ln H rQ R       . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 121 Для сталого коефіцієнту фільтрації 0 0,391  маємо 0,0863Q  , а, отже, точний розв’язок * 2 210,1245ln 2 x y    . В таблиці 1 наведено порівняння точного та наближеного розв’язків задачі в залежності від кількості координатних функцій. Таблиця 1 Порівняння точного та наближеного розв’язків для сталого коефіцієнту фільтрації 0 в залежності від кількості координатних функцій n n 6 10 15 21 28 nQ 0,0931 0,0926 0,0922 0,0918 0,0914 * * nQ Q Q  7,97% 7,41% 6,90% 6,46% 6,03% 2 2 * ( ) * ( ) n L L       8,61% 7,91% 7,30% 6,81% 6,30% З таблиці 1 бачимо, що зі зростанням кількості координатних функцій відносна похибка визначення величини Q та функції  зменшується. Це свідчить на користь хорошої якості запропоновано- го у роботі підходу. На рисунку 3 наведено лінії рівня розв’язку задачі з коефіцієн- том фільтрації 0 , а на рисунку 4 наведено векторне поле швидкос- тей фільтраційного потоку, який було відтворене за формулою (1). Рис. 3. Ліній рівня функції 28 для коефіцієнта фільтрації 0 Математичне та комп’ютерне моделювання 122 У таблиці 2 наведено залежність значення величини nQ від кі- лькості n координатних функцій для змінних коефіцієнтів фільтрації 2 1 1,593 ye  , 2 2 0,811ch y  . Рис. 4. Векторне поле швидкостей, відтворене за функцією 28 , для коефіцієнта фільтрації 0 Таблиця 2 Значення величини nQ для змінних коефіцієнтів фільтрації 1 та 2 в залежності від кількості координатних функцій n n 6 10 15 21 28 1 0,0819 0,0797 0,0778 0,0766 0,0752 2 0,0108 0,0106 0,0104 0,0102 0,0101 Як бачимо з таблиці 2 зі збільшенням кількості координатних функцій n значення nQ усталюються. На рис. 5 та 7 приведені лінії рівня розв’язку задачі для коефіцієнтів фільтрації 2 1 1,593 ye  , 2 2 0,811ch y  відповідно, а на рис. 6 та 8 наведено відповідне векторне поле швидкостей фільтраційного потоку. Рис. 5. Ліній рівня функції 28 для коефіцієнта фільтрації 1 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 123 Рис. 6. Векторне поле швидкостей, відтворене за функцією 28 , для коефіцієнта фільтрації 1 Рис. 7. Ліній рівня функції 28 для коефіцієнта фільтрації 2 Рис. 8. Векторне поле швидкостей, відтворене за функцією 28 , для коефіцієнта фільтрації 2 Висновки. В роботі вперше для отримання наближеного розв’язку задачі фільтрації за законом Дарсі запропоновано використати метод R- Математичне та комп’ютерне моделювання 124 функцій у комбінації з методом Рітца, при застосуванні яких загальні витрати рідини вважаються невідомими і визначаються у процесі розв’язання задачі. Обчислювальний експеримент, проведений для тес- тової задачі, продемонстрував можливості та ефективність цього метода. Результати можуть бути поширені на інші крайові задачі теорії фільтра- ції, а також знайти своє застосування у розв’язання прикладних задач, пов’язаних з розрахунком фільтраційних течій. Це і визначає наукову новизну та практичну значимість отриманих у роботі результатів. Список використаних джерел: 1. Блишун А. П. Математическое моделирование и численный анализ филь- трационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью / А. П. Блишун, М. В. Сидоров, И. Г. Яловега // Радиоэлектроника и ин- форматика. — 2010. — № 2. — С. 40–46. 2. Блишун А. П. Применение метода R-функций к численному анализу филь- трационных течений под гидротехническими сооружениями / А. П. Блишун, М. В. Сидоров, И. Г. Яловега // Вісник Запорізького національного універси- тету. Серія: фізико-математичні науки. — 2012. — № 1. — С. 50–56. 3. Бомба А. Я. Нелінійні математичні моделі процесів геогідродинаміки / А. Я. Бомба, В. М. Булавацький, В. В. Скопецький. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с. 4. Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в математической физике / П. Н. Вабищевич. — Москва : Изд-во МГУ, 1991. — 156 с. 5. Венгерський П. Про задачу сумісного руху поверхневих і грунтових по- токів на території водозбору / П. Венгерський // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інф. — 2014. — Вип. 22. — С. 41–53. 6. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости / Дж. Коннор, К. Бреббиа. — Л. : Судостроение, 1979. — 264 с. 7. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — Москва : Наука, 1973. — 736 с. 8. Ляшко И. И. Метод мажорантных областей в теории фильтрации / И. И. Ляшко, И. М. Великоиваненко, В. И. Лаврик, Г. Е. Мистецький. — Киев : Наук. думка, 1974. — 202 с. 9. Ляшко И. И. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации / И. И. Ляшко, И. М. Великоиваненко. — Киев : Наук. думка, 1973. — 264 с. 10. Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической фи- зики / С. Г. Михлин. — Москва : Наука, 1970. — 512 с. 11. Подгорний О. Р. Математичні моделі фільтраційних течій та застосуван- ня методу R-функцій для їх чисельного аналізу / О. Р. Подгорний // Радіо- електроніка та інформатика. — 2018. — № 1. — С. 40–47. 12. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. — Москва : Наука, 1977. — 664 с. 13. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рва- чёв — Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с. 14. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. — Москва : Мир, 1985. — 590 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 125 15. Сидоров М. В. Математическое компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений / М. В. Сидоров, А. В. Стороженко // Радио- электроника и информатика. — 2004. — № 4. — С. 58–61. NUMERICAL ANALYSIS OF FILTRATION FLOWS IN INHOMOGENEOUS MEDIA USING THE R-FUNCTIONS METHOD The problem of the stationary porous media flow theory in an isotropic inhomogeneous media is considered in the assumption that the Darcy law is fulfilled. The mathematical model of this problem is the elliptic equation for the stream function, supplemented by second kind boundary conditions at the reservoir boundaries, and the first kind boundary conditions in re- gions that are impenetrable to the liquid. At the same time, the unknown value of the full liquid flow enters the problem statement and for its find- ing an additional integral ratio was formulated. The structural-variational method (the R-functions method) is proposed to be used for numerical analysis and that will allow taking into account all the geometric and ana- lytical information from the problem statement most fully. The transition from the original problem to a boundary value problem with known boundary conditions was made. According to the R-functions method for the constructed solution structure, which accurately takes into account all boundary conditions of the obtained problem, the use of the variational Ritz method for the approximation of an indefinite component is substanti- ated. After that, an approximate solution of the initial problem was found from an additional integral relation. A computational experiment was con- ducted for different values of filtration coefficients in an area that has the form of the lower half of the ring. Also, the coordinate functions were con- structed on the bases of Legendre polynomials. The approximate solution of the problem was compared with the exact solution in the case of a stable filtration coefficient. It is found that the error of determining the full liquid flow and the approximate solution of the problem decreases with the in- creasing number of coordinate functions. Also, the cases, where the filtra- tion coefficient increases with depth, were considered. It is established that with the increase in the number of coordinate functions, the value of total costs tends to converge. Consequently, the proposed method of numerical analysis proved its effectiveness and can be used for practical problems solving. The advantages of the developed method are obtaining a solution of the boundary value problem in the form of the single analytical expres- sion and the exact satisfaction of all boundary conditions of the problem. Key words: flow in porous media process, pressure flow of fluid, R-functions method, Ritz method. Отримано: 14.11.2018

Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті

Institution

Ähnliche Einträge