До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями
Стаття присвячена дослідженню закономірностей розповсюдження пружних поверхневих хвиль Релея вздовж плоских і криволінійних границь тіл з початковими (залишковими) напруженнями. В рамках лінеаризованої теорії пружності одержані дисперсійні рівняння для визначення фазових швидкостей поверхневих хви...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162457 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 21-28. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-162457 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1624572020-01-10T01:26:11Z До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Корнієнко, В.Ф. Механіка Стаття присвячена дослідженню закономірностей розповсюдження пружних поверхневих хвиль Релея вздовж плоских і криволінійних границь тіл з початковими (залишковими) напруженнями. В рамках лінеаризованої теорії пружності одержані дисперсійні рівняння для визначення фазових швидкостей поверхневих хвиль Релея. При цьому розглядаються тіла циліндричної форми (нескінченний суцільний циліндр і циліндрична порожнина), а також сфера під дією попереднього всестороннього навантаження. Останні дослідження тісно пов'язані з контактними задачами (для встановлення явищ “резонансного характеру”). Крім цього, такі дослідження мають і самостійне значення. Одержані якісні і кількісні ефекти впливу початкових (залишкових) напружень на характер хвильових процесів. Для даної роботи характерним і загальним є те, що: по-перше, всі основні розглянуті тіла – пружні; по-друге, усі основи (тіла) — попередньо напружені. Статья посвящена исследованию закономерностей распространения упругих поверхностных волн Релея вдоль плоских и криволинейных границ тел с начальными (остаточными) напряжениями. В рамках линеаризованной теории упругости получены дисперсионные уравнения для определения фазовых скоростей поверхностных волн Рэлея. При этом рассматриваются тела цилиндрической формы (бесконечный сплошной цилиндр и цилиндрическая полость), а также сфера под действием предварительной всесторонней нагрузки. Последние исследования тесно связаны с контактными задачами (для установления явлений “резонансного характера”). Кроме этого, такие исследования имеют и самостоятельное значение. Получены качественные и количественные эффекты влияния начальных (остаточных) напряжений на характер волновых процессов. Для данной работы характерным и общим является то, что: во-первых, все основные рассмотренные тела — упругие; во-вторых, все основания (тела) — предварительно напряжены. The laws governing the propagation of elastic surface Rayleigh waves along flat and curved boundaries of bodies with initial (residual) stresses are studied. Within the framework of the linearized theory of elasticity, the dispersion equations are obtained for determining the phase velocities of surface Rayleigh waves. In this case, cylindrical bodies (an infinite continuous cylinder and a cylindrical cavity), as well as a sphere under the action of a preliminary all-round load, are considered. Recent studies are closely related to contact problems (to establish the phenomena of “resonant nature”). In addition, such studies have independent significance. Qualitative and quantitative effects of the influence of the initial (residual) stresses on the nature of wave processes are obtained. For this work, it is characteristic and general that, firstly, all the main bodies examined are elastic; secondly, all the bases (bodies) are prestressed. 2019 Article До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 21-28. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.10.021 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162457 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Корнієнко, В.Ф. До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями Доповіді НАН України |
| description |
Стаття присвячена дослідженню закономірностей розповсюдження пружних поверхневих хвиль Релея
вздовж плоских і криволінійних границь тіл з початковими (залишковими) напруженнями. В рамках лінеаризованої теорії пружності одержані дисперсійні рівняння для визначення фазових швидкостей поверхневих
хвиль Релея. При цьому розглядаються тіла циліндричної форми (нескінченний суцільний циліндр і циліндрична порожнина), а також сфера під дією попереднього всестороннього навантаження. Останні дослідження тісно пов'язані з контактними задачами (для встановлення явищ “резонансного характеру”). Крім цього, такі дослідження мають і самостійне значення. Одержані якісні і кількісні ефекти впливу початкових (залишкових) напружень на характер хвильових процесів. Для даної роботи характерним і загальним є те,
що: по-перше, всі основні розглянуті тіла – пружні; по-друге, усі основи (тіла) — попередньо напружені. |
| format |
Article |
| author |
Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Корнієнко, В.Ф. |
| author_facet |
Бабич, С.Ю. Глухов, Ю.П. Корнієнко, В.Ф. |
| author_sort |
Бабич, С.Ю. |
| title |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| title_short |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| title_full |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| title_fullStr |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| title_full_unstemmed |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| title_sort |
до задачі розповсюдження поверхневих хвиль релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162457 |
| citation_txt |
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль Релея в попередньо напружених тілах з криволінійними границями / С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 21-28. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT babičsû dozadačírozpovsûdžennâpoverhnevihhvilʹreleâvpoperednʹonapruženihtílahzkrivolíníjnimigranicâmi AT gluhovûp dozadačírozpovsûdžennâpoverhnevihhvilʹreleâvpoperednʹonapruženihtílahzkrivolíníjnimigranicâmi AT korníênkovf dozadačírozpovsûdžennâpoverhnevihhvilʹreleâvpoperednʹonapruženihtílahzkrivolíníjnimigranicâmi |
| first_indexed |
2025-07-14T15:00:19Z |
| last_indexed |
2025-07-14T15:00:19Z |
| _version_ |
1837634913863467008 |
| fulltext |
21
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10: 21—28
Розглянемо закономірності розповсюдження поверхневих хвиль Релея вздовж криволі-
нійних (плоских) границь для попередньо напружених тіл на основі результатів, одержаних
в основному в працях [1—4]. Тут у достатньо загальній формі досліджені закономірності
розповсюдження поверхневих гармонічних пружних хвиль Релея вздовж криволінійних
границь (круговий циліндр і сфера) з початковими напруженнями. Актуальність таких до-
сліджень не викликає сумнівів, оскільки по чаткові (залишкові) напруження практично
присутні у всіх елементах конструкцій. Як відомо, початкові напруження зумовлені різни-
ми причинами, наприклад, тех нологічними операціями, виконуваними при виготовленні
матеріалів, або складанням конструкцій. У випадку композиційних матеріалів початкові
напруження, як правило, відповідають напруженням уздовж армуючих елементів. У земній
корі вони утворюються внаслідок дії гравітаційних сил і тектонічних процесів. Їх необхід-
но враховувати при розв’язанні задач з деформації ґрунтів (особливо замерзлих). У пруж-
но-пластичних тілах також можуть бути внутрішні залишкові напруження після зняття
навантажень.
© С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.10.021
УДК 539.3
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: babich_sy@ukr.net, gluchov.uriy@gmail.com, vf_kornienko@ukr.net
До задачі розповсюдження поверхневих
хвиль Релея в попередньо напружених тілах
з криволінійними границями
Представлено членом-кореспондентом НАН України І.С. Чернишенком
Стаття присвячена дослідженню закономірностей розповсюдження пружних поверхневих хвиль Релея
вздовж плоских і криволінійних границь тіл з початковими (залишковими) напруженнями. В рамках лінеа-
ризованої теорії пружності одержані дисперсійні рівняння для визначення фазових швидкостей поверхневих
хвиль Релея. При цьому розглядаються тіла циліндричної форми (нескінченний суцільний циліндр і цилін-
дрична порожнина), а також сфера під дією попереднього всестороннього навантаження. Останні дослід-
ження тісно пов’язані з контактними задачами (для встановлення явищ “резонансного характеру”). Крім
цього, такі дослідження мають і самостійне значення. Одержані якісні і кількісні ефекти впливу початкових
(залишкових) напружень на характер хвильових процесів. Для даної роботи характерним і загальним є те,
що: по-перше, всі основні розглянуті тіла – пружні; по-друге, усі основи (тіла) — попередньо напружені.
Ключові слова: поверхневі хвилі, дисперсійні рівняння, амплітудні величини, початкові напруження.
МЕХАНІКА
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко
Під поверхневими гармонічними хвилями у пружних тілах з початковими напружен-
нями будемо розуміти гармонічні хвилі, які задовольняють наступним двом умовам: по-
перше, хвилі розповсюджуються вздовж вільної або невільної поверхні і її амплітудні ве-
личини затухають при віддаленні від вільної поверхні (ця умова аналогічна умовам лінійної
класичної теорії пружності); по-друге, у випадку відсутності початкових напружень, роз-
глядувані поверхневі хвилі переходять у поверх неві хвилі класичної лінійної теорії пруж-
ності. Дослідження розповсюдження пружних хвиль у попередньо напружених тілах допо-
магають у розв’язанні двох задач. Перша задача полягає у визначенні пружних модулів тре-
тього порядку, які використовуються у фізиці твердого тіла, а друга – дослідити розподіл
напружень. Розроблені неруйнуючі методи визначення початкових напружень на основі за-
кономірностей розповсюдження пружних хвиль у нескінченних тілах не дають можливос-
тей визначення початкового напруженого стану у приповерхневих шарах. У зв’язку з цим
виникає теоретична і практична зацікавленість дослідження розповсюдження поверхне вих
хвиль Релея для попередньо напружених тіл з криволінійними границями. При проведен-
ні числових розрахунків використовувались експериментальні дані, одержані в Інституті
електрозварювання НАН України. Необхідно зазначити, що у випадку тільки попереднього
осьового стиску суцільного циліндра дисперсійне рівняння одержане на основі аналогії, яка
існує між лінійними і лінеаризованими задачами теорії пружності. У роботі встановлені
необхідні і достатні умови існування такої аналогії. У загальному випадку (для довільних
початкових станів) не існує аналогії між лінійними і лінеаризованими задачами теорії пруж-
ності. Для частинних випадків однорідного початкового стану такі аналогії існують. Вста-
новлені аналогії дають можливість використати відомі розв’язки лінійних задач, зробивши
відповідні заміни.
Як уже зазначалось вище, для кругового суцільного циліндра така аналогія існує у ви-
падку осьового стиску. У загальному випадку (для довільних навантажень mP ), наприклад,
для “мертвих” навантажень ( 0mP = ) всесторонньої рівномірної початкової деформації лі-
неаризовані задачі не зводяться до лінійних задач, коли постійні Ляме залежать від почат-
кових деформацій, оскільки в граничних умовах в напруженнях з’являється додатковий
член з множником *
0σ . Причому рівняння руху зводяться до рівнянь Ляме. Для конкретно-
го випадку, коли поверхневе навантаження діє в напрямку нормалі до граничної поверхні і
не змінює напрямок (завжди направлене по нормалі) і величину при деформації, тобто
маємо випадок “слідкувального” навантаження, то граничні умови лінеаризованої задачі
зводяться до лінійних граничних умов. У роботі розглянуто нескінченний циліндр круго-
вого поперечного перерізу при такому у загальному випадку початковому напружено-
дефор мованому осесиметричному стані
0 0 0 0 0 0 0 0
11 22 33 11 22 33 11 22 1 20, 0, 0, 0, ,S S S e e= ≠ ≠ σ = σ ≠ σ ≠ = λ = λ . (1)
Для осесиметричного навантаження буде виникати осесиметричний початко вий на пру-
жено-деформований стан (1) тільки у тому випадку, коли тіло є ізотропним або транс-
версально-ізотропним, причому у останньому випадку вісь ізотропії повинна збігатися з ві-
ссю 3Ox ; надалі будемо приймати дані умови відносно вла стивостей матеріалу циліндра.
Розглядається циліндр кругового поперечного перерізу радіуса R у недефор мованому
стані. Нехай вздовж циліндричної поверхні у напрямку кругової коор динати θ розповсю-
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль релея в попередньо напружених тілах...
джується поверхнева хвиля. У цьому випадку розв’язки хвильових рівнянь, які при 0r =
будуть обмежені, можна зобразити у формі
1 1( )ip
pФ Ае I rθ= ξ ; 2( )ip
pBe I rθψ = ξ . (2)
Розв’язки (2) повинні задовольняти граничним умовам (коли на поверхні циліндра
відсутні навантаження). Розглядається випадок осьового стиску циліндра ( *0 *0
11 22 0σ = σ = ,
*0 *
33 3 constpσ = − = ). В результаті звичайної процедури одержано дис персійне рівняння [4]
2 2
1 1
2 3 42 2 2
1 1
( ) ( )2 1
1 2 1
( ) ( )
p p
p p
I v I wx x x
a a x a
y I v y I wy y B
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )
2
1 1
2 4 3 1 1 1 32
1
( ) ( ) 1
2 1 2 1 0
( ) ( )
p p
p p
I v I wx x x
a a a B da x da a x
I v I w B y yy
+ +⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞
− − − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
. (3)
У (3) введені позначення
tx k R= , 1 2
11 1
a
a
μ=
λ
, 2 1a a= , 3 2
12 1
a
μ=
μ λ
, 4 3a a= , 12 11
1
a a
B
−
=
μ
, 11a
d =
μ
, 2v a x= , 4w a x= ,
c
k
ω= — фазова швидкість поверхневої хвилі; tc — швидкість хвилі зсуву в ненавантажено-
му циліндрі;
t
c
y
c
= ,
x
p
y
= .
Таким чином, досліджуючи вплив початкових напружень на швидкість розповсюджен-
ня поверхневих хвиль у циліндрі, необхідно безпосередньо розв’язати чисельно частотне
(дисперсійне) рівняння. Коли R →∞ , то одержано частотне рівняння, яке характеризує
розповсюдження поверхневих хвиль Релея вздовж плоскої границі (півплощини з початко-
вими напруженнями)
2 3
6 2 4 4 2 612 12 12 12 12
1 1 12 3
11 11
8 8 3 2 16 1 0R R Ra a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ μ μ μ μ
η − λ η + λ − η − λ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ μ μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, (4)
де R
R
t
c
c
η = , Rc — швидкість хвилі Релея в напруженому тілі з плоскою границею. Величи-
ни a11, 12a , 12μ визначаються із виразів [5]. Зауважимо, що рівняння (1) можна одержати за
аналогією, яка існує між лінійними і лінеаризованими задачами у випадку осьового стис-
ку циліндра.
При великих значеннях хвильового числа p, що відповідає коротким хвилям у порів-
нянні з довжиною кола, для фазової швидкості одержані результати асимп то тичного харак-
теру. Аналогічно суцільному циліндру у роботі розглянуто ци лінд рич ну порожнину круго-
вого поперечного перерізу в нескінченному пружному просторі.
В результаті маємо дисперсійне рівняння для визначення хвильового числа k (швидко-
сті хвиль Релея) у такому вигляді [3]
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко
(1)
12 2
1 2 1 (1)
( )
{[ (1 ) ] (1 ) (1 ) }
( )
p
p
H x
A x p p y B p p p p B
H x
+− + + − + − −
(1)
12 2
2 12 1 1 (1)
( )
{ [ (1 ) ] (1 ) (1 )}
( )
p
p
H y
A p p x p p a A p p B y
H y
+− − + + − − − +
(1) (1)
1 12 2 2
1 1 2 2(1)(1)
1
( ) ( )
( 1) [ (1 ) ] { [ (1 ) ] (1 )}
( ) ( )
p p
p p
H x H y
A B xy p A p p x B p p y p p
H x H y
+ +
+
⋅
+ − + − + − + + − +
⋅
2 2 2
2 12 1 1 12(1 )[ (1 ) ] (1 ) ( ) 0B a p p p p y p p A B a+ − − + + − − = . (5)
Дисперсійне рівняння (5) визначає хвильове число k , коли радіус циліндра R відомий.
У загальному випадку таке рівняння має безліч розв’язків (коренів). Кож ний корінь за-
дає відповідний хвильовий рух. Тут розглядаються поверхневі хвилі, котрі локалізовані у
тонкому приповерхневому шарі. Оскільки у дисперсійне рівняння (5) входять функції
Ганкеля, то для відомих x , y воно задовольняється тільки для комплексного хвильового
числа 1 2p p ip= + . Враховуючи, що p і k пов’яза ні між собою залежністю p kR= , то
хвильове число поверхневої хвилі також буде комплексним 1 2k k ik= + , причому 1 1p k R= ,
2 2p k R= . Зважаючи на те, що p і k — комплексні величини, то поверхнева хвиля у випадку
циліндричної порожнини розповсюджується із згасанням, тобто у результаті розповсю-
дження хвилі має місце радіальне випромінювання енергії в глибину середовища. Остан-
нє підтверджується тим, що для r →∞ функції (1)( )pH x та (1)( )pH y є не що інше, як ци-
ліндричні хвилі.
Чисельні результати проведені, коли циліндр завантажений у напрямку осі 3Ox . В рам-
ках потенціалу Мурнагана на основі чисельних розрахунків досліджено вплив початкових
напружень на фазові швидкості поверхневих хвиль, які розповсюджуються вздовж цилін-
дричної поверхні. Аналогічно циліндру у даній статті в рамках теорії великих початкових
деформацій досліджена задача розповсюдження поверхневих хвиль Релея на сфері при
всесторонній рівномірній початковій деформації. Дослідження проведені у випадку двох
типів навантаження: “слідкувального” і “мертвого”. Задача розв’язана методом шарових
векторів, причому для “слідкувального” навантаження дисперсійне рівняння одержано на
основі аналогії, яка існує між лінійними і лінеаризованими задачами. Оскільки сферична
поверхня обмежена, то як і у випадку відсутності початкових напружень вважаємо, що в по-
люсах сфери 0θ = і θ = π ( , ,r θ ϕ — сферичні координати) розміщені “джерело” і “стік”
хвиль, які відповідають особливим точкам розв’язків рівнянь. Така постановка задачі дає
можливість вважати “джерело” і “стік” хвиль еквівалентними один одному. При зроб ле-
них допущеннях хвилі розповсюджуються від полюсів з однаковими амплітудами в " "+θ
і " "−θ напрямках. У результаті накладання розповсюджуваних таким чином хвиль діс-
танемо стоячі хвилі, регулярні у всіх точках сфери. Зауважимо, що у випадку півпростору
“джерело” і “стік” хвиль знаходились на нескінченності. У ро боті доведено, що для великих
значень l , що відповідає коротким хвилям у порівнянні з довжиною кола, фазова швидкість
поверхневих хвиль Релея на сфері незнач но відрізняється від швидкості хвиль Релея у
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль релея в попередньо напружених тілах...
півпросторі. У цьому випадку має місце вираз (1 )Rc c= +δ . Тут δ — мала величина, яка за-
лежить від пружних властивостей середовища, початкових напружень, R і l , причому
0δ→ , коли l →∞ ; Rc — швидкість хвилі Релея у завантаженому тілі з плоскою грани-
цею; с — фазова швидкість поверхневої хвилі на сфері. Аналогічно циліндру дисперсійні
рівняння, відповідно для “слідкувального” і “мертвого” навантажень одержані у випадку
потенціалу довільної форми у такому вигдяді [3]:
(1 2) (1 2)2 2 2 2
(1 2) (1 2)
( ) ( )1
2[ ( 2)] [ 2( 2)( 1)]
( ) ( )
l l
l l
J x J x
y l l l y l l
J x J x
− −
+ +
+ + − + + + − −
α
2
(1 2) (1 2)
(1 2) (1 2)
( ) ( )
2( 2)( 1) ( 2)(2 1) 0
( ) ( ) 2
l l
l l
J x J y y y
l l y l l
J x J y
− −
+ −
⎡ ⎤
− + − − + + − =⎢ ⎥
α ⎢ ⎥⎣ ⎦
. (6)
(1 2)2 2
0 0 0 0 0
(1 2)
( )
(2 )[2 (2 ) ( 2)]
( )
l
l
J x
S y S l l l
J x
−
+
μ − μ + μ − + − +
(1 2)2 20 0
0 0 0
(1 2)
( )2
[ (2 )( 2)( 1)]
( )
l
l
J yS
y S l l
J y
−
+
μ −
+ μ + μ − + − −
α
(1 2) (1 2)2
0 0
(1 2) (1 2)
( ) ( )
(2 ) ( 2)( 1)
( ) ( )
l l
l l
J x J y
S l l y
J x J y
− −
+ +
− μ − + − −
20
0 0 0[ (2 )( 2)(2 1)] 0y S l l y
μ
− −μ + μ − + − =
α
; 2 0
0 02
=
+
μ
α
λ μ
. (7)
Якщо радіус кривизни сферичної поверхні прямує до нескінченності ( R →∞ ), то одержи-
мо дисперсійні рівняння для визначення швидкості хвилі Релея у півпрос торі. Наприклад, у
випадку “слідкувального” навантаження рівняння Релея має вигляд
6 4 2 2 28 8(3 2 ) 16(1 ) 0R R Rη − η + − α η − −α = . (8)
Аналогічно для “мертвого навантаження” маємо
2
6 4 2 24(2 ) 2( ) 6 2R R R
p
a p a p
a
⎡ ⎤⎛ ⎞η − − η + − ⎢ − − α⎥η +⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
22
2 2
2
(2 ) 4 4 4 0
p p
a p a a p
aa
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − ⎢ − + − + α ⎥ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
. (9)
У (8) і (9) введені позначення
2 0
0 02
=
+
μ
α
λ μ
; R
t
C
C
η = ,
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко
де RC — швидкість хвилі Релея у завантаженому півпросторі. Інші позначення збі гаються з
[3]. У випадку, коли початкові напруження відсутні (ненавантажене тіло), то рівняння (8),
(9) зводяться до єдиної форми
6 4 2 2 28 8(3 2 ) 16(1 ) 0R R Rη − η + − ξ η − −ξ = , (10)
де t R
R
R t
K C
K C
η = = , t
l
C
C
ξ = ( ,t lC C — відповідно фазові швидкості поздовжніх хвиль і хвиль
зсуву).
Коли радіус сфери R відомий, то існує безліч розв’язків / tC C , котрі задовольняють
рівнянням (6) і (7). Кожний корінь визначає фазову швидкість відповідної хвилі. Тут роз-
глядаються хвилі, котрі локалізовані у приповерхневому шарі і які переходять у хвилі Релея
при необмеженому збільшенні радіуса кривизни поверхні. У загальному випадку рівняння
(8) і (9) мають по шість коренів, значення яких залежать від коефіцієнта Пуассона ν і по-
чаткових напружень. При цьому дані рівняння мають тільки по одному кореню 6η , котрий
відповідає релеєвській хвилі і знаходиться в межах нуля і одиниці.
У роботі [3] доведено, що тільки врахування залежності пружного потенціалу від усіх
трьох інваріантів тензору деформацій Гріна дозволяє пояснити експериментально встанов-
лені закономірності розповсюдження пружних хвиль у ізотропному тілі з початковими на-
пруженнями. Вплив початкових напружень на фазові швидкості поверхневих хвиль дослі-
джений у рамках потенціалу Мурнагана, залежного від трьох алгебраїчних інваріантів
1 2 3, ,A A A тензору деформацій Гріна.
Розглядається випадок досить жорстких матеріалів, коли у формулах для визначення
2
0 0 1, ,a b λ можна обмежитись лінійними наближеннями 0
∗σ μ . Числові значення постійних
третього порядку , ,a b c і параметрів ,λ μ відповідають сталі марки 09Г2С. В роботі побудо-
вані графіки залежності 0 tc c від безрозмірної частоти tk R , причому 0c — фазова швид-
кість поверхневої хвилі Релея у ненавантаженій сфері, а tc — швидкість хвилі зсуву. На
основі чисельних розв’язків дисперсійних рівнянь у широкому діапазоні зміни частот для
конкретних матеріалів можна зробити на ступні висновки кількісного і якісного характеру.
Початкові напруження більше впливають на швидкість розповсюдження поверхневих
хвиль у тому випадку, коли напрямок розповсюдження хвилі і напрямок прикладених сил
збігаються. Причому вплив початкових напружень на швидкість розповсюдження поверх-
невих хвиль вздовж сферичних поверхонь більший, ніж на циліндрах одного і того ж раді-
уса. При конкретній частоті швидкість поверхневої хвилі лінійно залежить від початкових
напружень в рамках прийнятої точності обчислень. Одержані результати можуть бути ви-
користані для визначення впливу початкових напружень на швидкості розповсюдження
поверхневих хвиль у попередньо напружених тілах, а також при розробці фізичних основ
ультразвукових неруйнівних методів визначення напруженого стану у приповерхневих
шарах тіла.
Наукові дослідження, результати яких опубліковано в даній роботі, виконано за рахунок
коштів бюджетної програми «Підтримка пріоритетних напрямів наукових досліджень»
(КПКВК 6541230).
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10
До задачі розповсюдження поверхневих хвиль релея в попередньо напружених тілах...
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., Жук А.П. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Прикл. механика.
1979. 15, № 4. С. 3—23.
2. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Статика и динамика упругих оснований с начальными (остаточными)
напряжениями. Кременчуг: Press-line, 2007. 795 c.
3. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными напря-
жениями. Развитие идей Л.А. Галина в механике. Москва-Ижевск: Ин-т комп. техн., 2013. с. 188—248.
4. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Смешанные задачи для упругого основания с начальными напряже-
ниями. Saarbrücken: Lambert Acad. Publ., 2015. 468 c.
5. Бабич С.Ю. О распространении поверхностных волн в предварительно напряженном цилиндре. Прикл.
механика. 1976. 12, № 6. С. 123—126.
Надійшло до редакції 27.06.2019
REFERENCES
1. Babich, S. Yu., Guz', A. N., Zhuk, A. P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech., 15,
No. 4, pp. 277-291. https://doi.org/10.1007/BF00884760
2. Guz, A. N., Babich, S. Yu., Glukhov, Yu. P. (2007). Statics and dynamics of elastic bases with initial (residual)
stresses. Kremenchug: Press-line (in Russian).
3. Guz, A. N, Babich, S. Yu., Rudnitsky, V. B. (2013). Contact interaction of elastic bodies with initial stresses.
The development of ideas LA Galina in the mechanics. (pp. 188-248). Moscow-Izhevsk: Computer Technologies
Institute (in Russian).
4. Guz, A. N., Babich, S. Yu., Glukhov, Yu. P. (2015). Mixed problems for elastic bases with initial stresses.
Saarbrücken: Lambert Acad. Publ. (in Russian).
5. Babich, S. Yu. (1976). Propagation of surface waves in a prestressed cylinder. Int. Appl. Mech., 12, No. 6,
pp. 626-628. https://doi.org//10.1007/BF00882381
Received 27.06.2019
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корниенко
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: babich_sy@ukr.net, gluchov.uriy@gmail.com, vf_kornienko@ukr.net
К ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ
ВОЛН РЕЛЕЯ В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ ТЕЛАХ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Статья посвящена исследованию закономерностей распространения упругих поверхностных волн Релея
вдоль плоских и криволинейных границ тел с начальными (остаточными) напряжениями. В рамках ли-
неаризованной теории упругости получены дисперсионные уравнения для определения фазовых скоро-
стей поверхностных волн Рэлея. При этом рассматриваются тела цилиндрической формы (бесконечный
сплошной цилиндр и цилиндрическая полость), а также сфера под действием предварительной всесторон-
ней нагрузки. Последние исследования тесно связаны с контактными задачами (для установления явле-
ний “резонансного характера”). Кроме этого, такие исследования имеют и самостоятельное значение. По-
лучены качественные и количественные эффекты влияния начальных (остаточных) напряжений на ха-
рактер волновых процессов. Для данной работы характерным и общим является то, что: во-первых, все
основные рассмотренные тела — упругие; во-вторых, все основания (тела) — предварительно напряжены.
Ключевые слова: поверхностные волны, дисперсионные уравнения, амплитудные величины, начальные на-
пряжения.
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10
С.Ю. Бабич, Ю.П. Глухов, В.Ф. Корнієнко
S.Yu. Babich., Yu.P. Glukhov, V.F. Kornienko
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: babich_sy@ukr.net, gluchov.uriy@gmail.com, vf_kornienko@ukr.net
TO THE PROBLEM OF THE PROPAGATION
OF RAYLEIGH SURFACE WAVES IN PRELIMINARILY
STRESSED BODIES WITH CURVILINEAR BOUNDARIES
The laws governing the propagation of elastic surface Rayleigh waves along flat and curved boundaries of bodies
with initial (residual) stresses are studied. Within the framework of the linearized theory of elasticity, the disper-
sion equations are obtained for determining the phase velocities of surface Rayleigh waves. In this case, cylindri-
cal bodies (an infinite continuous cylinder and a cylindrical cavity), as well as a sphere under the action of a
preliminary all-round load, are considered. Recent studies are closely related to contact problems (to establish
the phenomena of “resonant nature”). In addition, such studies have independent significance. Qualitative and
quantitative effects of the influence of the initial (residual) stresses on the nature of wave processes are obtained.
For this work, it is characteristic and general that, firstly, all the main bodies examined are elastic; secondly, all
the bases (bodies) are prestressed.
Keywords: surface waves, dispersion equations, amplitude values, initial stresses.
|