Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями

У роботі в рамках лінеаризованої теорії пружності розглядається плоска контактна задача про передачу навантаження від пружних періодично розташованих накладок скінченної довжини до двох однакових смуг з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автор:	Діхтярук, М.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2019
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162459
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями / М.М. Діхтярук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-162459
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1624592020-01-12T01:26:13Z Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями Діхтярук, М.М. Механіка У роботі в рамках лінеаризованої теорії пружності розглядається плоска контактна задача про передачу навантаження від пружних періодично розташованих накладок скінченної довжини до двох однакових смуг з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій і різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Вивчається вплив наявності початкових (залишкових) напружень в смугах на закон розподілу контактних напружень по лінії контакту з пружними періодично розташованими накладами кінцевої довжини. Виходячи з припущення про те, що накладки одночасно навантажуються вертикальними і горизонтальними силами, потрібно зауважити, що пружна накладка в вертикальному напрямку згинається як звичайна балка, а в горизонтальному напрямку стискається або розтягується, як звичайний стрижень з скінченною жорсткістю, який знаходиться в одноосьовому напружено-деформованому стані, задача математично формулюється як система інтегро-диференціальних рівнянь відносно невідомих контактних напружень. Використовуючи перетворення Фур'є, система розв'язується в замкнутому вигляді. В кінцевому результаті вирази для контактних напружень представлені у вигляді інтегралів Фур'є. В работе в рамках линеаризированной теории упругости рассматривается плоская контактная задача о передаче нагрузки от упругих периодически расположенных накладок конечной длины к двум одинаковым полосам с начальными (остаточными) напряжениями. Исследования проведены в общем виде для теории больших начальных деформаций и разных вариантов теории малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. Изучается влияние наличия начальных (остаточных) напряжений в полосах на закон распределения контактных напряжений по линии контакта с упругими периодически расположенными накладами конечной длины. Исходя из предположения о том, что накладки одновременно нагружаются вертикальными и горизонтальными силами, следует отметить, что упругая накладка в вертикальном направлении изгибается как обычная балка, а в горизонтальном направлении сжимается или растягивается, как обычный стержень с конечной жесткостью, который находится в одноосном напряженно-деформированном состоянии, задача математически формулируется как система интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений. Используя преобразования Фурье, система решается в замкнутом виде. В итоге выражения для контактных напряжений представлены в виде интегралов Фурье. Within the framework of the theory of linearized elasticity, the formulation and solution of the plane load trans fer problem from periodically located elastic stringers to two identical elastic bands with initial (residual) stresses are given. In general, the study is carried out within the theory of large (finite) initial deformations and various versions of the theory of small initial deformations for an arbitrary form of the elastic potential. The influence of initial stresses on the distribution of contact forces in elastic bands and stringers is studied. Proceeding from the assumption that stringers are simultaneously loaded by vertical and horizontal forces, the problem is formulated mathematically as a system of integro-differential equations for the unknown contact stresses. Using the Fourier transformation, the system is solved in a closed form. The stress expressions are represented by quite simple Fourier integrals. 2019 Article Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями / М.М. Діхтярук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.10.038 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162459 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Діхтярук, М.М. Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями Доповіді НАН України
description	У роботі в рамках лінеаризованої теорії пружності розглядається плоска контактна задача про передачу навантаження від пружних періодично розташованих накладок скінченної довжини до двох однакових смуг з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій і різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Вивчається вплив наявності початкових (залишкових) напружень в смугах на закон розподілу контактних напружень по лінії контакту з пружними періодично розташованими накладами кінцевої довжини. Виходячи з припущення про те, що накладки одночасно навантажуються вертикальними і горизонтальними силами, потрібно зауважити, що пружна накладка в вертикальному напрямку згинається як звичайна балка, а в горизонтальному напрямку стискається або розтягується, як звичайний стрижень з скінченною жорсткістю, який знаходиться в одноосьовому напружено-деформованому стані, задача математично формулюється як система інтегро-диференціальних рівнянь відносно невідомих контактних напружень. Використовуючи перетворення Фур'є, система розв'язується в замкнутому вигляді. В кінцевому результаті вирази для контактних напружень представлені у вигляді інтегралів Фур'є.
format	Article
author	Діхтярук, М.М.
author_facet	Діхтярук, М.М.
author_sort	Діхтярук, М.М.
title	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
title_short	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
title_full	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
title_fullStr	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
title_full_unstemmed	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
title_sort	плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162459
citation_txt	Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями / М.М. Діхтярук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 10. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT díhtârukmm ploskaperíodičnakontaktnazadačadlâdvohpružnihsmugzpočatkoviminapružennâmi
first_indexed	2025-07-14T15:00:25Z
last_indexed	2025-07-14T15:00:25Z
_version_	1837634919457619968
fulltext	38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10: 38—42 Закономірності закону розподілу контактних напружень вздовж лінії контакту періодично розміщених пружних накладок з пружними ізотропними і анізотропними півплощинами без початкових напружень були досліджені в роботах [1, 2]. У випадку присутності в пів- площинах початкових напружень такі задачі розглянуто в [3] Періодична контактна задача для пружної смуги з початковими напруженнями розв’язувалась в [4]. У даній роботі в рамках лінеаризованої теорії пружності [6] досліджується вплив по- чаткових (залишкових) напружень на розподіл контактних напружень в двох однакових пружних смугах товщиною t з початковими (залишковими) напруженнями, з’єднаних між собою по вільних від затиснення гранях 2 0y = і 2y h= періодично розміщеними пруж- ними накладками з періодом 2l ( )l a> і завантаженими зовнішніми горизонтальними си- лами інтенсивністю 0 1( )q y . © М.М. Діхтярук, 2019 https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.10.039 УДК 539.3 М.М. Діхтярук Хмельницький національний університет E-mail: mega-dihtyaruk@ukr.net Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями Представлено академіком НАН України О.М. Гузем У роботі в рамках лінеаризованої теорії пружності розглядається плоска контактна задача про передачу навантаження від пружних періодично розташованих накладок скінченної довжини до двох однакових смуг з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій і різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Вивчається вплив наявності початкових (залишкових) напружень в смугах на за- кон розподілу контактних напружень по лінії контакту з пружними періодично розташованими накладами кінцевої довжини. Виходячи з припущення про те, що накладки одночасно навантажуються вертикальними і горизонтальними силами, потрібно зауважити, що пружна накладка в вертикальному напрямку згинаєть- ся як звичайна балка, а в горизонтальному напрямку стискається або розтягується, як звичайний стри- жень з скінченною жорсткістю, який знаходиться в одноосьовому напружено-деформованому стані, задача математично формулюється як система інтегро-диференціальних рівнянь відносно невідомих контактних напружень. Використовуючи перетворення Фур'є, система розв'язується в замкнутому вигляді. В кінцево- му результаті вирази для контактних напружень представлені у вигляді інтегралів Фур'є. Ключові слова: лінеаризована теорія пружності, пружна накладка, початкові (залишкові) напруження, по чаткові деформації 39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10 Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями Будемо вважати, що смуги виготовлені з однакового стисливого, або нестисливого матеріалу з пружним потенціалом довільної структури і в них діють однакові початкові (залишкові) напруження. Смуги з’єднані між собою на скінченних відрізках періодично розміщеними пружними накладками малої товщини h, а іншими гранями вони жорстко защемлені. Необхідно ви- значити закон розподілу нормальних і тангенціальних контактних напружень вздовж лінії з’єднання. На відрізках контакту накладок з попередньо напруженими смугами викону- ються умови 1 1 1( ) ( )u y u y= 1 1 1 dudu dy y = 1( )a y a−   при 2 0y = і 2y h= , (1) 2 21 1 2 2 1 2( , ) \| ( , ) \| 0y t y tu y y u y y=− =−= = і 2 21 1 2 2 1 2( , ) \| ( , ) \| 0y h t y h tu y y u y y= + = += = . (2) Тут u — горизонтальні переміщення точок накладок; 1( 1, 2)u i = — переміщення в почат- кових смугах з початковими напруженнями. У зв'язку з періодичністю задачі вплив початкових напружень під кожною накладкою однаковий, тому обмежимось розглядом тільки однією з них. Наприклад, накладкою, роз- міщеною на відрізку [ , ]a a− . Враховуючи умови згину і розтягу накладки отримаємо 1 1 0 1 1 1 ( ) 1 [2 ( ) ( )] ( ) y a du y q q d a y a dy E h − = ξ − ξ ξ − < <∫ , 1 1 1 1 ( ) 0, ( ) dv y y a y a dy = ∀ ∈ − < < . (3) Тут 1( )u y і 1( )v y — переміщення граничних точок накладок. Прийнявши до уваги (1)—(2) і враховуючи [2,4], переміщення граничних точок смуги з початковими напруженнями в області контакту запишемо у вигляді 1 1 11 1 12 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )u y h y p d h y q d ∞ ∞ −∞ −∞ = − τ τ τ+ − τ τ τ∫ ∫ , (4) 2 1 21 1 22 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .u y h y p d h y q d ∞ ∞ −∞ −∞ = − τ τ τ+ − τ τ τ∫ ∫ Тут 1( )ijh y ( , 1, 2)i j = — функції впливу [4]. Враховуючи те, що контактні напруження в області контакту є періодичними функція- ми з періодом 2l , запишемо 2 (1) (1) (1) 1 0 1 1 1( ) \| ( ) ( 2 ) ( 2 ),xy yy y y l y kl=τ = τ = τ − = τ + (5) 221 1 0 1( ) \| ( ) ( 2 ) ( 2 )yQ y T y T l T l= = = τ− = τ+ . 40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10 М.М. Діхтярук Задовільнивши умови (5), для визначення невідомих контактних напружень в облас ті контакту з урахуванням (1), (2) з (3) отримаємо відому систему сингулярних інтег ральних рівнянь [4]. Ввівши для цієї системи нову функцію і провівши заміну ( ) ( ) ( )X p iqτ = τ + τ  ( , )τ = ξ η , a l πδ = , (6) після деяких перетворень отримаємо сингулярне інтегральне рівняння з ядром Гільберта 1 11( ) ( ) ( ) ( ) 2 i X X ctg d L X d δ δ −δ −δ ξ −ηβ ξ + η η− ξ−η η η−∫ ∫  (7) 12 22 2( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]i L X d L X d X X d δ δ δ −δ −δ −δ − ξ − η η η− ξ − η η η+β η − η η=∫ ∫ ∫  1 2 1 4[ ( ) ] 2 i Q d β = β ξ +λ τ− π  ( )−δ < ξ < δ і граничною умовою ( ) i X d l δ −δ πη η =∫ . (8) Розв'язок рівняння (7) шукаємо у вигляді ряду по функціях Якобі ( , ) 1 ( ) ( ) , 2 2n n n X w X P ctg tg ∞ α β = δ ξ⎛ ⎞ξ = ξ ξ < δ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑  , (9) де ( , ) 0 ( ) 2 2n n P ctg tg ∞ α β = δ ξ⎧ ⎫−⎨ ⎬ ⎩ ⎭ — многочлени Якобі, ортогональні на відрізку [ ; ]−δ δ відносно ваги ( ) sec sin sin , 2 2 2 w α βξ δ−ξ δ+ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ξ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 44 1 1 1 ln(3 4 )1 1 ; ; , 2 2 2 c i i − α = − − α β = − + α α = π (10) де 44c — параметр, що визначає початковий напружений стан в смугах; nX — нескінчен- ний ряд невідомих комплексних коефіцієнтів, які потрібно визначити. Для їх визначення підставляємо значення (9) в рівняння (7), використавши властивос- ті ортогональності многочленів Якобі [3, 7], для визначення невідомих величин nX отриму- ємо нескінченну квазірегулярну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (1) (2) (0) (1) (2) , , 0 0 1 [ ] [ ] ( 1, 2, )m m m n n m n n m m m n l X D X D X D D X D X m ∞ = + + = − + + =∑    , (11) 41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 10 Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями де (1) (2) (0) (1) (2), , , , ( 1, 2, )m mn mn m m ml D D D D D m =  — відомі величини, які залежать від попередньо напруженого стану. В результаті квазірегулярності коефіцієнти матриці системи швидко зменшуються із зростанням m і n від діагональних елементів, тому її можна розв’язати відомими чисель- ними методами. За результатами досліджень даної роботи можна зробити узагальнюючі висновки, щодо впливу початкових напружень на закон розподілу контактних зусиль під пружними нак- ладками, які виникають при їхній взаємодії з попередньо напруженими смугами. Розглянутий випадок підтверджує, що напруження під періодично розміщеними на- кладками, які підсилюють смуги з початковими напруженнями і без них при дії однакових зовнішніх зусиль будуть ідентичними. В цьому легко переконатись, якщо порівнювати формули для переміщень в пружних смугах [2, 7] без початкових напружень і смугах [4] з початковими напруженнями при дії ідентичних зовнішніх зусиль. Як відомо, відстань між накладками є важливим параметром впливу останніх однієї на іншу. Але стало зрозумілим, що на закон розподілу контактних напружень, крім відстані між накладками істотно впливає присутність в смугах початкових напружень. Цей вплив можна визначити для конкретного виду пружного потенціалу за допомогою відомих пара- метрів [5, 6]. Зазначимо, що сингулярні інтегро- диференційні рівняння які були отримані в резуль- таті постановки цієї задачі за зовнішнім виглядом збігаються з відповідними задачами кла- сичної лінійної теорії пружності. Таким чином, і структура їх розв’язків також повинна збі- гатися, але закони розподілу напружень і переміщень при цьому не збігаються, оскільки лінійні і лінеаризовані задачі мають різні представлення через комплексні потенціали [5]. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Арутюнян И.Х. , Мхитарян С.М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими на- кладками. Прикл. механика. 1968. 32, № 4. С. 632—646. 2. Саркисян В.С. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1983. 260 с. 3. Guz A.N., Babich S.Y., Rudnitskii V.B. Contact problems for elastic bodies with initial stresses: Focus on Ukrainian research. Int. Appl. Mech. Rew. 1998. 51, № 5. P. 343—371. 4. Діхтярук М.М. Періодична контактна задача для пружної смуги з початковими (залишковими) напру- женнями. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2004. № 3. С. 46—49. 5. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницький В.Б. Контактна взаємодія тіл з початковими напруженнями. Київ: Вища шк., 1995. 305 с. 6. Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наук. дум- ка, 1983. 240с. 7. Штаерман И. Я. Контактные задачи теории упругости. Москва, 1949. 270 с. Надійшло до редакції 27.06.2019 REFERENCE 1. Arutyunyan, N. Kh. & Mhitaryan, S. M. (1968). Periodic contact problem for a half-plane with elastic straps. Prikl. Mekh. 32, No. 4. pp. 632-646 (in Russian). 2. Sarkisyan, V. S. (1983). Contact problems for the half-planes and strips with elastic straps. Yerevan: Yerevan Univ. Press. (in Russian). 42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 10 М.М. Діхтярук 3. Guz, A. N., Babich, S. Y. & Rudnitskii, V. B. (1998). Contact problems for elastic bodies with initial stresses: Focus on Ukrainian research. Int. Appl. Mech. Rew., 51, No. 5. pp. 343-371. 4. Dihtyaruk, N. N. (2004). Periodic contact problem for an elastic band with initial (residual) stresses. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 3. pp. 46-49 (in Ukrainian). 5. Guz, A. N., Babich, S. Y. & Rudnitskii, V. B. (1995). Contact interaction of bodies with initial stresses. Kyiv: Vysha Shkola (in Ukrainian). 6. Guz, A. N. (1983). Mechanics of brittle fracture of materials with initial stresses. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 7. Shtaerman, I. Ya. (1949). Contact problems of the theory of elasticity. Moscow. Gostehizdat (in Russian). Received 27.06.2019 Н.Н. Дихтярук Хмельницкий национальный университет E-mail: mega-dihtyaruk@ukr.net ПЛОСКАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУХ УПРУГИХ ПОЛОС С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ В работе в рамках линеаризированной теории упругости рассматривается плоская контактная задача о передаче нагрузки от упругих периодически расположенных накладок конечной длины к двум одинако- вым полосам с начальными (остаточными) напряжениями. Исследования проведены в общем виде для теории больших начальных деформаций и разных вариантов теории малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. Изучается влияние наличия начальных (остаточных) на- пряжений в полосах на закон распределения контактных напряжений по линии контакта с упругими пе- риодически расположенными накладами конечной длины. Исходя из предположения о том, что накладки одновременно нагружаются вертикальными и горизонтальными силами, следует отметить, что упругая накладка в вертикальном направлении изгибается как обычная балка, а в горизонтальном направлении сжимается или растягивается, как обычный стержень с конечной жесткостью, который находится в одно- осном напряженно-деформированном состоянии, задача математически формулируется как система инте- гро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений. Используя пре- образования Фурье, система решается в замкнутом виде. В итоге выражения для контактных напряжений представлены в виде интегралов Фурье. Ключевые слова: линеаризованная теория упругости, упругая накладка, начальные (остаточные) напря- жения, начальные деформации. N.N. Dikhtyaruk Khmel’nyts’k National University E-mail: mega-dihtyaruk@ukr.net FLAT PERIODIC CONTACT PROBLEM FOR TWO ELASTIC STRIPS WITH INITIAL STRESSES Within the framework of the theory of linearized elasticity, the formulation and solution of the plane load trans fer problem from periodically located elastic stringers to two identical elastic bands with initial (residual) stresses are given. In general, the study is carried out within the theory of large (finite) initial deformations and various versions of the theory of small initial deformations for an arbitrary form of the elastic potential. The influence of initial stresses on the distribution of contact forces in elastic bands and stringers is studied. Pro- ceeding from the assumption that stringers are simultaneously loaded by vertical and horizontal forces, the prob- lem is formulated mathematically as a system of integro-differential equations for the unknown contact stresses. Using the Fourier transformation, the system is solved in a closed form. The stress expressions are represented by quite simple Fourier integrals. Keywords: contact problems, linearized elasticity theory, elastic stringer, initial (residual) tensions, initial de- formations.

Плоска періодична контактна задача для двох пружних смуг з початковими напруженнями

Репозитарії

Схожі ресурси