О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками uxxx − uyy = f(x, y) в областi D = {(x, y): 0 < x < p, 0 < y < l} дослiджено першу крайову задачу. Єдинiсть розв’язку цiєї задачi доведено методом iнтегралiв енергiї, а розв’язок в явному виглядi отримано за допомогою функцiї Грiн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163981 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Ю.П. Апаков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-163981 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1639812020-02-08T01:25:53Z О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Апаков, Ю.П. Статті Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками uxxx − uyy = f(x, y) в областi D = {(x, y): 0 < x < p, 0 < y < l} дослiджено першу крайову задачу. Єдинiсть розв’язку цiєї задачi доведено методом iнтегралiв енергiї, а розв’язок в явному виглядi отримано за допомогою функцiї Грiна. We consider the first boundary-value problem for the third-order equation with multiple characteristics uxxx − uyy = f(x, y) in the domain D = {(x, y): 0 < x < p, 0 < y < l} . The uniqueness of a solution is proved by the energy-integral method, and the solution is constructed in explicit form with the use of the Green function. 2012 Article О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Ю.П. Апаков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163981 517.951.2 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Апаков, Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Український математичний журнал |
| description |
Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками uxxx − uyy = f(x, y) в областi D = {(x, y): 0 < x < p, 0 < y < l} дослiджено першу крайову задачу. Єдинiсть розв’язку цiєї задачi доведено методом iнтегралiв енергiї, а розв’язок в явному виглядi отримано за допомогою функцiї Грiна. |
| format |
Article |
| author |
Апаков, Ю.П. |
| author_facet |
Апаков, Ю.П. |
| author_sort |
Апаков, Ю.П. |
| title |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| title_short |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| title_full |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| title_fullStr |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| title_full_unstemmed |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| title_sort |
о решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163981 |
| citation_txt |
О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Ю.П. Апаков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT apakovûp orešeniikraevojzadačidlâuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikami |
| first_indexed |
2025-07-14T16:31:36Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:31:36Z |
| _version_ |
1837640661430435840 |
| fulltext |
УДК 517.951.2
Ю. П. Апаков (Наманган. инж.-пед. ин-т, Узбекистан)
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
We consider the first boundary-value problem for the third-order equation with multiple characteristics uxxx−uyy = f(x, y)
in the domain D = {(x, y) : 0 < x < p, 0 < y < l} . The uniqueness of a solution is proved by the energy-integral method,
and the solution is constructed in explicit form with the use of the Green function.
Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками uxxx − uyy = f(x, y) в областi D =
{
(x, y) : 0 <
< x < p, 0 < y < l
}
дослiджено першу крайову задачу. Єдинiсть розв’язку цiєї задачi доведено методом iнтегралiв
енергiї, а розв’язок в явному виглядi отримано за допомогою функцiї Грiна.
1. Введение и формулировка основных результатов. Уравнение третьего порядка с кратными
характеристиками, содержащее вторую производную по времени
L (u) =
∂3u
∂x3
− ∂2u
∂y2
= g(x, y), (1)
впервые было рассмотрено в работах [1 – 3]. Полученные в них результаты были обобщены для
уравнения (2n+ 1)-го порядка в работе [4].
В работе [5] построены фундаментальные решения уравнения (1), выраженные через вы-
рожденные гипергеометрические функции, которые имеют вид
U (x, y; ξ, η) = |y − η|1/3 f (t) , −∞ < t < +∞,
V (x, y; ξ, η) = |y − η|1/3 ϕ (t) , t < 0,
(2)
где
f(t) =
2 3
√
2√
3π
tΨ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
, ϕ(t) =
36Γ(1/3)√
3π
tΦ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
,
τ =
4
27
t3, t = (x− ξ) |y − η|−2/3 ,
Ψ(a, b;x), Φ(a, b;x) — вырожденные гипергеометрические функции (см. [6, 7]).
Отметим, что уравнение (1) является сопряженным к уравнению
uxxx + uyy = F (x, y),
которое, в свою очередь, является линейной частью (при ν = 0) так называемого ВТ-уравнения
(вязкого трансзвукового уравнения)
uxxx + uyy −
ν
y
uy = uxuxx.
c©Ю. П. АПАКОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 3
4 Ю. П. АПАКОВ
При ν = 1 ВТ-уравнение описывает осесимметричный поток, а при ν = 0 — плоскопараллель-
ный [8, 9].
Данная работа является продолжением работы [10]. В ней на основании результатов работ
[5, 10] с помощью функции Грина в прямоугольной области построено явное решение первой
краевой задачи.
Рассмотрим уравнение (1) в области D = {(x, y) : 0 < x < p, 0 < y < l} , где p > 0, l > 0
— постоянные числа.
Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию u(x, y), которая в области
D удовлетворяет уравнению (1) и принадлежит классу C3,2
x,y (D) ∩ C1,0
x,y
(
D
)
.
Задача A. Найти регулярное решение уравнения (1) в области D, удовлетворяющее крае-
вым условиям
u (x, 0) = ϕ1 (x) , u (x, l) = ϕ2 (x) , (3)
u (0, y) = ψ1 (y) , u (p, y) = ψ2 (y) , ux (p, y) = ψ3 (y) , (4)
где
ϕi (x) ∈ C [0, p] , i = 1, 2,
ψj (y) ∈ C [0, l] , j = 1, 3, g(x, y) ∈ C0,2
x,y
(
D
)
,
кроме того, выполняются следующие условия согласования:
ϕ1 (0) = ψ1 (0) , ϕ1 (p) = ψ2 (0) , ϕ′1 (p) = ψ3 (0) , ϕ2 (0) = ψ1 (l) ,
(5)
ϕ2 (p) = ψ2 (l) , ϕ′2 (p) = ψ3 (l) , g (x, 0) = g (x, l) = 0.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Задача A не может иметь более одного решения.
Теорема 2. Если функции ϕi (x) ∈ C [0, p] , i = 1, 2, ψj (y) ∈ C [0, l] , j = 1, 3, g(x, y) ∈
∈ C0,2
x,y
(
D
)
, а также выполняются условия согласования (5), то существует решение за-
дачи A.
2. Вспомогательные результаты. В работе [10] доказаны следующие теоремы.
Теорема 3. При |t| → ∞ для фундаментального решения U (x, y; ξ, η) выполняются
оценки ∣∣∣∣ ∂h+k∂xh∂yk
U (x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ 6 Chk |y − η|
1−(−1)k
2 |x− ξ|−
1
2{2h+3k−1+ 3
2 [1−(−1)k]} , (6)
где h, k = 0, 1, 2, . . . .
Теорема 4. Для любой функции ϕ (x) ∈ C [a, b] при любых x 6= ξ, y 6= η
lim
x→x0
η→y
b∫
a
U∗ (x, y; ξ, η)ϕ (ξ) dξ = ϕ (x0), (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 5
где
U∗(x, y; ξ, η) =
1
|y − η|2/3
f∗(t), −∞ < t < +∞,
f∗(t) =
3
√
2
9
√
3π
tΨ
(
7
6
,
4
3
; τ
)
, τ =
4
27
t3, t = (x− ξ) |y − η|−2/3 .
Отметим, что
Uy(x, y; ξ, η) = U∗(x, y; ξ, η) sgn (y − η).
Теорема 5. При ω (y) ∈ C [0, l] имеют место равенства
lim
x→ξ
l∫
0
Uxx (x, y; ξ, η)ω (η) dη =
−2
3
ω (y) , x > ξ,
4
3
ω (y) , x < ξ,
0, x = ξ.
(8)
lim
x→ξ
l∫
0
Vxx (x, y; ξ, η) ω (η) dη =
2ω (y) , x < ξ,
0, x = ξ.
(9)
Здесь U(x, y; ξ, η), V (x, y; ξ, η) — фундаментальные решения (2).
3. Доказательства. Докажем, что задача A имеет единственное решение.
Доказательство теоремы 1. Пусть задача A имеет два решения: u1(x, y) и u2(x, y). Тогда
u(x, y) = u1(x, y)−u2(x, y) удовлетворяет однородному уравнению (1) и однородным краевым
условиям. Докажем, что u(x, y) ≡ 0 в D.
Рассмотрим тождество
∂
∂x
(
uuxx −
1
2
u2x
)
− ∂
∂y
(uuy) + u2y = 0. (10)
Интегрируя тождество (10) по области D и учитывая однородные краевые условия, получаем
1
2
l∫
0
u2x (0, y) dy +
∫∫
D
u2y(x, y)dxdy = 0.
Отсюда uy(x, y) = 0, т. е. u (x, y) = φ (x) . Из u (x, 0) = 0 имеем φ (x) = 0, тогда u (x, y) ≡ 0.
Теорема 1 доказана.
Перейдем к доказательству существования решения задачи A.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим сопряженные дифференциальные операторы
L ≡ ∂3
∂ξ3
− ∂2
∂η2
, L∗ ≡ − ∂3
∂ξ3
− ∂2
∂η2
.
Имеет место тождество
ϕL [ψ]− ψL∗ [ϕ] ≡ ∂
∂ξ
(ϕψξξ − ϕξψξ + ϕξξψ)− ∂
∂η
(ϕψη − ϕηψ) ,
где ϕ, ψ — достаточно гладкие функции.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
6 Ю. П. АПАКОВ
Интегрируя тождество по области D, получаем∫∫
D
[
ϕL [ψ]− ψL∗ [ϕ]
]
dξdη =
=
∫∫
D
∂
∂ξ
(ϕψξξ − ϕξψξ + ϕξξψ) dξdη −
∫∫
D
∂
∂η
(ϕψη − ϕηψ)dξdη. (11)
В качестве функции ϕ возьмем фундаментальное решение U(x, y; ξ, η) уравнения (1), которое,
как функция (ξ, η) , при (x, y) 6= (ξ, η) удовлетворяет уравнению
L∗ [U ] ≡ −Uξξξ − Uηη = 0,
а в качестве ψ — любое регулярное решение u(ξ, η) уравнения uxxx − uyy = 0. При этом,
учитывая, что Uη(x, y; ξ, η) имеет особенность в y = η, область D разделим на две области так,
что D = limε→0 (Dε
1 ∪Dε
2) , где
Dε
1 =
{
(ξ, η) : 0 < ξ < p, 0 < η < y − ε
}
,
Dε
2 =
{
(ξ, η) : 0 < ξ < p, y + ε < η < l
}
.
Тогда тождество (11) принимает вид∫∫
D
U(x, y; ξ, η)f(ξ, η) dξdη =
= lim
ε→0+
p∫
0
y−ε∫
0
∂
∂ξ
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)dξdη+
+ lim
ε→0+
p∫
0
l∫
y+ε
∂
∂ξ
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)dξdη−
− lim
ε→0+
p∫
0
y−ε∫
0
∂
∂η
(Uuη − Uηu) dξdη−
− lim
ε→0+
p∫
0
l∫
y+ε
∂
∂η
(Uuη − Uηu) dξdη =
= lim
ε→0+
y−ε∫
0
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 7
+ lim
ε→0+
l∫
y+ε
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
− lim
ε→0+
p∫
0
(Uuη − Uηu)
∣∣∣η=y−ε
η=0
dξ − lim
ε→0+
p∫
0
(Uuη − Uηu)
∣∣∣η=l
η=y+ε
dξ =
=
l∫
0
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
−
p∫
0
[
U (x, y; ξ, l)uη (ξ, l)− U (x, y; ξ, 0)uη (ξ, 0)
]
dξ+
+
p∫
0
[
Uη (x, y; ξ, l)u (ξ, l)− Uη (x, y; ξ, 0)u (ξ, 0)
]
dξ+
+ lim
ε→0+
p∫
0
Uη (x, y; ξ, y − ε)u (ξ, y − ε) dξ−
− lim
ε→0+
p∫
0
Uη (x, y; ξ, y + ε)u (ξ, y + ε) dξ.
Упрощая это выражение, имеем
∫∫
D
U (x, y; ξ, η) g (ξ, η) dξdη =
l∫
0
[
Uuξξ − Uξuξ + Uξξu
]∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
−
p∫
0
U (x, y; ξ, η)uη (ξ, η)
∣∣∣η=l
η=0
dξ +
p∫
0
Uη (x, y; ξ, η)u (ξ, η)
∣∣∣η=l
η=0
dξ+
+ lim
ε→0+
p∫
0
Uη (x, y; ξ, y − ε)u (ξ, y − ε) dξ−
− lim
ε→0+
p∫
0
Uη (x, y; ξ, y + ε)u (ξ, y + ε) dξ. (12)
Учитывая теорему 4 из работы [10], из (12) окончательно получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
8 Ю. П. АПАКОВ
2u(x, y) =
l∫
0
(Uuξξ − Uξuξ + Uξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
−
p∫
0
(Uuη − Uηu)
∣∣∣η=l
η=0
dξ −
∫∫
D
U(x, y; ξ, η)g(ξ, η) dξdη. (13)
Пусть теперь W (x, y, ξ, η) — любое регулярное решение сопряженного уравнения L∗ [u] = 0,
u(x, y) — любое регулярное решение уравнения uxxx − uyy = 0. Тогда, полагая в (11) ϕ =
= W (x, y; ξ, η), ψ = u(ξ, η), имеем
0 =
l∫
0
(Wuξξ −Wξuξ +Wξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
−
p∫
0
(Wuη −Wηu)
∣∣∣η=l
η=0
dξ −
∫∫
D
W (x, y; ξ, η)g(ξ, η) dξdη. (14)
Из (13) и (14) находим
2u(x, y) =
l∫
0
(Guξξ −Gξuξ +Gξξu)
∣∣∣ξ=p
ξ=0
dη−
−
p∫
0
(Guη −Gηu)
∣∣∣η=l
η=0
dξ −
∫∫
D
G(x, y; ξ, η)g(ξ, η) dξdη, (15)
где
G(x, y; ξ, η) = U(x, y; ξ, η)−W (x, y; ξ, η).
Построим теперь функцию G(x, y; ξ, η), которая должна иметь следующие свойства при
(x, y) 6= (ξ, η):
по переменным (x, y)
L [G] = 0, G (x, 0; ξ, η) = G (x, l; ξ, η) = 0,
G (0, y; ξ, η) = G (p, y; ξ, η) = Gx (p, y; ξ, η) = 0,
(16)
по переменным (ξ, η)
L∗ [G] = 0, G (x, y; ξ, 0) = G (x, y; ξ, l) = 0,
G (x, y; 0, η) = G (x, y; p, η) = Gξ (x, y; 0, η) = 0.
(17)
Для этого исследуем следующую вспомогательную задачу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 9
Задача A1. Найти регулярное решение в области D уравнения (1), удовлетворяющее кра-
евым условиям
u (x, 0) = 0, u (x, l) = 0, 0 < x < p, (18)
u (0, y) = u (p, y) = u′x (p, y) = 0, 0 < y < l. (19)
Решение поставленной задачи будем искать в виде (см. [11, c. 95, 211])
u(x, y) =
∞∑
k=1
Xk(x) sin
kπ
l
y. (20)
Функцию g(x, y) можно разложить по системе
{
sin
kπ
l
y
}
собственных функций:
g(x, y) =
∞∑
k=0
gk(x) sin
kπ
l
y, (21)
где
gk(x) =
2
l
l∫
0
g(x, y) sin
kπ
l
ydy .
Подставив (20), (21) в (1), будем иметь
∞∑
k=0
(
X ′′′k (x) + λ3kXk(x)− gk(x)
)
sin
kπ
l
y = 0,
а для нахождения функции Xk(x) получим следующую задачу:
L [Xk] ≡ X ′′′k (x) + λ3kXk(x) = gk(x),
Xk(0) = Xk(p) = X ′k(p) = 0,
(22)
где
λ3k =
(
kπ
l
)2
.
Решение задачи (22) будем искать методом построения функции Грина [12] Gk(x, ξ), которая
имеет следующие свойства:
1) Gk(x, ξ) непрерывна и имеет непрерывную производную по x при 0 6 x 6 p;
2) ее вторая производная по x в точке x = ξ имеет разрыв 1-го рода, причем скачок равен
1, т. е.
∂2Gk(x, ξ)
∂x2
∣∣∣∣
x=ξ+0
− ∂2Gk(x, ξ)
∂x2
∣∣∣∣
x=ξ+0
= 1;
3) в каждом из интервалов 0 6 x < ξ и ξ < x 6 p функция Gk(x, ξ), рассматриваемая как
функция от x, является решением уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
10 Ю. П. АПАКОВ
L [Gk] =
∂3Gk
∂ x3
+ λ3kGk = 0;
4) Gk(0, ξ) = Gk (p, ξ) = Gkx (p, ξ) = 0.
Построим функцию Gk(x, ξ) в виде
Gk(x, ξ) =
1
∆̄
{
2e−λk(
3
2
p+x−ξ) sin
(√
3
2
λkp+
π
6
)
−
−2e−
λk
2
(2x+ξ) sin
(√
3
2
λkξ +
π
6
)
−
−2e−λk(
3
2
p−ξ−x
2 ) sin
[√
3
2
λk (p− x) +
π
6
]
+
+2e−
λk
2
(ξ−x) sin
[√
3
2
λk (ξ − x) +
π
6
]
+
+4e−
λk
2
(3p+ξ−x) sin
[√
3
2
λk (p− ξ)
]
sin
√
3
2
λkx
}
, 0 6 x 6 ξ,
(23)
Gk(x, ξ) =
1
∆̄
{
−2e−
λk
2
(2x+ξ) sin
(√
3
2
λkξ +
π
6
)
−
−2e−λk(
3
2
p−ξ−x
2 ) sin
[√
3
2
λk (p− x) +
π
6
]
+ e−λk(x−ξ)+
+4e−
λk
2
(3p+ξ−x) sin
[√
3
2
λk (p− x) +
π
6
]
sin
(√
3
2
λkξ +
π
6
)}
,
ξ 6 x 6 p,
где
∆̄ = 3λ2k
(
1− 2e−
3
2
λkp sin
(√
3
2
λkp+
π
6
))
.
Легко можно убедиться, что функция, определенная формулой (23), имеет все свойства, сфор-
мулированные при определении функции Грина.
Итак, функция Грина построена, тогда решение задачи A1 имеет вид
Xk (x) =
p∫
0
Gk (x, ξ) gk (ξ)dξ. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 11
Далее, согласно формуле (20), с учетом (24) решение задачи A1 принимает вид
u(x, y) =
∞∑
k=1
p∫
0
Gk(x, ξ)gk (ξ) dξ sin
πk
l
y =
p∫
0
∞∑
k=1
Gk(x, ξ) sin
πky
l
gk (ξ) dξ. (25)
Если функция u(x, y) и ее производные uxxx, uyy сходятся равномерно в областиD, то функция
u(x, y) является решением задачи A1.
Найдем оценки функции (25):
|u(x, y)| 6
∣∣∣∣∣∣
p∫
0
∞∑
k=1
Gk (x, ξ) sin
πky
l
gk (ξ) dξ
∣∣∣∣∣∣ 6
6
p∫
0
∞∑
k=1
|Gk(x, ξ)|
∣∣∣∣sin πkl y
∣∣∣∣ |gk (ξ)| dξ 6
p∫
0
∞∑
k=1
|Gk(x, ξ)| |gk (ξ)| dξ. (26)
При сделанных предположениях относительно g(x, y) имеет место неравенство [13]
|gk(ξ)| 6
M1
k2
,
так как gk(ξ) являются коэффициентами Фурье в разложении g(x, y) на отрезке (0, l).
Учитывая это, (26) можно записать в виде
|u(x, y)| 6
p∫
0
∞∑
k=1
|Gk(x, ξ)| |gk (ξ)| dξ 6M1
p∫
0
∞∑
k=1
1
k2
|Gk(x, ξ)| dξ. (27)
Из (23), вычисляя оценки функции Gk(x, ξ), находим
|Gk(x, ξ)| 6
10
3
e−
3
2
λkp
λ2k
+
2
3
e−
1
2
λkδ
λ2k
= M2k
−4/3. (28)
Тогда из (23) получаем
|u(x, y)| 6 M3
∞∑
k=1
k−10/3,
откуда следует, что ряд (25) сходится равномерно.
Покажем, что ряд производных uxxx сходится равномерно:
∂3u(x, y)
∂x3
=
p∫
0
∞∑
k=1
∂3
∂x3
Gk(x, ξ)gk (ξ) dξ =
p∫
0
∞∑
k=1
λ3kGk(x, ξ)gk (ξ) dξ, (29)
∣∣∣∣ ∂3u(x, y)
∂x3
∣∣∣∣ 6
p∫
0
∞∑
k=1
∣∣∣∣ ∂3∂x3 Gk(x, ξ)
∣∣∣∣ |gk (ξ)| dξ 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
12 Ю. П. АПАКОВ
6M4
p∫
0
∞∑
k=1
1
k2
∣∣λ3kGk(x, ξ)∣∣ dξ. (30)
Отсюда ∣∣λ3kGk(x, ξ)∣∣ 6 10
3
λke
− 3
2
λkp +
2
3
λke
− 1
2
λkδ 6M5k
2/3,
тогда из (30) имеем∣∣∣∣ ∂3u(x, y)
∂x3
∣∣∣∣ 6M6
∞∑
k=1
k−4/3, Mi = const > 0, i = 1, 6,
значит, ряд (29) сходится равномерно.
Поскольку
∂2u(x, y)
∂y2
=
∂3u(x, y)
∂x3
,
аналогичным образом доказывается равномерная сходимость ряда производных
∂2u
∂y2
. Отсюда
вытекает возможность почленного дифференцирования ряда (25), необходимого для выполне-
ния уравнения (1). Изменение порядка суммирования и интегрирования всегда законно в силу
того, что ряд под интегралом (25) равномерно сходится по ξ.
Заменяя в решении (25) gk(ξ) их значениями, получаем окончательное решение вспомога-
тельной задачи A1 в виде
u(x, y) =
p∫
0
∞∑
k=1
Gk(x, ξ) sin
πky
l
gk (ξ) dξ =
=
2
l
p∫
0
∞∑
k=1
Gk (x, ξ)
l∫
0
g (ξ, η) sin
πk
l
η sin
πk
l
ydηdξ =
=
p∫
0
l∫
0
g (ξ, η)
2
l
∞∑
k=1
Gk(x, ξ) sin
πk
l
η sin
πk
l
y dξdη =
=
p∫
0
l∫
0
G (x, ξ, y, η) g (ξ, η) dξ dη,
где
G (x, ξ, y, η) =
2
l
∞∑
k=1
Gk(x, ξ) sin
πk
l
η sin
πk
l
y. (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 13
Легко можно убедиться, что для функции G (x, ξ, y, η) выполняются все условия задач (16),
(17). Функция (31) является функцией Грина первой краевой задачи в области D. Сходимость
ряда (31) следует из оценки (28) для функций Gk(x, ξ) при x 6= ξ.
Учитывая выполнение для функции G (x, ξ, y, η) краевых условий (16), (17), а для функции
u (x, y) краевых условий (3), (4), из (15) получаем решение задачи A в виде
2u(x, y) =
l∫
0
Gξξ (x, y, p, η)ψ2 (η) dη −
l∫
0
Gξξ (x, y, 0, η)ψ1 (η) dη−
−
l∫
0
Gξ (x, y, p, η)ψ3 (η) dη +
p∫
0
Gη (x, y, ξ, l)ϕ2 (ξ) dξ−
−
p∫
0
Gη (x, y, ξ, 0)ϕ1 (ξ) dξ −
∫∫
D
G (x, y, ξ, η) g (ξ, η) dξdη.
Итак, мы получили решение задачи A в явном виде.
Теорема 2 доказана.
1. Block H. Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples // Ark. mat., astron., fys. Note 1.
– 1912. – 7, № 13. – P. 1 – 34; Note 2. – 1912. – 7, № 21. – P. 1 – 30; Note 3. – 1912 – 1913. – 8, № 23. – P. 1 – 51.
2. Del Vecchio E. Sulle equazioni Zxxx − Zy + ϕ1(x, y) = 0, Zxxx − Zyy + ϕ2(x, y) = 0 // Mem. Real acad. cienc.
Torino. Ser. 2. – 1915. – 66. – P. 1 – 41.
3. Del Vecchio E. Sur deux problemes d’integration pour las equazions paraboliques Zxxx −Zy = 0, Zxxx −Zyy = 0
// Ark. mat., astron., fys. – 1916. – 11. – P. 32 – 43.
4. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple
// Rend. Semin. mat. Univ. Padova. – 1961. – 31. – P. 1 – 45.
5. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными
характеристиками // Вест. Самар. гос. тех. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2007. – № 2(15). – C. 18 – 26.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 2 т. – М.: Наука, 1973. – T. 1. – 296 с.
7. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
8. Рыжов О. С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения звуковым потоком вязкого и теплопроводя-
щего газа // Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, вып. 6. – C. 1004 – 1014.
9. Диесперов В. Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1972. – 12, № 5. – C. 1265 – 1279.
10. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего
вторую производную по времени // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 40 – 51.
11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 724 с.
12. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. – 2-е изд. – М.: Наука, 1976. – 216 с.
13. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: B 3 т. – 2-е изд. – М.: Высш. шк., 1989. – Т. 3. – 352 с.
Получено 08.04.10,
после доработки — 10.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|