Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду

Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду

Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений тригонометрических полиномов, порождаемых линейным методом приближения специального вида, на классах сверток аналитических функций в равномерной и интегральной метриках....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
Hauptverfasser: Чайченко, С.О., Сердюк, А.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2011
Schriftenreihe:Український математичний журнал
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163983
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду / С.О. Чайченко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 102–109. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-163983
record_format dspace
spelling irk-123456789-1639832020-02-08T01:27:05Z Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду Чайченко, С.О. Сердюк, А.С. Статті Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений тригонометрических полиномов, порождаемых линейным методом приближения специального вида, на классах сверток аналитических функций в равномерной и интегральной метриках. On classes of convolutions of analytic functions in uniform and integral metrics, we find asymptotic equations for the least upper bounds of deviations of trigonometric polynomials generated by certain linear approximation method of a special form. 2011 Article Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду / С.О. Чайченко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 102–109. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163983 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Чайченко, С.О.
Сердюк, А.С.
Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
Український математичний журнал
description Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений тригонометрических полиномов, порождаемых линейным методом приближения специального вида, на классах сверток аналитических функций в равномерной и интегральной метриках.
format Article
author Чайченко, С.О.
Сердюк, А.С.
author_facet Чайченко, С.О.
Сердюк, А.С.
author_sort Чайченко, С.О.
title Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
title_short Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
title_full Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
title_fullStr Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
title_full_unstemmed Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
title_sort наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2011
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163983
citation_txt Наближення класів аналітичних функцій лінійним методом спеціального вигляду / С.О. Чайченко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 102–109. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT čajčenkoso nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjlíníjnimmetodomspecíalʹnogoviglâdu
AT serdûkas nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjlíníjnimmetodomspecíalʹnogoviglâdu
first_indexed 2025-07-14T16:32:04Z
last_indexed 2025-07-14T16:32:04Z
_version_ 1837640689844748288
fulltext UDK 517.5 A. S. Serdgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v), S. O. Çajçenko (Slov’qn. ped. un-t) NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ LINIJNYM METODOM SPECIAL|NOHO VYHLQDU On classes of convolutions of analytic functions in uniform and integral metrics, we find asymptotic equations for the least upper bounds of deviations of trigonometric polynomials generated by certain linear approximation method of a special form. Najden¥ asymptotyçeskye ravenstva dlq toçn¥x verxnyx hranej otklonenyj tryhonometryçe- skyx polynomov, poroΩdaem¥x lynejn¥m metodom pryblyΩenyq specyal\noho vyda, na klassax svertok analytyçeskyx funkcyj v ravnomernoj y yntehral\noj metrykax. Nexaj Lp , 1 ≤ p < ∞, — prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx u p-mu stepeni na periodi funkcij f, norma u qkomu vyznaça[t\sq formulog f Lp = f p = f t dtp p ( ) / 0 2 1π ∫       ; L∞ — prostir 2π-periodyçnyx vymirnyx i sutt[vo obmeΩenyx funkcij f z normog f L∞ = f ∞ = ess sup ( ) t f t ; C — prostir neperervnyx 2π-periodyçnyx funkcij f, norma v qkomu zada[t\sq rivnistg f C = max t f t( ) . Nexaj, dali, f L∈ 1 i S f[ ] = a0 2 + ( cos sin ) ( ; )a kx b kx A f xk k k k k + = = ∞ = ∞ ∑ ∑ 1 0 df — ]] rqd Fur’[. Qkwo rqd 1 2 21 ψ β π β π ( ) cos sin k a kx b kx k k k = ∞ ∑ +    + +        = = cos ( ) ( ; ) β π ψ 2 1 k A f x k k = ∞ ∑ – sin ( ) ( ; ) β π ψ 2 k A f xk � , �A f xk ( ; ) = a kxk sin – b kxk cos , de ψ = ψ( )k — fiksovana poslidovnist\ dijsnyx çysel, β ∈R , [ rqdom Fur’[ deqko] sumovno] funkci], to ]] nazyvagt\ (ψ, β)-poxidnog funkci] f ( )⋅ i po- znaçagt\ fβ ψ . MnoΩynu usix funkcij z L1, wo magt\ (ψ, β)-poxidni, pozna- çagt\ çerez Lβ ψ . Qkwo f L∈ β ψ i, krim toho, fβ ψ ∈N , de N — deqka pidmno- Ωyna z L1 0 = f f L: ∈{ 1 , f ⊥ }1 , to pyßut\ f L∈ β ψ N . Krim toho, vvaΩagt\, © A. S. SERDGK, S. O. ÇAJÇENKO, 2011 102 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ LINIJNYM METODOM … 103 wo Cβ ψ = C L∩ β ψ , Cβ ψ N = C L∩ β ψ N . U ramkax dano] roboty rol\ N vidihra- vatymut\ mnoΩyny U p 0 = ϕ ϕ∈ ≤{ }Lp p 0 1: , 1 ≤ p ≤ ∞. Pry c\omu pokladatymemo L U pβ ψ 0 = L pβ ψ , C U Cp pβ ψ β ψ0 =( ), . Klasyfikacig 2π- periodyçnyx funkcij za dopomohog ( ψ, β)-poxidnyx zaproponuvav O.HI.HStepa- nec\ (dyv., napryklad, [1, s. 131]). V [1, s. 135] pokazano, wo u vypadku, koly ψ βπ ( ) cosk kt k= ∞ ∑ −    1 2 [ rqdom Fur’[ deqko] sumovno] funkci] Ψβ( )t , funkci] f (x) z mnoΩyny Lβ ψ majΩe pry vsix x moΩut\ buty podani u vyhlqdi zhortky f x( ) = A0 + 1 0 2 π β ψ π βf x t t dt∫ −( ) ( )Ψ . (1) U danij roboti budemo vvaΩaty, wo poslidovnosti ψ( )k > 0, k ∈N , i zadovol\nqgt\ umovu lim ( ) ( )k k k q →∞ + = ψ ψ 1 , q ∈[ )0 1; . (2) MnoΩynu takyx poslidovnostej budemo poznaçaty çerez Dq [2]. U c\omu vy- padku elementamy mnoΩyn Cβ ψ [ 2π-periodyçni funkci] f (x), qki moΩna rehu- lqrno prodovΩyty u smuhu Im z ≤ ln1/q kompleksno] plowyny (dyv. [1, s. 289]). VaΩlyvym prykladom qder, poslidovnosti koefici[ntiv ψ( )k qkyx nale- Ωat\ mnoΩyni Dq , [ qdra Puassona: P tq, ( )β = q ktk k= ∞ ∑ −    1 2 cos βπ , q ∈( ; )0 1 , β ∈R . (3) U c\omu vypadku (koly ψ( )k = qk , k ∈N , q ∈( ; )0 1 ) dlq zruçnosti pokla- dagt\ L Lp p q β ψ β, ,= C Cp p q β ψ β, ,=( ) . KoΩnij funkci] f iz klasu Lβ ψ N postavymo u vidpovidnist\ tryhonometryç- ni polinomy U f xn− ∗ 1( ; ) = U f xn− ∗ 1( ; ; ; )ψ β vyhlqdu U f xn− ∗ 1( ; ) = = A0 + λ νk n k k k n k ka kx b kx a kx b k( ) ( )( cos sin ) ( sin cos+ + − xx k n ){ } = − ∑ 1 1 , (4) de ak = a fk ( )β ψ , bk = b fk ( )β ψ , k = 1, 2, … , — koefici[nty Fur’[ funkci] fβ ψ , a çysla λk n( ) = λ ψ βk n( )( ; ) i νk n( ) = ν ψ βk n( )( ; ) , k = 1, … , n – 1, n ∈N , ozna- çagt\sq rivnostqmy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 104 A. S. SERDGK, S. O. ÇAJÇENKO λk n( ) = ψ ψ ψ βπ ( ) ( ) ( ) cosk n k n k− − − +( )2 2 2 , k = 1 1, n − . νk n( ) = ψ ψ ψ βπ ( ) ( ) ( ) sink n k n k− − + +( )2 2 2 , Polinomy (4) zadagt\ linijnyj metod nablyΩennq, wo vyznaça[t\sq syste- mamy çysel λk n( ) i νk n( ) , k = 1, … , n – 1, n ∈N . Cej metod bulo zaprovadΩeno u [3]. U robotax [3, 4] doslidΩuvalys\ aproksymatyvni vlastyvosti vkazanoho me- todu na klasax ( ; )ψ β -dyferencijovnyx funkcij. Zokrema, u [4] znajdeno asymptotyçni rivnosti dlq toçnyx verxnix meΩ vidxylen\ polinomiv U f xn− ∗ 1( ; ) na klasax intehraliv Puassona L p q β, , 1 ≤ p ≤ ∞, u rivnomirnij ta intehral\nij metrykax. U danij roboti vstanovleno asymptotyçni pry n → ∞ rivnosti velyçyn E L Up n Cβ ψ , ; − ∗( )1 = sup ( ) ( ; ) ,f L n C p f x U f x ∈ − ∗− β ψ 1 , (5) E L Un Ls β ψ , ;1 1− ∗( ) = sup ( ) ( ; ) ,f L n s f x U f x ∈ − ∗− β ψ 1 1 (6) dlq dovil\nyx 1 ≤ p, s ≤ ∞, ψ ∈Dq i β ∈R . Zaznaçymo, wo pry vstanovlenni asymptotyçnyx rivnostej dlq velyçyn (5), (6) budut\ vykorystani rezul\taty roboty [4]. Teorema 1. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈Dq , 0 < q < 1, β ∈R i n ∈N . Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\ E C Up n Cβ ψ , ; − ∗( )1 = ψ π ( ) cos ,n t M p p p q p 21 1 1 / / ′ + ′ ′     + + O q n q qp n( ) ( ) ( )( )1 1 1 2− + −        σ ε , (7) de Mq p, ′ = 1 2 1 1 2 2 2 − − + ′ q q t q pcos , (8) σ( )p = 1 2 1 , , , , p p = ∞ ≤ < ∞     εn = sup ( ) ( )k n k k q ≥ + − ψ ψ 1 , (9) 1 p + 1 ′p = 1, a O( )1 — velyçyna, rivnomirno obmeΩena po n, q, ψ, p i β. Dovedennq. Nexaj ψ ∈Dq , β ∈R . Todi zhidno z lemogH2 z roboty [3, s. 302] dlq bud\-qko] funkci] f L∈ β ψ N , N ⊂ L1, majΩe dlq vsix x ∈R ma[ misce zobraΩennq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ LINIJNYM METODOM … 105 f x( ) – U f xn− ∗ 1( ; ) = 2 20 2 π ϕ βππ ( ) cos ( )x t nt t dtn− −   ∫ ∗Ψ – – 1 0 2 π ϕ π β( ) ( ),x t t dtn−∫ ∗Ψ , (10) u qkomu Ψn k t n n k kt∗ = ∞ = + +∑( ) ( ) ( ) cos df ψ ψ 2 1 i Ψn k n t k n kt, ( ) ( ) cosβ ψ βπ∗ = ∞ = + +   ∑df 2 2 , a funkciq ϕ majΩe skriz\ zbiha[t\sq z fβ ψ . Zrozumilo, wo qkwo f C p∈ β ψ , , to rivnist\ (10) vykonu[t\sq dlq vsix x ∈R . PokaΩemo, wo dlq bud\-qko] poslidovnosti ψ ∈Dq i n ∈N vykonugt\sq spivvidnoßennq Ψn t∗ ( ) = ψ( ) cos ( ),n q kt r tk k q n 1 2 1 + +    = ∞ ∗∑ , (11) r tq n, ( )∗ ≤ ε ε n nq q( ) ( )1 1− − − , (12) Ψn t, ( )β ∗ = ψ βπ β( ) cos ( ), ,3 2 n q q kt r tn k k n q n − = ∞ ∗∑ +    +     , (13) r tq n, , ( )β ∗ ≤ ε ε 3 31 1 n nq q( ) ( )− − − , de velyçyna εn vyznaça[t\sq formulog (9). Dlq c\oho vykorysta[mo mirku- vannq, wo zastosovuvalys\ pry dovedenni lemyH1 z roboty [2]. Vykonugçy elementarni peretvorennq, znaxodymo Ψn t∗ ( ) = ψ ψ ψ ( ) ( ) ( ) cosn n k n kt k 1 2 1 + +   = ∞ ∑ = = ψ ψ ψ ( ) ( ) ( ) cosn n j n j kt j k k 1 2 1 0 1 1 + + + +     = − = ∞ ∏∑  = = ψ( ) cos ( ),n q kt r tk k q n 1 2 1 + +    = ∞ ∗∑ , (14) de r tq n, ( )∗ = ψ ψ ( ) ( ) cos n j n j q ktk j k k + + + −        = − = ∞ ∏∑ 1 0 1 1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 106 A. S. SERDGK, S. O. ÇAJÇENKO Perekona[mos\ u spravedlyvosti ocinky (12). Oçevydno, wo r tq n, ( )∗ ≤ �q qk k k − = ∞ ∑ 1 , �q n j n j k j k = + + += − ∏df ψ ψ ( ) ( ) 1 0 1 . (15) Qkwo, napryklad, �qk – qk ≥ 0, to �q qk k− = �q qk k− ≤ ( )q qn j k k+ − = − ∏ ε 0 1 = ( )q qn k k+ −ε . Qkwo Ω �qk – qk < 0, to vnaslidok opuklosti funkci] t k , k = 1, 2, … , �q qk k− = q qk k− � ≤ qk – ( )q n j k − = − ∏ ε 0 1 = = q qk n k− −( )ε ≤ ( )q qn k k+ −ε . OtΩe, zavΩdy �q qk k− ≤ ( )q n k+ ε – qk . (16) Oskil\ky poslidovnist\ εn monotonno spada[ do nulq, to poçynagçy z de- qkoho nomera n0 bude vykonuvatys\ nerivnist\ εn < 1 – q. OtΩe, vraxovugçy spivvidnoßennq (15) i (16), dlq n ≥ n0 otrymu[mo r tq n, ( )∗ ≤ ( )q qn k i k+ − = ∞ ∑ ε 1 = ε ε n nq q( ) ( )1 1− − − , i ocinku (12) dovedeno. Spivvidnoßennq (13) [ naslidkom lemyH1 z roboty [2]. Rivnosti (11) i (13) razom z oçevydnog ocinkog ε ε n nq q( ) ( )1 1− − − = O q n( ) ( ) 1 1 2 ε − dozvolqgt\ perepysaty zobraΩennq (10) u vyhlqdi f x( ) – U f xn− ∗ 1( ; ) = 2 20 2ψ π ϕ βππ ( ) ( ) cos ( ) n x t nt t dtq− −   ∫ P – – ψ π ϕ π β ( ) ( ) ( ), , 3 0 2 n q x t t dt n q n−∫ P + O n q n( ) ( ) ( ) 1 1 2 ψ ε − , (17) de Pq t( ) =df 1 2 + q ktk k= ∞ ∑ 1 cos , Pq n k k n t q kt, , ( ) cosβ βπ = +   = ∞ ∑df 2 . Zvidsy, vnaslidok invariantnosti mnoΩyny U p 0 vidnosno zsuvu arhumentu, dlq dovil\noho 1 ≤ p ≤ ∞ ma[mo E C Up n Cβ ψ , ; − ∗( )1 = 2 20 0 2ψ π ϕ βπ ϕ π ( ) sup ( ) cos ( ) n t nt t d U q p∈ ∫ −    P tt + + O n q x t t dt n U q n Cp ( ) ( ) sup ( ) ( ), ,1 3 0 0 2ψ π ϕ ϕ π β ∈ − +∫ P ψψ ε( ) ( ) n q n 1 2−         . (18) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ LINIJNYM METODOM … 107 Dlq zaverßennq dovedennq teoremyH1 zalyßylos\ skorystatysq rezul\tata- my roboty [4, s. 978 – 980], zhidno z qkymy sup ( ) cos ( ) ϕ π ϕ βπ ∈ ∫ −    U q p t nt t dt 0 0 2 2 P = inf cos ( ) λ βπ λ ∈ ′ −    − R nt tq p2 P = = cos ( ) ( ) t t p p q p ′ ′ ′2 1π / P + O q n q p ( ) ( ) ( )1 1 − σ , (19) de σ( )p = 1 2 1 , , , , p p = ∞ ≤ < ∞     i sup ( ) ( ), , ϕ π βϕ ∈ −∫ U q n Cp x t t dt 0 0 2 P = O q q n ( )1 1 − . TeoremuH1 dovedeno. Teorema 2. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , ψ ∈Dq , 0 < q < 1, β ∈R i n ∈N . Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\ E C Un Lp β ψ , ;1 1− ∗( ) = ψ π ( ) cos ,n t M p p p q p 21 1 1 1 − +     / / + + O q n q qp n( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 2− + −       ′σ ε , (20) de Mq p, , σ( )p ta εn vyznaçagt\sq za dopomohog formul (8) ta (9), a ve- lyçyna O( )1 rivnomirno obmeΩena po n, q, ψ, p i β. Dovedennq. Vyxodqçy iz zobraΩennq (17), dlq dovil\noho 1 ≤ p ≤ ∞ moΩe- mo zapysaty rivnist\ E C Un Lp β ψ , ;1 1− ∗( ) = 2 2 1 0 0 2ψ π ϕ βπ ϕ π ( ) sup ( ) cos ( n x t nt t U q ∈ − −   ∫ P )) dt p + + O n q x t t dt n U q n p ( ) ( ) sup ( ) ( ), ,1 3 1 0 0 2ψ π ϕ ϕ π β ∈ − +∫ P ψψ ε( ) ( ) n q n 1 2−         . (21) Vykorystovugçy dali rezul\taty roboty [4, s. 981, 982], zhidno z qkymy sup ( ) cos ( ) ϕ π ϕ βπ ∈ − −   ∫ U q p x t nt t dt 1 0 0 2 2 P = = cos ( ) ( ) t t p p q p2 1π / P + O q n q p ( ) ( ) ( ) 1 1 − ′σ (22) i ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 108 A. S. SERDGK, S. O. ÇAJÇENKO sup ( ) ( ), , ϕ π βϕ ∈ −∫ U q n p x t t dt 1 0 0 2 P = O q q n ( )1 1 − , perekonu[mos\ u spravedlyvosti formuly (20). TeoremuH2 dovedeno. Qk neskladno perekonatysq, umovam teorem 1 i 2 zadovol\nqgt\ moduli koe- fici[ntiv Fur’[ poliharmoniçnyx qder Puassona vyhlqdu P m tq, ( , )β = ψ βπ m k k kt( ) cos = ∞ ∑ −    1 2 , β ∈R , m ∈N , (23) de ψm k( ) = q q j k lk j j j m l j( ) ! ( ) 1 2 2 2 0 1 0 1− + = − = − ∑ ∏ , q ∈( , )0 1 (24) (dyv. [5, s. 256, 257]). Dlq koefici[ntiv ψ( )k = ψm k( ) , m = 2, 3, … , vyhlqdu (24) moΩemo zapysaty εn = sup ( ) ( )k n m m k k q ≥ + − ψ ψ 1 = = q q j k l k l k l k n j j l j sup ( ) ! ( ) ≥ = −− + + + + −∏1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 ll j j m j j l jq j k l = − = − = − ∏∑     − + 0 1 0 1 2 0 1 2 2 ( ) ! ( ) 11 0 1 ∏∑ = − j m ≤ ≤ q k l k lk n l m sup ≥ = − + + + −      ∏ 1 2 2 1 0 2 ≤ ( )2 3m q n − , n ∈N . (25) Pry m = 1 ma[mo ψm k( ) = qk i, otΩe, εn ≡ 0 , m = 1. (26) Iz teorem 1 ta 2 i spivvidnoßen\ (25) ta (26) oderΩu[mo nastupne tverdΩennq. Naslidok. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ i klasy C pβ ψ , ta Lβ ψ ,1 porodΩugt\sq posli- dovnostqmy ψ( )k = ψm k( ) vyhlqdu (24 ). Todi pry n → ∞ vykonugt\sq asymptotyçni rivnosti E C Up n Cβ ψ , ; − ∗( )1 = q q j n ln j j j m l j( ) ! ( ) 1 2 2 2 0 1 0 1− + = − = − ∑ ∏ × × 2 1 1 1 1 1 / / p p p q p p m t M O mq n q cos ( ) ( ) , ( , ) ′ + ′ ′ ′+ −  π σ        , (27) E L Un Lp β ψ , ;1 1− ∗( ) = q q j n ln j j j m l j( ) ! ( ) 1 2 2 2 0 1 0 1− + = − = − ∑ ∏ × × 2 1 1 1 1 1 1 − + + −    / / p p p q p p m t M O mq n q cos ( ) ( ) , ( , )π σ     , (28) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ LINIJNYM METODOM … 109 v qkyx 1 p + 1 ′p = 1, σ( , )p m = 1 1 1 2 1 1 1 , , , , , , , qkwo qkwo m p m m p = = = ∈ { }     < ≤ ∞ N\ 1 ≤≤ ≤ ∞       p , velyçyny Mq p, ′ ta Mq p, oznaçagt\sq formulog (8), a O( )1 — velyçyny, rivnomirno obmeΩeni po n, q, p, β i m. Pry m = 1 formuly (27) ta (28) oderΩano v roboti [4, s. 977, 980, 981]. 1. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – T. I. – 427 s. 2. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. PryblyΩenyq summamy Fur\e y nayluçßye pryblyΩenyq na klassax analytyçeskyx funkcyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 3. – S. 375 – 395. 3. Serdgk A. S. Pro odyn linijnyj metod nablyΩennq periodyçnyx funkcij // Problemy teo- ri] nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2004. – 1, # 1. – S. 295 – 336. 4. Serdgk A. S. NablyΩennq intehraliv Puassona odnym linijnym metodom nablyΩennq v riv- nomirnij ta intehral\nij metrykax // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60, # 7. – S. 976 – 982. 5. Tyman M. F. Approksymacyq y svojstva peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka, 2009. – 376 s. OderΩano 07.07.10 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1

Ähnliche Einträge