O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа
Наведено результати з теорії сингулярних збурень, зокрема, з нового розділу цієї теорії — контрастних структур змінного типу.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164026 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа / А.Б. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 359–369. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1640262020-02-08T01:26:47Z O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа Васильева, А.Б. Статті Наведено результати з теорії сингулярних збурень, зокрема, з нового розділу цієї теорії — контрастних структур змінного типу. We present results from the theory of singular perturbations and, in particular, from a new branch of this theory (contrast alternating-type structures). 2007 Article O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа / А.Б. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 359–369. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164026 517.956.45 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Васильева, А.Б. O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа Український математичний журнал |
| description |
Наведено результати з теорії сингулярних збурень, зокрема, з нового розділу цієї теорії — контрастних структур змінного типу. |
| format |
Article |
| author |
Васильева, А.Б. |
| author_facet |
Васильева, А.Б. |
| author_sort |
Васильева, А.Б. |
| title |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| title_short |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| title_full |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| title_fullStr |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| title_full_unstemmed |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| title_sort |
o некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164026 |
| citation_txt |
O некоторых периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа / А.Б. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 359–369. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vasilʹevaab onekotoryhperiodičeskihrešeniâhsingulârnovozmuŝennyhuravnenijparaboličeskogotipa |
| first_indexed |
2025-07-14T16:35:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:35:02Z |
| _version_ |
1837640872639856640 |
| fulltext |
UDK 517.956.45
A. B. Vasyl\eva (Mosk. un-t, Rossyq)
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX
SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX URAVNENYJ
PARABOLYÇESKOHO TYPA
∗∗∗∗
We present results obtained in the theory of singular perturbations, in particular, concerning a new
section of this theory — the contrast structures of alternating type.
Navedeno rezul\taty z teori] synhulqrnyx zburen\, zokrema, z novoho rozdilu ci[] teori] — kont-
rastnyx struktur zminnoho typu.
1. Nekotor¥e osnovn¥e ponqtyq. Rassmotrym parabolyçeskoe uravnenye
ε2( )u uxx t− = F ( u, x, t ) , 0 < x < 1, – ∞ < t < + ∞ , (1)
hde ε > 0 — mal¥j parametr, F — 2π-peryodyçeskaq funkcyq peremennoj t, s
kraev¥my uslovyqmy
u ( 0, t, ε ) = u0, u ( 1, t, ε ) = u1
(2)
y uslovyem 2π-peryodyçnosty po peremennoj t
u ( x, t, ε ) = u ( x, t + 2 π, ε ) . (3)
Pryvedem nekotor¥e yzvestn¥e rezul\tat¥. Pust\ v¥roΩdennoe uravnenye
F ( u, x, t ) = 0 (4)
ymeet try yzolyrovann¥x kornq ϕ– 1 ( x, t ) < ϕ0 ( x, t ) < ϕ1 ( x, t ) (druhyx kornej
net) y
Fu u x ti=ϕ ( , ) > 0, esly i = – 1, 1; Fu u x t=ϕ0 ( , ) < 0. (5)
Rassmotrym uravnenye
d u
d
2
0
2
˜
τ
= F u t( ˜, , )0 , τ0 =
x
ε
, (6)
v pravoj çasty kotoroho x = 0 fyksyrovano, y zadadym dva vyda kraev¥x uslo-
vyj
1) ˜( , )u t0 = u0, ˜( , )u t+∞ = ϕ1 ( 0, t ) ,
(7)
– 1) ˜( , )u t0 = u0, ˜( , )u t+∞ = ϕ– 1 ( 0, t ) .
Tem sam¥m dlq uravnenyq (6) opredelen¥ dve zadaçy: – 1) y 1).
Rassmotrym fazovug ploskost\ ( ˜, ˜)u z , hde x = 0 y t — parametr. V sylu
(5) toçky A( , )ϕ−1 0 y C( , )ϕ1 0 qvlqgtsq sedlamy, a toçka B( , )ϕ0 0 — cent-
rom. Funkcyq F otrycatel\na pry ũ < ϕ– 1 y ϕ0 < ũ < ϕ1 y poloΩytel\na
pry ϕ– 1 < ũ < ϕ0 y ũ > ϕ1 .
S yzmenenyem t fazovaq kartyna moΩet menqt\sq, y pry πtom realyzuetsq
odyn yz trex typov.
a) Pust\ F u t du( , , )0
1
0
ϕ
ϕ
−
∫ > – F u t du( , , )0
0
1
ϕ
ϕ
∫ .
Tohda çerez sedlo C proxodqt dve separatrys¥, symmetryçn¥e otnosytel\-
no osy ũ , kotor¥e obrazugt petlg s verßynoj v nekotoroj toçke ( , )u∗ 0 , hde
∗
V¥polnena pry çastyçnoj fynansovoj podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x ys-
sledovanyj (proekt¥ #05-01-00465 y #04-01-00710).
© A. B. VASYL|EVA, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 359
360 A. B. VASYL|EVA
ϕ– 1 < u∗ < ϕ0 . V toçke ( , )u∗ 0 poloΩytel\naq vetv\ separatrys¥ perexodyt v
otrycatel\nug s vertykal\noj kasatel\noj. V to Ωe vremq çerez toçku A tak-
Ωe proxodqt dve separatrys¥, symmetryçn¥e otnosytel\no osy ũ , no odna yz
vetvej ostaetsq poloΩytel\noj pry ϕ– 1 < ũ < ϕ1 , a druhaq — otrycatel\-
noj.
b) Pust\ F u t du( , , )0
1
0
ϕ
ϕ
−
∫ < – F u t du( , , )0
0
1
ϕ
ϕ
∫ .
Tohda ymeet mesto analohyçnaq sytuacyq s petlej, obrazuemoj dvumq sepa-
ratrysamy, kotor¥e proxodqt çerez toçku A, y ymegwej verßynu v toçke
( , )u∗∗ 0 , ϕ0 < u∗∗ < ϕ1 , s dvumq separatrysamy, proxodqwymy çerez C, ordy-
nat¥ kotor¥x ymegt razn¥e znaky.
c) Pust\ F u t du( , , )0
1
0
ϕ
ϕ
−
∫ = F u t du( , , )0
0
1
ϕ
ϕ
∫ .
Tohda na fazovoj ploskosty ymegtsq dve separatrys¥, soedynqgwye A y C,
dlq odnoj yz kotor¥x ũ > 0, a dlq druhoj ũ < 0. ∏ta fazovaq kartyna naz¥-
vaetsq qçejkoj. Vo vsex trex sluçaqx velyçyna τ0 vozrastaet, a velyçyna ũ
vozrastaet pry dvyΩenyy po poloΩytel\noj separatryse y ub¥vaet pry dvyΩe-
nyy po otrycatel\noj.
Vse try sluçaq lehko poluçyt\ yz yntehralov uravnenyq (6), kotor¥e ymegt
vyd
1
2
2z̃ = F u t du
u
( , , )
˜
0
1ϕ−
∫ (8)
y
1
2
2z̃ = F u t du
u
( , , )
˜
0
1ϕ+
∫ . (9)
Yntehral (8) opredelqet separatrys¥, proxodqwye çerez sedlo A, a ynteh-
ral (9) — separatrys¥, proxodqwye çerez sedlo C. Opysannaq fazovaq plos-
kost\ proyllgstryrovana v stat\qx [1, 2].
Rassmatryvaq opysann¥e fazov¥e kartyn¥, moΩno sformulyrovat\ sledug-
wye v¥vod¥.
Teorema-1. Pust\ v sluçae a) ymeem u0 > u∗ . Tohda vertykal\ u = u0
peresekaet kak separatrysu, yduwug pry τ0 → ∞ v C , t ak y separatrysu,
yduwug pry τ0 → ∞ v A . ∏to oznaçaet, çto suwestvugt kak reßenye ũ1
zadaçy (7), 1), tak y reßenye ũ−1 zadaçy (7), – 1). Pust\ u 0 < u∗ . Tohda
vertykal\ u = u0
peresekaet separatrysu, yduwug v A, no ne peresekaet
yduwug v C. Suwestvuet tol\ko reßenye zadaçy (7), – 1), t.'e. ũ−1.
Pust\ v sluçae b) ymeem u0 > u∗∗ . Tohda vertykal\ u = u0
peresekaet
separatrysu, yduwug v C, y ne peresekaet yduwug v A . Suwestvuet tol\ko
reßenye zadaçy (7), 1), t. e. ũ1. Pust\ u 0 < u∗∗ . Tohda vertykal\ perese-
kaet kak separatrysu, yduwug v A, tak y separatrysu, yduwug v C. Sledo-
vatel\no, suwestvugt kak reßenye ũ−1 zadaçy (7), – 1), tak y reßenye ũ1
zadaçy (7), – 1).
V sluçae c) (qçejka) pry lgb¥x u 0
suwestvugt kak reßenye zadaçy (7),
1), tak y reßenye zadaçy (7), – 1).
Zameçanye-1. Yz teorem¥K1 vydno, çto u0 = u∗ qvlqetsq naymen\ßym zna-
çenyem u0, pry kotorom vertykal\ ũ = u∗ ewe popadaet na separatrysu, vxo-
dqwug v C pry τ0 → ∞ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX … 361
∏to Ωe moΩno v¥razyt\ ynaçe (takaq traktovka ponadobytsq v p.K6). Pust\
u0
fyksyrovano, a peremennaq t sdvyhaet vsg fazovug kartynu. Tohda nay-
bol\ßee znaçenye ϕ0 , dopuskagwee popadanye vertykaly ũ = u0
na separat-
rysu, vxodqwug v C, budet takoe, pry kotorom u0 = u∗ .
Rassmotrym teper\ uravnenye
d u
d
2
1
2
ˆ
τ
= F u t( ˆ, , )1 , τ1 =
x −1
ε
, (10)
v pravoj çasty kotoroho peremennaq x = 1.
Postavym dve zadaçy:
1) ˆ( , )u t0 = u1, ˆ( , )u t−∞ = ϕ1 ( 0, t ) ,
(11)
– 1) ˆ( , )u t0 = u1, ˆ( , )u t−∞ = ϕ– 1 ( 0, t ) .
MoΩno postroyt\ takug Ωe fazovug kartynu, kak dlq uravnenyq (6), v kotoroj
te Ωe streloçky ukaz¥vagt napravlenye τ1 → – ∞ , a u0
zameneno na u1. V
πtom sluçae spravedlyva takaq Ωe teorema, kak teoremaK1, v kotoroj u0
nuΩno
zamenyt\ na u1. Otdel\no ee formulyrovat\ ne budem, a sçytaem soedynennoj s
teoremojK1.
YzloΩenn¥j materyal y ss¥lky na oryhynal\n¥e rabot¥ soderΩatsq v ob-
zorax [1, 2].
2. Çysto pohranslojnoe reßenye. Rassmotrym dva v¥raΩenyq:
ϕ1
1 1( , ) ( ) ( )x t R+ +Π , (12)
ϕ−
− −+ +1
1 1( , ) ( ) ( )x t RΠ , (13)
hde
*
Π( )1 = ˜ ( , )u t− ϕ1 0 , Π( )−1 = ˜ ( , )u t− −ϕ 1 0 , (14)
R( )1 = ˆ ( , )u t− ϕ1 1 , R( )−1 = ˆ ( , )u t− −ϕ 1 1 . (15)
Esly sohlasno teoremeK1 suwestvugt ũ1, ũ−1, û1, û−1, to suwestvugt y v¥-
raΩenyq (14), (15).
Rassmotrym Π( )1
y R( )1 . Ony xarakteryzugtsq sledugwymy svojstvamy:
Π( )( , )1 0 t = u t0
1 0− ϕ ( , ), Π( )( , )1 ∞ t = 0,
R t( )( , )1 0 = u t0
1 1− ϕ ( , ), R t( )( , )1 −∞ = 0.
V¥roΩdennoe reßenye ϕ1( , )x t ne udovletvorqet kraev¥m uslovyqm (2), a
funkcyy Π( )1
y R( )1
na kraqx x = 0 y x = 1 sootvetstvenno obespeçyvagt v
(12) v¥polnenye kraev¥x uslovyj. Po mere udalenyq ot hranyc funkcyy Π( )1
y R( )1
b¥stro ub¥vagt.
Analohyçnug strukturu ymeet v¥raΩenye (13). Funkcyy Π( )k
y R k( ) , hde
k = – 1, 1, naz¥vagtsq pohranyçn¥my funkcyqmy.
Teorema-2. Suwestvugt reßenyq u( )1 y u( )−1 zadaçy (1) – (3), dlq ko-
tor¥x v¥raΩenyq (12) y (13) qvlqgtsq asymptotyçeskymy formulamy, a
ymenno,
u x t( )( , , )1 ε = ϕ ε1
1 1( , ) ( )( ) ( )x t R O+ + +Π , (16)
u x t( )( , , )−1 ε = ϕ ε−
− −+ + +1
1 1( , ) ( )( ) ( )x t R OΠ . (17)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
362 A. B. VASYL|EVA
Reßenyq u( )1 y u( )−1 naz¥vagtsq çysto pohranslojn¥my reßenyqmy zadaçy
(1) – (3). Yx suwestvovanye moΩno dokazat\ metodom dyfferencyal\n¥x nera-
venstv (verxnyx y nyΩnyx bar\erov, sm., naprymer, [3]).
V sootvetstvyy s formuloj (16) suwestvuet reßenye u( )1 zadaçy (1) – (3),
kotoroe na yntervale (0, 1) blyzko k v¥roΩdennomu reßenyg ϕ−1( , )x t , vbly-
zy hranyc¥ x = 0 b¥stro perexodyt k znaçenyg ϕ1 0( , )t . ∏tot perexod opys¥-
vaetsq pohranyçnoj funkcyej Π( )1 . Vblyzy hranyc¥ x = 1 ono b¥stro pere-
xodyt k znaçenyg ϕ1 1( , )t y opys¥vaetsq pohranyçnoj funkcyej R( )1 .
Formula (17) svydetel\stvuet o suwestvovanyy analohyçnoho reßenyq u( )−1
zadaçy (1) – (3). Reßenyq u( )1 y u( )−1 budem naz¥vat\ takΩe verxnym y nyΩ-
nym pohranslojn¥my reßenyqmy.
Formul¥ (16) y (17) dagt asymptotyku reßenyj u( )1 y u( )−1 s ostatoçn¥m
çlenom porqdka O ( ε ) . Ymegtsq obwyj rezul\tat (sm., naprymer, [2]) ob asymp-
totyke u( )1 s ostatoçn¥m çlenom porqdka O n( )ε +1 :
u( )1 = ε ε τk
k
k
n
k
k
k
n
u x t t( ) ( )( , ) ( , )1
0
1
0
0= =
∑ ∑+ Π + ε τ εk
k
k
n
nR t O( )( , ) ( )1
1
0
1
=
+∑ + (18)
y analohyçnaq asymptotyka dlq u( )−1 .
Rqd εk
kk
n
u x t( )( , )1
0=∑ naz¥vaetsq rehulqrn¥m, eho çlen¥ opredelqgtsq,
kak v sluçae rehulqrno vozmuwenn¥x uravnenyj, neposredstvenno podstanovkoj
rqda v uravnenye (1); hlavn¥m çlenom, oçevydno, qvlqetsq ϕ1
. Rqd
ε τk
kk
n
tΠ( )( , )1
00=∑ naz¥vaetsq lev¥m pohranyçn¥m rqdom, a rqd
ε τk
kk
n
R t( )( , )1
10=∑ — prav¥m pohranyçn¥m rqdom. Çlen¥ Π0
1( )
y R0
1( )
sovpada-
gt s Π( )1
y R( )1
yz formul¥ (16). Sledugwye çlen¥ opredelqgtsq bolee
sloΩn¥m obrazom. Detal\no na πtom ne ostanavlyvaemsq [2], tak kak v dal\-
nejßem budem ymet\ delo tol\ko s asymptotykoj porqdka O ( ε ) , kotoraq zada-
etsq formulamy (16) y (17).
Fazovaq kartyna s yzmenenyem parametra t menqetsq. MoΩet sluçyt\sq,
çto uslovyq suwestvovanyq odnoho yz reßenyj u( )1 , u( )−1 yly y toho, y druho-
ho, o kotor¥x hovorylos\ v p.K1, v¥polnqgtsq pry vsex t. No moΩet sluçyt\sq,
çto, naprymer, v v¥raΩenyy (12) funkcyq R( )1 , soedynqgwaq u1
s ϕ1 , pere-
staet suwestvovat\, no prodolΩaet suwestvovat\ funkcyq Π( )1 , soedynqgwaq
u0
s ϕ1 . Funkcyq Π( )1 , svqzannaq s reßenyem zadaçy (7), 1), toΩe çerez ne-
kotoroe vremq perestaet suwestvovat\. Oznaçaet ly πto, çto reßenye u( )1 sra-
zu preobrazuetsq v u( )−1 ?
Ne oznaçaet. Vo-perv¥x, reßenye u( )1 v toçke eho prekrawenyq y reßenye
u( )−1 ne qvlqgtsq hladkym prodolΩenyem druh druha. Vo-vtor¥x, razrußenye
v okrestnosty x = 1 proysxodyt, voobwe hovorq, ne odnovremenno s razrußeny-
em v okrestnosty x = 0.
V dejstvytel\nosty, esly u( )1 razrußaetsq, a u( )−1 ewe suwestvuet, to voz-
nykaet promeΩutoçnoe reßenye, kotoroe estestvenn¥m obrazom perevodyt u( )1
v u( )−1 . Process perexoda ves\ma sloΩen y do syx por do konca ne yzuçen. Vop-
ros o perexode budet rassmatryvat\sq v p.K6 dlq odnoho specyal\noho sluçaq.
Çysto pohranslojn¥e reßenyq, kotor¥e menqgt formu ot u( )1 do u( )−1 y
naoborot, naz¥vagtsq pohranslojn¥my reßenyqmy peremennoho typa (PRPT).
Ymenno na yssledovanye takoho roda reßenyj napravleno vnymanye avtora po-
slednee vremq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX … 363
3. Kontrastn¥e struktur¥ typa stupen\ky. Pomymo çysto pohransloj-
n¥x reßenyj mohut b¥t\ reßenyq y druhoho vyda, a ymenno kontrastn¥e struk-
tur¥ typa stupen\ky (KSTS).
Rassmotrym snaçala proyzvol\nug toçku x t∗( , )ε s predpolahaemoj asymp-
totykoj vyda
x t∗( , )ε = x0 ( t ) + ε x1 ( t ) + … (19)
y voz\mem dva pohranslojn¥x reßenyq: verxnee na otrezke [ ]∗0, x s lev¥m krae-
v¥m znaçenyem, kotoroe zadano v (2), y s prav¥m kraev¥m znaçenyem u x t( , )∗ =
= ϕ0( , )x t∗ , a takΩe nyΩnee na otrezke [ ]∗x ,1 s prav¥m kraev¥m znaçenyem yz
(2) y lev¥m kraev¥m znaçenyem u x t( , )∗ = ϕ0( , )x t∗ . Takaq sostavnaq funkcyq
budet neprer¥vnoj po x v toçke x*, odnako, voobwe hovorq, ne budet hladkoj,
y ee po πtoj pryçyne nel\zq sçytat\ reßenyem zadaçy (1) – (3).
Najdem takoe x*, çtob¥ hladkost\ ymela mesto. V p.K1 b¥ly postroen¥
funkcyy ũ y û , çerez kotor¥e opys¥valys\ pohranyçn¥e sloy v okrestnos-
tqx x = 0 y x = 1. Po πtomu Ωe pryncypu postroym uΩe ne pohranyçn¥j, a tak
naz¥vaem¥j perexodn¥j sloj ot verxneho reßenyq k nyΩnemu v okrestnosty
x*. V¥polnym zamenu peremenn¥x τ = ( x – x∗ ( t, ε )) / ε , η = t . Tohda
∂
∂
u
x
=
∂
∂
u
τ ε
1
,
∂
∂
2
2
u
x
=
∂
∂
2
2 2
1u
τ ε
,
(20)
∂
∂
u
t
=
∂
∂
−
∂
∂
+ ∂
∂
⋅
∗u
x
x u1
1
ε η η
,
y uravnenye (1) v nulevom pryblyΩenyy prynymaet vyd
∂
∂
2
2
�
u
τ
= F u x t t( , ( ), )0 , τ =
x x t− 0( )
ε
. (21)
Pry πtom dolΩn¥ v¥polnqt\sq uslovyq
�
u x t t( , ( ), )−∞ 0 = ϕ1 0( ( ), )x t t ,
�
u x t t( , ( ), )∞ 0 = ϕ−1 0( ( ), )x t t .
Po typu formul (8) y (9) moΩno zapysat\ dva yntehrala:
�
z 2
2
= F u x t t du
x t t
u
( , ( ), )
( ( ), )
0
1 0ϕ
�
∫ (22)
y
�
z 2
2
=
F u x t t du
x t t
u
( , ( ), )
( ( ), )
0
1 0ϕ−
∫
�
. (23)
Yntehral (22) pry
�
u = ϕ0 0( ( ), )x t t daet kvadrat proyzvodnoj ot verxneho re-
ßenyq v toçke x0 , a yntehral (23) — kvadrat proyzvodnoj ot nyΩneho reßenyq
v toj Ωe toçke. Çtob¥ obespeçyt\ hladkost\ sostavnoj kryvoj, nuΩno
pryravnqt\ znaçenyq
�
z , poluçenn¥e yz (22) y (23). Ymeem
F u x t t du
x t t
x t t
( , ( ), )
( ( ), )
( ( ), )
0
1 0
0 0
ϕ
ϕ
∫ = F u x t t du
x t t
x t t
( , ( ), )
( ( ), )
( ( ), )
0
1 0
0 0
ϕ
ϕ
−
∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
364 A. B. VASYL|EVA
Druhymy slovamy, velyçyna x t0( ) dolΩna udovletvorqt\ uravnenyg
I x t( , ) = 0, (24)
hde
I x t( , ) = F u x t du
x t
x t
( , , )
( , )
( , )
ϕ
ϕ
−
∫
1
1
.
Takym obrazom, poluçeno uravnenye dlq opredelenyq zaranee ne yzvestnoho
znaçenyq x t0( ) . Pry πtom znaçenyy dolΩno v¥polnqt\sq uslovye Ix x x t= 0 ( ) ≠
≠ 0. Tohda sostavnaq kryvaq budet hladkoj.
Postroennaq sostavnaq kryvaq qvlqetsq hlavn¥m çlenom asymptotyky
reßenyq zadaçy (1) – (3), kotoroe naz¥vaetsq KSTS. Hrafyk sostavnoj kryvoj
dejstvytel\no napomynaet stupen\ku. Suwestvovanye takoho reßenyq moΩno
dokazat\ metodom dyfferencyal\n¥x neravenstv y druhymy metodamy [2], no
dlq πtoho nado pryvedenn¥e zdes\ rassuΩdenyq provesty v sledugwem pry-
blyΩenyy, na çem zdes\ detal\no ostanavlyvat\sq ne budem.
VaΩno otmetyt\, çto suwestvovanye KSTS dokazano, esly reßenye uravne-
nyq (24) udovletvorqet neravenstvu
0 < x0 ( t ) < 1. (25)
Krome toho, prymenenye metoda dyfferencyal\n¥x neravenstv svqzano s do-
polnytel\n¥m uslovyem dlq znaka Ix
. Krome KSTS s perexodom ot verxneho
reßenyq k nyΩnemu moΩet b¥t\ takΩe KSTS s perexodom ot nyΩneho reßenyq
k verxnemu. Pry dokazatel\stve trebuetsq, çtob¥ znak I x b¥l protyvopolo-
Ωen znaku Ix pry dokazatel\stve suwestvovanyq KSTS s perexodom ot verxneho
reßenyq k nyΩnemu.
V dannom punkte m¥ predstavyly prostejßyj sluçaj KSTS. Mohut b¥t\
bolee sloΩn¥e sluçay, naprymer, kohda Ix ≡ 0 yly kohda pravaq çast\ uravne-
nyq (1) kak arhument soderΩyt ε ux y, nakonec, sluçay bol\ßej razmernosty po
prostranstvennoj peremennoj, na çem m¥ v nastoqwem obzore ne ostanavlyvaem-
sq (sm., naprymer, [4]).
4. Usylenye vlyqnyq po proyzvodnoj t . Rassmotrym uravnenye vyda
ε ε2u uxx t− = F ( u, x, t ) , (26)
v kotorom pered ut vmesto mnoΩytelq ε
2
soderΩytsq mnoΩytel\ ε . Pry ys-
sledovanyy πtoho sluçaq suwestvennoe yzmenenye voznykaet pry naxoΩdenyy
toçky perexoda x∗ ( t, ε ) . V¥polnym zamenu peremenn¥x, kak v pred¥duwem
punkte pry naxoΩdenyy x∗. Tohda v nulevom pryblyΩenyy, v otlyçye ot (21),
poluçym
∂
∂
+ ∂
∂
2
2
0
� �
u u dx
dtτ τ
= F u x t t( , ( ), )
�
0 . (27)
Zdes\ uΩe nel\zq zapysat\ zavysymost\
�
z ot
�
u v qvnoj forme, kak v (22) y
(23), y nuΩen çyslenn¥j rasçet.
Odnako v nekotor¥x sluçaqx funkcyg
�
z ot
�
u moΩno najty πlementarno.
Pust\, naprymer,
F u x t t( , ( ), )0 = a u u u( )( )( )− − −−ϕ ϕ ϕ1 0 1 , a > 0,
hde a, ϕ– 1 , ϕ0 , ϕ1 — funkcyy x0 ( t ) . Tohda
� �
z u( ) moΩno najty v vyde para-
bol¥
�
z = a u u( )( )
� �− −−ϕ ϕ1 1 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX … 365
Podstavym πto v uravnenye (27), perejdq v nem predvarytel\no k peremenn¥m
�
z
y
�
u , posle çeho pryravnqem çlen¥ s odynakov¥my stepenqmy
�
u . Tohda polu-
çym:
1) 2 A
2 = a,
2) A A
dx
dt
2
1 1
0( )ϕ ϕ− + + = a ϕ0 .
Yz pervoho uravnenyq naxodym A = ± a / 2 , pryçem znak v¥byraetsq v za-
vysymosty ot toho, yzuçaetsq perexod s verxneho reßenyq na nyΩnee yly naobo-
rot. Vtoroe uravnenye predstavlqet soboj dyfferencyal\noe uravnenye otno-
sytel\no x0 , y nado yskat\ eho peryodyçeskoe reßenye. Takym obrazom, v slu-
çae (26) x0 naxodytsq ne yz alhebrayçeskoho, a, voobwe hovorq, yz dyffe-
rencyal\noho uravnenyq.
5. Kontrastn¥e struktur¥ peremennoho typa (KSPT). Do syx por hovo-
rylos\ o sluçaqx, kohda pry nalyçyy t ne voznykalo qvlenyj, syl\no otlyçag-
wyxsq ot tex, kotor¥e nablgdalys\ pry otsutstvyy t. O nov¥x qvlenyqx, ko-
tor¥e pryvnosyt nalyçye t, upomynalos\ v p. 1.
B¥lo otmeçeno, çto x0 ( t ) pry yzuçenyy KSTS dolΩno udovletvorqt\ nera-
venstvu (25). Tohda nalyçye t ne qvlqetsq suwestvenn¥m. V¥qsnym, çto budet,
esly uslovye (25) opustyt\.
Opysanye toho, çto proyzojdet, podkreplennoe çyslenn¥m rasçetom, b¥lo
dano v [2, 5]. Pust\ stupen\ka dvyΩetsq vpravo, y pry nekotorom t = t0
voznykaet ravenstvo x0 ( t ) = 1. Estestvenno predpoloΩyt\ sledugwee: pravaq
„poluvolna” stupen\ky budet suΩat\sq y reßenye prevratytsq v çysto
pohranslojnoe typa u( )1 . No yz p. 1 yzvestno, çto takoe pohranslojnoe
reßenye, voobwe hovorq, ne suwestvuet skol\ uhodno dolho y pry nekotorom
t > t0 prav¥j pohransloj razrußaetsq, yly, druhymy slovamy, proysxodyt sr¥v
s pohranslojnoho reßenyq. PredpoloΩym, çto na levom konce razrußenye
poka ne proysxodyt.
Pust\ sr¥v ymeet mesto pry t = t1 . Za vremq ot t0 do t1 znaçenye x0 ( t ) ne
tol\ko dostyhlo hranyc¥ x = 1, no y stalo bol\ße edynyc¥. Pry dal\nejßem
uvelyçenyy t v sylu peryodyçnosty x0 ( t ) snova vozvrawaetsq na otrezok [ 0, 1 ] ,
y kohda proysxodyt sr¥v v toçke t1 , znaçenye x0 ( t1 ) naxodytsq sleva ot x = 1.
V takoj sytuacyy pry t = t1 voznykaet b¥stroe dvyΩenye — probeh. ∏to toΩe
svoeho roda stupen\ka, no ona uΩe dvyΩetsq v storonu x = 0 s bol\ßoj skoro-
st\g (porqdka 1 / ε ) .
Ymeetsq dyfferencyal\noe uravnenye pervoho porqdka, v kotorom nezavy-
symoj peremennoj qvlqetsq t, a parametr ε — mnoΩytelem pry proyzvodnoj po
t. Yz πtoho uravnenyq opredelqetsq front r b¥stroj stupen\ky, t. e. toçka,
hde reßenye u ( x, t, ε ) peresekaet os\ u = 0. Front dvyΩetsq v sootvetstvyy s
teoremoj Tyxonova dlq uravnenyq pervoho porqdka s mal¥m parametrom pry
proyzvodnoj. DvyΩuwaqsq toçka r b¥stro dohonqet x0 ( t ) y dal\ße dvyΩetsq
po zakonu x0 ( t ) .
Nekotor¥e pryncyp¥ opredelenyq b¥str¥x stupenek y yx frontov ukazan¥
v [5, 6]. V dannoj stat\e v p. 6 budet rassmotren specyal\n¥j klass uravnenyj,
hde za tol\ko çto yzloΩenn¥m budet sravnytel\no lehko prosledyt\.
Ytak, pry razbore yzmenenyj u ( x, t, ε ) nablgdaetsq neskol\ko stadyj. Sna-
çala proysxodyt dvyΩenye stupen\ky po zakonu x0 ( t ) do toçky t0 , hde
x0 ( t0 ) = 1, dalee nastupaet stadyq pohranslojnoho reßenyq (πtu stadyg pry-
nqto naz¥vat\ halt ). Ona dlytsq do momenta sr¥va, posle kotoroho nastupaet
b¥straq stadyq — probeh (πtu stadyg prynqto naz¥vat\ run ) so skorost\g
porqdka 1 / ε . Posle probeha ymeet mesto stupen\ka, dvyΩuwaqsq, kak x0 ( t ) , y
t. d.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
366 A. B. VASYL|EVA
Xotq zdes\ opysana dovol\no prostaq sytuacyq, ee opysanye nel\zq sçytat\
zakonçenn¥m v analytyçeskom plane. Suwestvugt obßyrn¥e çyslenn¥e re-
zul\tat¥, qvlqgwyesq podderΩkoj hypotez. Ymeetsq rqd statej, hde pryve-
den¥ çyslenno-analytyçeskye rezul\tat¥ [2, 5]. V [5] vperv¥e postavlen vop-
ros o KSPT, a v obzore [2] predstavlen¥ bolee sloΩn¥e y raznoobrazn¥e slu-
çay. Ymegtsq y nekotor¥e nov¥e analytyçeskye rezul\tat¥. V stat\e [7] opy-
san ves\ peryodyçeskyj cykl dlq uravnenyq, soderΩaweho v pravoj çasty ux
bez maloho mnoΩytelq. V rabote [6] yzuçalos\ dvyΩenye stupen\ky s v¥xodom
na peryodyçeskoe reßenye v okrestnost\ ϕ−1 yly ϕ1. Ymegtsq prodvyΩenyq
v analytyçeskom opysanyy qvlenyj vblyzy hranyc¥. Nakonec, obnaruΩen klass
mahnytohydrodynamyçeskyx modelej dlq opysanyq qvlenyj v halaktykax, v
kotor¥x takΩe vstreçagtsq peremenn¥e struktur¥ (sm., naprymer, [9]).
6. Specyal\n¥j sluçaj. Rassmotrym specyal\n¥j sluçaj uravnenyq (1),
po vozmoΩnosty sam¥j prostoj, s cel\g nahlqdno prodemonstryrovat\ to, o
çem hovorylos\ v¥ße. V poslednee vremq v πtom napravlenyy poqvylos\ ne-
skol\ko rabot (sm., naprymer, [8]).
Pust\ uravnenye ymeet vyd
ε2( )u uxx t− = ( )( ( ))u u t2 1− − Φ . (28)
Zdes\ ϕ−1 = – 1, ϕ0 = Φ, ϕ1 = 1 y pravaq çast\ ne zavysyt ot x . Poπtomu stu-
pen\ka, dvyΩuwaqsq po zakonu x t0( ) , ne voznykaet, no poqvlqgtsq reßenyq
pohranslojnoho typa. Uravnenye (28) rassmotrym s temy Ωe uslovyqmy (2), (3).
Soxranym oboznaçenyq, vvedenn¥e v p. 1, naprymer u( )−1 , u( )1 .
Teorem¥K1,K2 yz p. 1 ostagtsq v syle. Odnako teper\ m¥ budem rassmatryvat\
reßenyq, forma kotor¥x moΩet rezko menqt\sq, o çem upomynalos\ v konce
p. 1, t. e. budem rassmatryvat\ PRPT.
Specyfyka uravnenyq (28) oblehçaet yssledovanye. ∏to preΩde vseho svq-
zano s tem, çto v uravnenyy (6), a takΩe (1) moΩno ponyzyt\ porqdok y poluçyt\
du
dτ0
= – 2 1
1
4
1
3
22
1 2
( ) ( )
( )
( )
/
u u
t
u− + − +
Φ
,
(29)
du
dτ0
= – 2 1
1
4
1
3
22
1 2
( ) ( )
( )
( )
/
u u
t
u+ − − −
Φ
,
du
dτ1
= 2 1
1
4
1
3
22
1 2
( ) ( )
( )
( )
/
u u
t
u− + − +
Φ
,
(30)
du
dτ1
= 2 1
1
4
1
3
22
1 2
( ) ( )
( )
( )
/
u u
t
u+ − − −
Φ
.
Zadaçy (7) y (11) prynymagt sootvetstvenno vyd
1) ˜( , )u t0 = u0, ˜( , )u t+∞ = 1, – 1) ˜( , )u t0 = u0, ˜( , )u t+∞ = – 1, (31)
1) ˆ( , )u t0 = u1, ˆ( , )u t−∞ = 1, – 1) ˆ( , )u t0 = u1, ˆ( , )u t−∞ = – 1. (32)
Uravnenyq pervoho porqdka pozvolqgt opredelyt\ separatrys¥, o kotor¥x
upomynalos\ v p. 1, v kvadraturnoj forme. Krome toho, yz (29) y (30) moΩno po-
luçyt\ qvn¥e v¥raΩenyq dlq naybol\ßeho znaçenyq Φ, pry kotorom suwest-
vuet pohranyçn¥j sloj Π( )1
dlq reßenyq u( )1 , y dlq naymen\ßeho znaçenyq
Φ, pry kotorom suwestvuet pohranyçn¥j sloj Π( )−1
dlq reßenyq u( )−1 , a
takΩe analohyçn¥e v¥raΩenyq dlq pohranyçn¥x sloev R (sm. zameçanye 1).
Sootvetstvugwye formul¥ ymegt vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX … 367
Φ0 1, =
3 1
4 2
0 2
0
( )
( )
u
u
+
+
, Φ1 1, =
3 1
4 2
1 2
1
( )
( )
u
u
+
+
,
(33)
Φ0 1,− =
3 1
4 2
0 2
0
( )
( )
u
u
−
−
, Φ1 1,− =
3 1
4 2
1 2
1
( )
( )
u
u
−
−
.
Velyçyn¥ Φi k, ymegt dva yndeksa, perv¥j yz kotor¥x ukaz¥vaet na levug
hranycu x = 0 yly pravug x = 1, a prav¥j 1 yly – 1; πto yndeks toho
reßenyq, dlq kotoroho stroytsq pohranyçn¥j sloj. Dlq poluçenyq formul¥
dlq Φ0 1, dostatoçno v (29) poloΩyt\
du
dτ0
= 0, u = u0. Toçno tak Ωe
poluçaem y ostal\n¥e formul¥.K
Teper\ teoremuK1 moΩno pereformulyrovat\ tak.
Teorema-1′′′′. Reßenye zadaçy (31), 1) suwestvuet, esly u0
udovletvorqet
neravenstvu Φ < Φ0 1, , a reßenye zadaçy (32), 1) suwestvuet, esly u1
udovletvorqet neravenstvu Φ < Φ1 1, .
Reßenye zadaçy (31), – 1) suwestvuet, esly u0
udovletvorqet neraven-
stvu Φ > Φ0 1,− , a reßenye zadaçy (32), – 1) suwestvuet, esly u1
udovlet-
vorqet neravenstvu Φ > Φ1 1,− .
Formulyrovka teorem¥K2 polnost\g soxranqetsq. K yzloΩennomu nado do-
bavyt\, çto dlq uravnenyj typa (28) spravedlyva ewe odna teorema, a ymenno,
teoremaK3.
Zapyßem synhulqrno vozmuwennoe uravnenye dlq velyçyn¥, kotorug m¥
nazvaly v p. 4 frontom r :
ε dr
dt
= – 2 Φ( )t . (34)
Teorema-3. V¥raΩenye
u ( x, t, ε ) =
1
2
1
2
− −
+ −
exp ( )
exp ( )
ε
ε
x r
x r
(35)
qvlqetsq toçn¥m reßenyem uravnenyq (28). Pry πtom, esly ε → 0,
u ( x, t, ε ) → – 1 pry x – r > 0, u ( x, t, ε ) = 0 pry x = r y
(36)
u ( x, t, ε ) → + 1 pry x – r < 0.
Formula (34) pozvolqet v¥çyslyt\ velyçynu probeha, a formula (35), xotq y
ne pretenduet na toçnoe opysanye probeha, daet oryentacyg, naprymer pozvolq-
et postroyt\ bar\er¥.
Zameçanyq. 2. TeoremaK3 ostaetsq spravedlyvoj, esly v (34) y (35) znak
pry 2 zamenyt\ na protyvopoloΩn¥j, a v (36) zamenyt\ – 1 na + 1.
3. Yz (34) vydno, çto skorost\ fronta ymeet porqdok 1 / ε .
Rassmotrym neskol\ko prymerov.
Prymer-1. PoloΩym v uravnenyy (28) Φ ( t ) = 0,8 sin t , a v kaçestve kraev¥x
uslovyj voz\mem u0 = u1 = 0. Yz formul (33) vydno, çto Φ0 1, = Φ1 1, = 3 8/ y
Φ0 1,− = Φ1 1,− = – 3 8/ . Oçevydno, pry t = 0 reßenye suwestvuet, tak kak
Φ ( 0 ) = 0 < 3 8/ . Razrußenye proysxodyt pry t = t0
, t. e. 0,8 sin t0 = = 3 8/ ;
otsgda poluçym t0 = 0,49. Posle πtoho formul¥, kotor¥my m¥ pol\zovalys\,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
368 A. B. VASYL|EVA
otbrosyv ut y sçytaq t parametrom, ne hodqtsq. Nado perexodyt\ k paraboly-
çeskomu uravnenyg.
Poskol\ku skorost\ fronta ymeet porqdok 1 / ε , budem sçytat\, çto stadyq
run protekaet mhnovenno y voznyknovenye çysto pohranslojnoho reßenyq pry
u1 proysxodyt pry tom Ωe t0 .
Ytak, pry t = 0,49 nastupaet stadyq halt ( – 1 ) çysto pohranslojnoho reße-
nyq vozle kornq – 1. Ona razrußaetsq pry π + 0,49 y, sledovatel\no, naçyna-
etsq probeh v obratnug storonu, y pry tom Ωe t = π + 0,49 reßenye v¥xodyt na
stadyg halt ( 1 ) , hde y zakançyvaetsq. Konec ymeet uslovn¥j xarakter, tak kak
rassmotrenye naçalos\ pry t = 0 y zakonçylos\ pry t = 2 π . M¥ sçytaem, çto
peryod raven 2π, xotq πto ne qvlqetsq tverdo ustanovlenn¥m faktom. M¥
vydym, çto halt ( – 1 ) ymeet prodolΩytel\nost\ ot 0,49 do t = 0,49 + π , t. e.
ravnug π, a halt ( 1 ) — ot 0 do 0,49 y ot π + 0,49 do 2π, toΩe ravnug π. V
sylu symmetryy sovpadenye sledovalo oΩydat\.
V pryvedennom rassuΩdenyy m¥ pol\zovalys\ tol\ko malost\g ε y sçytaly
probeh mhnovenn¥m, no po formule (34) moΩno toçno rassçytat\ dlynu probeha
y poluçyt\ popravky porqdka ε k momentu voznyknovenyq halt ( 1 ) yly
halt ( – 1 ) .
Vospol\zuemsq formuloj (34) v druhom aspekte. Postroym po formule (35)
s „ – 2 ” kryvug ot x = 1 do x = 0,5, v¥çyslyv r po formule (34) s „ + 2 ”
pry naçal\nom uslovyy r ( 0,49 ) = 0. Toçno tak Ωe postroym po formule (35) s
„ + 2 ” kryvug ot x = 1 do x = 0,5, vzqv r yz (34) s „ – 2 ” pry naçal\nom
uslovyy r ( 0,49 ) = 1. S uvelyçenyem arhumenta obe kryv¥e (yduwye sprava y
sleva), menqq formu, sblyΩagtsq, y ot 0 do 1 voznykaet sostavnaq kryvaq s
nehladkym v¥brosom vverx v okrestnosty x = 0,5. S uvelyçenyem vremeny ob-
last\, hde nablgdaetsq v¥bros vverx, suΩaetsq y proysxodyt, kak prynqto ho-
voryt\, sxlop¥vanye. Tem sam¥m voznykaet blyzost\ k reßenyg u( )−1 . Postro-
ennaq nehladkaq kryvaq, esly k nej prysoedynyt\ vblyzy x = 0 y x = 1 funk-
cyy ũ y û (v toçke prysoedynenyq toΩe voznykaet nehladkost\), moΩet slu-
Ωyt\ verxnym bar\erom dlq u( )−1 . V kaçestve nyΩneho bar\era yspol\zuetsq
u = – 1. Dlq reßenyq u( )1 bar\er¥ stroqtsq tak Ωe.
Ewe raz obratym vnymanye na to, çto vse rassuΩdenyq yz πtoho punkta qvlq-
gtsq ne strohymy, no ymegt sm¥sl oryentyrovoçn¥x.
Prymer-2. Ne menqq ysxodnoho uravnenyq, yzmenym kraev¥e uslovyq v pry-
mereK1, poloΩyv u0 = 0,5, u1 = 0. Zdes\ u0 > u1
y xarakter dvyΩenyq budet
otlyçat\sq ot toho, kotor¥j ymel mesto v prymereK1. Razrußenye sprava pro-
ysxodyt, kak y ran\ße, pry t = 0,49, a razrußenye sleva — pozdnee, tak kak
Φ0 1, =
3 0 5 1
4 0 5 2
2( , )
( , )
+
+
� 0,675.
∏to çyslo faktyçesky ne yhraet roly, tak kak probeh, pryvedßyj k hranyce
x = 0, pry t = 0,49 zaverßylsq. Sr¥v s – 1 proysxodyt pry
Φ0 1,− =
3 0 5 1
4 0 5 2
2( , )
( , )
−
−
� – 0,125,
t. e. t = π + 0,157. Dlyna halt ( – 1 ) ravna π + 0,157 – 0,49, a dlyna halt ( 1 ) —
0,49 + 2 π – ( π + 0,157 ) = π + 0,49 – 0,157 (summa πtyx dlyn ravna 2π, a yx
raznost\ — 2 ( 0,49 – 0,157 ) ≠ 0 ).
Yz prymerov sleduet vaΩn¥j v¥vod. Menqq kraev¥e uslovyq u 0
y u 1 ,
moΩno yzmenqt\ prodolΩytel\nosty sostoqnyj halt ( 1 ) y halt ( – 1 ) v Ωelae-
mom otnoßenyy yly daΩe udalyt\ odno yz sostoqnyj. Poqvlqetsq vozmoΩnost\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
O NEKOTORÁX PERYODYÇESKYX REÍENYQX SYNHULQRNO VOZMUWENNÁX … 369
takym obrazom vlyqt\ na peremenn¥j process, t. e. upravlqt\ reßenyqmy typa
KSPT.
Prymer-3. Rassmotrym sluçaj, kohda kraev¥e znaçenyq naxodqtsq vne ot-
rezka [ 0, 1 ] , t. e. vne kornej v¥roΩdennoho uravnenyq. Pust\ u0 = u1 = 1,5.
Netrudno vydet\, çto u( )1 ne razrußaetsq, xotq pry Φ = 0 razrußaetsq u( )−1 ,
t. e. kohda voznykaet qçejka, ysçezaet u( )−1 y ostaetsq tol\ko reßenye u( )1 .
∏tot prymer svydetel\stvuet o tom, çto posredstvom upravlenyq moΩno yz-
bavyt\sq ot toho reßenyq, kotoroe po rqdu pryçyn çasto sçytaetsq neΩela-
tel\n¥m. ∏to moΩet predstavlqt\ ynteres v prykladn¥x zadaçax, naprymer v
zadaçax byolohyçeskoj kynetyky.
V knyhe [9, c. 417] pryvedeno bolee sloΩnoe uravnenye, çem rassmotrennoe v
prymereK3, no ymegwee analohyçn¥e svojstva
ε2( )u uxx t− = – u r su p u[( ) ( )]− − , p u( ) =
u
u1 2+
.
Kraev¥e uslovyq zadan¥ v vyde u0 = u1 = δ > 0. V¥roΩdennoe uravnenye
ymeet korny 0 < u1 < u2 < u3 .
Kak okaz¥vaetsq, upravlqq parametrom s, moΩno dobyt\sq ysçeznovenyq
odnoho yz reßenyj, v dannom sluçae naybol\ßeho. ∏to proysxodyt, kak y v pry-
mereK3, pry nalyçyy qçejky, suwestvovanye kotoroj netrudno poluçyt\, v¥çys-
lyv neskol\ko nesloΩn¥x kvadratur.
V zaklgçenye ewe raz otmetym, çto dannaq stat\q ne pretenduet na ysçer-
p¥vagwyj analyz vsex sluçaev peryodyçeskyx reßenyj synhulqrno vozmuwen-
n¥x zadaç typa (1) – (3). Hlavnoe vnymanye napravleno na qvlenyq, obuslov-
lenn¥e tak naz¥vaem¥my KSPT, t. e. reßenyqmy, kotor¥e rezko menqgt formu
v okrestnosty opredelenn¥x momentov vremeny. KSPT ewe malo yzuçen¥, y v
osnovnom pryxodytsq provodyt\ çyslenno-analytyçeskye yssledovanyq, koto-
r¥e bazyrugtsq na „oporn¥x” teoremax (nekotor¥e yz πtyx teorem pryveden¥
v¥ße).
Usylyq po yzuçenyg kontrastn¥x struktur peremennoho typa pomymo çysto
teoretyçeskoho ynteresa pomohagt pry yssledovanyqx rqda prykladn¥x zadaç,
vaΩn¥x dlq praktyky. V çastnosty, dlq zadaç, qvlqgwyxsq zadaçamy KSPT,
razrabotan¥ metod¥ upravlenyq formoj voznykagwyx peryodyçeskyx proces-
sov.
1. Vasyl\eva A. B., Butuzov V. F., Nefedov N. N. Kontrastn¥e struktur¥ v synhulqrno vozmu-
wenn¥x zadaçax // Fundam. y prykl. matematyka. – 1998. – 4, # 3. – S.K799 – 851.
2. Vasyl\eva A. B. Kontrastn¥e struktur¥ peremennoho typa // Ytohy nauky y texnyky. Ser.
Sovrem. matematyka y ee pryl. – 2002. – 109.
3. Nefedov N. N. Asymptotyçeskyj metod dyfferencyal\n¥x neravenstv dlq yssledovanyq
peryodyçeskyx kontrastn¥x struktur: suwestvovanyq, asymptotyky y ustojçyvosty // Dyf-
ferenc. uravnenyq. – 2000. – 36, # 7. – S.K932 – 943.
4. Vasyl\eva A. B., Butuzov V. F., Nefedov N. N. Asymptotyçeskaq teoryq kontrastn¥x
struktur // Nauç. konf. „Lomonosovskye çtenyq”. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 2002. –
S.K33 – 45.
5. Vasyl\eva A. B., Petrov A. P., Plotnykov A. A. Teoryq kontrastn¥x struktur peremennoho
typa // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1998. – 38, # 9. – S.K1471 – 1480.
6. Nefedov N. N., Radziunas M., Schneider K. R., Vasilieva A. B. Change of the type of contrast
structures in parabolic Neumann problems // Tam Ωe. – 2005. – 45, # 1. – S.K41 – 45.
7. Vasyl\eva A. B., Omel\çenko O. E. Kontrastn¥e struktur¥ peremennoho typa v kvazyly-
nejn¥x parabolyçeskyx uravnenyqx // Dyfferenc. uravnenyq. – 2004. – 40 , # 10. –
S.K1358 – 1373.
8. Vasil’eva A. B., Kalachev L. V. Singularly perturbed parabolic equations with alternating boundary
layer // Abstrs and Appl. Anal. – 2000. – 2006. – P. 1 – 21.
9. Murray J. D. Mathematical biology. Biomathematics. – New York: Springer, 1993. – 19.
Poluçeno 13.11.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
|