Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням

We use the method of averaging over fast variables in studying multifrequency systems with linearly transformed argument. We prove the existence of solutions of initial and boundary-value problems in a small neighborhood of a solution of averaged problem. We obtain an estimate of error of the aver...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Бігун, Я.Й.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164087
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням / Я.Й. Бігун // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 435–446. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164087
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1640872020-02-09T01:26:10Z Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням Бігун, Я.Й. Статті We use the method of averaging over fast variables in studying multifrequency systems with linearly transformed argument. We prove the existence of solutions of initial and boundary-value problems in a small neighborhood of a solution of averaged problem. We obtain an estimate of error of the averaging method for slow variables. Метод усреднения no быстрым переменным применен к исследованию многочастотных систем с линейно преобразованным аргументом. Доказано существование решения начальной и краевой задач в малой окрестности решения усредненной задачи и получена оценка погрешности метода усреднения для медленных переменных. 2007 Article Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням / Я.Й. Бігун // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 435–446. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164087 517.929 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Бігун, Я.Й. Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням Український математичний журнал
description	We use the method of averaging over fast variables in studying multifrequency systems with linearly transformed argument. We prove the existence of solutions of initial and boundary-value problems in a small neighborhood of a solution of averaged problem. We obtain an estimate of error of the averaging method for slow variables.
format	Article
author	Бігун, Я.Й.
author_facet	Бігун, Я.Й.
author_sort	Бігун, Я.Й.
title	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
title_short	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
title_full	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
title_fullStr	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
title_full_unstemmed	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
title_sort	існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164087
citation_txt	Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням / Я.Й. Бігун // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 435–446. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT bígunâj ísnuvannârozvâzkutauserednennânelíníjnihbagatočastotnihzadačízzapíznennâm
first_indexed	2025-07-14T16:37:49Z
last_indexed	2025-07-14T16:37:49Z
_version_	1837641047330521088
fulltext	UDK 517.929 Q. J. Bihun (Çerniv. nac. un-t) ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX BAHATOÇASTOTNYX ZADAÇ IZ ZAPIZNENNQM We use the method of averaging over fast variables in studying multifrequency systems with linearly transformed argument. We prove the existence of solutions of initial and boundary-value problems in a small neighborhood of a solution of averaged problem. We obtain an estimate of error of the averaging method for slow variables. Metod usrednenyq po b¥str¥m peremenn¥m prymenen k yssledovanyg mnohoçastotn¥x system s lynejno preobrazovann¥m arhumentom. Dokazano suwestvovanye reßenyq naçal\noj y kraevoj zadaç v maloj okrestnosty reßenyq usrednennoj zadaçy y poluçena ocenka pohreßnosty metoda usrednenyq dlq medlenn¥x peremenn¥x. 1. Vstup. Dosyt\ Ωorstki obmeΩennq pry ob©runtuvanni metodu userednennq dlq bahatoçastotnyx system pov’qzani z rezonansom çastot [1 – 3]. Qkwo vektor çastot zaleΩyt\ vid povil\noho çasu τ = ε t ( ε — malyj dodatnyj parametr), to umovy nezastrqhannq systemy v okoli rezonansiv, qk zaproponovano v [4] çy v zahal\nomu vypadku v [3], dosyt\ naklasty til\ky na cej vektor. U razi zaleΩ- nosti çastot vid povil\nyx zminnyx obmeΩennq stosugt\sq vsix funkcij u pra- vij çastyni systemy qk dlq vypadku dvoçastotno] [5], tak i dlq system iz dovil\- nym çyslom çastot [1, 2, 6]. Efektyvnist\ takyx umov zrosta[, qkwo vony po- v’qzani z pevnog mnoΩynog rezonansnyx harmonik v okoli rozv’qzku useredneno] zadaçi [1 – 3, 7]. Rezonansni systemy iz zapiznennqm metodom userednennq dos- lidΩuvalys\ u robotax [8 – 10]. U danij roboti ob©runtovano metod userednennq dlq poçatkovo] zadaçi z li- nijno peretvorenym arhumentom i vektorom çastot, zaleΩnym vid τ i povil\nyx zminnyx, zokrema, iz zapiznennqm. OderΩanyj rezul\tat zastosovano dlq dos- lidΩennq isnuvannq rozv’qzku j ob©runtuvannq metodu userednennq dlq deqkyx krajovyx zadaç. Vykorystano metodyku, zaproponovanu v [7]. Dlq analohiçnyx system iz stalym zapiznennqm i vektorom çastot, zaleΩnym vid povil\nyx zmin- nyx, metod userednennq ob©runtovano v [11]. 2. Postanovka zadaçi. Nexaj D — oblast\ v R n , G = [ 0, L ] × D × D × Rm × × Rm × [ 0, ε0 ], λ, θ i σ — deqki çysla iz (0,1), xλ ( τ ) = x ( λ τ ), k, l ∈ Z m , \|\| \|\|k = = \| k1 \| + … + \| km \| , p = ( k, l ) ∈ Z 2m , \|\| \|\|p θ = \| \| k \|\| + θ \|\| l \|\|. Rozhlqnemo systemu rivnqn\ z n povil\nymy zminnymy x i m ≥ 1 ßvydkymy zminnymy ϕ vyhlqdu dx d A x x X x x τ τ ϕ ϕ ε τ ϕ ϕ ελ θ λ θ= ( ) + ( ), , , , , , , , , , (1) d d x x Y x x ϕ τ ω τ ε τ ϕ ϕ εσ λ θ= ( ) + ( ), , , , , , , , © Q. J. BIHUN, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 435 436 Q. J. BIHUN de vektor-funkci] A, X i Y [ 2π-periodyçnymy za zminnymy ϕν , ϕθν , ν = 1, … … , m. Pobudu[mo userednenu systemu perßoho nablyΩennq dlq povil\nyx zminnyx dx d A x x τ τ λ= ( )0 , , , τ ∈ [ 0, L ], (2) de A x x A x x d dm0 2 0 2 0 2 1 2 ( ) = ( π) … ( ) π π ∫ ∫τ τ ϕ ϕ ϕ ϕλ λ θ θ, , , , , , . Prypustymo, wo isnu[ rozv’qzok x = x y( )τ, systemy (2), x y( )0, = y , qkyj leΩyt\ v D razom iz deqkym ρ-okolom D xρ( ). PokaΩemo, wo todi isnu[ roz- v’qzok systemy (1) takyj, wo x y( )0, , ,ψ ε = y , ϕ ψ ε( )0, , ,y = ψ i spravdΩu[t\- sq nerivnist\ x y x y c( ) − ( ) ≤ ( − )τ ψ ε τ ε β, , , , / 1 1 3 2 (3) dlq vsix τ ∈ [ 0, L ], ε ∈ ( 0, ε* ], de ε* ≤ ε0 , c1 > 0 ne zaleΩyt\ vid ε, β ∈ [ 0, 1 / 3 ) . Zafiksu[mo ρ1 ∈ ( 0, ρ ]. Çerez x y L( )[ ]τ, ; ,0 poznaçymo tra[ktorig rozv’qz- ku x y( )τ, pry τ ∈ [ 0, L ], a çerez D zρ1 ( ) — ρ1-okil tra[ktori] z y L x y L x y L x y L x y L( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = [ ] × [ ] × [ ] × [ ]τ τ τ τ τσ θ θσ, ; , , ; , , ; , , ; , , ; ,0 0 0 0 0 v D4 . Nexaj P — mnoΩyna ciloçyslovyx vektoriv p, dlq qkyx vidpovidni koe- fici[nty Fur’[ A x xp( )τ λ, , funkci] A x x( )τ ϕ ϕλ θ, , , , totoΩno ne dorivnggt\ nulg v D x xρ λ1 ( × ); u = ( )x x x x, , ,σ θ σθ , h = ( )x x x xσ θσ σσ σσθ, , , , uθ = (x xθ σθ, , x xθθ σθθ, ) (dlq hθ , v = ( ϕ, ϕθ ) i w = vσ : = ( ϕσ , ϕθσ ) poznaçennq analohiçni). Umovog rezonansu çastot u systemi (1) v toçci τ0 ∈ [ 0, L ] [ vykonannq dlq deqkoho vektora p ∈ Z2m \ { 0 } rivnosti γp ( τ0 , u ( τ0 , ε ) ) : = ( k, ω ( τ0 , x ( τ0 , ε ), x ( σ τ0 , ε ) ) ) + + θ ( l, ω ( θ τ0 , x ( θ τ0 , ε ), x ( σ θ τ0 , ε ) ) ) ≅ 0. (4) Nexaj d ( ε ) = εα dlq deqkoho α ∈ [ 0, 1 / 2 ). Vvedemo finitnu funkcig hd ∈ ∈ C1 ( R ) vyhlqdu hd ( s ) = 1 0 2 2 22 , , , , cos , . s d s d d s d d s d ≤ ≥ π ( − ) < <      Poznaçymo δ τ ε τ τ γ τλ λ λ( ) = ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ∈ ∑, , , , , , , , , , ,x x u A x x A x x h u ep d p i p p P v v 0 , Ω( ) = ∂ ( ) ∂ + ∂ ( ) ∂ ( )τ ε ω τ τ ω τ δ τ ελ σ λσ σ σ λ, , , , , , , , , , , , , , , , , ,x x x x u h w x x x x x x x uv v + + ∂ ( ) ∂ ( )ω τ δ στ εσ σ σ λσ , , , , , , , x x x x x h w . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX … 437 Prypustymo, wo vykonugt\sq nastupni umovy: 1 0 ) vektor-funkci] ω ∈ C L D D ax xτ σ, , , ,1 10( )[ ] × × , A ∈ C G ax x xτ λ σ, , , ,1 1( ), A ∈ ∈ C G al v 1 1( ), , ∂ ∂ ∂ ∂     A x A x , λ ∈ C G al v 2 1( ), , [ X, Y ] ∈ C ( G, a1 ), l1 ≥ 2 1 0 2 1 3 1 1 2 1m + + ( − )( + ) − − −    max , ,χ β χ α β , l2 ≥ 2m + max ( 0, χ ), ta ]x poxidni do vidpovidnoho porqdku obmeΩeni stalog a1 ; 2 0 ) isnu[ rozv’qzok ( x ( τ, ε ), ϕ ( τ, ε ) ) systemy (1), vyznaçenyj dlq vsix ( τ, ε ) ∈ [ 0, L ] × ( 0, ε0 ] ( x ( τ, ε ) leΩyt\ v D × Rm razom iz Dρ1 2/ -okolom); 3 0 ) dlq vsix p ∈ P, u, uθ ∈ D zρ( ) i h, hθ ∈ D zρ( ), v, w i wθ iz R 4m , ε ∈ ( 0, ε0 ] vykonu[t\sq nerivnist\ γ τ τ ελ σ λσp u k x x x x u h w( ) + ( )( ), , , , , , , , , , ,Ω v + + θ τ ε εθ λ σ λσ θ χ β( )( ) ≥ −l x x x x u h w a p, , , , , , , , , ,Ω v 2 , de a2 > 0, χ ≥ – 1, 0 ≤ β < 1 / 3, 2α + β < 1. Qkwo vektor çastot ω ne zaleΩyt\ vid xσ , to umova 3 0 sprowu[t\sq, os- kil\ky todi vymaha[t\sq vykonannq nerivnosti γ τ τ ε θ τθ εθ λ θ θ λθ θθp x x k x x x l x x x w( ) + ( ) + ( )( ) ( ), , , , , , , , , , , , , ,Ω Ωv ≥ ≥ a p2 θ χ βε− dlq vsix τ ∈ [ 0, L ], ( )x x x x, , ,λ θ λθ ∈ D zρ( ), v, vθ ∈ R m i ε ∈ ( 0, ε0 ]. 3. Ocinka oscylqcijnoho intehrala. Rozhlqnemo intehral vyhlqdu I t t f s i s u s ds dsp p t s t t ( ) = ( ) ( )       ( )∫∫ + τ ε ε ε γ ε τ , , , , exp , ,1 1 1 , de τ ∈ [ 0, L ], t ∈ R+ , t ∈ R+ , ε ∈ ( 0, ε0 ]. Zokrema, takyj intehral oderΩugt\, qkwo v systemi (1) zapysaty rivnqnnq dlq x i ϕ v intehral\nij formi ta skorystatys\ zobraΩennqm ϕ u rozkladi funkcij u pravij çastyni v rqd Fur’[. Teorema 1. Nexaj: 1) f ( ⋅, ε ) ∈ C1 ( R+ ) ∀ε ∈ ( 0, ε0 ] i f ( τ, ⋅ ) ∈ C ( 0, ε0 ] ∀t ∈ R+ , na G t = [ t, t + + L ] × ( 0, ε0 ] vektor-funkci] f i df dτ [ obmeΩenymy; 2) vykonugt\sq umovy 1 0 – 30 pry τ ∈ R+ . Todi dlq vsix t ∈ R+ , t ∈ R+ , τ ∈ [ t, t + L ] i ε ∈ ( 0, ε* ], ε* ≤ ε0 , spravd- Ωu[t\sq ocinka I t t c p p f p df dp G Gt t ( ) ≤ +( ) +    ( − ) +τ ε ε τ β θ χ θ χ θ χ, , , sup sup/ 10 1 3 2 1 1 . Ocinka vykonu[t\sq dlq vsix p ∈ P, qkwo χ = – 1 , i p ∈ PN = { p : 1 ≤ ≤ \|\| p \|\| θ ≤ N }, qkwo χ > – 1, N — deqke dosyt\ velyke çyslo. Dovedennq. Dlq fiksovanoho α ∈ [ 0, 1 / 2 ) i ε ∈ ( 0, ε0 ] na nerezonansnij mnoΩyni ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 438 Q. J. BIHUN dt = τ γ τ τ ε εα: , ,p x( )( ) ≥{ } pry τ = [ t, t + L ] i p ∈ P pozbudemosq çleniv rqdu Fur’[ funkci] a ( τ, x, xλ , ϕ, ϕθ ), qkym vidpovidagt\ rezonansni harmoniky. Qk i v robotax [2, 3, 7], vvedemo funkcig y ( τ, ε ) = x ( τ, ε ) + ε U ( τ, ε ), (5) de U ( τ, ε ) = U x x u ep i p p P ( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ∈ ∑ τ τ ε τ ε τ ε ελ τ ε, , , , , , , , ,v . Koefici[nty Up ( τ, u, ε ) vyznaçagt\sq z rivnqnnq ∂ ( ) ∂ ( ) + ∂ ( ) ∂ ( ) U x x u x x U x x u x x τ ε ϕ ω τ θ τ ε ϕ ω θτλ σ λ θ θ σθ , , , , , , , , , , , , , , v v + + A x x h u ep d p i p p P ( ) − ( ( ))( ) ( ) ∈ ∑ τ γ τλ, , , ,1 v = 0. OderΩu[mo U ( τ, ε ) = − ( ) ( ) ( ) − ( ( ) ( ) ( ) ( ( ))) ∈ ( ( ))∑i A x x x h u ep pp P d p i pτ τ ε λτ ε γ τ τ ε γ τ τ ε τ ε, , , , , , , , , ,1 v . Na pidstavi umovy 1 0 ta ocinok koefici[ntiv Fur’[ [12] ma[mo ε τ ε ε εα αU A c G p p P ( ) ≤ ≤− ∈ − + ∑, sup1 2 1 , (6) de c2 = 2 1 1 2 2 1 1 1 1m l la m l m + + −     , G+ = R+ × D × D. Qkwo ε1 = min , / ε ρ α 0 1 2 1 1 2c         ( − ) , to y ( τ, ε ) ∈ D xρ( ) dlq vsix ( τ, ε ) ∈ [ t, t + + L ] × ( 0, ε1 ]. Zdyferencig[mo (5): dy d x x u R ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )( )τ ε τ δ τ τ ε τ ε τ ε τ ε ε τ ελ , , , , , , , , , , ,v , de R ( τ, ε ) = ε    X ( τ, x, xλ , ϕ, ϕθ , ε ) – – i A x x u k Y l Y ep pp P i p( ) ( ) ( ) + ( ) ∈ ( )∑ ( ) τ γ τ θλ θ ; , , , , , v – – i A x x h u u ep d p pp P i p∂ ∂ ( ) − ( ) ( )            ( ) ∈ ( )∑ τ τ γ τ γ τλ; , , , ,1 v . OtΩe, rivnqnnq perßoho nablyΩennq dlq funkci] y mistyt\ vidminni vid nulq harmoniky dlq vsix p ∈ P na mnoΩyni dt . Na pidstavi umovy 1 0 ma[mo R c( ) ≤ −τ ε ε α, 3 1 2 , (7) de ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX … 439 c3 = a A a A x A xp P G p G p G p 1 11 2   +    ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂    ∈ ∑ + + + sup sup sup τ λ λ + + π +( )     + a p A G p2 θ sup . PokaΩemo, wo umova 3 0 zabezpeçu[ nezastrqhannq tra[ktori] y ( τ, ε, [ 0, L ] ) na rezonansnij mnoΩyni [ t, t + L ] \ dt . Dovedemo, wo dlq bud\-qkoho p ∈ P, ( τ, ε ) ∈ [ t, t + L ] × ( 0, ε4 ], ε4 ≤ ε0 , spravdΩu[t\sq ocinka Γp ( τ, ε ) : = γ τ τ ε γ τ τ τ ε εθ χ β p pg d d g a p( ) ( )( ) + ( ) ≥ −, , , , 1 2 2 , (8) de g = ( y, yσ , yθ , yσθ ). Nexaj ′c4 i c4 — dodatni stali, qkymy obmeΩeni vidpo- vidno sumy p A p P G pθ ∈ ∑ + sup i sup sup G p G p p P A x A x + + ∂ ∂ + ∂ ∂    ∈ ∑ λ , ε2 ≤ ( ′ π) ( + )( )−a c n a c1 4 1 4 12 2 . Poznaçymo çerez δx i δy funkci] δ τ ελ( ), , , , ,x x u v i δ τ ελ( ), , , , ,y y u v , koly u nabuva[ vidpovidno znaçen\ ( )x x x x x, , , ,λ σ θ σθ i (y , y y y yλ σ θ σθ, , , ). Todi z umovy 1 0 ta ocinky (6) vyplyva[ Γp ( τ, ε ) ≥ γ τ τ ε τ ελ σ λσp g k y y y y u h w( ) ( )( ) + ( ), , , , , , , , , , , ,Ω v + + θ τ εθ λ σ λσ( )( )l y y y y u h w, , , , , , , , , ,Ω v – – k y R y R l y R y R, ,∂ ∂ + ∂ ∂     + ∂ ∂ + ∂ ∂     ω σ ω θ ω σ ω σ σ θ θ θ θ σθ θσ 2 – – k y y l y y y x y x y x y, ,∂ ∂ ( − )+ ∂ ∂ ( − )    + ∂ ∂ ( − )+ ∂ ∂ ( − )    ω δ δ σ ω δ δ θ ω δ δ σ ω δ δ σ σ σ θ θ θ θ θ θσ σθ θσ 2 ≥ ≥ a p c p2 5 1 2 θ χ β θ αε ε− −− , de c5 = a1 ( 1 + σ ) ( c3 + c6 ), c6 = a1 c3 c4 π. Nexaj χ = – 1. Todi ocinka (8) vykonu[t\sq dlq vsix p ∈ P, qkwo ε0 ≤ ε3 = a c 2 5 1 1 2 2     ( − − )/ α β . Pry χ > – 1 ocinka spravdΩu[t\sq dlq bud\-qkoho ε ∈ ( 0, ε4 ], ε4 = min ( ε1 , ε2 , ε3 ), qkwo p N a cθ α α β χε≤ =     ( + ) ( + − ) ( + ) 1 2 5 1 1 2 1 1 2 / / . Iz (8) vyplyva[, wo dlq bud\-qkyx s0 ∈ [ t, t + τ ] i ε ∈ ( 0, ε4 ], p ∈ PN1 pry χ > – 1 i p ∈ P pry χ > – 1, vykonu[t\sq odna z ocinok γ ε εθ χ β p s g s a p( )( ) ≥ − 0 0 2 1 4 , , (91 ) abo d d s g s a ppτ γ ε εθ χ β( )( ) ≥ − 0 0 2 1 4 , , . (92 ) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 440 Q. J. BIHUN Qkwo vykonu[t\sq nerivnist\ (91 ), to na promiΩku [ s0 , τ ], dovΩyna qkoho ne perevywu[ δp = c p7 1 1− − − θ χ βε , c7 = 16 1 11 1 2 3 2 1a n m a c c a( )+ ( + + )( + ) −σ , γ ε εθ χ β p s g s a p( )( ) ≥ −, , 3 16 2 . Nexaj ε ≤ ε5 = min , /( )( − − )ε α β 4 8 1 1c , c8 = a a c m2 1 2 132( )− pry χ = – 1 i N2 = = min , / /( )( )( + ) ( + − ) ( + )N E c1 8 1 1 1 1χ α β χε pry χ > – 1. Todi, vraxovugçy umovu 1 0 , (5) i (6), oderΩu[mo ocinku γ ε εθ χ β p s u s a p( )( ) ≥ −, , 1 8 2 , (10) qka spravdΩu[t\sq na [ s0 , s0 + δp ] dlq vsix p ∈ PN2 pry χ > – 1. Qkwo Ω nerivnist\ (91 ) ne vykonu[t\sq, to na promiΩku [ s0 , ξp ], ξp – s0 ≤ δp , z neperervnosti funkci] d ds gpγ τ τ ε( )( ), , vyplyva[ γ ε εθ χ β p s g s a p( )( ) ≥ −, , 2 8 . (11) Nexaj s0 — toçka minimumu funkci] γ εp s g s( )( ), , na [ s0 , ξp ]. Qk i v [3], dlq s ∈ [ s0 , s0 + εη ] ∪ [ ξp – εη, ξp ] i deqkoho η ∈ ( 0, 1 – α – β ) oderΩu[mo γ ε εθ χ β η p s u s a p( )( ) ≥ − +, , 2 16 . (12) Nerivnist\ spravdΩu[t\sq dlq ε ≤ ε6 = min , /( )( − − − )ε α β η 4 8 1 1c pry χ = – 1 i dlq p θ ≤ N = min , / /( )( )( + ) ( + + − ) ( + )N E c2 8 1 1 1 1χ α β η χε pry χ > – 1. Poznaçymo çerez f ( s, ε ) pidintehral\nu funkcig v intehrali I t tp( )τ ε, , , , qkyj zapyßemo u vyhlqdi I t t f s ds f s dsp t tq t q tpp p p ( ) = ( ) + ( ) + = − + + ∫∑ ∫τ ε ε ε ν ν δ ν δ τ , , , , , 0 1 , de qp — cila çastyna çysla L / δp . Qkwo v toçci tν vykonu[t\sq ocinka (91 ), to, intehrugçy çastynamy, ma[mo f s ds a p a c p f t t p G p t ( ) ≤    +    + −∫ , supε ε ε δ ν ν δ β θ χ β θ χ1 2 2 2 9 28 64 + + 8 2a p df dp Gt δ ε τ β θ χ sup    , (13) de c9 = a a1 11 2 1( )+ ( + )λ . Qkwo Ω u toçci tν vykonu[t\sq (92 ), to na promiΩku [ s0 * – εη, s0 * + εη ] ∩ [ s0 , ξp ] intehral ocinymo velyçynog 2εη sup Gt f . Na [ s0 , s0 * – εη ] ∪ [ s0 * + εη, ξp ] ocinka analohiçna (13), ale z uraxuvannqm monotonnosti funkci] γ εp s u s( )( ), , . OderΩu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX … 441 f s ds a p f t Gt ( ) ≤ +   ∫ − −, supε ε ε ν νξ η θ χ β η2 64 2 1 + + 16 2 1 a p df dGt χ α βε τ − − sup . (14) Na [ αν , t + ( ν + 1 ) δp ] ocinka nabyra[ vyhlqdu (13), oskil\ky vykonu[t\sq odna z ocinok (9) i, zhidno z vyborom ξν , γ ξ ξ ε εν ν θ χ β p g a p( )( ) ≥ −, , 1 4 2 . Todi z (13), (14) vyplyva[ I L a p a c c a c pp( ) ≤ ( ( + ) ++ − −τ ε ε εθ χ β η η θ χ, , ,0 0 2 4 2 8 2 1 1 2 2 7 2 2 7 + + a c f L a p df dG Gt t 2 7 2 1 2 1 28 2ε ε ε τ β η θ χ β η η+ − − −) + ( + )    sup sup . Nexaj c10 = 8 1 1 2 22 2 2 2 7La c a c− ( )( + ) +max , , ε* = min ( ε5 , ε6 ). Qkwo vybraty η = ( 1 – β ) / 2, to vsi stepeni parametra ε budut\ nevid’[mnymy i najmenßyj se- red nyx dorivng[ ( 1 – 3β ) / 2 pry β ∈ [ 0, 1 / 3 ). Takym çynom, oderΩu[mo ocinku z teoremy 1. Teoremu dovedeno. 4. Ob©runtuvannq metodu userednennq dlq systemy (1). Ocinka poxybky metodu userednennq dlq povil\nyx zminnyx system (1) i (2) vyplyva[ z ocinky intehrala I tp( ), , ,0 0 ε . Spravdi, x y x s y a L a x s y x y ds( ) − ( ) ≤ + +    ( ) − ( )∫τ ψ ε ε λ ψ ε τ τ , , , , , , , ,1 1 0 1 1 + + sup , exp , , , , , ,f s i s u s ds ds L R s x xp p s p P N( ) ( )       + ( )( )∫∫∑ ∈ ε ε γ ε ϕ ϕ τ λ θ1 1 1 00 , (15) de f s A s x s x s i s u s ds i pp p p s ( ) = ( ) ( ) − ( ) + ( )       ( ) ( )∫, , , , , exp , , ,ε ε ε ε γ ε ϕλ 1 1 1 0 , RN ≡ 0 dlq χ = – 1 i RN = A x x i ppp N ( ) ( )>∑ [ ]τ λ, , exp , v dlq χ > – 1. Nexaj c11 = 0 5 28 1 1 2 5 1 1 , min ,/ / c a c ( + ) ( + )        χ χ . Todi zhidno z vyborom N v dove- denni teoremy 1 ta umovamy na α, β i κ v 1 0 ma[mo N > c10 2 1 2 1ε α β χ + − ( + ) , ε ∈ ( ]0 1, ε , ε ε χ α β 1 11 2 1 2 1≤ ( + ) + −c . Dlq RN oderΩu[mo ocinku [12] R m a l m N cN m l m l l m ≤ ( ) ( − ) ≤− − ( − )( − − ) ( + )2 2 22 1 1 1 2 12 2 1 2 2 11 1 1 ε α β χ , de c12 = 2 2 22 1 11 2 1 11 1m l m lm a c l m( ) ( − )− −ε . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 442 Q. J. BIHUN Na pidstavi teoremy 1 I t c p a p Ap p P G p( ) ≤   + +( )( − ) ∈ +∑, , , sup/0 0 110 1 3 2 1 1 1 ε ε β θ χ θ χ + + p A a A x A x c G p G p G p θ χ λ β τ λ εsup sup sup / 1 1 1 2 1 12 1 3 2∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂         ≤ ( − ) , c13 = const, G1 = [ 0, L ] × D × D. Zastosovugçy lemu Hronuolla do nerivnosti (15), ma[mo x y x y a L c L l m ( ) − ( ) ≤ +( ( − )( − − ) ( + )τ ψ ε τ ε ε α β χ, , , , 1 12 2 1 2 2 1 1 + + c a L c13 1 3 2 1 1 1 1 3 21ε λ εβ β( − ) − ( − )( )( + ) ≤/ /exp , de c1 = ( ) ( )( + ) + ( + )−a c L c a L1 12 13 1 11exp λ . Qkwo ε* ≤ min , / ε ρ β 1 1 2 1 3 c         ( − ) , to ßukana ocinka (3) vykonu[t\sq dlq vsix ( τ, ε ) ∈ [ 0, L ] × ( 0, ε* ]. OtΩe, dovedeno nastupnu teoremu. Teorema 2. Nexaj isnu[ rozv’qzok x = x y( )τ, useredneno] zadaçi (2) i x y( )τ, ∈ Dρ pry τ ∈ [ 0, L ] ta vykonugt\sq umovy 1 0 i 30 . Todi dlq vsix τ ∈ ∈ [ 0, L ] i ε ∈ ( 0, ε* ] isnu[ rozv’qzok ( )( ) ( )x y yτ ψ ε ϕ τ ψ ε, , , , , , , systemy (1) i spravdΩu[t\sq ocinka (3). 5. Krajova zadaça. Funkcional\no-dyferencial\ni rivnqnnq z krajovymy umovamy doslidΩuvalys\, napryklad, u robotax [13, 14]. Rozhlqnemo bahatoças- totnu krajovu zadaçu vyhlqdu dx d A x x τ τ ϕ ϕ ελ θ= ( ), , , , , , (16) d d x x Y x x ϕ τ ω τ ε τ ϕ ϕ εσ λ θ= ( ) + ( ), , , , , , , , F x x x x d N L ( )= =… + ( )∫τ τ τ τ λ θε τ ϕ ϕ ε τ 0 0 , , , , , , , ,Φ = 0, ϕ τ=0 = ψ, (17) de F ( x0 , … , xN , ε ) i Φ( )τ ϕ ϕ ελ θ, , , , ,x x — n-vymirni vektor-funkci], vyznaçeni vidpovidno v DN + 1 × ( 0, ε0 ] i G , funkciq Φ [ 2π-periodyçnog za zminnymy ϕν , ϕθν ; 0 ≤ τ0 < … < τN ≤ L, ψ ∈ Rm . Vidpovidna (16), (17) userednena systema nabyra[ vyhlqdu dx d A x x τ τ ελ= ( )0 , , , , (18) d d x x Y x x ϕ τ ω τ ε τ εσ λ= ( ) + ( ), , , , ,0 , F x x x x d N L ( )= =… + ( )∫τ τ τ τ λε τ ε τ 0 0 0 , , , , , ,Φ = 0, ϕ τ=0 = ψ. (19) Metodom userednennq bahatoçastotni systemy bez zapiznennq z intehral\ny- my krajovymy umovamy doslidΩuvalys\ v [3, 15], a systemy vyhlqdu (16) iz vek- torom çastot ω ( τ ) — v [16, 17]. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX … 443 Poznaçymo çerez Q1 ( ε ) matrycg ∂ ∂ ( ) … ( ) ∂ ∂ ( )( ) = ∑ F x x y x y x y yN N νν ντ ε τ ε ε τ ε0 0 , , , , , , , , , + +   ∂ ∂ ( ) ( ) ∂ ∂ ( )( )∫ Φ0 0 x x y x y x y y L τ τ ε τ ε ε τ ελ, , , , , , , , , + + ∂ ∂ ( ) ( ) ∂ ∂ ( )  ( )Φ0 x x y x y x y y d λ λ λτ τ ε τ ε ε τ ε τ, , , , , , , , , . Teorema 3. Nexaj: 1) dlq bud\-qkoho ε ∈ ( 0, ε0 ] vektor-funkci] A , X i Φ zadovol\nqgt\ umovu 1 0 , F ∈ C D aa N2 1 0 30( )+ × ( ], ,ε , a = ( x0 , … , xN ) , Φ ∈ C C ab 2 3( ), , b = ( τ, x, xλ ) ; 2) isnu[ rozv’qzok useredneno] krajovo] zadaçi (18), (19) i x y( )τ ε, , ∈ Dρ dlq vsix ( τ, ε ) ∈ D × ( 0, ε0 ] ; 3) vykonu[t\sq umova 3 0 v ρ -okoli tra[ktori] z y L( )( ) [ ]τ ε, ; ,0 dlq vsix ε ∈ ( 0, ε0 ] ; 4) ∀ε ∈ ( 0, ε0 ] det Q1 ( ε ) ≠ 0 i Q a1 1 4 1− −( ) ≤ε ε χ , 0 ≤ χ1 < 1 3 4 − β . Todi moΩna vkazaty ε ∈ ( 0, ε0 ], stali c14 > 0 i c15 > 0 taki, wo dlq bud\-qkoho ε ∈ ( 0, ε ] isnu[ rozv’qzok krajovo] zadaçi (16), (17) i vykonu[t\sq nerivnist\ x y x y c( + ) − ( ) ≤τ µ ψ ε τ ε εα, , , , , 14 1 , (20) de µ εα≤ c15 1 , α1 = α0 – χ1 , α0 = ( 1 – 3β ) / 2. Dovedennq. Nexaj ρ1 = ρ / 2, µ ∈ Rn i µ ρ≤ 1 16c , de c16 = exp [ – a1 n ( 1 + + λ– 1 ) L ]. Todi dlq komponenty rozv’qzku x x y= ( )τ ε, , krajovo] zadaçi (18), (19) vykonu[t\sq nerivnist\ x y x y( + ) − ( )τ µ ε τ ε, , , , ≤ ρ1 . Zhidno z teoremog 2, qkwo ε ≤ ε1 = min ,* / ε ρ α 2 1 1 0 c         , to isnu[ rozv’qzok systemy (16) na [ 0, L ] i x y x y c( + ) − ( + ) ≤τ µ ψ ε τ µ ε εα, , , , , 1 . OtΩe, dlq ( τ, ε ) ∈ [ 0, L ] × ( 0, ε0 ] x y x y c c( + ) − ( ) ≤ +τ µ ψ ε τ ε µα, , , , 1 16 . (21) PokaΩemo, wo isnu[ take µ, dlq qkoho rozv’qzok x = x y( + )τ µ ψ ε, , , zado- vol\nq[ umovu (17). Iz (17) i (19) ma[mo F x x F x x x x N N L ( ) ( ) [= = = =… − … + ( )∫τ τ τ τ τ τ τ τ λ θε ε τ ϕ ϕ ε 0 0 0 0 , , , , , , , , , , ,(Φ – – Φ Φ Φ0 0 0( ) + ( ) − ( )) ( )]τ ε τ ε τ ε τν λ λ, ˜, ˜ , , ˜, ˜ , , , ,x x x x x x d = 0, de ˜ , ,x x y= ( + )τ µ ε . Pislq peretvoren\ oderΩymo µ = M1 ( µ, ε ), de ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 444 Q. J. BIHUN M1 ( µ, ε ) = − ( )    ( ) − ( )− )∫Q x x x x L 1 1 0 0 0 ε τ ε τ ελ λ( , , , , ˜, ˜ ,Φ Φ + + Φ p i p L p x x e d P( ) + ( )    ( ) ≠ ∫∑ τ ε τ µ ελ, , , ,, v 1 00 . (22) Na pidstavi umov 1 i 2 teoremy 3 ta ocinky (3) dlq P1( )µ ε, ma[mo P c c c1 17 2 18 19 2( ) ≤ + +µ ε ε ε µ µα α, , (23) de c17 , c18 i c19 — deqki stali. Skorystavßys\ teoremog 1 i dyferencijovnistg vektor-funkci] Φ za zmin- nymy v, oderΩymo ocinku Φ p i p p x x e d c( ) ≤( ) ≠ ∫∑ τ τ ελ τ α, , , v 00 20 . (24) Nexaj c15 = 2 24 20 1 1a c a c nL( + ) , µ εα≤ c15 1 i ε ε ε ρα α α α≤ =         ( ) ( )    − − 2 1 15 4 17 1 15 16 1 4 18 1 4 19 1 6 2 6 6 0 1 1 1min , , , , / / / /c a c c c a c a c . Todi iz (22) na pidstavi (23), (24) ma[mo M c1 15 1( ) ≤µ ε εα, . Takym çynom, M S S c1 1 1 15 2 1 0: : , ,→ = ≤ ∈( ]{ }−µ µ ε ε εα χ . Zhidno z teoremog Brauera [18] isnu[ xoça b odna neruxoma toçka µ ∈ S1 vidobraΩennq M1 . OtΩe, krajova zadaça (16), (17) ma[ rozv’qzok i z nerivnosti (21) vyplyva[ ocinka x y x y c c c( + ) − ( ) ≤ +τ µ ψ ε τ ε εα α, , , , 1 15 16 0 1 ≤ ≤ ( + ) ≤c c c c1 15 16 14 1 1 1ε ε εχ α α , c c c c14 1 15 16= + . Qkwo ε < ε = min , / ε ρ α 2 14 1 1 c         , to ocinka (20) spravdΩu[t\sq dlq vsix τ ∈ ∈ [ 0, L ]. Teoremu dovedeno. Dlq systemy (16) rozhlqnemo we taki bahatotoçkovi umovy: x τ=0 = y, ν ν τ τ τ τ τ τε ϕ ε ν = = = =∑ ( ) ( )( ) = … 0 0 N B x f x x N , , , , , (25) de Bν — kvadratni matryci porqdku m, f z z zN( … )0 1, , , , ε — m-vymirna vektor- funkciq. Teorema 4. Nexaj: 1) dlq bud\-qkoho ε ∈ ( 0, ε0 ] vektor-funkci] ω , A i Y zadovol\nqgt\ umovu 1 0 ; 2) matryçni funkci] B ν ( x, ε ) vyznaçeni v D × ( 0, ε0 ] i zadovol\nqgt\ umovu Hel\dera po x rivnomirno wodo ε iz pokaznykom q1 i koefici[n- tomOOγ1 ; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ISNUVANNQ ROZV’QZKU TA USEREDNENNQ NELINIJNYX … 445 3) isnu[ rozv’qzok useredneno] krajovo] zadaçi, x y( )τ ε, , ∈ Dρ dlq ( τ, ε ) ∈ ∈ [ 0, L ] × ( 0, ε0 ] i vykonu[t\sq umova 3 0 teoremy 3 ; 4) det Q2 ( ε ) : = det , , ,B x y N ν ν ν τ ε ε( )( ) = ∑ 0 ≠ 0, ε ∈ ( 0, ε0 ], Q a2 1 4 2− −( ) ≤ε ε χ , χ2 < α0 q1 ; 5) funkciq f z z zN( … )0 1, , , , ε vyznaçena i neperervna po z ν v D N + 1 × × ( 0, ε0 ]. Todi dlq bud\-qkoho ε ∈ ( 0, ε0] isnu[ rozv’qzok zadaçi (16), (25) i dlq po- vil\nyx zminnyx vykonu[t\sq ocinka (3). Dovedennq. Iz umov 1 i 2 za teoremog 2 vyplyva[ isnuvannq umovy 1 0 , umovy 3 0 i 3 harantugt\ isnuvannq rozv’qzku systemy (16) pry τ ∈ [ 0, L ] z poçatkovy- my umovamy y ∈ D1 ⊂ D i ϕ ∈ R m , ε ∈ ( 0, ε* ]. Dlq znaxodΩennq ψ iz umov (25) oderΩu[mo ψ = Q f x x N2 1 0 − = =( )    …( )ε ετ τ τ τ, , , + + ν ν τ τ ν τ τν ε ε ψ = = =∑ ( ( ) ( ))− 0 N B x B x N , , – – ν σ λ θ τ ω τ ε τ ϕ ϕ ε τ ψ ε ν = ∑ ∫ ( ) + ( )       = ( ) 0 0 2 N x x Y x x d M , , , , , , , : , . Nexaj ε ε ε ρ α χ α≤ =     ( )    ( − ) 0 1 1 21 1 2 2 0 2 0 1min , ,* / / c c q , c a c q 21 4 2 1 0 1= γ α . Na pidstavi umov 2, 4 i 5 teoremy 4 ta teoremy 3 znaxodymo taku ocinku: M c a f x xq N2 21 4 0 1 2 2 0 ( ) ≤ + …− − = =( )ψ ε ε ψ ε εα χ χ τ τ τ τ, , , , + + a B x N 1 1 0 1( + )     − = =∑ ( )ε τ ε ν ν ν τ τν , . Iz ocinky (3), neperervnosti funkci] f i vyboru ε2 vyplyva[ isnuvannq funkci] d ( ε ) tako], wo M d2 2 ( ) ≤ + ( )ψ ε ψ ε, , ε ∈ ( 0, ε0]. Nexaj ψ ε≤ ( )2d , todi M d2 2( ) ≤ ( )ψ ε ε, , ε ∈ ( 0, ε0]. (26) Iz neperervnosti M2( )ψ ε, po ψ dlq koΩnoho ε ∈ ( 0, ε0] i nerivnosti (26) vyplyva[ isnuvannq rozv’qzku ψ, a otΩe, j rozv’qzku zadaçi (16), (25). Teoremu dovedeno. 1. Hrebenykov E. A., Mytropol\skyj G. A., Rqbov G. A. Vvedenye v rezonansnug analytyçes- kug dynamyku. – M.: Qnus-K, 1999. – 320 s. 2. Xapaev M. M. Usrednenye v teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1986. – 192 s. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 446 Q. J. BIHUN 3. Samojlenko A. M., Petryßyn R. I. Matematyçni aspekty teori] nelinijnyx kolyvan\. – Ky]v: Nauk. dumka, 2004. – 474 s. 4. Samojlenko A. M. K voprosu obosnovanyq metoda usrednenyq dlq mnohoçastotn¥x koleba- tel\n¥x system // Dyfferenc. uravnenyq. – 1987. – 23, # 2. – S. 267 – 278. 5. Arnol\d V. Y. Uslovyq prymenymosty y ocenka pohreßnosty metoda usrednenyq dlq system, kotor¥e v processe πvolgcyy proxodqt çerez rezonans¥ // Dokl. AN SSSR. – 1965. – 161, # 1. – S. 9 – 12. 6. Nejßtadt A. Y. Ob usrednenyy v mnohoçastotn¥x systemax // Tam Ωe. – 1976. – 226, # 6. – S. 1295 – 1298. 7. Petryßyn P. I. DoslidΩennq rozv’qzkiv bahatoçastotnyx system za dopomohog metodu use- rednennq // Intehral\ni peretvorennq ta ]x zastosuvannq do krajovyx zadaç. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny, 1993. – 2. – S. 189 – 202. 8. Byhun Q. Y., Samojlenko A. M. Obosnovanye pryncypa usrednenyq dlq mnohoçastotn¥x sys- tem dyfferencyal\n¥x uravnenyj s zapazd¥vanyem // Dyfferenc. uravnenyq. – 1999. – 35, # 1. – S. 8 – 14. 9. Bihun Q. J. DoslidΩennq bahatoçastotnyx kolyvnyx system iz zapiznennqm // Nauk. visn. Çerniv. un-tu: Zb. nauk. pr. Matematyka. – Çernivci: Ruta, 2002. – Vyp. 150. – S. 15 – 20. 10. Bihun Q. J. Metod userednennq v bahatoçastotnij systemi z neobmeΩenym zapiznennqm // Konstruktyvni metody doslidΩennq dyferencial\nyx rivnqn\. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny, 1993. – S. 4 – 15. 11. Bihun Q. J. Ob©runtuvannq metodu userednennq dlq nelinijnyx rezonansnyx system iz za- piznennqm // Nelinijni kolyvannq. – 1999. – 2, # 2. – S. 162 – 169. 12. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M. Metod uskorennoj sxodymosty v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 244 s. 13. Azbelev N. V., Maksymov V. P., Raxmatullyna L. F. Vvedenye v teoryg funkcyonal\no- dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1991. – 280 s. 14. Bojçuk A. A., Ûuravlev V. F., Samojlenko A. M. Obobwenno-obratn¥e operator¥ y netero- v¥ kraev¥e zadaçy. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1995. – 320 s. 15. Petryßyn P. I., Petryßyn Q. R. Userednennq krajovyx zadaç dlq system dyferencial\nyx rivnqn\ z povil\nymy ta ßvydkymy zminnymy // Nelinijni kolyvannq. – 1998. – # 1. – S. 51 – 65. 16. Bihun Q. J. Userednennq kolyvnyx system iz zapiznennqm ta intehral\nymy krajovymy umo- vamy // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 2. – S. 257 – 263. 17. Bihun Q. J. Userednennq v bahatoçastotnyx systemax iz linijno peretvorenym arhumentom ta intehral\nymy krajovymy umovamy // Nauk. visn. Çerniv. un-tu: Zb. nauk. pr. Matematyka. – Çernivci: Ruta, 2005. – Vyp. 269. – S. 5 – 10. 18. Samojlenko A. M., Perestgk M. O., Parasgk I. O. Dyferencial\ni rivnqnnq. – Ky]v: Ly- bid\, 2003. – 600 s. OderΩano 05.04.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4

Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням

Institution

Ähnliche Einträge