Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка
For a class of second-order semilinear differential equations, we prove theorems on oscillatory and nonoscillatory nature of all proper solutions. These theorems are analogs of the well-known Kneser theorems for linear differential equations.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164089 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Н.С. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 458–466. — Бібліогр.: 6 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164089 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1640892020-02-09T01:25:32Z Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка Евтухов, В.М. Васильева, Н.С. Статті For a class of second-order semilinear differential equations, we prove theorems on oscillatory and nonoscillatory nature of all proper solutions. These theorems are analogs of the well-known Kneser theorems for linear differential equations. Для одного класу напівлінійних диференціальних рівнянь другого порядку встановлено теореми про коливність та неколивність усіх правильних розв'язків, що є аналогами відомих теорем А. Кнезера для лінійних диференціальних рівнянь. 2007 Article Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Н.С. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 458–466. — Бібліогр.: 6 назв. — рус. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164089 517.925 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Евтухов, В.М. Васильева, Н.С. Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка Український математичний журнал |
| description |
For a class of second-order semilinear differential equations, we prove theorems on oscillatory and
nonoscillatory nature of all proper solutions. These theorems are analogs of the well-known Kneser
theorems for linear differential equations. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Васильева, Н.С. |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Васильева, Н.С. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164089 |
| citation_txt |
Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Н.С. Васильева // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 458–466. — Бібліогр.: 6 назв. — рус. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm usloviâkoleblemostiinekoleblemostirešenijodnogoklassapolulinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT vasilʹevans usloviâkoleblemostiinekoleblemostirešenijodnogoklassapolulinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-14T16:37:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:37:54Z |
| _version_ |
1837641053197303808 |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов (Одес. нац. ун-т),
Н. С. Васильева (Одес. акад. стр-ва и архит.)
УСЛОВИЯ КОЛЕБЛЕМОСТИ И НЕКОЛЕБЛЕМОСТИ
РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
For a class of second-order semilinear differential equations, we prove theorems on oscillatory and
nonoscillatory nature of all proper solutions. These theorems are analogs of the well-known Kneser
theorems for linear differential equations.
Для одного класу напiвлiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку встановлено теореми про
коливнiсть та неколивнiсть усiх правильних розв’язкiв, що є аналогами вiдомих теорем А. Кнезера
для лiнiйних диференцiальних рiвнянь.
1. Постановка вопроса и некоторые вспомогательные предложения. Рассмот-
рим дифференциальное уравнение второго порядка
y′′ =
n∑
i=1
αipi(t)|y|1−λi |y′|λisign y, (1.1)
где αi ∈ {−1, 1}, i = 1, . . . , n, 0 ≤ λ1 < λ2 < . . . < λn < 1, pi : [a;ω[→]0;+∞[,
i = 1, . . . , n, — непрерывные функции.
Решение y уравнения (1.1) называется правильным, если оно определено в
некоторой левой окрестности ω и для любого τ из этой окрестности удовлетворяет
условию
sup
{
|y′(t)| : τ ≤ t < ω
}
> 0.
Правильное решение называется колеблющимся, если оно имеет последователь-
ность нулей, сходящуюся к ω, и неколеблющимся — в противном случае.
При n = 1 и λ1 = 0 уравнение (1.1) является линейным дифференциальным
уравнением вида
y′′ = α1p1(t)y. (1.21)
В работах [1 – 3] при установлении асимптотики неколеблющихся решений вы-
яснилось, что в общем случае n ≥ 1 и 0 ≤ λ1 < . . . < λn уравнение (1.1) наследует
ряд свойств линейных дифференциальных уравнений. В частности, в некоторых
случаях здесь возникает аналог характеристического уравнения и вопрос об асимп-
тотике решается в терминах его корней.
Целью настоящей статьи является установление признаков колеблемости и не-
колеблемости всех правильных решений уравнения (1.1), которые являются ана-
логами известных теорем А. Кнезера [4] для уравнения (1.21), а также аналогами
теорем из [5] для уравнения
y′′ = α1p1(t)|y|1−λ1 |y′|λ1sign y. (1.22)
В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.
c© В. М. ЕВТУХОВ, Н. С. ВАСИЛЬЕВА, 2007
458 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УСЛОВИЯ КОЛЕБЛЕМОСТИ И НЕКОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ... 459
Лемма 1.1. Каждое непродолжаемое решение уравнения (1.1) определено в
промежутке [a;ω[ и для любого k ∈ {1, . . . , n} при a ≤ s < t < ω выполняются
неравенства
ρk(y)(s) exp
−(2− λk)
t∫
s
|1 + αkpk(τ)|+
n∑
i=1
i6=k
pi(τ)
dτ
≤
≤ ρk(y)(t) ≤
≤ ρk(y)(s) exp
(2− λk)
t∫
s
|1 + αkpk(τ)|+
n∑
i=1
i6=k
pi(τ)
dτ
, (1.3)
где
ρk(y)(t) =
∣∣y′(t)∣∣2−λk +
∣∣y(t)∣∣2−λk .
Доказательство. Пусть y : ]t0, t1[→ R — произвольное непродолжаемое реше-
ние уравнения (1.1). Покажем, что это решение при t0 < s < t < t1 удовлетворяет
неравенствам (1.3). Действительно, для любого ε > 0 согласно (1.1) имеем
(ρk(y)(t) + ε)′ = (2− λk)|y|1−λk |y′|sign y
[
1 + αkpk(t)
]
+
+(2− λk)
n∑
i=1
i6=k
αipi(t)|y|1−λi |y′|λi−λk+1sign (yy′)
при t ∈ ]t0, t1[.
Разделив это равенство на [ρk(y)(t) + ε] и проинтегрировав от s до t, t0 ≤ s ≤
≤ t < t1, получим
(ρk(y)(t) + ε) = [ρk(y)(s) + ε] exp
[ t∫
s
(
(2− λk)|y|1−λky′sign y[1 + αkpk(τ)]
[ρk(y)(τ) + ε]
+
+
(2− λk)
∑n
i=1
i6=k
αipi(τ)|y|1−λi |y′|λi−λk+1sign (yy′)
[ρk(y)(τ) + ε]
)
dτ
]
. (1.4)
Поскольку при τ ∈ [s; t[ выполняются неравенства
|y(t)| ≤
[
ρk(y)(τ)
] 1
2−λk , |y′(τ)| ≤
[
ρk(y)(τ)
] 1
2−λk ,
имеет место оценка∣∣∣∣∣
t∫
s
(2− λk)
(
|y|1−λky′sign y[1 + αkpk(τ)]
[ρk(y)(τ) + ε]
+
+
∑n
i=1
i6=k
αipi(τ)|y|1−λi |y′|λi−λk+1sign (yy′)
[ρk(y)(τ) + ε]
)
dτ
∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
460 В. М. ЕВТУХОВ, Н. С. ВАСИЛЬЕВА
≤ (2− λk)
t∫
s
|1 + αkpk(τ)|+
n∑
i=1
i6=k
pi(τ)
dτ.
Поэтому из (1.4) в силу произвольности ε получим (1.3). Установленные при t0 ≤
≤ s ≤ t < t1 неравенства (1.3), очевидно, не противоречат тому, что y : ]t0, t1[→ R
— непродолжаемое решение уравнения (1.1) в случаях, когда t0 = a, t1 = ω и точка
a входит в область определения y.
Лемма доказана.
Следствие 1.1. Любое ненулевое решение y уравнения (1.1) на каждом отрез-
ке [a; b[∈ [a;ω[ имеет не более конечного числа нулей.
Следствие 1.2. Если λ1 = 0, то каждое ненулевое решение уравнения (1.1)
является правильным. Если же 0 < λ1, то каждое ненулевое решение урав-
нения (1.1) либо является правильным, либо тождественно равно постоянной,
отличной от нуля на некотором промежутке [t0;ω[ ⊂ [a;ω[1.
Замечание 1.1. При λ1 > 0 уравнения (1.1) имеет решения каждого из ука-
занных в следствии 1.2 типов. В частности, любое решение уравнения
(
|y′|1−λ1sign y′
)′
= (1− λ1)
n∑
i=1
αipi(t)|y|1−λi |y′|λi−λ1sign y
при λ1 > 0 определено в промежутке [a;ω[ и является правильным решением
уравнения (1.1).
2. Об условиях неколеблемости всех правильных решений уравнения (1.1).
Теорема 2.1. Пусть для некоторого k ∈ {1, . . . , n} на промежутке [t0;ω[,
где t0 ∈ [a;ω[, выполняется неравенство
−
n∑
i=1
αip
∗
i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λk
≤ 1
2− λk
(
1− λk
2− λk
)1−λk
, (2.1)
где
p∗i (t) = pi(t) [πω(t)]2−λi , πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
ω − t, если ω < +∞.
(2.2)
Тогда каждое правильное решение уравнения (1.1) является неколеблющимся.
Доказательство. Уравнение (1.1) с помощью замены
y(t) = [πω(t)]
1−λk
2−λk ξ(τ), τ = β lnπω(t), (2.3)
где
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
сведем к уравнению
1Доказательство следствия 1.1 аналогично приведенному в [6, с. 252]. Следствие 1.2 очевидно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УСЛОВИЯ КОЛЕБЛЕМОСТИ И НЕКОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ... 461
[
ξ′ + β
1− λk
2− λk
ξ
]′
− β
2− λk
[
ξ′ + β
1− λk
2− λk
ξ
]
=
=
n∑
i=1
αiqi(τ)|ξ|1−λi
∣∣∣∣ξ′ + β
1− λk
2− λk
ξ
∣∣∣∣λi
sign ξ, (2.4)
где
qi(τ) = qi(τ(t)) = p∗i (t). (2.5)
Предположим теперь, что уравнение (1.1) имеет правильное колеблющееся реше-
ние y. Согласно лемме 1.1, это решение определено в промежутке [a;ω[ и имеет
свойство
|y(t)|+ |y′(t)| 6= 0 при t ∈ [a;ω[.
В силу замены (2.3) соответствующее y решение ξ: [α,+∞[→ R, α = β lnπω(a),
уравнения (2.4) также является колеблющимся и удовлетворяет условию
|ξ(τ)|+ |ξ′(τ)| 6= 0 при τ ∈ [α; +∞[.
Поэтому в любой окрестности +∞, а значит и на промежутке [β lnπω(a);+∞[,
существуют точки τ1 и τ2, τ2 > τ1, такие, что
ξ(τ1) = 0, ξ′(τ2) = 0 и ξ′(τ) > 0 при τ ∈ [τ1; τ2[. (2.6)
Поскольку ξ′(τ2) = 0 и ξ(τ2) > 0, в некоторой левой окрестности τ2, согласно
(2.4), имеет место соотношение[
1 + β
2− λk
1− λk
ξ′(τ)
ξ(τ)
]′
[
1 + β
2− λk
1− λk
ξ′(τ)
ξ(τ)
]λk
=
= β
n∑
i=1
αiqi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−1 [
1 + β
2− λk
1− λk
ξ′(τ)
ξ(τ)
]λi−λk
+
+β
[
1 + β
2− λk
1− λk
ξ′(τ)
ξ(τ)
]1−λk
[
1
2− λk
− β
ξ′(τ)
ξ(τ)
]
,
которое при τ → τ2 − 0 можно представить в виде(
ξ′(τ)
ξ(τ)
)′
=
1− λk
2− λk
[1 + o(1)]
{
1
2− λk
+
n∑
i=1
αiqi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−1
+
+β
n∑
i=1
αiqi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−2
(λi − λk)
ξ′(τ)
ξ(τ)
+ o
(
ξ′(τ)
ξ(τ)
)}
.
Отсюда с учетом (2.1), (2.2) и (2.6) следует, что для некоторого
τ∗ ∈ ]τ1; τ2[ при τ ∈ [τ∗; τ2[ выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
462 В. М. ЕВТУХОВ, Н. С. ВАСИЛЬЕВА
(
ξ′(τ)
ξ(τ)
)′
ξ′(τ)
ξ(τ)
≥ β
n∑
i=1
αiqi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−1
(λi − λk) + o (1) .
Пусть
lim
τ→τ2
n∑
i=1
αiqi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−1
(λi − λk) = L.
Тогда для любой постоянной c < L существует τ0 ∈ [τ∗; τ2[ такое, что(
ξ′(τ)
ξ(τ)
)′
ξ′(τ)
ξ(τ)
≥ c при τ ∈ [τ0; τ2[.
Интегрируя это неравенство от τ0 до τ, находим
ln
ξ′(τ)
ξ(τ)
− ln
ξ′(τ0)
ξ(τ0)
≥ c(τ − τ0) при τ ∈ [τ0; τ2[.
Отсюда, переходя к пределу при τ → τ2 − 0, в силу (2.6) будем иметь
−∞ ≥ c(τ2 − τ0) = const.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о существова-
нии правильного колеблющегося решения уравнения (1.1) было неверным. Следо-
вательно, любое правильное решение уравнения (1.1) является неколеблющимся.
Теорема доказана.
Следствие 2.1. Если α1 = . . . = αn = 1, то все решения уравнения (1.1)
являются неколеблющимися.
Замечание 2.1. Условие (2.1) при n = 1 и λ1 = 0, т. е. в случае линейного
дифференциального уравнения (1.21), принимает вид
−α1p1(t) [πω(t)]2 ≤ 1
4
при t ∈ [t0;ω[.
Это есть известное условие А. Кнезера [4] неколеблемости всех решений уравне-
ния (1.21). В случае уравнения (1.22), где λ1 ∈ [0, 1[, оно имеет вид
−α1p1(t)[πω(t)]2−λ1 ≤ 1
2− λ1
(
1− λ1
2− λ1
)2−λ1
при t ∈ [t0, ω[
и совпадает с условием, полученным в работе [5].
Замечание 2.2. Из следствия 1.2 ясно, что уравнение (1.1) может допускать
колеблющиеся решения лишь в случаях, когда существуют i ∈ {1, . . . , n}, для
которых αi = −1. Более того, нетрудно доказать, что для колеблемости всех пра-
вильных решений необходимо, чтобы α1 = αn = −1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УСЛОВИЯ КОЛЕБЛЕМОСТИ И НЕКОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ... 463
3. Об условиях колеблемости всех правильных решений уравнения (1.1).
Теорема 3.1. Пусть α1 = αn = −1,2
m = max {i ∈ {1, . . . , n} : αi = −1 при 1 ≤ i ≤ m} ,
l = min {i ∈ {1, . . . , n} : αi = −1 при l ≤ i ≤ n} ,
Γ+ = {i ∈ {2, . . . , n− 1} : αi = 1} .
Если для некоторых k ∈ {1, . . . , n} и t0 ∈ [a;ω[ выполняются неравенства
inf
t∈[t0,ω[
{
−
n∑
i=1
αip
∗
i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λk
}
>
1
2− λk
(
1− λk
2− λk
)1−λk
, (3.1)
inf
t∈[t0;ω[
{
m∑
i=1
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
−
∑
i∈Γ+
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
}
>
>
1
2− λm
(
1− λm
2− λm
)1−λm
, (3.2)
inf
t∈[t0;ω[
{
n∑
i=l
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λl
−
∑
i∈Γ+
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λl
}
>
>
1
2− λl
(
1− λl
2− λl
)1−λl
, (3.3)
где p∗i — функции из формулы (2.2), то каждое правильное решение уравнения (1.1)
является колеблющимся.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что уравнение (1.1) имеет
правильное неколеблющееся решение y. Тогда, не ограничивая общности, можно
считать, что
y(t) > 0 и y′(t) 6= 0 при t ∈ [t0;ω[,
где t0 — некоторое число из промежутка [a;ω[.
Данному решению y уравнения (1.1) в силу замен (2.3) соответствует решение
ξ: [τ0; +∞[→ R, τ0 = β lnπω(t0), уравнения (2.4), удовлетворяющее условиям
ξ(τ) > 0, ξ′(τ) + β
1− λk
2− λk
ξ(τ) 6= 0 при τ ≥ τ0.
Согласно (2.4), для этого решения ξ(τ) имеем
z′(τ) + z2(τ)− βz(τ) =
n∑
i=1
αiqi(τ)|z(τ)|λi , (3.4)
где qi(τ) взято из (2.5),
z(τ) =
ξ′(τ)
ξ(τ)
+ β
1− λk
2− λk
.
2 См. замечание 2.2 из п. 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
464 В. М. ЕВТУХОВ, Н. С. ВАСИЛЬЕВА
Теперь заметим, что для любого λ < 1 функция
ϕλ(z) = |z|2−λ − β|z|1−λsign z (3.5)
при z ∈ R удовлетворяет неравенству
ϕλ(z) ≥ ϕλ
(
β
1− λ
2− λ
)
= − 1
2− λ
(
1− λ
2− λ
)1−λ
. (3.6)
Покажем, использовав это неравенство и условие (3.1), что решение z(τ) : [τ0; +∞[→
→ R\{0} уравнения (3.4) на некотором промежутке [τ1; +∞[ удовлетворяет одному
из неравенств
|z(τ)| <
(
1− λk
2− λk
)
(3.71)
либо ∣∣z(τ)∣∣ > (1− λk
2− λk
)
. (3.72)
Допустим противное, т. е. что существует последовательность {τj}, j = 1, 2, . . . ,
сходящаяся к +∞, такая, что
|z(τj)| =
(
1− λk
2− λk
)
при всех j = 1, 2, . . . . (3.8)
Тогда из (3.4) с учетом (3.5) имеем
z′(τj)
|z(τj)|λk
=
n∑
i=1
αiqi(τj)
(
1− λk
2− λk
)λi−λk
− ϕλk
(z(τj)).
Отсюда в силу (3.6) и условия (3.1) получаем
z′(τj) < 0 при всех j = 1, 2, . . . ,
что противоречит (3.8).
Значит, на некотором промежутке [τ1; +∞[ решение z(τ) удовлетворяет одному
из неравенств (3.7i), i = 1, 2.
Допустим сначала, что выполняется (3.71). Тогда из (3.4) с учетом (3.5) находим
z′(τ)
|z(τ)|λm
= −ϕλm
(z) +
n∑
i=1
αiqi(τ) |z(τ)|λi−λm ≤
≤ −ϕλm
(z)−
m∑
i=1
qi(τ) |z(τ)|λi−λm +
∑
i∈Γ+
qi(τ) |z(τ)|λi−λm <
< −
(
ϕλm(z) +
m∑
i=1
qi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
−
∑
i∈Γ+
qi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
)
. (3.9)
Кроме того, в силу (1.4), (2.1) и условия (3.1) существуют ε > 0 и τ1 ≥ τ0 такие,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УСЛОВИЯ КОЛЕБЛЕМОСТИ И НЕКОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ... 465
m∑
i=1
qi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
−
∑
i∈Γ+
qi(τ)
(
1− λk
2− λk
)λi−λm
>
>
1 + ε
2− λm
(
1− λm
2− λm
)1−λm
при τ ≥ τ1.
Поэтому из (3.9) с учетом (3.6) получаем
z′(τ)
|z(τ)|λm
≤ − ε
2− λm
(
1− λm
2− λm
)1−λm
при τ ≥ τ1.
Интегрируя это неравенство от τ1 до τ, имеем
|z(τ)|1−λmsign z(τ)
(1− λm)
≤ |z(τ1)|1−λmsign z(τ1)
(1− λm)
− ε
2− λm
(
1− λm
2− λm
)1−λm
(τ − τ1)
при τ ≥ τ1, откуда следует, что
z(τ) → −∞ при τ → +∞,
что противоречит (3.71).
Пусть теперь выполняется условие (3.72). Тогда с учетом условия (3.3) из со-
отношения (3.4) получаем
z′(τ)
|z(τ)|λl
+ |z(τ)|2−λl − β|z(τ)|1−λlsign z(τ) ≤
≤ − 1 + ε
2− λl
(
1− λl
2− λl
)1−λl
при τ ≥ τ1 (τ1 ∈ [τ0; +∞[). (3.10)
Отсюда, как в предыдущем случае, доказываем, что z(τ) → −∞ при τ → +∞.
Далее, перепишем ( 3.10) в виде
z′(τ)
|z(τ)|2
+ 1 +
1
z(τ)
≤ − 1 + ε
2− λl
(
1− λl
2− λl
)1−λl 1
|z(τ)|2−λl
. (3.11)
Поскольку z(τ) → −∞ при τ → +∞, из соотношения (3.11) ясно, что для некото-
рого τ1 ≥ τ0 выполняется неравенство
z′(τ)
z2(τ)
≤ −1
2
при τ ≥ τ1 .
Интегрируя это неравенство на промежутке от τ1 до τ, получаем
− 1
z(τ)
+
1
z(τ1)
≤ −1
2
(τ − τ1).
Отсюда, переходя к пределу и учитывая, что z(τ) → −∞ при τ → +∞, имеем
1
z(τ1)
≤ −∞,
что, очевидно, невозможно.
Полученные в каждом из двух возможных случаев противоречия доказыва-
ют, что наше предположение о существовании хотя бы одного неколеблющегося
решения уравнения (1.1) было неверным. Значит, все правильные решения урав-
нения (1.1) являются колеблющимися.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
466 В. М. ЕВТУХОВ, Н. С. ВАСИЛЬЕВА
Следствие 3.1. Если α1 = α2 = . . . = αn = −1 и для некоторых k и
t0 ∈ [a, ω[ выполняются неравенства
inf
t∈[t0;ω[
{
n∑
i=1
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λk
}
>
1
2− λk
(
1− λk
2− λk
)1−λk
,
inf
t∈[t0;ω[
{
n∑
i=1
p∗i (t)
(
1− λk
2− λk
)λi−λ1
}
>
1
2− λ1
(
1− λ1
2− λ1
)1−λ1
,
то все решения уравнения (1.1) являются колеблющимися.
Действительно, в данном случае множество Γ+ является пустым, а условие
(3.2) вытекает из (3.3) в силу того, что функция
ψ(λ) =
1
2− λ
(
1− λ
2− λ
)1−λ
является убывающей на промежутке [0, 1[.
Замечание 3.1. Условия (3.1) – (3.3) при n = 1 и λ1 ∈ [0, 1[, т. е. в случаях
линейного дифференциального уравнения (1.21) и полулинейного дифференциаль-
ного уравнения (1.22) принимают соответственно вид
α1 = −1, inf p1(t) [πω(t)]2 >
1
4
при t ∈ [t0, ω[
и
α1 = −1, inf p1(t) [πω(t)]2−λ1 >
1− λ1
2− λ1
(
1− λ1
2− λ1
)1−λ1
при t ∈ [t0, ω[.
Первое из них является известным условием А. Крезера [4] колеблемости всех
решений линейного дифференциального уравнения (1.21), а второе — полученным
в [5] условием колеблемости всех правильных решений уравнения (1.22).
Это есть известное условие А. Кнезера колеблемости всех решений уравне-
ния (1.2).
1. Евтухов В. М., Васильева Н. С. Асимптотические представления правильных решений одного
полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Сообщ. АН Грузии. – 1995.
– 152, № 2. – С. 228 – 234.
2. Евтухов В. М., Васильева Н. С. Асимптотические представления правильных решений одного
полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. –
1995. – 31, № 9. – С. 1591 – 1592.
3. Evtukhov V. M., Vasilieva N. S. Asymptotic representations of proper nonoscillations solutions of a
class semilinear differential equations of the second order// Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2.
– P. 190 – 215.
4. Kneser A. Untersuchung uber die reelen Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen //
Math. Ann. – 1893. – 42, № 3. – S. 409 – 435.
5. Евтухов В. М. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений одного полулинейного
дифференциального уравнения второго порядка // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 7. – С. 833 –
841.
6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958. – 467 с.
Получено 13.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
|