Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне
On the basis of the Bogolyubov – Mitropol’skii averaging method, we consider the stability of vertical rotation of a body suspended on a string.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164090 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне / В.Н. Кошляков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 467–475. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164090 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1640902020-02-09T01:25:31Z Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне Кошляков, В.Н. Статті On the basis of the Bogolyubov – Mitropol’skii averaging method, we consider the stability of vertical rotation of a body suspended on a string. На основі методу усереднення Боголюбова – Митропольського розглядається стійкість вертикального обертання тіла, підвішеного на струні. 2007 Article Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне / В.Н. Кошляков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 467–475. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164090 531.36 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кошляков, В.Н. Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне Український математичний журнал |
| description |
On the basis of the Bogolyubov – Mitropol’skii averaging method, we consider the stability of vertical
rotation of a body suspended on a string. |
| format |
Article |
| author |
Кошляков, В.Н. |
| author_facet |
Кошляков, В.Н. |
| author_sort |
Кошляков, В.Н. |
| title |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| title_short |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| title_full |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| title_fullStr |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| title_full_unstemmed |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| title_sort |
метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164090 |
| citation_txt |
Метод усреднения в проблеме устойчивости движения твердого тела, подвешенного на струне / В.Н. Кошляков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 467–475. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT košlâkovvn metodusredneniâvproblemeustojčivostidviženiâtverdogotelapodvešennogonastrune |
| first_indexed |
2025-07-14T16:37:57Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:37:57Z |
| _version_ |
1837641055769460736 |
| fulltext |
УДК 531.36
В. Н. Кошляков (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
ПОДВЕШЕННОГО НА СТРУНЕ
On the basis of the Bogolyubov – Mitropol’skii averaging method, we consider the stability of vertical
rotation of a body suspended on a string.
На основi методу усереднення Боголюбова – Митропольського розглядається стiйкiсть вертикаль-
ного обертання тiла, пiдвiшеного на струнi.
1. Постановка задачи. Исходное матричное уравнение. Среди эффектив-
ных средств приближенного исследования задач и проблем нелинейной механики
(в частности, математических моделей разнообразных колебательных процессов)
значительное место принадлежит методу усреднения, основывающемуся на диф-
ференциальных уравнениях, представленных в специальной (стандартной) форме
Боголюбова – Митропольского [1]
dx
dt
= εX(t, x), x(0) = x0. (1)
Здесь x = colon(x1, . . . , xn), X = colon(X1, . . . , Xn) — некоторые n-мерные
векторы-столбцы, ε — малый неотрицательный вещественный параметр. Усред-
нение проводится в правой части уравнения (1).
Устойчивости (неустойчивости) усредненной системы иногда сопутствует ана-
логичное состояние в исходной системе, когда последняя необязательно имеет
стандартную форму (1). Однако общих теорем, оправдывающих в таких случаях
применение метода усреднения, нет, и не всегда формальная замена одних урав-
нений другими может привести к правильному результату. На это обстоятельство,
в частности, указано в книге Н. Г. Четаева [2]. Определенное соответствие в ре-
шениях точных и усредненных уравнений впервые установил Н. Н. Боголюбов в
работе [3], сформулировав теоремы, основывающиеся на стандартной форме (1).
Поэтому приведение исходных уравнений рассматриваемой задачи к стандартной
форме — необходимый этап при обоснованном применении метода усреднения [4].
В основу дальнейшего рассмотрения положено матричное уравнение вида [5]
Jẍ + (D + H)ẋ + (Π + P )x = 0, (2)
где x = colon(x1, . . . , x2m) — искомый вектор, J = JT , D = DT , H = −HT , Π =
= ΠT , P = −PT (знак (·)T обозначает транспонирование) — заданные постоянные
матрицы размера 2m× 2m.
Уравнение (2) описывает поведение многих механических систем, находящи-
хся под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных и собственно
неконсервативных позиционных сил. В системах, содержащих гироскопы, под
J понимается определенно-положительная матрица моментов инерции системы
относительно соответствующих осей [6 – 10]. Частным случаем общего уравне-
ния (2) являются рассматриваемые ниже уравнения движения тела на струнном
подвесе.
c© В. Н. КОШЛЯКОВ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 467
468 В. Н. КОШЛЯКОВ
Исследования движения тела на струнном подвесе традиционны для Инсти-
тута математики НАН Украины. Эти исследования были начаты в 50-х годах
М. А. Лаврентьевым, А. Ю. Ишлинским, С. В. Малашенко и в настоящее время
успешно развиваются их учениками и последователями [11 – 15].
В настоящей работе с помощью метода усреднения исследуется устойчивость
вертикального вращения тела, подвешенного на жесткой струне, с учетом дисси-
пативных сил.
2. Уравнения возмущенного движения симметричного тела, подвешенного
на струне. Исследование вырожденной системы. Рассмотрим уравнения возму-
щенного движения, описывающие вертикальное вращение с угловой скоростью
ω тяжелого симметричного тела массы m, подвешенного на жесткой невесомой
струне.
Пусть J = diag(J1, J1, J3) — матрица главных центральных моментов инерции
тела, D = diag(λ, λ, λ1), λ > 0, λ1 > 0, — матрица коэффициентов действующих
на тело линейных диссипативных сил. Предполагаем также, что на тело, поми-
мо силы тяжести mg (g – ускорение свободного падения), действует постоянный
активный момент, создаваемый сторонним источником энергии, который поддер-
живает угловую скорость ω собственного вращения тела постоянной.
Пусть, далее, a > 0, b > 0 — соответственно расстояние от точки крепления
тела к струне до его центра масс, b – длина струны. Принятое в данной работе
условие a > 0 соответствует расположению центра масс ниже точки крепления
тела к струне.
Воспользуемся уравнениями (2.8) статьи [16], которые, применительно к дан-
ной задаче, могут быть представлены в виде
J1ẍ1 + λẋ1 + cx1 − (2J1 − J3)ωẋ2 + (λ1 − λ)ωx2 = −εmgbx3,
J1ẍ2 + λẋ2 + cx2 + (2J1 − J3)ωẋ1 − (λ1 − λ)ωx1 = −εmgbx4,
mb2ẍ3 + mb(g − bω2)x3 − 2mb2ωẋ4 = −εmgbx1,
mb2ẍ4 + mb(g − bω2)x4 + 2mb2ωẋ3 = −εmgbx2,
(3)
где
c = (J3 − J1)ω2 + mga
(a
b
+ 1
)
, ε =
a
b
.
Составляющие λ и λ1 матрицы D — некоторые постоянные, зависящие от
формы поверхности тела. При различающихся между собой коэффициентах дис-
сипации λ и λ1 (в работе [16] они обозначены соответственно через D1 и D3)
в уравнениях возмущенного движения возникают неконсервативные позиционные
составляющие (λ1 − λ)ωx2 и (λ1 − λ)ωx1, учтенные в первых двух уравнениях
системы (3).
Введенный в правую часть уравнений (3) безразмерный параметр ε будем далее
считать величиной, меньшей единицы. Этот параметр можно рассматривать, в
известном смысле, как звено, связывающее переменные x1, x2 с переменными
x2, x4.
В уравнениях (3) диссипация учтена лишь в первых двух уравнениях. Однако,
как показано в работе [16], диссипация оказывается полной за счет взаимосвязи
переменных xs. Вместе с тем при ε = 0, что соответствует вырожденному случаю
[4], уравнения (3) распадаются на две независимые системы уравнений, причем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ . . . 469
в уравнениях относительно переменных x3 и x4 диссипация вообще отсутствует.
Поэтому определим вырожденный случай уравнениями
J1ẍ1 + λẋ1 + cx1 − (2J1 − J3)ωẋ2 + (λ1 − λ)ωx2 = 0,
J1ẍ2 + λẋ2 + cx2 + (2J1 − J3)ωẋ1 − (λ1 − λ)ωx1 = 0,
mb2ẍ3 + fẋ3 + mb(g − bω2)x3 − 2mb2ωẋ4 = 0,
mb2ẍ4 + fẋ4 + mb(g − bω2)x4 + 2mb2ωẋ3 = 0,
(4)
предусмотрев в двух последних уравнениях системы (3) демпфирующие члены
fẋ3 и fẋ4. Величина коэффициента f > 0 полагается малой. Введение сил fẋ3 и
fẋ4 оправдано, поскольку в действительности силы с полной диссипацией всегда
существуют в реальной системе [2].
Два первых уравнения (4) являются частным случаем матричного уравнения
(2), в котором следует считать
x = colon(x1, x2), J = J1E, D = λE, H = (2J1 − J3)ωS,
P = (λ− λ1)ωS, E =
[
1 0
0 1
]
, S =
[
0 −1
1 0
]
.
(5)
Указанные уравнения, таким образом, содержат неконсервативные позиционные
силы с матрицей P . Силы такой структуры усложняют исследование устойчивости.
В работах [7 – 10] показано, что при определенных условиях неконсервативные по-
зиционные структуры можно исключить из уравнений с помощью преобразования
Ляпунова, не изменяющего, как известно, свойств устойчивости.
Положим в первых двух уравнениях (4) [8]
x = L(t)y, (6)
где y = colon(y1, y2), а матрицу L(t) определим условием
L̇(t) = −D−1PL(t), (7)
в котором матрицы D и P удовлетворяют выражениям (5). Рассматривая условие
(6) как уравнение относительно матрицы L(t) = ‖ljk(t)‖2
1 и удовлетворяя началь-
ному условию L(0)=E, находим L(t) в виде ортогональной матрицы
L(t) =
[
cos ω1t − sinω1t
sinω1t cos ω1t
]
, ω1 =
1
λ
(
λ1 − λ
)
ω. (8)
В силу структуры матриц (5) выполняются полученные в работе [8] необходи-
мые и достаточные условия приводимости уравнения относительно вектора y =
= colon(y1, y2) к виду
J1ÿ + V1ẏ + W1y = 0, (9)
где матрицы V1 и W1 являются постоянными:
V1 = D + H + 2JA, W1 = JA2 + Π + HA, A = D−1P. (10)
Матрица W1 получается, к тому же, симметрической и, следовательно, не содержит
неконсервативных элементов. Действительно, с помощью выражений (5) и (8)
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
470 В. Н. КОШЛЯКОВ
W1 = c∗11E,
где
c∗11 = mga
(a
b
+ 1
)
+
λ1
λ2
(
J3λ− J1λ1
)
ω2. (11)
Из (10) получаем
V1 = D + H1,
где с учетом выражений (5), (8) и (10) следует считать
H1 = H + 2JA = H + 2J1ω1S =
[
0 −h1
h1 0
]
, h1 =
1
λ
(
2J1λ1 − J3λ
)
ω. (12)
Матрица H1 является, таким образом, кососимметрической. Что касается второй
группы уравнений (4) относительно переменных x3 и x4, то они не содержат некон-
сервативных позиционных структур, а потому не подвергаются преобразованию.
Обозначая x3 = y3, x4 = y4, записываем вырожденные уравнения в виде
J1ÿ1 + λẏ1 − h1ẏ2 + c∗11y1 = 0, mb2ÿ3 + fẏ3 − h2ẏ4 + c∗33y3 = 0,
J1ÿ2 + λẏ2 + h1ẏ1 + c∗11y2 = 0, mb2ÿ4 + fẏ4 + h2ẏ3 + c∗33y4 = 0,
h2 = 2mb2ω, c∗33 = mb(g − bω2).
(13)
Тривиальное решение системы (13) при учете лишь потенциальных структур будет
устойчивым, если c∗11 > 0 и c∗33 > 0, что соответствует условиям [9]
mga
(a
b
+ 1
)
+
λ1
λ2
(
J3λ− J1λ1
)
ω2 > 0, ω < ν, ν =
√
g/b. (14)
Оно становится асимптотически устойчивым при добавлении сил с полной дис-
сипацией, когда λ > 0, f > 0, и произвольных гироскопических сил, которым в
рассматриваемом случае соответствует матрица (12) [2].
Первое из условий (14) упрощается, если воспользоваться концепцией Зоммер-
фельда – Гринхилла [6, 7], согласно которой можно положить λ = µJ1, λ1 = µJ3,
где µ — некоторая положительная константа, зависящая от свойств среды. Тогда
имеем J3λ− J1λ1 = 0, вследствие чего первое из условий (14) принимает вид
mga
(a
b
+ 1
)
> 0. (15)
Поскольку принято a > 0, а длина струны всегда положительна (b > 0), условие
(15) выполняется. Из него, в частности, вытекает известный вывод, что при рас-
положении центра масс тела ниже точки крепления его к стержню вертикальное
вращение тела устойчиво [15].
На основе решений вырожденной системы формируется замена переменных,
приводящая к уравнениям в стандартной форме. Для этой цели далее понадобится
система (13), преобразованная к переменным ys. Ограничиваясь учетом гироско-
пических и консервативных структур и учитывая обозначения в уравнениях (13),
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ . . . 471
J1ÿ1 − h1ẏ2 + c∗11y1 = εmgb(−y3 cos ω1t− y4 sinω1t),
J1ÿ2 + h1ẏ1 + c∗11y2 = εmgb(y3 sinω1t− y4 cos ω1t),
mb2ÿ3 − h2ẏ4 + c∗33y3 = εmgb(−y1 cos ω1t + y2 sinω1t),
mb2ÿ4 + h2ẏ3 + c∗33y4 = εmgb(−y1 sinω1t− y2 cos ω1t).
(16)
3. Стандартная форма уравнений. Применение метода усреднения. Для
приведения уравнений (16) к стандартному виду используется методика, предло-
женная в работе [6], которая позволяет, не изменяя условий устойчивости, пре-
образовывать исходные уравнения (в данном случае уравнения (16)) так, чтобы
преобразованные уравнения не содержали гироскопических членов. В соответ-
ствии с указанной методикой перейдем в уравнениях (16) к новым переменным
y′s, s = 1, 4, с помощью подстановок
colon(y1, y2) = L(t)colon(y′1, y
′
2), colon(y3, y4) = L̃(t)colon(y′3, y
′
4), (17)
в которых матрицы L(t) и L̃(t) размера 2× 2 удовлетворяют условиям
L̇(t) = −1
2
J−1H1L(t), ˙̃L(t) = −1
2
J̃−1H2L̃(t), (18)
где
J = diag(J1, J1), J̃ = diag(mb2,mb2), H1 =
[
0 −h1
h1 0
]
, H2 =
[
0 −h2
h2 0
]
.
Рассматривая условия (18) как уравнения относительно матриц L(t) и L̃(t) и считая
L(0) = L̃(0) = E, получаем
L(t) =
[
cos kt sin kt
− sin kt cos kt
]
, L̃(t) =
[
cos ωt sinωt
− sinωt cos ωt
]
, k =
h1
2J1
. (19)
Матрицы (19) ортогональны и, следовательно, являются матрицами Ляпунова. По-
этому преобразования (17) и (18) не изменяют свойств устойчивости тривиального
решения системы (16). Учитывая также, что матрицы Π = diag(c∗11, c
∗
22), J−1H2
1
коммутируют с матрицейL(t), а соответственно матрицы Π̃ = diag(c∗33, c
∗
44), J̃−2H2
2
— с матрицей L̃(t), приходим к уравнениям
J1ÿ′1 + c11y
′
1 = εmgb(−y′3 cos Ωt− y′4 sinΩt),
J1ÿ′2 + c11y
′
2 = εmgb(y′3 cos Ωt− y′4 sinΩt),
mb2ÿ′3 + c33y
′
3 = εmgb(−y′1 cos Ωt + y′2 sinΩt),
mb2ÿ′4 + c33y
′
4 = εmgb(−y′1 sinΩt− y′2 cos Ωt),
Ω = J3
2J1
ω,
(20)
где
c11 = c∗11 + 1
4
h2
1
J1
= mga
(
a
b
+ 1
)
+ ω2J2
3
4J1
,
c33 = c∗33 + 1
4
h2
2
mb2 = mb(g − bω2) + mb2ω2 = mgb.
(21)
Таким образом, величины c11 и c33 всегда положительны при c∗11 > 0 и c∗33 > 0,
т. е. при выполнении условий (14) устойчивости вырожденной системы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
472 В. Н. КОШЛЯКОВ
Уравнения в стандартной форме получаются на основе вырожденной системы,
получающейся из системы (20) при ε = 0. Положим y′1 = z1, ẏ′ = z2 в первом из
уравнений системы (20). Применительно к вырожденной системе имеем решение
z1 = c1 cos nt + c2 sinnt, z2 = −c1n sinnt + c2n cos nt, n =
√
c11
J1
, (22)
определяющее переход к переменным ζ1(t) и ζ2(t) стандартной формы. Полагаем
z1 = y′1 = ζ1(t) cos nt + ζ2(t) sinnt, z2 = −ζ1(t)n sinnt + ζ2(t) cos nt. (23)
Используя уравнение ż1 = z2 и первое из уравнений системы (20), представленные
в виде
ż2 + nz1 = −εmgb
J1n
(y′3 cos Ωt + y′4 sinΩt),
получаем с помощью выражений (23) два уравнения относительно переменных ζ̇1
и ζ̇2, решения которых имеют вид
ζ̇1 = εmgb
J1n
(y′3 cos Ωt + y′4 sinΩt) sinnt,
ζ̇2 = −εmgb
J1n
(y′3 cos Ωt + y′4 sinΩt) cos nt.
(24)
Продолжая этот процесс применительно к остальным уравнениям системы (20) и
учитывая связи
y′1 = ζ1 cos nt + ζ2 sinnt, y′3 = ζ5 cos νt + ζ6 sin νt,
y′2 = ζ3 cos nt + ζ4 sinnt, y′4 = ζ7 cos νt + ζ8 sin νt,
ν =
√
c33
mb2 =
√
g
b
,
(25)
приходим к стандартной форме уравнений относительно переменных ζs, s = 1, 8.
Введя матрицу ζ = colon(ζ1, . . . , ζ8), представим эту форму в виде
ζ̇ = εQ(t)ζ, Q(t) =
[
0 Q1(t)
Q2(t) 0
]
, (26)
где блоки Q1(t) и Q2(t) имеют вид
Q1(t) =
mgl
J1n
cos α cos β sin γ cos α sinβ sin γ
− cos α cos β cos γ − cos α sinβ cos γ
− sinα cos β sin γ − sinα sinβ sin γ
sinα cos β cos γ sinα sinβ cos γ
sinα cos β sin γ sinα sinβ sin γ
− sinα cos β cos γ − sinα sinβ cos γ
cos α cos β sin γ cos α sinβ sin γ
− cos α cos β cos γ − cos α sinβ cos γ
,
(27)
Q2(t) =
g
bω2
cos α sinβ cos γ cos α sinβ sin γ
− cos α cos β cos γ − cos α cos β sin γ
sinα sinβ cos γ sinα sinβ sin γ
− sinα cos β cos γ − sinα cos β sin γ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ . . . 473
− sinα sinβ cos γ − sinα sinβ sin γ
sinα cos β cos γ sinα cos β sin γ
cos α sinβ cos γ cos α sinβ sin γ
− cos α cos β cos γ − cos α cos β sin γ
.
Здесь
α = Ωt, β = νt, γ = nt. (28)
Усреднение проводится в правой части уравнения (26) путем выявления посто-
янных составляющих в элементах матриц (27). Для этой цели удобно использо-
вать известные формулы преобразования произведений синусов и косинусов ве-
личин α, β и γ, входящих в матрицы Q1(t) и Q2(t). Постоянные составляющие
выделяются из произведений cos α sinβ sin γ, sinα cos β sin γ, cos α cos β cos γ и
sinα sinβ cos γ. Использовав символ усреднения 〈·〉, положим 〈cos α sinβ sin γ〉 =
= l1, 〈sinα cos β sin γ〉 = l2, 〈cos α cos β cos γ〉 = l3, 〈sinα sinβ cos γ〉 = l4. Знаки
величин lj , равных по модулю 1
4 , определяются далее.
Постоянные составляющие в указанных выше четырех произведениях выделя-
ются в трех случаях, а именно когда
γ + β = α, β + α = γ, α + γ = β. (29)
В первом из указанных случаев имеем l1 = −1
4 , l2 = l3 = l4 = 1
4 , во втором —
l1 = l2 = l3 = 1
4 , l4 = −1
4 , а в третьем — l1 = l3 = l4 = 1
4 , l2 = −1
4 .
Не изменяя обозначений, записываем усредненные уравнения, соответствую-
щие учету указанных выше постоянных составляющих lj , j = 1, 4. Эти уравнения
разбиваются на две независимые системы уравнений:
ζ̇1 = ε1(l1ζ6 + l2ζ7), ζ̇2 = ε1(−l3ζ5 − l4ζ8),
ζ̇4 = ε1(l4ζ6 − l3ζ7), ζ̇3 = ε1(−l2ζ5 + l1ζ8),
ε1 = mgl
J1n
, ε2 = g
bω2 ε,
ζ̇6 = ε2(−l3ζ1 + l2ζ4), ζ̇5 = ε2(l1ζ2 − l4ζ3),
ζ̇7 = ε2(l4ζ1 + l1ζ4), ζ̇8 = ε2(−l2ζ2 − l3ζ3).
(30)
Системы (30) имеют одинаковое характеристическое уравнение
x4 + 2ε1ε2(l1l3 − l2l4)x2 + ε2
1ε
2
2(l1l3 + l2l4)2 = 0. (31)
Для того чтобы корни уравнения (31) были чисто мнимыми, требуется положи-
тельность его коэффициентов и положительность дискриминанта 4, выражение
которого приводится к виду
4 = −16ε2
1ε
2
2l1l2l3l4. (32)
Поскольку в случаях (29) произведение l1l2l3l4 всегда отрицательно (одна из ве-
личин ls отрицательна, а остальные положительны), условие 4 > 0 выполняется.
Остается удовлетворить условию
l1l3 − l2l4 > 0, (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
474 В. Н. КОШЛЯКОВ
так как при ε > 0 всегда ε1ε2 > 0. Условие (33) не выполняется в первом из
случаев (29) и выполняется в остальных двух. Таким образом, при γ + β = α
имеет место возрастание величин ζs и, следовательно, развитие неустойчивости в
усредненных уравнениях. Учитывая обозначения при выражениях (21), (22) и (28),
условие γ + β = α записываем в виде√
c11
J1
+ ν =
J3
2J1
ω. (34)
Эффект неустойчивости в усредненных уравнениях не имеет места, если γ+β 6= α,
т. е. √
c11
J1
+ ν 6= J3
2J1
ω. (35)
Условию (35) соответствует неасимптотическая устойчивость в усредненных урав-
нениях (30). При этом условии, согласно теореме Кельвина – Четаева, учет в усред-
ненной системе сил с полной диссипацией приводит к асимптотической устойчи-
вости в этих уравнениях. Согласно результатам К. Банфи [17], в случае асимпто-
тической устойчивости в усредненных уравнениях оценки Н. Н. Боголюбова ε-
близости решений точной и усредненной систем оказываются справедливыми на
бесконечном интервале времени.
Запишем условие (34) с учетом (22) в виде
n +
J3
2J1
(2J1
J3
ν − ω
)
= 0. (36)
Согласно второму из условий (14), относящемуся к устойчивости вырожденных
уравнений, должно иметь место неравенство ν > ω. Поскольку всегда можно счи-
тать 2J1 > J3 (при 2J1 = J3 тело вырождается в бесконечно тонкую пластинку
в экваториальной плоскости), при ν > ω и подавно будет выполняться условие
2J1ν > J3ω, вследствие чего левая часть выражения (31) оказывается положитель-
ной. Таким образом, условие (34) не выполняется. Поэтому анализ усредненных
уравнений не добавляет дополнительных условий к неравенствам (14), полученных
из вырожденных уравнений.
Можно дать и иную интерпретацию изложенному выше. Выражение (34) имеет
структуру условия главного комбинационного параметрического резонанса, когда
сумма двух собственных частот системы равна частоте возбуждения. Это согла-
суется со структурой уравнений (20), имеющих периодические коэффициенты с
частотой Ω, которая является частотой возбуждения. Указанные уравнения полу-
чены в результате преобразований Ляпунова (6) и (17), не изменяющих свойств
устойчивости уравнений, к которым они применяются.
Главный параметрический резонанс в уравнениях (20) отсутствует при выпол-
нении условия (35), которому соответствует, как показано в работе [18], ограничен-
ность в решениях указанных уравнений на интервале (−∞,+∞) при достаточно
малом ε.
Таким образом, неравенства (14) можно рассматривать как достаточные усло-
вия устойчивости вертикального вращения симметричного тела, подвешенного на
жесткой струне, в случае, когда центр масс тела находится ниже точки крепления
стержня к телу (a > 0), а величина параметра ε = a/b достаточно мала в сравнении
с единицей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ . . . 475
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории колебаний. – М.:
Наука, 1974. – 503 с.
2. Четаев Н. Т. Устойчивость движения. – М.: Гостехиздат, 1955. – 207 с.
3. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. – Киев: Изд-
во АН УССР, 1945. – 136 с.
4. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. – М.: Наука, 1988. –
328 с.
5. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. – М.: Наука, 1974. – 344 с.
6. Кошляков В. Н. О структурных преобразованиях динамических систем с гироскопическими
силами // Прикл. математика и механика. – 1997. – 61, вып. 5. – С. 774 – 780.
7. Кошляков В. Н. О структурных преобразованиях неконсервативных систем // Там же. – 2000.
– 64, вып. 6. – С. 933 – 941.
8. Кошляков В. Н., Макаров В. Л. К теории гироскопических систем с неконсервативными силами
// Там же. – 2001. – 65, вып. 4. – С. 698 – 704.
9. Кошляков В. Н., Стороженко В. А. Влияние диссипации на устойчивость движения тела,
подвешенного на стержне // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 3. – С. 22 – 33.
10. Кошляков В. Н., Макаров В. Л. Структурный анализ некоторого класса динамических систем
// Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 8. – С. 1089 – 1097.
11. Лаврентьев М. А. Кумулятивный заряд и принципы его работы // Успехи мат. наук. – 1957. –
12, вып. 4. – С. 41 – 56.
12. Ишлинский А. Ю. Пример бифуркации, не приводящий к появлению неустойчивых форм
стационарного движения // Докл. АН СССР. – 1957. – 117, № 1. – С. 47 – 49.
13. Малашенко С. В. Некоторые экспериментальные исследования, относящиеся к вращению тела
// Прикл. математика и теор. физика. – 1960. – № 3. – С. 205 – 211.
14. Морозова Е. П. Об устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне // Прикл.
математика и механика. – 1956. – 20, вып. 5. – С. 621 – 626.
15. Ишлинский А. Ю., Стороженко В. А., Темченко М. Е. Вращение твердого тела на струне и
смежные задачи. – М.: Наука, 1991. – 303 с.
16. Карапетян А. В., Лагутина И. С. Об устойчивости равномерных вращений волчка, подве-
шенного на струне, с учетом диссипативного и постоянного моментов // Изв. РАН. Механика
твердого тела. – 2000. – № 1. – С. 53 – 57.
17. Banfi C. Sull’appossimazionedi processi non stazionari in mechanika non lineare // Boll. Unione mat.
ital. – 1967. – 22, № 4. – P. 442 – 450.
18. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. – М.:
Наука, 1987. – 328 с.
Получено 16.08.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
|