Задача с нелокальным условием на свободной границе
Дослiджено однофазну задачу Флорiна з нелокальною умовою для параболiчного рiвняння. Доведено теореми єдиностi та iснування розв’язку, отримано апрiорнi оцiнки для розв’язку....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164096 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача с нелокальным условием на свободной границе / Ж.О. Тахиров, Р.Н. Тураев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 71-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164096 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1640962020-02-09T01:25:38Z Задача с нелокальным условием на свободной границе Тахиров, Ж.О. Тураев, Р.Н. Статті Дослiджено однофазну задачу Флорiна з нелокальною умовою для параболiчного рiвняння. Доведено теореми єдиностi та iснування розв’язку, отримано апрiорнi оцiнки для розв’язку. We investigate the one-phase Florin problem for a parabolic equation with nonlocal condition. Theorems one the existence and uniqueness of a solution are proved, and a priori estimates for the solution are obtained. 2012 Article Задача с нелокальным условием на свободной границе / Ж.О. Тахиров, Р.Н. Тураев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 71-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164096 517.956.45 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Тахиров, Ж.О. Тураев, Р.Н. Задача с нелокальным условием на свободной границе Український математичний журнал |
| description |
Дослiджено однофазну задачу Флорiна з нелокальною умовою для параболiчного рiвняння. Доведено теореми єдиностi та iснування розв’язку, отримано апрiорнi оцiнки для розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Тахиров, Ж.О. Тураев, Р.Н. |
| author_facet |
Тахиров, Ж.О. Тураев, Р.Н. |
| author_sort |
Тахиров, Ж.О. |
| title |
Задача с нелокальным условием на свободной границе |
| title_short |
Задача с нелокальным условием на свободной границе |
| title_full |
Задача с нелокальным условием на свободной границе |
| title_fullStr |
Задача с нелокальным условием на свободной границе |
| title_full_unstemmed |
Задача с нелокальным условием на свободной границе |
| title_sort |
задача с нелокальным условием на свободной границе |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164096 |
| citation_txt |
Задача с нелокальным условием на свободной границе / Ж.О. Тахиров, Р.Н. Тураев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 71-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT tahirovžo zadačasnelokalʹnymusloviemnasvobodnojgranice AT turaevrn zadačasnelokalʹnymusloviemnasvobodnojgranice |
| first_indexed |
2025-07-14T16:38:13Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:38:13Z |
| _version_ |
1837641072786800640 |
| fulltext |
УДК 517.956.45
Ж. О. Тахиров, Р. Н. Тураев
(Ин-т математики и информ. технологий АН Республики Узбекистан, Ташкент)
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ
We investigate the one-phase Florin problem for a parabolic equation with nonlocal condition. Theorems one the existence
and uniqueness of a solution are proved, and a priori estimates for the solution are obtained.
Дослiджено однофазну задачу Флорiна з нелокальною умовою для параболiчного рiвняння. Доведено теореми
єдиностi та iснування розв’язку, отримано апрiорнi оцiнки для розв’язку.
Введение. Теория классической разрешимости задач со свободными границами для параболи-
ческиx уравнений построена в работаx Л. Рубинштейна [1], А. Фридмана [2], А. Мейрманова
[3], И. Данилюка [4], Б. Базалия [5] и др. Результаты исследований в этой области опубликованы
в большом количестве работ. Задачи, возникающие в приложенияx и приводящие к задачам со
свободной границей, служат моделью для выделения новыx направлений. Одной из таких задач
является задача Флорина (условие для свободной границы задается в неявной для этой границы
форме), которая впервые возникла в гидростроительстве при устройстве противофильтрацион-
ных завес, когда в породы основания и береговых примыканий плотин нагнетаются глинистые
растворы [6]. Сюда также можно отнести класс задач, которые возникли в связи с задачей об
ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду [7, 8], а также некоторые биологические
модели [9, 10].
Нелокальные условия являются естественным обобщением обычныx краевыx условий, а
задачи имеют конкретные приложения (см., например, [11]). Подобные ситуации имеют место,
например, при изучении явлений, происxодящиx в плазме, при распространении тепла, в газо-
гидродинамике, биологии и т. д. Заметим, что в некоторыx случаяx существует определенная
связь между нелокальными или же обратными задачами и локальными краевыми задачами для
нагруженныx уравнений [12]. Краевые задачи с интегральными условиями относятся к чис-
лу нелокальныx задач. Приведем некоторые результаты, более близкие к предмету настоящей
статьи. В работаx [13, 14] рассмотрены задачи для параболическиx уравнений с неизвестными
коэффициентами в областяx с подвижными неизвестными границами, а в [15] исследована
двуxфазная задача со свободной границей в полуограниченной области для параболическо-
го уравнения со степенной нелинейностью. В работах [16, 17] некоторые граничные условия
заданы в нелокальной форме.
1. Постановка задачи. Требуется найти пару функций (s(t), u(t, x)) такую, что непрерывно
дифференцируемая функция s(t) определена на отрезке 0 ≤ t ≤ T, s(0) = s0 > 0, 0 < ṡ(t) ≤ N,
а функция u(t, x) в области D = {(t, x) : 0 < t ≤ T, 0 < x < s(t)} удовлетворяет уравнению
uxx(t, x) = ut(t, x), (t, x) ∈ D, (1)
с начальными
u(0, x) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ s0, (2)
c© Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 71
72 Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ
u(t, 0) = ψ(t), 0 ≤ t ≤ T, (3)
и граничными
αu(t, x0) = u(t, s(t)), 0 ≤ t ≤ T, (4)
ux(t, s(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ T, (5)
условиями.
Условие (5) обеспечивает отсутствие потока через подвижную границу, а нелокальное усло-
вие (4) поддерживает согласованность граничного режима на неизвестной границе с процессом
внутри области.
Всюду в работе предполагаем, что для заданных функций и постоянных выполнены следу-
ющие основные условия:
1) положительные постоянные x0, α удовлетворяют неравенствам 0 < x0 < s0, 0 < α < 1;
2) функция ϕ(x) четырежды, а функция ψ(t) дважды непрерывно дифференцируемы и
тождественно не равны нулю;
3) выполнены условия согласования в угловых точках (в том числе в рассматриваемых
вспомогательных задачах). В частности,
ϕ(0) = ψ(0), αϕ(x0) = ϕ(s0), ϕ′(0) = 0, ϕ(IV )(0) = ψ′′(0).
2. Априорные оценки. Сначала установим некоторые априорные оценки для решений s(t),
u(t, x) и их производных. Далее на основе этих оценок исследуем поведение свободной грани-
цы в рассматриваемом промежутке времени, докажем единственность решения и глобальную
разрешимость задачи. Для этого задачу (1) – (5) сведем к эквивалентной задаче (типа Стефана)
для функций s(t), ut(t, x).
Обозначим ut(t, x) = v(t, x), тогда из задачи (1) – (5) получим
vxx(t, x) = vt(t, x), (t, x) ∈ D, (6)
v(0, x) = ϕ′′(x), 0 ≤ x ≤ s0, (7)
v(t, 0) = ψ′(t), 0 ≤ t ≤ T, (8)
αv(t, x0) = v(t, s(t)), 0 ≤ t ≤ T, (9)
v(t, s(t))ṡ(t) = −vx(t, s(t)), 0 ≤ t ≤ T. (10)
Лемма 1. Пусть ϕ(x) ≥ 0, ϕ′′(x) > 0, ψ(t) ≥ 0, ψ′(t) > 0 и выполнены условия 1 – 3.
Тогда 0 ≤ u(t, x) ≤M1, 0 < ϕ′′(s0) ≤ ut(t, x) = uxx(t, x) = v(t, x) ≤M2, ux(t, x) ≤ 0 в D, где
M1 =
{
max
x
|ϕ(x)|,max
t
|ψ(t)|
}
,
M2 =
{
max
x
|ϕ′′(x)|,max
t
|ψ′(t)|
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ 73
Доказательство леммы 1 получается из задач (1) – (4) и (6) – (9) соответственно с помощью
принципа экстремума.
3. Единственность решения.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда решение задачи (1) – (5) единст-
венно.
Доказательство. Пусть существуют два решения задачи (1) – (5): s1(t) на отрезке [0, T1],
u1(t, x) в области {(t, x) : 0 < t ≤ T1, 0 < x < s1(t)} и s2(t) на отрезке [0, T2], u2(t, x) в
области {(t, x) : 0 < t ≤ T2, 0 < x < s2(t)}. Пусть T = min[T1, T2], h(t) = min{s1(t), s2(t)} и
Ω = {(t, x) : 0 < t ≤ T, 0 < x < h(t)}.
Рассмотрим в области Ω̄ функцию
W (t, x) = u1(t, x)− u2(t, x).
Тогда для W (t, x) получим следующую задачу:
Wxx(t, x) = Wt(t, x), (t, x) ∈ Ω, (11)
W (0, x) = 0, 0 ≤ x ≤ s0, (12)
W (t, 0) = 0, 0 ≤ t ≤ T, (13)
αW (t, x0) = u1(t, s1(t))− u2(t, s2(t)), 0 ≤ t ≤ T, (14)
Wx(t, s(t)) = u1x(t, h(t))− u2x(t, h(t)), 0 ≤ t ≤ T. (15)
Пусть P — точка максимума функции W (t, x) в Ω̄ и W (P ) > 0. Учитывая (12), (13), можно
утверждать, что точка P должна лежать на кривой x = h(t), т. е. P = (t0, h(t0)), t0 ∈ [0, T ].
Сначала пусть, для определенности, s1(t0) < s2(t0), тогда h(t0) = s1(t0).
В силу неравенства ux(t, x) < 0 и условия (14) имеем
0 < W (t0, s1(t0)) = u1(t0, s1(t0))− u2(t0, s1(t0)) < u1(t0, s1(t0))−
−u2(t0, s2(t0)) = αW (t0, x0) < W (t0, x0).
Получили противоречие. Значит, в этом случае нет положительного максимума. Теперь дока-
жем, что в этом случае нет и отрицательного минимума. Пусть W (t, x) в точке P (t0, s1(t0))
достигает своего отрицательного минимума. Тогда по известному свойству решений уравнения
параболического типа Wx(P ) < 0 [2].
Учитывая, что ux(t, x) < 0 в D, и условие (5), имеем
0 > Wx(t0, s1(t0)) = u1x(t0, s1(t0))− u2x(t0, s1(t0)) = −u2x(t0, s1(t0)) > 0.
Получили противоречие.
Пусть теперь s1(t0) > s2(t0), тогда (h(t0) = s2(t0)). Пусть функция W (t, x) в точке P =
= (t0, s2(t0)) достигает своего положительного максимума. Тогда должно быть Wx(P ) > 0 [2].
Из условия (15) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
74 Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ
0 < Wx(t0, s2(t0)) = u1x(t0, s2(t0))− u2x(t0, s2(t0)) = u1x(t0, s2(t0)) < 0,
т. е. в этом случае нет максимума.
Теперь докажем отсутствие отрицательного минимума.
Как и в первом случае, имеем
0 > W (t0, s2(t0)) = u1(t0, s2(t0))− u2(t0, s2(t0)) > u1(t0, s1(t0))− u2(t0, s2(t0)) = αW (t0, x0).
Опять пришли к противоречию. Отсутствие экстремума в случае s1(t0) = s2(t0) следует из
равенства
Wx(t0, s1(t0)) = u1x(t0, s1(t0))− u2x(t0, s1(t0)) = u1x(t0, s1(t0))− u2x(t0, s2(t0)) = 0,
т. е. W (t, x) ≡ 0 в Ω̄.
Теперь докажем, что s1(t) = s2(t), 0 ≤ t ≤ T.Пусть в некоторой точке t = t0 s1(t0) < s2(t0).
Имеем
αu1(t0, x0) = u1(t0, s1(t0)) = u2(t0, s1(t0)) > u2(t0, s2(t0)) = αu2(t0, x0) = αu1(t0, x0).
Пришли к противоречию.
Теорема 1 доказана.
4. Поведение свободной границы.
Теорема 2. Пусть выполнены неравенства ϕ′′′(x) ≤ 0, ϕIV (x) ≥ 0, ψ′′(t) ≥ 0, ϕ′′(s0)−
−αψ′(T ) ≥ 0. Тогда существует такая постоянная N, зависящая от заданных функций, что
имеют место неравенства
0 < ṡ(t) ≤ N, 0 ≤ t ≤ T.
Доказательство. Сначала докажем, что vt(t, x) > 0 в D. Для этого в задаче (6) – (9)
выполним замену vt(t, x) = V (t, x) и получим
Vxx(t, x) = Vt(t, x), (t, x) ∈ D, (16)
V (0, x) = ϕIV (x) ≥ 0, 0 ≤ x ≤ s0, (17)
V (t, 0) = ψ′′(t) ≥ 0, 0 ≤ t ≤ T, (18)
αV (t, x0) = V (t, s(t))− v(t, s(t)) · ṡ2(t), 0 ≤ t ≤ T. (19)
Если докажем, что на правой границе функция V (t, x) неотрицательна, то по принципу
экстремума получим необходимое неравенство.
Действительно, пусть функция V (t, x) на правой границе принимает отрицательные значе-
ния и P = (t0, (s(t0)) — точка отрицательного минимума. С учетом неравенств v(t, s(t)) > 0,
0 < α < 1 из (19) получаем, что отрицательный минимум достигается во внутренней точке
(t0, x0). А это невозможно. Тогда по принципу экстремума
V (t, x) = vt(t, x) = utt(t, x) > 0 в D. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ 75
Далее, в задаче (6) – (10) введем новую функцию
W (t, x) = v(t, x)− αv(t, x0) +K, K < 0.
Тогда для W (t, x) получим следующую задачу:
Wxx −Wt = αV (t, x0) ≥ 0, (21)
W (0, x) = ϕ′′(x)− αϕ′′(x0) +K ≤ 0, (22)
W (t, 0) = ψ′(t)− αv(t, x0) +K ≤ 0, (23)
W (t, s(t)) = K < 0, (24)
v(t, s(t))ṡ(t) = −Wx(t, s(t)). (25)
Неравенство в условиях обеспечивается за счет выбора K. С учетом условий на задан-
ные функции и в силу ограниченности функции v(t, x) в D̄ по принципу экстремума имеем
W (t, x) ≥ K в D̄, т. е.W (t, s(t)) = K — минимум дляW (t, x) вD. Тогда по известному свойст-
ву решения параболического уравнения Wx(t, s(t)) < 0 [2]. Следовательно, из (25) получаем
ṡ(t) > 0, 0 ≤ t ≤ T .
Теперь ṡ(t) оценим сверху.
Введя новую функцию
U(t, x) = v(t, x)− αv(t, x0) +N0(x− s(t)), (26)
в задаче (6) – (10) для U(t, x) получим следующую задачу:
Uxx(t, x)− Ut(t, x) = αvt(t, x0) +N0ṡ(t) > 0, (t, x) ∈ D, (27)
U(0, x) = ϕ′′(x)− αϕ′′(x0) +N0(x− s0) ≤ 0, 0 ≤ x ≤ s0, (28)
U(t, 0) = ψ′(t)− αv(t, x0)−N0s(t) ≤ 0, 0 ≤ t ≤ T, (29)
U(t, s(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ T. (30)
Неравенство в условиях обеспечивается за счет выбора N0. Из задачи (27) – (30) согласно
принципу экстремума следует, что U(t, x) < 0 в D̄, а из условий (30) имеем U(t, s(t)) = 0.
Значит, функция U(t, x) не неизвестной границе достигает максимума. Тогда по известному
свойству решения параболического уравнения Ux(t, s(t)) > 0. Из (26) получаем
Ux(t, s(t)) = vx(t, s(t)) +N0 > 0.
Таким образом, из условий (10) имеем
ṡ(t) <
N0
ϕ′′(s0)
≤ N.
Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
76 Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ
0 < ṡ(t) ≤ N, t ∈ (0, T ]. (31)
Теорема 2 доказана.
5. Существование решения. Сначала доказывается эквивалентность задач (6) – (10) и (1) –
(5), а затем устанавливается существование решения задачи (6) – (10).
Теорема 3. Пусть пара функций (s(t), v(t, x)) является решением задачи (6) – (10). Тогда
пара (s(t), u(t, x)), где
u(t, x) = ψ(t) +
x∫
0
dξ
ξ∫
s(t)
v(t, η)dη, (32)
является решением задачи (1) – (5).
Доказательство. Из (32) следует, что
ux(t, x) =
x∫
s(t)
v(t, η)dη, uxx(t, x) = v(t, x). (33)
Учитывая условия задачи (6) – (10), получаем
ut(t, x) = ψ′(t)−
x∫
0
v(t, s(t))ṡ(t)dξ +
x∫
0
dξ
ξ∫
s(t)
vt(t, η)dη =
= ψ′(t)−
x∫
0
v(t, s(t))ṡ(t)dξ +
x∫
0
[vξ(t, ξ)− vξ(t, s(t))]dξ =
= ψ′(t)−
x∫
0
v(t, s(t))ṡ(t)dξ +
x∫
0
vξ(t, ξ)dξ +
x∫
0
v(t, s(t))ṡ(t)dξ =
= ψ′(t) +
x∫
0
vξ(t, ξ) = ψ′(t) + v(t, x)− v(t, 0) = v(t, x). (34)
Значит согласно (32) и (34) функция u(t, x) удовлетворяет уравнению (1) в D̄. Из первой
формулы (33) находим ux(t, s(t)) = 0, т. е. условие (5) выполняется. Проверим выполнение
начального условия:
u(0, x) = ψ(0) +
x∫
0
dξ
ξ∫
s0
v(0, η)dη = ψ(0) +
x∫
0
dξ
ξ∫
s0
ϕ′′(η)dη =
= ψ(0) +
x∫
0
[
ϕ′(ξ)− ϕ′(s0)
]
dξ = ψ(0) + ϕ(x)− ϕ(0) = ϕ(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ 77
Выполнение условия (3) получается непосредственно из (32), а выполнение условия (4) — из
тождества
u(t, s(t)) = u(0, s(0)) +
t∫
0
d
dτ
u(τ, s(τ))dτ =
= αϕ(x0) +
t∫
0
[uτ (τ, s(τ)) + ux(τ, s(τ))ṡ(τ)]dτ = αϕ(x0) +
t∫
0
v(η, s(η))dτ =
= αϕ(x0) + α
t∫
0
v(t, x0)dτ = αϕ(x0) + α
t∫
0
uτ (τ, x0)dτ =
= αϕ(x0) + αu(t, x0)− αu(0, x0) = αu(t, x0). (35)
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теорем 2 и 3. Тогда решение (1) – (5) задачи суще-
ствует.
Доказательство. Задача (1) – (5) эквивалентным образом сведена к задаче (6) – (10) ти-
па Стефана. Теперь установим априорные оценки, которые используются при доказательстве
глобальной разрешимости задачи.
В лемме 1 установлена оценка ux(t, x) ≤ 0. Оценим эту функцию снизу. Для этого исполь-
зуем оценку, установленную для uxx(t, x). Интегрируя по x в пределах от x до s(t) выражение
0 ≤ uxx(t, x) ≤M2, находим
0 ≤ ux(t, s(t))− ux(t, x) ≤
s(t)∫
x
M2dξ.
Отсюда с учетом (5) и (31), (16) имеем
0 ≥ ux(t, x) ≥ −(s(t)− x)M2 или ux(t, x) ≥ −M2NT. (36)
Оценка для uxxx(t, x) устанавливается следующим образом. Используя теорему 2 [8], оценива-
ем ux(t, x) в левой половине области D вплоть до x = 0, т. е. справедлива оценка
|vx(t, x)| ≤ C(M2, ||ψ′′||) = M3, 0 ≤ x ≤ x0. (37)
Далее, обозначая vx(t, x) = Z(t, x), из задачи (6) – (8), (10) имеем
Zxx(t, x) = Zt(t, x), (t, x) ∈ D, (38)
Z(0, x) = ϕ′′′(x), 0 ≤ x ≤ s0, (39)
|Z(t, 0)| ≤M3, 0 ≤ t ≤ T, (40)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
78 Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ
Z(t, s(t)) = −v(t, s(t)) · ṡ(t) 0 ≤ t ≤ T. (41)
Отсюда в силу установленных оценок имеем
|Z(t, x)| ≤ C(||ϕ′′′||,M3, N) = M4 в D̄. (42)
После того как оценена ṡ(t), из задачи (16) – (19) можем оценить
uxxxx(t, x) = V (t, x) > 0
сверху. По принципу экстремума внутри области D нет экстремума. Если оценим V (t, x) на
правой границе, то получим желаемый результат.
Пусть в некоторой точке P = (t0, s(t0)) функция V (t, x) достигает положительного макси-
мума V (P ) = M̃ . Из (19) имеем
V (t0, s(t0)) ≤ v(t0, s(t0))ṡ
2(t0) + αV (t0, x0).
Отсюда
M̃ ≤M2 N
2 + αM̃, N > 1,
или
M̃(1− α) ≤M2 N
2,
M̃ ≤ M2N
2
1− α
.
Тогда можно утверждать, что
|uxxxx(t, x)| ≤ max
{
max
x
ϕ(IV )(x), max
t
ψ(t), M̃
}
в D̄. (43)
Теперь сведем задачу к системе интегральных уравнений. Интегрируя тождество Грина
(Gvξ − vGξ)ξ − (Gv)η = 0
по области 0 < ξ < s(η), 0 < ε < η < t− ε, и устремляя ε к нулю, с учетом условий (7), (9) и
(10) получаем
v(t, x) =
s0∫
0
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)dξ −
t∫
0
Gξ(t, x; η, s(η))τ(η)dη +
t∫
0
Gξ(t, x; η, 0)ψ′(η)dη, (44)
где
G(x, t; η, ξ) = Γ(x, t; η, ξ)− Γ(x, t; η,−ξ)
— функция Грина первой краевой задачи для полуплоскости x > 0 и
Γ(t, x; η, ξ) =
1
2
√
π(t− η)
exp
[
−(x− ξ)2
4(t− η)
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ 79
τ(t) = v(t, s(t)).
Переходя в (44) к пределу при x → x0 и учитывая (9), получаем интегральное уравнение
относительно τ(t) :
τ(t) = α
s0∫
0
G(t, x0; η, ξ)ϕ
′′(ξ)dξ −
t∫
0
Gξ(t, x0; η, s(η))τ(η)dη +
t∫
0
Gξ(t, x0; η, 0)ψ′(η)dη
.
(45)
Дифференцируя (44) по x и переходя после несложных преобразований к пределу при x →
→ s(t)− 0, имеем
ν(t) =
2
3
s0∫
0
N(t, s(t); 0, ξ)ϕ′′′(ξ)dξ +
2
3
t∫
0
N(t, s(t); η, s(η))τ ′(η))dη −
−2
3
t∫
0
N(t, s(t); η, 0)ψ′′(η)dη − 2
3
t∫
0
ν(η)N(t, s(t); η, s(η))dη, (46)
где
ν(t) = vx(t, s(t)),
N(t, x; η, ξ) = Γ(t, x; η, ξ) + Γ(t, x; η,−ξ)
— функция Грина второй краевой задачи для полуплоскости x > 0. Теперь (45) дифференцируем
по t и после некоторых преобразований получаем интегральное уравнение относительно τ ′(t):
τ ′(t) = α
{
ϕ′′(s0)Nξ(t, x0; 0, s0)− ϕ′′(0)Nξ(t, x0; 0, 0)−
−ϕ′′′(s0)N(t, x0; 0, s0) + ϕ′′′(0)N(t, x0; 0, 0) +
s0∫
0
N(t, x0; 0, ξ)ϕ(IV )(ξ)dξ−
−
t∫
0
ϕ′′(s0)Gξt(t, x0; η, s(η))dη −
t∫
0
τ ′(y)dy
t∫
y
Gξt(t, x0; η, s(η))dη+
+
t∫
0
Gξt(t, x0; η, 0)ψ′(η)dη
}
. (47)
Интегрируя (10) по t от 0 до t, находим
s(t) = s0 −
t∫
0
ν(η)dη∫ η
0 τ(y)dy + ϕ′′(s0)
. (48)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
80 Ж. О. ТАХИРОВ, Р. Н. ТУРАЕВ
Получили систему нелинейных интегральных уравнений (46) – (48). Разрешимость этой систе-
мы с учетом полученных априорных оценок устанавливается с помощью принципа сжатых
отображений.
1. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. – Рига: Звайзгне, 1967. – 468 с.
2. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
3. Мейрманов А. М. Задача Стефана. – Новосибирск: Наука, 1986. – 239 с.
4. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. – 1985. – 40, вып. 5(245). – С. 133 – 185.
5. Базалий Б. В., Дегтярев С. П. О классической разрешимости многомерной задачи при конвективном движении
вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сб. – 1987. – 132(174), № 1. – С. 3 – 19.
6. Флорин В. А. Уплотнение земляной среды и фильтрация при переменной пористой с учетом влияния связанной
воды // Изв. АН СССР. ОТН. – 1951. – 11, № 11. – С. 1625 – 1649.
7. Баренблатт Г. И, Ишлинский А. Ю. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду // Прикл.
математика и механика. – 1962. – 26, вып 3. – С. 497 – 502.
8. Кружков С. Н. О некоторых задачах с неизвестной границей для уравнения теплопроводности // Прикл.
математика и механика. – 1967. – 31, вып 6. – С. 1009 – 1020.
9. Cohen N., Rubinov S. J. Some mathematical topics in Biology // Proc. Symp. System Theory. – New York: Polytech.
Press, 1965. – P. 321 – 337.
10. Fasano A., Primicerio M. New results on some classical parabolic free-boundary problems // Quart. appl. math. –
1981. – 38, № 4. – P. 439 – 460.
11. Наxушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частныx производныx. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
12. Cannon J. R., Hong-Ming Yin. Non-classical parabolic equations // J. Different. Equat. – 1989. – 79. – P. 266 – 288.
13. Iванчов М. I., Снiтко Г. А. Визначення залежних вiд часу коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з
вiльною межею // Нелинейные граничные задачи. – 2011. – 20. – С. 28 – 44.
14. Баранська I. Є., Iванчов М. I. Обернена задача для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi в областi з
вiльними межами // Укр. мат. вiсн. – 2007. – 4, № 4. – С. 457 – 484.
15. De Lillo S., Salvatori M. A two-phase free boundary problem for the nonlinear heat equation // J. Nonlinear Math.
Phys. – 2004. – 1, № 1. – P. 134 – 140.
16. Джураев Т. Д., Тахиров Ж. О. Нелокальная задача Флорина для квазилинейного параболического уравнения
// Докл. АН Республики Узбекистан. – 1998. – 1. – С. 3 – 7.
17. Тахиров Ж. О. Задача с внутреннеграничными нелокальными условиями для квазилинейного параболического
уравнения // Узб. мат. журн. – 1998. – 6. – С. 61 – 64.
Получено 07.06.11,
после доработки — 19.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|