Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении

Досліджено виникнення, розвиток i зникнення детермінованого хаосу в динамiчнiй систємі „сферичний маятник-електродвигун обмеженої потужності". Детально описано виявлені в системі хаотичні атрактори....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Швец, А.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164118
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении / А.Ю. Швец // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 534–548. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164118
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641182020-02-10T01:26:27Z Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении Швец, А.Ю. Статті Досліджено виникнення, розвиток i зникнення детермінованого хаосу в динамiчнiй систємі „сферичний маятник-електродвигун обмеженої потужності". Детально описано виявлені в системі хаотичні атрактори. The origin, development and vanishing of the deterministic chaos in a dymanical system "spherical pendulum — electric motor of a limited power" are investigated. Chaotic attractors discovered in the system are described in detail. 2007 Article Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении / А.Ю. Швец // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 534–548. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164118 517.9:534.1 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Швец, А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении Український математичний журнал
description	Досліджено виникнення, розвиток i зникнення детермінованого хаосу в динамiчнiй систємі „сферичний маятник-електродвигун обмеженої потужності". Детально описано виявлені в системі хаотичні атрактори.
format	Article
author	Швец, А.Ю.
author_facet	Швец, А.Ю.
author_sort	Швец, А.Ю.
title	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
title_short	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
title_full	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
title_fullStr	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
title_full_unstemmed	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
title_sort	детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164118
citation_txt	Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении / А.Ю. Швец // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 534–548. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT švecaû determinirovannyjhaossferičeskogomaâtnikapriograničennomvozbuždenii
first_indexed	2025-07-14T16:39:18Z
last_indexed	2025-07-14T16:39:18Z
_version_	1837641140871888896
fulltext	УДК 517.9:534.1 А. Ю. Швец (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев) ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ВОЗБУЖДЕНИИ The origin, development and vanishing of the deterministic chaos in a dymanical system "spherical pendulum — electric motor of a limited power" are investigated. Chaotic attractors discovered in the system are described in detail. Дослiджено виникнення, розвиток i зникнення детермiнованого хаосу в динамiчнiй системi „сфе- ричний маятник-електродвигун обмеженої потужностi”. Детально описано виявленi в системi хаотичнi атрактори. 1. Введение. Маятниковые системы на протяжении столетий постоянно привлека- ют к себе внимание исследователей в различных областях математики, механики и физики. Эти системы являются классическим примером колебательных динамиче- ских систем. В маятниковых системах были обнаружены такие фундаментальные эффекты, как параметрический резонанс, высокочастотная стабилизация неустой- чивых положений равновесия [1 – 5] и др. Маятниковые системы чрезвычайно просты по своей физической природе и да- ют возможность проводить простую экспериментальную проверку различных тео- ретически обнаруженных колебательных эффектов. Однако в большей степени ин- терес к исследованию различных аспектов динамического поведения маятниковых систем объясняется тем, что многие эффекты и явления, впервые обнаруженные в маятниковых системах, впоследствии были установлены и для систем значительно более сложной физической природы, таких как кольца, оболочки, пластины, раз- личные среды в цилиндрических и сферических полостях. Более того, различные маятниковые системы стали с успехом применяться для приближенного математи- ческого моделирования динамики указанных выше сложных колебательных систем [6 – 11]. При этом упрощаются, иногда достаточно существенно, получаемые диф- ференциальные уравнения движения, но остается достаточно точным описание динамики этих сложных колебательных систем. Например, применение процеду- ры Бубнова – Галеркина при описании колебаний свободной поверхности жидкости в топливных баках дает возможность исследование системы уравнений в частных производных заменить исследованием более простой системы обыкновенных диф- ференциальных уравнений. Знание же особенностей динамики маятниковых мо- делей позволяет предугадать динамику распределенных систем. Кроме того, такой подход позволяет дорогостоящие натурные испытания заменить простыми лабора- торными экспериментами. В последнее время значительно расширилась область применения маятниковых моделей для математического описания колебательных процессов. Такие модели стали широко применяться при исследовании динамического поведения систем самой разнообразной природы в биологии, медицине, экономике и социологии [12]. Подавляющее большинство исследований динамики маятниковых систем про- водится без учета ограниченности мощности источника возбуждения колебаний. c© А. Ю. ШВЕЦ, 2007 534 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 535 При такой идеализации источника возбуждения предполагается, что он имеет не- ограниченную мощность. Поэтому при математическом моделировании таких систем обратное влияние колебательной системы на функционирование источни- ка возбуждения колебаний исключают из рассмотрения, считая, что это влияние пренебрежимо мало. Такой подход и широкое использование различных методов редукции дают возможность понизить порядок динамических систем, применя- емых для исследования колебаний маятников. Однако во многих случаях такая идеализация приводит к значительным ошибкам в качественном и количественном описании динамических режимов маятниковых систем. Так, устойчивые по Ля- пунову при теоретических расчетах режимы могут оказаться неустойчивыми при проведении натурных экспериментов. Вместо ожидаемых периодических режимов обнаруживаются положения равновесия, и наоборот [9, 13 – 15]. Мировоззренческий переворот, вызванный открытием детерминированного хаоса в динамических системах, существенно расширил наше представление о возможных установившихся колебательных режимах в маятниковых системах. Становится очевидной, во многих случаях, порочность идеализации источников возбуждения колебаний и, особенно, применение различных методов редукции. Качественно различные методы редукции предполагают замену исследований ди- намики произвольной исходной системы на исследование динамики ряда подсис- тем, на которые каким-либо способом расщепляется исходная система. При этом уменьшается размерность фазовых пространств получаемых подсистем. Платой за такое упрощение исходной системы может служить потеря информации о воз- можных хаотических аттракторах исходной системы. Это происходит во всех случаях, когда фазовая размерность редуцированных подсистем меньше или равна двум. Фактически своеобразным редуцированием исходной маятниковой системы яв- ляется пренебрежение взаимодействием между этой системой и каким-либо источ- ником возбуждения колебаний. Неважно на каком основании, то ли неограничен- ностью мощности источника возбуждения, то ли малостью коэффициентов взаи- мосвязи между маятником и источником возбуждения. Выплескивание такой „во- ды” (взаимосвязи между маятником и источником) приводит к выплескиванию „ребенка” (полной потере информации о хаотических режимах взаимодействия). Поэтому ясно, что открытие детерминированного хаоса заставляет отказаться от применения методов редукции при полноценном исследовании типов динамиче- ских режимов различных колебательных систем. 2. Сферический маятник. Сферический маятник является самым простым примером осциллятора с двумя степенями свободы, имеющего равные частоты. Многие явления, характерные для сферического маятника, проявляются в дина- мике систем с распределенными параметрами, имеющими периодическую коор- динату: колец, цилиндрических и сферических оболочек, круглых пластин, сред в цилиндрических и сферических полостях. Поэтому знание свойств колебательных процессов сферического маятника дает понимание колебательных эффектов в ряде упомянутых выше систем. Рассмотрим систему, схема которой представлена на рис. 1. Кривошипно- ползунный механизм соединяет ротор электродвигателя с точкой подвеса физи- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 536 А. Ю. ШВЕЦ Рис. 1. Схема рассматриваемой системы (а) и зависимость старшего ляпуновского характеристического показателя от угла наклона статической характеристики (б). ческого маятника, который может совершать пространственные колебания. Как известно, такой маятник называется сферическим. Введем декартову систему координат Oxyz, как показано на рис. 1. Обозна- чим через a, b длину кривошипа и ползуна соответственно. Предположим, что b � a. Когда кривошип a поворачивается на угол Θ, ползун с подвесом полу- чает перемещение вдоль вертикальной оси неподвижной системы координат вида v(t) = −a cos Θ. В неподвижной декартовой системе координат Oxyz кинетиче- ская энергия системы „маятник-электродвигатель” записывается в виде [10, 14,16] T = 1 2 IΘ̇2 + 1 2 m [ ẋ2 + ẏ2 + (v̇ + ż)2 ] , (1) а потенциальная — V = mg(l − z − v), (2) где x, y, z — декартовы координаты центра масс маятника, I — момент инерции ротора электродвигателя, m — масса маятника, l — приведенная длина маятника. Массой ползуна и подвеса мы пренебрегаем. Следуя работе [16], введем новые переменные α и β по формулам x = l sinα, y = l sinβ. Поскольку во введенной системе координат Oxyz для маятника всегда выполняется соотношение x2 + y2 + z2 = l2, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 537 то z = l √ 1− sin2 α− sin2 β. Для малых α и β лагранжиан исследуемой системы T − V представим в виде [10, 16, 17] T − V = 1 2 IΘ̇2+ + 1 2 ml2 [ α̇2 + β̇2 + 2αβα̇β̇ − 2(αα̇ + ββ̇)Θ̇ a l sinΘ + Θ̇2 a3 l2 sin2 Θ ] − −gml ( α2 2 − α4 24 + β2 2 − β4 24 + α2β2 4 + a l cos Θ ) . (3) Поэтому для основных переменных Θ(t), α(t) и β(t) уравнения Лагранжа (урав- нения движения) запишутся в следующей форме: IΘ̈ = L(Θ̇)−H(Θ̇)−mla [ Θ̈ a l sin2 Θ + Θ̇2 a l sinΘ cos Θ + g l sinΘ− −(α̇2 + β̇2) sinΘ− (αα̈ + ββ̈) sinΘ ] , α̈ + ω2 0 ( α− α3 6 + αβ2 2 ) + δ1α̇ + α(β̇2 + ββ̈)− −a l α ( Θ̇2 cos Θ + Θ̈ sinΘ ) = 0, β̈ + ω2 0 ( β − β3 6 + α2β 2 ) + δ1β̇ + β(α̇2 + αα̈)− −a l β ( Θ̇2 cos Θ + Θ̈ sinΘ ) = 0. (4) Здесь L(Θ̇) — движущий момент электродвигателя, H(Θ̇) — внутренний момент сил сопротивления вращению ротора электродвигателя, ω0 = √ g l — собственная частота маятника, δ1 — коэффициент демпфирования силы сопротивления среды, в которой движется маятник. Полученная система дифференциальных уравнений описывает сложный про- цесс взаимодействия вращения вала двигателя (формирование возбуждающей си- лы) и пространственных колебаний маятника. Она является существенно нели- нейной и не допускает точного аналитического решения. Для упрощения системы уравнений (4) введем малый параметр ε = a l , положив a ≤ l. Кроме того, пред- положим, что реализуются условия основного параметрического резонанса, когда скорость вращения вала двигателя Θ̇ близка к удвоенной собственной частоте ма- ятника 2ω0, а именно, Θ̇(t) = 2ω0 + εω0ν(t). (5) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 538 А. Ю. ШВЕЦ Для исследования резонансных колебаний маятника выполним в уравнениях (4) замену переменных по формулам [17] α(t) = ε 1 2 [ y1(τ) cos Θ(t) 2 + y2(τ) sin Θ(t) 2 ] , β(t) = ε 1 2 [ y4(τ) cos Θ(t) 2 + y5(τ) sin Θ(t) 2 ] . (6) Посредством данной замены мы переходим в уравнениях (4) к новым переменным y1(τ), y2(τ), y4(τ), y5(τ) и медленному времени τ , τ = ε 4 Θ(t). (7) Подставим выражения (6) в уравнения (4) и проведем процедуру усреднения, используя методику работ [18, 19], по быстрому явно входящему времени Θ(t). При этом учтем, что dα(t) dt = ε 1 2 2 dΘ(t) dt [ − y1(τ) sin Θ(t) 2 + y2(τ) cos Θ(t) 2 ] , dβ(t) dt = ε 1 2 2 dΘ(t) dt [ − y4(τ) sin Θ(t) 2 + y5(τ) cos Θ(t) 2 ] . (8) После проведения процедуры усреднения по быстрому времени получим следую- щую систему уравнений: dy1 dτ = Cy1 − [ y3 + 1 8 (y2 1 + y2 2 + y2 4 + y2 5) ] y2 − 3 4 (y1y5 − y2y4)y4 + 2y2, dy2 dτ = Cy2 + [ y3 + 1 8 (y2 1 + y2 2 + y2 4 + y2 5) ] y1 − 3 4 (y1y5 − y2y4)y5 + 2y1, dy3 dτ = D(y1y2 + y4y5) + Ey3 + F, dy4 dτ = Cy4 − [ y3 + 1 8 (y2 1 + y2 2 + y2 4 + y2 5) ] y5 + 3 4 (y1y5 − y2y4)y1 + 2y5, dy5 dτ = Cy5 + [ y3 + 1 8 (y2 1 + y2 2 + y2 4 + y2 5) ] y4 + 3 4 (y1y5 − y2y4)y2 + 2y4. (9) При выводе системы уравнений (9) использовалась линейная аппроксимация [14] статической характеристики двигателя, когда L(Θ̇)−H(Θ̇) I + 1 2 ma2 = ε ω0 2 (N0 −N1Θ̇) + ε2 . . . . (10) Поэтому F = ( N0 ω0 − 2N1 ) l a , D = − 2ml2 I + 1 2 ma2 , C = − δ1 ω0 . Кроме того, в системе (9) введено обозначение y3 = ν. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 539 Полученная система дифференциальных уравнений пятого порядка (9) исполь- зуется в качестве математической модели детерминированной колебательной ди- намической системы „сферический маятник-электродвигатель”. Отметим, что при идеализации источника возбуждения система уравнений (9) расщепляется на две подсистемы. Одна подсистема состоит из первого, второго, четвертого и пятого уравнений системы (9), вторая — из третьего уравнения системы (9). При этом, так как влиянием колебаний маятника на вращение вала двигателя пренебрегают, в этом уравнении полагают D = 0. Тогда третье уравнение (9) становится линейным, и для него элементарно может быть найдено общее решение (функция y3), которое затем подставляется в первую подсистему. В дальнейшем можно проводить иссле- дование решений первой, „маятниковой” подсистемы. Как установлено в работе [11], при применении идеализации источника возбуждения не удается обнаружить хаотических установившихся колебаний маятника при вертикальном возбуждении точки его подвеса. Дальнейшей целью исследования является изучение возможных типов аттрак- торов системы уравнений (9). Поскольку данная система является достаточно сложной нелинейной системой уравнений, для построения ее аттракторов при- меняется комплекс численных методов и алгоритмов. Основным расчетным ме- тодом нахождения решений системы (9) являлся метод Рунге – Кутта четверто- го или пятого порядка с применением корректирующей процедуры Дормана – Принса [20], которая обеспечивает точность проводимых вычислений порядка O(10−12) ÷ O(10−15). При построении фазовых портретов установившихся ре- жимов особое внимание уделялось недопущению их искажения траекториями пе- реходных процессов. Для построения спектра ляпуновских характеристических показателей аттракторов применялся алгоритм Бенеттина и др. [21], для построе- ния сечений и отображений Пуанкаре аттракторов системы — метод Ено [12, 22] и для получения распределений спектральных плотностей — метод Файлона. При проведении численных расчетов полагалось, что параметры системы (9) имеют следующие значения: C = −0,5, D = −1, F = 0,5. (11) Начальные условия варьировались в окрестности начала координат фазового про- странства системы уравнений (9). В качестве бифуркационного рассматривался параметр E — угол наклона ста- тической характеристики электродвигателя, зависящий от типа применяемого дви- гателя. Покажем, что при так выбранных значениях в пространстве параметров системы существуют большие области, в которых система (9) имеет хаотические аттракторы. Исследование идентификации типов аттракторов системы (9) начнем с расчета старшего ляпуновского характеристического показателя. Напомним, что положи- тельность такого показателя является основным практическим критерием хаоти- ческого поведения системы [12, 22]. На рис. 1, б приведена зависимость стар- шего ляпуновского характеристического показателя λ от угла наклона статической характеристики E. Как видно из приведенного рисунка, практически для всех E ∈ (−1,27;−0,1) у системы существуют хаотические аттракторы. На графи- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 540 А. Ю. ШВЕЦ ке также видны провалы значения старшего ляпуновского показателя, которые соответствуют узким окнам периодичности. Этих окон больше в левой части гра- фика. При значениях E ≥ −1,75 в системе (9) существует устойчивый предельный цикл достаточно простой структуры. При E = −1,42 такой цикл теряет устойчи- вость и в его окрестности возникает устойчивый предельный цикл удвоенного пе- риода. Происходит первая бифуркация удвоения периода цикла. При дальнейшем возрастании значений E в системе продолжается каскад бифуркаций удвоения. Проекции фазового портрета цикла и нескольких бифуркаций удвоения его перио- да показаны на рис. 2. Приведенная на рисунках проекция включает переменные y1, y2, пропорциональные маятниковой угловой переменной α, и переменную y3, характеризующую вращение вала электродвигателя. На рисунках хорошо заметно удвоение числа тактов предельных циклов с каждой последующей бифуркацией. Этот бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода цикла завершается рожде- нием хаотического аттрактора в критической точке E ≈ −1,275. Таким образом, переход к хаосу совершается в соответствии со сценарием Фейгенбаума [23]. y1 –2 0 1 –1 2 y 2 –5 0 5 y3 –15 –10 –5 0 y1 –2 0 2 y 2 –5 0 5 y3 –25 –20 –15 –10 –5 0 y1 –2 0 2 y 2 –505 y3 –25 –20 –15 –10 –5 0 y1 –2 0 2 y 2 –505 y3 –25 –20 –15 –10 –5 0 y1 –2 0 2 y 2 –505 y3 –25 –20 –15 –10 –5 0 Рис. 2. Проекции фазового портрета предельного цикла при E = −1,43 (a), первых трех бифуркаций удвоения периода (б – г) и хаотического аттрактора при E = −1,25 (д). Возникший хаотический аттрактор (рис. 2, д) имеет спиральную структуру и несколько напоминает хаотические аттракторы, обнаруженные у плоского маятни- ка [13, 15]. Следует отметить, что такие хаотические аттракторы имеют некоторую, иногда довольно значительную, похожесть фазового портрета на фазовые портре- ты циклов с большим числом тактов, при бифуркациях которых рождаются эти хаотические аттракторы. Однако здесь имеется одно принципиальное отличие. Предельные циклы, несмотря на их как угодно большое число тактов, отличаются ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 541 регулярным возвращением траектории в любую точку цикла через время, строго равное периоду цикла. В случае же хаотического аттрактора картина совершенно иная. Траектория обязательно бесконечное число раз возвращается в любую, как угодно малую, окрестность аттрактора, но время таких возвратов непредсказуемо. Моменты времени этих возвратов образуют некоторую хаотическую последова- тельность. –8,5 –8 –7,5y1–4 –2 0 2 y2 –9 –8,5 –8 –7,5 y2, n + 1 y2, n –9 –8,5 –8 –7,5 Рис. 3. Проекции сечения (а) и отображения Пуанкаре (б) хаотического аттрактора при E = −1,25. На рис. 3, а, б приведены проекции сечения Пуанкаре, плоскостью y3 = −15 и отображение Пуанкаре по переменной y2. Как видно из приведенных рисунков, сечение Пуанкаре имеет квазиленточную структуру. Число точек этого сечения по- стоянно увеличивается с ростом времени численного интегрирования. Его точки образуют некоторое хаотическое множество точек. Соответственно отображение Пуанкаре по форме напоминает одномерную кривую с локальным максимумом. Это может служить доказательством того, что система (9) находится в хаотиче- ском режиме [12, 22]. Данное одномерное отображение может использоваться для приближенного изучения динамики системы. Естественно, что исследование одномерных отображений намного проще исследования систем дифференциаль- ных уравнений с размерностью фазового пространства, равной пяти. Кроме того, такой вид отображения Пуанкаре свидетельствует о том, что система (9) при- надлежит одному из классов универсальности динамических систем, введенных Фейгенбаумом [12, 22, 23]. Отметим еще одну особенность обнаруженных ат- тракторов системы, как регулярных, так и хаотических. Они имеют симметрию фазовых портретов по переменным y1, y2 и y4, y5 соответственно. Это объясняется симметрией уравнений (9) относительно данных переменных. Как установлено ранее, возникшие в системе (9) при E ≈ −1,275 хаотические установившиеся режимы продолжают существовать на очень значительном интер- вале изменения E. При возрастании значения E в системе наблюдаются струк- турные перестройки типа „хаос-хаос”, т. е. хаотический аттрактор одного типа в результате внутренних бифуркационных явлений сменяется хаотическим аттрак- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 542 А. Ю. ШВЕЦ тором другого типа. Проследим за изменением свойств хаотических аттракторов при возрастании E. При −1,27 ≤ E ≤ −1,18 наблюдается развитие хаотического аттрактора, заключающееся в увеличении объема области в фазовом пространстве, в кото- рой находятся траектории аттрактора, и более плотном заполнении этой области траекториями аттрактора. Происходит некоторый рост величины старшего ля- пуновского показателя, который при E = −1,18 достигает значения 0,134. При E = −1,17 накапливающиеся количественные изменения приводят к заметной перестройке структуры существовавшего хаотического аттрактора. Проекция фа- зового портрета такого аттрактора, его сечение и отображение Пуанкаре приведены на рис. 4, а – в. Из рисунков видно, что особенно заметно, по сравнению с приве- денными на рис. 3 а, б, изменились сечение и отображение Пуанкаре аттрактора, хотя сечение Пуанкаре, по-прежнему, имеет квазиленточную структуру. y 1 –4 –2 0 2 y2 –10 –50510 y3 2 –50 –40 –30 –20 –10 y1–6 –4 –2 0 2 4 y –10 –5 0 5 2, n+1y 2, ny –10 –5 0 5 –10 –5 0 5 Рис. 4. Проекция фазового портрета хаотического аттрактора при E = −1,17 (а), его сечение (б) и отображение Пуанкаре (в). При дальнейшем росте E наблюдается значительное увеличение фазового объе- ма области локализации траекторий аттрактора, особенно по направлению пере- менной y3, что хорошо согласуется с теорией В. О. Кононенко [14]. Заметно, до 0,34, возрастает старший ляпуновский характеристический показатель, что свидетельствует о значительном увеличении скорости разбегания близких фазо- вых траекторий аттрактора. На рис. 5 приведены, соответственно, проекции фа- зового портрета, сечения и отображения Пуанкаре хаотического аттрактора при E = −1,01. Очень своеобразный вид имеет двумерная проекция фазового порт- рета. Возникший „двуглазый” аттрактор напоминает известную „бабочку” аттрак- тора Лоренца, что свидетельствует о тесной связи различных типов хаотических аттракторов из разных разделов нелинейной динамики. Как и у всех ранее рассмот- ренных хаотических аттракторов, сечение Пуанкаре (рис. 5, в) имеет квазиленточ- ную структуру. Но очень заметно усложнилось отображение Пуанкаре (рис. 5, г), которое представляет суперпозицию нескольких линий типа парабол. При прохождении параметром E точки −1,0 в системе происходит жесткая би- фуркация типа „хаос-хаос”, в результате которой возникает хаотический аттрактор иного типа. На рис. 6 приведены различные характеристики нового хаотического аттрактора. Как видно из рисунка, происходит поворот проекции фазового порт- рета. Особенно наглядно это проявляется при сравнении двумерных проекций с ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 543 y 1 –20 –10 0 10 y 2 –40–2002040 y3 –800 –600 –400 –200 y1–20 –10 10 200 y1–10 –5 50 y–10 –5 50 y y 2 2 –60 –40 –20 0 20 40 –1 –5 0 5 y2, n+1 2, n –1 –5 0 5 Рис. 5. Проекции фазового портрета хаотического аттрактора (a, б), его сечение (в) и отображение Пуанкаре (г) при E = −1,01. рис. 5, б и 6, б. Изменяется и сечение Пуанкаре (рис. 6, в), точки которого на- чинают разбегаться на секущей плоскости, утрачивая квазиленточную структуру. Очень меняется вид отображения Пуанкаре (рис. 6, г), представляющего собой чрезвычайно сложную суперпозицию линий, среди которых явно просматриваются различные параболы. Становится невозможной какая-либо одномерная дискретная аппроксимация рассматриваемой задачи. Такой тип хаотического аттрактора существует, за исключением узкого окна пе- риодичности, на всем дальнейшем исследованном интервале изменения значений E. Однако структура аттрактора претерпевает некоторые изменения при увели- чении E. На рис. 7 приведены характеристики хаотического аттрактора, постро- енного при E = −0,61. Этот хаотический аттрактор имеет наибольший старший ляпуновский показатель, равный 0,457, что заметно превышает аналогичные по- казатели аттракторов, выявленных нами при E < −1. Как было отмечено, это свидетельствует о большей скорости разбегания, неустойчивых по Ляпунову, близ- ких в начальный момент времени траекторий аттрактора. При общей схожести фазовых портретов данного аттрактора и приведенного на рис. 6, а, б отметим исчезновение „глаз” на двумерной проекции фазового портрета. Изменяется, по сравнению с предыдущим случаем, и вид сечения Пуанкаре, точки которого начи- нают хаотически группироваться вдоль нескольких кривых, отдаленно напомина- ющих концентрические окружности. Еще более усложняется отображение Пуан- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 544 А. Ю. ШВЕЦ y1 –2 –1 0 10 y2 –10–5 0510 y3 y2 y2 y1 y2, n+1 y2, n –150 –100 –50 y1–20 –10 100 –15 –10 –5 0 5 10 –6 –4 –2 0 2 4 –6 –4 –2 0 2 4 –6 –4 –2 0 2 4 –6 –4 –2 0 2 4 Рис. 6. Проекции фазового портрета хаотического аттрактора (a, б), его сечение (в) и отображение Пуанкаре (г) при E = −0,89. каре, что, по-прежнему, делает невозможной какую-либо одномерную дискретную аппроксимацию рассматриваемой задачи. При дальнейшем увеличении значений E начинает заметно уменьшаться фа- зовый объем области, в которой располагается хаотический аттрактор. Наконец, при E = −0,1 происходит разрушение хаотического аттрактора и в системе (9) возникает устойчивое положение равновесия. На рис. 8 приведены сечение и отображение Пуанкаре, а также распределение естественной инвариантной ме- ры по проекции фазового портрета для хаотического аттрактора, построенного при E = −0,12, т. е. незадолго до его исчезновения. Точки сечения Пуанкаре отчетливо хаотически группируются вдоль кривых, по форме напоминающих кон- центрические окружности. Отображение Пуанкаре практически принимает вид некоторого точечного отображения. Очень интересный вид имеет распределение инвариантной меры по фазовому портрету аттрактора (рис. 8, в). Густое затем- нение в центре рисунка показывает, что основное время траектории аттрактора пребывают в окрестности точки (0, 0). Эта точка является проекцией неустойчи- вого положения равновесия системы (9). Хаос приобретает структуру, достаточно типичную для перемежаемости. Фазовые траектории данного аттрактора систе- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 545 –10 –5 0 5 –5 0 5 y3 y2 y1 –50 –40 –30 –20 –10 0 y1–15 –10 –5 0 5 10 y2 –10 –5 0 5 y1 y2 2, n+1 2, n–6 –4 –2 2 40 y–6 –4 –2 2 40 –6 –4 –2 0 2 4 y –6 –4 –2 0 2 4 Рис. 7. Проекции фазового портрета хаотического аттрактора (a, б), его сечение (в) и отображение Пуанкаре (г) при E = −0,61. Рис. 8. Сечение (a), отображение Пуанкаре (б) и распределение инвариантной меры хаотического аттрактора (в) при E = −0,12. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 546 А. Ю. ШВЕЦ w S –1 0 0,5 1 w0 0,5 1 w0 0,5 1 w0 0,5 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 S –1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 w 0 0.5 1 1.5 S -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 S –1 0 1 2 S –1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 Рис. 9. Распределение спектральной плотности предельного цикла при E = −1,31 (a) и хаотических аттракторов при E = −1,25 (б), E = −1,01 (в) и E = −0,12 (г). мы пытаются притянуться к нулевому положению равновесия, вследствие чего они длительное время блуждают в малой окрестности этого положения (ламинар- ная стадия, которой соответствуют густо затемненные участки на рис. 8, в). Затем в непредсказуемый наперед момент времени происходит турбулентный всплеск, со- провождающийся непериодическими раскрутками по виткам спирали аттрактора. Рассмотрим характерные особенности распределения спектральных плотностей (Фурье-спектры) для различных типов аттракторов системы (9). Так, на рис. 9, а приведен Фурье-спектр для первой бифуркации из ранее изученного нами каска- да бифуркаций удвоения периодов предельных циклов системы, которые имели место для значений E ∈ (−1,45;−1,275) (см. рис. 2, а – г). Построенный спектр является дискретным с четкими пиками на двух основных гармониках разложе- ния временных реализаций данного предельного цикла в ряд Фурье. На рис. 9, б приведен Фурье-спектр хаотического аттрактора, который возникает в результате этого бесконечного каскада бифуркаций. Как видно из рис. 9, б, спектр становит- ся непрерывным, что является еще одним подтверждением того, что система (9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ... 547 при данном значении E находится в хаотическом режиме. Однако в непрерывном спектре на рис. 9, б отчетливо видны пики гармоник исчезнувших предельных циклов. Развитие хаоса при возрастании E, кроме изменений структуры фазового порт- рета и других характеристик хаотических аттракторов, также приводит к заметным изменениям их Фурье-спектров. Начинается постепенное уменьшение пиков таких непрерывных спектров, что в конце концов приводит к их исчезновению. Так, на рис. 9, в представлен Фурье-спектр, который соответствует хаотическому аттракто- ру, существующему у правого порога жесткой перестройки хаотических режимов. Этот спектр, по-прежнему, является непрерывным. Однако, как видно из рис. 9, в, в нем нет сколь-нибудь заметных пиков. Что касается Фурье-спектров хаотических аттракторов, существующих в систе- ме после жесткой бифуркации типа „хаос-хаос”, т. е. при E > −1,0, то все они имеют качественно подобную структуру. В качестве типичного представителя та- ких спектров выбран спектр, приведенный на рис. 9, г. Этот Фурье-спектр соответ- ствует хаотическому аттрактору, который существует в системе (9) при E = −0,12, т. е. у правой границы исчезновения хаоса. Он является непрерывным и пред- ставляет собой некий „шумовой” пьедестал с отсутствием сколь-нибудь заметных пиков и завалов по всей области рассмотренных частот. Такие Фурье-спектры присущи всем хаотическим аттракторам, существующим в системе при E > −1,0. Вызывает интерес сравнение полученных результатов со случаем идеализации источника возбуждения колебаний. Как было отмечено ранее, при таком подходе проводится редукция системы уравнений (9), после чего исследуется новая сис- тема, состоящая из первого, второго, четвертого и пятого уравнений системы (9). При этом неизвестная функция y3 считается постоянным параметром. Было про- ведено численное интегрирование такой системы уравнений при C = −0,5 и зна- чениях y3 = −250÷ 30. Заметим, что это пределы изменения амплитуд колебаний функции y3 в установившихся хаотических режимах. При численных расчетах зна- чение y3 изменялось с очень малым шагом. Во всех случаях наблюдается выход системы на устойчивое положение равновесия, причем для \|y3\| ≥ 3 это положение равновесия всегда имеет вид y1 = y2 = y4 = y5 = 0. В данной области изме- нения параметров не обнаружено не только хаотических аттракторов, но даже и устойчивых предельных циклов. Это в очередной раз свидетельствует о том, к каким грубым ошибкам в описании динамики системы приводит пренебрежение взаимодействием колебательной нагрузки с источником возбуждения колебаний. Предполагаемые простые устойчивые положения равновесия в действительности оказываются сложнейшими хаотическими аттракторами. 1. Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Cб. Ин-та строит. механики АН УССР. – 1950. – № 14. – С. 9 – 34. 2. Гадионенко А. Я. О периодических движениях маятника с вибрирующей точкой подвеса // Укр. мат. журн. – 1966. – 18, № 5. – С. 97 – 101. 3. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперим. и теорет. физики. – 1951. – 21. – С. 588 – 607. 4. Митропольский Ю. А., Швец А. Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса // Аналитические методы исследования нелинейных колебаний. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980. – C. 115 – 120. 5. Швец А. Ю. Влияние переменного запаздывания на устойчивость колебаний маятника с вибрирующим подвесом // Укр. мат. журн. – 1985. – 37, № 1. – С. 127 – 129. 6. Луковский И. А. Механические аналогии в задачах нелинейной динамики твердого тела с жидкостью // Вопросы механики и ее приложений: Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 44. – C. 125 – 160. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 548 А. Ю. ШВЕЦ 7. Crawford J. D., Knobloch E. Symmetry and symmetry-breaking bifurcations in fluid dynamics // Ann. Rev. Fluid Mech. – 1991. –23. – P. 341 – 387. 8. Kambe T., Umeki M. Nonlinear dynamics of two-mode interaction in parametric excitation of surface waves // J. Fluid Mech. – 1990. – 139. – P. 461 – 471. 9. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids and Structures. – 1994. – 8, № 1. – P. 1 – 18. 10. Miles J. W. Resonant motion of a spherical pendulum // Physica D. – 1984. – 11, № 3. – P. 309 – 323. 11. Miles J. W. Nonlinear Faraday resonance // J. Fluid Mech. – 1984. – 146, № 2. – P. 285 – 302. 12. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990. – 312 c. 13. Швец А. Ю. Карта динамических режимов физического маятника при ограниченном возбуж- дении // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2004. – 1, № 2. – С. 197 – 209. 14. Kononenko V. O. Vibrating system with a limited power-supply. – London: Iliffe, 1969. – 236 p. 15. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaos in vibrating systems with limited power-supply // Chaos. – 1993. – 3, № 3. – P. 387 – 395. 16. Miles J. W. Stability of forced oscillations of a spherical pendulum // Quart. Appl. Math. – 1962. – 20, № 1. – P. 21 – 32. 17. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaotic oscillations of a spherical pendulum as the effect of interaction with excitation device // Complexity in Physics and Technology. – Singapore: World Sci., 1992. – P. 77 – 89. 18. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 19. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1971. – 439 с. 20. Хайрер Е., Нерсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с. 21. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. A. – 1976. – 14, № 6. – P. 2338 – 2342. 22. Кузнецов С. П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 295 c. 23. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transformations // J. Statist. Phys. – 1978. – 19, № 1. – P. 25 – 52. Получено 18.09.2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4

Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении

Institution

Ähnliche Einträge