Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором
Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164140 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором/ В.М. Статкевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 229-236. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164140 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641402020-02-23T18:29:43Z Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором Статкевич, В.М. Статті Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений. We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-dimensional elliptic operator (of the Laplace–Lévy type). The continuous dependence of solutions on boundary values and sufficient conditions for increasing the smoothness of solutions are investigated. 2012 Article Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором/ В.М. Статкевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 229-236. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164140 517.986.7+517.911 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Статкевич, В.М. Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором Український математичний журнал |
| description |
Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений. |
| format |
Article |
| author |
Статкевич, В.М. |
| author_facet |
Статкевич, В.М. |
| author_sort |
Статкевич, В.М. |
| title |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_short |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_full |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_fullStr |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_full_unstemmed |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_sort |
дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164140 |
| citation_txt |
Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором/ В.М. Статкевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 229-236. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT statkevičvm doslídžennârozvâzkívkrajovihzadačzsuttêvoneskínčennovimírnimelíptičnimoperatorom |
| first_indexed |
2025-07-14T16:40:25Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:40:25Z |
| _version_ |
1837641210879016960 |
| fulltext |
УДК 517.986.7+517.911
В. М. Статкевич (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
З СУТТЄВО НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИМ ЕЛIПТИЧНИМ ОПЕРАТОРОМ
We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-
dimensional elliptic operator (of the Laplace – Lévy type). The continuous dependence of solutions on boundary values and
sufficient conditions for increasing the smoothness of solutions are investigated.
Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бес-
конечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений
от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений.
У нескiнченновимiрному просторi iснують оператори, якi не мають скiнченновимiрних ана-
логiв. Таким, зокрема, є оператор Лапласа – Левi, введений П. Левi [1], — диференцiальний
оператор другого порядку, який задовольняє лейбнiцевську властивiсть L(uv) = Lu · v+ u ·Lv
та набуває нульового значення на цилiндричних функцiях. Сучасний стан теорiї оператора Ла-
пласа – Левi викладено у роботi М. Н. Феллера [2]. Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний
оператор, запропонований Ю. В. Богданським [3] (див. також [4, 5]), є узагальненням оператора
Лапласа – Левi та успадковує його властивостi.
1. Нехай H — нескiнченновимiрний сепарабельний дiйсний гiльбертiв простiр, BC(H) —
банахiв простiр самоспряжених обмежених лiнiйних операторiв на H, J — конус невiд’ємних
лiнiйних функцiоналiв на BC(H). Множину D ⊂ BC(H) будемо називати майже компактною,
якщо для кожного ε > 0 iснують компактна множина K ⊂ BC(H) та числа n ∈ N, d > 0
такi, що K + Qn,d є ε-сiткою для D (тут Qn,d ⊂ BC(H) — множина операторiв, ранг яких не
перевищує n, а норма не перевищує d).
Виберемо R > 0. Нехай Z — множина дiйсних функцiй класу C2(H), носiї яких належать
кулi BR = {x ∈ H | ‖x‖ 6 R}, u′′ рiвномiрно неперервна на H, а множина {u′′(x) | x ∈ BR}
є майже компактною. X — замикання Z за нормою supx∈H |u(x)| — є дiйсною комутативною
банаховою алгеброю без одиницi вiдносно поточкових операцiй. Суттєво нескiнченновимiрний
функцiонал j ∈ J — це такий ненульовий функцiонал, ядру якого належать усi оператори
скiнченного рангу з BC(H) [3]. Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний оператор задається
формулою L : Z 3 u(x) 7→ 1
2
j(u′′(x)) ∈ X [3]. Вiн є лейбнiцевським та допускає замикання
L̄, визначене на D(L̄). Для функцiй f1 ∈ C2(R), f2 ∈ C1(R) таких, що f1(0) = f2(0) = 0,
мають мiсце властивостi (u ∈ Z) ⇒ (f1 ◦ u ∈ Z, L(f1 ◦ u) = (f ′1 ◦ u) · Lu), (u ∈ X) ⇒
⇒ (f2 ◦u ∈ X, L̄(f2 ◦u) = (f ′2 ◦u) · L̄u). L̄ генерує (C0)-пiвгрупу стиску T (t) в X, нiльпотентну
(∃t0 > 0: T (t0) = 0) та мультиплiкативну (∀u, v ∈ X : T (t)(uv) = T (t)u ·T (t)v) [4]. При цьому
T (t)u належить Z для u ∈ Z, а для функцiї f ∈ C(R) такої, що f(0) = 0, виконується рiвнiсть
T (t)(f ◦ u) = f ◦ T (t)u, зокрема T (t)(|u|) = |T (t)u|.
2. Згiдно з роботою [5] вважаємо, що поверхня S в H належить класу Y, якщо її можна
записати у виглядi S = {x ∈ H | g(x) = 1}, де g ∈ Z, infx∈S ‖g′(x)‖ > 0, та належить класу
Y1, якщо виконуються додатковi умови: g′′′ iснує i рiвномiрно неперервна на H, а множина
{(g′(·), h)′′(y) | h ∈ H, ‖h‖ 6 1, y ∈ S} є майже компактною (у подальшому записуємо коротко
c© В. М. СТАТКЕВИЧ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2 229
230 В. М. СТАТКЕВИЧ
S ∈ Y або S ∈ Y1). Через Sε позначимо ε-окiл поверхнi S. При необхiдностi накладатимемо на
поверхню S ще й умову Lg ∈ Z. Згiдно з роботою [5] вiдкриту обмежену область G = {x ∈ H |
g(x) > 1, g ∈ Z} ⊂ H з межею S ∈ Y будемо називати L-опуклою, якщо (Lg)(x) < −α < 0
для всiх x ∈ S та деякого α > 0; Ḡ — замикання областi G. З наведених означень випливає, що
Ḡ ⊂ {x ∈ H | ‖x‖ < R}, тому R виберемо достатньо великим.
Вкладення поверхнi S в H iндукує рiманову метрику на поверхнi S, ∇ — вiдповiдна їй
зв’язнiсть Левi-Чивiти, TxS — дотичний простiр, для кожного x ∈ S простiр H розкладається
в ортогональну суму H = TxS ⊕ (TxS)⊥. Множину дiйсних функцiй на S, для яких ∇2u (тут
i далi оператор ∇2u(x) : TxS → TxS ототожнюється з оператором ∇2u(x)⊕ 0 ∈ BC(H)) iснує
i рiвномiрно неперервна на S, а множина {∇2u(x) | x ∈ S} є майже компактною, позначимо
через Z(S). Нехай X(S) — її замикання за нормою supx∈S |u(x)|. Очевидно, що u|S ∈ X(S)
для u ∈ X .
Множину Z(G) дiйсних функцiй класу C2(G), для яких u′′ рiвномiрно неперервна на
G, а множина {u′′(x) | x ∈ G} є майже компактною, замкнемо за нормою supx∈G |u(x)|;
отримане замикання X(G) є банаховою алгеброю з одиницею. Оператор LG : Z(G) 3 u(x) 7→
7→ 1
2
j(u′′(x)) ∈ X(G) коректно визначений, лейбнiцевський та допускає замикання L̄G, визна-
чене на D(L̄G) [5]. При цьому (u ∈ Z) ⇒ (u|G ∈ Z(G)), (u ∈ X) ⇒ (u|G ∈ X(G)), (u ∈
∈ D(L̄))⇒ (u|G ∈ D(L̄G), L̄G(u|G) = (L̄u)|G). Окрiм того, як i в п. 1, для функцiй f1 ∈ C2(R),
f2 ∈ C1(R) виконуються властивостi (u ∈ Z(G))⇒ (f1 ◦u ∈ Z(G), LG(f1 ◦u) = (f ′1 ◦u) ·LGu),
(u ∈ X(G))⇒ (f2 ◦ u ∈ X(G), L̄G(f2 ◦ u) = (f ′2 ◦ u) · L̄Gu).
В роботi [5] доведено наступнi факти. Якщо S ∈ Y1, то функцiю u ∈ X(S) (вiдповiдно,
u ∈ X(G)) можна продовжити до функцiї ū ∈ X такої, що ū|S = u (вiдповiдно, ū|G = u);
вiдповiднi оператори продовження є гомоморфiзмами алгебр та зберiгають норму. Якщо S ∈ Y1,
то для u ∈ Z(G) i довiльного ε > 0 iснує ūε ∈ Z така, що ūε|G\Sε
= u|G\Sε
та |ūε(x)−u(x)| < ε
для x ∈ G ∩ Sε. Iснує i до того ж єдина функцiя θ на Ḡ — фундаментальна функцiя областi G,
для якої θ(x) > 0 на G, θ(x) = 0 на S, θ диференцiйовна на Ḡ, θ та θ′ рiвномiрно неперервнi
на Ḡ, θ|G ∈ X(G), L̄G(θ|G) ≡ −1 скрiзь в G; якщо додатково Lg ∈ Z, то θ|G ∈ Z(G). З
побудови функцiї θ випливає, що θ(x) < t0. Функцiю ϕ ∈ X(S) розумiємо або як обмеження
на поверхню S функцiї ϕ̄ ∈ X, або визначеною лише на S, але при цьому вимагаємо щоб
S належала класу Y1 (тодi iснування ϕ̄ ∈ X доводиться, як вказано вище); для такої функцiї
ϕ iснує i до того ж єдина рiвномiрно неперервна на Ḡ функцiя W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x), для
якої W |G ∈ X(G), L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ; якщо додатково Lg ∈ Z, ϕ̄ ∈ Z, Lϕ̄ ∈ Z, то
W |G ∈ Z(G).
3. Нехай функцiю u визначено на Ḡ. Розглянемо задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона
L̄G(u|G) = f, (1)
u|S = ϕ. (2)
Якщо поверхня S належить класу Y, то вважаємо f = f̄ |G, ϕ = ϕ̄|S , де f̄ , ϕ̄ ∈ X . Якщо S ∈ Y1,
то f ∈ X(G), ϕ ∈ X(S), а iснування продовжень гарантує п. 2. Така задача з оператором
Лапласа – Левi розглядалась у роботах [1, 7 – 11], з оператором квазiдиференцiювання (одним з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 231
узагальнень оператора Лапласа – Левi) — у [12]. У роботах [1, 7 – 12] в iнших функцiональних
класах iз застосуванням технiки, що вiдрiзняється вiд наведеної в роботi, отримано явнi фор-
мули розв’язкiв. У вказаному функцiональному класi з використанням методiв теорiї пiвгруп
задачу (1), (2) дослiджено в роботi [5]: доведено iснування та єдинiсть розв’язку та дано схему
розв’язання, а для задачi L̄G(u|G) = 0, u|S = ϕ знайдено явну формулу W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x).
У роботi [6] (див. також [13]) для задачi (1), (2) у випадку областi G з межею S ∈ Y1 знайдено
явну формулу розв’язку
u(x) = −
θ(x)∫
0
(T (t)f̄)(x)dt+ (T (θ(x))ϕ̄)(x), x ∈ Ḡ. (3)
Доведемо, що й у випадку S ∈ Y розв’язок задачi (1), (2) задається формулою (3).
Теорема 1. За наведених умов задача (1), (2) має i до того ж єдиний розв’язок (3).
Доведення. Як було доведено в [5] i нагадано в п. 2, для функцiї W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x)
виконуються спiввiдношення L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ. Оскiльки θ|S = 0, то досить довести,
що для функцiї u1(x) = −
∫ θ(x)
0
(T (t)f̄)(x)dt виконується L̄G(u1|G) = f .
Цей факт доводиться таким чином (див. також [6] (лему 1) та [13] (лему 2)). Виберемо
послiдовностi {f̄n} ⊂ Z, збiжну до f̄ при n → ∞, та {vn} ⊂ Z(G), для якої vn → θ|G,
LGvn → L̄G(θ|G) ≡ −1 при n → ∞. Нагадаємо, що θ(x) < t0 (див. п. 2), тому, починаючи з
деякого n, vn(x) 6 t0. Нехай Fn(x) = −
∫ vn(x)
0
(T (t)f̄n)(x)dt, тодi
(F ′′n (x)h1, h2) = −
vn(x)∫
0
(
∂2
∂x2
(T (t)f̄n)(x)h1, h2
)
dt−
−
(
∂
∂x
(T (t)f̄n)(x)
∣∣∣∣
t=vn(x)
, h1
)
· (v′n(x), h2)−
−
(
d
dx
((T (vn(·))f̄n)(·))(x), h2
)
· (v′n(x), h1)− (T (vn(x))f̄n)(x) · (v′′n(x)h1, h2), (4)
де h1, h2 ∈ H, x ∈ G. Другий та третiй доданки у формулi (4) є операторами рангу не вище за
1, а тому належать ядру j; безпосередня перевiрка показує, що Fn|G ∈ Z(G). Тодi
(LGFn)(x) = −
vn(x)∫
0
LG((T (t)f̄n)(x)|G)dt− (T (vn(x))f̄n)(x)(LGvn)(x), x ∈ G.
З рiвностi LG((T (t)f̄n)(x)|G) = (LT (t)f̄n)(x)|G =
∂
∂t
(T (t)f̄n)(x)|G та формули iнтегрування
частинами отримуємо (LGFn)(x) = −(T (vn(x))f̄n)(x)((LGvn)(x)+1)+fn(x), x ∈ G. Виконає-
мо граничний перехiд при n → ∞: Fn(x) ⇒ u1(x), (LGFn)(x) ⇒ f(x), x ∈ G. Замкненiсть
оператора L̄G доводить шукану формулу L̄G(u1|G) = f .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
232 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 1. Нехай u = u(x, f, ϕ) та u0 = u(x, f0, ϕ0) — розв’язки задачi (1), (2) з
умовами f, ϕ та f0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi: a) ∀ε > 0 ∃δ1, δ2 > 0 : (‖f̄ − f̄0‖ < δ1, ‖ϕ̄ − ϕ̄0‖ <
< δ2) ⇒ (‖u − u0‖ < ε) (у випадку S ∈ Y1 вважаємо ‖f − f0‖ < δ1, ‖ϕ − ϕ0‖ < δ2); б) якщо
додатково функцiї Lg, f̄ , ϕ̄, Lϕ̄ належать Z, то u|G ∈ Z(G).
Доведення. а) Покладемо δ1 =
ε
2t0
, δ2 =
ε
2
. Оскiльки T (t) — пiвгрупа стиску, θ(x) < t0, то
‖u−u0‖ 6 t0‖f̄ − f̄0‖+‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < ε. У випадку S ∈ Y1 процедура продовження функцiй (див.
п. 2) зберiгає норму. б) З огляду на п. 2 достатньо довести, що з θ|G ∈ Z(G), f̄ ∈ Z випливає(
−
∫ θ(x)
0
(T (t)f̄)(x)dt
)∣∣∣∣
G
∈ Z(G), а цей факт випливає з формули типу (4).
4. Розглянемо задачу Дiрiхле з крайовою умовою (2) для лiнiйного рiвняння
(L̄Gu)(x) + a(x)u(x) = f(x), x ∈ G. (5)
Як i в п. 3, вважаємо або a = ā|G, f = f̄ |G, ϕ = ϕ̄|S , де ā, f̄ , ϕ̄ ∈ X, або a, f ∈ X(G),
ϕ ∈ X(S) та S ∈ Y1. Така задача з оператором Лапласа – Левi дослiджувалась у роботах
[2, 14, 15] (у припущеннi f ≡ 0), з оператором квазiдиференцiювання — у [12] (для f 6= 0). У
роботах [12, 2, 14, 15] в iнших функцiональних класах отримано явнi формули розв’язкiв.
Теорема 2. Задача (5), (2) має i до того ж єдиний розв’язок, який можна записати у
виглядi u = u1 + u2, де
u1(x) = −
θ(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ā)(x)ds
(T (t)f̄)(x)dt,
u2(x) = exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
(T (θ(x))ϕ̄)(x), x ∈ Ḡ.
Доведення. Крок 1. Як i при доведеннi теореми 1, виберемо послiдовностi {ān} ⊂ Z, збiж-
ну до ā при n → ∞; {f̄n} ⊂ Z, збiжну до f̄ при n → ∞, та {vn} ⊂ Z(G), для якої vn → θ|G,
LGvn → L̄G(θ|G) ≡ −1 при n→∞. Нехай
Fn(x) = −
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (t)f̄n)(x)dt,
тодi з обчислення F ′′n випливає належнiсть F ′′n до Z(G), а врахування факту, що всi оператори
скiнченного рангу належать ядру j, приводить до формули
(LGFn)(x) = −
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
t∫
0
LG((T (s)ān)(x)|G)ds(T (t)f̄n)(x)dt−
−
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
LG((T (t)f̄n)(x)|G)dt−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 233
− exp
vn(x)∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (vn(x))f̄n)(x)(LGvn)(x), x ∈ G.
Застосуємо формулу iнтегрування частинами до другого доданка:
(LGFn)(x) = an(x)
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (t)f̄n)(x)dt−
− exp
vn(x)∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (vn(x))f̄n)(x)((LGvn)(x) + 1) + fn(x), x ∈ G.
Граничний перехiд при n→∞ та замкненiсть оператора L̄G доводять, що L̄G(u1|G)+a ·u1|G =
= f . Оскiльки θ|S = 0 (див. п. 2), то u1 є розв’язком задачi L̄G(u|G) + a · u|G = f, u|S = 0.
Крок 2. За теоремою 1 θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
∣∣∣∣∣∣∣
G
∈ D(L̄G), L̄G
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
= −a(x), x ∈ G.
Згiдно з п. 2,
exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
∣∣∣∣∣∣∣
G
∈ D(L̄G),
L̄G
exp
( θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
) = exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
(−a(x)), x ∈ G;
для функцiї W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x) виконуються спiввiдношення L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ.
Оскiльки оператор L̄G лейбнiцевський, то (L̄Gu2)(x) = −a(x)u2(x), x ∈ G. Отже, функцiя u2
є розв’язком задачi L̄G(u|G) + a · u|G = 0, u|S = ϕ.
Крок 3. Залишилось довести єдинiсть розв’язку. Припустимо супротивне: нехай задача (5),
(2) має два рiзнi розв’язки u1 та u2. Тодi задача L̄G(u|G) + a · u|G = 0, u|S = 0 має ненульовий
розв’язок. Але рiвняння L̄v + āv = 0 має єдиний нульовий розв’язок в H [16]. Отримана
суперечнiсть доводить теорему.
Зауважимо, що в [2] (теорема 5.12) для задачi L̄G(u|G)+a ·u|G = 0, u|S = ϕ отримано явну
формулу розв’язку u(x) = ev1(x)v2(x), де v1 — розв’язок задачi L̄G(v1|G) = −a, v1|S = 0, а v2
— розв’язок задачi L̄G(v2|G) = 0, v2|S = ϕ (у позначеннях даної роботи). Незважаючи на рiзнi
функцiональнi класи мiж вказаною формулою та функцiєю u2(x) = ew(x)W (x) iз теореми 2
iснує очевидна паралель: w(x) =
∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt — розв’язок задачi L̄G(w|G) = −a, w|S = 0
(див. теорему 1), а W (x) — розв’язок задачi L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ (див. п. 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
234 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 2. Нехай u = u(x, a, f, ϕ) та u0 = u(x, a0, f0, ϕ0) — розв’язки задачi (5), (2)
з умовами a, f, ϕ та a0, f0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi: а) ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3 > 0 : (‖ā − ā0‖ < δ1,
‖f̄ − f̄0‖ < δ2, ‖ϕ̄ − ϕ̄0‖ < δ3) ⇒ (‖u − u0‖ < ε) (у випадку S ∈ Y1 вважаємо ‖a − a0‖ < δ1,
‖f − f0‖ < δ2, ‖ϕ − ϕ0‖ < δ3); б) якщо додатково функцiї Lg, ā, f̄ , ϕ̄, Lϕ̄ належать Z, то
u|G ∈ Z(G).
Доведення. а) T (t) є пiвгрупою стиску (див. п. 1), θ(x) < t0 (див. п. 2), тому для x ∈ G
стандартними мiркуваннями отримуємо
‖u− u0‖ 6
∥∥∥∥∥∥∥
θ(·)∫
0
exp
t∫
0
T (s)āds
T (t)f̄ − exp
t∫
0
T (s)ā0ds
T (t)f̄0
dt
∥∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥∥exp
θ(·)∫
0
T (t)ādt
T (θ(·))ϕ̄− exp
θ(·)∫
0
T (t)ā0dt
T (θ(·))ϕ̄0
∥∥∥∥∥∥∥ 6
6 t0e
t0‖ā‖‖f̄ − f̄0‖+ t0e
t0‖ā0‖(et0‖ā−ā0‖ − 1)‖f̄0‖+
+et0‖ā‖‖ϕ̄− ϕ̄0‖+ et0‖ā0‖(et0‖ā−ā0‖ − 1)‖ϕ̄0‖.
У випадку S ∈ Y1 процедура продовження функцiй зберiгає норму. б) u2|G ∈ Z(G), оскiльки
з твердження 1 випливає належнiсть
(∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt
)∣∣∣∣∣
G
до Z(G), з п. 2 — належностi
exp
(∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt
)∣∣∣∣∣
G
до Z(G) та (T (θ(x))f̄)(x)|G до Z(G), а Z(G) є алгеброю. Належ-
нiсть u1|G ∈ Z(G) випливає з мiркувань, наведених у кроцi 1 доведення теореми 2.
5. Розглянемо задачу Дiрiхле з крайовою умовою (2) для нелiнiйного рiвняння
L̄G(u|G) = F (u|G), (6)
де F : X(G) → X(G) — нелiнiйне вiдображення, а S ∈ Y1. В iнших функцiональних класах
така задача з оператором Лапласа – Левi дослiджувалась у роботi [15], з оператором квазiди-
ференцiювання — у [12], а на поверхнi спецiального типу з поверхневим лапласiаном Левi —
у [17]. У вказаному функцiональному класi задачу (6), (2) дослiджено в роботi [13]: за умови
типу Лiпшиця (∃C > 0 ∀v1, v2 ∈ X(G) : |F (v1) − F (v2)| 6 C|v1 − v2|) для нелiнiйного вiдоб-
раження F вона має i до того ж єдиний розв’язок. Доведення цього факту ґрунтується на тому,
що деякий степiнь вiдображення
X(G) 3 v(x) 7→ −
θ(x)∫
0
(
T (t)
(
F (v)
))
(x)dt
∣∣∣∣
G
+(T (θ(x))ϕ̄)(x)
∣∣∣∣
G
∈ X(G) (7)
є стиском, а сам розв’язок — нерухомою точкою вiдображення (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 235
Твердження 3. Нехай u = u(x, F, ϕ) та u0 = u(x, F0, ϕ0) — розв’язки задачi (6), (2) з
умовами F, ϕ та F0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2 > 0 ∀w ∈ X(G) : (‖ϕ − ϕ0‖ < δ1,
|F (w)− F0(w)| < δ2)⇒ (‖u− u0‖ < ε).
Доведення. Точки u та u0 є нерухомими точками вiдповiдних вiдображень вигляду (7),
тому для v1(x) = F (u0)− F0(u0), v2(x) = (T (θ(x))(ϕ̄− ϕ̄0))(x), x ∈ G, маємо
|u− u0| 6
∣∣∣∣∣∣∣
θ(·)∫
0
T (t)
(
F (u)− F0(u0)
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣+ |v2| 6
6
t0∫
0
T (t)
(∣∣∣F (u)− F (u0) + v̄1
∣∣∣) dt+ |v2| 6
6 C
t0∫
0
T (t)
(
|u− u0|
)
dt+
t0∫
0
T (t)(|v̄1|)dt+ |v2|.
Застосуємо дану формулу послiдовно m разiв для x ∈ G i врахуємо оцiнку∣∣∣∣∣∣
t0∫
0
dt1 . . .
t0∫
0
dtmT (t1 + . . .+ tm)wdt
∣∣∣∣∣∣ 6 tm0
m!
|w|(w ∈ X) :
|u− u0| 6
Cmtm0
m!
|u− u0|+ |v1|
m∑
k=1
Ck−1tk0
k!
+ |v2|
m−1∑
k=0
Cktk0
k!
.
Граничним переходом при m→∞ отримуємо ‖u− u0‖ 6
1
C
(eCt0 − 1)‖v1‖+ eCt0‖v2‖, шуканi
δ1 =
εC
2
(eCt0 − 1)−1, δ2 =
ε
2
e−Ct0 .
6. Розглянемо приклад. Якщо область обмежено елiпсоїдом [5], то твердження 1 та 2 можна
посилити. Нехай C,C0 ∈ BC(H), C > αI > 0, C0 > αI > 0, областi G = {x ∈ H | (Cx, x) <
< 1} та G0 = {x ∈ H | (C0x, x) < 1} мають фундаментальнi функцiї θ(x) =
1
j(C)
(1− (Cx, x))
та θ0(x) =
1
j(C0)
(1− (C0x, x)) вiдповiдно. Для x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0
|θ(x)− θ0(x)| 6 |j(C − C0)|
j(C)j(C0)
+
|j(C)(C0x, x)− j(C0)(Cx, x)|
j(C)j(C0)
6
6
‖C − C0‖
α2‖j‖
+
|((C − C0)x, x)|
α‖j‖
+
|j(C − C0)||(C0x, x)|
α2‖j‖2
<
2 + |(αx, x)|
α2‖j‖
‖C − C0‖ 6
6
2 + |(Cx, x)|
α2‖j‖
‖C − C0‖ <
3
α2‖j‖
‖C − C0‖.
Тому мають мiсце наступнi твердження (їх доведення аналогiчнi доведенню тверджень 1 та 2
вiдповiдно).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
236 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 4. Нехай функцiї f̄ , ϕ̄, f̄0, ϕ̄0 ∈ X задано на всьому просторi H; u =
= u(x, f̄ , ϕ̄, G) та u0 = u(x, f̄0, ϕ̄0, G0) — розв’язки задачi (1), (2) в областях G та G0 з
умовами f̄ , ϕ̄ та f̄0, ϕ̄0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3 > 0 ∀x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0 : (‖f̄ − f̄0‖ < δ1,
‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < δ2, ‖C − C0‖ < δ3)⇒ (|u(x)− u0(x)| < ε).
Твердження 5. Нехай функцiї ā, f̄ , ϕ̄, ā0, f̄0, ϕ̄0 ∈ X задано на всьому просторi H;
u = u(x, ā, f̄ , ϕ̄, G) та u0 = u(x, ā0, f̄0, ϕ̄0, G0) — розв’язки задачi (5), (2) в областях G та
G0 з умовами ā, f̄ , ϕ̄ та ā0, f̄0, ϕ̄0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3, δ4 > 0 ∀x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0 :
(‖ā− ā0‖ < δ1, ‖f̄ − f̄0‖ < δ2, ‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < δ3, ‖C − C0‖ < δ4)⇒ (|u(x)− u0(x)| < ε).
Автор дякує Ю. В. Богданському за критичнi зауваження до даної роботи.
1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.
2. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
3. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллипти-
ческими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781 – 784.
4. Богданский Ю. В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с нерегулярным эллиптическим оператором
// Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 5. – С. 584 – 590.
5. Богданский Ю. В. Задача Дирихле для уравнения Пуассона с существенно бесконечномерным эллиптическим
оператором // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 7. – С. 803 – 808.
6. Статкевич В. М. Об одной краевой задаче с существенно бесконечномерным оператором // Spectral and
Evolution Problems. – 2010. – 20. – P. 189 – 192.
7. Полищук Е. М. О функциональном лапласиане и уравнениях параболического типа // Успехи мат. наук. – 1964.
– 19, вып. 2(116). – C. 155 – 162.
8. Полищук Е. М. Об уравнениях типа Лапласа и Пуассона в функциональном пространстве // Мат. сб. – 1967. –
72(114), № 2. – С. 261 – 292.
9. Феллер М. Н. Об уравнении Пуассона в пространстве L2(C) // Докл. АН УССР. – 1966. – № 4. – С. 426 – 429.
10. Шилов Г. Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. I // Функцион. анализ и его прил. –
1967. – 1, вып. 2. – С. 81 – 90.
11. Дорфман И. Я. О средних и лапласиане функций на гильбертовом пространстве // Мат. сб. – 1970. – 81, № 2.
– С. 192 – 208.
12. Сикирявый В. Я. Оператор квазидифференцирования и связанные с ним краевые задачи // Труды Моск. мат.
о-ва. – 1972. – 27. – С. 195 – 246.
13. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Нелiнiйнi рiвняння з суттєво нескiнченновимiрними диференцiальними
операторами // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 11. – С. 1571 – 1576.
14. Феллер М. Н. Об уравнении ∆U [x(t)] + P [x(t)]U [x(t)] = 0 в функциональном пространстве // Докл. АН
СССР. – 1967. – 172, № 6. – С. 1282 – 1285.
15. Шилов Г. Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. III // Мат. сб. – 1967. – 74(116), № 1.
– С. 161 – 168.
16. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з суттєво нескiнченновимiрними
операторами // Наук. вiстi НТУУ ”КПI”. – 2008. – № 2. – С. 144 – 147.
17. Соколовский В. Б. Поверхностный лапласиан Леви Ls и бесконечномерная задача с косой производной //
Вестн. Самар. гос. ун-та. – 1997. – №4(6). – С. 91 – 102.
Одержано 24.05.11,
пiсля доопрацювання — 30.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|