Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви
Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з дивергентною частиною та з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi ∆L запропоновано алгоритм розв’язку крайової задачi та крайової зовнiшньої задачi....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164141 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви/ М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 237-244. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164141 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641412020-02-23T18:30:50Z Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви Феллер, М.Н. Статті Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з дивергентною частиною та з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi ∆L запропоновано алгоритм розв’язку крайової задачi та крайової зовнiшньої задачi. We propose an algorithm for the solution of the boundary-value problem and the external boundary-value problem for the nonlinear hyperbolic equation with divergent part and infinite-dimensional Lévy Laplacian ∆L. 2012 Article Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви/ М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 237-244. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164141 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Феллер, М.Н. Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви Український математичний журнал |
| description |
Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з дивергентною частиною та з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi ∆L запропоновано алгоритм розв’язку крайової задачi та крайової зовнiшньої задачi. |
| format |
Article |
| author |
Феллер, М.Н. |
| author_facet |
Феллер, М.Н. |
| author_sort |
Феллер, М.Н. |
| title |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви |
| title_short |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви |
| title_full |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви |
| title_fullStr |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви |
| title_full_unstemmed |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви |
| title_sort |
краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом леви |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164141 |
| citation_txt |
Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви/ М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 237-244. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT fellermn kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâsdivergentnojčastʹûislaplasianomlevi |
| first_indexed |
2025-07-14T16:40:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:40:28Z |
| _version_ |
1837641214167351296 |
| fulltext |
УДК 517.9
М. Н. Феллер (УкрНИИ «Ресурс», Киев)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДИВЕРГЕНТНОЙ ЧАСТЬЮ
И С ЛАПЛАСИАНОМ ЛЕВИ
We propose an algorithm for the solution of the boundary-value problem U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1 and the external
boundary-value problem U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim‖x‖H→∞ U(t, x) = v2 for the nonlinear hyperbolic equation
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x)
with divergent part and infinite-dimensional Lévy Laplacian ∆L.
Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з дивергентною частиною та з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi ∆L
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x)
запропоновано алгоритм розв’язку крайової задачi U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1 та крайової зовнiшньої задачi
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim‖x‖H→∞ U(t, x) = v2.
1. Введение. Теории линейных гиперболических уравнений с лапласианом Леви посвящены
работы [1 – 3]. В то же время публикации по теории нелинейных гиперболических уравнений
с лапласианом Леви отсутствуют.
В настоящей статье приведены алгоритм решения краевой задачи для нелинейного гипер-
болического уравнения с дивергентной частью и с лапласианом Леви
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ H,
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1,
и алгоритм решения краевой внешней задачи для нелинейного гиперболического уравнения с
дивергентной частью и с лапласианом Леви
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ Ω′,
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v2.
Здесь Γ
⋃
Ω′ = {x ∈ H : Q(x) ≥ R2}, а функция Q(x) такова, что ∆LQ(x) = γ (γ — по-
ложительная постоянная).
2. Предварительные сведения. Пусть H — счетномерное вещественное гильбертово
пространство. Рассмотрим скалярные функции F (x) на H, x ∈ H.
Бесконечномерный лапласиан ввел П. Леви [4]. Для функции F (x), дважды сильно диф-
ференцируемой в точке x0, лапласиан Леви в этой точке определяется, если он существует,
c© М. Н. ФЕЛЛЕР, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2 237
238 М. Н. ФЕЛЛЕР
формулой
∆LF (x0) = lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
(F ′′(x0)fk, fk)H , (1)
где F ′′(x) — гессиан функции F (x), {fk}∞1 — выбранный ортонормированный базис в H.
Приведем свойство лапласиана Леви (1), полученное в [4], которое понадобится в дальней-
шем (см. также [5]).
Пусть функция
F (x) = f
(
S1(x), . . . , Sm(x)
)
,
где f(s1, . . . , sm) — непрерывно дифференцируемая функция в области значений {S1(x), . . .
. . . , Sm(x)} ⊂ Rm. Пусть Sk(x) — равномерно непрерывные, сильно дифференцируемые функ-
ции и ∆LSk(x), k = 1, . . . ,m, существует. Тогда ∆LF (x) существует и
∆LF (x) =
m∑
k=1
∂f
∂sk
∣∣∣
sk=Sk(x)
∆LSk(x). (2)
Обозначим через C шиловский класс функций — совокупность функций вида
F (x) = f
(
(a1, x)H , . . . , (am, x)H ,
‖x‖2H
2
)
,
где a1, . . . , am — некоторые элементы пространства H, f(ξ1, . . . , ξm, ζ) — функция m+ 1 пере-
менных, определенная и непрерывная в области Rm+1.
Обозначим через C∗ подмножество функций из C, непрерывно дифференцируемых по ар-
гументу
‖x‖2H
2
. Тогда для F (x) ∈ C∗ имеет место формула [6]
∆LF (x) =
∂f((a1, x)H , ..., (am, x)H , ζ)
∂ζ
∣∣∣
ζ=
‖x‖2
H
2
.
Обозначим через C? подмножество функций из C∗, зависящих лишь от
‖x|‖2H
2
. Тогда
∆LF (x) =
∂f(ζ)
∂ζ
∣∣∣
ζ=
‖x‖2
H
2
(3)
для F (x) ∈ C?.
Лапласиан Леви в шиловском классе функций не зависит от выбора базиса.
Обозначим через Ω ограниченную область в гильбертовом пространстве H (т. е. ограничен-
ное открытое множество в H), через Ω = Ω ∪ Γ область в пространстве H с поверхностью Γ.
Определим область Ω с поверхностью Γ следующим образом:
Ω = {x ∈ H : 0 ≤ Q(x) < R2}, Γ = {x ∈ H : Q(x) = R2},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 239
где Q(x) — дважды сильно дифференцируемая функция такая, что ∆LQ(x) = γ, γ — по-
стоянное положительное не равное нулю число. Такие области и такие поверхности называют
фундаментальными.
Пусть также lim‖x‖H→∞Q(x) =∞.
Обозначим через Ω′ множество точек x ∈ H, внешних по отношению к Ω :
Ω′ = {x ∈ H : Q(x) > R2}.
Примеры:
1. Шар Ω = {x ∈ H : ‖x‖2H ≤ R2},
Ω′ = {x ∈ H : ‖x‖2H > R2}, Γ = {x ∈ H : ‖x‖2H = R2}.
2. Эллипсоид Ω = {x ∈ H : (Bx, x)H ≤ R2}, где B = γE +A, E — единичный оператор,
а A — вполне непрерывный оператор в H,
Ω′ = {x ∈ H : (Bx, x)H > R2}, Γ = {x ∈ H : (Bx, x)H = R2}.
Введем функцию
S(x) =
Q(x)−R2
γ
.
Функция S(x) обладает такими свойствами:
S(x) > 0 при x ∈ Ω′, S(x) = 0 при x ∈ Γ, ∆LS(x) = 1.
3. Краевая задача. Рассмотрим задачу
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ H, (4)
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1, (5)
где U(t, x) — функция на [0,∞)×H, k(ξ) — заданная функция на R1, числа u0, u1 заданы.
Теорема 1. Пусть k(ξ) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция на R1.
Тогда решение задачи (4), (5) имеет вид
U(t, x) = ϕ
t
2
√
‖x‖2H
2
, (6)
где ϕ(z) — решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального нелинейного урав-
нения с дивергентной главной частью
d
dz
[
k(ϕ(z))
dϕ(z)
dz
]
= −2z
dϕ(z)
dz
, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
240 М. Н. ФЕЛЛЕР
ϕ(0) = u0, ϕ(z)
∣∣∣∣∣
z=∞
= u1. (8)
Решение задачи (4), (5) существует (существует и единственно), если существует (суще-
ствует и единственно) решение задачи (7), (8).
Решение U(t, x) ∈ C1([0,∞))× C?.
Доказательство. Согласно формуле (3) в классе функций C1([0,∞)) × C? уравнение (4)
и условия (5) принимают вид
∂
∂t
[
k
(
u(t, ς)
)
∂u(t, ς)
∂t
]
=
∂u(t, ς)
∂ς
∣∣∣∣∣
ς=
‖x‖2
H
2
, (9)
u(0, ς) = u0, u(t, 0) = u1. (10)
Уравнение (9) не изменяется при замене переменных t̄ = ct, ς̄ = c2ς при любых t, ς, c.
Действительно, поскольку
∂u(t, ς)
∂t
= c
∂u(t, ς)
∂t̄
,
∂u(t̄, ς̄)
∂ς
= c2∂u(t̄, ς̄)
∂ς̄
, из (9) имеем
c
∂
∂t̄
[
k(u(t, ς))c
∂u(t, ς)
∂t̄
]
= c2∂u(t, ς)
∂ς
, т. е.
∂
∂t̄
[
k(u(t, ς))
∂u(t, ς)
∂t̄
]
=
∂u(t, ς)
∂ς̄
.
С другой стороны,
∂
∂t̄
[
k(u(t̄, ς̄))
∂u(t̄, ς̄)
∂t̄
]
=
∂u(t̄, ς̄)
∂ς̄
,
ибо равенство (9) выполняется для любых t, ς.
Не изменяются и условия (10).
Сравнивая два последних равенства, получаем u(t, ς) = u(t̄, ς̄), т. е.
u(t, ς) = u(ct, c2ς).
Полагая c =
1
2
√
ς
, находим
u(t, ς) = u
(
t
2
√
ς
,
1
4
)
= ϕ
(
t
2
√
ς
)
= ϕ(z)
(
z =
t
2
√
ς
, ζ =
‖x‖2H
2
)
, (11)
т. е. u(t, ς) зависит только от аргумента z =
t
2
√
ς
.
Из (11) имеем
∂u(t, ς)
∂t
=
1
2
√
ς
dϕ(z)
dz
,
∂u(t, ς)
∂ς
= − z
2ς
dϕ(z)
dz
.
Подставляя эти выражения в уравнение (9) и условия (10), получаем для функции ϕ(z) обык-
новенное дифференциальное уравнение (7) и условия (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 241
Таким образом, решение задачи (4), (5) имеет вид (6), поскольку согласно (11)
U(t, x) = u(t, ς)
∣∣∣
ς=
‖x‖2
H
2
= ϕ
t
2
√
‖x‖2H
2
,
где ϕ(z) — решение задачи (7), (8).
Из (6) следует, что U(t, x) ∈ C1([0,∞))× C?.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Для волнового уравнения с лапласианом Леви (т. е. при k(ξ) = 1) из теоре-
мы 1 следует, что решение задачи
∂2U(t, x)
∂t2
−∆LU(t, x) = 0, t > 0, x ∈ H,
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1
имеет вид
U(t, x) = (u1 − u0)
2√
π
t/2
√
‖x‖2
H
2∫
0
e−ξ
2
dξ + u0.
Действительно, в случае k(ξ) = 1 задача (7), (8) принимает вид
d2ϕ(z)
dz2
= −2z
dϕ(z)
dz
,
ϕ(z) = u0, ϕ(z)
∣∣∣∣∣
z=∞
= u1.
Ее решение
ϕ(z) = (u1 − u0)
2√
π
z∫
0
e−ς
2
dς + u0.
Согласно теореме 1
U(t, x) = ϕ
t
2
√
‖x‖2H
= (u1 − u0)
2√
π
t/2
√
‖x‖2
H
2∫
0
e−ξ
2
dξ + u0.
4. Краевая задача (внешняя). Рассмотрим задачу
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ Ω′, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
242 М. Н. ФЕЛЛЕР
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v2, (13)
где U(t, x) — функция на [0,∞) × Ω′, k(ξ) — заданная функция на R1, числа v0, v1 заданы,
v2 = v0.
Здесь Γ
⋃
Ω′ = {x ∈ H : Q(x) ≥ R2}, Q(x) — дважды сильно дифференцируемая функция,
такая, что ∆LQ(x) = γ (γ — положительная постоянная).
Теорема 2. Пусть k(ξ) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция на R1.
Тогда решение задачи (12), (13) имеет вид
U(t, x) = ϕ
(
t
2
√
S(x)
)
, (14)
где S(x) =
Q(x)−R2
γ
, a ϕ(w) — решение краевой задачи для обыкновенного дифференциаль-
ного нелинейного уравнения с дивергентной главной частью
d
dw
[
k(ϕ(w))
dϕ(w)
dw
]
= −2w
dϕ(w)
dw
, (15)
ϕ(0) = v0, ϕ(w)
∣∣∣∣∣
w=∞
= v1. (16)
Решение задачи (12), (13) существует (существует и единственно), если существует (су-
ществует и единственно) решение задачи (15), (16).
В частности, если Ω — шар, то Γ
⋃
Ω′ = {x ∈ H : ‖x‖2H ≥ R2}, S(x) =
‖x‖2H −R2
2
, а
U(t, x) ∈ C1([0,∞))× C?.
Доказательство. Согласно формуле (2) при m = 1 уравнение (12) принимает вид
∂
∂t
[
k
(
u(t, η)
)
∂u(t, η)
∂t
]
=
∂u(t, η)
∂η
∣∣∣∣∣
η=S(x)
∆LS(x).
Но S(x) =
Q(x)−R2
γ
и, значит, ∆LS(x) =
∆LQ(x)
γ
= 1. Поэтому имеем
∂
∂t
[
k
(
u(t, η)
)
∂u(t, η)
∂t
]
=
∂u(t, η)
∂η
∣∣∣∣∣
η=S(x)
, (17)
u(0, η) = v0, u(t, η)
∣∣∣
η=S(x)
= u1. (18)
Уравнение (17) и условия (18) не изменяются при преобразовании переменных t̄ = ct, η̄ = c2η
при любых t, η, c. Поэтому u(t, η) = u(ct, c2η). Полагая c =
1
2
√
η
, находим
u(t, η) = ϕ
(
t
2
√
η
)
= ϕ(w)
(
w =
t
2
√
η
, η = S(x)
)
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 243(
т. е. u(t, η) зависит только от аргумента w =
t
2
√
η
)
.
Из (19) имеем
∂u(t, η)
∂t
=
1
2
√
η
dϕ(w)
dw
,
∂u(t, η)
∂η
= − w
2η
dϕ(w)
dw
.
Подставляя эти выражения в уравнение (17) и условия (18), получаем для функции ϕ(w)
обыкновенное дифференциальное уравнение (15) и условия (16).
Таким образом, решение задачи (12), (13) имеет вид (14), поскольку согласно (19)
U(t, x) = u(t, η)
∣∣∣
η=S(x)
= ϕ
(
t
2
√
S(x)
)
,
где ϕ(w) — решение задачи (15), (16), S(x) =
Q(x)−R2
γ
.
В частности, если Γ
⋃
Ω′ = {x ∈ H : ‖x‖2H ≥ R2}, то S(x) =
‖x‖2H −R2
2
, а U(t, x) ∈
∈ C1([0,∞))× C?.
Следствие 2. Для волнового уравнения с лапласианом Леви (т. е. при k(ξ) = 1) из теоре-
мы 2 следует, что решение задачи
∂2U(t, x)
∂t2
−∆LU(t, x) = 0, t > 0, x ∈ Ω′,
U(0, x) = v0, U(t, 0) = v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v2, v2 = v0,
имеет вид
U(t, x) = (v1 − v0)
2√
π
t/2
√
S(x)∫
0
e−ξ
2
dξ + v0,
где S(x) =
Q(x)−R2
γ
.
Действительно, при k(ξ) = 1 задача (15), (16) примет вид
d2ϕ(w)
dw2
= −2w
dϕ(w)
dw
,
ϕ(0) = v0, ϕ(w)
∣∣∣
w=∞
= v1.
Ее решение
ϕ(w) = (v1 − v0)
2√
π
w∫
0
e−ς
2
dς + v0.
Согласно теореме 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
244 М. Н. ФЕЛЛЕР
U(t, x) = ϕ
(
t
2
√
S(x)
)
= (v1 − v0)
2√
π
t/2
√
S(x)∫
0
e−ξ
2
dξ + v0.
1. Феллер M. Н. Краевые задачи для волнового уравнения с лапласианом Леви в классе Гато // Укр. мат. журн. –
2009. – 61, № 11. – С. 1564 – 1574.
2. Albeverio S., Belopolskaya Ya. I., Feller M. N. Boundary problems for the wave equation with the Lévy Laplacian in
Shilov’s class // Methods Funct. Anal. and Top. – 2010. – 16, № 3. – P. 197 – 202.
3. Альбеверио С. А., Белопольская Я. И., Феллер М. Н. Задача Коши для волнового уравнения с лапласианом
Леви // Мат. заметки. – 2010. – 87, вып. 6. – С. 803 – 813.
4. Lévy P. Problémes concrets d’analyse fonctionnelle. – Paris: Gauthier-Villars, 1951. – 510 p.
5. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
6. Шилов Г. E. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. I // Функцион. анализ и его прил. –
1967. – 1, № 2. – С. 81 – 90.
Получено 09.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|