Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками
Исследуется задача приведения многочленных матриц к каноническому виду посредством полускалярно эквивалентных преобразований. Выделен один класс многочленных матриц, для которого указана каноническая форма относительно полускалярной эквивалентности. Последняя дает возможность решать задачу классифик...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками / Б.З. Шаваровський // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 253-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164143 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641432020-02-24T01:25:26Z Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками Шаваровський, Б.З. Статті Исследуется задача приведения многочленных матриц к каноническому виду посредством полускалярно эквивалентных преобразований. Выделен один класс многочленных матриц, для которого указана каноническая форма относительно полускалярной эквивалентности. Последняя дает возможность решать задачу классификации наборов матриц над полем с точностью до подобия. The problem of reducing polynomial matrices to the canonical form by using semiscalar equivalent transformations is studied. A class of polynomial matrices is singled out, for which the canonical form with respect to semiscalar equivalence is indicated. This form enables one to solve the classification problem for collections of matrices over a field up to similarity. 2012 Article Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками / Б.З. Шаваровський // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 253-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164143 512.64 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Шаваровський, Б.З. Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками Український математичний журнал |
| description |
Исследуется задача приведения многочленных матриц к каноническому виду посредством полускалярно эквивалентных преобразований. Выделен один класс многочленных матриц, для которого указана каноническая форма относительно полускалярной эквивалентности. Последняя дает возможность решать задачу классификации наборов матриц над полем с точностью до подобия. |
| format |
Article |
| author |
Шаваровський, Б.З. |
| author_facet |
Шаваровський, Б.З. |
| author_sort |
Шаваровський, Б.З. |
| title |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| title_short |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| title_full |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| title_fullStr |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| title_full_unstemmed |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| title_sort |
канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164143 |
| citation_txt |
Канонічна форма многочленних матриць з усіма рівними елементарними дільниками / Б.З. Шаваровський // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 253-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT šavarovsʹkijbz kanoníčnaformamnogočlennihmatricʹzusímarívnimielementarnimidílʹnikami |
| first_indexed |
2025-07-14T16:40:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:40:33Z |
| _version_ |
1837641219399745536 |
| fulltext |
© Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2 253
УДК 512.64
Б. З. Шаваровський (Iн-т прикл. пробл. механіки і математики НАН України, Львів)
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ
З УСІМА РІВНИМИ ЕЛЕМЕНТАРНИМИ ДІЛЬНИКАМИ
The problem of reducing polynomial matrices to the canonical form by using semiscalar equivalent transformations is
studied. A class of polynomial matrices is singled out, for which the canonical form with respect to semiscalar equivalence
is indicated. This form enables one to solve the classification problem for collections of matrices over a field up to
similarity.
Исследуется задача приведения многочленных матриц к каноническому виду посредством полускалярно эквива-
лентных преобразований. Выделен один класс многочленных матриц, для которого указана каноническая форма
относительно полускалярной эквивалентности. Последняя дает возможность решать задачу классификации набо-
ров матриц над полем с точностью до подобия.
При вивченні структури матриць над кільцями многочленів (далі многочленних матриць або
матричних многочленів) одним із методів є метод напівскалярної еквівалентності. Поняття на-
півскалярної еквівалентності вперше було введене П. С. Казімірським і В. М. Петричковичем
[1] (див. також монографію [2]). Пізніше з’явилися близькі до цього напрямку праці [3, 4].
Подальший розвиток ця тематика отримала у роботах В. М. Петричковича (див., наприклад, [5,
6]). Задача полягає у побудові простішої, зокрема канонічної, форми матриці та знаходженні
її інваріантів, тобто величин, функцій та інших об’єктів, які не змінюються при напівскалярно
еквівалентних перетвореннях. Остання задача пов’язана з відомою класичною проблемою пар
матриць, якій присвячено значну кількість праць (див., наприклад, [7 – 9]). Кожна з вказаних
задач викликає значні труднощі і розв’язується в наш час лише в окремих випадках. Деякі з
цих випадків розглянуто в роботах автора [10, 11], а одному з них присвячено дану статтю.
Нехай F — поле, M (n, F[x]) — кільце многочленних матриць порядку n над F . Через
codeg G(x) позначимо молодший степінь довільної ненульової многочленної матриці G(x),
тобто найменший із усіх степенів ненульових мономів, що утворюють цю матрицю. За озна-
ченням codeg G(x) нульової матриці дорівнює символу + ! . Через t і T позначатимемо
символи операцій транспонування і блочного транспонування матриці відповідно. Нагадаємо
спочатку означення напівскалярної еквівалентності матриць, сформульоване в [1] для випадку
алгебраїчно замкненого поля F нульової характеристики, і доведемо два загальних
твердження.
Означення 1. Многочленні матриці A(x) і B(x) називаються напівскалярно еквіва-
лентними, якщо
A(x) = QB(x)R(x) ,
де Q — неособлива матриця над F , R(x) — оборотна (тобто з постійним і відмінним від
нуля визначником) матриця над F[x].
Твердження 1. Матриця N (x) !M (n, F[x]) з визначником xs напівскалярно еквіва-
лентна до матриці вигляду
254 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
A(x) =
El1 xs1
A21(x) El2 xs2
! ! !
Ah1(x) Ah2 (x) ! Elh xsh
, Auv (x) !M (lu , lv , F[x]), (1)
де deg Auv (x) < su , codeg Auv (x) > sv , su!1 < su , u = 2, …, h , v < u .
Доведення. Нехай s1 — молодший степінь за даної матриці N (x) . Тоді або деякий її
рядок має вигляд
0 … 0 xs1 0 … 0 , або у класі напівскалярно еквівалентних
до N (x) існує матриця з таким рядком. У всякому разі можливе зведення N (x) до матриці
вигляду
xs1
a1(x) A1(x)
,
де codeg a1(x) ! s1 , codeg A1(x) ! s1 . На другому кроці аналогічні міркування застосовуємо
до матриці A1(x) і т. д. У підсумку прийдемо до трикутної матриці з інваріантними множни-
ками на головній діагоналі. Можливість подальшого зведення такої трикутної матриці до мат-
риці вигляду (1), де степінь і молодший степінь кожного піддіагонального блоку Auv (x) стро-
го обмежені зверху і знизу степенями діагональних елементів su і sv відповідно, не викликає
сумніву.
Твердження доведено.
Слід зауважити, що доведене твердження має самостійне значення. Воно гарантує зв ід-
ність матриці N (x) напівскалярно еквівалентними перетвореннями до трикутної форми з
інваріантними множниками на головній діагоналі. Однак це твердження не є наслідком теоре-
ми 1 із праці [1], оскільки останню теорему доведено для випадку алгебраїчно замкненого поля
нульової характеристики. Більш того, у твердженні 1 суттєвою є умова щодо визначника
матриці N (x) , тобто без неї твердження є хибним.
Твердження 2. Для матриці A(x) вигляду (1) та довільної неособливої тієї ж блочної
будови матриці
S =
S11 S12 ! S1h
S22 ! S2h
! !
Shh
над полем F добуток SA(x) правоеквівалентний до матриці вигляду
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 255
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
A0 (x) =
El1 xs1
B21(x) El2 xs2
! ! !
Bh1(x) Bh2 (x) ! Elh xsh
, deg Buv (x) < su , codeg Buv (x) > sv .
Доведення. Із блоків матриць A(x) та S побудуємо матрицю
R11(x) = S11 S12 … S1h El1 A21(x) … Ah1(x) T !M (l1, F[x]) ,
де xs1 Au1(x) = Au1(x), u = 2, …, h . Розглянемо конгруенцію
X21(x)R11(x) ! S22 … S2h A21(x) … Ah1(x) T (mod xs2 )
з невідомим X21(x) !M (l2, l1, F[x]) . Оскільки codeg R11(x) = 0 і матриця R11(0) збігаєть-
ся з S11 !GL(l1, F), то існує єдиний розв’язок X21(x) = B21(x) цієї конгруенції такий, що
deg B21(x) < s2 . Очевидно також, що codeg B21(x) > s1 . Розв’язавши останню конгруенцію,
можемо знайти матрицю R21(x) !M (l2, l1, F[x]) так, що
x
s2 R21(x) = S22 … S2h A21(x) … Ah1(x) T ! B21(x)R11(x).
Якщо побудувати матриці R12 (x) !M (l1, l2, F[x]) , R22 (x) !M (l2, F[x]) так, що
xs1 R12 (x) = S12 S13 … S1h El2 xs2 A32 (x) … Ah2 (x)
T
,
xs2 R22 (x) = S22 S23 … S2h El2 xs2 A32 (x) … Ah2 (x)
T
! B21(x)R12 (x) ,
то на першому кроці можемо записати рівність
S11 S12 ! S1h
S22 ! S2h
El1 xs1
A21(x) El2 xs2
! !
Ah1(x) Ah2 (x)
=
El1 xs1
B21(x) El2 xs2
R11(x) R12 (x)
R21(x) R22 (x)
.
Розглянемо далі конгруенцію
X31(x) X32 (x)
R11(x) R12 (x)
R21(x) R22 (x)
!
256 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
! S33 … S3h
A31(x) A32 (x)
… …
Ah1(x) Ah2 (x)
(mod xs3 ) .
з невідомими X31(x) !M (l3, l1, F[x]) , X32 (x) !M (l3, l2, F[x]) . Оскільки
codeg R12 (x) > 0 ,
R11(0) R12 (0)
R21(0) R22 (0)
=
S11
* S22
!GL(l1 + l2, F),
то можна розв’язати останню конгруенцію та знайти єдиний розв’язок степеня меншого за s3 .
Молодший степінь цього розв’язку, очевидно, перевищує s1 . А через те, що
codeg A32 (x) … Ah2 (x) T > s2 , codeg R12 (x) ! s2 " s1 , R22 (0) = S22 !GL(l2, F),
маємо codeg B32 (x) > s2 . На основі розв’язку останньої конгруенції можемо знайти блочну
матрицю R31(x) R32 (x) !M (l3, l1 + l2, F[x]) таку, що
xs3 R31(x) R32 (x) = S33 ! S3h
A31(x) A32 (x)
! !
Ah1(x) Ah2 (x)
!
! B31(x) B32 (x)
R11(x) R12 (x)
R21(x) R22 (x)
,
де R31(x) !M (l3, l1, F[x]) , R32 (x) !M (l3, l2, F[x]) . Якщо, крім цього, утворити матриці
R13(x) !M (l1, l3, F[x]) , R23(x) !M (l2, l3, F[x]), R33(x) !M (l3, F[x]) так, що
xs1 R13(x) = S13 S14 … S1h El3 xs3 A43(x) … Ah3(x)
T
, xs2 R23(x) =
= S23 S24 … S2h El3 xs3 A43(x) … Ah3(x)
T
! B21(x)R13(x), x
s3 R33(x) =
= S33 S34 … S3h El3 xs3 A43(x) … Ah3(x)
T
! B31(x) B32 (x)
R13(x)
R23(x)
,
то на другому кроці можна переконатись у правильності рівності
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 257
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
S11 S12 S13 ! S1h
S22 S23 ! S2h
S33 ! S3h
El1 xs1
A21(x) El2 xs2
A31(x) A32 (x) El3 xs3
! ! !
Ah1(x) Ah2 (x) Ah3(x)
=
=
El1 xs1
B21(x) El2 xs2
B31(x) B32 (x) El3 xs3
R11(x) R12 (x) R13(x)
R21(x) R22 (x) R23(x)
R31)x) R32 (x) R33(x)
.
Продовжуючи так і далі, через h ! 1 крок знайдемо матрицю A0 (x) вказаного в умові
вигляду і побудуємо матрицю R(x) = Rij (x) 1
h !GL(n, F[x]) , які разом з матрицями A(x), S
задовольняють співвідношення SA(x) = A0 (x)R(x).
Твердження доведено.
Припустимо, що матриця N (x) !M (n, F[x]) має перший інваріантний множник !1(x) та
рівні між собою решту інваріантних множників !2 (x), до того ж виконується
!2 (x)/!1(x) = (x " #)l . Без обмеження загальності вважаємо, що ! = 0 і !1(x) = 1.
Тоді справджується наступне твердження.
Твердження 3. Матриця N (x) напівскалярно еквівалентна до матриці вигляду
QN (x)P(x) = A(x) =
1
a1(x) xl
! "
ar!1(x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
, 1 < r ! n , (2)
де
ai (x) = xli + ai1xli +1 + … + ai, l!li !1xl!1, i = 1, …, r ! 1, 0 < l1 < … < lr!1 < l , (3)
ai, li+1!li = ai, li+2 !li = … = ai, lr!1!li = 0. (4)
Числа l1, …, lr!1 та r визначаються матрицею N (x) однозначно.
Доведення. Можливість зведення матриці вказаними перетвореннями до нижньої трикут-
ної форми з головною діагоналлю (1, xl , …, xl ) показано у твердженні 1. Далі доведення
звідності до матриці потрібного вигляду з властивостями (3), (4) не викликає труднощів.
258 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
Нехай матриця (2) з умовами (3) напівскалярно еквівалентна до матриці
1
!a1(x) xl
" #
!a!r!1(x) xl
" xlEn!!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
, 1 < !r ! n , (5)
де !ai (x) = x!li + x!li +1ai (x) , i = 1, …, !r ! 1, 0 < !l1 < … < !l!r!1 < l . Тоді виконується рівність
skj 1
n
1
a1(x) xl
! "
an!1(x) xl
=
1
#a1(x) xl
! "
#an!1(x) xl
pkj (x) 1
n , (6)
де ar (x) = … = an!1(x) " 0 , !a!r (x) = … = !an!1(x) " 0, pkj (x) 1
n !GL(n, F[x]), skj 1
n !
!GL(n, F). Із цієї рівності можемо записати
s21 s22 … s2n 1 a1(x) … an!1(x) t = !a1(x)p11(x) + xl p21(x),
s31 s32 … s3n 1 a1(x) … an!1(x) t = !a2 (x)p11(x) + xl p31(x),
… … … … … … … … … … … … … … … … …
sn1 sn2 … snn 1 a1(x) … an!1(x) t = !an!1(x)p11(x) + xl pn1(x).
(7)
Покладаючи в рівностях (7) x = 0 , маємо s21 = s31 = … = sn1 = 0 . Оскільки p11(0) ! 0 , то
із першої рівності випливає імплікація a1(x) ! 0 " !a1(x) ! 0 . На основі властивості симет-
ричності напівскалярної еквівалентності дістаємо !a1(x) ! 0 " a1(x) ! 0 . Отже, має місце
еквівалентність a1(x) ! 0 " !a1(x) ! 0 .
Якщо a1(x) ! 0 , то з першої рівності системи (7) робимо висновок, що
!l1 ! l1, а з
урахуванням симетричності !l1 = l1 . Із другої рівності та всіх наступних тепер легко дістати
s32 = … = sn2 = 0 . Якщо a2 (x) ! 0 , то із другої рівності знаходимо !a2 (x) ! 0 . Тому з огляду
на симетричність маємо еквівалентність a2 (x) ! 0 " !a2 (x) ! 0 .
У випадку a2 (x) ! 0 , порівнюючи молодші степені у лівій та правій частинах другої рів-
ності системи (7), встановлюємо, що
!l2 ! l2 , а через симетричність насправді матимемо
!l2 = l2 . Тоді із третьої та всіх наступних рівностей отримуємо s43 = … = sn3 = 0 і т. д. Тому
в підсумку дістаємо, що в матрицях (2) і (5) !r = r , !li = li , i = 1, …, r ! 1, і в матриці пере-
творення skj 1
n в перших r її стовпцях всі піддіагональні елементи дорівнюють нулеві.
Твердження доведено.
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 259
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
Наслідок 1. Матриця перетворення skj 1
n у співвідношенні (6) має вигляд
skj 1
n =
s11 … s1, r+1 … s1n
! … … …
sr+1, r+1 … sr+1, n
… … …
sn, r+1 … snn
, s11 = … = srr . (8)
Перші r діагональних елементів можемо вважати рівними одиниці.
Розглянемо числа li , i = 1, …, r ! 1, — молодші степені елементів ai (x) матриці (2), які
згідно з твердженням 2 є інваріантами відносно напівскалярної еквівалентності. В загальному
випадку матриця A(x) вигляду (2) визначається неоднозначно. Однак у окремому випадку
виконується наступне твердження.
Твердження 4. Якщо для матриці (2) виконуються умови (3), (4) і 2l1 ! l , то вона
єдина у класі напівскалярно еквівалентних матриць.
Доведення. Нехай матриця (2) з умовами (3), (4) напівскалярно еквівалентна до матриці
B(x) =
1
b1(x) xl
! "
br!1(x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
, (9)
де
bi (x) = xli + bi1xli +1 + … + bi, l!li !1xl!1 , i = 1, …, r ! 1, (10)
bi, li+1!li = bi, li+2 !li = … = bi, lr!1!li = 0 . (11)
Тоді повинна виконуватися рівність
skj 1
n
1
a1(x) xl
! "
ar!1(x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
=
260 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
=
1
b1(x) xl
! "
br!1(x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
pkj (x) 1
n , (12)
де skj 1
n !GL(n, F), pkj (x) 1
n !GL(n, F[x]). Враховуючи вигляд (8) матриці перетворення
skj 1
n , на основі рівності (12) можна записати
s22a1(x) + … + s2rar!1(x) ! s11b1(x) " 0 (mod xl ).
Із цієї конгруенції, враховуючи рівність нулеві всіх мономів степенів l2, …, lr!1 многочленів
a1(x) , b1(x), дістаємо s23 = … = s2r = 0 і a1(x) = b1(x). Далі, із конгруенції
s33a2 (x) + … + s3rar!1(x) ! s11b2 (x) " 0 (mod xl ),
записаної на основі рівності (12), знаходимо s34 = … = s3r = 0 і a2 (x) = b2 (x).
Продовжуючи міркування і далі, отримуємо A(x) = B(x).
Твердження доведено.
Таким чином, матрицю A(x) вигляду (2) з умовами (3), (4) у розглянутому окремому ви-
падку, коли 2l1 ! l , можемо вважати канонічною.
Розглянемо загальніший випадок, коли в множині M = {l1, …, lr!1} для кожного li , i =
= 1, … , r ! 1, існує такий елемент lqi , що li + lqi !M і li + lqi < l або li + l1 ! l . У цій
ситуації істинним є наступне твердження.
Твердження 5. Нехай lqh — найменший елемент множини M = {l1, …, lr!1} такий, що
lh + lqh !M і lh + lqh < l , h = 1, …, t ! 1, 1 < t ! r , і lt + l1 ! l , якщо t < r . Тоді матриця
A(x) вигляду (2) з умовами (3), (4) напівскалярно еквівалентна до матриці B(x) вигляду (9)
з умовами (10), (11), в якій елемент bqh (x) не містить монома степеня lh + lqh . Матриця
B(x) визначається однозначно.
Доведення. Існування. На першому кроці фіксуємо елемент s12 !F , що дорівнює кое-
фіцієнту монома степеня l1 + lq1 елемента aq1 (x) матриці A(x), і з конгруенцій
ai (x) ! di1(x)(1 + s12a1(x)) (mod xl ), i = 1, …, r ! 1,
знаходимо многочлени d11(x), …, dr!1, 1(x) степеня меншого за l . Очевидно, що dq1, 1(x)
серед інших знайдених так многочленів буде вільним від монома степеня l1 + lq1 і ai (x) !
! di1(x) (mod xl1+li ), i = 1, …, r ! 1. Далі, побудуємо матрицю
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 261
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
A1(x) =
1
d11(x) xl
! "
dr!1, 1(x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
і переконаємось у правильності рівності
1 s12
1
! En"r
#
$
%
%
&
'
(
(
A(x) = A1(x) pkj1(x) 1
n ,
де елементи матриці pkj1(x) 1
n над F[x] задовольняють умови:
p111(x) = 1+ s12a1(x) , p121(x) = s12xl , p221(x) = 1! s12d11(x) ,
p321(x) = !s12d21(x) , … , pr21(x) = !s12dr!1, 1(x) ,
pi+1, 1, 1(x)xl = ai (x) ! di1(x)p111(x) , i = 1, …, r !1 ,
і всі решта діагональних елементів дорівнюють одиниці, а недіагональних — нулеві. В отри-
маній матриці A1(x), напівскалярно еквівалентній до матриці A(x), можуть бути втрачені
деякі потрібні властивості останньої. Однак ці властивості легко відновити додаванням одних
рядків, помножених на деякі елементи з поля F , до розміщених вище від них інших рядків та
відповідними операціями над стовпцями матриці A1(x). Щоб не вводити нових позначень,
будемо вважати, що елемент di1(x) матриці A1(x) є вільним від мономів степенів
li+1, …, lr!1, i = 1, …, r ! 1.
На другому кроці фіксуємо елемент s13 !F , що дорівнює коефіцієнту монома степеня
l2 + lq2 многочлена dq2 , 1(x) із матриці A1(x), і знаходимо елементи di2 (x) !F[x], i =
= 1, …, r ! 1, степеня меншого за l так, що
di1(x) ! di2 (x)(1 + s13d21(x)) (mod xl ) .
Легко переконатися, що серед знайдених так многочленів dq2 , 2 (x) не містить монома степеня
l2 + lq2 і di1(x) ! di2 (x) (mod xl2 +li ), i = 1, …, r ! 1. Далі, будуємо матрицю
A2 (x) =
1
d12 (x) xl
! "
dr!1, 2 (x) xl
" xlEn!r
#
$
%
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
(
,
262 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
яка напівскалярно еквівалентна до матриці A(x). Підтвердженням цього є рівність
1 0 s13
1 0
1
! En"3
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
A1(x) = A2 (x) pkj2 (x) 1
n ,
де в матриці pkj2 (x) 1
n
p112 (x) = 1 + s13d21(x) , p132 (x) = s13xl , p232 (x) = ! s13d12 (x) ,
p332 (x) = 1! s13d22 (x) , p432 (x) = ! s13d32 (x) , … , pr32 (x) = ! s13dr!1, 2 (x) ,
pi+1, 1, 2 (x)xl = di1(x) ! di2 (x)p112 (x) , i = 1, …, r ! 1,
і всі решта діагональних елементів дорівнюють одиниці, а недіагональних — нулеві. Якщо
деякі властивості матриці A1(x) в матриці A2 (x) втрачено, то їх легко поновити шляхом до-
давання одних рядків матриці A2 (x), помножених на деякі константи із F , до попередніх
рядків та відповідними операціями над стовпцями. В матриці A2 (x) елементи dq1, 2 (x) ,
dq2 , 2 (x) є вільними від мономів степенів l1 + lq1 , l2 + lq2 відповідно.
Продовжуючи так і далі, прийдемо до матриці вигляду (9) з потрібними властивостями.
Єдиність. Нехай задано напівскалярно еквівалентні матриці A(x) і B(x) з умовами (3),
(4) і (10), (11) відповідно, в яких многочлени aqh (x) і bqh (x) не містять мономів степенів
lh + lqh , h = 1, …, t ! 1. Тоді виконується рівність (12), у якій матриця skj 1
n має вигляд (8).
Із цієї рівності для i = 1, …, r ! 1 очевидним способом випливають конгруенції
si+1, i+1ai (x) + … + si+1, rar!1(x) " bi (x)(s11 + s12a1(x) + … + s1rar!1(x)) (mod xl ). (13)
При i = q1, …, i = qt!1 із (13) послідовно дістаємо s12 = 0, … , s1t = 0 і з урахуванням цього
при i = 1, …, r ! 1 будемо мати si+1, i+2 = … = si+1, r = 0 . Отже,
si+1, i+1ai (x) ! s11bi (x)) (mod xl ) , i = 1, …, r ! 1.
Оскільки deg ai (x) < l , deg bi (x) < l і si+1, i+1 = s11, то насправді ai (x) = bi (x).
Твердження доведено.
Таким чином, матрицю B(x) в умовах твердження 4 можна вважати канонічною щодо на-
півскалярної еквівалентності.
Повернeмося до матриці A(x) (2) і розглянемо випадок наявності елемента lt !M тако-
го, що lt + l1 !M і або lt + li !M , або lt + li ! l для i = 2, …, r ! 1. Нехай lt — наймен-
ший такий елемент. Якщо t > 1, то, як і раніше, позначимо через lqh найменший елемент із
M такий, що lh + lqh !M і lh + lqh < l , h = 1, …, t ! 1. Згідно з твердженням 5 можна
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 263
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
припускати, що елемент aqh (x) є вільним від монома степеня lh + lqh , h = 1, …, t ! 1. Всі по-
дальші перетворення не повинні порушувати цю властивість. Очевидно, codeg (a1(x)at (x)) =
= l1 + lt < l . Нехай l1 + lk < l для кожного k , t ! k ! u ! r " 1, і l1 + lu+1 ! l , якщо
u < r ! 1. Нехай також lt + l j !M для кожного j , 1 ! j ! v < r " 1, і lt + lv+1 ! l . Далі,
введемо позначення lt + l j = lt j , де lt j = codeg at j (x) . Добуток a j (x)ak (x) зведемо за моду-
лем xl :
a j (x)ak (x) ! c jk (x) (mod xl ) , j = 1, …, v , k = t, …, u .
Позначимо через Ajk стовпець висоти l ! l j ! lt , що складається із коефіцієнтів многочлена
c jk (x) , записаного у порядку зростання степенів, починаючи з монома степеня l j + lt і не
пропускаючи мономи з нульовими коефіцієнтами. За таким же правилом побудуємо стовпці із
коефіцієнтів кожного з многочленів
at j (x), at j +1(x), …, ar!1(x) і позначимо через At j
матрицю із цих r ! t j , j = 1, …, v , стовпців. Сконструюємо матрицю вигляду
D =
D1
D2
…
Dv
=
A1t … A1u At1
A2t … A2u At2
… … … !
Avt … Avu Atv
. (14)
Кожний рядок цієї матриці складається з коефіцієнтів різних многочленів при одному і тому ж
степені x . Тому рядку підматриці
Dj = Ajt … Aju 0 … At j … 0 , j = 1, …, v , (15)
із коефіцієнтів при деякому степені xh поставимо у відповідність моном того ж степеня
многочлена a j (x) . Отже, рядки матриці (14) будуть „міченими” коефіцієнтами елементів
a1(x), …, av (x) матриці A(x). Підматриці Dj (15) матриці (14) горизонтальними лініями
розіб’ємо на u ! t + 1 блоків, кількість рядків в кожному із них (рахуючи зверху вниз) складає
відповідно lt+1 ! lt , lt+2 ! lt+1, … , l ! l j ! lu :
Dj = D1 j … Du!t+1, j
T , j = 1, …, v .
Тоді матрицю (14) можна зобразити у вигляді
D = D11 … Du!t+1, 1 … D1v … Du!t+1, v
T
. (16)
Оскільки послідовність чисел рядків у підматрицях Dj , j = 1, …, v , спадає, то за вказаного
розбиття матриці D деякі блоки можуть виявитися порожніми. Блочними перестановками
перейдемо від матриці (16) до матриці вигляду
264 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
!D = !D1 … !Du!t+1
T ,
!Dm = !Dm1 … !Dm, v
T
, m = 1, …, u ! t + 1. (17)
Нагадаємо, що так само, як і в матриці D , кожному рядку матриці !D відповідає деякий,
можливо з нульовим коефіцієнтом, моном одного із многочленів a1(x), …, av (x), які є еле-
ментами матриці A(x) (2).
Означення 2. Матриця A(x) вигляду (2) з умовами (3), (4) називається канонічною в
класі напівскалярно еквівалентних за виконання таких умов:
1) якщо lqh , h = 1,…, t ! 1 , — найменший елемент множини M такий, що lh +
+ lqh !M і lh + lqh < l , то елемент aqh (x) цієї матриці є вільним від монома степеня
lh + lqh ;
2) якщо lt + l1 !M і для кожного i = 2, …, r ! 1 або lt + li !M , або lt + li ! l , то
елементи a1(x), …, av (x) є вільними від мономів, що відповідають максимальній системі
перших лінійно незалежних рядків матриці !D (17).
Теорема. У класі напівскалярно еквівалентних матриць існує, до того ж єдина,
канонічна матриця в сенсі означення 2.
Попередньо доведемо одне допоміжне твердження.
Твердження 6. Для матриць skj 1
n !GL(n, F) вигляду (8) та A(x) вигляду (2) з умо-
вою (3) існують матриці pkj (x) 1
n !GL(n, F[x]) і B(x) вигляду (9) з умовою (10), які
задовольняють рівність (12).
Доведення. Існування оборотної матриці pkj (x) 1
n та деякої матриці B(x) вигляду (9)
випливає з твердження 2. Покажемо, що матриця B(x) має властивості (10). Для цього роз-
глянемо конгруенції (13), з яких при i = 1 одержуємо b1(x) = xl1 + xl1+1b1(x). При i = 2
аналогічно отримуємо b2 (x) = xl2 + xl2 +1b2 (x) і т. д.
Твердження доведено.
Доведення теореми. Єдиність. Нехай канонічні матриці A(x) та B(x) вигляду (2 ) та
(9) напівскалярно еквівалентні. Тоді, аналогічно до доведення твердження 4, із конгруенцій
(13) при i = q1, …, i = qt!1 отримуємо s12 = 0, …, s1t = 0 , а при i = 1, …, r ! 1 знаходимо
s23 = … = s2t1 = 0 , s34 = … = s3t2 = 0 , ... , sv+1, v+2 = … = sv+1, tv = 0 , sv+2, v+3 = …
… = sv+2, r = 0, ... , sr!1, r = 0 . Таким чином, із конгруенцій (13) випливає, що
ai (x) ! bi (x) (mod xli +lt ), i = 1, …, r ! 1. (18)
Із (18) з огляду на нерівності lt + lm ! l , m = v + 1, …, r ! 1, та вигляд многочленів
am (x), bm (x) отримуємо рівності am (x) = bm (x).
Розглянемо многочлени c j (x) = a j (x) ! bj (x) , j = 1, …, v . Запишемо кожен із них у по-
рядку зростання степенів, починаючи з монома степеня lt j = lt + l j (з нульовим коефіцієнтом)
і до степеня l ! 1, не пропускаючи мономи з нульовими коефіцієнтами. Позначимо через C j
стовпець коефіцієнтів многочлена c j (x) і запишемо його у вигляді
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 265
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
C j = C1 j
t C2 j
t … Cu!t+1, j
t t
,
де висоти підстовпців C1 j , C2 j , …, Cu!t+1, j дорівнюють lt+1 ! lt , lt+2 ! lt+1, …, l ! l j ! lu
відповідно. Із конгруенцій (18) знаходимо
bj (x)at (x) ! a j (x)at (x) (mod xl j +2lt ) , j = 1, …, v .
Оскільки l1 + lt ! lt+1 і lt ! l1, то l j + 2lt ! l j + lt+1. Таким чином, на підставі наслідку 1 із
конгруенцій (13) в позначеннях (17) випливає рівність
!D1S = C11
t … C1v
t t
,
де
S = s1, t+1 … s1, u+1 !s2, t1+1 … !s2r … !sv+1, tv +1 … !sv+1, r
t
.
Оскільки елементи стовпця
C11
t … C1v
t t
, що відповідають максимальній системі пер-
ших лінійно незалежних рядків матриці !D1, дорівнюють нулеві, то цей стовпець насправді є
нульовим. Тому a j (x) ! bj (x) (mod xl j +lt+1 ), j = 1, …, v . На основі цього для j = 1, …, v
маємо конгруенції
bj (x)at (x) ! a j (x)at (x) (mod xl j +lt +lt+1 ) , bj (x)at+1(x) ! a j (x)at+1(x) (mod xl j +2lt+1 ) .
А через те, що l2 + lt ! lt+2 і lt+1 ! l2 , маємо lt + lt+1 ! lt+2 , звідки дістаємо нерівності
l j + lt + lt+1 ! l j + lt+2 і l j + 2lt+1 ! l j + lt+2 . Тому на основі конгруенцій (13), враховуючи
наслідок 1, можемо записати рівність
!D1
!D2
S = C11
t … C1v
t C21
t … C2v
t t
,
де C1 j , j = 1, …, v , — нульові стовпці. Оскільки у правій частині рівності елементи стовпця,
що відповідають максимальній системі перших лінійно незалежних рядків матриці у лівій
частині, нульові, то C2 j = 0 . Тому
a j (x) ! bj (x) (mod xl j +lt+2 ), j = 1, …, v .
Продовжуючи міркування, отримуємо c j (x) ! 0 , тому
a j (x) = bj (x) , j = 1, …, v .
Існування. Нехай дано матрицю A(x) вигляду (2) з умовами (3), (4). Як зазначалося, мо-
жемо вважати, що у випадку t > 1 елемент aqh (x) цієї матриці є вільним від монома степеня
266 Б. З. ШАВАРОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
lh + lqh , h = 1, …, t ! 1. Позначимо через D̂1 підматрицю з максимального числа перших
лінійно незалежних рядків матриці !D1 із (17), якщо відповідний рядкам цієї підматриці стов-
пець G1 коефіцієнтів многочленів a1(x), …, av (x) є нульовим. На першому кроці розгля-
немо рівняння D̂1X = G1 з невідомим
X = x1, t+1 … x1, u+1 x2, t1+1 … x2r … xv+1, tv +1 … xv+1, r
t
.
Це рівняння, очевидно, має розв’язок, оскільки рядки матриці D̂1 є лінійно незалежними.
Зрозуміло, що ті компоненти розв’язку, які „падають” на нульові стовпці матриці D̂1 (на-
приклад, x1, t+1), вважаємо нульовими. За компонентами знайденого розв’язку
x1, t+1, 1 … x1, u+1, 1 x2, t1+1, 1 … x2r1 … xv+1, tv +1, 1 … xv+1, r, 1
t
побудуємо верхню унітрикутну матрицю S1 = skj1 1
n , де
s1,t+1, 1 = x1,t+1, 1, … , s1,u+1, 1 = x1,u+1, 1, s2, t1+1, 1 = ! x2, t1+1, 1, …
… , s2r1 = ! x2r1 , … , sv+1, tv +1, 1 = ! xv+1, tv +1, 1, … , sv+1, r, 1 = ! xv+1, r, 1
і всі інші недіагональні елементи дорівнюють нулеві. За твердженням 6 добуток S1A(x) є
правоеквівалентним до деякої матриці B(x) вигляду (9) з умовами (10). Зауважимо, що
матриця !D1, побудована для A(x), і аналогічна матриця для B(x) збігаються і, більше того,
коефіцієнти многочленів b1(x), …, bv (x), які відповідають максимальній системі перших
лінійно незалежних рядків матриці !D1, дорівнюють нулеві. У матриці B(x) зберігаються
також й інші потрібні властивості матриці A(x).
Щоб не вводити на кожному кроці нових позначень для отриманої матриці, будемо вважа-
ти, що набуті властивості вже має матриця A(x), і на другому кроці позначимо через D̂2
підматрицю з максимального числа перших лінійно незалежних рядків матриці
!D1 !D2
T
із (17). Якщо стовпець G2 із коефіцієнтів многочленів a1(x), …, av (x), що відповідає ряд-
кам матриці D̂2 , є нульовим, то розглянемо рівняння D̂2X = G2 . Через лінійну незалежність
рядків матриці D̂2 це рівняння є розв’язним. За розв’язком
x1, t+1, 2 … x1, u+1, 2 x2, t1+1, 2 … x2r2 … xv+1, tv +1, 2 … xv+1, r, 2
t
цього рівняння побудуємо верхню унітрикутну матрицю S2 = skj2 1
n , де
s1,t+1, 2 = x1,t+1, 2 , … , s1,u+1, 2 = x1,u+1, 2 , s2, t1+1, 2 = ! x2, t1+1, 2 , …
… , s2r2 = ! x2r2 , … , sv+1, tv +1, 2 = ! xv+1, tv +1, 2 , … , sv+1, r, 2 = ! xv+1, r, 2
і всі решта недіагональних елементів дорівнюють нулеві. Згідно з твердженням 6 матриця
КАНОНІЧНА ФОРМА МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ … 267
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
A(x) за допомогою S2 та деякої оборотної матриці зводиться до вигляду (9) з умовами (10).
Можна переконатися, що отримана в результаті матриця B(x) має властивості (11) та інші
властивості матриці A(x). Слід зазначити також, що підматриця
!D1 !D2
T матриці !D та
відповідна підматриця, побудована для B(x), збігаються. До того ж коефіцієнти многочленів
b1(x), …, bv (x), які відповідають максимальній системі перших лінійно незалежних рядків
матриці
!D1 !D2
T , є нульовими.
Цим робимо ще один крок у зведенні матриці A(x). Продовжуючи так і далі, у підсумку
дістаємо канонічну матрицю.
Теорему доведено.
Ми розглянули всі можливі випадки і в кожному із них вказали канонічну форму много-
членної матриці щодо напівскалярної еквівалентності. Отриману тут канонічну форму для
многочленної матриці у класі напівскалярно еквівалентних матриць можна застосувати для
побудови канонічної форми відповідного типу наборів матриць над полем F у класі подібних
наборів.
1. Казімірський П. С ., Петричкович В. М . Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теоретичні та
прикладні питання алгебри і диференціальних рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 61 – 66.
2. Казімірський П. С. Розклад матричних многочленів на множники. – Київ: Наук. думка, 1981. – 224 с.
3. Baratchart L. Un theoreme de factorisation et son application a la representation des systemes cycliques causaux //
C. r. Acad. sci. Paris. Ser. 1. Math. – 1982. – 295, № 3. – P. 223 – 226.
4. Dias da Silva J. A., Laffey T. J. On simultaneous similarity of matrices and related questions // Linear Algebra and its
Appl. – 1999. – 291. – P. 167 – 184.
5. Петричкович В. М . О полускалярной эквивалентности и н ормальной форме Смита многочленных матриц //
Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1987. – 26. – С. 13 – 16.
6. Петричкович В. М. Полускалярная эквивалентность и факторизация многочленных матриц // Укр. мат. журн.
– 1990. – 42, № 5. – С. 644 – 649.
7. Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричныe задачи. – Киев: Ин-т мaтематики АН УССР,
1977. – С. 104 – 114.
8. Бондаренко В. М., Дрозд Ю. А . Представленческий тип конечных групп // Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1977. –
71. – С. 24 – 41.
9. Sergeichuk V. V. Canonical matrices for linear matrix problems // Linear Algebra Appl. – 2000. – 317. – P. 53 – 102.
10. Шаваровский Б. З. Редукция матриц при помощи эквивалентных и подобных преобразований // Мат. заметки. –
1998. – 65, № 5. – С. 769 – 782.
11. Шаваровский Б. З . О некоторых „ручных” и „ диких” аспектах проблемы полускалярной эквивалентности
многочленных матриц // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 1. – С. 119 – 132.
Одержано 17.05.11
|