Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу
Получены необходимые и достаточные условия управляемости решений линейных неоднородных интегральных уравнений.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164144 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу / С.В. Боднарчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 268-274. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164144 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641442020-02-23T18:40:45Z Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу Боднарчук, С.В. Короткі повідомлення Получены необходимые и достаточные условия управляемости решений линейных неоднородных интегральных уравнений. Necessary and sufficient conditions for the controllability of solutions of linear inhomogeneous integral equations are obtained. 2012 Article Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу / С.В. Боднарчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 268-274. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164144 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Боднарчук, С.В. Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу Український математичний журнал |
| description |
Получены необходимые и достаточные условия управляемости решений линейных неоднородных интегральных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Боднарчук, С.В. |
| author_facet |
Боднарчук, С.В. |
| author_sort |
Боднарчук, С.В. |
| title |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| title_short |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| title_full |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| title_fullStr |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| title_full_unstemmed |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| title_sort |
керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164144 |
| citation_txt |
Керування лінійними динамічними системами перетвореннями часу / С.В. Боднарчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 2. — С. 268-274. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bodnarčuksv keruvannâlíníjnimidinamíčnimisistemamiperetvorennâmičasu |
| first_indexed |
2025-07-14T16:40:35Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:40:35Z |
| _version_ |
1837641222238240768 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 519.21
С. В. Боднарчук (Нац. техн. ун-т України „КПI”)
КЕРУВАННЯ ЛIНIЙНИМИ ДИНАМIЧНИМИ СИСТЕМАМИ
ПЕРЕТВОРЕННЯМИ ЧАСУ
Necessary and sufficient conditions for the controllability of solutions of linear inhomogeneous integral equations are
obtained.
Получены необходимые и достаточные условия управляемости решений линейных неоднородных интегральных
уравнений.
Вступ. У данiй роботi ми розглядаємо одну задачу керування для лiнiйних динамiчних систем,
що мають вигляд iнтегральних рiвнянь
x(t) = x+
t∫
0
Ax(s)ds+Bγ(t), t ≥ 0, (1)
де x(0) = x ∈ Rm, A, B — матрицi розмiрiв m ×m, m × d вiдповiдно, γ : R+ → Rd — деяка
вимiрна обмежена функцiя, x(·) : R+ → Rm — невiдома функцiя, яка вiдображає положення
динамiчної системи в момент часу t > 0.
В залежностi вiд поставленої задачi можна розглядати рiзнi методи керування динамiчними
системами. В класичнiй теорiї задача керування формулюється таким чином (див., наприклад,
[1]): чи iснує для заданого початкового положення x така функцiя γ, що x(t) = 0 для деякого
t > 0? Iншими словами, у класичнiй постановцi роль керування вiдiграють самi функцiї
неоднорiдностi γ. В данiй статтi пропонується iнший пiдхiд до поняття керування. А саме,
задача керування тепер формулюється так: чи iснують такi функцiя неоднорiдностi γ та окiл U
точки 0 ∈ Rm, що для довiльного x ∈ U iснує таке перетворення часу λ : [0,+∞) → [0,+∞),
що розв’язок рiвняння (1) з неоднорiднiстю γ(λ(t)) при деякому T > 0 збiгається з розв’язком
цього ж рiвняння з x = 0 та неоднорiднiстю γ(t)?
Одна з причин, яка приводить до необхiдностi дослiдження такого методу керування розв’яз-
ками iнтегральних рiвнянь, полягає в тому, що, як вiдомо, теорiя керування — в даному контекстi
стохастичного керування — є потужним засобом дослiдження ергодичних властивостей проце-
сiв Маркова. Так, для доведення ергодичностi марковських процесiв, що задаються як розв’язки
стохастичних диференцiальних рiвнянь дифузiйного типу, часто використовують „каплiнговий”
метод (див., наприклад, [2]), суть якого полягає в тому, що для близьких початкових положень x
та y будують таку пару розв’язкiв (каплiнг) x(t) та y(t), що з великою ймовiрнiстю x(t) = y(t)
починаючи з деякого моменту часу T. Такий каплiнг будується за допомогою збурення одно-
го з розв’язкiв шляхом замiни випадкового шуму iншим, причому така замiна з необхiднiстю
повинна задавати допустиме перетворення розподiлу шуму. В дифузiйному випадку цей шум
задається процесом Вiнера, а перетворення шуму мають вигляд
c© С. В. БОДНАРЧУК, 2012
268 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЕРУВАННЯ ЛIНIЙНИМИ ДИНАМIЧНИМИ СИСТЕМАМИ ПЕРЕТВОРЕННЯМИ ЧАСУ 269
dW̃ (t) = dW (t) + v(t)dt, (2)
де керування v(t) будується таким чином, щоб забезпечити „склеювання” траєкторiй розв’язкiв.
При цьому v, як правило, є випадковим (тобто залежить вiд W ), а допустимiсть перетворення
вигляду (2) забезпечується за допомогою теореми Гiрсанова.
Наша загальна мета полягає в тому, щоб узагальнити цей метод на клас процесiв Маркова,
заданих як розв’язки стохастичних диференцiальних рiвнянь з шумом Левi. При цьому таке уза-
гальнення вимагає ґрунтовних змiн у структурi методу, тому що, як вiдомо, зсуви процесу Левi
без дифузiйної компоненти призводять до сингулярних мiр. У цьому випадку допустимими бу-
дуть перетворення точкової мiри, що породжує шум (див., наприклад, [3], гл. 9). Зауважимо, що
такi перетворення можна реалiзувати за допомогою перетворень змiни часу (див., наприклад,
[4]). Дана стаття мiстить перший крок на шляху до реалiзацiї описаної вище програми: в най-
простiшому випадку лiнiйного iнтегрального рiвняння ми встановлюємо необхiдну й достатню
умову керованостi за допомогою детермiнованих перетворень часу.
Також вiдмiтимо, що iснує нетривiальний зв’язок мiж теорiєю керування для лiнiйних рiв-
нянь вигляду (1) та питанням про гiпоелiптичнiсть (тобто iснування гладкої щiльностi розподiлу
розв’язку) для рiвнянь вигляду
X(t) = X(0) +
t∫
0
AX(s)ds+BW (t), t ≥ 0, (3)
де X(0) ∈ Rm, A, B — матрицi розмiрiв m × m, m × d вiдповiдно, W — вiнерiв процес у
Rd. Так, вiдома умова керованостi Калмана для класичної задачi керування рiвнянням (1) має
вигляд (див. [1])
Rank [B,AB, . . . , Am−1B] = m, (4)
де [B,AB, . . . , Am−1B] — матриця, що складається з матриць B,AB, . . . , Am−1B як з блокiв.
З iншого боку, ця умова є необхiдною та достатньою для того, щоб розв’язок рiвняння (3) мав
гладку щiльнiсть розподiлу (див., наприклад, [5] та наведену там бiблiографiю). Зазначимо,
що в останньому рiвняннi роль шуму вiдiграє саме вiнерiв процес. Питання про iснування та
гладкiсть щiльностi розподiлу розв’язку стохастичного диференцiального рiвняння з шумом
Левi було розглянуто у статтях [6, 7] (див. також [5, 8]). У цих роботах було наведено умову
Rank[AB,AB2, . . . , AmB] = m, (5)
яка при виконаннi умови Ямазато (див. [9]) є необхiдною та достатньою для iснування щiльностi
розподiлу розв’язку стохастичного диференцiального рiвняння з шумом Левi без дифузiйної
компоненти. Виявляється, що умова (5) буде необхiдною та достатньою для керованостi рiвнян-
ня (1) перетвореннями часу.
Постановка задачi та основна теорема. Сформулюємо основнi означення, якi ми буде-
мо використовувати при дослiдженнi рiвняння (1). Оскiльки для нас є важливим зв’язок мiж
теорiєю керування та стохастичними диференцiальними рiвняннями, то розв’язок рiвняння (1)
будемо розглядати як траєкторiю деякого випадкового процесу, а функцiю γ будемо називати
конфiгурацiєю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
270 С. В. БОДНАРЧУК
Означення 1. Перетворенням часу на промiжку [0, T ] будемо називати таку неперервну
строго зростаючу функцiю λ : [0, T ]→ [0, T ], що λ(0) = 0, λ(T ) = T.
Далi позначаємо через ΛT множину всiх перетворень часу на промiжку [0, T ].
Означення 2. Результатом керуванням (або коротко керуванням) розв’язком рiвняння (1)
за допомогою перетворення часу λ будемо називати розв’язок iнтегрального рiвняння вигляду
x(t) = x+
t∫
0
Ax(s)ds+Bγ(λ(t)), t ≥ 0. (6)
Розв’язок рiвняння (1) далi будемо позначати через x(t, x, γ), а розв’язок рiвняння (6) —
через xλ(t, x, γ). При цьому очевидно, що xλ(t, x, γ) = x(t, x, γ ◦ λ), де (γ ◦ λ)(t) = γ(λ(t)),
t ≥ 0.
Означення 3. Рiвняння (1) з заданою конфiгурацiєю γ будемо називати ΛT -керованим в
нулi на промiжку [0, T ], якщо iснує такий окiл U точки 0 ∈ Rm, що для довiльного x ∈ U iснує
λ ∈ ΛT , для якої виконується
xλ(T, x, γ) = x(T, 0, γ).
У цьому випадку будемо також казати, що конфiгурацiя γ допускає ΛT -керування розв’язком
рiвняння (1).
Нехай Σd
m – множина кусково-сталих функцiй з R+ в Rd з m стрибками. Справджується
наступна теорема.
Теорема. Наступнi умови еквiвалентнi:
1. Rank [AB, . . . , AmB] = m.
2. Iснують T > 0 та обмежена вимiрна конфiгурацiя γ, яка допускає ΛT -керування розв’яз-
ком рiвняння (1).
3. Для кожного T > 0 iснує конфiгурацiя γ ∈ Σd
m, яка допускає ΛT -керування розв’язком
рiвняння (1).
Доведення теореми. Доведення iмплiкацiї 1) ⇒ 3) будемо проводити конструктивним
чином. А саме, побудуємо конфiгурацiю γ ∈ Σd
m, яка допускає ΛT -керування. Почнемо з
доведення наступної допомiжної леми.
Лема. Нехай виконано умову 1 теореми. Тодi для кожного T > 0 iснують такi вектори
u1, . . . , um ∈ Rd та моменти часу τ∗1 , . . . , τ
∗
m ∈ [0, T ], що
det
∂
∂τk
m∑
j=1
eτjABuj
l
∣∣∣∣∣∣
τ=(τ∗1 ,...,τ
∗
m)
m
k,l=1
6= 0. (7)
Доведення. Нехай (7) не виконується, тобто
det
∂
∂τk
m∑
j=1
eτjABuj
l
m
k,l=1
= 0
для всiх u1, . . . , um ∈ Rd, τ1, . . . , τm ∈ [0, T ]. Звiдси випливає, що для всiх u1, . . . , um ∈ Rd,
τ1, . . . , τm ∈ [0, T ] вектори {eτjAABuj , j = 1, . . . ,m} є лiнiйно залежними. Покажемо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЕРУВАННЯ ЛIНIЙНИМИ ДИНАМIЧНИМИ СИСТЕМАМИ ПЕРЕТВОРЕННЯМИ ЧАСУ 271
iснують такi v1, . . . , vr ∈ Rd, ρ1, . . . , ρr ∈ [0, T ], r < m, що вектори {eρjAABvj , j = 1, . . . , r}
є лiнiйно незалежними та для всiх u ∈ Rd, τ ∈ [0, T ] вектор eτAABu можна подати у виглядi
лiнiйної комбiнацiї векторiв {eρjAABvj , j = 1, . . . , r}.
Припустимо, що це не так, тобто iснують такi vr+1 ∈ Rd, ρr+1 ∈ [0, T ], що вектор
eρr+1AABvr+1 не виражається лiнiйно через вектори {eρjAABvj , j = 1, . . . , r}. Додамо цей
вектор до початкової системи лiнiйно незалежних векторiв. Отримаємо систему лiнiйно неза-
лежних векторiв {eρjAABvj , j = 1, . . . , r+1}. Виконавши операцiю додавання лiнiйно незалеж-
ного векторa достатню кiлькiсть разiв, отримаємо систему векторiв, яка задовольняє початкове
припущення (кiлькiсть таких операцiй є скiнченною, оскiльки розмiрнiсть простору скiнченна).
Нехай L — пiдпростiр в Rm, який породжений векторами {eρjAABvj , j = 1, . . . , r}. Тодi
для всiх u ∈ Rd, τ ∈ [0, T ] : eτAABu ∈ L. Оскiльки L — замкнена множина, то всi похiднi по τ
вiд функцiї eτAABu належать множинi L, тобто ∀n : AnBu ∈ L. Розмiрнiсть простору L менша
нiж m, тому iснує такий вектор c ∈ Rm, що c⊥L. Тодi ∀u ∈ Rd : cTABu = . . . = cTAmBu = 0,
а це еквiвалентно рiвностi cTAB = . . . = cTAmB = 0 (це легко перевiрити). Тобто умова 1 не
виконується, що i доводить лему.
Перейдемо до доведення теореми.
1) ⇒ 3). Розглянемо γ(t) =
∑m
k=1
ukχ{t>τ∗k }, де {uk, τ∗k}, k = 1, . . . ,m, вибрано так, як у
лемi. Тодi розв’язок (1) з x = 0 в точцi t = T буде мати вигляд
x(T, 0, γ) =
m∑
k=1
e(T−τ
∗
k )ABuk.
Розглянемо функцiю F (x, τ)=
∑m
k=1
e−τkABuk+x−e−TAx(T, 0, γ), x ∈ Rm, τ = (τ1, . . . , τm)T .
Функцiя F задовольняє умови теореми про iснування та властивостi неявної функцiї (див. [10,
c. 382, 383]):
1) F (0, τ∗) = 0;
2) F ∈ C1(Rm+m,Rm);
3)
∂(F1, . . . , Fm)
∂(τ1, . . . , τm)
(0, τ∗) 6= 0 (за лемою).
Тому iснують такi окiлU точки 0 ∈ Rm та функцiя τ(x) : U→Rm, τ(x)=(τ1(x),. . . ,τm(x))T ,
що τ(0) = τ∗ та для довiльного x ∈ U F (x, τ(x)) = 0. Перепишемо останню рiвнiсть в явному
виглядi
m∑
k=1
e−τk(x)ABuk + x− e−TAx(T, 0, γ) = 0. (8)
Перетворення часу λ будуємо у виглядi ламаної з вершинами у точках (0, 0), (τ∗1 , τ1(x)), . . .
. . . , (τ∗m, τm(x)), (T, T ). Також її можна зробити зростаючою, оскiльки функцiя τ є неперерв-
ною. Рiвнiсть (8) запишемо таким чином:
x(T, 0, γ) = eTA(x+
m∑
k=1
e−τk(x)ABuk). (9)
Легко бачити, що величина у правiй частинi (9) є розв’язком рiвняння (6), а отже, виконується
рiвнiсть x(T, x, γ ◦ λ) = x(T, 0, γ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
272 С. В. БОДНАРЧУК
Iмплiкацiя 3)⇒ 2) є очевидною.
2)⇒ 1). Iмплiкацiя справедлива, по сутi, з тих же самих причин, що й вiдповiдна iмплiкацiя
у критерiї Калмана (див. теорему 2.3 в [1]). А саме, нехай γ∗(t) = γ(λ(t)), t ∈ [0, T ]. Тодi
розв’язок (6) можна записати у виглядi
x(t) = Bγ∗(t)− etABγ∗(0) + etAx+
t∫
0
e(t−s)AABγ∗(s)ds.
За умовою теореми маємо
Bγ∗(T )− eTABγ∗(0) + eTAx+
T∫
0
e(T−s)AABγ∗(s)ds =
= Bγ(T )− eTABγ(0) +
T∫
0
e(T−s)AABγ(s)ds.
Оскiльки γ∗(0) = γ(0), γ∗(T ) = γ(T ), то буде виконуватись рiвнiсть
x+
T∫
0
e−sAAB(γ∗(s)− γ(s))ds = 0.
Припустимо тепер, що умова 1 не виконується. Тодi iснує такий ненульовий вектор b ∈ Rm,
що
bTAB = . . . = bTAmB = 0. (10)
Нехай p(µ) = det(A−µE) = µm+αm−1µ
m−1 + . . .+α1µ+α0 — характеристичний многочлен
матрицi A. Тодi за теоремою Гамiльтона – Келi (див. [11])
p(A) = Am + αm−1A
m−1 + . . .+ α1A+ α0 = 0,
тобто
Am = −αm−1Am−1 − . . .− α1A− α0.
Помноживши останню рiвнiсть злiва на bTA, а справа на B, отримаємо
bTAm+1B = −αm−1bTAmB − . . .− α1b
TA2B − α0b
TAB.
Використавши припущення (10), одержимо bTAm+1B = 0. Тому, за iндукцiєю, ∀k ≥ 1:
bTAkB = 0. Розглянемо
bT e−sAAB = bT
∞∑
k=0
(−s)k
k!
Ak+1B =
∞∑
k=0
(−s)k
k!
bTAk+1B = 0,
тобто
∫ T
0
bT e−sAAB(γ∗(s) − γ(s))ds = 0. Звiдси випливає, що bTx = 0, а це суперечить
умовi 2.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЕРУВАННЯ ЛIНIЙНИМИ ДИНАМIЧНИМИ СИСТЕМАМИ ПЕРЕТВОРЕННЯМИ ЧАСУ 273
Наступний приклад показує, що ΛT -керування, взагалi кажучи, залежить вiд поведiнки
конфiгурацiї на всьому часовому промiжку [0, T ].
Приклад. Розглянемо систему iнтегральних рiвнянь
x1(t) =
t∫
0
x2(s)ds+ γ(t),
x2(t) =
t∫
0
x1(s)ds.
(11)
Вона має вигляд (1) з m = 2, d = 1, матрицями
A =
(
0 1
1 0
)
, B =
(
1
0
)
.
Умова 1 теореми виконується, оскiльки
Rank [AB,A2B] = Rank
(
0 1
1 0
)
= 2.
Розглянемо ΛT -керування в нулi для конфiгурацiї γ(t) = uχ{t>τ∗1 }+vχ{t>τ∗2 }, u, v ∈ R\{0},
τ∗1 , τ
∗
2 ∈ [0, T ], τ∗1 6= τ∗2 , χA — характеристична функцiя множини A. Можна записати керування
явно, але його вигляд буде досить громiздким. Краще розглянути розклад Тейлора в нулi функцiї
τ(x) = (τ1(x), τ2(x))T , x = (x1, x2)
T :
τ(x) = τ∗ + τ ′(0)x+ o(x), x→ 0,
де τ ′(x) = −(F ′τ (x, τ))−1F ′x(x, τ). Оскiльки
e−τA =
(
ch τ − sh τ
− sh τ ch τ
)
,
то F (x, τ) має вигляд
F (x, τ) =
(
u ch τ1 + v ch τ2 + x1 − chTx1(T ) + shTx2(T )
−u sh τ1 − v sh τ2 + x2 + shTx1(T )− chTx2(T )
)
.
Тому
F ′x(x, τ) =
(
1 0
0 1
)
, F ′τ (x, τ) =
(
u sh τ1 v sh τ2
−u ch τ1 −v ch τ2
)
.
Знаходячи (F ′τ (x, τ))−1, отримуємо наступне:
τ ′(0) =
1
sh(τ∗2 − τ∗1 )
1
u
ch τ∗2
1
u
sh τ∗2
−1
v
ch τ∗1 −1
v
sh τ∗2
,
тобто (
τ1(x)
τ2(x)
)
=
τ
∗
1 +
ch τ∗2
u sh(τ∗2 − τ∗1 )
x1 +
sh τ∗2
u sh(τ∗2 − τ∗1 )
x2
τ∗2 −
ch τ∗1
v sh(τ∗2 − τ∗1 )
x1 −
sh τ∗1
v sh(τ∗2 − τ∗1 )
x2
+ o(x), x→ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
274 С. В. БОДНАРЧУК
Висновки. В статтi розглянуто один пiдхiд до керування розв’язками лiнiйних неоднорiд-
них iнтегральних рiвнянь. Запропонований метод керування є корисним для доведення ер-
годичностi марковських процесiв, що задаються як розв’язки стохастичних диференцiальних
рiвнянь з шумом Левi. Наведений приклад показує, що керування перетвореннями часу, взагалi
кажучи, залежать вiд поведiнки неоднорiдностi на всьому часовому промiжку. З точки зору
теорiї стохастичного керування це означає, що в даному контекстi не можна очiкувати, що
процес керування буде узгодженим з фiльтрацiєю, породженою процесом Левi, що входить до
стохастичних диференцiальних рiвнянь як шум.
1. Evans L. C. An introduction to mathematical optimal control theory // http://math.berkeley.edu/evans/control.
course.pdf.
2. Hairer M., Pillai N. S. Ergodicity of hypoelliptic SDEs driven by fractional Brownian motion // Ann. Inst. H. Poincaré,
Probab. Statist . – 2011. – 47, № 2. – P. 601 – 628.
3. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. – М.: Наука, 1964. – 280 с.
4. Kulik A. M. Absolute continuity and convergence in variation for distributions of functionals of Poisson point measure
// J. Theor. Probab. – 2011. – 24, № 1. – P. 1 – 38.
5. Priola E., Zabczyk J. Densities for Ornstein – Uhlenbeck processes with jumps // Bull. London Math. Soc. – 2009. –
41. – P. 41 – 50.
6. Bodnarchuk S. V., Kulik A. M. Conditions for the existence and smothness of the distribution density of the Ornstein –
Uhlenbeck process with Lévy noise // Theor. Probab. and Math. Statist. – 2009. – 79. – P. 23 – 38.
7. Боднарчук С. В., Кулик А. М. Условия гладкости плотности распределения решения многомерного линейного
стохастического дифференциального уравнения с шумом Леви // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 4. – С. 435 – 447.
8. Simon T. On the absolute continuity of multidimensional Ornstein – Uhlenbeck processes // Probab. Theory Relat.
Fields. DOI 10.1007/s00440-010-0296-5; arXiv:0908.3736v1.
9. Yamazato M. Absolute continuity of transition probabilities of multidimensional processes with stationary independent
increments // Theory Probab. and Appl. – 1994. – 39, № 2. – P. 347 – 354.
10. Дороговцев А. Я. Математический анализ. – Киев: Факт, 2004. – 560 с.
11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 560 с.
Одержано 05.08.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|