Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем
Рассматривается нелинейная система на прямом произведении тора и евклидового пространства. При выполнении условий индефинитной коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой системы липшицевого инвариантного сечения....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164153 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем / В.А. Лагода, І.О. Парасюк, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 363-383. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164153 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641532020-02-23T19:07:41Z Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем Лагода, В.А. Парасюк, І.О. Самойленко, А.М. Статті Рассматривается нелинейная система на прямом произведении тора и евклидового пространства. При выполнении условий индефинитной коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой системы липшицевого инвариантного сечения. We consider a nonlinear system in the direct product of a torus and a Euclidean space. For this system, under the conditions of indefinite coercivity and indefinite monotonicity, we establish the existence of a Lipschitz invariant section. 2012 Article Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем / В.А. Лагода, І.О. Парасюк, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 363-383. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164153 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Лагода, В.А. Парасюк, І.О. Самойленко, А.М. Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем Український математичний журнал |
| description |
Рассматривается нелинейная система на прямом произведении тора и евклидового пространства. При выполнении условий индефинитной коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой системы липшицевого инвариантного сечения. |
| format |
Article |
| author |
Лагода, В.А. Парасюк, І.О. Самойленко, А.М. |
| author_facet |
Лагода, В.А. Парасюк, І.О. Самойленко, А.М. |
| author_sort |
Лагода, В.А. |
| title |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| title_short |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| title_full |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| title_fullStr |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| title_full_unstemmed |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| title_sort |
ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164153 |
| citation_txt |
Ліпшицеві інваріантні тори індефінітно монотонних систем / В.А. Лагода, І.О. Парасюк, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 363-383. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lagodava lípšicevíínvaríantnítoriíndefínítnomonotonnihsistem AT parasûkío lípšicevíínvaríantnítoriíndefínítnomonotonnihsistem AT samojlenkoam lípšicevíínvaríantnítoriíndefínítnomonotonnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-14T16:41:01Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:41:01Z |
| _version_ |
1837641249407893504 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
I. О. Парасюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. А. Лагода (Київ. нац. ун-т технологiй та дизайну)
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ
We consider a nonlinear system in the direct product of a torus and a Euclidean space. For this system, under the conditions
of indefinite coercivity and indefinite monotonicity, we establish the existence of a Lipschitzian invariant section.
Рассматривается нелинейная система на прямом произведении тора и евклидового пространства. При выполне-
нии условий индефинитной коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой
системы липшицевого инвариантного сечения.
1. Вступ. У цiй роботi вивчається задача про iснування iнварiантного тороїдального многовиду
(iнварiантного перерiзу) системи вигляду
ϕ̇ = a(ϕ, x), ẋ = b(ϕ, x), (1)
фазовим простором якої є прямий добуток Tm × Rn, де Tm := Rm/Zm — m-вимiрний тор,
ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm)| mod 1 — кутовi координати на Tm, x = (x1, . . . , xn) — координати в Rn,
a(·) : Tm×Rn 7→ Rm та b(·) : Tm×Rn 7→ Rn — локально лiпшицевi вiдображення. Лiпшицевим
iнварiантним тором (iнварiантним перерiзом) системи (1) називається многовид, заданий рiв-
нянням x = u(ϕ), ϕ ∈ Tm, де u(·) : Tm 7→Rn — лiпшицеве вiдображення з такою властивiстю:
якщо для довiльного ϕ ∈ Tm через φt(ϕ) позначити розв’язок системи ϕ̇ = a(ϕ, u(ϕ)) такий,
що φ0(ϕ) = ϕ, а через xt(ϕ) — розв’язок системи ẋ = b(φt(ϕ), x) такий, що x0(ϕ) = u(ϕ), то
справджуватиметься рiвнiсть
xt(ϕ) = u(φt(ϕ)) ∀t ∈ R.
Ця задача вивчалася багатьма авторами в рамках теорiї збурень, коли на норму функцiї b(ϕ, 0)
накладалися умови достатньої мализни, а система у варiацiях
ϕ̇ = a(ϕ, 0), ẋ = b′x(ϕ, 0)x (2)
вiдносно тривiального перерiзу x = 0 мала властивiсть експоненцiальної дихотомiї, що, в свою
чергу, забезпечувало iснування для системи (2) функцiї Грiна задачi про iнварiантнi тори. Вiдпо-
вiднi результати та посилання див. у [1 – 6]. У цьому випадку було розвинуто локальну теорiю:
iнварiантний тор шукався в околi тривiального перерiзу (тобто шукався тор, породжений вiд-
ображенням u(·) з малою нормою). Серед робiт останнього часу в цьому напрямку вiдмiтимо
[7 – 9]. В [2, 10] iз застосуванням функцiї Грiна та принципу Банаха знайдено кiлькiснi оцiнки
мализни збурення, якi забезпечували iснування стiйкого лiпшицевого iнварiантного тора. В [2]
розвинуто конструктивну теорiю iнварiантних торiв нелiнiйних систем, уперше запропоновано
i обґрунтовано низку iтерацiйних та проекцiйно-iтерацiйних методiв побудови цих многовидiв,
зокрема модифiкований метод Гальоркiна. Нелокальному варiанту теорiї присвячено роботу
[11], у якiй встановлено iснування експоненцiально стiйкого лiпшицевого iнварiантного тора iз
застосуванням теореми Шаудера.
c© А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3 363
364 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Зауважимо, що в роботах [2, 12] важливим моментом є припущення про iснування квадра-
тичної за змiнними x функцiї Ляпунова, яка гарантує експоненцiальну дихотомiю тривiального
iнварiантного тора системи у варiацiях (2), а вiдтак i можливiсть застосування апарату функцiй
Грiна. Водночас iснування функцiї Ляпунова можна трактувати як наявнiсть властивостi iнде-
фiнiтної монотонностi системи у варiацiях. Важливо зазначити, що ця властивiсть може бути
притаманною не лише лiнiйним, але й нелiнiйним системам. Так, у [13 – 18] доведено низку не-
локальних теорем iснування для рiзних типiв обмежених розв’язкiв нелiнiйних неавтономних
iндефiнiтно монотонних систем.
У цiй роботi з метою встановлення нових достатнiх умов iснування iнварiантних торiв за
межами теорiї збурень ми розглянемо клас систем вигляду (1), якi мають певнi властивостi
iндефiнiтної коерцитивностi та iндефiнiтної монотонностi (точнi формулювання наведено в
п. 2). Основнi теореми iснування для таких систем одержано шляхом поєднання теореми Ша-
удера про нерухому точку з топологiчним принципом Важевського. Саме завдяки принципу
Важевського результати роботи [11] вдалося розповсюдити на клас iндефiнiтно монотонних
систем.
Статтю побудовано таким чином. У п. 2 сформульовано умови, якi накладаються на систе-
му (1), а також основну теорему iснування лiпшицевого iнварiантного тора. Пiсля цього наве-
дено модельний приклад, який демонструє ефективнiсть застосування основної теореми. У п. 3
викладено математичний апарат, який використовується для доведення iснування iнварiантно-
го перерiзу нелiнiйного розширення динамiчної системи на торi. При цьому використовуються
допомiжнi леми з п. 5. Нарештi, п. 4 мiстить доведення основної теореми.
2. Формулювання основної теореми про iснування лiпшицевого iнварiантного тора.
Припускатимемо, що виконуються такi умови:
(A) iснує сiм’я симетричних операторiв S(·) ∈ C1
(
Tm 7→Hom(Rn)
)
, для якої при кожному
ϕ ∈ Tm можна вказати проектори P+(ϕ), P−(ϕ) на iнварiантнi пiдпростори L+(ϕ), L−(ϕ)
оператора S(ϕ) такi, що його звуження на L+(ϕ) та на L−(ϕ) є вiдповiдно додатно та вiд’ємно
визначеними операторами;
(B) iснують функцiї β(·) ∈ C(Tm 7→ (0,∞)), q(·) ∈ C((0,∞) 7→ R), p(·) ∈ C(R+ 7→ R+),
Q(·) ∈ C(R+ 7→ R+) такi, що p(·) неспадна i для всiх ϕ ∈ Tm, x ∈ Rn \ {0} та u ∈ Rn
справджуються нерiвностi
1
2
∂ 〈S(ϕ)x, x〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ)b(ϕ, x), x〉 ≥ β(ϕ)
[
q
(
‖x‖2
)
− p
(
‖u‖2
)]
‖x‖2,
|〈b(ϕ, x), x〉| ≤ β(ϕ)Q(‖x‖2);
(C) iснують числа z0 > 0 i z∗ > z0 такi, що q(z) > p(z∗) для всiх z ∈ (z0, z
∗] i
z∗∫
z0
[q(z)− p(z∗)]z
Q(z)
dz ≥ z0
2
(λ+ − λ−) ,
де λ+ := maxϕ∈Tm λ+(ϕ), λ− := minϕ∈Tm λ−(ϕ), а λ+(ϕ), λ−(ϕ) — вiдповiдно найбiльше
та найменше власнi значення оператора S(ϕ);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 365
(D) iснує стала γ > 0 така, що
1
2
∂ 〈S(ϕ)(x− y), x− y〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ) [b(ϕ, x)− b(ϕ, y)] , x− y〉 ≥ γ ‖x− y‖2
для всiх ϕ ∈ Tm i всiх u, x, y ∈ Rn таких, що
‖u‖2 , ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗, λ−z0 ≤ 〈S(ϕ)x, x〉 , 〈S(ϕ)y, y〉 ≤ λ+z0.
Без обмеження загальностi мiркувань далi припускатимемо, що
max
ϕ∈Tm
‖S(ϕ)‖ := max {λ+, |λ−|} = 1.
Умову (B) природно назвати умовою iндефiнiтної S-коерцитивностi системи (1) в Tm×Rn,
а умову (D) — умовою iндефiнiтної S-монотонностi цiєї системи на компактнiй множинi Tm ×
×
{
x : ‖x‖2 ≤ z∗
}
. Достатнi умови виконання умови (C), яка виражає певнi взаємозалежностi
швидкостей зростання функцiй q(·), Q(·), p(·), буде наведено пiсля формулювання основної
теореми.
З огляду на припущення локальної лiпшицевостi правих частин системи (1) визначимо такi
чотири константи:
la := sup
{
‖a(ϕ, x)− a(ψ, x)‖ ‖ϕ− ψ‖−1 : ϕ,ψ ∈ Tm, ‖x‖2 ≤ z∗
}
,
La := sup
{
‖a(ϕ, x)− a(ϕ, y)‖ ‖x− y‖−1 : ϕ ∈ Tm, ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗
}
,
lb := sup
{
‖b(ϕ, x)− b(ψ, x)‖ ‖ϕ− ψ‖−1 : ϕ,ψ ∈ Tm, ‖x‖2 ≤ z∗
}
,
Lb := sup
{
‖b(ϕ, x)− b(ϕ, y)‖ ‖x− y‖−1 : ϕ ∈ Tm, ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗
}
.
Тепер сформулюємо основну теорему, доведення якої буде наведено в п. 4.
Теорема 1. Нехай виконуються умови (A) – (D) i нерiвнiсть
max
l∈[l−,l+]
A(l)∫
1
√
s− 1
B(l)
√
s+ 1
ds ≥ λ+ − λ−
2
, (3)
де
A(l) :=
[γ − λ+(la + lLa)]
2 l2
l2b
, B(l) :=
Lb + la + lLa
γ − λ+(la + lLa)
,
а l− та l+ — вiдповiдно менший та бiльший коренi рiвняння A(l) = 1. Тодi система (1) має
iнварiантний тор, заданий рiвнянням x = u(ϕ), де вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn лiпшицеве
з константою Лiпшиця, яка реалiзує максимум лiвої частини нерiвностi (3), а норма цього
вiдображення не перевищує
√
z∗.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
366 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Зауваження 1. Умова (3) може виявитися незручною для перевiрки. Дещо пожертвувавши
точнiстю, можна вивести простiшу за формою достатню умову (див. п. 4). А саме, виконавши
замiну змiнної iнтегрування
√
s = 1 + u i оцiнивши пiдiнтегральний вираз знизу функцiєю
2u/(B(l) + 1), дiстанемо достатню умову вигляду
max
l∈[l−,l+]
[√
A(l)− 1
]2
B(l) + 1
≥ λ+ − λ−
2
.
Якщо тут покласти l =
l+ + l−
2
=
γ − λ+la
2λ+La
, то отримаємо достатню умову, яка допускає
безпосередню перевiрку
(γ − λ+la)
[
(γ − λ+la)
2 − 4λ+Lalb
]2
8λ+L2
al
2
b [(γ − λ+la)(1 + λ+) + 2λ+(la + Lb)]
≥ λ+ − λ−. (4)
Звiдси видно, що умова (3) охоплює клас систем з достатньо великими сталими γ та Lb у
порiвняннi з iншими сталими, що входять до зазначеної умови.
Доведення теореми базується на простiй iдеї. Для довiльного лiпшицевого вiдображення
u(·) з тора Tm в кулю радiуса
√
z∗ утворимо систему
ϕ̇ = a(ϕ, u(ϕ)), ẋ = b(ϕ, x), (5)
яка при виконаннi умов (A) – (D) має iнварiантний тор x = û(ϕ). Цей факт випливатиме з
низки тверджень п. 3, де викладено теорiю систем в Tm × Rn, якi мають так звану V-W-пару.
Iнварiантний тор системи (1) шукається як нерухома точка вiдображення, яке функцiї u(·)
ставить у вiдповiднiсть функцiю û(·). Додаткова умова теореми (1) дає змогу застосувати в цiй
ситуацiї принцип Шаудера в класi лiпшицевих вiдображень зi сталою Лiпшиця l, яка забезпечує
виконання нерiвностi (3).
Тепер повернемося до умови (C) i покажемо, що її виконання можна забезпечити в термiнах
асимптотичної поведiнки функцiй p(z), q(z) та Q(z) при z → ∞. При цьому без обмеження
загальностi вважатимемо, що Q(z) = O(
√
z) i zq(z)→ 0 при z → 0.
Лема 1. Нехай функцiї p(·) ∈ C(R+ 7→ R+), Q(·) ∈ C(R+ 7→ (0,∞)) неспаднi, функцiя
q(·) ∈ C((0,∞) 7→R) строго монотонно зростає i
lim
z→+0
q(z) ≤ p(0), lim sup
z→∞
p(z)
q(z)
< 1, (6)
lim sup
z→∞
p(z)
∫ z
0
sds
Q(s)
+ (λ+ − λ−) q−1
(
p(z)
)
/2∫ z
0
sq(s)ds
Q(s)
< 1. (7)
Тодi умова (C) виконується, причому числа z0 та z∗ задовольняють рiвностi
q(z0) = p(z∗),
z∗∫
z0
[q(s)− q(z0)]s
Q(s)
ds =
z0
2
(λ+ − λ−) . (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 367
Доведення. Умови (6) гарантують, що p(z) при будь-якому фiксованому z > 0 належить
областi значень функцiї q(·), причому знайдеться такe z̄ > 0, що q(z) > p(z) для всiх z > z̄.
Якщо покласти z0(z) := q−1(p(z)), то при всiх z > z̄ будуть виконуватися нерiвностi
z0(z) < z, q(s) > p(z) ∀s > z0(z).
Покажемо, що для всiх достатньо великих z > z̄ виконується й нерiвнiсть
z∫
z0(z)
[q(s)− p(z)]s
Q(s)
ds >
z0(z)
2
(λ+ − λ−) . (9)
Запишемо її у виглядi
z∫
0
q(s)s
Q(s)
ds+ p(z)
z0(z)∫
0
s
Q(s)
ds >
>
z0(z)∫
0
q(s)s
Q(s)
ds+ p(z)
z∫
0
s
Q(s)
ds+
z0(z)
2
(λ+ − λ−) .
Оскiльки q(s) < q(z0(z)) = p(z) при s ∈ (0, z0(z)) , то для її виконання достатньо, щоб
z∫
0
q(s)s
Q(s)
ds > p(z)
z∫
0
s
Q(s)
ds+
z0(z)
2
(λ+ − λ−) .
Ця нерiвнiсть виконується внаслiдок умови (7).
Водночас зауважимо, що з першої умови в (6) випливає, що знайдеться таке z > 0, що
q(z) < p(z) при z < z. На цiй пiдставi легко дiйти висновку, що в процесi прямування z до
нуля лiва частина нерiвностi (9) досягне нульового значення при деякому додатному значеннi
z. А тодi iснує z∗, яке задовольняє рiвностi (8) при z0 = z0(z∗).
Лему 1 доведено.
У нелiнiйному аналiзi, як правило, на функцiї q(·), Q(·), p(·) накладають умови степеневого
зростання.
Приклад 1. Нехай q(z) ∼ c1z
γ1 , p(z) ∼ c2z
γ2 , Q(z) ∼ c3z
γ3 при z → ∞, де ci > 0, γi —
деякi сталi, i = 1, 2, 3, γ1 ≥ γ2 ≥ 0, γ3 ≥ γ1 + 1, до того ж c1 > c2, якщо γ1 = γ2. Тодi на
пiдставi леми 1 для виконання умови (C) достатньо, щоб додатково виконувалися такi умови:
якщо 0 < γ3 < 2, то γ3 < 2 + γ1 −
γ2
γ1
i або γ2 < γ1, або γ2 = γ1 i
c2(2 + γ1 − γ3)
c1(2− γ3)
<1;
якщо γ3 = 2, то або γ2 < min
{
γ1, γ
2
1
}
, або γ1 = γ2 = 0;
якщо 2 < γ3 < 2 + γ1, то або γ3 < 2 + γ1 − γ2 max
{
1,
1
γ1
}
, або γ3 = 2 + γ1 − γ2, γ1 > 1 i
c2c3γ2
c1
∫ ∞
0
zdz
Q(z)
< 1;
якщо γ3 = 2 + γ1, то γ2 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
368 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
При цьому слiд взяти до уваги, що першу умову в (6) завжди можна вважати виконаною:
достатньо вiдповiдним чином перевизначити функцiю q(·) поблизу нуля.
Приклад 2. Умова (C) виконується, якщо q(z) ∼ C1e
κz, Q(s) ∼ C2ze
κz, p(z) = o(z) при
z →∞, де κ > 0.
Розглянемо тепер застосування теореми 1 на модельному прикладi системи iндефiнiтно
градiєнтного типу.
Приклад 3. Нехай F (·) ∈ C2 (Rn 7→R) — опукла функцiя, яка задовольняє нерiвностi
‖x‖ ≤ max
‖ξ‖=1
〈
F ′′(x)ξ, ξ
〉
≤ ‖x‖+ 1,
а S(·) — сiм’я симетричних операторiв, яка задовольняє умову (A). Розглянемо модельний
приклад умовно градiєнтної системи з параметром
ϕ̇ = a(ϕ, x), ẋ = S(ϕ)
[
F ′(x+ λe)− F ′(λe)
]
+ f(ϕ) =: b(ϕ, x), (10)
де a(·) ∈ C (Tm × Rn 7→ Rm) , f(·) ∈ C (Tm 7→Rm) , λ — додатний параметр, e ∈ Rn — фiксова-
ний вектор, ‖e‖ = 1. Поставимо таку задачу: при яких значеннях λ система (10) має лiпшицiв
iнварiантний тор x = u(ϕ), для якого ‖λe− u(ϕ)‖ ≤ 1 при всiх ϕ ∈ Tm?
Щоб уникнути громiздких викладок, додатково припустимо, що при всiх x, y ∈ Rn, ϕ, ψ ∈
∈ Tm виконано умови
S2(ϕ) = E, max
‖ξ‖=1
∥∥∥∥ ∂∂ϕS(ϕ)ξ
∥∥∥∥ ≤ 1, ‖f(ϕ)‖ ≤ 1, ‖f(ϕ)− f(ψ)‖ ≤ ‖ϕ− ψ‖ ,
‖a(ϕ, x)‖ ≤ 1 + ‖x‖ , ‖a(ϕ, x)− a(ψ, x)‖ ≤ ‖ϕ− ψ‖ , ‖a(ϕ, x)− a(ϕ, y)‖ ≤ ‖x− y‖.
Таким чином, La = la = λ+ = 1, λ− = −1, а першу умову, наприклад, задовольняє кожен
оператор вигляду S(ϕ) = OT (ϕ)IO(ϕ), де O(ϕ) ∈ SO(n), I — сталий оператор з власними
числами ±1. Легко перевiрити, що
‖b(ϕ, x)− b(ϕ, y)‖ ≤
∥∥F ′(λe+ x)− F ′(λe+ y)
∥∥ ≤ [λ+ 1 + (‖x‖+ ‖y‖) /2] ‖x− y‖ ,
‖b(ϕ, x)− b(ψ, x)‖ ≤
[
(λ+ 1) ‖x‖+ ‖x‖2 /2 + 1
]
‖ϕ− ψ‖ ,
〈S(ϕ)b(ϕ, x), x〉 =
〈
F ′(λe+ x)− F ′(λe), x
〉
+ 〈S(ϕ)f(ϕ), x〉 ≥
[
λ− ‖x‖
2
− 1
‖x‖
]
‖x‖2 ,
1
2
∂ 〈S(ϕ)x, x〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ)b(ϕ, x), x〉 ≥
[
λ− ‖x‖
2
− 1
‖x‖
− 1
2
− ‖u‖
2
]
‖x‖2 ,
1
2
∂ 〈S(ϕ)(x− y), x− y〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ) [b(ϕ, x)− b(ϕ, y)] , x− y〉 ≥
≥
[
λ− ‖x‖
2
− ‖y‖
2
− ‖u‖
2
− 1
2
]
‖x− y‖2 .
Звiдси випливає, що при z ∈ (0, 1], ‖x‖ , ‖y‖ , ‖u‖ ≤ 1 можна покласти
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 369
q(z) = λ− 1− 1√
z
, p(z) =
√
z
2
, Q(z) =
1
2
z3/2 + (λ+ 1)z +
√
z,
Lb = λ+ 2, lb = λ+
5
2
, γ = λ− 2.
Тепер знаходимо z0(λ) =
4
(2λ− 3)2
, i числовi розрахунки показують, що умова (C) виконується
при всiх λ ≥ 4, 5. Далi,
A(l) =
4 (λ− 3− l)2 l2
(2λ+ 5)2
, B(l) =
λ+ 3 + l
λ− 3− l
.
Спрощена умова (4) при l = (λ− 3)/2 для нижньої межi λ набирає вигляду
(λ2 − 10λ− 1)2(λ− 3)
16λ(2λ+ 5)2
≥ 1.
Вона виконується при λ ≥ 19,83. Числовий розрахунок вiдповiдно до умови (3) покращує
нижню межу до значення λ = 18,93 яке досягається при l = 6,75.
3. Системи з V-W-парою. Поряд iз системою (1) будемо розглядати систему, залежну вiд
параметра u ∈ Rn :
ϕ̇ = a(ϕ, u), ẋ = b(ϕ, x). (11)
Для довiльної функцiї U(·) ∈ C1(Tm × Rn 7→R) позначимо
U̇(ϕ, x, u) :=
∂U(ϕ, x)
∂ϕ
a(ϕ, u) +
∂U(ϕ, x)
∂x
b(ϕ, x).
Мета цього пункту полягає в тому, щоб видiлити такий клас систем вигляду (11), який
би мав властивiсть: для довiльного вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn з певного класу лiпшицевих
вiдображень тора Tm в Rn система, одержана з (11) покладанням u = u(ϕ) (таку систему
називають нелiнiйним розширенням системи на торi ϕ̇ = a(ϕ, u(ϕ))), має iзольовану сiм’ю
обмежених розв’язкiв, параметризовану точками тора Tm так, що кожнiй точцi ϕ ∈ Tm вiдпо-
вiдає єдиний розв’язок цiєї сiм’ї.
З цiєю метою введемо пару допомiжних функцiй за аналогiєю з [18].
Означення 1. Функцiю V (ϕ, x) ∈ C1(Tm × Rn 7→R) назвемо регулярною оцiнювальною
функцiєю, якщо при кожному ϕ ∈ Tm функцiя Vϕ(·) := V (ϕ, ·) : Rn 7→ R має такi властивостi:
1) при кожному c ≥ 0 множина V −1
ϕ
(
(−∞, c]
)
непорожня i опукла; 2) lim‖x‖→∞ Vϕ(x) = ∞
(властивiсть x-коерцитивностi); 3)
∂Vϕ(x)
∂x
6= 0 на множинi V −1
ϕ
(
(0,∞)
)
.
Нехай 0 < V ∗ ≤ ∞. Введемо область
Ω := V −1
(
(−∞, V ∗)
)
.
Для функцiї W (·) ∈ C1(Ω 7→R) покладемо
w0 := min
(ϕ,x)∈V −1(0)
W (ϕ, x), w0 := max
(ϕ,x)∈V −1(0)
W (ϕ, x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
370 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Для трiйки чисел v∗, w∗, w
∗ таких, що v∗ ∈
(
0, V ∗
)
, w∗ < w0, w
∗ > w0, визначимо
множину
U :=
{
(ϕ, x, u) ∈ Tm × R2n : 0 < V (ϕ, x) < V ∗, w∗ ≤W (ϕ, x) ≤ w∗, V (ϕ, u) ≤ v∗
}
.
Означення 2. Функцiю W (ϕ, x) ∈ C1(Ω 7→R) назвемо регулярною напрямною функцiєю
системи (11), узгодженою з оцiнювальною функцiєю V (·) на множинi U , якщо: 1) w∗ належить
областi значень функцiї Wϕ(·) при кожному ϕ ∈ Tm; 2)
∂W (ϕ, x)
∂x
6= 0 на множинi W−1(w∗);
3) знайдуться числа c∗ > 0, c∗ ∈ [0,∞] такi, що на множинi U виконано умови
Ẇ (ϕ, x, u) > 0, −c∗Ẇ (ϕ, x, u) ≤ V̇ (ϕ, x, u) ≤ c∗Ẇ (ϕ, x, u).
Таку узгоджену пару функцiй V (·) та W (·) називатимемо V-W-парою.
Далi без обмеження загальностi мiркувань вважатимемо, що множина
W =W(w∗, w
∗) := W−1
(
(w∗, w
∗)
)
складається з однiєї компоненти зв’язностi, i оскiльки тодi V −1(0) ⊂ W, то i V −1
(
(−∞, 0]
)
на-
лежитьW (достатньо, в разi потреби, на множинi V −1
(
(−∞, 0)
)
функцiю W (·) перевизначити
так, щоб вона на цiй множинi набувала значень з iнтервалу (w∗, w
∗)).
З означення 2, зокрема, випливає, що множина
Wse := W−1(w∗)
є гiперповерхнею в Tm × Rn i складається з точок строгого виходу з W вiдносно кожної
системи вигляду (5), де u(·) : Tm 7→ Rn — довiльне лiпшицеве вiдображення, графiк якого
належить множинi V −1
(
(−∞, v∗]
)
.
Покладемо
W̄ :=W ∪Wse.
Домовимось далi для будь-якої множини A ⊂ Tm × Rn через Aϕ позначати множину
{x ∈ Rn : (ϕ, x) ∈ A}, тобто Aϕ — проекцiя на Rn перерiзу множини A шаром {ϕ} × Rn.
Зокрема, для кожної фiксованої точки ϕ ∈ Tm множина Wse
ϕ є гiперповерхнею в Rn, заданою
рiвнянням Wϕ(x) = w∗, i
Wϕ = {x ∈ Rn : w∗ < W (ϕ, x) < w∗}, W̄ϕ =Wϕ ∪Wse
ϕ .
Для довiльної точки ϕ ∈ Tm позначимо через Pϕ множину вiдображень ψϕ(·) ∈ C1(R+ 7→
7→ Tm) таких, що ψϕ(0) = ϕ, i якщо ψϕ(·) не взаємно однозначне, то або ψϕ(t) ≡ ϕ, або
знайдеться таке найменше додатне T, що ψϕ(·) : [0, T ) 7→ Tm є взаємно однозначним i ψϕ(t +
+ T ) = ψϕ(t) для всiх t ≥ 0.
Для кожного ψϕ(·) ∈ Pϕ визначимо множини
A[ψϕ] :=
{
(t, x) ∈ R1+n : t ≥ 0, w∗ ≤W (ψϕ(t), x) ≤ w∗
}
,
B[ψϕ] :=
{
(t, x) ∈ R1+n : t ≥ 0, W (ψϕ(t), x) = w∗
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 371
Очевидно, що
B[ψϕ] =
⋃
t≥0
(
{t} ×Wse
ψϕ(t)
)
⊂ ∂A[ψϕ].
Означення 3. Скажемо, що множина W має властивiсть W, якщо для будь-яких ϕ ∈
∈ Tm i ψϕ(·) ∈ Pϕ знайдеться така компактна множина Mϕ ⊂ W̄ϕ, що Mϕ ∩ Wse
ϕ 6= ∅ i
множину {0} ×Mϕ не можна iзотопiєю по множинi A[ψϕ] продеформувати у пiдмножину
множини B[ψϕ], залишаючи при цьому нерухомою множину {0} ×
(
Mϕ ∩Wse
ϕ
)
.
Наведемо кiлька достатнiх умов, якi забезпечують наявнiсть у W властивостi W.
Означення 4. Скажемо, що множина Mϕ належить класу Mϕ, якщо Mϕ ⊂ W̄ϕ,
множина Ṁϕ :=Mϕ ∩Wse
ϕ не порожня i не є ретрактомMϕ.
До Mϕ належать, наприклад, вкладенi у W̄ϕ пiдмноговиди з краєм, внутрiшнiсть кожного з
яких належитьWϕ, а край належитьWse
ϕ (компактний многовид з краєм не можна ретрагувати
на його край). Ще один приклад. Нехай K — така компактна пiдмножина деякого евклiдового
простору вимiрностi меншої за n, що intK 6= ∅ й iснує гомеоморфiзм i : K 7→ Rn такий, що
i(intK) ⊂ Wϕ, i(∂K) ⊂ Wse
ϕ . ТодiMϕ := i(Kϕ) ∈Mϕ [19].
Означення 5. Скажемо, що множинаW має властивiсть Важевського, якщо для будь-
яких ϕ ∈ Tm i ψϕ(·) ∈ Pϕ знайдеться множинаMϕ ∈Mϕ така, що {0} × Ṁϕ є ретрактом
B[ψϕ].
Очевидно, що коли для довiльної точки ϕ ∈ Tm iснує Mϕ ∈ Mϕ така, що {ϕ} × Ṁϕ є
ретрактом Wse, то W має властивiсть Важевського.
Твердження 1. Якщо множина W має властивiсть Важевського, то вона має власти-
вiсть W.
Доведення. Припустимо, що множина W має властивiсть Важевського, i ϕ ∈ Tm, ψϕ(·) ∈
∈ Pϕ i Mϕ ∈ Mϕ — трiйка, про яку йдеться в означеннi цiєї властивостi, i, отже, Ṁϕ не
є ретрактом Mϕ. Проте якщо б iснувала iзотопiя, яка деформує {0} × Mϕ у пiдмножину
множини B[ψϕ], то суперпозицiя кiнцевого гомеоморфiзму цiєї iзотопiї з ретракцiєю B[ψϕ] на
{0} × Ṁϕ утворювала б ретракцiю {0} ×Mϕ на {0} × Ṁϕ. Отримали суперечнiсть.
Твердження 1 доведено.
Твердження 2. Нехай i1 : Wse
ϕ 7→ W̄ϕ та i2 : Wse
ϕ 7→ B[ψϕ] — природнi вкладення. При-
пустимо, що для кожного ϕ ∈ Tm множина Wse
ϕ мiстить цикл Zϕ вимiрностi меншої за n,
такий, що цикл i1(Zϕ) гомологiчний нулю, а цикл i2(Zϕ) не гомологiчний нулю. Тодi W має
властивiсть W.
Доведення. За умовою для кожної точки ϕ ∈ Tm iснує сингулярний ланцюг Mϕ ⊂ W̄ϕ
такий, що ∂Mϕ = i1(Zϕ) ⊂Mϕ∩Wse
ϕ . Якщо б iснувала iзотопiя множини {0}×Mϕ, яка пере-
водить її у пiдмножину множини B[ψϕ], залишаючи нерухомою множину {0} ×
(
Mϕ ∩Wse
ϕ
)
,
то цикл i2(Zϕ) виявився б межею образу кiнцевої деформацiї множини {0} ×Mϕ. Отримали
суперечнiсть.
Твердження 2 доведено.
Зрозумiло, що умови твердження 2 виконуються, якщо для кожного ϕ множинаWse
ϕ мiстить
цикл, природне вкладення якого в Wϕ гомологiчне нулю, а природне вкладення у Wse не
гомологiчне нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
372 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Твердження 3. Нехай для системи (11) iснує V-W-пара така, що множина W має вла-
стивiсть W. Покладемо
ν := max {V (ϕ, x)− c∗W (ϕ, x) : ϕ ∈ Tm, x ∈Mϕ, V (ϕ, x) ≥ 0}
i припустимо, що
V ∗ > c∗w∗ + max {ν,−c∗w0} .
Тодi для кожного лiпшицевого вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn, графiк якого належить множинi
V −1
(
(−∞, v∗]
)
, i для кожного ϕ ∈ Tm система (5) має розв’язок (φt(ϕ), xt(ϕ)) , визначений
на всiй дiйснiй осi, такий, що φ0(ϕ) = ϕ i
V (φt(ϕ), xt(ϕ)) ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
[w0 − w0], w∗ < W (φt(ϕ), xt(ϕ)) < w∗ ∀t ∈ R.
Доведення. Нехай u(·) : Tm 7→ Rn — довiльне лiпшицеве вiдображення, графiк якого на-
лежить V −1
(
(−∞, v∗]
)
. Розглянемо систему ϕ̇ = a(ϕ, u(ϕ)). Для кожного ϕ ∈ Tm вона має
єдиний розв’язок φt(ϕ) такий, що φ0(ϕ) = ϕ. Очевидно, що вiдображення ψϕ(·), визначене
при при t ≥ 0 рiвнiстю ψϕ(t) := φt(ϕ), належить множинi Pϕ. Далi, для довiльного x ∈ Rn
через ξt(ϕ, x) позначимо розв’язок системи
ẋ = b(φt(ϕ), x) (12)
такий, що ξ0(ϕ, x) = x. З огляду на те, що множина W має властивiсть W, знайдеться точ-
ка x[ϕ] ∈ Mϕ \ Wse така, що при t ≥ 0 графiк розв’язку ξt(ϕ, x[ϕ]) належатиме множинi
A[ψϕ] \ B[ψϕ] на своєму правому максимальному iнтервалi iснування I+ = I+(ϕ), а отже,
на цьому iнтервалi справджуватимуться нерiвностi w∗ < W (φt(ϕ), ξt(ϕ, x[ϕ])) < w∗. Дiйсно,
якщо б це було не так, то для кожного x ∈ Mϕ знайшовся б момент τ(ϕ, x) ≥ 0 такий, що
(τ(ϕ, x), ξτ(ϕ,x)(ϕ, x)) ∈ B[ψϕ], i при цьому τ(ϕ, x) = 0 лише для x ∈ Mϕ ∩ Wse
ϕ . Оскiльки
d
dt
∣∣∣
t=τ(ϕ,x)
W (ϕt(ϕ), ξt(ϕ, x)) > 0, то τ(ϕ, x) неперервно залежить вiд x Однак тодi сiм’я
вiдображень {
Gs : {0} ×Mϕ 7→ B[ψϕ] : (0, x) 7→
(
sτ(ϕ, x), ξsτ(ϕ,x)(ϕ, x)
)}
s∈[0,1]
визначає iзотопiю, iснування якої заперечує властивiсть W.
Покладемо v(t) := V (φt(ϕ), ξt(ϕ, x[ϕ])), w(t) := W (φt(ϕ), ξt(ϕ, x[ϕ])) i покажемо, що
v(t) < V ∗ при t ∈ I+. Очевидно, що достатньо розглянути лише випадок, коли iснує t0 :=
:= inf{t : v(t) > 0, t ∈ I+}. Тодi v(t0) ≥ 0 i згiдно з лемою 2 (п. 5) дiстанемо
v(t) ≤ c∗ω∗ + max {v(t0)− c∗w(t0),−c∗ω0} < c∗w∗ + max {ν,−c∗w0} < V ∗, t ∈ I+.
Зауважимо, що з останньої нерiвностi випливає обмеженiсть ξt(ϕ, x[ϕ]) на I+, а тому I+ =
= [0;∞).
Тепер покажемо, що для кожного ϕ ∈ Tm знайдеться така точка x∗[ϕ], що пара
(φt(ϕ), ξt(ϕ, x∗[ϕ])) представлятиме розв’язок (φt(ϕ), xt(ϕ)) , iснування якого потрiбно дове-
сти. Очевидно, що пара (φt(ϕ), ξt(ϕ, x)) визначає локальний потiк автономної системи (1). Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 373
(φt+s(ϕ), ξt+s(ϕ, x)) = (φt(φs(ϕ)), ξt(φs(ϕ), ξs(ϕ, x)))
для всiх t, s таких, що хоча б одна, права або лiва, частини цiєї рiвностi мають сенс. Для
довiльного натурального k покладемо тут s = k, ϕ = φ−k(ϕ), x = x[φ−k(ϕ)]. Отримаємо
ξt+k (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)]) = ξt (ϕ, ξk (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)])) .
Згiдно з доведеним вище лiву частину визначено при всiх t ≥ −k. Отже, таку ж властивiсть
має й права частина. Для цих значень t має мiсце включення
(φt(ϕ), ξt+k (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)])) ∈ W.
Звiдси при t = 0 дiстанемо ξk (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)]) ∈ Wϕ. За побудовою послiдовнiсть
{ξk (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)])}k=1,2,...
обмежена i належить множинiWϕ.Отже, iснує послiдовнiсть {kj}j=1,2,... така, що iснує границя
x∗[ϕ] = lim
j→∞
ξkj
(
φ−kj (ϕ), x[φ−kj (ϕ)]
)
∈ W̄ϕ.
Для довiльного скiнченного вiдрiзка J ∈ R знайдеться таке досить велике N, що послiдовнiсть
розв’язкiв ξt (ϕ, ξk (φ−k(ϕ), x[φ−k(ϕ)])) системи (12) рiвномiрно збiгається на J до розв’язку
ξt(ϕ, x∗[ϕ]) цiєї системи. На цiй пiдставi, мiркуючи вiд супротивного, легко дiйти висновку, що
x∗[ϕ] ∈ Wϕ i
(ϕt(ϕ), ξt(ϕ, x∗[ϕ])) ∈ W ∀t ∈ R.
Отже, xt(ϕ) = ξt(ϕ, x∗[ϕ]). Водночас для цього розв’язку виконується нерiвнiсть v(t) < V ∗
при t ∈ R. Згiдно з вибором v(·), w(·) та означенням 2 всi умови леми 3 виконано, а отже,
v(t) ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
lim inf
ε→+0
[ω̄(ε)− ω(ε)] ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
[w0 − w0] ∀t ∈ R,
звiдки випливає справедливiсть твердження 3.
Наступне твердження стосується достатнiх умов єдиностi обмеженого розв’язку.
Твердження 4. Покладемо
Ω∗ :=
{
(ϕ, x, y) ∈ Tm × R2n : (ϕ, x), (ϕ, y) ∈ W̄ ∩ V −1
(
(−∞, v∗]
)}
.
Припустимо, що iснує функцiя U(ϕ, x, y) ∈ C1(Ω∗ 7→ R) така, що U(ϕ, x, x) ≡ 0 i
U̇(ϕ, x, y, u) :=
∂U(ϕ, x, y)
∂ϕ
a(ϕ, u) +
∂U(ϕ, x, y)
∂x
b(ϕ, x) +
∂U(ϕ, x, y)
∂x
b(ϕ, y) > 0
для всiх (ϕ, x, y) ∈ Ω∗ таких, що x 6= y, та всiх (ϕ, u) ∈ V −1
(
(−∞, v∗]
)
. Тодi для довiльного
лiпшицевого вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn, графiк якого належить V −1
(
(−∞, v∗]
)
, та для
довiльної точки ϕ ∈ Tm система (5) має не бiльше одного розв’язку (φt(ϕ), xt(ϕ)) такого, що
φ0(ϕ) = ϕ i
(φt(ϕ), xt(ϕ)) ∈ W̄ ∩ V −1
(
(−∞, v∗]
)
∀t ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
374 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Доведення. Нехай U∗ = maxΩ∗ |U |. Зауважимо, що для довiльного ε ∈ (0, U∗] знайдеться
ρ > 0 таке, що з нерiвностi |U(ϕ, x, y)| > ε випливає нерiвнiсть ‖x − y‖ > ρ. Тодi знайдеться
σ > 0 таке, що U̇(ϕ, x, y, u) > σ.
Тепер припустимо, що для деякого лiпшицевого вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn, графiк
якого належить V −1
(
(−∞, v∗]
)
, та для деякої точки ϕ ∈ Tm iснує пара рiзних розв’язкiв
(φt(ϕ), xt(ϕ)), (φt(ϕ), yt(ϕ)) таких, що φ0(ϕ) = ϕ i
(φt(ϕ), xt(ϕ)), (φt(ϕ), yt(ϕ)) ∈ W̄ ∩ V −1
(
(−∞, v∗]
)
∀t ∈ R.
Очевидно, що xt(ϕ) 6= yt(ϕ) для всiх t ∈ R. Покладемо
u(t) := U(φt(ϕ), xt(ϕ), yt(ϕ)).
Тодi u̇(t) = U̇ (φt(ϕ), xt(ϕ), yt(ϕ), u(φt(ϕ))) > 0. Отже, u(t) строго зростає й iснують границi
u∗ = limt→−∞ u(t) i u∗ = limt→∞ u(t). Якщо u∗ ≥ 0, то u(t) ≥ u(0) > 0 для всiх t ≥ 0. Тому,
як було зауважено вище, знайдеться σ > 0 таке, що u̇(t) ≥ σ для всiх t ≥ 0. Звiдси u(t) → ∞
при t→∞, що неможливо.
Якщо u∗ < 0, то iснує t0 таке, що u(t) ≤ u(t0) < 0 для всiх t ≤ t0. Знову знайдеться таке
σ > 0, що u̇(t) ≥ σ для всiх t ≤ t0. Звiдси u(t)→ −∞ при t→ −∞. Отримали суперечнiсть.
Твердження 4 доведено.
4. Доведення основної теореми. Покажемо, як за допомогою результатiв п. 3 можна дове-
сти теорему 1. Деталiзуємо схему доведення, яку вже було коротко описано в п. 2. Для додатного
числа l позначимо через Ul простiр вiдображень u(·) : Tm 7→ Rn таких, що maxϕ∈Tm ‖u(ϕ)‖ ≤
≤
√
z∗ i ‖u(ϕ)− u(ψ)‖ ≤ l‖ϕ−ψ‖ для всiх ϕ,ψ ∈ Tm. При виконаннi умов теореми знайдемо
таке l, щоб для кожного u(·) ∈ Ul система (5) мала iнварiантний тор, заданий рiвнянням
x = û(ϕ), де û(·) ∈ Ul. Таким чином, виникає вiдображення компакта Ul ⊂ C (Tm 7→Rn) в се-
бе. Довiвши неперервнiсть цього вiдображення i застосувавши теорему Шаудера, встановимо
iснування нерухомої точки цього вiдображення, яка й визначатиме iнварiантний тор системи (1).
Твердження 5. Нехай w∗ > 0, w∗ < 0 — довiльнi числа. Якщо покласти
Mϕ := {x ∈ L+(ϕ) : 〈S(ϕ)x, x〉 ≤ w∗}
i V ∗ = ∞, то множина W = {(ϕ, x) ∈ Tm × Rn : w∗ < 〈S(ϕ)x, x〉 < w∗} матиме власти-
вiсть W.
Доведення. Нехай ψϕ(·) ∈ Pϕ i e±k (·;ϕ) ∈ C1 (R 7→Rn) , k = 1, . . . , n±, — набiр вiдобра-
жень такий, що
{
e−k (t;ϕ)
}n−
k=1
— базис в L−(ψϕ(t)), а
{
e+
k (t;ϕ)
}n+
k=1
— базис в L+(ψϕ(t)) (тут
n± — вимiрностi просторiв L±(ϕ)). Позначимо через R±(t;ϕ) := ±
{
r±ij(t;ϕ)
}n±
i,j=1
додатно
визначенi матрицi з елементами r±ij(t;ϕ) :=
〈
S(ψϕ(t))e±i (t;ϕ), e±j (t;ϕ)
〉
. Вiдображення Ξϕ:
R×Rn− ×Rn+ 7→ R×Rn, яке кожнiй точцi (t, ξ1, . . . , ξn− , η1, . . . , ηn+) ставить у вiдповiднiсть
точку (t, x) = Ξϕ(t, ξ, η), де
x =
n−∑
k=1
ξke
−
k (t;ϕ) + [w∗ + 〈R−(t;ϕ)ξ, ξ〉]
√
R−1
+ (t;ϕ)
n+∑
k=1
ηke
+
k (t;ϕ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 375
є дифеоморфiзмом. Легко бачити, що коли точка η належить одиничнiй сферi Sn+−1 :=
:= {η ∈ Rn+ : 〈η, η〉 = 1} , то точка (t, x) = Ξϕ(t, ξ, η) задовольняє рiвняння 〈S(ψϕ(t))x, x〉 =
= w∗, тобто належить B[ψϕ]. Таким чином, звуження дифеоморфiзму Ξϕ на R× Rn− × Sn+−1
визначає структуру прямого добутку на многовидi B[ψϕ]. При цьому вiдображення
Ξϕ(0, 0, ·) : Sn+−1 7→ B[ψϕ]
визначає вкладення, образом якого є елiпсоїд {0} × ∂Mϕ, не гомологiчний нулю в B[ψϕ].
Водночас цикл ∂Mϕ, природно вкладений уWse
ϕ := {x ∈ Rn : 〈S(ϕ)x, x〉 = w∗} , гомологiчний
нулю в W̄ϕ.
Твердження 5 доведено.
Твердження 6. Нехай виконуються умови (A) – (C). Тодi в разi потреби при ‖x‖2 > z∗
вiдображення b(·) можна перевизначити так, щоб
∞∫
z0
[q(z)− p(z∗)] z
Q(z)
dz =∞. (13)
Доведення. Якщо умова (13) не виконується, то при ‖x‖2 > z∗ перевизначимо b(·) за
формулою
b(ϕ, x) =
‖x‖√
z∗
b
(
ϕ,
√
z∗x
‖x‖
)
.
Тодi для такиx x матимемо
1
2
∂ 〈S(ϕ)x, x〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ)b(ϕ, x), x〉 =
=
‖x‖2
2z∗
∂
〈
S(ϕ)
√
z∗ ‖x‖−1 x,
√
z∗ ‖x‖−1 x
〉
∂ϕ
a(ϕ, u)+
+
‖x‖√
z∗
〈
S(ϕ)
‖x‖√
z∗
b
(
ϕ,
√
z∗x
‖x‖
)
,
√
z∗x
‖x‖
〉
≥
≥ β(ϕ)
[
q (z∗)− p
(
‖u‖2
)]
‖x‖2,
|〈b(ϕ, x), x〉| =
∣∣∣∣ ‖x‖√z∗
〈
‖x‖√
z∗
b
(
ϕ,
√
z∗x
‖x‖
)
,
√
z∗x
‖x‖
〉∣∣∣∣ ≤ β(ϕ)Q(z∗)
‖x‖2
z∗
.
Отже, пiсля перевизначення b(·) функцiї q(z) i Q(z) при z > z∗ задовольнятимуть рiвностi
q(z) = q(z∗) та Q(z) =
z
z∗
Q(z∗). Залишилося взяти до уваги, що q(z∗) > p(z∗).
Твердження 6 доведено.
Твердження 7. Нехай виконуються умови (A) – (C). Тодi для кожного лiпшицевого вi-
дображення u(·) : Tm 7→ Rn такого, що maxϕ∈Tm ‖u(ϕ)‖ ≤
√
z∗, i для кожного ϕ ∈ Tm
система (5) має розв’язок (φt(ϕ), xt(ϕ)) , визначений на всiй дiйснiй осi i такий, що φ0(ϕ) = ϕ,
‖xt(ϕ)‖ ≤
√
z∗ i λ−z0 < 〈S(φt(ϕ))xt(ϕ), xt(ϕ)〉 < λ+z0 для всiх t ∈ R. Розв’язок з такими
властивостями єдиний, якщо додатково виконується умова (D).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
376 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
Доведення. Застосуємо в разi потреби до вiдображення b(·) твердження 6 i визначимо
функцiї
W (ϕ, x) := 〈S(ϕ)x, x〉, V (x) :=
‖x‖2∫
z0
[q(s)− p(z∗)] s
Q(s)
ds.
Тодi
|V̇ (ϕ, x, u)| ≤ 2β(ϕ)
(
q(‖x‖2)− p(z∗)
)
‖x‖2 ≤ Ẇ (ϕ, x, u)
для всiх (ϕ, x, u) таких, що ϕ ∈ Tm, ‖x‖2 ≥ z0, ‖u‖2 ≤ z∗. Легко бачити, що
max
(ϕ,x)∈V −1(0)
W (ϕ, x) = λ+z0, min
(ϕ,x)∈V −1(0)
W (ϕ, x) = λ−z0.
Отже, якщо покласти w0 := λ+z0, w
0 := λ−z0, w∗ = w0− ε, w∗ = w0 + ε, c∗ = c∗ = 1, де ε > 0
як завгодно мале, i
v∗ :=
z∗∫
z0
[q(s)− p(z∗)]s
Q(s)
ds,
а також визначити множинуMϕ так, як у твердженнi 5, то всi умови твердження 3 будуть ви-
конанi. Тому для кожного лiпшицевого вiдображення u(·) : Tm 7→ Rn такого, що V (u(ϕ)) ≤ v∗
(тобто maxϕ∈Tm ‖u(ϕ)‖ ≤
√
z∗), i для кожного ϕ ∈ Tm система (5) матиме розв’язок ϕ = φt(ϕ),
x = xt(ϕ) такий, що φt(ϕ) = ϕ, V (xt(ϕ)) ≤ 1
2
(
w0 − w0
)
i λ−z0 − ε < W (φt(ϕ), xt(ϕ)) <
< λ+z0 + ε для всiх t ∈ R. Єдинiсть розв’язку з такими властивостями при всiх досить малих
ε > 0 випливає з твердження 4, якщо покласти U(ϕ, x, y) := 〈S(ϕ)(x− y), x− y〉 . Справдi,
легко бачити, що умова (D) з замiною γ, наприклад, на γ/2, виконуватиметься на множинi
‖u‖2 , ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗, λ−z0 − ε ≤ 〈S(ϕ)x, x〉 , 〈S(ϕ)y, y〉 ≤ λ+z0 + ε
при всiх досить малих ε > 0. Тепер залишилося спрямувати ε до нуля.
Твердження 7 доведено.
Наслiдком твердження 7 є наступне твердження.
Твердження 8. Нехай виконуються умови (A) – (D). Тодi для кожного лiпшицевого вi-
дображення u(·) : Tm 7→ Rn такого, що maxϕ∈Tm ‖u(ϕ)‖ ≤
√
z∗, система (5) має iнварiан-
тний тор, заданий рiвнянням x = χ(ϕ; [u(·)]) := x0(ϕ), де xt(ϕ) — x-компонента розв’язку з
твердження 7.
Доведення. Система (5) автономна, а тому xt+0(ϕ) = x0(φt(ϕ)), тобто
χ(φt(ϕ); [u(·)]) := xt(ϕ) ∀t ∈ R.
Ця рiвнiсть означає, що множина, задана рiвнянням x = χ(ϕ; [u(·)]), є iнварiантною.
Твердження 8 доведено.
Знайдемо умови, при виконаннi яких оператор
Ul 3 u(·) 7→ χ(·; [u(·)]) (14)
вiдображає простiр Ul в себе.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 377
Твердження 9. Нехай справджується нерiвнiсть (3). Тодi iснує таке l > 0, що оператор
χ, визначений у (14), вiдображає Ul в себе.
Доведення. Введемо позначення ∆xt := xt(ϕ) − xt(ψ), ∆φt := φt(ϕ) − φt(ψ), де (φt(ϕ),
xt(ϕ)) — розв’язок з твердження 7, ϕ,ψ ∈ Tm — довiльнi точки. Очевидно, що ∆φt 6= 0, якщо
ϕ 6= ψ. Вiдтак маємо
d
dt
∆xt
‖∆φt‖
=
b(φt(ϕ), xt(ϕ))− b(φt(ψ), xt(ψ))
‖∆φt‖
−
−〈∆φt, a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))− a (φt(ψ), u (φt(ψ)))〉
‖∆φt‖3
∆xt =
=
b(φt(ϕ), xt(ϕ))− b(φt(ϕ), xt(ψ))
‖∆φt‖
+
b(φt(ϕ), xt(ψ))− b(φt(ψ), xt(ψ))
‖∆φt‖
−
−〈∆φt, a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))− a (φt(ψ), u (φt(ψ)))〉
‖∆φt‖2
∆xt
‖∆φt‖
.
Обчислимо i оцiнимо знизу похiдну функцiї w(t) :=
〈
S (φt(ϕ))
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
:
ẇ(t) =
〈
S′ϕ (φt(ϕ)) a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
+
+2
〈
S (φt(ϕ))
d
dt
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
=
=
〈
S′ϕ (φt(ϕ)) a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
+
+2
〈
S (φt(ϕ))
b(φt(ϕ), xt(ϕ))− b(φt(ϕ), xt(ψ))
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
+
+2
〈
S (φt(ϕ))
b(φt(ϕ), xt(ψ))− b(φt(ψ), xt(ψ))
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
−
−2
〈
S (φt(ϕ))
〈∆φt, a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))− a (φt(ψ), u (φt(ψ)))〉
‖∆φt‖2
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
≥
≥ 2γ
‖∆xt‖2
‖∆φt‖2
− 2λ+ (la + lLa)
‖∆xt‖2
‖∆φt‖2
− 2lb
‖∆xt‖
‖∆φt‖
.
Далi, обчислимо похiдну функцiї z(t) :=
‖∆xt‖2
‖∆φt‖2
:
ż(t) = 2
〈
d
dt
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
378 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
= 2
〈
b(φt(ϕ), xt(ϕ))− b(φt(ψ), xt(ψ))
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
−
−2
〈
〈∆φt, a (φt(ϕ), u (φt(ϕ)))− a (φt(ψ), u (φt(ψ)))〉
‖∆φt‖2
∆xt
‖∆φt‖
,
∆xt
‖∆φt‖
〉
.
Тодi
|ż(t)| ≤ 2 (Lb + la + lLa)
‖∆xt‖2
‖∆φt‖2
+ 2lb
‖∆xt‖
‖∆φt‖
.
Поклавши
g(z) = 2
[
(γ − λ+ (la + lLa)) z − lb
√
z
]
, h(z) = 2
[
(Lb + la + lLa) z + lb
√
z
]
i застосувавши лему 4, отримаємо
z(t)∫
ζ0(l)
(γ − λ+ [la + lLa]) z − lb
√
z
(Lb + la + lLa) z + lb
√
z
dz ≤ λ+ − λ−
2
ζ0(l),
де ζ0(l) =
(
lb
γ − λ+ [la + lLa]
)2
.
Тепер нам потрiбно показати, що l можна вибрати так, щоб функцiя z(t) задовольняла умову
z(t) ≤ l2 для всiх дiйсних t. А для цього достатньо, щоб знайшлося таке l, яке б задовольняло
нерiвнiсть
(
γ − λ+ [la + lLa]
lb
)2
l2∫
ζ0(l)
(γ − λ+ [la + lLa])
√
z − lb
(Lb + la + lLa)
√
z + lb
dz ≥ λ+ − λ−
2
,
еквiвалентну (3). Зрозумiло, що для iснування такого l достатньо, щоб права частина цiєї
нерiвностi не перевищувала максимуму лiвої частини, взятого по множинi тих значень l, якi
задовольняють нерiвнiсть l >
√
ζ0(l), тобто по вiдрiзку [l−, l+] , де l−, l+ — вiдповiдно менший
i бiльший коренi рiвняння l =
√
ζ0(l), еквiвалентного A(l) = 1.
Твердження 9 доведено.
Твердження 10. Оператор χ, визначений у (14), неперервний у просторi C(Tm 7→Rn) ,
надiленому стандартною нормою maxTm ‖ · ‖.
Доведення. Нехай u1(·), u2(·) ∈ Ul i maxϕ∈Tm ‖u1(ϕ)− u2(ϕ)‖ < ε. Нехай (φi,t(ϕ), xi,t(ϕ))
— розв’язок системи
ϕ̇ = a(ϕ, ui(ϕ)), ẋ = b(ϕ, x),
iснування якого гарантує твердження 3. Введемо позначення δφt = φ1,t(ϕ) − φ2,t(ϕ), δxt =
= x1,t(ϕ)− x2,t(ϕ). Маємо∣∣∣∣ ddt ‖δxt‖2
∣∣∣∣ = 2 |〈b (φ1,t(ϕ), x1,t(ϕ))− b (φ2,t(ϕ), x2,t(ϕ)) , δxt〉| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 379
≤ 2Lb ‖δxt‖2 + 2lb ‖δφt‖ ‖δxt‖
i ∣∣∣∣ ddt ‖δφt‖2
∣∣∣∣ = 2 |〈a (φ1,t(ϕ), u1(φ1,t(ϕ)))− a (φ2,t(ϕ), u2(φ2,t(ϕ))) , δφt〉| ≤
≤ 2 |〈a (φ1,t(ϕ), u1(φ1,t(ϕ)))− a (φ2,t(ϕ), u1(φ1,t(ϕ))) , δφt〉|+
+2 |〈a (φ2,t(ϕ), u1(φ1,t(ϕ)))− a (φ2,t(ϕ), u2(φ1,t(ϕ))) , δφt〉|+
+2 |〈a (φ2,t(ϕ), u2(φ1,t(ϕ)))− a (φ2,t(ϕ), u2(φ2,t(ϕ))) , δφt〉| ≤
≤ 2 (la + Lal) ‖δφt‖2 + 2Laε ‖δφt‖ .
Тодi ∣∣∣∣∣ ddt ‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
d
dt ‖δxt‖
2
‖δφt‖2 + ε
−
‖δxt‖2 d
dt ‖δφt‖
2[
‖δφt‖2 + ε
]2
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2Lb ‖δxt‖2 + 2lb ‖δφt‖ ‖δxt‖
‖δφt‖2 + ε
+
‖δxt‖2
(
2 (la + Lal) ‖δφt‖2 + 2Laε ‖δφt‖
)
[
‖δφt‖2 + ε
]2 ≤
≤
[
2(Lb + la + Lal) + La
√
ε
] ‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
+ 2lb
‖δxt‖√
‖δφt‖2 + ε
i
d
dt
〈S(φ1,t(ϕ))δxt, δxt〉
‖δφt‖2 + ε
=
〈
S′ϕ(φ1,t(ϕ))a (φ1,t(ϕ), u1(φ1,t(ϕ))) δxt, δxt
〉
‖δφt‖2 + ε
+
+
2 〈S(φ1,t(ϕ)) [b (φ1,t(ϕ), x1,t(ϕ))− b (φ2,t(ϕ), x2,t(ϕ))] , δxt〉
‖δφt‖2 + ε
−
−〈S(φ1,t(ϕ))δxt, δxt〉[
‖δφt‖2 + ε
]2
d ‖δφt‖2
dt
=
=
〈
S′ϕ(φ1,t(ϕ))δxt, δxt
〉
‖δφt‖2 + ε
+
+
2 〈S(φ1,t(ϕ)) [b (φ1,t(ϕ), x1,t(ϕ))− b (φ1,t(ϕ), x2,t(ϕ))] , δxt〉
‖δφt‖2 + ε
+
+
2 〈S(φ1,t(ϕ)) [b (φ1,t(ϕ), x2,t(ϕ))− b (φ2,t(ϕ), x2,t(ϕ))] , δxt〉
‖δφt‖2 + ε
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
380 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
−〈S(φ1,t(ϕ))δxt, δxt〉[
‖δφt‖2 + ε
]2
d ‖δφt‖2
dt
≥
≥ 2γ
‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
− 2lb
‖δxt‖√
‖δφt‖2 + ε
− λ+ ‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
2 (la + Lal) ‖δφt‖2 + 2Laε ‖δφt‖
‖δφt‖2 + ε
≥
≥
(
2
[
γ − λ+(la + Lal)
]
− La
√
ε
) ‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
− 2lb
‖δxt‖√
‖δφt‖2 + ε
.
Покладемо
z(t) =
‖δxt‖2
‖δφt‖2 + ε
, w(t) =
〈S(φ1,t(ϕ))δxt, δxt〉
‖δφt‖2 + ε
,
g(z) =
(
2
[
γ − λ+(la + Lal)
]
− La
√
ε
)
z − 2lb
√
z,
h(z) =
(
2(Lb + la + Lal) + La
√
ε
)
z + 2lb
√
z.
Тодi за лемою 4 за умови достатньої мализни ε матимемо
z(t)∫
z0(ε)
([γ − λ+(la + Lal)]−
√
εLa/2)
√
z − lb
((Lb + la + Lal) +
√
εLa/2)
√
z + lb
dz ≤ (λ+ − λ−)z0(ε)
2
, (15)
де z0(ε) =
l2b
([γ − λ+(la + Lal)]−
√
εLa/2)
2 . Звiдси випливає, що знайдуться ε0 > 0 i стала
K(ε0) такi, що z(t) ≤ K(ε0), зокрема z(0) ≤ K(ε0) при всiх ε ∈ [0, ε0]. Отже,
‖χ(ϕ; [u1(·)])− χ(ϕ; [u2(·)])‖2 = ‖δx0‖2 ≤ K
(
‖δφ0‖2 + ε
)
= Kε ∀ϕ ∈ Tm.
Зауваження 2. Порiвнявши умову (15) з (3), легко зробити висновок, що K(ε0) можна
вибрати так, щоб K(ε0)→ l при ε0 → 0. Тому якщо l < 1, то оператор χ буде стискати. Вiдтак,
iснування його нерухомої точки випливатиме з принципу Банаха.
5. Допомiжнi леми.
Лема 2. Покладемо I+ := [t0, T ). Нехай v(·) ∈ C1(I+ 7→R) та w(·) ∈ C1(I+ 7→R) — такi
функцiї, що v(t0) ≥ 0, v−1((0,∞)) 6= ∅, ω∗ := supt∈I+∩v−1((0,∞))w(t) <∞ i
v̇(t) ≤ c∗ẇ(t) ∀t ∈ v−1((0,∞)),
де c∗ > 0 — деяка стала. Тодi
v(t) ≤ c∗ω∗ + max {v(t0)− c∗w(t0),−c∗ω0} ∀t ∈ I+,
де ω0 := inft∈v−1(0)w(t), якщо v−1(0) 6= ∅, i ω0 :=∞, якщо v−1(0) = ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 381
Доведення. Множину v−1((0,∞)) \ {t0} можна подати у виглядi об’єднання не бiльш нiж
злiченної множини iнтервалiв, якi не перетинаються. Нехай J — один iз таких iнтервалiв.
Покладемо t1 := inf J. Якщо t1 > t0, то v(t1) = 0, w(t1) ≥ ω0, i, отже,
0 < v(t) ≤ c∗(w(t)− w(t1)) ≤ c∗(ω∗ − ω0) ∀t ∈ J.
Така сама оцiнка має мiсце й тодi, коли t1 = t0 i при цьому v(t0) = 0. Якщо ж v(t0) > 0, то
залишається додатково оцiнити v(t) на вiдрiзку [t0, t2], де
t2 := sup{τ ∈ (t0, T ) : v(t) > 0 ∀t ∈ (t0, τ)}.
Очевидно, що
v(t) ≤ c∗ω∗ − c∗w(t0) + v(t0) ∀t ∈ [t0, t2].
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай v(·) ∈ C1(R 7→R) та w(·) ∈ C1(R 7→R) — функцiї, якi задовольняють такi
умови: a) функцiя w(·) обмежена на R; b) множина v−1((0,∞)) непорожня i на цiй множинi
−c∗ẇ(t) ≤ v̇(t) ≤ c∗ẇ(t), де c∗ > 0 та c∗ ≥ 0 — деякi сталi; c) якщо для всiх достатньо малих
ε > 0 множина v−1((ε,∞)) необмежена, то inft∈v−1((ε,∞)) ẇ(t) > 0.
Тодi для всiх достатньо малих ε > 0 множина v−1(ε) непорожня i функцiя v(·) задовольняє
нерiвнiсть
v(t) ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
lim inf
ε→+0
[ω̄(ε)− ω(ε)] ∀t ∈ R,
де ω(ε) = inft∈v−1(ε)w(t), ω̄(ε) = supt∈v−1(ε)w(t).
Доведення. Покладемо ω∗ = supt∈Rw(t), ω∗ = inft∈Rw(t). Оскiльки множина v−1((0,∞))
непорожня, то для всiх достатньо малих ε > 0 множина v−1((ε,∞)) теж непорожня. Якщо ця
множина обмежена, то для кожного t0 такого, що v(t0) > ε, знайдуться числа t− < t0, t+ > t0
такi, що v (t±) = ε i v(t) > ε на iнтервалi (t−, t+). Нехай t̂ ∈ arg maxt∈[t−,t+] v(t). Тодi
w(t+)− w(t−) =
t̂∫
t−
ẇ(t) dt+
t+∫
t̂
ẇ(t) dt ≥
≥ 1
c∗
t̂∫
t−
v̇(t) dt− 1
c∗
t+∫
t̂
v̇(t) dt =
c∗ + c∗
c∗c∗
[
v(t̂)− ε
]
.
Звiдси випливає нерiвнiсть
v(t) ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
[ω̄(ε)− ω(ε)] + ε ∀t ∈ R. (16)
Нехай тепер множина v−1((ε,∞)) необмежена. Тодi для довiльного t0 ∈ R такого, що v(t0) > ε,
знову знайдуться числа t− < t0, t+ > t0 такi, що v (t±) = ε i v(t) > ε на iнтервалi (t−, t+).
Справдi, мiркуючи вiд супротивного, припустимо, наприклад, що v(t) > ε для всiх t > t0. Тодi
за умовою знайдеться таке κ(ε) > 0, що ẇ(t) ≥ κ(ε) для всiх t ≥ t0, а отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
382 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, В. А. ЛАГОДА
κ(ε)(t− t0) ≤
t∫
t0
ẇ(s)ds ≤ ω∗ − ω∗ <∞ ∀t ≥ t0,
що неможливо. Таким чином, числа t−, t
+ iснують. Залишається повторити наведенi вище
мiркування, результатом яких є оцiнка (16). Вибравши послiдовнiсть {εk} , яка реалiзує
lim infε→+0[ω̄(ε)− ω(ε)], отримаємо потрiбну оцiнку для функцiї v(·).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай для функцiй g(·) ∈ C(R+ 7→R) та h(·) ∈ C(R+ 7→R) iснує z0 > 0 таке,
що g(z) > 0 при z > z0 i h(z) > 0 при z ≥ z0, а функцiї z(·) ∈ C1(I 7→R+) та w(·) ∈ C1(I 7→R)
для всiх t ∈ z−1
(
(z0,∞)
)
задовольняють нерiвностi
ẇ(t) ≥ α(t)g ◦ z(t), −c∗α(t)h ◦ z(t) ≤ ż(t) ≤ c∗α(t)h ◦ z(t)
з деякою функцiєю α(·) ∈ C(I 7→R+) такою, що inft∈I α(t) > 0, та деякими сталими c∗ ≥ 0,
c∗ > 0; при цьому множина z−1
(
(z0,∞)
)
припускається непорожньою, а функцiя w(t) —
обмеженою зверху, якщо I = I+, i обмеженою на R, якщо I = R. Тодi функцiї v(·) :=
:=
∫ z(·)
z0
g(s)
h(s)
ds та w(·) задовольняють умови леми 2, якщо I = I+, i леми 3, якщо I = R.
Крiм того, якщо знайдуться функцiї f(·) ∈ C (R 7→R) та f̄(·) ∈ C (R 7→R) такi, що f ◦ z(t) ≤
≤ w(t) ≤ f̄ ◦ z(t) для всiх t ∈ R, то
v(t) ≤ c∗c
∗
c∗ + c∗
[
f̄(z0)− f(z0)
]
.
Доведення. Насамперед зауважимо, що для всiх t ∈ z−1
(
(z0,∞)
)
справджуються нерiв-
ностi
−c∗ẇ(t) ≤ −c∗α(t)g ◦ z(t) ≤ v̇(t) =
ż(t)g ◦ z(t)
h ◦ z(t)
≤ c∗α(t)g ◦ z(t) ≤ c∗ẇ(t).
Далi, для кожного достатньо малого ε > 0 iснує єдине z(ε) > z0 таке, що
∫ z(ε)
z0
g(s)
h(s)
ds = ε, до
того ж z(ε)→ z0 при ε→ 0. Отже, для всiх досить малих ε > 0 множина z−1(z(ε)) непорожня
i збiгається з v−1(ε). Тому ω(ε) ≥ f(z(ε)) i ω̄(ε) ≤ f̄(z(ε)). Залишилося скористатися лемою 3.
Лему 4 доведено.
6. Висновки. У цiй роботi отримано новi нелокальнi достатнi умови iснування лiпшицевих
iнварiантних торiв для iстотно нелiнiйних динамiчних систем з фазовим простором Tm × Rn,
якi характеризуються властивостями iндефiнiтної коерцитивностi та iндефiнiтної монотонностi.
Використаний при цьому пiдхiд ґрунтується на поєднаннi топологiчного принципу Важевсько-
го та принципу Шаудера iснування нерухомої точки у компактного оператора, визначеного на
опуклiй множинi Rn-значних лiпшицевих вiдображень тора Tm. Для ефективного застосуван-
ня першого з названих принципiв при конструюваннi зазначеного оператора було використано
пару узгоджених мiж собою допомiжних функцiй — напрямну функцiю W та оцiнювальну фун-
кцiю V (V-W-пару). За певних умов на топологiю поверхонь рiвня напрямної функцiї вдалося
використати V-W-пару для доведення iснування i локалiзацiї в просторi iнварiантних перерiзiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ЛIПШИЦЕВI IНВАРIАНТНI ТОРИ IНДЕФIНIТНО МОНОТОННИХ СИСТЕМ 383
нелiнiйних розширень динамiчних систем на торi вигляду (5), породжених вихiдною динамiч-
ною системою шляхом звуження її торичної компоненти на графiки лiшицевих вiдображень
u(·). Позитивною рисою запропонованого пiдходу є той факт, що отриманi достатнi умови iсну-
вання iнварiантних торiв мають аналiтичний, коефiцiєнтний характер i в кожному конкретному
випадку допускають ефективну перевiрку.
1. Cамойленко А. М. О сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1970. – 34,
№ 6. – С. 1219 – 1240.
2. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Dordrecht etc.: Kluwer
Acad. Publ., 1991. – 332 p.
3. Samoilenko A. M. Perturbation theory of smooth invariant tori of dynamical systems // Nonlinear Anal. – 1997. – 30,
№ 5. – P. 3121 – 3133.
4. Sacker R. J. A perturbation theorem for invariant manifolds and Holder continuity // J. Math. and Mech. – 1969. –
18, № 8. – P. 705 – 761.
5. Fenishel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds and flows // Indiana Univ. Math. – 1971. – 21, № 3.
– P. 193 – 226.
6. Osipenko А. Perturbation of invariant manifolds of ordinary differential equations // Six Lectures Dynam. Systems.
– Singapore: World Sci., 1996. – P. 213 – 265.
7. Перестюк М. О, Балога С. I. Iснування iнварiантного тора одного класу систем диференцiальних рiвнянь //
Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 4. – С. 520 – 529.
8. Перестюк М. О., Фекета П. В. Про iснування iнварiантного тора одного класу систем диференцiальних
рiвнянь // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. i iнформ. – 2009. – Вип. 18. – C. 106 – 112.
9. Перестюк М. О., Слюсарчук В. Ю. Оператор Грiна – Самойленка в теорiї iнварiантних множин нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – C. 948 – 957.
10. Голец В. Л. К вопросу возмущения устойчивого инвариантного тора динамической системы // Укр. мат. журн.
– 1971. – 23, № 1. – C. 130 – 137.
11. Волков Д. Ю., Ильин Ю. А. О существовании инвариантного тора у существенно нелинейной системы диф-
ференциальных уравнений // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. – 1992. – Вып. 4, № 22. – C. 27 – 31.
12. Митропольский Ю. А, Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 271 с.
13. Чересиз В. М. V-монотонные системи и почти-периодические решения // Сиб. мат. журн. – 1972. — 13, № 4. –
C. 921 – 932.
14. Чересиз В. М. Устойчивые и условно устойчивые почти-периодические решения V-монотонных систем // Сиб.
мат. журн. – 1974. – 15, № 1. – C. 162 – 176.
15. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. – Минск,
1986. – 200 c.
16. Парасюк I. О., Романченко I. А. Обґрунтування методу Гальоркiна для iндефiнiтно монотонних квазiперiодич-
них систем // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика. Механiка. – 2002. – Вип. 7. – С. 37 – 41.
17. Ivanov O. A. Wazewski’s topological principle and existence of bounded solutions of quasihomogeneous systems //
Vestn. Leningr. Univ., Mat. Mekh. Astron. – 1985. – № 1. – P. 109 – 110.
18. Lagoda V., Parasyuk I. Existence of V-bounded solutions for nonautonomous nonlinear systems via the Wazewski
topological principle // arXiv:0911.4643v2 [math.CA]. – 2009. – 33 p.
19. Dugundji J. Topology. – Boston: Allyn and Bacon, 1965.
Одержано 07.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
|