О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть
Вивчаються групи Шункова з наступною умовою: нормалiзатор будь-якої скiнченної нетривiальної пiдгрупи має майже шарово скiнченну перiодичну частину. За цiєї умови встанoвлено майже шарову скiнченнiсть перiодичної частини групи Шункова з сильно вкладеною пiдгрупою, що має майже шарово скiнченну перiо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164154 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 384-391. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164154 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641542020-02-23T19:08:16Z О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть Сенашов, В.И. Статті Вивчаються групи Шункова з наступною умовою: нормалiзатор будь-якої скiнченної нетривiальної пiдгрупи має майже шарово скiнченну перiодичну частину. За цiєї умови встанoвлено майже шарову скiнченнiсть перiодичної частини групи Шункова з сильно вкладеною пiдгрупою, що має майже шарово скiнченну перiодичну частину. We study Shunkov groups with the following condition: the normalizer of any finite nontrivial subgroup has an almost layer-finite periodic part. It is proved that such a group has an almost layer-finite periodic part if it has a strongly imbedded subgroup with almost layer-finite periodic part. 2012 Article О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 384-391. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164154 512.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сенашов, В.И. О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються групи Шункова з наступною умовою: нормалiзатор будь-якої скiнченної нетривiальної пiдгрупи має майже шарово скiнченну перiодичну частину. За цiєї умови встанoвлено майже шарову скiнченнiсть перiодичної частини групи Шункова з сильно вкладеною пiдгрупою, що має майже шарово скiнченну перiодичну частину. |
| format |
Article |
| author |
Сенашов, В.И. |
| author_facet |
Сенашов, В.И. |
| author_sort |
Сенашов, В.И. |
| title |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| title_short |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| title_full |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| title_fullStr |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| title_full_unstemmed |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| title_sort |
о группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164154 |
| citation_txt |
О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую часть / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 384-391. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT senašovvi ogruppahssilʹnovložennojpodgruppojimeûŝejpočtislojnokonečnuûperiodičeskuûčastʹ |
| first_indexed |
2025-07-14T16:41:04Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:41:04Z |
| _version_ |
1837641252382703616 |
| fulltext |
УДК 512.5
В. И. Сенашов (Ин-т вычислит. моделирования СО РАН, Красноярск, Россия)
О ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ, ИМЕЮЩЕЙ
ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНУЮ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ ЧАСТЬ*
We study Shunkov groups with the following condition: the normalizer of any finite nonunit subgroup has an almost
layer-finite periodic part. It is proved that such a group has an almost layer-finite periodic part if it has a strongly imbedded
subgroup with almost layer-finite periodic part.
Вивчаються групи Шункова з наступною умовою: нормалiзатор будь-якої скiнченної нетривiальної пiдгрупи має
майже шарово скiнченну перiодичну частину. За цiєї умови встанoвлено майже шарову скiнченнiсть перiодичної
частини групи Шункова з сильно вкладеною пiдгрупою, що має майже шарово скiнченну перiодичну частину.
Группой Шункова называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K
в фактор-группе NG(K)/K два любых сопряженных элемента простого порядка порождают
конечную подгруппу. В статье изучается класс групп Шункова.
Слойно конечные группы впервые появились без названия в статье С. Н. Черникова [1],
а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно конечных
групп. Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного
порядка конечно. Почти слойно конечные группы — это расширения слойно конечных групп
с помощью конечных. Напомним, что сильно вложенной называется собственная подгруппа
H группы G, если H содержит элемент порядка 2 (инволюцию) и для любого элемента g ∈
∈ G\H подгруппаH∩Hg не содержит инволюций. Элемент называется строго вещественным
относительно некоторой инволюции, если при сопряжении этой инволюцией он переводится в
обратный к нему элемент. Периодической частью группы называется множество ее элементов
конечного порядка, если оно является группой. Если произведение всех нормальных слойно
конечных подгрупп группы слойно конечно, то будем его называть слойно конечным радикалом
группы. Бесконечные группы с сильно вложенной подгруппой изучались также в работах [2 –
9]. Ранее автором была установлена почти слойная конечность группы Шункова с сильно
вложенной подгруппой при условии почти слойной конечности всех собственных подгрупп
[10] и при условии периодичности группы [11]. Изучался также случай, когда в группе есть
сильно вложенная подгруппа, имеющая черниковскую почти слойно конечную периодическую
часть [12], и случай группы с почти слойно конечной сильно вложенной подгруппой [13].
В данной работе предполагается, что в группе имеется сильно вложенная подгруппа c почти
слойно конечной периодической частью и условие почти слойной конечности накладывается
только на периодические части нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп.
Целью настоящей работы является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Пусть группа Шункова содержит сильно вложенную подгруппу, имеющую по-
чти слойно конечную периодическую часть. Если в группе нормализатор любой нетривиальной
конечной подгруппы имеет почти слойно конечную периодическую часть, то сама группа име-
ет почти слойно конечную периодическую часть.
Данная теорема является обобщением основных результатов из работ [12, 13]. Доказатель-
ство теоремы составлено из фрагментов доказательств, приведенных в работах автора [12 – 15],
*Выполнена при поддержке грантов РФФИ (проект 09-01-00395, 10-01-00509) и гранта Сибирского федерального
университета (проект — элитное математическое образование в СФУ).
c© В. И. СЕНАШОВ, 2012
384 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
О ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ, ИМЕЮЩЕЙ ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНУЮ . . . 385
на которые мы ссылаемся в соответствующих случаях. У лемм 4, 5 и у завершающей части
доказательства теоремы имеются отличия от доказательств аналогичных частей в упомяну-
тых работах, поэтому мы приводим их полностью. Нужно также иметь в виду, что в работах
[12 – 15] доказательства соответствующих лемм аналогичны, но рассматриваемые подгруппы
различаются по своим свойствам. Так, в [12] сильно вложенная подгруппа имеет черниковскую
периодическую часть, в [13] сильно вложенная подгруппа почти слойно конечна, а в [14, 15] в
рассматриваемых группах нет инволюций и, следовательно, нет сильно вложенных подгрупп.
Для удобства чтения статьи приведем результаты, на которые мы ссылаемся в доказа-
тельстве теоремы. В тексте будем ссылаться на них как на предложения с соответствующим
номером.
1. Если любая абелева подгруппа примарной группы имеет конечный нижний слой, то
абелевы подгруппы удовлетворяют условию минимальности (см., например, [16]).
Нижним слоем группы называется множество ее элементов простых порядков.
2. Группа Шункова с условием минимальности для абелевых подгрупп является черников-
ской (основной результат из [17]).
3. Любая локально конечная p-группа, удовлетворяющая условию минимальности, гипер-
центральна (теорема 1.6 из [16]).
4. Пусть G — группа с инволюциями, i — ее некоторая инволюция, удовлетворяющие
следующим условиям:
1) подгруппы вида 〈i, ig〉, g ∈ G, конечны;
2) в централизаторе CG(i) множество элементов конечных порядков конечно;
3) в группе G нормализатор любой нетривиальной (i)-инвариантной конечной подгруппы
имеет периодическую часть.
Тогда либо G имеет почти нильпотентную периодическую часть, либо G — T0-группа
(теорема 1 из [18]).
5. Пусть группа Шункова G содержит сильно вложенную подгруппу, имеющую черников-
скую почти слойно конечную периодическую часть. Если вG нормализатор любой нетривиаль-
ной конечной подгруппы имеет почти слойно конечную периодическую часть, то сама группа
G имеет почти слойно конечную периодическую часть (основной результат из [12]).
6. Пусть G — группа, H — ее сильно вложенная подгруппа, i — некоторая инволюция из H
с условием: почти для всех (т. е. кроме, быть может, конечного числа) элементов вида g−1ig,
g ∈ G \H, подгруппа 〈i, ig〉 конечна.
Тогда все инволюции из G сопряжены в G (см. предложение 4.3 из [19]).
7. Локально конечная группа G тогда и только тогда почти слойно конечна, когда в G
выполняется условие: нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы из G — почти
слойно конечная группа (теорема 1 из [14]).
8. Расширение черниковской группы с помощью черниковской группы — снова черников-
ская группа [20].
9. Слойно конечную группу G можно представить в виде произведения двух поэлементно
перестановочных подгрупп, из которых первая является полной абелевой слойно конечной
группой, а вторая — тонкой слойно конечной группой (теорема 3.3 [16]).
Напомним, что слойно конечная группа называется тонкой, если все ее силовские подгруп-
пы конечны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
386 В. И. СЕНАШОВ
10. Каждая тонкая слойно конечная группа является подгруппой тонкого слойно конечного
прямого произведения конечных групп (теорема 3.8 [16]).
Напомним, что слойно конечным прямым произведением конечных групп называется прямое
произведение конечных групп, имеющее для каждого простого числа p лишь конечное число
множителей с делящимися на p порядками.
11. Если M — подмножество, а H — подгруппа группы G, то мощность класса под-
множеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу |H : NH(M)|. В частности,
|aG| = |G : NG(a)| (теорема 2.5.6 из [20]).
12. Пусть V = 〈a, k〉 — конечная разрешимая квазифробениусова группа, где |a| = |k| = p
— простое число, и силовская 2-подгруппа из CV (a) отлична от обобщенной группы кватерни-
онов. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) V = F h 〈a〉 — группа Фробениуса с ядром F и дополнением 〈a〉;
2) V = F h (Sλ〈a〉), где FCV (a) — группа Фробениуса с абелевым ядром F и дополнением
CV (a), S — некоммутативная 2-подгруппа, Z(S) — циклическая группа и Z(S) = S ∩ CV (a),
причем любая (a)-инвариантная абелева подгруппа из S принадлежит Z(S) (лемма 4.3 из [21]).
Напомним определение квазифробениусовой группы.
Пусть B — локально конечная группа, x — ее элемент простого порядка p и L(B) — нетри-
виальный локально-нильпотентный радикал группы B. Если подгруппа 〈L(B), CB(x)〉 есть
группа Фробениуса с дополнением CB(x) и ядром L(B), то B называется квазифробениусовой
группой (по модулю p).
13. Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа, a — элемент простого порядка p 6= 2
изG такие, что почти для всех (т. е. кроме, быть может, конечного числа) элементов вида g−1ag,
где g ∈ G \H, подгруппы Lg = 〈a, g−1ag〉 являются группами Фробениуса с неинвариантным
множителем (a). Тогда либо G = F h NG(a) и F h (a) — группа Фробениуса с ядром F
и неинвариантным множителем (a), либо элемент a лежит в конечном нормальном делителе
группы G (основная теорема из [22]).
14. Пусть G — группа Фробениуса вида G = F h (x), где x имеет простой порядок p.
Предположим еще, что подгруппы 〈x, xg〉 конечны для каждого g ∈ G и каждая абелева (x)-
инвариантная подгруппа простой экспоненты из F конечна. Тогда F — нильпотентная группа
(лемма 4.6 из [21]).
15. Пусть (G,H) — пара Фробениуса, H = 〈a〉 и все подгруппы 〈a, ag〉, где g ∈ G, конечны.
Тогда G = F h H — группа Фробениуса с дополнением H и периодическим ядром F. Если
|a| = 2k, то F — периодическая абелева группа (лемма 2.7 из [23]).
16. В нильпотентной группе любая нетривиальная подгруппа имеет нетривиальное пересе-
чение с центром (теорема 16.2.3 из [20]).
Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Пусть группа G удовлетворяет
условиям теоремы. Если группаG содержит конечное множество элементов конечного порядка,
то утверждение теоремы справедливо для G. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что
множество элементов конечного порядка в группе G бесконечно. Поскольку в G есть сильно
вложенная подгруппа, то G имеет инволюции.
Обозначим через S некоторую силовскую 2-подгруппу группыG. Ее элементарные абелевы
подгруппы конечны в силу условий теоремы. Следовательно, любая абелева подгруппа из S
имеет конечный нижний слой. Тогда по предложению 1 абелевы подгруппы из S удовлетворяют
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
О ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ, ИМЕЮЩЕЙ ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНУЮ . . . 387
условию минимальности, а по предложению 2 S — черниковская и, значит, локально конеч-
ная группа. По предложению 3 S имеет нетривиальный центр. Обозначим через i некоторую
инволюцию из центра группы S.
Пусть в централизаторе CG(i) множество элементов конечных порядков конечно. Тогда по
условиям теоремы и по предложению 4 либо G имеет почти нильпотентную периодическую
часть, либо G — T0-группа.
Напомним определение класса T0-групп. Группа G с инволюцией i называется T0-группой,
если выполняются следующие условия:
(1) все подгруппы вида 〈i, ig〉, g ∈ G, конечны;
(2) силовские 2-подгруппы из G — циклические группы или обобщенные группы кватерни-
онов;
(3) централизатор CG(i) бесконечен и имеет конечную периодическую часть;
(4) нормализатор любой нетривиальной 〈i〉-инвариантной локально конечной подгруппы из
G либо содержится в CG(i), либо имеет периодическую часть, являющуюся группой Фробе-
ниуса с абелевым ядром и конечным неинвариантным множителем четного порядка;
(5) CG(i) 6= G и для любого элемента c из G \ CG(i), строго вещественного относительно
i, т. е. ci = c−1, в CG(i) существует такой элемент sc, что подгруппа 〈c, csc〉 бесконечна.
Если периодическая часть группы G почти нильпотентна, то G содержит периодическую
нильпотентную нормальную подгруппуK конечного индекса в периодической части группыG.
ПосколькуK имеет нетривиальный центр Z(K), централизатор любого неединичного элемента
из Z(K) по условиям теоремы имеет почти слойно конечную периодическую часть, очевидно,
содержащую K. Тогда K почти слойно конечна, а вместе с ней почти слойно конечна и перио-
дическая часть группы G как расширение почти слойно конечной группы с помощью конечной
группы. Таким образом, в случае, когда периодическая часть группы G почти нильпотентна,
теорема доказана.
T0-группой группа G быть не может. Действительно, пусть G является T0-группой. В G
бесконечно много элементов b1, b2, . . . конечного порядка, а в CG(i) по предположению их
конечное число, значит, в G строго вещественных относительно инволюции i элементов вида
ib−11 ib1, ib
−1
2 ib2, . . . бесконечно много, и все они имеют конечный порядок вследствие того,
что G — группа Шункова. Так как мы предположили, что в CG(i) конечное число элементов
конечного порядка, то среди степеней элементов ib−11 ib1, ib
−1
2 ib2, . . . найдется строго вещест-
венный элемент c относительно инволюции i из G \ CG(i) простого порядка. По условию (5)
из определения T0-группы для некоторого элемента sc подгруппа 〈c, csc〉 бесконечна. Получили
противоречие с тем, что G — группа Шункова.
Итак, в дальнейшем будем предполагать, что в централизаторе CG(i) множество элементов
конечных порядков бесконечно.
Если в группеG имеется сильно вложенная подгруппа, имеющая черниковскую почти слой-
но конечную периодическую часть, то по предложению 5 утверждение теоремы справедливо.
Следовательно, в группе G имеется сильно вложенная подгруппа F1, имеющая нечерников-
скую почти слойно конечную периодическую часть F. Поскольку в группе G имеется сильно
вложенная подгруппа, то в G по предложению 6 все инволюции сопряжены. Следовательно,
можем полагать, что в группе F1 содержится инволюция i. Так как группа F1 сильно вложена
в G, централизатор этой инволюции CG(i) также содержится в группе F1, а это в силу только
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
388 В. И. СЕНАШОВ
что доказанной бесконечности множества элементов конечных порядков централизатора CG(i)
влечет бесконечность периодической части F группы F1. Вложим подгруппу F в максималь-
ную почти слойно конечную подгруппу X. Такая подгруппа найдется в силу леммы Цорна и
предложения 7. Обозначим через X1 нормализатор подгруппы X в группе G.
Обозначим через K множество всех подгрупп группы G вида Lg = 〈a, ag〉, где элемент a
простого порядка p выбираем из F и g ∈ G \ X1. Вследствие того, что G является группой
Шункова, подгруппы Lg конечны.
По предложению 8 слойно конечный радикал R(F ) нечерниковской группы F является
нечерниковской группой. По предложению 9 R(F ) можно представить в виде произведения
двух поэлементно перестановочных подгрупп A и D, где A — полная абелева слойно конеч-
ная группа, а D — слойно конечная группа с конечными силовскими подгруппами. Если бы
множество π(F ) было конечным, то группа A являлась бы прямым произведением конечного
числа квазициклических групп, а группа D — конечной группой по предложению 10, и тогда
группа R(F ) была бы черниковской (напомним, что через π(F ) обозначают множество про-
стых делителей порядков элементов группы F ). Противоречие означает, что π(F ) бесконечно
и для выбора порядка элемента a имеется бесконечно много возможностей.
Вследствие бесконечности множества вариантов выбора порядка элемента a и строения по-
чти слойно конечной группы выберем его порядок таким достаточно большим, что он отличен
от 2 и не делит индекс |X : R(X)|, где R(X) — слойно конечный радикал группы X (индекс
|X : R(X)| конечен в силу почти слойной конечности группы X).
Зафиксируем в дальнейшем введенные обозначения i, S, X, X1, F, F1, K.
Предположим, что множество K конечно. Поскольку оно состоит из конечных подгрупп
вида Lg = 〈a, ag〉, где g ∈ G \ X1, то в этом случае множество aG\X1 конечно. Элемент a
выбран из слойно конечного радикала R(X) группы X, нормальной в группе X1. Так как
R(X) является характеристической подгруппой группы X, множество aX1 содержится в R(X)
и, значит, является подслоем конечного слоя элементов порядка p из R(X). Следовательно,
множество aX1 конечно. Поскольку ранее мы получили конечность множества aG\X1 , то уже
множество aG конечно. Оно является конечным инвариантным множеством элементов группы
G и, значит, порождает по лемме Дицмана [24] конечную нормальную подгруппу в группе G.
В предположении конечности множества K в силу условий теоремы получаем справедливость
утверждения теоремы.
В дальнейшем будем предполагать, что множество K бесконечно.
Нам понадобится ряд лемм.
Лемма 1. Можно считать, что группа G не имеет неединичного локально конечного
радикала.
Доказательство. Если локально конечный радикал группы G неединичен, то он почти
слойно конечен по условиям доказываемой теоремы и по предложению 7 в нем найдется
конечная характеристическая подгруппа, нормализатор которой по условию теоремы имеет
почти слойно конечную периодическую часть. В этом случае теорема доказана.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть F и M — две различные бесконечные максимальные почти слойно
конечные подгруппы группыG, R(F ) и R(M) — их слойно конечные радикалы соответственно.
Тогда пересечение R(F ) ∩R(M) единично.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
О ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ, ИМЕЮЩЕЙ ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНУЮ . . . 389
Доказательство повторяет доказательство леммы 10 из [14].
Лемма 3. Если для некоторого элемента w конечного порядка и максимальной почти
слойно конечной подгруппы U пересечение CG(w) ∩ U бесконечно, то периодическая часть
группы CG(w) содержится в U.
Доказательство повторяет доказательство леммы 11 из [14].
Лемма 4. Никакая группа Lg из множества K и никакая сопряженная с ней подгруппа
не содержатся в группе X.
Доказательство. Предположим, что для некоторого элемента b и группы Lg из множества
K группа Lb
g содержится в X. Тогда вследствие выбора числа p элементы ab, agb содержатся
в слойно конечном радикале группы X. Отсюда следует, что элемент a принадлежит слойно
конечному радикалу группы Xb−1
. Поскольку элемент a содержится в группе F, то a ∈ X,
и снова по выбору числа p элемент a содержится в слойно конечном радикале группы X.
Следовательно, по лемме 2X = Xb−1
. Аналогично, a принадлежит слойно конечному радикалу
группы Xb−1g−1
, и снова по лемме 2 X = Xb−1g−1
. Окончательно получаем b−1, b−1g−1 ∈
∈ NG(X) = X1, что влечет включение g ∈ X1, но это противоречит выбору элемента g из
G \X1.
Лемма доказана.
Лемма 5. Любая группа Lg четного порядка из множества K содержит сильно вложен-
ную подгруппу.
Доказательство. Пусть Lg — группа четного порядка из множества K. Из-за сильной
вложенности подгруппы F1 все инволюции в группе G сопряжены. Подберем элемент d таким
образом, чтобы группа Ld
g содержала инволюцию i. По лемме 4 группа Ld
g не содержится в X
и, значит, Ld
g не содержится в F. Так как F является периодической частью группы F1, а Ld
g —
конечная группа, то группа Ld
g не содержится в F1. Вследствие сильной вложенности группы
F1 в группу G подгруппа Ld
g ∩ F1 сильно вложена в Ld
g. Тогда сильно вложенная подгруппа
найдется и в группе Lg.
Лемма доказана.
Лемма 6. Можно считать, что p выбрано настолько большим, что группы из множе-
ства K не содержат инволюций.
Доказательство с учетом леммы 5 аналогично доказательству леммы 4 из [12].
Лемма 7. В дополнение к выбору числа p можно предполагать, что оно не принадлежит
π(CX(b)), где b пробегает элементы простых порядков из X с централизаторами, имеющими
бесконечный индекс в X, и не является порядком регулярного автоморфизма никакой элемен-
тарной абелевой q-группы из X для всех простых чисел q, делящих |X : R(X)|.
Доказательство аналогично доказательству леммы 6 из [12].
Лемма 8. Можно считать, что в множестве K нет подгрупп Lg, для которых нильпо-
тентный радикал F (Lg) является p-группой.
Доказательство аналогично доказательству леммы 7 из [12].
Лемма 9. Пусть T — максимальная почти слойно конечная подгруппа с сильно вложен-
ным нормализатором вG, V — подгруппа, сопряженная с T вG, h— нетривиальный примарный
элемент из D = T ∩ V. Если централизатор CV (h) бесконечен, то и централизатор CT (h)
бесконечен.
Доказательство аналогично доказательству леммы 9 из [15].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
390 В. И. СЕНАШОВ
Лемма 10. Простое число p можно выбрать таким достаточно большим, что во всех
группах Lg = 〈a, ag〉 из K силовские p-подгруппы циклические.
Доказательство с учетом леммы 9 аналогично доказательству леммы 12 из [12].
Завершим доказательство теоремы. В силу леммы 10 считаем, что найдется элемент a ∈ X
порядка p такого, что силовские p-подгруппы в группе Lg = 〈a, ag〉 из K циклические. Поэтому
в силу лемм 6, 8 и теоремы Файта – Томпсона нильпотентный радикал Ng группы Lg является
неединичной p′-группой.
Предположим, что в CLg(a) найдется элемент b простого порядка, который перестановочен
с нетривиальным элементом c из Ng. По лемме 7 элемент b имеет бесконечный централизатор
в X, значит, по лемме 3 периодическая часть централизатора элемента b содержится в X
вместе с элементом c. Отсюда следует, что пересечение Dg = Ng ∩ X нетривиально, так как
содержит элемент c. Поэтому подгруппа Oq(Dg) нетривиальна для некоторого q ∈ π(Dg).
Рассмотрим нижний слой Ag центра группы Oq(Dg). Тогда Ag — неединичная 〈a〉-допустимая
характеристическая элементарная абелева q-подгруппа в Dg.
Обозначим через C периодическую часть группы CG(Ag) и покажем, что подгруппа C
бесконечна и содержится в X. Если a действует регулярно на Ag, то по лемме 7 Ag < R(X) и,
следовательно, по лемме 3 C содержится вX, а тогда по предложению 11 группа C бесконечна.
Пусть теперь элемент a перестановочен с нетривиальным элементом d из Ag. Снова по
лемме 7 элемент d имеет бесконечный централизатор в X, а по лемме 3 периодическая часть
централизатора элемента d содержится в X. Поэтому C также содержится в X. Кроме того,
группа C бесконечна. Действительно, группу Ag можно представить в виде Ag = Cg ×Bg, где
Cg = CAg(a), а на Bg элемент a действует регулярно. Если подгруппа Bg неединична, то по
лемме 7 Ag < R(X) и снова, как и выше, получаем бесконечность группы C. Пусть теперь
Bg = 1, т. е. Ag = Cg. Поскольку группа Ag конечна, а по лемме 7 централизатор CX(c) для
любого элемента c из Ag имеет конечный индекс в X, централизатор CX(Ag) также имеет
конечный индекс в X. Таким образом, централизатор CX(Ag) бесконечен, и значит, бесконечна
его периодическая часть C.
Итак, в любом случае периодическая часть C группы CG(Ag) бесконечна и содержится
в X. Отсюда следует, что группа C почти слойно конечна (напомним, что группа X почти
слойно конечна). Вследствие конечности индекса |NG(Ag) : CG(Ag)| периодическая часть E
нормализатора NG(Ag) также почти слойно конечна (как расширение почти слойно конечной
группы C с помощью конечной группы). Включая группу E в максимальную почти слойно
конечную подгруппу V группы G, получаем, что две максимальные почти слойно конечные
подгруппы X и V пересекаются по бесконечной подгруппе, содержащей C. По лемме 2 полу-
чаем совпадение подгрупп X и V и включение периодической части нормализатора NG(Ag)
в X. Так как Ag является характеристической подгруппой в Dg, периодическая часть группы
NG(Dg) также содержится в X.
ЕслиNg 6= Dg, то в силу нормализаторного условия в нильпотентных группах нормализатор
подгруппы Dg в Ng отличен от Dg и по доказанному содержится в X, что противоречит
построению подгруппы Dg. Поэтому Ng = Dg, откуда вследствие нормальности подгруппы
Ng в Lg и доказанного выше включения периодической части нормализатора NG(Dg) в X
получаем Lg < X вопреки лемме 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
О ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ, ИМЕЮЩЕЙ ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНУЮ . . . 391
Таким образом, любой элемент простого порядка из CLg(a) действует регулярно на Ng.
Поэтому в силу предложения 12 Lg — группа Фробениуса с неинвариантным множителем 〈a〉.
По предложению 13 группа G либо содержит нетривиальную нормальную локально конечную
подгруппу, либо имеет вид G = T hNG(〈a〉), где T h 〈a〉 — группа Фробениуса. В последнем
случае по предложениям 14, 15 группа T является нильпотентной и периодической. Тогда в
группе T по предложению 16 имеются неединичные элементы конечного порядка из центра
группы T. Отсюда по условиям теоремы группа T почти слойно конечна и, следовательно,
является неединичной локально конечной нормальной подгруппой в группе G. Итак, в лю-
бом случае в группе G найдется нормальная неединичная локально конечная подгруппа, что
противоречит лемме 1.
Теорема доказана.
1. Черников С. Н. К теории бесконечных p-групп // Докл. АН СССР. – 1945. – С. 71 – 74.
2. Измайлов А. Н., Шунков В. П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой //
Алгебра и логика. – 1982. – 21, № 6. – С. 647 – 669.
3. Измайлов А. Н. О сильно вложенной бесконечно изолированной подгруппе в периодической группе // Алгебра
и логика. – 1983. – 22, № 2. – С. 128 – 137.
4. Мазуров В. Д. О дважды транзитивных группах подстановок // Сиб. мат. журн. – 1990. – 31, № 4. – С. 102 – 104.
5. Мазуров В. Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций // Алгебра и логика. – 2000.
– 39, № 1. – С. 74 – 86.
6. Созутов А. И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой // Алгебра и логика. – 2000.
– 39, № 5. – С. 602 – 617.
7. Созутов А. И., Сучков Н. М. О бесконечных группах с заданной сильно изолированной 2-подгруппой // Мат.
заметки. – 2000. – 68, вып. 2. – С. 272 – 285.
8. Созутов А. И. Два признака непростоты группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией //
Мат. заметки. – 2001. – 69, вып. 3. – С. 443 – 453.
9. Сучков Н. М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций // Мат. сб. – 2002. – 193,
№ 2. – С. 153 – 160.
10. Сенашов В. И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 4. –
C. 472 – 485.
11. Сенашов В. И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых периодических группах Шункова //
Дискрет. математика. – 2002. – 14, № 4. – С. 133 – 152.
12. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной подгруппой // Труды Ин-та математики и механики
УрО РАН. – 2009. – 15, № 2. – C. 203 – 210.
13. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной почти слойно конечной подгруппой // Труды Ин-та
математики и механики УрО РАН. – 2010. – 16, № 3. – С. 234 – 239.
14. Сенашов В. И., Шунков В. П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций // Дискрет.
математика. – 2003. – 15, № 3. – С. 91 – 104.
15. Сенашов В. И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп // Укр. мат. журн.
– 1991. – 43, № 7–8. – С. 1002 – 1008.
16. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 c.
17. Сучкова Н. Г., Шунков В. П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика.
– 1986. – 26, .№ 4. – С. 445 – 469.
18. Шунков В. П. T0-группы. – Новосибирск: Наука, 2000. – 178 c.
19. Шунков В. П. Mp-группы. – М.: Наука, 1990. – 160 c.
20. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1982. – 288 c.
21. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе. – Новосибирск: Наука, 1992. – 133 c.
22. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами. Ч. 1, 2 //
Алгебра и логика. – 1977. – 16, № 6. – С. 711 – 735; 1979. – 18, № 2. – С. 206 – 223.
23. Попов А. М., Созутов А. И., Шунков В. П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. – Красноярск: ИПЦ
КГТУ, 2004. – 211 с.
24. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – М.: Наука, 1967. – 648 c.
Получено 09.11.10,
после доработки — 13.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
|