Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта
Показано, що задачi Дiрiхле i Пуанкаре в цилiндричнiй областi для багатовимiрного рiвняння Геллерстедта однозначно розв’язнi. Отримано критерiй єдиностi розв’язкiв цих задач....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164157 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта/ С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164157 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641572020-02-23T19:15:12Z Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта Алдашев, С.А. Короткі повідомлення Показано, що задачi Дiрiхле i Пуанкаре в цилiндричнiй областi для багатовимiрного рiвняння Геллерстедта однозначно розв’язнi. Отримано критерiй єдиностi розв’язкiв цих задач. We prove the unique solvability of the Dirichlet and Poincaré problems for a multidimensional Gellerstedt equation in a cylindrical domain. We also obtain a criterion for the unique solvability of these problems. 2012 Article Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта/ С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164157 517.956 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Алдашев, С.А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта Український математичний журнал |
| description |
Показано, що задачi Дiрiхле i Пуанкаре в цилiндричнiй областi для багатовимiрного рiвняння Геллерстедта однозначно розв’язнi. Отримано критерiй єдиностi розв’язкiв цих задач. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта |
| title_short |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта |
| title_full |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта |
| title_fullStr |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта |
| title_full_unstemmed |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта |
| title_sort |
корректность задач дирихле и пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения геллерстедта |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164157 |
| citation_txt |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта/ С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa korrektnostʹzadačdirihleipuankarevcilindričeskojoblastidlâmnogomernogouravneniâgellerstedta |
| first_indexed |
2025-07-14T16:41:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:41:12Z |
| _version_ |
1837641261033455616 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Ин-т прикл. математики и информатики Актюбин. гос. ун-та, Казахстан)
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
We prove the unique solvability of the Dirichlet and Poincaré problems for a multidimensional Gellerstedt equation in a
cylindric domain. We also obtain a criterion for the unique solvability of these problems.
Показано, що задачi Дiрiхле i Пуанкаре в цилiндричнiй областi для багатовимiрного рiвняння Геллерстедта одно-
значно розв’язнi. Отримано критерiй єдиностi розв’язкiв цих задач.
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физи-
ки — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна, если краевые условия заданы
на всей границе области. Как отмечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для вол-
нового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение
задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась
методами функционального анализа [5], которые сложны в применении к приложениям.
В [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболи-
ческих уравнений в пространствах, а в [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре
для многомерного волнового уравнения.
Насколько известно автору, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся
гиперболических уравнений ранее не изучались.
В настоящей работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области
для многомерного уравнения Геллерстедта однозначно разрешимы, а также получен критерий
единственности решений этих задач.
Пусть Dβ — цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t),
ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1}, плоскостями t = β > 0 и t = 0, где |x| — длина
вектора x = (x1, . . . , xm). Части этих поверхностей, образующих границу ∂Dβ области Dβ,
обозначим через Γβ, Sβ и S0 соответственно.
В области Dβ рассмотрим многомерное уравнение Геллерстедта
tp∆xu− utt = 0, (1)
где p = const > 0, ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сферическим
r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 < θ1 < π, i = 2, . . . ,m− 1.
В качестве многомерных задач Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Dβ из класса C(D̄β) ∩ C1(Dβ ∪ S0) ∩
∩ C2(Dβ), удовлетворяющее краевым условиям
u|Sβ = ϕ(r, θ), u|Γβ = ψ(t, θ), u|S0 = τ(r, θ), (2)
c© С. А. АЛДАШЕВ, 2012
426 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ. . . 427
или
u|Sβ = ϕ(r, θ), u|Γβ = ψ(t, θ), ut|S0 = τ(r, θ). (3)
Пусть {Y k
n,m(θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 ≤
≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m− 3)!(2n+m− 2), θ = (θ1, . . . , θm−1), W l
2(S0), l = 0, 1, . . . ,
— пространства Соболева.
Имеет место следующая лемма [10].
Лемма 1. Пусть f(r, θ) ∈W l
2(S0). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y k
n,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l − m + 1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы f(r, θ) ∈W l
2(S0), необходимо и достаточно, чтобы коэффи-
циенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
|f1
0 (r)| ≤ c1,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l|fkn(r)|2 ≤ c2, c1, c2 = const.
Через ϕ̄kn(r), ψ
k
n(t), τ̄kn(r), ν̄kn(r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) функций
ϕ(r, θ), ψ(t, θ), τ(r, θ), ν(r, θ) соответственно.
Пусть ϕ(r, θ) ∈W l
2(Sβ), ψ(t, θ) ∈W l
2(Γβ), τ(r, θ), ν(r, θ) ∈W l
2(S0), l >
3m
2
.
Тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если
cosµs,nβ
′ 6= 0, s = 1, 2, . . . , (5)
где µs,n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m−2)/2(z), β′=
2
2 + p
β(2+p)/2,
то задача 1 однозначно разрешима.
Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется
условие (5).
Доказательство теорем. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид
tp
(
urr +
m− 1
r
ur −
δu
r2
)
− utt = 0, (6)
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1 θj
∂
∂θj
)
,
g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Известно [10], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m − 2),
n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций
Y k
n,m(θ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
428 С. А. АЛДАШЕВ
Поскольку искомое решение задачи 1 принадлежит классу C(D̄β) ∩ C2(Dβ), его можно
искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y k
n,m(θ), (7)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций Y k
n,m(θ) [10], имеем
tp
(
ūknrr +
m− 1
r
ūknr −
λn
r2
ūkn
)
− ūkntt = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (8)
при этом краевые условия (2) и (3), с учетом леммы 1, соответственно примут вид
ūkn(r, β) = ϕ̄kn(r), ūkn(1, t) = ψ̄kn(t), ūkn(r, 0) = τ̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,
(9)
ūkn(r, β) = ϕ̄kn(r), ūkn(1, t) = ψ̄kn(t), ūknt(r, 0) = ν̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
(10)
Производя замену ūkn(r, t) = r(1−m)/2ukn(r, t) и полагая затем r = r, x0 =
2
2 + p
t(2+p)/2,
задачи (8), (9) и (8), (10) приводим к следующим задачам:
Lαυ
k
α,n ≡ υkα,nrr − υkα,nx0x0 −
α
x0
υkα,nx0 +
λn
r2
υkα,n = 0, (11α)
υkα,n(r, β′) = ϕkn(r), υkα,n(1, x0) = ψkn(x0), υkα,n(r, 0) = τkn(r), (12)
υkα,n(r, β′) = ϕkn(r), υkα,n(1, x0) = ψkn(x0), lim
x0→0
xα0
∂
∂x0
υkα,n = νkn(r), (13)
где
0 < α =
p
2 + p
< 1, λ̄n =
((m− 1)(3−m)− 4λn)
4
,
υkα,n(r, x0) = ukn
[
r,
(
2 + p
2
x0
) 2
2+p
]
, ϕkn(r) = r
m−1
2 ϕ̄kn(r), ψkn(x0) = ψ̄kn
[(
2 + p
2
x0
) 2
2+p
]
,
τkn(r) = r
m−1
2 τ̄kn(r), νkn(r) = r
m−1
2 ν̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Наряду с уравнением (11α) рассмотрим уравнение
L0υ
k
0,n ≡ υk0,nrr − υk0,nx0x0 +
λn
r2
υk0,n = 0. (110)
Как доказано в [11] (см. также [12]), существует следующая функциональная связь между
решениями задачи Коши для уравнений (11α) и (110).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ. . . 429
Утверждение 1. Если υk,10,n(r, x0) — решение задачи Коши для уравнения (110), удовлетво-
ряющее условиям
υk,10,n(r, 0) = τkn(r),
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (14)
то функция
υk,1α,n(r, x0) = γα
1∫
0
υk,10,n(r, ξx0)(1− ξ2)α/2−1dξ ≡ 2−1γαΓ
(α
2
)
x1−α
0 D
−α/2
0x20
[
υk,10,n(r, x0)
x2
0
]
(15)
при α > 0 является решением уравнения (11α) с данными (14).
Утверждение 2. Если υk,10,n(r, x0) — решение задачи Коши для уравнения (110), удовлетво-
ряющее условиям
υk,10,n(r, 0) =
νkn(r)
(1− α)(3− α) . . . (2q + 1− α)
,
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (16)
то при 0 < α < 1 функция
υk,2α,n(r, x0) = γ2−k+2q
(
1
x0
∂
∂x0
)q x1−α+2q
0
1∫
0
υk,10,n(r, ξx0)(1− ξ2)q−α/2dξ
≡
≡ γ2−k+2q2
q−1Γ
(
q − α
2
+ 1
)
D
α/2−1
0x20
[
υk,10,n(r, x0)
x0
]
(17)
является решением уравнения (11α) с начальными данными
υk,2α,n(r, 0) = 0, lim
x0→0
xα0
∂
∂x0
υk,2α,n = νkn(r), (18)
где
√
πΓ
(α
2
)
γα = 2Γ
(
α+ 1
2
)
, Γ(z) — гамма-функция, Dα
0t — оператор Римана – Лиувилля
[13], а q ≥ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2− α+ 2q ≥ m− 1.
Решение задачи (11α), (12) будем искать в виде
υkα,n(r, x0) = υk,1α,n(r, x0) + υk,2α,n(r, x0), (19)
где υk,1α,n(r, x0) — решение задачи Коши (11α), (14), а υk,2α,n(r, x0) — решение краевой задачи для
уравнения (11α) с данными
υk,2α,n(r, β′) = ϕkn(r)− υk,1α,n(r, β′), υk,2α,n(1, x0) = ψkn(x0)− υk,1α,n(1, x0), υk,2α,n(r, 0) = 0.
(20)
Учитывая формулы (15), (17), а также обратимость оператора Dα
0t [13], задачи (11α), (14) и
(11α), (20) соответственно сводим к задаче Коши (110), (14), имеющей единственное решение
[11], и к задаче для (110) с условиями
υk,10,n(r, β′) = ϕk1n(r), υk,10,n(1, x0) = ψk1n(x0),
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
430 С. А. АЛДАШЕВ
где ϕk1n(r), ψk1n(x0) — функции, вырождающиеся соответственно через ϕkn(r), τkn(r) и ψkn(x0),
τkn(r). В [9] показано, что если выполняется условие (5), то задача (110), (21) однозначно
разрешима.
Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливаем однозначную разрешимость задач (11α),
(14) и (12), (20).
Теперь будем искать решение задачи (11α), (13) в виде (19), где υk,2α,n(r, x0) — решение задачи
для (11α), (18), а υk,1α,n(r, x0) — решение задачи Коши для (11α) с данными
υk,1α,n(r, β′) = ϕkn(r)− υk,2α,n(r, β′), υk,1α,n(1, x0) = ψkn(x0)− υk,2α,n(1, x0),
∂
∂x0
υk,1α,n(r, 0) = 0.
(22)
Используя формулы (17), (15), задачи (11α), (18) и (11α), (22) соответственно приводим к
задаче Коши (110), (16) и к задаче (110), (21), где ϕk1n(r), ψk1n(x0) — функции, теперь вырожда-
ющиеся соответственно через ϕkn(r), νkn(r) и ψkn(x0), νkn(r).
Таким образом, задача (11α), (13) также имеет единственное решение.
Следовательно, задача (1), (2) имеет решение вида
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
r(1−m)/2ukn(r, t)Y k
n,m(θ), (23)
где ukn(r, t) находятся из (11α), (12).
Аналогичным образом находим решение задачи (1), (3) в виде (23), где ukn(r, t) опреде-
ляются из (11α), (13).
Будем учитывать следующие свойства нулей функций Бесселя [14]:
10. Если µν,1, µν,2, . . . — положительные нули функций Jν(z), упорядоченные по возрас-
танию значений, то 0 < µν,1 < µν+1, 1 < µν,2 < µν+1, 2 < µν,3 < . . . , ν > −1.
20. Пусть µν , µ
′
ν , µ
′′
ν являются наименьшими положительными нулями функций Jν(z),
J ′ν(z), J ′′ν (z) соответственно.
Тогда√
ν(ν + 2) < µν <
√
2(ν + 1)(ν + 3),
√
ν(ν + 2) < µ′ν <
√
2ν(ν + 1), ν > 0,√
ν(ν − 1) < µ′′ν <
√
(ν2 − 1), ν > 1.
Используя формулы [14, 15]
sin z = z
(
1− z
∞∑
n=1
(4n2 − 1)−1[Jn(nz)]2
)
,
Jν(z) =
√
2
πz
cos
(
z − π
2
ν − π
4
)
+ 0
(
1
z3/2
)
, ν ≥ 0, (24)
2J ′ν(z) = Jν−1(z)− Jν+1(z),
оценки [10]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ. . . 431
|kn| ≤ c1n
m−2,
∣∣∣∣∣ ∂q∂θqj Y k
n,m(θ)
∣∣∣∣∣ ≤ c2n
m/2−1+q, j = 1,m− 1, q = 0, 1, . . . ,
леммы, а также ограничения на заданные функции ϕ(r, θ), ψ(t, θ), ν(r, θ), как в [8, 9], можно
показать, что полученное решение (23) принадлежит искомому классу C(D̄β)∩C1(Dβ ∪ S0)∩
∩ C2(Dβ).
Теорема 1 доказана.
Теперь докажем теорему 2. Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 следует един-
ственность решения задачи 1.
Пусть теперь условие (5) не выполняется хотя бы для одного s = p.
В этом случае в [9] показано, что нетривиальным решением однородной задачи, соответ-
ствующей задаче (110), (21), является функция
υk,10,n(r, x0) =
√
rJ
n+
(m−2)
2
(µpr) cosµpx0. (25)
Далее, из (15), (17), (25) следует, что однородные задачи (11α), (12) и (11α), (13) имеют
решения вида
υk,2α,n(r, x0) = γα
√
r
1∫
0
(µpξx0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ
Jn+(m−2)/2(µpr),
υk,2α,n(r, x0) =
= γ2−k+2q
√
r
(
1
x0
∂
∂x0
)q x1−α+2q
0
1∫
0
cos(µpξx0)(1− ξ2)q−α/2dξ
J
n+
(m−2)
2
(µpr).
Следовательно, нетривиальным решением однородной задачи, соответствующей задаче
1, является функция u(r, θ, t) =
∑∞
n=1
∑kn
k=1
n−lr(1−m)/2ukjn(r, t)Y k
n,m(θ), где uk1n(r, t) =
= υk,1α,n(r, x0) в случае задачи (1), (2), uk2n(r, t) = υk,2α,n(r, x0) в случае задачи (1), (3), при
этом из (24) следует, что она принадлежит искомому классу, если l >
3m
2
.
В заключение отметим, что в [16] для уравнения (1) внутри характеристической области
приведены корректные постановки задач Дирихле и Пуанкаре.
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton Univ. Bull. – 1902.
– 13. – P. 49 – 52.
2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
4. Bourgin D.G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string eguation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1939. – 45.
– P. 851 – 858.
5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave eguation // Ann. math. pura ed appl. – 1958. – 46. – P. 155 – 182.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической
области // Дифференц. уравнения. – 1970. – 6, № 1. – С. 190 – 191.
7. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations
in cilindrical domains // J. Math. and Mech. – 1969. – 18, № 8.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
432 С. А. АЛДАШЕВ
8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave
equation // Math. Problems Engineering. – 2010. – Article ID 653215. – 7 p.
9. Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave
equation // J. Math. Sci. – 2011. – 173, № 2. – P. 150 – 154.
10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962. – 254 с.
11. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. – Алматы: Гылым,
1994. – 170 с.
12. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т,
1973. – 94 с.
13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1985. – 301 с.
14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1974. – Т. 2. – 295 с.
15. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 724 с.
16. Алдашев С. А., Селиханова Р. Б. О задачах Дарбу с отходом от характеристики и сопряженных им задачах
для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений // Докл. Адыгейской (Черкесской) Междунар.
академии наук. – Нальчик, 2007. – 9, № 2. – С. 24 – 27.
Получено 08.05.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
|