Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів

Исследуются коммутативные области элементарных делителей с точки зрения изучения структуры обратимых матриц, которые приводят заданную матрицу к диагональному виду. Указаны некоторые свойства элементов таких областей. Установлены условия, близкие к условиям стабильного ранга, при которых коммутативн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Щедрик, В.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2012
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164162
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів / В.П. Щедрик // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 126-139. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164162
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641622020-02-09T01:25:40Z Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів Щедрик, В.П. Статті Исследуются коммутативные области элементарных делителей с точки зрения изучения структуры обратимых матриц, которые приводят заданную матрицу к диагональному виду. Указаны некоторые свойства элементов таких областей. Установлены условия, близкие к условиям стабильного ранга, при которых коммутативная область Безу является областью элементарных делителей. We study commutative domains of elementary divisors from the viewpoint of investigation of the structure of invertible matrices that reduce a given matrix to the diagonal form. Some properties of elements of these domains are indicated. We establish conditions, close to the stable-range conditions, under which a commutative Bézout domain is a domain of elementary divisors. 2012 Article Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів / В.П. Щедрик // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 126-139. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164162 512.552.12 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Щедрик, В.П. Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів Український математичний журнал
description	Исследуются коммутативные области элементарных делителей с точки зрения изучения структуры обратимых матриц, которые приводят заданную матрицу к диагональному виду. Указаны некоторые свойства элементов таких областей. Установлены условия, близкие к условиям стабильного ранга, при которых коммутативная область Безу является областью элементарных делителей.
format	Article
author	Щедрик, В.П.
author_facet	Щедрик, В.П.
author_sort	Щедрик, В.П.
title	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
title_short	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
title_full	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
title_fullStr	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
title_full_unstemmed	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
title_sort	комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164162
citation_txt	Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів / В.П. Щедрик // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 126-139. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT ŝedrikvp komutativníoblastíelementarnihdílʹnikívtadeâkívlastivostííhelementív
first_indexed	2025-07-14T16:41:24Z
last_indexed	2025-07-14T16:41:24Z
_version_	1837641274008535040
fulltext	УДК 512.552.12 В. П. Щедрик (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв) КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ЇХ ЕЛЕМЕНТIВ We study commutative domains of elementary divisors from the viewpoint of investigation of the structure of invertible matrices that reduce a given matrix to the diagonal form. Some properties of elements of these domains are indicated. We establish conditions, close to the stable-rank conditions, under which a commutative Bézout domain is a domain of elementary divisors. Исследуются коммутативные области элементарных делителей с точки зрения изучения структуры обратимых матриц, которые приводят заданную матрицу к диагональному виду. Указаны некоторые свойства элементов таких областей. Установлены условия, близкие к условиям стабильного ранга, при которых коммутативная область Безу является областью элементарных делителей. 1. Вступ. I. Капланський [1] увiв поняття кiльця елементарних дiльникiв як такого кiльця R, над яким кожна матриця має властивiсть дiагональної редукцiї, тобто для кожної матрицi A над таким кiльцем iснують оборотнi матрицi P, Q вiдповiдних розмiрiв такi, що PAQ = diag(d1, . . . , dr, 0, . . . , 0) де Rdi+1R ⊆ diR ∩Rdi, i = 1, . . . , r − 1. (1) Якщо R — комутативне кiльце, то умова (1) рiвносильна тому, що di\|di+1, i = 1, . . . , r − 1. У цiй же статтi ним було введено поняття правого кiльця Ермiта як такого кiльця, над яким кожна (1 × 2)-матриця має властивiсть дiагональної редукцiї, i показано, що праве кiльце Ермiта є правим кiльцем Безу, тобто кiльцем скiнченнопороджених правих головних iдеалiв. У випадку комутативних областей цi кiльця збiгаються мiж собою [2]. Л. Гiллман та М. Хенрiксен [3, 4], дослiджуючи комутативнi кiльця Ермiта та кiльця еле- ментарних дiльникiв iз дiльниками нуля, навели приклади комутативного кiльця Безу, яке не є кiльцем Ермiта, i кiльця Ермiта, що не є кiльцем елементарних дiльникiв. Ними було по- ставлено питання збiжностi цих кiлець у випадку комутативних областей, яке тепер вiдоме як проблема кiлець елементарних дiльникiв. Без перебiльшення можна сказати, що це є одна iз найбiльш актуальних проблем сучасної алгебри. Серед великої кiлькостi робiт, присвячених цiй тематицi, видiлимо роботи П. Кона [5], М. Ларсена, У. Левiса, Т. Шореса [6], У. Мак Говерна [7], якi розв’язували цю проблему як методами класичної теорiї кiлець, так i методами теорiї модулiв. Багатообiцяючими є дослiдження проблеми кiлець елементарних дiльникiв, якi ґрунтуються на поняттi стабiльного рангу кiльця — одного iз важливих iнварiантiв К-теорiї [7 – 11]. Такий пiдхiд дозволив Б. Забавському [8 – 10] отримати низку структурних теорем, якi достатньо гли- боко характеризують кiльця Безу скiнченного стабiльного рангу. Зокрема, ним було показано, що комутативне кiльце Безу є кiльцем Ермiта тодi i тiльки тодi, коли його стабiльний ранг не бiльше 2 [8]. c© В. П. ЩЕДРИК, 2012 126 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 127 У пропонованiй роботi проблема кiлець елементарних дiльникiв дослiджується методами теорiї матриць. Такий пiдхiд дозволив вивчити структуру оборотних матриць, якi приводять матрицю до дiагонального вигляду (теореми 2, 3), вказати певнi властивостi елементiв таких кiлець (теорема 5), встановити умови, близькi до умов стабiльного рангу (теорема 6), при яких комутативна область Безу є областю елементарних дiльникiв. 2. Структура перетворювальних матриць. I. Капланський ([1], теорема 5.1) довiв, що у випадку комутативних областей Безу для встановлення того факту, що кiльце є областю елементарних дiльникiв, достатньо переконатись у тому, що кожна матриця вигляду∥∥∥∥∥b c a 0 ∥∥∥∥∥ , де (a, b, c) = 1, має властивiсть дiагональної редукцiї. На пiдставi теореми 5.2 з цiєї ж роботи це рiвносильно iснуванню таких m, n, α, β, що a(mα) + b(αβ) + c(βn) = 1. (2) Нехай R — комутативна область елементарних дiльникiв i A = ∥∥∥∥b c a 0 ∥∥∥∥ — матриця над R, до того ж (a, b, c) = 1. Тодi A ∼ ∥∥∥∥∥1 0 0 ac ∥∥∥∥∥ . Тобто iснують такi оборотнi матрицi P, Q, що PAQ = ∥∥∥∥∥1 0 0 ac ∥∥∥∥∥ = Φ. (3) Матрицi P, Q будемо називати перетворювальними матрицями матрицiA. Дослiдимо струк- туру цих матриць. Для цього запишемо матрицю A у виглядi добутку: A = ∥∥∥∥∥b c a 0 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥1 0 0 a ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥1 0 0 c ∥∥∥∥∥ . Розглянемо мультиплiкативнi групи GT a та Gc, якi складаються вiдповiдно з усiх оборотних матриць вигляду ∥∥∥∥∥h11 ah12 h21 h22 ∥∥∥∥∥ , ∥∥∥∥∥ l11 l12 cl21 l22 ∥∥∥∥∥ . Оскiльки ∥∥∥∥∥1 0 0 a ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥1 0 0 c ∥∥∥∥∥ ∼ ∥∥∥∥∥1 0 0 ac ∥∥∥∥∥ , то на пiдставi теореми iз [12] це рiвносильно тому, що ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 128 В. П. ЩЕДРИК∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ = MN, де M ∈ GT a , N ∈ Gc. Iз цих мiркувань випливає наступне твердження. Позначимо Sa,c = {∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ ∣∣∣∣∣ (a, b, c) = 1 } . Теорема 1. Нехай a, c — елементи комутативної областi елементарних дiльникiв. Тодi Sa,c ⊂ GT aGc. Зваживши на (2), переконуємося у правильностi рiвностi∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥cn+ αb −am α β ∥∥∥∥∥︸︷︷︸ M ∥∥∥∥∥βb+ am β cn −α ∥∥∥∥∥︸︷︷︸ N . З цiєї рiвностi випливає наступний результат. Теорема 2. Перетворювальними матрицями P та Q матрицi ∥∥∥∥b c a 0 ∥∥∥∥ є P = ∥∥∥∥∥ β m −αa αb+ cn ∥∥∥∥∥ , Q = ∥∥∥∥∥α cβ n −bβ − am ∥∥∥∥∥ , де a(mα) + b(αβ) + c(βn) = 1. Доведення. Виконуються рiвностi∥∥∥∥∥b c a 0 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥1 0 0 a ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥b 1 1 0 ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥1 0 0 c ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥1 0 0 a ∥∥∥∥∥MN ∥∥∥∥∥1 0 0 c ∥∥∥∥∥ = = ∥∥∥∥∥cn+ αb −m αa β ∥∥∥∥∥︸︷︷︸ M1 ∥∥∥∥∥1 0 0 ac ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥βb+ am βc n −α ∥∥∥∥∥︸︷︷︸ N1 . Для завершення доведення достатньо переконатись, що M−1 1 = P та N−1 1 = Q. Наслiдок. Якщо am+ cn = 1, то перетворювальними матрицями P та Q матрицi ∥∥∥∥0 c a 0 ∥∥∥∥ будуть матрицi P = ∥∥∥∥∥ 1 m −a cn ∥∥∥∥∥ , Q = ∥∥∥∥∥1 c n −am ∥∥∥∥∥ . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 129 З теореми 2 випливає, що елементи отриманих перетворювальних матриць P та Q тiсно пов’язанi мiж собою спiввiдношенням Капланського (2). Природно постає питання: чи iснують перетворювальнi матрицi, якi мають iншу структуру? Вiдповiдь є негативною. Позначимо через PA множину всiх оборотних матриць P, якi задовольняють рiвнiсть (3). Теорема 3. Всi матрицi iз множини PA мають вигляд∥∥∥∥∥ β1 m1 −α1a α1b+ cn1 ∥∥∥∥∥ , де a(m1α1) + b(α1β1) + c(β1n1) = e, e ∈ U(R). Доведення. На пiдставi результатiв роботи [13] PA = GΦP, де P — довiльна матриця iз рiвностi (3) i GΦ = { H ∈ GL2(R) ∣∣HΦ = ΦH1, H1 ∈ GL2(R) } . Множина GΦ є мультиплiкативною групою, яка складається з усiх оборотних матриць вигляду∥∥∥∥∥ k11 k12 ack21 k22 ∥∥∥∥∥ . За матрицю P виберемо матрицю, отриману в теоремi 2, тобто P = ∥∥∥∥∥ β m −αa αb+ cn ∥∥∥∥∥ , де a(mα) + b(αβ) + c(βn) = 1. Нехай P1 належить PA. Тодi в групi GΦ iснує така матриця H = ∥∥∥∥ h11 h12 ach21 h22 ∥∥∥∥, що P1 = HP. Отже, P1 = ∥∥∥∥∥ h11 h12 ach21 h22 ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥ β m −αa αb+ cn ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥ β1 m1 −α1a α1b+ cn1 ∥∥∥∥∥ , де α1 = cβh21 + αh22, β1 = βh11 − αβah22, m1 = mh11 + h22(αb+ cn), n1 = nh22 + h21(βb+ am). Оскiльки detH = e ∈ U(R), то i detP1 = e. Тому a(m1α1) + b(α1β1) + c(β1n1) = e. 3. Доповнення примiтивного рядка до оборотної матрицi. Будемо говорити, що матриця є примiтивною, якщо найбiльший спiльний дiльник її мiнорiв максимального порядку дорiв- нює 1. В роботi [1] показано, що над R кожний примiтивний рядок ∥∥a b c ∥∥ доповнюється до оборотної матрицi вигляду ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 130 В. П. ЩЕДРИК∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Виявляється, що це твердження можна посилити. Теорема 4. Для того щоб комутативна область Безу R була комутативною областю елементарних дiльникiв, необхiдно та достатньо, щоб кожний примiтивний рядок ∥∥a b c ∥∥ доповнювався до оборотної матрицi вигляду∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c 0 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Доведення. Оскiльки (a, b, c) = 1, то iснують такi m, n, α, β, що a(mα) + b(αβ) + c(βn) = 1. Тодi шуканою матрицею буде матриця∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c 0 −n α β −m 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Зворотнi мiркування є очевидними. Зауважимо, що згiдно з результатами роботи [14] над комутативними областями голов- них iдеалiв та над адекватними областями [15] кожний примiтивний рядок ∥∥a b c ∥∥, c 6= 0, доповнюється до оборотної матрицi вигляду∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c 0 1 ∗ ∗ ∗ 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . 4. Деякi властивостi елементiв комутативної областi елементарних дiльникiв. У ро- ботi [11] показано, що для того щоб комутативна область Безу R була комутативною областю елементарних дiльникiв, необхiдно та достатньо, щоб для кожної трiйки взаємно простих еле- ментiв a, b, c iснувало таке λ, що b+ λc = uv, де (u, v) = (u, α) = (v, c) = 1. Наступна теорема встановлює подiбну оцiнку елементiв кiльця R. Для доведення цього резуль- тату нам потрiбне наступне твердження. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 131 Лема 1. Нехай A = ‖aij‖31 , detA = 1 i B = ∥∥∥∥∥∥∥∥ b11 b12 b13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Для того щоб detB = 1, необхiдно та достатньо, щоб iснували такi елементи s2, s3, що∥∥b11 b12 b13 ∥∥ = ∥∥1 s2 s3 ∥∥A. Доведення. Необхiднiсть. Оскiльки detB = b11 det ∥∥∥∥∥a22 a23 a32 a33 ∥∥∥∥∥− b12 det ∥∥∥∥∥a21 a23 a31 a33 ∥∥∥∥∥+ b13 det ∥∥∥∥∥a21 a22 a31 a32 ∥∥∥∥∥ = 1, то BA−1 = ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 s2 s3 0 1 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Отже, B = ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 s2 s3 0 1 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥A, тобто ∥∥b11 b12 b13 ∥∥ = ∥∥1 s2 s3 ∥∥A. Достатнiсть. Оскiльки∥∥b11 b12 b13 ∥∥A−1 = ∥∥1 s2 s3 ∥∥AA−1 = ∥∥1 s2 s3 ∥∥E = ∥∥1 s2 s3 ∥∥ , то BA−1 = ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 s2 s3 0 1 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . З цiєї рiвностi випливає, що detB = 1. Теорема 5. Для того щоб комутативна область Безу R була комутативною областю елементарних дiльникiв, необхiдно та достатньо, щоб для кожної четвiрки елементiв a1, a2, b1, b2 таких, що (a1, a2) = (b1, b2) = 1, iснував такий елемент r, що ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 132 В. П. ЩЕДРИК b1 + rb2 = αβ, де (α, β) = (a1, α) = (a2, β) = 1. Доведення. Необхiднiсть. В кiльцi R iснують такi v1, v2, u1, u2, що a1v1 − a2v2 = 1, b1u1 − b2u2 = 1. Отже, матриця ∥∥∥∥∥∥∥∥ u2v2 b1 u2v1 u1v2 b2 u1v1 a1 0 a2 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = A є унiмодулярною, тобто a2b2(u2v2)− ∣∣∣∣∣u1v2 u1v1 a1 a2 ∣∣∣∣∣ b1 − a1b2(u2v1) = 1. Позначимо a = u2v2, b = ∣∣∣∣∣u1v2 u1v1 a1 a2 ∣∣∣∣∣ , c = v1u2. Очевидно, що (a, b, c) = 1. Тодi iснують такi елементи α, β, m, n, що a(mα)− b(αβ)− c(βn) = 1. Звiдси випливає, що (α, β) = 1. Таким чином, матриця ∥∥∥∥∥∥∥∥ αm αβ βn u1v2 b2 u1v1 a1 0 a2 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = B знову є унiмодулярною. На пiдставi леми 1 iснують такi елементи s2, s3, що∥∥αm αβ βn ∥∥ = ∥∥1 s2 s3 ∥∥A, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 133 тобто b1 + s2b2 = αβ. Оскiльки 1 = detB = a1(−βnb2) + a1(αβu1v1) + α (∣∣∣∣∣ m β u1v2 b2 ∣∣∣∣∣ a2 ) , то (α, a1) = 1. Аналогiчно показуємо, що (β, a2) = 1. Поклавши r = s2, завершуємо доведення необхiдностi. Достатнiсть. Нехай a, b, c — взаємно простi елементи кiльця R, до того ж (a, c) 6= 0. Розглянемо матрицю ∥∥∥∥∥∥ bu (a, c) bv − c (a, c) 0 a (a, c) ∥∥∥∥∥∥ , де a (a, c) u+ c (a, c) v = −1. Для елементiв a, b, c iснують такi m1, m2, m3, що am1 + bm2 + cm3 = 1. Отже, det ∥∥∥∥∥∥∥∥∥ m1 m2 m3 bu (a, c) bv − c (a, c) 0 a (a, c) ∥∥∥∥∥∥∥∥∥︸︷︷︸ A = detA = 1. Позначимо A = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Очевидно, що (a12, a22) = (a31, a33) = 1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 134 В. П. ЩЕДРИК Згiдно з припущенням iснує такий елемент r, що a12 + ra22 = αβ, де (α, β) = (a31, α) = (a33, β) = 1. (4) Тодi ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 r 0 0 1 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 + ra21 αβ a13 + ra23 a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a′11 αβ a′13 a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Розглянемо систему конгруенцiй a31x ≡ a′11(modα), a33x ≡ a′13(modβ). На пiдставi рiвностей (4) ця система має розв’язок x = s, тобто a31s− a′11 = −αm, a33s− a′13 = −βn, а отже, a′11 + a31(−s) = αm, a′13 + a33(−s) = βn. Таким чином, ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 −s 0 1 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a′11 αβ a′13 a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ mα αβ βn a21 a22 a23 a31 0 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = B. Зважаючи на те, що 1 = detB = a(mα) + b(αβ) + c(βn), та використовуючи теорему 5.2 iз [1], завершуємо розгляд цього випадку. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 135 Якщо a = c = 0, то b ∈ U(R). Тодi достатньо покласти α = b−1, β = m = n = 1. Теорему 5 доведено. Очевидно, що теорема 5 є малоiнформативною у випадку областей головних iдеалiв. Iнша справа, коли в кiльцi iснують елементи з нескiнченною кiлькiстю дiльникiв, а такими можуть бути i всi елементи кiльця (див. приклад у [16]). 5. Стабiльний ранг кiльця. Нагадаємо, що кiльце має стабiльний ранг 2, якщо для кожної трiйки взаємно простих елементiв a, b, c цього кiльця iснують такim, n,що (am+b, an+c) = 1. З наступного результату легко отримати аналог цього означення для випадку модулiв. Позначимо через R2 модуль рядкiв довжини 2 над R, а через R2 α,β пiдмодуль модуля R2 всiх рядкiв вигляду a = ∥∥αu βv ∥∥. Теорема 6. Для того щоб комутативна область Безу R була комутативною областю елементарних дiльникiв, необхiдно та достатньо, щоб для кожної трiйки a1, a2, a3 твiрних модуля R2 iснували такi s2, s3 ∈ R, що a1s2 + a2, a1s3 + a3 — твiрнi деякого модуля R2 α,β. Доведенню цiєї теореми передує наступне твердження. Лема 2. Для того щоб для неособливої матрицi B = ‖bij‖21 iснувала така оборотна матриця U, що U ∥∥∥∥∥b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥0 ∗ ∗ 0 ∥∥∥∥∥ , необхiдно та достатньо, щоб ∥∥∥∥∥∥∥∥ b11 (b11, b21) b12 (b12, b22) b21 (b11, b21) b22 (b12, b22) ∥∥∥∥∥∥∥∥ була оборотною матрицею. Доведення випливає з того факту, що∥∥∥∥∥b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥v11 v12 v21 v22 ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥0 α β 0 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥βv12 αv11 βv22 αv21 ∥∥∥∥∥ , де ∥∥∥∥v11 v12 v21 v22 ∥∥∥∥ = U−1. Доведення теореми 6. Необхiднiсть. Запишемо твiрнi ai = ∥∥ai1 ai2 ∥∥ , i = 1, 2, 3, у виглядi матрицi A = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 a21 a22 a31 a32 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 136 В. П. ЩЕДРИК Оскiльки ∥∥αu1 βv1 ∥∥, ∥∥αu2 βv2 ∥∥ є твiрними модуля R2 α,β тодi i тiльки тодi, коли ∥∥∥∥u1 v1 u2 v2 ∥∥∥∥ є оборотною матрицею, для доведення необхiдностi достатньо показати, що iснують такi s2, s3 ∈ ∈ R, що ∥∥∥∥∥s2 1 0 s3 0 1 ∥∥∥∥∥A = ∥∥∥∥∥αd11 βd12 αd21 βd22 ∥∥∥∥∥ , де ∥∥∥∥∥d11 d12 d21 d22 ∥∥∥∥∥ ∈ GL2(R). З примiтивностi матрицi A випливає, що iснують такi c1, c2, c3, що матриця∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 c1 a12 a21 c2 a23 a31 c3 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ є оборотною. Отже, рядок ∥∥a11 c1 a12 ∥∥ є примiтивним. На пiдставi теореми 4 його можна доповнити до оборотної матрицi вигляду∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 c1 a12 0 u22 u23 u31 u32 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Тодi iснує така оборотна матриця P вигляду∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 p21 p22 p23 p31 p32 p33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = P, що ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 p21 p22 p23 p31 p32 p33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 c1 a12 a21 c2 a23 a31 c3 a33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 c1 a12 0 u22 u23 u31 u32 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Звiдси випливає, що ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 p21 p22 p23 p31 p32 p33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 a21 a22 a31 a32 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 0 u23 u31 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . (5) Розiб’ємо матрицю P на блоки таким чином: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 137 P = ∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 p21 p22 p23 p31 p32 p33 ∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥ 1 0 M N ∥∥∥∥∥. Матриця P є оборотною, а тому оборотною буде i матриця N. Запишемо матрицю P у виглядi P = ∥∥∥∥∥ 1 0 M N ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥1 0 0 N ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥ 1 0 N−1M E ∥∥∥∥∥ . Позначимо N−1M = ∥∥∥∥∥r2 r3 ∥∥∥∥∥ . Тодi рiвнiсть (5) набере вигляду ∥∥∥∥∥1 0 0 N ∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 r2 1 0 r3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 a21 a22 a31 a32 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 0 u23 u31 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . (6) Розглянемо матрицю ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 r2 1 0 r3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥A = ∥∥∥∥∥∥ a11 a12 b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥B1 B2 ∥∥∥∥∥ . Iз (6) випливає, що NB2 = ∥∥∥∥∥ 0 u23 u31 0 ∥∥∥∥∥ . Якщо detB2 = det ∥∥∥∥∥b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ 6= 0, то, використовуючи лему 3, завершуємо розгляд цього випадку. Якщо detB2 = det ∥∥∥∥∥b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ = 0, то з примiтивностi матрицi ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 138 В. П. ЩЕДРИК випливає, що ( det ∥∥∥∥∥a11 a12 b11 b12 ∥∥∥∥∥, det ∥∥∥∥∥a11 a12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ ) = 1. Тому iснують такi t2, t3, що t3 det ∥∥∥∥∥a11 a12 b11 b12 ∥∥∥∥∥+ t2 det ∥∥∥∥∥a11 a12 b21 b22 ∥∥∥∥∥ = 1. (7) Розглянемо матрицю ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 t2 1 0 −t3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 b11 b12 b21 b22 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a11 a12 d11 d12 d21 d22 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Використовуючи формулу Бiне – Кошi та зважаючи на рiвнiсть (7), переконуємося, що матриця∥∥∥∥∥d11 d12 d21 d22 ∥∥∥∥∥ є оборотною. З огляду на те, що ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 t2 1 0 −t3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 r2 1 0 r3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 r2 + t2 1 0 r3 − t3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ , отримуємо, що шуканою парою s2, s3 є s2 = r2 + t2, s3 = r3 − t3. Достатнiсть. Нехай ∥∥a b c ∥∥ — примiтивний рядок. Доповнимо його до оборотної ма- трицi вигляду ∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c u21 u22 u23 u31 u32 u33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Розглянемо її примiтивну пiдматрицю ∥∥∥∥∥∥∥∥ a c u21 u23 u31 u33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Згiдно з умовою iснують такi елементи s2, s3, що∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 s2 1 0 s3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a c u21 u23 u31 u33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a c q21σ1 q23σ2 q31σ1 q33σ2 ∥∥∥∥∥∥∥∥ , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1 КОМУТАТИВНI ОБЛАСТI ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ ТА ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI . . . 139 де ∥∥∥∥q21 q23 q31 q33 ∥∥∥∥ є оборотною матрицею. Для цiєї матрицi iснує така оборотна матриця T = ‖tij‖21 , що T ∥∥∥∥∥q21 q23 q31 q33 ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥0 1 1 0 ∥∥∥∥∥ . Тодi ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 0 t11 t12 0 t21 t22 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 s2 1 0 s3 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ ∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c u21 u22 u23 u31 u32 u33 ∥∥∥∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥∥∥ a b c 0 u′22 σ2 σ1 u′32 0 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . На пiдставi теореми 4 R є комутативною областю елементарних дiльникiв. Теорему 6 доведено. 1. Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491. 2. Amitsur S. A. Remarks of principal ideal rings // Osaka Math. J. – 1963. – 15. – P. 59 – 69. 3. Gillman L., Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1956. – 82. – P. 362 – 365. 4. Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Mich. Math. J. – 1955/56. – 3. – P. 159 – 163. 5. Кон П. Свободные кольца и их связи. – М.: Мир, 1976. 6. Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1974. – 187. – P. 231 – 248. 7. McGowern W. Bezout rings with almost stable range 1 // J. Pure and Appl. Algebra. – 2008. – 212. – P. 340 – 348. 8. Забавський Б. В. Редукцiя матриць над кiльцями Безу стабiльного рангу не бiльше 2 // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 4. – C. 550 – 554. 9. Zabavsky B. V. Diagonazibility theorem for matrices over rings with finite stable range // Algebra and Discrete Math. – 2005. – № 1. – P. 151 – 165. 10. Zabavsky B. V. Fractionaly zegular Bezout rings // Mat. Stud. – 2009. – 32. – P. 70 – 80. 11. Roitman M. The Kaplansky condition and ring of almost stable range 1 // arXiv: 110/. 3000v1 [math. AC] 15Jul 2011. 12. Щедрик В. П. Про мультиплiкативнiсть канонiчної дiагональної форми матриць // Прикл. пробл. механiки i математики. – 2007. – Вип. 5. – C. 77 – 85. 13. Shchedryk V. P. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra and Discrete Math. – 2009. – № 2. – P. 79 – 99. 14. Shchedryk V. P. Some determinant properties of primitive matrices over Bezout B-domain // Algebra and Discrete Math. – 2005. – № 2. – P. 46 – 57. 15. Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1943. – 49, № 2. – P. 225 – 236. 16. Anderson D., Coykendall J., Hill L., Zafrullah M. Monoid domain constructions of antimatter domains // Communs Algebra. – 2007. – 35, № 10. – P. 32 – 36. Одержано 16.11.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1

Комутативні області елементарних дільників та деякі властивості їх елементів

Репозитарії

Схожі ресурси