Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения
Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвнянн...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164168 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 451-462. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164168 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641682020-02-23T19:21:37Z Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения Бурский, В.П. Лесина, Е.В. Статті Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвняння не має молодших членiв. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачi мають єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. We study the problem of solvability of an inhomogeneous Neumann problem and an oblique-derivative problem for an improperly elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. A model case in which the domain is a unit disk and the equation does not contain lower-order terms is investigated. It is shown that the classes of boundary data for which these problems are uniquely solvable in a Sobolev space are formed by the spaces of functions with exponentially decreasing Fourier coefficients. 2012 Article Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 451-462. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164168 517.95 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бурский, В.П. Лесина, Е.В. Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения Український математичний журнал |
| description |
Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвняння не має молодших членiв. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачi мають єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. Лесина, Е.В. |
| author_facet |
Бурский, В.П. Лесина, Е.В. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_short |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_full |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_fullStr |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_full_unstemmed |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_sort |
задача неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164168 |
| citation_txt |
Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 451-462. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT lesinaev zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T16:41:40Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:41:40Z |
| _version_ |
1837641290649436160 |
| fulltext |
УДК 517.95
В. П. Бурский, Е. В. Лесина (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
We investigate the solvability of an inhomogeneous Neumann problem and oblique-derivative problem for an improperly
elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. The model case where the domain is
the unit disk and the equation does not have lower-order terms is studied. It is proved that the classes of boundary data
for which the problems have unique solutions in a Sobolev space are the spaces of functions with exponentially decreasing
Fourier coefficients.
Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в
обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцi-
єнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвняння не має молодших
членiв. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачi мають єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є
простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є.
1. Введение. В настоящее время граничные задачи для линейных эллиптических уравнений
и систем изучаются только для правильно эллиптического случая, так как после примеров
А. В. Бицадзе изучение граничных задач для неправильно эллиптического случая представля-
ется весьма туманным. Напомним, что в 1948 г. А. В. Бицадзе [1] привел пример уравнения
d2u/dz2 = 0, z = x1 + ix2, однородная задача Дирихле в единичном круге для которого имеет
счетное число линейно независимых полиномиальных решений uN (z) = (1 − zz) zN . Позже
им был найден еще один пример уравнения с тем же свойством, но уже с простыми нулями
символа (см. [2]).
В настоящей работе мы рассмотрим неправильно эллиптическое уравнение второго порядка
в модельной области — круге — и получим разрешимость задачи Неймана и один частный
случай задачи с косой производной в обычной соболевской шкале пространств, при этом правые
части в граничных условиях должны быть из некоторого класса аналитических функций. Эта
работа продолжает исследование граничных задач для неправильно эллиптических уравнений,
начатое в [7], где была доказана разрешимость задачи Дирихле для этого же уравнения.
Заметим, что и для правильно эллиптического оператора граничная задача с косой про-
изводной может не быть эллиптической (т. е. не удовлетворять условию Лопатинского). Так,
Л. Хермандер рассматривал задачу с косой производной как неэллиптическую граничную за-
дачу, которая решалась сведением к псевдодифференциальному оператору на границе. В его
работе [14] установлена связь между задачей с косой производной и теорией псевдодифферен-
циальных операторов, в частности указаны условия, при которых псевдодифференциальный
оператор является субэллиптическим. В определенном смысле продолжением его исследова-
ний можно считать работу Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева [8], однако предложенные в ней
методы являются более простыми, так как основаны на простых геометрических рассуждениях
и использовании теории коэрцитивных эллиптических задач.
В работе В. Г. Мазьи [12] изучена задача с косой производной для эллиптического урав-
нения второго порядка. В предположении, что векторное поле касается выделенных гладких
компактных подмногообразий границы Γ рассматриваемой области, показано, что задача одно-
c© В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 451
452 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
значно разрешима, получены оценки решений в Lp(Γ), 1 < p ≤ ∞, и доказана компактность
обратного оператора.
Исследованием граничной задачи с косой производной для эллиптического дифференци-
ального оператора в ограниченной области с гладкой границей занимался также Б. П. Панеях
[15]. При условии, что множество точек границы, в которых векторное поле задачи пересека-
ется с касательным пространством, непусто, он доказал фредгольмовость в подходящих про-
странствах оператора, соответствующего задаче, и привел необходимое и достаточное условие
компактности обратного оператора.
Как мы отмечали ранее, в работе [7] была доказана разрешимость задачи Дирихле в обыч-
ной соболевской шкале пространств. В ней в зависимости от свойств числа ϕ0 = ϕ1 − ϕ2,
называемого углом между характеристиками уравнения (2), были рассмотрены три случая:
1) угол ϕ0 веществен и π-рационален, т. е. ϕ0/π ∈ Q;
2) угол ϕ0 веществен и π-иррационален;
3) угол ϕ0 невеществен.
Случай 1 — это случай нарушения единственности решения задачи Дирихле [3]. В этом
случае имеется счетное число линейно независимых решений однородной задачи Дирихле. В
случаях 2 и 3 пришлось вводить пространства аналитических правых частей для разрешимости
в обычной соболевской шкале пространств, причем на свойства задачи Дирихле в случае 2, в
отличие от случая 3, оказывали влияние теоретико-числовые свойства числа ϕ0, аналогично
тому, как это происходит со свойствами задачи Дирихле для гиперболического уравнения (2)
с вещественными коэффициентами (см., например, [6]). Ниже мы убедимся, что этот эффект
проявляется и при исследовании как задачи Неймана, так и задачи с косой производной.
Напомним определения правильно эллиптического оператора и задачи с косой производной.
Линейный дифференциальный оператор L =
∑
|α|≤m aα(x)Dα называется эллиптическим
в области Ω ⊆ Rn , если его старший символ l(x, ξ) =
∑
|α|=m aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω,
ξ ∈ Rn \ {0}, и правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой области
Ω ⊆ Rn, если m чeтно, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары линейно независимых
действительных векторов ξ и η среди корней полинома l(x, ξ+tη) от параметра t имеется ровно
k корней t1+, t
2
+, ... , t
k
+ с положительной мнимой частью (Im t j+ > 0) и k корней t 1
−, t
2
−, ... , t
k
− с
отрицательной мнимой частью (Im t j− < 0).
Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный дифференциальный оператор явля-
ется эллиптическим. Отметим, что при n ≥ 3 каждый эллиптический линейный дифферен-
циальный оператор является правильно эллиптическим, но при n = 2 это не так (например,
оператор Коши – Римана ∂/∂z̄ = (∂/∂x− i∂/∂y)/2 ), и то же справедливо для всех n в случае,
когда коэффициенты оператора вещественны [11] (см. также [10]).
Если теперь предположить, что L — эллиптический оператор второго порядка и на границе
∂Ω области (точнее, в некоторой окрестности границы) задана вектор-функция l = l(x) со
значениями в Rn, то задача
Lu = 0,
∂u
∂l
∣∣∣∣
∂Ω
= ϕ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 453
называется задачей с косой производной [9]. При n ≥ 3 эллиптичность такой задачи равносиль-
на тому, что поле l(x) не касается границы ни в одной точке x ∈ ∂Ω, а при n = 2 — эквивалентна
условию l(x) 6= 0 при всех x ∈ ∂Ω. Отметим, что если направление l совпадает с направлением
конормали, то задача с косой производной переходит в задачу Неймана. Ниже, рассматривая
уравнение с комплексными коэффициентами, мы сталкиваемся с комплексным направлением
конормали, и потому вектор-функция l(x) будет принимать комплексные значения.
Для случая n = 2 будем рассматривать общее уравнение второго порядка с постоянными
комплексными коэффициентами без младших членов
aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0. (1)
Раскладывая оператор в левой части на линейные множители, уравнение (1) можно записать в
виде
(a1 · ∇)(a2 · ∇)u = 0
с единичными комплексными векторами aj = (aj1, a
j
2), j = 1, 2, что позволяет перейти к виду
Lu ≡
(
sinϕ1
∂
∂x1
+ cosϕ1
∂
∂x2
)(
sinϕ2
∂
∂x1
+ cosϕ2
∂
∂x2
)
u = 0, (2)
где ϕ1 и ϕ2 — комплексные числа, ϕ1 6= ϕ2. Невещественность чисел ϕ1 и ϕ2 означает, что
исходное уравнение является эллиптическим, т. е. l(ξ) 6= 0 при ξ 6= 0, где l(ξ) = (sinϕ1 · ξ1 +
+ cosϕ1 · ξ2)(sinϕ2 · ξ1 + cosϕ2 · ξ2) — символ дифференциального оператора L. Правильная
эллиптичность здесь означает, что корни λ1, λ2 квадратного уравнения aλ2 + bλ+ c = 0 имеют
мнимые части противоположных знаков, а это эквивалентно тому, что комплексные углы ϕ1 и
ϕ2 имеют мнимые части противоположных знаков, и, стало быть, имеют мнимые части одного
знака в неправильно эллиптическом случае.
Для неправильно эллиптического уравнения (2) в единичном круге K будем изучать кор-
ректную разрешимость задачи Неймана и задачи с косой производной, а именно, следуя опре-
делению корректности по Адамару линейной граничной задачи
Lu = f, Bu|∂Ω = g,
укажем в обоих случаях пространство B, для которого справедлива оценка
‖u‖S ≤ ‖f‖R + ‖g‖B
(S,R,B — банаховы пространства решений и правых частей) с пространством Соболева в
качестве пространства S.
2. Метод исследования. В работе [4] получено условие связи следов решения задачи Коши
для уравнения (2) с данными из обычных соболевских пространств, которое мы приводим в
виде следующей теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
454 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Теорема 1. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K) была решением задачи
u|∂K = ψ ∈ Hs− 1
2 (∂K), u′ν |∂K = χ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции
P (x) = −l(ν(x))ψ(x) ∈ Hs− 1
2 (∂K),
C(x) = l(ν(x))χ(x) + [(ν2
1 − ν2
2) sin(ϕ1 + ϕ2) + 2ν1ν2 cos(ϕ1 + ϕ2)]ψ′τ+
+[(ν2
2 − ν2
1) cos(ϕ1 + ϕ2)− 2ν1ν2 sin(ϕ1 + ϕ2)]ψ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
удовлетворяли условию∫
∂K
[P (x)(−i〈ν, ξ〉) + C(x)] exp(−i〈x, ξ〉) dτ = 0 ∀ξ ∈ Λ = {ξ ∈ C2 : l(ξ) = 0}. (3)
Здесь и ниже τ — натуральный параметр на ∂K, 〈x, ξ〉 = x1ξ1 + x2ξ2, x · η = x1η1 + x2η2.
В работе [5] было показано, что равенство (3) эквивалентно паре условий∫
∂K
[
u′ν∗ +
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã1)dτ = 0,
∫
∂K
[
u′ν∗ −
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã2)dτ = 0.
Здесь ã1 = (−a1
2, a
1
1), ã2 = (−a2
2, a
2
1) — направляющие векторы множества комплексных ха-
рактеристических направлений Λj =
{
λãj |λ ∈ C
}
, j = 1, 2, 〈ãj , aj〉 = 0, Λ = Λ1 ∪ Λ2,
∂
∂τ
и
∂
∂ν∗
= l(ν)
∂
∂ν
− 1
2k
[l(ν(τ))]′τ ·
∂
∂τ
— производные по касательной и по конормали
соответственно, k — кривизна кривой ∂K.
Данная эквивалентность вместе с теоремой 1 гарантировала справедливость следующей
теоремы, доказанной в [5].
Теорема 2. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K), s > 2, была решением задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs− 3
2 (∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции γ и κ удовлетворяли интеграль-
ному равенству ∫
∂K
[
κ− (−1)j
∆
2
γ
]
Q(x · ãj)dτ = 0, j = 1, 2, (4)
с любым полиномом Q ∈ C[z]. При этом функция u восстанавливается с точностью до
аддитивной постоянной.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 455
Таким образом, было получено другое условие связи следов решения, имеющее вид пробле-
мы неопределенности некоторой проблемы моментов, свойства которой определяли свойства
граничной задачи.
Рассмотрим несколько подробнее возникшую проблему моментов на границе ∂K единич-
ного круга K:
Для двух заданных наборов чисел ω1
n и ω2
n, ω
1
0 = ω2
0, n = Z+, найти функцию α такую,
что ∫
∂K
α(τ)(x(τ) · ãj)ndτ = ωjn.
Эта проблема моментов обобщает классическую тригонометрическую проблему моментов.
Действительно, возьмем в качестве векторов ãj следующие векторы: ã1 = (1, i), ã2 = (1,−i).
Получим обычную тригонометрическую проблему моментов∫
∂K
α(τ)einτdτ = ω1
n,
∫
∂K
α(τ)e−inτdτ = ω2
n.
Далее, умножая эти равенства на коэффициенты полинома Чебышева Tn первого рода и скла-
дывая, получаем ∫
∂K
α(τ)Tn(−x(τ) · ãj)dτ = µjn
с некоторыми µjn. Поскольку Tn(cosσ) = cosnσ и, кроме того, произведение x(τ) · ãj =
= (cos τ, sin τ) · (− cosϕj , sinϕj) = − cos(τ + ϕj), исходная проблема моментов может быть
записана в следующей форме:
Для двух заданных наборов чисел µ1
n и µ2
n, n = Z+, найти функцию α такую, что∫
∂K
α(τ) cosn(τ + ϕj)dτ = µjn. (5)
Введем обозначения. Пусть M j
l — подпространство пространства H l(∂K), l ∈ R, элемен-
тами которого являются функции α(τ), удовлетворяющие при всех k ∈ Z+ интегральному
равенству ∫
∂K
α(τ)(x · ãj)kdτ = 0, j = 1, 2.
Определение 1. Определим пространство Соболева Hm
ρ (∂K) с весом ρ = ρ(n) для
коэффициентов Фурье как пространство функций
α(τ) =
∞∑
n=1
(
αCn cosnτ + αSn sinnτ
)
(6)
из L2(∂K) таких, что коэффициенты αCn , α
S
n разложения удовлетворяют условию
∞∑
n=1
(
|αCn |2 + |αSn |2
)
ρ2(n)
(
1 + n2
)m
<∞. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
456 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Замечание 1. В дальнейшем в качестве веса ρ(n) примем значение
ρ = ρ(n) = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|).
Отметим, что |Im(ϕ1 + ϕ2)| − |Im(ϕ2 − ϕ1)| > 0 для неправильно эллиптического уравнения
(8). Пространство Hm
ρ (∂K) с таким весом состоит из аналитических функций. Функции с
экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье систематически используются в теории
функций, начиная с работ С. Н. Берштейна (см. [13]).
Определение 2. Будем говорить, что векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют (Hm
ρ −H l)-свойство
на кривой ∂K, l 6 m, если для каждой функции α ∈ Hm
ρ (∂K) существуют единственные
функции α1 ∈M1
l , α
2 ∈M2
l такие, что имеет место представление α = α1 + α2 + const.(
Hm
ρ − H l
)
-задача на кривой ∂K (l 6 m) состоит в нахождении условий на векторы
ã1, ã2 ∈ C2, необходимых и достаточных для (Hm
ρ −H l)-свойства на кривой ∂K.
После подстановки разложения (6) в равенство (5) получим соотношения
π(αCn cosnϕj − αSn sinnϕj) = µjn, j = 1, 2,
исходя из которых определим подпространства M j
l , j = 1, 2, равенствами
M1
l : αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0,
M2
l : αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0.
Теперь исследуем
(
Hm
ρ −H l
)
-задачу на окружности ∂K в предположении, что α ∈ Hm
ρ (∂K)
— произвольная функция, имеющая представление (6). Спроектируем вектор (αCn , α
S
n) ∈ C2 на
прямую αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0 вдоль прямой αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0. Определяя
координаты (α1,C
n , α1,S
n ) проекции из системы
α1,C
n cosnϕ1 − α1,S
n sinnϕ1 = 0,
α1,C
n cosnϕ2 − α1,S
n sinnϕ2 = αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2,
имеем
(α1,C
n , α1,S
n ) =
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Прямым дополнением этого вектора в C2, лежащим на второй прямой, будет вектор
(α2,C
n , α2,S
n ) =
(
αCn −
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
, αSn −
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
=
=
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Далее, имея координаты проекции и прямого дополнения, найдем функции αj ∈M j
l , j = 1, 2:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 457
α1 =
∞∑
n=1
(α1,C
n cosnτ + α1,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
,
(8)
α2 =
∞∑
n=1
(α2,C
n cosnτ + α2,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
.
Рассмотрим векторы ã1, ã2 ∈ C2, заданные уравнением (2), и выясним, при каком показателе
l, l 6 m, эти векторы имеют (Hm
ρ −H l)-свойство на кривой ∂K. Исследуем отдельно два случая,
отмеченные во введении:
2) ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — вещественное π-иррациональное число,
3) ϕ0 — невещественное комплексное число.
Оценим коэффициенты при множителях αCn cosnτ, αSn cosnτ, αCn sinnτ, αSn sinnτ в выра-
жениях (8):
∣∣∣∣ 1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ1 cosnϕ2 − sinnϕ2 cosnϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6
6
en|Imϕ1|en|Imϕ2|
| sinnϕ0|
=
en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣sinnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
, (9)
∣∣∣∣ ctg nϕ1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ ctg nϕ1 tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
.
Случай 2. Напомним, что, по предположению из замечания 1, мы используем вес для
коэффициентов Фурье в виде ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|), так что ρ = en|Im(ϕ1+ϕ2)| при
вещественном ϕ0, так как в этом случае Imϕ1 = Imϕ2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
458 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Воспользуемся следующим утверждением из книги [6].
Утверждение 1. Пусть µ+ 1 > 0. Неравенство для числа ϕ0 ∈ R
∃C0 > 0 ∀n ∈ N : | sinnϕ0| > C0n
−µ (10)
равносильно неравенству
∃C1 > 0 ∀q
r
∈ Q :
∣∣∣∣ϕ0
π
− q
r
∣∣∣∣ > C1r
−µ−1.
Из неравенства (10) нетрудно видеть, что при вещественном ϕ0 все указанные выше отноше-
ния в левых частях неравенств (9) оцениваются величиной ρnµ. Следовательно, коэффициенты
функций α1, α2 удовлетворяют оценке
|αj,Cn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
которая означает, с учетом принадлежности α ∈ Hm
ρ (∂K), что αj ∈ Hm−µ(∂K). Действитель-
но,
∞ >
∞∑
n=1
(|αCn |2 + |αSn |2)ρ2n2m >
∞∑
n=1
|αj, Cn |2 + |αj,Sn |2
ρ2n2µ
· ρ2n2m =
=
∞∑
n=1
(
|αj, Cn |2 + |αj, Sn |2
)
n2(m−µ).
Итак, мы выяснили, используя неравенство (7), что в случае 2 функции αj принадлежат
Hm−µ(∂K) (т. е. искомое l = m− µ).
Случай 3. Если ϕ0− комплексное невещественное число, то, как нетрудно убедиться, все
четыре соотношения из (9) оцениваются сверху весом ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|). Но тогда
|αj,Cn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
поэтому, снова используя определение 1, замечаем, что функции αj принадлежат Hm(∂K)
(здесь индекс l совпадает с m).
Резюмируя полученные результаты, сформулируем только что доказанное нами утвержде-
ние в виде следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть ϕ0 — вещественное число, α ∈ Hm
ρ (∂K) и выполнено неравенство
(10). Тогда функции αj , j = 1, 2, принадлежат пространствуHm−µ(∂K). Если же ϕ0 — комп-
лексное невещественное число и, по-прежнему, α ∈ Hm
ρ (∂K), то функции αj принадлежат
Hm(∂K).
Замечание 2. Отметим, что в смысле определения 2 последнее утверждение означает, что
при вещественном ϕ0 векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют (Hm
ρ −Hm−µ)-свойство на окружности ∂K,
а в случае комплексного ϕ0 — (Hm
ρ −Hm)-свойство на ∂K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 459
3. Задача Неймана. Рассмотрим задачу Неймана
u′ν∗ |∂K = κ (11)
для уравнения (2) в пространстве СоболеваHs(K)(= W s
2 (K)), s > 2, гдеK = {x ∈ R2 : |x| <
< 1} — единичный круг с границей ∂K, функция κ ∈ Hs− 3
2 (∂K), и выясним, для каких классов
граничных данных такая задача имеет единственное решение.
Сформулируем и докажем результат, отражающий связь свойств проблемы моментов (5) с
разрешимостью задачи (2), (11).
Теорема 4. Пусть ϕ0 вещественно и π-иррационально. При наличии
(
H
s− 3
2
ρ −Hs−µ− 3
2
)
-
свойства на границе ∂K круга у векторов ã1, ã2 ∈ C2 решение u(x) задачи (11) с κ ∈
∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) для уравнения (2) существует, единственно (с точностью до аддитивной по-
стоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K).
Доказательство. В силу
(
H
s− 3
2
ρ −Hs−µ− 3
2
)
-свойства векторов ã1, ã2 любая функция κ ∈
∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) представима в виде суммы κ = v1+v2, где vj ∈M j
s−µ− 3
2
⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K), j = 1, 2.
Нам необходимо по известной функции κ построить функцию γ таким образом, чтобы было
выполнено интегральное равенство (4). Полагая γ =
2
∆
(2v1 − κ), где ∆ = sinϕ0, и подставляя
разложение κ = v1 + v2, получаем γ =
2
∆
(v1 − v2).
Убедимся, что при таком выборе γ и κ выполняется равенство (4). В самом деле, при j = 1
имеем ∫
∂K
[
κ+
∆
2
γ
]
Q(x · ã1)dτ =
∫
∂K
(
v1 + v2 +
∆
2
· 2
∆
(v1 − v2))Q(x · ã1
)
dτ =
= 2
∫
∂K
v1 ·Q(x · ã1)dτ = 0.
Ясно, что равенство нулю интеграла достигается вследствие принадлежности v1 ∈M1
s−µ− 3
2
.
Далее, при j = 2 получаем∫
∂K
[
κ− ∆
2
γ
]
Q(x · ã2)dτ =
∫
∂K
(
v1 + v2 −
∆
2
· 2
∆
(v1 − v2)
)
Q(x · ã2)dτ =
= 2
∫
∂K
v2 ·Q(x · ã2)dτ = 0,
так как v2 ∈M2
s−µ− 3
2
.
Отметим, что в силу вложения функция κ ∈ H
s− 3
2
ρ (∂K) ⊂ Hs− 3
2 (∂K) ⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K).
Кроме того, γ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K), так как имеет место представление γ =
2
∆
(v1 − v2), где
vj ∈M j
s−µ− 3
2
⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K), j = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
460 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Итак, обе функции γ и κ принадлежат пространству Hs−µ− 3
2 (∂K) и удовлетворяют ра-
венству (4). Следовательно, для этих функций справедлива теорема 2, а это, в свою очередь,
означает, что существует единственное решение u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K)
с двумя граничными условиями для уравнения (2). Таким образом, функция u(x) удовлетво-
ряет исходному уравнению и каждому из граничных условий, в частности условию Неймана
u′ν∗ |∂K = κ. Значит, существует единственное (с точностью до аддитивной постоянной) реше-
ние u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи (2), (11).
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть ϕ0 невещественно. Если векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют
(
H
s− 3
2
ρ −Hs− 3
2
)
-
свойство на границе ∂K круга, то решение u(x) задачи (11) с κ ∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) для уравнения
(2) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит про-
странству Hs(K).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы с тем отличием, что в
этом случае µ = 0.
Объединяя теоремы 3 – 5, получаем основной результат в виде теорем 6 и 7, соответствую-
щих случаям 2 и 3.
Теорема 6. Пусть ϕ0 вещественно и π-иррационально, κ ∈ H
s− 3
2
ρ (∂K) и выполнено
неравенство (10). Тогда решение задачи (2), (11) существует, единственно (с точностью до
аддитивной постоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K).
Теорема 7. Если ϕ0 — невещественное число и κ ∈ Hs− 3
2
ρ (∂K), то решение задачи (2),
(11) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит
пространству Hs(K).
4. Задача с косой производной. Для уравнения (2) рассмотрим краевую задачу
(u′ν∗ − gu
′
τ )|∂K = κ− gγ = α, (12)
где g 6= ±∆
2
, ∆ = sinϕ0, и будем предполагать, что α ∈ Hm
ρ (∂K).
По определению
(
Hm
ρ − H l
)
-свойства векторов ã1, ã2 имеет место представление α =
= w1 + w2, где wi ∈M i
l ⊂ H l(∂K), l 6 m, i = 1, 2. Обозначив
v1 =
(
u′ν∗ +
∆
2
u′τ
)∣∣∣∣
∂K
= κ+
∆
2
γ,
v2 =
(
u′ν∗ −
∆
2
u′τ
)∣∣∣∣
∂K
= κ− ∆
2
γ,
выразим через v1 и v2 функции κ и γ:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 461
κ =
1
2
(v1 + v2),
γ =
1
∆
(v1 − v2).
(13)
Тогда
α = κ− gγ =
1
2
(v1 + v2)− g
∆
(v1 − v2) =
(
1
2
− g
∆
)
v1 +
(
1
2
+
g
∆
)
v2,
откуда
v1 =
w1
1
2
− g
∆
=
2∆w1
∆− 2g
, v2 =
w2
1
2
+
g
∆
=
2∆w2
∆ + 2g
,
т. е. по заданным функциям wi, построенным по известной функции α, мы по последним
формулам получим функции vi, а по ним по формуле (13) строим функции κ и γ:
κ = ∆ ·
(
w1
∆− 2g
+
w2
∆ + 2g
)
∈ H l(∂K), γ = 2
(
w1
∆− 2g
− w2
∆ + 2g
)
∈ H l(∂K). (14)
В силу принадлежности w1, w2 пространству H l(∂K) функции γ и κ также принадлежат
H l(∂K), а по построению функций wi они удовлетворяют интегральному равенству (4). Но
тогда из теоремы 2 следует существование единственного решения u(x) ∈ H l+3/2(K) задачи
Lu = 0, u′ν∗ |∂K = κ, u′τ |∂K = γ.
Этот факт влечет, в свою очередь, существование единственного решения задачи (2), (12).
Действительно, выразив w1 и w2 из равенств (14) через κ и γ и подставив их значения в
представление α = w1 + w2, получим в точности граничное условие (12). Таким образом,
функция u удовлетворяет исходному уравнению и условию (12), т. е. является решением задачи
с косой производной.
Замечание 3. 1. Если ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — вещественное и π-иррациональное число и α ∈
∈ Hm
ρ (∂K), то функции γ, κ принадлежат Hm−µ(∂K) (в этом случае l = m− µ).
2. Если же ϕ0 — комплексное невещественное число и, по-прежнему, α ∈ Hm
ρ (∂K), то
γ, κ ∈ Hm(∂K) (т. е. l = m).
Действительно, из теоремы 3 в силу
(
Hm
ρ −H l
)
-свойства следует, что w1, w2 принадлежат
Hm−µ(∂K) в случае 1 и w1, w2 принадлежат Hm(∂K) в случае 2 соответственно, но, как
установлено выше (см. (14)), функции γ и κ принадлежат тому же пространству, что и w1, w2.
Сформулируем окончательный результат, касающийся разрешимости задачи с косой произ-
водной для исходного уравнения (2).
Теорема 8. Пусть α ∈ Hm
ρ (∂K) и выполнено
(
Hm
ρ −H l
)
-свойство на границе ∂K. Тогда
решение граничной задачи (2), (12) существует, единственно и принадлежит пространству
H l(K), причем
l =
{
m− µ, если ϕ0 вещественное, π-иррациональное,
m, если ϕ0 комплексное невещественное.
В случае вещественного ϕ0 требуется дополнительно выполнение неравенства (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
462 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
1. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными произ-
водными // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, № 6. – С. 211 – 212.
2. Бицадзе А. В. Некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными. – М.: Наука, 1981.
– 448 с.
3. Бурский В. П. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для эллиптических систем в круге //
Мат. заметки. – 1990. – 48, № 3. – C. 32 – 36.
4. Бурский В. П. О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге // Укр. мат. журн. – 1992. – 44,
№ 10. – С. 1307 – 1313.
5. Бурский В. П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с комплексными коэффициентами и одной
проблеме моментов // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 11. – С. 1476 – 1483.
6. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 2002. – 316 с.
7. Бурский В. П., Кириченко Е. В. О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 156 – 164.
8. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. О задаче с косой производной // Мат. сб. – 1969. – 78 (120). – С. 148 – 176.
9. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы
классической теории // Соврем. пробл. математики. Фундам. направления. – 1987. – 30. – С. 1 – 264.
10. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
11. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений
эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953. – 5, № 2. – C. 123 – 151.
12. Мазья В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной // Мат. сб. – 1972. – 87 (129). – С. 417 – 454.
13. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. – М.; Л.: ОНТИ, 1937.
14. Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи // Псевдодифферен-
циальные операторы. – М.: Мир, 1967. – С. 166 – 297.
15. Панеях Б. П. К теории разрешимости задачи с косой производной // Мат. сб. – 1981. – 114 (156). – С. 226 – 268.
Получено 19.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
|