Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів

Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів

Доказано, что из неразложимости системы подпространств конечномерного гильбертового пространства следует транзитивность этой системы при условии линейной связности соответствующей системы ортопроекторов....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2007
Main Author: Якименко, Д.Ю.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2007
Series:Український математичний журнал
Subjects:
Статті
Online Access:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164184
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 717–720. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-164184
record_format dspace
spelling irk-123456789-1641842020-02-09T01:26:51Z Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів Якименко, Д.Ю. Статті Доказано, что из неразложимости системы подпространств конечномерного гильбертового пространства следует транзитивность этой системы при условии линейной связности соответствующей системы ортопроекторов. We prove that the indecomposability of a system of subspaces of finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of corresponding system of orthogonal projectors. 2007 Article Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 717–720. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164184 513.88 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Якименко, Д.Ю.
Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
Український математичний журнал
description Доказано, что из неразложимости системы подпространств конечномерного гильбертового пространства следует транзитивность этой системы при условии линейной связности соответствующей системы ортопроекторов.
format Article
author Якименко, Д.Ю.
author_facet Якименко, Д.Ю.
author_sort Якименко, Д.Ю.
title Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_short Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_full Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_fullStr Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_full_unstemmed Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_sort про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2007
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164184
citation_txt Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 717–720. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT âkimenkodû pronerozkladnítatranzitivnísistemipídprostorív
first_indexed 2025-07-14T16:42:22Z
last_indexed 2025-07-14T16:42:22Z
_version_ 1837641334023782400
fulltext UDK 513.88 D. G. Qkymenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka) PRO NEROZKLADNI TA TRANZYTYVNI SYSTEMY PIDPROSTORIV We prove that the indecomposability of a system of subspaces of finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of corresponding system of orthogonal projectors. Dokazano, çto yz nerazloΩymosty system¥ podprostranstv koneçnomernoho hyl\bertovoho prostranstva sleduet tranzytyvnost\ πtoj system¥ pry uslovyy lynejnoj svqznosty sootvetstvugwej system¥ ortoproektorov. 1. Vstup. Systemy pidprostoriv linijnoho çy hil\bertovoho prostoru zavΩdy vyklykaly interes qk sami po sobi, tak i v zv’qzku z ]x zastosuvannqmy [1 – 5]. Opys tranzytyvnyx ta nerozkladnyx system vaΩlyvyj tomu, wo taki systemy [ najprostißymy, z qkyx moΩna namahatysq buduvaty bud\-qki systemy pidpros- toriv. U cij statti dovodyt\sq, wo tranzytyvnist\ ta nerozkladnist\ systemy pidprostoriv skinçennovymirnoho hil\bertovoho prostoru ekvivalentni za umovy linijno] zv’qznosti vidpovidno] systemy ortoproektoriv. 2. Oznaçennq ta osnovni vlastyvosti. Nexaj H — skinçennovymirnyj hil\bertiv prostir, H1, H2, … , Hn — pidprostory H, S = ( H1; H1, H2, … , Hn ) — systema pidprostoriv u H, S = ( ); , , ,H H H Hn1 2 … — systema pidprostoriv u H . Linijne vidobraΩennq R H H: → budemo nazyvaty homomorfizmom syste- my S v S , qkwo R H Hi i( ) ⊂ , i n= 1, . Poznaçymo çerez Hom( ),S S mnoΩynu homomorfizmiv z S v S , End ( S ) : = : = Hom ( S, S ), tobto End ( S ) = R B H R H H i ni i∈ ⊂ ={ }( ) ( ) , ,1 . Systema S nazyva[t\sq tranzytyvnog, qkwo Idem ( S ) = C IH . Dali, poznaçymo Idem ( S ) = R B H R H H i n R Ri i∈ ⊂ = ={ }( ) ( ) , , ,1 2 . Systema S nazyva[t\sq nerozkladnog, qkwo Idem ( S ) = { 0, IH } . Bezposered- n\o z oznaçen\ vyplyva[, wo tranzytyvna systema [ obov’qzkovo nerozkladnog. ZauvaΩymo, wo vlastyvosti tranzytyvnosti ta nerozkladnosti systemy S, oçevydno, ne zaleΩat\ vid struktury skalqrnoho dobutku v H, tobto ci ponqt- tq moΩna rozhlqdaty i qk vlastyvosti system pidprostoriv linijnoho prostoru. Ma[ misce nastupne tverdΩennq (dyv., napryklad, [5]): S nerozkladna ⇐⇒ ∃ ∈U W H, : U W∩ = 0 , U W H+ = ta H U H W Hi i i= +∩ ∩ . Qkwo my ma[mo pidprostory U U U Hn1 2, , ,… ∈ , to çerez U U Un1 2 ˙ ˙ ˙+ + … + budemo poznaçaty U U Un1 2+ + … + u vypadku, koly U U Ui i∩ ( 1 1+ … + − + + U Ui n+ + … +1 ) = 0, i = 1, n . Inßymy slovamy, U U Un1 2 ˙ ˙ ˙+ + … + — prqma suma u H, qkwo H rozumity qk linijnyj prostir. Z koΩnog systemog S moΩna zv’qzaty systemu ortoproektoriv p1 , p2 , … … , pn , de pi — operator ortohonal\noho proektuvannq na Hi , i = 1, n . © D. G. QKYMENKO, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 717 718 D. G. QKYMENKO Systemu ortoproektoriv p1 , p2 , … , pn budemo nazyvaty linijno zv’qznog, qkwo isnugt\ αi > 0 , i = 1, n , taki, wo αi ii n p I=∑ = 1 , de I — totoΩnyj operator. 3. Osnovna teorema. Teorema. Nexaj H — hil\bertiv prostir, dim H < ∞ , S H E E= ( ; , ,1 2 … … , En ) — systema pidprostoriv u H , p1 , p2 , … , pn — ortoproektory, wo vidpovidagt\ E 1 , E2 , … , En . Nexaj vykonu[t\sq αi ii n p I=∑ = 1 dlq deqkyx αi > 0 , i = 1, n . Todi qkwo S nerozkladna, to S [ tranzytyvnog. Dovedennq. Prypustymo protyleΩne, tobto S [ nerozkladnog ta ne tran- zytyvnog. Todi isnu[ x B H∈ ( ), x I≠ λ , take, wo x E Ei i( ) ⊂ , i = 1, n . Lema*1. Operator x ma[ lyße odne vlasne çyslo. Dovedennq. Nexaj λ 1 , λ2 , … , λk — rizni vlasni çysla operatora x . Todi H = H H H k( ) ˙ ( ) ˙ ˙ ( )λ λ λ1 2+ + … + , de H i( )λ = { }( )v v∈ ∃ ∈ − =H l N x i lλ 0 . Prypustymo, wo my ma[mo deqkyj pidprostir E H⊂ takyj, wo x E E( ) ⊂ . Rozhlqnemo x qk operator z E v E . Vlasni çysla x qk operatora z B E( ) na- leΩat\ mnoΩyni vsix vlasnyx çysel x . Analohiçno moΩemo rozklasty E = = E E E k( ) ˙ ( ) ˙ ˙ ( )λ λ λ1 2+ + … + , E i( )λ = 0 , qkwo λi ne [ vlasnym çyslom x B E∈ ( ) , E i( )λ = { }( )v v∈ ∃ ∈ − =E l N x i lλ 0 v inßomu vypadku. Zrozumilo, wo E Hi i( ) ( )λ λ⊂ . Takym çynom, bud\-qkyj Ei , i = 1, n , moΩna rozklasty v sumu Ei = Ei( )λ1 +̇ +̇ E Ei i k( ) ˙ ˙ ( )λ λ2 + … + , de E Hi j j( ) ( )λ λ⊂ . OtΩe, qkwo x ma[ bil\ße odnoho vlasnoho çysla, to ma[mo rozkladnist\ S, wo i dovodyt\ lemuG1. Nexaj λ — [dyne vlasne çyslo x . Todi x – λ [ nil\potentnym ta x – λ ∈ ∈ End( )S . Nexaj k ∈ N — najmenße take, wo ( )x k− =λ 0. Poznaçymo y = = ( )x k− −λ 1 ∈ B ( H ) . Oçevydno, wo y S∈End( ), y2 0= . Ale y ne dorivng[ 0, oskil\ky x , za prypuwennqm, ne kratnyj odynyçnomu ( , )x I x≠ ≠λ 0 . Takym çynom, my otrymaly takyj naslidok. Naslidok. Qkwo S [ nerozkladnog ta ne tranzytyvnog, to isnu[ y S∈End( ), y2 0= , take, wo y ≠ 0 . Vvedemo nastupni poznaçennq: H y0 = Ker , H H1 0= ⊥ , H y H01 1= ( ). Zrozu- milo, wo H y01 = Im . H H01 0⊂ , oskil\ky y2 0= ; H H H00 1 01= ⊥( )� . OtΩe, ma[mo rozklad H = H H1 0� = H H H1 01 00� �( ). Pry c\omu zrozumilo ta- koΩ, wo dim H1 = dim H01. Nexaj ma[mo deqkyj pidprostir ′ ⊂E H takyj, wo y E E( )′ ⊂ ′ . Analohiçno moΩemo rozklasty ′E = ′ ′E E1 0� = ′ ′ ′E E E1 01 00� �( ), de ′ = ′E E H0 0∩ , ′E1 = = ′ ′ ⊥E E∩ ( )0 , ′ = ′E y E01 1( ), ′ = ′ ′ ′ ⊥E E E E00 1 01∩ ( )� . NevaΩko perekonatysq, wo ′ ⊂E H0 0 , ′ ⊂E H01 01, ′ ⊂ ′ ′E E E0 01 00� , dim dim′ = ′E E1 01. ZauvaΩymo, wo, vzahali kaΩuçy, ′ /⊆E H1 1. Rozklademo koΩnyj Ei , i = 1, n , z systemy S opysanym vywe sposobom: Ei = E Ei i, ,1 0� = E E Ei i i, , ,( )1 01 00� � . Qkwo my dovedemo, wo E Hi,1 1⊂ , i = 1, n , to otryma[mo rozkladnist\ S (bo todi Ei = E Ei i, ,1 0� = E H E Hi i∩ ∩1 0� , i = 1, n ), a otΩe, pryjdemo do ßu- kano] supereçnosti. Lema*2. αi ii n Edim ,11=∑ ≥ dim H1, pryçomu rivnist\ moΩlyva lyße za umovy E Hi,1 1⊂ , i = 1, n . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 PRO NEROZKLADNI TA TRANZYTYVNI SYSTEMY PIDPROSTORIV 719 Dovedennq. Poznaçymo çerez pr[ ]′E , de ′E — pidprostir H, operator ortohonal\noho proektuvannq na ′E , S1 = αi ii n Epr[ ],11=∑ , S0 = = αi ii n Epr[ ],01=∑ . Za umovog teoremy S0 + S1 = I. Nexaj m = dim H, l = = dim H1 , { v1, … , vl } — ortonormovanyj bazys H1, { w1, … , wm – l } — ortonormovanyj bazys H0 . Rozhlqnemo matryci operatoriv S0 ta S1 u bazysi { v1, … , vl, w1, … , wm – l } . Po-perße, oskil\ky α > 0, to S0 ta S1 — nevid’[m- ni operatory, a otΩe, na diahonalqx matryc\ roztaßovani nevid’[mni çysla. Os- kil\ky E Hi,0 0⊂ , to S H0 1 0( ) = . OtΩe, S0 = d d dl 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                         … … � � � � … … … � � � � … , de ai ≥ 0 , i m l= −1, . Ale S0 + S1 = I, tomu S1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 … … � � � � … … … � � � � … ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                         − b b bm l , de bi ≥ 0, a bi i+ = 1, i m l= −1, . Todi tr ( )S l b b b lm l1 1 2= + + + … + ≥− , tobto αi ii n Etr pr( [ ]),11=∑ ≥ dim H1 çy αi ii n Edim ,11=∑ ≥ dim H1. Rivnist\ bude lyße za umovy b1 = b2 = … = bm l− = = 0. Zvidsy ( ( ), )S w wi i1 0= , i m l= −1, , a otΩe, ( =∑ α j j ij n E wpr[ ]( ),,11 wi ) = 0 , i m l= −1, . Tomu pr[ ]( ),E wj i1 0= , i m l= −1, , j n= 1, , zvidky H Ej0 1⊂ ⊥( ), , j n= 1, , tobto E Hj,1 1⊂ , j n= 1, . Lema*3. αi ii n Edim ,011=∑ ≤ dim H01. Dovedennq. Poznaçymo S Ei ii n 01 011 = =∑ α pr[ ], , S E Ei i ii n 2 1 001 = =∑ α pr[ ], ,� , S S I01 2+ = . Nexaj { , , }′ … ′v v1 l — ortonormovanyj bazys H01, { , , }, ′ … ′ −w wm l1 — ortonormovanyj bazys ( )H01 ⊥ . Rozhlqnemo matryci operatoriv S01 ta S2 u ba- zysi { , , , , }′ … ′ ′ … ′ −v v ,1 1l m lw w . Znovu S01 ta S2 [ nevid’[mnymy, otΩe, na dia- honalqx matryc\ roztaßovani nevid’[mni çysla. Oskil\ky E Hi,01 01⊂ , to S H01 01 0( )( )⊥ = . Zvidsy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 720 D. G. QKYMENKO S01 = c c cl 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                     … … � � � � … … … � � � � … , de ci ≥ 0 , i l= 1, . Ale S S I01 2+ = , otΩe, S2 = d d dl 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                     … … � � � � … … … � � � � … , de di ≥ 0, ci + di = 1, i = 1, l . Ma[mo tr ( )S01 = c c cl1 2+ + … + = l dii l− =∑ 1 ≤ l, zvidky αi ii n Etr pr( )[ ],011=∑ ≤ ≤ dim H01 , tobto αi ii n Edim ,011=∑ ≤ dim H01 . Oskil\ky dim H1 = dim H01 ta dim Ei, 1 = dim Ei, 01 , i = 1, n , to z lemG2 ta 3 otrymu[mo, wo ma[ buty rivnist\ αi ii n Edim ,11=∑ = dim H1 , a otΩe, z lemyG2 vyplyva[, wo Ei, 1 ⊂ H1 , i = 1, n . Teoremu dovedeno. Oskil\ky tranzytyvnist\ ta nerozkladnist\ systemy pidprostoriv ne zale- Ωat\ vid struktury skalqrnoho dobutku v H, to osnovnyj rezul\tat roboty moΩna pereformulgvaty takym çynom: nerozkladnist\ systemy pidprostoriv skinçennovymirnoho linijnoho prosto- ru V ekvivalentna tranzytyvnosti, qkwo u V moΩna vvesty takyj skalqr- nyj dobutok, wo vidpovidna systema ortoproektoriv vyqvyt\sq linijno zv’qz- nog. ZauvaΩennq. Pislq podannq statti do druku vyjßla robota S. A. Kruhlq- ka, L. O. Nazarovo] ta A V Rojtera. . „Ortoskalqrn¥e predstavlenyq kolçanov v katehoryy hyl\bertov¥x prostranstv” („Zapysky nauçn¥x semynarov POMY”, 2006, tom 338, s.G180 – 201), v qkij dlq nezvidnyx ortoskalqrnyx zobraΩen\ kol- çaniv dovedeno ]x ßurovist\ v katehori] linijnyx prostoriv. Avtor vyslovlg[ hlyboku podqku G. S. Samojlenku za postanovku zadaçi ta cinni zauvaΩennq i porady. 1. Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Problems of linear algebra and classification of quadruples of subspaces in finite-dimensional vector space // Coll. Math. Spc. Bolyai. – 1970. – 5. – P. 163 – 237. 2. Brenner S. Endomorphism algebras of vector spaces with distinguished sets of subspaces // J. Algebra. – 1967. – 6. – P. 100 – 114. 3. Nazarova L. A. Representations of a quadruple // Izv. AN SSSR. – 1967. – 31, # 6. – P. 1361 – 1377. 4. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. analyz y pryl. – 2002. – 36, v¥p. 3. – S.G30 – 35. 5. Enomoto M., Watatani Ya. Relative position of four subspaces in a Hilbert space // ArXive:(2004). OderΩano 20.02.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5

Similar Items