Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния

Розглянуто нову модель пасивної системи опору з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння i двостороннє стiйкою еволюцiйною пiвгрупою. У випадку дискретного часу пасивну лiнiйну стацiонарну двостороннє стiйку систему опору Σ розглядають як частину деякої мiнiмальної системи проходження без втрат, сист...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Аров, Д.З., Роженко, Н.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164186
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 618–649. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164186
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641862020-02-09T01:26:53Z Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния Аров, Д.З. Роженко, Н.А. Статті Розглянуто нову модель пасивної системи опору з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння i двостороннє стiйкою еволюцiйною пiвгрупою. У випадку дискретного часу пасивну лiнiйну стацiонарну двостороннє стiйку систему опору Σ розглядають як частину деякої мiнiмальної системи проходження без втрат, системний оператор якої є J₁, J₂ -унiтарним i яка має двостороннє J₁, J₂ - внутрiшню (у певному слабкому сенсi) передавальну функцiю в одиничному крузi з 22-блоком, котрий збiгається з матрицею опору системи Σ, належить класу Каратеодорi i має псевдопродовження. Якщо зовнiшнiй простiр системи Σ є нескiнченновимiрним, то замiсть останньої властивостi розглядають бiльш ускладненi необхiдну i достатню умови для матрицi опору системи Σ. Вивчаються пасивнi двостороннє стiйкi iмпеданснi реалiзацiї з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння: мiнiмальнi, оптимальнi, ∗-оптимальнi, мiнiмальнi й оптимальнi, мiнiмальнi й ∗-оптимал A new model of the passive impedance system with minimal losses of scattering channels and with bilaterally stable evolution semigroup is studied. In the case of discrete time, the passive linear stationary bilaterally stable impedance system Σ is considered as a part of some minimal scattering-impedance lossless transmission system, that has a J₁, J₂ -unitary system operator and a bilaterally J₁, J₂ -inner (in certain weak sense) transmission function in the unit disk 22-block of which coincides with the impedance matrix of system Σ, belongs to the Caratheodory class, and has a pseudocontinuation. If the external space of the system Σ is infinite-dimensional, then instead of the last mentioned property, we consider more complicated necessary and sufficient conditions on the impedance matrix of the system Σ. Different kinds of passive bilaterally stable impedance realizations with minimal losses of scattering channels (minimal, optimal, ∗-optimal, minimal and optimal, minimal and ∗-optimal) are studied 2007 Article Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 618–649. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164186 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Аров, Д.З. Роженко, Н.А. Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния Український математичний журнал
description	Розглянуто нову модель пасивної системи опору з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння i двостороннє стiйкою еволюцiйною пiвгрупою. У випадку дискретного часу пасивну лiнiйну стацiонарну двостороннє стiйку систему опору Σ розглядають як частину деякої мiнiмальної системи проходження без втрат, системний оператор якої є J₁, J₂ -унiтарним i яка має двостороннє J₁, J₂ - внутрiшню (у певному слабкому сенсi) передавальну функцiю в одиничному крузi з 22-блоком, котрий збiгається з матрицею опору системи Σ, належить класу Каратеодорi i має псевдопродовження. Якщо зовнiшнiй простiр системи Σ є нескiнченновимiрним, то замiсть останньої властивостi розглядають бiльш ускладненi необхiдну i достатню умови для матрицi опору системи Σ. Вивчаються пасивнi двостороннє стiйкi iмпеданснi реалiзацiї з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння: мiнiмальнi, оптимальнi, ∗-оптимальнi, мiнiмальнi й оптимальнi, мiнiмальнi й ∗-оптимал
format	Article
author	Аров, Д.З. Роженко, Н.А.
author_facet	Аров, Д.З. Роженко, Н.А.
author_sort	Аров, Д.З.
title	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
title_short	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
title_full	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
title_fullStr	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
title_full_unstemmed	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
title_sort	пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164186
citation_txt	Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 618–649. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT arovdz passivnyesistemysoprotivleniâspoterâmikanalovrasseâniâ AT roženkona passivnyesistemysoprotivleniâspoterâmikanalovrasseâniâ
first_indexed	2025-07-14T16:42:28Z
last_indexed	2025-07-14T16:42:28Z
_version_	1837641340349841408
fulltext	УДК 517.9 Д. З. Аров, Н. А. Роженко (Южноукр. пед. ун-т, Одесса) ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ A new model of the passive impedance system with minimal losses of scattering channels and with bilaterally stable evolution semigroup is studied. In the case of discrete time, the passive linear stationary bilaterally stable impedance system Σ is considered as a part of some minimal scattering-impedance lossless transmission system, that has a ( J̃1, J̃2 ) -unitary system operator and a bilaterally ( J1, J2 ) -inner (in certain weak sense) transmission function in the unit disk 22-block of which coincides with the impedance matrix of system Σ, belongs to the Caratheodory class, and has a pseudocontinuation. If the external space of the system Σ is infinite-dimensional, then instead of the last mentioned property, we consider more complicated necessary and sufficient conditions on the impedance matrix of the system Σ. Different kinds of passive bilaterally stable impedance realizations with minimal losses of scattering channels (minimal, optimal, ∗-optimal, minimal and optimal, minimal and ∗-optimal) are studied. Розглянуто нову модель пасивної системи опору з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння i дво- стороннє стiйкою еволюцiйною пiвгрупою. У випадку дискретного часу пасивну лiнiйну стацiонар- ну двостороннє стiйку систему опору Σ розглядають як частину деякої мiнiмальної системи про- ходження без втрат, системний оператор якої є ( J̃1, J̃2 ) -унiтарним i яка має двостороннє ( J1, J2 ) - внутрiшню (у певному слабкому сенсi) передавальну функцiю в одиничному крузi з 22-блоком, котрий збiгається з матрицею опору системи Σ, належить класу Каратеодорi i має псевдопродовжен- ня. Якщо зовнiшнiй простiр системи Σ є нескiнченновимiрним, то замiсть останньої властивостi розглядають бiльш ускладненi необхiдну i достатню умови для матрицi опору системи Σ. Вивча- ються пасивнi двостороннє стiйкi iмпеданснi реалiзацiї з мiнiмальними втратами каналiв розсiяння: мiнiмальнi, оптимальнi, ∗-оптимальнi, мiнiмальнi й оптимальнi, мiнiмальнi й ∗-оптимальнi. 1. Введение. Многие работы М. Г. Крейна связаны в той или иной степени с теори- ей консервативных линейных стационарных систем. Например, работы по теории самосопряженных расширений симметрических операторов, в частности формула по описанию обобщенных резольвент симметрического оператора, базирующаяся на введенном и изученном им понятии резольвентной матрицы [1], исследования по струне Крейна – Феллера и связанным с ними обратным задачам для уравне- ния Шредингера и системы Дирака [2, 3], работы по теории характеристических функций несамосопряженных операторов [4 – 8] имеют определенную интерпре- тацию в теории консервативных линейных стационарных систем сопротивления, рассеяния и прохождения. И это не удивительно, так как теория линейных стацио- нарных пассивных систем (см. [9, 10]) тесным образом связана с теорией линейных операторов в гильбертовых пространствах и аналитических оператор-функций спе- циальных классов (Шура, Каратеодори, Потапова, Харди, Неванлинны, Смирнова), уравнениями математической физики и теорией рассеяния, теорией стохастических процессов, т. е. с теми направлениями в развитии математики и ее приложений, которым посвящены работы М. Г. Крейна. Теория линейных стационарных консервативных систем сопротивления с дис- кретным временем развивалась в рамках традиционной спектральной теории уни- тарных операторов в пространствах Гильберта, в то время как теория консерватив- ных систем рассеяния и прохождения с дискретным временем — это, по существу, теория сжимающих и неунитарных операторов и соответствующих унитарных и (J1, J2)-унитарных узлов. Начало развития последней было заложено в рабо- тах М. С. Лившица, его учеников и коллег, где передаточные функции систем c© Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО, 2007 618 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 619 называются характеристическими функциями, так как они определяют простую консервативную систему с точностью до унитарного подобия (см. [11, 12]). Теории пассивных линейных стационарных систем с потерями каналов рассея- ния посвящена серия работ первого автора [13 – 20]. В ней важное место занимает развитие метода Дарлингтона реализации таких систем на случай нерациональных передаточных функций, матриц рассеяния и сопротивления. Это привело к выде- лению класса матриц рассеяния и сопротивления, имеющих мероморфное псевдо- продолжение в нефизическую область Ωe (внешность единичного круга Ω = D для систем с дискретным временем и внешность правой или верхней полуплоскости Ω = C+ для систем с непрерывным временем) с ограниченной характеристикой Неванлинны в Ωe. Основное внимание при этом было уделено системам рассея- ния, меньше — системам сопротивления, которым посвящена работа [13] (см. также [16]). Интерес к последним был вызван у авторов настоящей работы изучением ра- бот [21 – 23], в которых на языке стохастических реализаций рассматриваются, по существу, консервативные и пассивные линейные стационарные системы сопротив- ления с минимальными потерями каналов рассеяния и матрицами сопротивления, спектральная плотность которых является некасательным граничным значением функции с ограниченной характеристикой Неванлинны, т. е. с матрицами сопро- тивления упомянутого выше класса, хотя это условие и не оговорено в этих работах. Для таких матриц сопротивления в [17, 19] было рассмотрено представление по Дарлингтону в виде дробно-линейного преобразования над постоянной матрицей с Jp-внутренней матрицей-функцией коэффициентов, где Jp =  0 −Ip −Ip 0 . В работе [24] было предложено и исследовано иное представление матриц сопро- тивления (матриц-функций класса Каратеодори), имеющих псевдопродолжение, которое может рассматриваться как аналог Д-представления матрицы рассеяния в виде блока двусторонне внутренней функции, исследованного первым автором в [17, 18, 14] и независимо Девилдом (см. [25]), а также Хелтоном и Дугласом в [26]. В предложенном аналоге матрица сопротивления c(z) представляется в виде 22-блока Jp,m-внутренней матрицы-функции A(z) =  α(z) β(z) 0 γ(z) δ(z) Ip 0 Ip 0 , δ(z) = c(z), с Jp,m =  Im 0 0 0 0 −Ip 0 −Ip 0 , где m — минимальное число потерянных каналов рассеяния, определяемое по формуле m = mc, mc = rankRe c(ζ) почти всюду при ζ ∈ ∂Ω. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 620 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО В настоящей работе прослеживается двусторонняя связь между различными типами этих представлений (минимальными, оптимальными и др.) и соответст- вующими пассивными реализациями (минимальными, оптимальными и др.) ана- логично тому, как это было сделано в работе [14] для Д-представлений матриц рассеяния, изучаются произвольные пассивные системы сопротивления с потеря- ми каналов рассеяния, а затем с основными операторами сжатия классов C0·, C·0 и C00 в смысле, определенном в [27]. Обычно пассивная система сопротивления с матрицей сопротивления c(z) на- зывается системой без потерь, если mc = 0, т. е. если Re c(ζ) = 0 почти всюду на ∂Ω (в слабом смысле, если dimU = ∞). В настоящей работе под системой сопротивления без потерь каналов рассеяния будем понимать такую систему с матрицей сопротивления c(z), для которой факторизационные неравенства ϕ(z)∗ϕ(z) ≤ 2 Re c(z), ψ(z)ψ(z)∗ ≤ 2 Re c(z), z ∈ Ω, имеют лишь нулевые решения в классах аналитических в Ω функций ϕ(z) и ψ(z), значениями которых являются линейные ограниченные операторы, действующие между гильбертовыми пространствами. В противном случае система сопротив- ления называется системой с потерями каналов рассеяния (см. пп. 2.3). Предло- женное здесь определение равносильно стандартному в случае, когда c(z) имеет псевдопродолжение в Ωe, а в общем случае оно охватывает более широкий класс пассивных систем сопротивления без потерь каналов рассеяния. Итак, в работе исследуются пассивные системы сопротивления с потерями ка- налов рассеяния. Более того, основные результаты относятся к случаю, когда обе вышеупомянутые факторизационные задачи имеют ненулевые решения, а пассив- ным системам сопротивления с основным оператором класса C00 соответствуют пассивные системы с потерями, для которых имеют ненулевые решения даже фак- торизационные уравнения ϕ(ζ)∗ϕ(ζ) = 2 Re c(ζ), ψ(ζ)ψ(ζ)∗ = 2Re c(ζ) почти всюду на ∂Ω, понимаемые в общем случае для оператор-функций в слабом смысле (см. пп. 2.3). В работе рассматриваются линейные системы с дискретным временем, и для них областью Ω является открытый единичный круг D в комплексной плоскос- ти. Полученные результаты могут быть перенесены на системы с непрерывным временем стандартным методом, путем рассмотрения преобразования Келли над системами, операторами и комплексным аргументом (см., например, [15]). Используемые обозначения и терминология. Все рассматриваемые в работе пространства Гильберта предполагаются сепарабельными, что не будет оговари- ваться в дальнейшем, а под подпространством понимается замкнутый линеал в этом пространстве; C — множество комплексных чисел; D = { z ∈ C : \|z\| < 1 } — открытый единичный круг; De = { z ∈ C : 1 < \|z\| 6 ∞ } — внешность единичного круга в расширенной комплексной плоскости C = C ∪ {∞}; IX — единичный оператор в пространстве X; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 621 L — замыкание множества L в рассматриваемом гильбертовом пространстве;∨ n Dn — наименьшее подпространство, содержащее все Dn в рассматриваемом гильбертовом пространстве; PD — ортопроектор на подпространство D; T \|D — сужение оператора T на подпространство D; KerA — ядро оператора A; ΛA — множество точек z ∈ C, для которых существует ограниченный обратный оператор (I − zA)−1 на всем пространстве, а также z = ∞, если A ограниченно обратим, Λ+ A := ΛA ∩D; B(U, Y ) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из U в Y, B(U) := B(U,U); L2(U) — гильбертово пространство слабо измеримых при \|ζ\| = 1 функций h(ζ) со значениями из U таких, что ‖h‖2 = 1 2π ∫ ζ\|=1 ∥∥h(ζ)∥∥2 \|dζ\| ( = ∞∑ −∞ ‖hk‖2 ) <∞, где h(ζ) = ∑∞ −∞ hkζ k — разложение в ряд Фурье функции h ∈ L2(U); H2(U) = { h(ζ) ∈ L2(U) : h(ζ) = ∑∞ 0 hkζ k } — пространство, отождествля- емое с пространством Харди функций h(z) = ∑∞ 0 hkz k, действующих из D в гильбертово пространство U таких, что ‖h‖2 = ∑∞ 0 ‖hk‖2 < ∞, путем отожде- ствления функции h(z) с ее граничным значением h(ζ); K2(U) = { h(ζ) ∈ L2(U) : h(ζ) = ∑−1 −∞ hkζ k } (= L2(U) H2(U)); H2(U, Y ) — класс голоморфных в D функций h(z) со значениями из B(U, Y ) таких, что h(z)u ∈ H2(Y ) для любого u ∈ U ; `(U) — класс голоморфных в D функций (z) со значениями из B(U), имеющих Re c(z) ≥ 0 в D; S(U, Y ) — класс голоморфных в D функций b(z) со значениями из B(U, Y ), имеющих ‖b(z)‖ ≤ 1 в D; S — класс скалярных функций b(z), голоморфных и имеющих \|b(z)\| ≤ 1 в D; вместо s− lim в дальнейшем будем писать lim; f∼(z) = f(z)∗, f#(z) = f ( 1/z )∗ . 2. Предварительные сведения. В этом пункте в основном изложены ре- зультаты теории пассивных линейных стационарных динамических систем сопро- тивления, рассеяния и прохождения, рассмотренные в работах [13 – 16], а также в [28]. 2.1. Общие сведения о линейных стационарных динамических системах. Эволюция линейной стационарной динамической системы с дискретным временем Σ = (A,B,C,D;X,U, Y ) описывается уравнениями x(n+ 1) = Ax(n) +Bu(n), y(n) = Cx(n) +Du(n), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 622 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО где x(n) ∈ X, u(n) ∈ U, y(n) ∈ Y, n ≥ 0, X, U, Y — некоторые гильбертовы пространства, и MΣ =  A B C D  ∈ B(X ⊕ U,X ⊕ Y ). Пусть Xc Σ = ∨ k≥0 AkBU, Xo Σ = ∨ k≥0 (A∗)kC∗Y. Система Σ называется управляемой, если X = Xc Σ, наблюдаемой, если X = Xo Σ, и простой, если X = Xc Σ ∨Xo Σ. Система Σ̂ = ( Â, B̂, Ĉ, D̂; X̂, U, Y ) называется дилатацией системы Σ = (A,B, C,D;X,U, Y ), если для некоторых подпространств D∗ и D пространства X̂ имеем X̂ = D∗ ⊕X ⊕D, Â∗D∗ ⊂ D∗, ÂD ⊂ D, B̂∗D∗ = {0}, ĈD = {0} и A = PXÂ\|X , B = PXB̂, C = Ĉ\|X , D = D̂. (2.1) При этом система Σ называется сужением системы Σ̂. Система Σ называется мини- мальной, если она не имеет нетривиальных сужений, т. е. не является дилатацией никакой другой системы. Известно, что система Σ является минимальной тогда и только тогда, когда она управляема и наблюдаема, т. е. когда X = Xc Σ = Xo Σ. Передаточная функция системы Σ определяется по формуле θΣ(z) = D + zC(I − zA)−1B, z ∈ ΛA. Две системы Σi = (Ai, Bi, Ci, Di;Xi, U, Y ), i = 1, 2, называются подобными (уни- тарно подобными), если существует оператор R ∈ B(X1, X2) с R−1 ∈ B(X2, X1) (или, соответственно, унитарный оператор) такой, что A2 = RA1R −1, B2 = RB1, C2 = C1R −1. Для голоморфных в окрестности точки z = 0 функций f1(z) и f2(z) пишут f1 ' f2, если f1(z) ≡ f2(z) в окрестности точки z = 0. Если Σ̂ — дилатация системы Σ, то θΣ̂ ' θΣ. Если θ ' θΣ, то система Σ называется реализацией функции θ(z), если, кроме того, Σ – минимальная система, то она называется минимальной реализацией функции θ(z). Если для основного оператора A системы Σ выполняется условие a) lim n→∞ An = 0, или b) lim n→∞ (A∗)n = 0, или оба условия одновременно, то система Σ называется соответственно устойчи- вой, ∗-устойчивой или двусторонне устойчивой. Если при этом A — сжатие, то записывают: a) A ∈ C0·, b) A ∈ C·0 или A ∈ C00 соответственно. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 623 2.2. Пассивные системы сопротивления. Система Σ = (A,B,C,D;X,U, Y ) называется пассивной системой сопротивления, если Y = U и для любого x(0) ∈ ∈ X и любой последовательности входных данных {u(k)}∞0 при всех n ≥ 0 выпол- няется условие ∥∥x(n+ 1) ∥∥2 − ‖x(n)‖2 ≤ J  y(n) u(n) ,  y(n) u(n)  U⊕U , где J =  0 IU IU 0 . В дальнейшем систему Σ = (A,B,C,D;X,U,U) будем обозначать короче: Σ = = (A,B,C,D;X,U). Другими словами, условие пассивности системы Σ можно записать в виде∥∥x(n+ 1) ∥∥2 − ‖x(n)‖2 ≤ 2 Re ( y(n), u(n) ) U , что, в свою очередь, равносильно первому из двух следующих эквивалентных нера- венств для коэффициентов системы Σ и сопряженной системы Σ∗ := (A∗, C∗, B∗, D∗;X,U): I −A∗A C∗ −A∗B C −B∗A 2 ReD −B∗B  ≥ 0,  I −AA∗ B −AC∗ B∗ − CA∗ 2 ReD − CC∗  ≥ 0. (2.2) Если в каждом из этих неравенств вместо знака ≥ имеет место знак =, то Σ на- зывается консервативной системой сопротивления. Из этого определения видно, что система Σ = (A,B,C,D;X,U) является консервативной системой сопротив- ления тогда и только тогда, когда ее основной оператор A является унитарным в X, C = B∗A и 2 ReD = B∗B. Такая система является простой тогда и только тогда, когда ∞∨ −∞ AnBU = X. Передаточные функции θΣ(z) пассивных систем сопротивления называются матрицами сопротивления (импедансными матрицами). Они голоморфны в D, так как из (2.2) следует, что A — сжатие, и потому D ⊂ ΛA. Более того, их сужения на D составляют класс `(U) голоморфных в D функций c(z) со значениями из B(U), имеющих Re c(z) ≥ 0 в D. Если функция c ∈ `(U), то для нее существуют ортогональное разложение единицы Ẽµ в некотором гильбертовом пространстве X̃ и оператор B̃ ∈ B(U, X̃) такие, что X̃ = ∨ µ∈[−π,π] ẼµB̃U и c(z) = i Im c(0) + 1 2π π∫ −π eiµ + z eiµ − z dσ(µ), σ(µ) = πB̃∗ẼµB̃. Функция σ(µ) называется спектральной функцией функции c(z). Говорят, что функция c ∈ `(U) имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию, если ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 624 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО при любом u ∈ U функции (σ(µ)u, u)U являются абсолютно непрерывными на промежутке [−π, π] . Рассмотрим систему Σ̃ = (Ã, B̃, C̃, D̃, X̃, U) с коэффициен- тами Ã = π∫ −π e−iµdẼµ, C̃ = B̃∗Ã, D̃ = i Im c(0) + 1 2 B̃∗B̃. Она является простой консервативной системой сопротивления, и θΣ̃(z) = c(z) при z ∈ D. Простая консервативная система сопротивления определяется по матрице сопротивления с точностью до унитарного подобия. Пассивная система сопротивления Σo = (Ao, Bo, Co, Do;Xo, U) с матрицей сопротивления θΣo(z) называется оптимальной, если для любой другой пассивной системы сопротивления Σ = (A,B,C,D;X,U) с матрицей сопротивления θΣ(z) ≡ ≡ θΣo(z) в D при любых u(k) ∈ U и n ≥ 0 выполняется условие∥∥∥∥∥ n∑ k=0 AkoBou(k) ∥∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∥ n∑ k=0 AkBu(k) ∥∥∥∥∥ . (2.3) Для оптимальной системы сопротивления Σo всегдаXc Σo ⊂ Xo Σo . Поэтому управля- емая оптимальная система сопротивления всегда является наблюдаемой, а значит, и минимальной. Наблюдаемая пассивная система сопротивления Σ1 называется ∗-оптимальной, если для любой другой наблюдаемой пассивной системы сопротивления Σ с той же матрицей сопротивления в D имеем∥∥∥∥∥ n∑ k=0 AkBu(k) ∥∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∥ n∑ k=0 Ak1B1u(k) ∥∥∥∥∥ ∀u(k), n ≥ 0. Из произвольной консервативной системы сопротивления Σ̂ с матрицей сопро- тивления θΣ̂ = c(∈ `(U)) в D можно получить минимальные пассивные системы сопротивления Σ◦ и Σ• сужением Σ̂ по формулам (2.1) на подпространстваX = X◦ и X = X• соответственно, где X◦ = PXo Σ̂ Xc Σ̂ , X• = PXc Σ̂ Xo Σ̂ . (2.4) Более того, полученные минимальные пассивные системы сопротивления Σ◦ и Σ• являются оптимальной и ∗-оптимальной соответственно. Для функции c ∈ `(U) минимальная оптимальная и минимальная ∗-оптимальная реализации определяют- ся с точностью до унитарного подобия. 2.3. Пассивные системы сопротивления с потерями и без потерь каналов рассеяния. Пусть c ∈ `(U). Рассмотрим голоморфные функции ϕ(z) и ψ(z) из D в B(U, Yϕ) и B(Uψ, U) соответственно (Yϕ и Uψ — некоторые пространства Гильберта), удовлетворяющие факторизационным неравенствам a) ϕ(z)∗ϕ(z) ≤ 2 Re c(z), b) ψ(z)ψ(z)∗ ≤ 2 Re c(z), z ∈ D. (2.5) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 625 Множество решений этих неравенств содержит максимальные решения ϕc и ψc со значениями из B(U, Yϕc) и B(Uψc , U) соответственно, такие, что для всех осталь- ных решений ϕ и ψ имеем a) ϕ(z)∗ϕ(z) ≤ ϕc(z)∗ϕc(z), b) ψ(z)ψ(z)∗ ≤ ψc(z)ψc(z)∗, z ∈ D. (2.6) Они определяются по c(z) с точностью до постоянных унитарных множителей сле- ва для ϕc и справа для ψc. Существование и в существенном единственность таких решений можно получить применением соответствующего результата о решении факторизационного неравенства для неотрицательнозначных оператор-функций на единичной окружности \|ζ\| = 1, изложенного в [27] (предложения 4.1, 4.2). Из (2.5) и того факта, что c ∈ `(U), следует, что для решений ϕ(z) и ψ(z) задач (2.5) имеем ϕ(z)u ∈ H2(Yϕ) и ψ∼(z)u ∈ H2(Uψ) для любых u ∈ U, т. е. ϕ ∈ H2(U, Yϕ) и ψ∼ ∈ H2(U,Uψ). Также для ϕ(rζ)u существует некасательное граничное значе- ние в сильном смысле почти всюду при \|ζ\| = 1 (будем обозначать его ϕ(ζ)u); оно принадлежит L2(Yϕ). Соответствующие рассуждения имеют место и для ψ∼. Будем называть решения ϕ и ψ задач (2.5) решениями с минимальными поте- рями, если ∞∨ k=−∞ ζkϕ(ζ)U = L2(Yϕ), ∞∨ k=−∞ ζkψ(ζ)∗U = L2(Uψ). Заметим, что функции ϕc и ψc являются решениями задач (2.5) с минимальными потерями, более того, максимальное решение ϕc задачи a) в (2.5) является внеш- ней функцией, т. е. ∨ n≥0 znϕc(z)U = H2(Yϕc), а решение ψc задачи b) в (2.5) — ∗-внешняя функция; это означает, что ψ∼c является внешней функцией. Про- извольные решения ϕ и ψ факторизационных задач (2.5) описываются формулами ϕ = b1ϕc, ψ = ψcb2, где b1 ∈ S(Yϕc , Yϕ) и b2 ∈ S(Uψ, Uψc). Функция b ∈ S(U, Y ), некасательные грани- чные значения b(ζ) которой являются изометрическими (∗-изометрическими или унитарными) почти всюду при \|ζ\| = 1, называется внутренней (∗-внутренней или, соответственно, двусторонне внутренней). Произвольная функция ϕ из H2(U, Yϕ) имеет в существенном единственную факторизацию ϕ = biϕe, где bi — внутрен- няя, ϕe — внешняя функции. Аналогично, для ψ∼ ∈ H2(U,Uψ) справедливо в существенном единственное представление ψ = ψ∗eb∗i, где ψ∼∗e — внешняя и b∼∗i — внутренняя функции. Решения ϕ и ψ задач (2.5) являются решениями с минималь- ными потерями тогда и только тогда, когда bi и b∗i в этих факторизациях являются двусторонне внутренними функциями. Если Σ — простая консервативная система сопротивления с матрицей сопро- тивления θΣ(z) ≡ c(z) в D, то она наблюдаема тогда и только тогда, когда ϕc = 0; управляема тогда и только тогда, когда ψc = 0; минимальна в том и только в том случае, когда ϕc = ψc = 0. Если c ∈ `(U) и ϕc = 0 или ψc = 0, то все минимальные пассивные системы сопротивления с матрицей сопротивления θΣ(z) ≡ c(z) в D унитарно подобны. Если ϕc = 0 и ψc = 0, то они являются консервативными. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 626 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Назовем пассивную систему сопротивления Σ с матрицей сопротивления θΣ(z) ≡ c(z) в D системой без потерь каналов рассеяния, если факторизацион- ные неравенства (2.5) имеют лишь нулевое решение. В противном случае бу- дем называть систему Σ системой с потерями каналов рассеяния. Произвольная простая пассивная система сопротивления без потерь каналов рассеяния является консервативной и минимальной. Настоящая работа посвящена исследованию пассивных систем сопротивления с потерями каналов рассеяния, т. е. мы будем рассматривать случай, когда ϕc 6= 0 или ψc 6= 0, а, в основном, случай, когда ϕc 6= 0 и ψc 6= 0. Пусть Σ = (A,B,C,D;X,U) — простая консервативная система сопротивления с матрицей сопротивления θΣ(z) ≡ c(z) в D и ϕc 6= 0. Тогда Σ не является наблюдаемой. Обозначим D+ = X Xo Σ. Будем иметь AD+ ⊂ D+, CD+ = {0}. Более того, оператор V+ := A\|D+(∈ B(D+)) является простым полуунитарным, т. е. отображающим D+ изометрически в себя и не имеющим унитарной части. Если для системы Σ выполняется условие ψc 6= 0, то для подпространства D− := X Xc Σ получим A∗D− ⊂ D−, B ∗D− = {0}, и оператор V− := A∗\|D−( ∈ B(D−) ) будет простым полуунитарным. Консервативная система сопротивления Σ̂ = (Â, B̂, Ĉ, D̂; X̂, U), являющаяся дилатацией пассивной системы сопротивления Σ = (A,B,C,D;X,U), называется минимальной консервативной дилатацией Σ, если она не является дилатацией ни- какой другой консервативной системы сопротивления, которая также является ди- латацией системы Σ. Такая минимальная консервативная дилатация определяется по Σ с точностью до унитарного подобия с оператором подобия R таким, что RX = X. Если при этом система Σ̂ является простой, то исходная система Σ называется системой с минимальными потерями каналов рассеяния. Таким обра- зом, произвольная пассивная система сопротивления Σ с минимальными потерями является сужением некоторой простой консервативной системы сопротивления Σ̂. Пусть теперь Σ — пассивная система сопротивления, не являющаяся консер- вативной. Рассмотрим консервативную систему сопротивления Σ̂ = (Â, B̂, Ĉ, D̂; X̂, U), которая является минимальной дилатацией Σ. Тогда существуют подпро- странства D± ⊂ X̂ такие, что X̂ = D− ⊕X ⊕D+, Â±1D± ⊂ D±, B̂∗D− = {0}, ĈD+ = {0}. Операторы V± = Â±1\|D± являются простыми полуунитарными. Они интерпре- тируются как внутренние каналы рассеяния консервативной системы Σ̂, которые теряются при переходе от Σ̂ к системе Σ, а для Σ являются внешними потерянными каналами рассеяния. Минимальную консервативную дилатацию Σ̂ системы Σ можно сузить до ми- нимальной оптимальной Σ◦ и минимальной ∗-оптимальной Σ• пассивных систем сопротивления, как было показано выше. Тогда для Σ◦, Σ• и исходной системы Σ будем иметь D+ ⊂ ◦ D+(= X̂ Xo Σ̂ ), D− ⊂ • D−(= X̂ Xc Σ̂ ). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 627 Важным для нас будет случай, когда существуют решения ϕ ∈ H2(U, Yϕ) и ψ∼ ∈ H2(U,Uψ) факторизационных уравнений a) ϕ(ζ)∗ϕ(ζ) = 2 Re c(ζ), b) ψ(ζ)ψ(ζ)∗ = 2Re c(ζ) почти всюду при \|ζ\| = 1. (2.7) Равенства (2.7) понимаются в том смысле, что для любого u ∈ U почти всюду при \|ζ\| = 1 a) lim r↑1 ‖ϕ(rζ)u‖2 = lim r↑1 2 Re(c(rζ)u, u), b) lim r↑1 ‖ψ(rζ)∗u‖2 = lim r↑1 2 Re(c(rζ)u, u) соответственно. Определение решений с минимальными потерями факторизаци- онных задач (2.5), введенное выше, а также соответствующее заключение для максимальных решений этих задач имеют место и для решений задач (2.7). В слу- чае разрешимости задач (2.7) множества их решений соответственно описываются формулами a) ϕ(z) = b1(z)ϕc(z), b) ψ(z) = ψc(z)b2(z), где ϕc — внешнее решение задачи a) в (2.7) со значениями из B(U, Yϕc), ψc — ∗-внешнее решение задачи b) в (2.7) со значениями из B(Uψc , U), а b1 и b2 — произвольные внутренняя и ∗-внутренняя функции со значениями из B(Yϕc , Yϕ) и B(Uψ, Uψc) соответственно; dimYϕc ≤ dimYϕ, dimUψc ≤ dimUψ. Решения ϕ и ψ факторизационных задач (2.7) являются решениями с минимальными потерями тогда и только тогда, когда функции b1 и b2 являются двусторонне внутренними функциями. При нормировке ϕc(0)\|Yϕc > 0, ψc(0)∗\|Uψc > 0, Yϕc ⊂ U, Uψc ⊂ U функции ϕc и ψc однозначно определяются по c. В случае, когда dimU <∞, размерность про- странств Yϕc и Uψc определяется равенством dimYϕc = rank Re c(ζ) = dimUψc почти всюду при \|ζ\| = 1, так что в случае разрешимости факторизационных за- дач (2.7) mc = rankRe c(ζ) (= dim Re c(ζ)U) постоянен почти всюду при \|ζ\| = 1. В работе [16] была введена функция sc(ζ), определяемая одним из соотношений a) sc(ζ)ψc(ζ)∗ = ϕc(ζ), b) sc(ζ)∗ϕc(ζ) = ψc(ζ)∗ почти всюду при \|ζ\| = 1, (2.8) где ϕc ∈ H2(U, Yϕc) и ψ∼c ∈ H2(U,Uψc) — внешнее и ∗-внешнее решения фак- торизационных задач соответственно a) и b) в (2.7), а sc(ζ) — измеримая в сла- бом смысле B(Uψc , Yϕc)-значная в существенном ограниченная функция ( sc ∈ ∈ L∞(Uψc , Yϕc) ) . Равенства в (2.8) понимаются в следующем смысле: для любых u ∈ U почти всюду при \|ζ\| = 1 a) sc(ζ) lim r↑1 ψc(rζ)∗u = lim r↑1 ϕ(rζ)u, b) sc(ζ)∗ lim r↑1 ϕc(rζ)u = lim r↑1 ψc(rζ)∗u. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 628 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Функция sc(ζ) является субоператором рассеяния в смысле [29] унитарного сцеп- ления Â простых полуунитарных операторов V+ = Â\| ◦ D+ и V− = Â∗\| • D− , где Â, ◦ D+ и • D− определены выше по простой консервативной системе сопротивления Σ̂ с матрицей сопротивления c(z). Она принимает унитарные значения почти всюду на единичной окружности, т. е. sc(ζ)∗sc(ζ) = IUψ , sc(ζ)sc(ζ)∗ = IYϕ почти всюду при \|ζ\| = 1. (2.9) Доказательство этого факта в случае, когда dimU < ∞, см. в [24], а в общем случае — в [16, с. 801] (предложение 6). Свойство унитарности sc означает, что ∨ n≥0 Ân • D−= ∨ n≥0 (Â∗)n ◦ D+ . Функция sc будет играть важную роль в дальнейших рассмотрениях. 2.4. Консервативные системы рассеяния. Система Σ = (A,B,C,D;X, U, Y ) называется консервативной системой рассеяния, если для любого x(0) ∈ X и любого набора входных данных { u(n) }∞ 0 выполняется условие ‖x(n+ 1)‖2 − ‖x(n)‖2 = ‖u(n)‖2 − ‖y(n)‖2, а также имеет место аналогичное равенство для сопряженной системы Σ∗ = = (A∗, C∗, B∗, D∗;X,Y, U). Другими словами, условие консервативности запи- сывается в виде равенства ∥∥x(n+ 1) ∥∥2 − ‖x(n)‖2 = j  u(n) y(n) ,  u(n) y(n)  U⊕Y , j =  IU 0 0 −IY , и двойственного равенства для системы Σ∗. То, что система рассеяния Σ является консервативной, означает, что оператор MΣ = [ A B C D ]( ∈ B(X ⊕ U,X ⊕ Y ) ) является унитарным, т. е. имеют место равенства IX 0 0 IU −  A B C D ∗  A B C D  = 0,  IX 0 0 IY −  A B C D  A B C D ∗ = 0. Передаточная функция θΣ(z) системы рассеяния называется матрицей рассеяния. Известно, что матрица рассеяния произвольной консервативной системы рассеяния ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 629 принадлежит классу S(U, Y ). Произвольная функция θ(z) класса S(U, Y ) явля- ется матрицей рассеяния некоторой простой консервативной системы рассеяния, определяемой по θ с точностью до унитарного подобия. Простая консервативная система рассеяния является устойчивой, ∗-устойчивой или двусторонне устойчивой тогда и только тогда, когда ее матрица рассеяния является внутренней, -внутренней или двусторонне внутренней функцией со- ответственно. Через Sin(U, Y ) будем обозначать подкласс функций b(z) класса S(U, Y ), яв- ляющихся двусторонне внутренними. 2.5. Консервативные системы прохождения. Пусть J1 ∈ B(Ũ) и J2 ∈ B(Ỹ ) — сигнатурные операторы , т. е. J∗i = Ji, i = 1, 2; J2 1 = IŨ , J 2 2 = IỸ . Ими определяются индефинитные метрики в Ũ и Ỹ : 〈ũ, ũ′〉 = (J1ũ, ũ ′), 〈ỹ, ỹ′〉 = (J2ỹ, ỹ ′) для любых ũ, ũ′ из Ũ и ỹ, ỹ′ из Ỹ . Пусть JΣ̃J1,J2 = [ J1 0 0 −J2 ] ∈ B(Ũ ⊕ Ỹ ). Система Σ̃J1,J2 = (Ã, B̃, C̃, D̃; X̃, Ũ , Ỹ ) называется консервативной системой про- хождения, если при любых x(0) ∈ X̃ и {ũ(k)}∞0 выполняется условие ∥∥x(n+ 1) ∥∥2 − ‖x(n)‖2 = JΣ̃J1,J2  ũ(n) ỹ(n) ,  ũ(n) ỹ(n)  и двойственное равенство выполняется для сопряженной системы Σ̃∗ J1,J2 = (Ã∗, C̃∗, B̃∗, D̃∗; X̃, Ỹ , Ũ) с JΣ̃∗J1,J2 = [ J2 0 0 −J1 ] . То, что Σ̃J1,J2 является консерва- тивной системой прохождения, означает, что оператор MΣ̃J1,J2 =  Ã B̃ C̃ D̃ ( ∈ B(X̃ ⊕ Ũ , X̃ ⊕ Ỹ ) ) является (J̃1, J̃2)-унитарным, т. е. M∗ Σ̃J1,J2 J̃2MΣ̃J1,J2 = J̃1, MΣ̃J1,J2 J̃1M ∗ Σ̃J1,J2 = J̃2, где J̃i = [ IX 0 0 Ji ] , i = 1, 2. Передаточная функция θΣ̃J1,J2 консервативной системы прохождения называ- ется матрицей прохождения. Если Λ+ Ã 6= ∅, то сужение матрицы прохождения θΣ̃J1,J2 (z) на Λ+ Ã принадлежит классу PJ1,J2(Λ + Ã ; Ũ , Ỹ ) (см. [15, 30]). В частности, если область Ω совпадает с D за возможным исключением множества изолиро- ванных точек, то θΣ̃J1,J2 ∈ PJ1,J2(Ω; Ũ , Ỹ ) тогда и только тогда, когда θΣ̃J1,J2 (z) голоморфна в Ω и принимает двусторонне (J1, J2)-сжимающие значения, т. е. θΣ̃J1,J2 (z)∗J2θΣ̃J1,J2 ≤ J1, θΣ̃J1,J2 (z)J1θ ∗ Σ̃J1,J2 ≤ J2, z ∈ Ω. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 630 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Известно, что произвольная линейная стационарная динамическая система Σ мо- жет быть получена из некоторой консервативной системы прохождения ΣJ1,J2 пу- тем потери внешних каналов рассеяния (см. [20]). А именно, говорят, что система Σ является частью системы Σ̃J1,J2 (или Σ вложена в Σ̃J1,J2) и получается из Σ̃J1,J2 потерей внешних каналов рассеяния, если: 1) для системы Σ пространст- во внутренних состояний X то же, что и для Σ̃J1,J2 , т. е. X = X̃; 2) внешние пространства U и Y системы Σ являются подпространствами соответствующих внешних пространств Ũ и Ỹ системы Σ̃J1,J2 , так что Ũ = U ⊕ U1, Ỹ = Y ⊕ Y1; 3) для коэффициентов систем Σ и Σ̃J1,J2 имеем A = Ã, B = B̃\|U , C = PY C̃, D = PY D̃\|U . В дальнейшем для произвольной пассивной системы сопротивления Σ с поте- рями каналов рассеяния будем рассматривать как ее вложение в некоторую кон- сервативную систему прохождения Σ̃J1,J2 , так и построение по Σ консервативной системы сопротивления Σ̂, являющейся дилатацией Σ. 3. Консервативные системы прохождения типа SI. 3.1. Вложение пассив- ной системы сопротивления в консервативную систему прохождения типа SI. Рассмотрим пассивную систему сопротивления Σ = (A,B,C,D;X,U) с матрицей сопротивления c ∈ `(U), не являющуюся консервативной. Первое из условий пассивности (2.2) выполняется тогда и только тогда, когда существует оператор [M N ] ∈ B(X ⊕ U, Y1) такой, что I −A∗A C∗ −A∗B C −B∗A 2 ReD −B∗B  = M∗ N∗  [M N ] . (3.1) Условие (3.1) равносильно системе равенств I −A∗A = M∗M, C −B∗A = N∗M, 2 ReD −B∗B = N∗N. (3.2) Первое равенство в (3.2) означает, что V0 = [ A M ] ∈ B(X,X ⊕ Y1) — изометри- ческий оператор, т. е. V ∗ 0 ∈ B(X ⊕ Y1, X) является ∗-изометрическим. Оператор V ∗ 0 можно растянуть до изометрического оператора V ∗ ∈ B(X ⊕ Y1, X ⊕ U1): V ∗ =  A∗ M∗ K∗ S∗ . В этом случае имеют место равенства I −AA∗ = KK∗, AM∗ = −KS∗, I −MM∗ = SS∗. (3.3) Растяжение V ∗ может быть выбрано минимальным в том смысле, что если u1 ∈ U1 такой, что 0⊕u1⊥V ∗(X⊕Y1), то u1 = 0. Таковым, например, является растяжение V ∗ =  V ∗ 0 (I − V0V ∗ 0 )1/2 , где U1 = (I − V0V ∗ 0 )1/2(X ⊕ Y1). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 631 Лемма 3.1. Минимальное изометрическое расширение V ∗ ∗-изометрического оператора V ∗ 0 является унитарным оператором. Утверждение леммы легко проверяется и является известным (см., например, [26], где оно применяется). Из (3.2) видно, что C = B∗A+N∗M = [ B∗ N∗]  A M . Положим L = [ B∗ N∗] K S  = B∗K +N∗S. (3.4) Тогда [ C L ] = [ B∗ N∗ ]V, откудаB N  = V C∗ L∗ . Из этого равенства получаем B = AC∗ +KL∗, N = MC∗ + SL∗, (3.5) а также [ B∗ N∗ ] B N  = [ C L ] C∗ L∗ , или, другими словами, B∗B+N∗N = CC∗+LL∗, откуда 2 ReD−CC∗ = 2ReD− −B∗B −N∗N + LL∗ = LL∗. Таким образом, I −AA∗ B −AC∗ B∗ − CA∗ 2 ReD − CC∗  = KK∗ KL∗ LK∗ LL∗  = [ K L ] K∗ L∗ . (3.6) Лемма 3.2. Пусть Σ = (A,B,C,D;X,U) — пассивная система сопротив- ления, операторы K ∈ B(U1, X), M ∈ B(X,Y1), N ∈ B(U, Y1), S ∈ B(U1, Y1), L ∈ ∈ B(U1, U) определены формулами (3.2) – (3.6), а система Σ̆ = (Ă, B̆, C̆, D̆;X,U1⊕ ⊕ U, Y1 ⊕ Y ), где Ă = A, B̆ = [ K B ] , C̆ = [ M C ] , D̆ = [ S N L D ] . Тогда система Σ̆ такова, что при J =  JU1,Y1 0 0 −JU , где JU1,Y1 =  IU1 0 0 −IY1 , JU =  0 −IU −IU 0 , выполняется равенство ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 632 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО ∥∥x(n+ 1)‖2 − ‖x(n) ∥∥2 =  J  u1(n) y1(n) u(n) y(n)  ,  u1(n) y1(n) u(n) y(n)   = JU1,Y1  u1(n) y1(n) ,  u1(n) y1(n) − JU  u(n) y(n) ,  u(n) y(n) . Сопряженная система Σ̆∗ = (Ă∗, C̆∗, B̆∗, D̆∗;X,Y1⊕Y,U1⊕U) является таковой, что для нее выполняется двойственное равенство при J∗ =  JY1,U1 0 0 −JU , где JY1,U1 =  IY1 0 0 −IU1 . Доказательство. Действительно,∥∥x(n+ 1) ∥∥2 − ‖x(n)‖2 = =   A∗A− I A∗K A∗B K∗A K∗K K∗B B∗A B∗K B∗B   x(n) u1(n) u(n) ,  x(n) u1(n) u(n)  ,  J  u1(n) y1(n) u(n) y(n)  ,  u1(n) y1(n) u(n) y(n)   = =   0 M∗ 0 C∗ IU1 S∗ 0 L∗ 0 N∗ IU D∗   IU1 0 0 0 0 −IY1 0 0 0 0 0 IU 0 0 IU 0   0 IU1 0 M S N 0 0 IU C L D   x(n) u1(n) u(n) ,  x(n) u1(n) u(n)   = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 633 =   −M∗M −M∗S −M∗N + C∗ −S∗M IU1 − S∗S −S∗N + L∗ −N∗M + C −N∗S + L −N∗N + 2 ReD   x(n) u1(n) u(n) ,  x(n) u1(n) u(n)  . Равенство правой и левой частей следует из тождеств (3.2) – (3.6). Соответ- ственное равенство для сопряженной системы доказывается аналогично. Рассмотрим операторы J1 = JU1,U =  IU1 0 0 0 0 −IU 0 −IU 0  и J2 = JY1,U =  IY1 0 0 0 0 −IU 0 −IU 0 . (3.7) Обозначим Ũ = U1 ⊕ U ⊕ U и Ỹ = Y1 ⊕ U ⊕ U. Ясно, что J2 1 = IŨ , J 2 2 = IỸ , J∗i = Ji, i = 1, 2. Пусть MΣ̃ =  A K B 0 M S N 0 C L D IU 0 0 IU 0  ∈ B(X ⊕ Ũ ,X ⊕ Ỹ ), J̃i =  IX 0 0 Ji , i = 1, 2. (3.8) Тогда справедливы равенства M∗ Σ̃ J̃2MΣ̃ = J̃1, MΣ̃J̃1M ∗ Σ̃ = J̃2, (3.9) вытекающие из формул (3.2) – (3.6). Следовательно, операторMΣ̃ является (J̃1, J̃2)- унитарным, и имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть Σ = (A,B,C,D;X,U) — пассивная система сопротив- ления с потерями, а система Σ̃J1,J2 = (Ã, B̃, C̃, D̃;X, Ũ , Ỹ ) (J1 и J2 — сигнатур- ные операторы, определенные в (3.7)) такова, что Ã = A, B̃ = [ K B 0 ] , C̃ =  M C 0 , D̃ =  S N 0 L D IU 0 IU 0 , (3.10) где операторы M ∈ B(X,Y1), K ∈ B(U1, X), S ∈ B(U1, Y1), N ∈ B(U, Y1) и L ∈ B(U1, Y ) определяются равенствами (3.2) – (3.6), а внешние пространства Ũ = U1⊕U⊕U и Ỹ = Y1⊕U⊕U. Тогда система Σ̃J1,J2 является консервативной системой прохождения. Если Σ̃J1,J2 = (Ã, B̃, C̃, D̃;X, Ũ , Ỹ ) — консервативная система прохождения с блочным представлением операторов B̃, C̃, D̃, указанным в (3.10), то ее часть — система Σ = (A,B,C,D;X,U) — является пассивной системой сопротивления с потерями каналов рассеяния. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 634 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Доказательство. В одну сторону теорема доказана выше, а в обратную сторо- ну ее доказательство следует из (3.10) и первого равенства в (3.9), имеющих место для консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 . Консервативные системы прохождения со специальными операторами J1 и J2 вида (3.7), имеющие соответствующие блочные представления коэффициен- тов вида (3.10), будем называть консервативными системами прохождения типа SI (scattering-impedance). Лемма 3.3. Если у консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 основной оператор A не имеет унитарной части, т. е. A — вполне неунитарное сжатие, то эта система является простой. Доказательство. Рассмотрим систему Σ1 = (A,K,M,S;X,U1, Y1), постро- енную по Σ̃J1,J2 . Из равенств (3.2) и (3.3) следует, что Σ1 является консервативной системой рассеяния, а так как A не имеет унитарной части, она простая, т. е. Xo Σ1 ∨Xc Σ1 = X. Поскольку Xo Σ1 ⊂ Xo Σ̃J1,J2 и Xc Σ1 ⊂ Xc Σ̃J1,J2 , получаем, что Σ̃J1,J2 — простая система. 3.1. Свойства матрицы прохождения консервативной системы прохожде- ния типа SI. Рассмотрим передаточную функцию θ̃J1,J2 системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI: θ̃J1,J2(z) =  S N 0 L D IU 0 IU 0 + z  M C 0  (I − zA)−1 [ K B 0 ] = =  S + zM(I − zA)−1K N + zM(I − zA)−1B 0 L+ zC(I − zA)−1K D + zC(I − zA)−1B IU 0 IU 0 . Из равенств (3.2) вытекает, что у консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI основной оператор A является сжатием, и, следовательно, Λ+ A = D, θ̃J1,J2 — голоморфная двусторонне (J1, J2)-сжимающая в D функция со значениями из B(Ũ , Ỹ ), т. е. ее сужение на D принадлежит классу PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ), где J1 и J2 определены в (3.7). Более того, матрица похождения θ̃J1,J2 имеет следующую блочную структуру: θ̃J1,J2(z) =  α(z) β(z) 0 γ(z) δ(z) IU 0 IU 0 . (3.11) Подкласс класса PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) функций с блочной структурой (3.11) будем обо- значать SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Таким образом, сужение на D матрицы прохожде- ния θ̃J1,J2 консервативной системы прохождения типа SI принадлежит классу SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ), и, следовательно, для нее выполняются неравенства ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 635 θ̃J1,J2(z) ∗J2θ̃J1,J2(z) 6 J1, θ̃J1,J2(z)J1θ̃J1,J2(z) ∗ 6 J2, z ∈ D. (3.12) Теорема 3.2. Произвольная функция θ класса SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) являет- ся сужением на D матрицы прохождения некоторой простой консервативной системы прохождения типа SI, определяемой по θ с точностью до унитарного подобия. Доказательство. Известно [15, с. 224], что произвольная функция θ клас- са PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) является матрицей прохождения некоторой простой консерва- тивной системы прохождения Σ̃J1,J2 = (Ã, B̃, C̃, D̃;X, Ũ , Ỹ ). Если же θ ∈ SI ∩ ∩PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ), где J1 и J2 определены в (3.7), то коэффициент D̃ этой системы имеет блочное представление вида (3.10), так как D̃ = θ(0). Из равенств (3.9), справедливых для системы Σ̃J1,J2 и записанных для блочных представлений коэф- фициентов B̃ = [ K B B1 ] и C̃ = MC C1 , вытекает, что блоки B1 ∈ B(U,X) и C1 ∈ B(X,U) равны нулю. Следовательно, простая система прохождения Σ̃J1,J2 является системой типа SI. Из (3.11) видно, что матрица сопротивления c ∈ `(U) пассивной системы со- противления Σ является блоком δ функции θ̃J1,J2 . Для блоков β и γ функции θ̃J1,J2 справедливы соотношения c(η)∗ + c(ξ) = β(η)∗β(ξ) + (1− ηξ)B∗(I − ηA∗)−1(I − ξA)−1B, (3.13) c(η) + c(ξ)∗ = γ(η)γ(ξ)∗ + (1− ξη)C(I − ηA)−1(I − ξA∗)−1C∗, (3.14) вытекающие из формул β(z) = N + zM(I − zA)−1B, γ(z) = L+ zC(I − zA)−1K, c(z) = D + zC(I − zA)−1B и равенств (3.2), (3.3) и (3.5). Эти тождества будут использоваться в дальнейших рассмотрениях. Рассмотрим класс Смирнова N+ скалярных функций f(z), голоморфных в D и представляющихся в виде отношения f = g/h, где g, h принадлежат скалярному классу S и h является внешней функцией (относительно скалярного, матрично- и операторнозначного классов Смирнова, см. [31, 32]). Будем говорить, что голо- морфная в D функция f со значениями из B(U, Y ) принадлежит классу Ñ+(U, Y ), если для любых u ∈ U, y ∈ Y форма (f(z)u, y) ∈ N+ при z ∈ D. Для произвольной функции этого класса f(z) при u ∈ U, y ∈ Y существует lim r↑1 (f(rζ)u, y) почти всюду при \|ζ\| = 1; будем обозначать этот предел (f(ζ)u, y). Само по себе выражение (f(ζ)u, y) не имеет смысла в общем случае, так как f(ζ) не имеет смысла, и будет пониматься в указанном слабом смысле. Ясно, что S(U, Y ) ⊂ Ñ+(U, Y ), H2(U, Y ) ⊂ Ñ+(U, Y ) и `(U) ⊂ Ñ+(U,U). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 636 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Лемма 3.4. Пусть θ ∈ SI ∩ PJ1,J2(Ũ , Ỹ ). Тогда блоки представления (3.11) имеют свойства α ∈ S(U1, Y1), β ∈ H2(U, Y1), γ∼ ∈ H2(U,U1), δ(= c) ∈ `(U); β и γ являются решениями факторизационных неравенств β(z)∗β(z) 6 2 Re c(z), γ(z)γ(z)∗ 6 2 Re c(z), z ∈ D. (3.15) Доказательство. Утверждение леммы вытекает из неравенств J1 − θ(z)∗J2θ(z) = =  IU1 − α(z)∗α(z) α(z)∗β(z)− γ(z)∗ 0 β(z)∗α(z)− γ(z) 2Re δ(z)− β(z)∗β(z) 0 0 0 0  > 0, z ∈ D, J2 − θ(z)J1θ(z)∗ = =  IY1 − α(z)α(z)∗ α(z)γ(z)∗ − β(z) 0 γ(z)α(z)∗ − β(z)∗ 2 Re δ(z)− γ(z)γ(z)∗ 0 0 0 0  > 0, z ∈ D, для голоморфной в D функции θ и из ее представления (3.11). Из приведенных выше рассуждений и леммы 3.4 следует, что SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) ⊂ Ñ+(Ũ , Ỹ ). Значит, можно рассмотреть θ(ζ) в указанном слабом смысле. Более того, для любых ũ = u1 u u2  ∈ Ũ и ỹ =  y1y y2  ∈ Ỹ lim r↑1 ( θ(rζ)∗J2θ(rζ)ũ, ũ ) ≤ ( J1ũ, ũ ) почти всюду при \|ζ\| = 1, (3.16) lim r↑1 ( θ(rζ)J1θ(rζ)∗ỹ, ỹ ) ≤ ( J2ỹ, ỹ ) почти всюду при \|ζ\| = 1. (3.17) Если в (3.16) ((3.17), или в (3.16) и (3.17)) имеют место равенства почти всюду при \|ζ\| = 1, то будем говорить в дальнейшем, что θ является (J1, J2)- внутренней ((J1, J2)-∗-внутренней, или двусторонне (J1, J2)-внутренней соответ- ственно). Заметим, что если θ ∈ SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) — (J1, J2)-внутренняя ((J1, J2)--внутренняя), то ϕ = β (соответственно, ψ = γ) является решением задачи a) (b)) в (2.7). 3.2. Оптимальные пассивные системы сопротивления. Справедлива сле- дующая теорема. Теорема 3.3. Для того чтобы пассивная система сопротивления Σ = (A,B, C,D;X,U) с матрицей сопротивления c ∈ `(U) была оптимальной, необходимо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 637 и достаточно, чтобы для матрицы прохождения θ̃J1,J2 соответствующей кон- сервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI блок β являлся максимальным решением факторизационной задачи a) в (2.5). Доказательство. Поскольку блоки β и δ = c функции θ̃J1,J2 определяются по формулам β(z) = N + zM(I − zA)−1B и c(z) = D + zC(I − zA)−1B, где операторы A, B, C, D, N иM связаны соотношениями (3.2), утверждение теоремы равносильно соответствующей теореме 2 в [13]. 4. Устойчивые, ∗-устойчивые и двусторонне устойчивые системы сопро- тивления. В настоящем пункте будем рассматривать, в основном, двусторонне устойчивые пассивные системы сопротивления, т. е. такие, у которых основной оператор A является сжатием класса C00. 4.1. Двусторонне устойчивые системы сопротивления. Подкласс двусто- ронне (J1, J2)-внутренних функций θ класса SI∩PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) будем обозначать SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Теорема 4.1. Пусть Σ = (A,B,C,D;X,U) — двусторонне устойчивая пас- сивная система сопротивления, являющаяся частью консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 = (Ã, B̃, C̃, D̃;X, Ũ , Ỹ ) типа SI, c(z) — матрица сопротив- ления системы Σ и θ̃J1,J2 — матрица прохождения системы Σ̃J1,J2 . Тогда: 1) спектральная функция σ(µ) функции c(z) абсолютно непрерывна; 2) θ̃J1,J2 ∈ SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ); 3) система Σ̃J1,J2 является минимальной. Обратно, если имеет место свойство 2 и A не имеет унитарной части, то A ∈ C00 (так что свойства 1 и 3 также имеют место). Доказательство. Рассмотрим блок β ( ∈ H2(U, Y1) ) матрицы прохождения θ̃J1,J2 : β(z) = ∞∑ k=0 βkz k, где β0 = N, βk = MAk−1B при k ≥ 1. С учетом тождества I − lim k→∞ (A∗)kAk = ∑∞ k=0 (A∗)k(I − A∗A)Ak для любого u ∈ U будем иметь ∥∥β(.)u ∥∥2 = ∞∑ k=1 ‖βku‖2 = ‖Nu‖2+ ∞∑ k=0 ‖MAkBu‖2 = (2 ReDu, u)− lim n→∞ ‖AnBu‖2. Поскольку A ∈ C0·, то ∥∥β(.)u ∥∥2 = (2 ReDu, u) = 1 2π π∫ −π d(σ(µ)u, u) = 2 Re(c(0)u, u). (4.1) Из последнего равенства следует, что (σ(µ)u, u) абсолютно непрерывна на [−π, π] , а также, что для любого u ∈ U∥∥β(ζ)u ∥∥2 = 2Re(c(ζ)u, u) почти всюду при \|ζ\| = 1 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 638 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО в слабом смысле, т. е. ϕ = β — решение факторизационной задачи a) в (2.7). Анало- гично доказывается, что ψ = γ является решением факторизационной задачи b) в (2.7) в слабом смысле. ПосколькуA ∈ C00 и α(z) является матрицей рассеяния кон- сервативной системы рассеяния Σ1 = (A,K,M,S;X,U1, Y1), то α ∈ Sin(U1, Y1) и система Σ1 является минимальной, т. е. Xo Σ1 = Xc Σ1 = X. Так как из (3.10) следует, что Xo Σ̃J1,J2 ⊂ Xo Σ и Xc Σ̃J1,J2 ⊂ Xc Σ, то свойство 3 имеет место. То, что ϕ = β и ψ = γ являются решениями фактори- зационных задач (2.7) и α ∈ Sin(U1, Y1), равносильно свойству 2. Обратно, если A не имеет унитарной части, то консервативная система рассе- яния Σ1 является простой. Из свойства 2 вытекает, что α ∈ Sin(U1, Y1). Поэтому A ∈ C00. Замечание. Если в формулировке теоремы 4.1 условие A ∈ C00 заменить условием A ∈ C0· (A ∈ C· 0), то свойство 1 остается в силе, вместо свойства 2 будет иметь место такое: θ̃J1,J2 является (J1, J2)-внутренней ((J1, J2)-∗-внутренней) функцией, а вместо свойства 3 — Σ̃J1,J2 — наблюдаемая система (соответственно, управляемая система). Следствие. Если Σ — двусторонне устойчивая система сопротивления с мат- рицей сопротивления c(z), то блоки β и γ матрицы прохождения соответствую- щей системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI являются решениями факторизацион- ных задач a) и b) в (2.7) соответственно. Лемма 4.1. Если у функции θ ∈ SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) блок δ(∈ `(U)) имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию и блок β (γ) является внешним (∗- внешним) решением факторизационной задачи a) (соответственно, b)) в (2.7), то оптимальная (∗-оптимальная) и минимальная пассивная система сопротивления с матрицей сопротивления c ≡ δ в D является устойчивой (∗-устойчивой). Доказательство. Пусть у функции θ ∈ SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) блок β является внешним решением классаH2(U, Yβ) факторизационной задачи a) в (2.7). Рассмот- рим функциональную модель простой консервативной системы сопротивления Σ̂ = = (Â, B̂, Ĉ, D̂; X̂, U) с матрицей сопротивления c ≡ δ в D, где X̂ = L2(Yβ), Âx = ζ−1x(ζ), x ∈ L2(Yβ), B̂u = ζ−1β(ζ)u, Ĉ∗u = β(ζ)u, D̂u = c(0)u, u ∈ U. В этой модели X̂o Σ̂ = ∞∨ 0 (Â∗)nĈ∗U = H2(Yβ) и H2(Yβ) PX̂o Σ̂ X̂c Σ̂ — подпрос- транство, инвариантное относительно оператора умножения на ζ. По теореме Бер- линга – Лакса – Халмоша существует внутренняя функция bβ ∈ B(Ŷ , Yβ) такая, что H2(Yβ) PX̂o Σ̂ X̂c Σ̂ = bβH 2(Ŷ ). Будем считать, что Ŷ = {0}, если PX̂o Σ̂ X̂c Σ̂ = = H2(Yβ). Приходим к оптимальной и минимальной системе сопротивления Σ◦ = = (A◦, B◦, C◦, D◦;X◦, U) с матрицей сопротивления c(z), где ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 639 X◦ = H2(Yβ) bβH 2(Ŷ ), A◦x = ζ−1 ( x(ζ)− x(0) ) , x ∈ X◦, B◦u = ζ−1 ( β(ζ)− β(0) ) u, C∗◦u = β(ζ)u− bβPu, Pu = 1 2π ∫ ζ\|=1 bβ(ζ)∗β(ζ)u \|dζ\| , D◦u = c(0)u, u ∈ U. Система Σ◦ является устойчивой. В случае, когда у функции θ блок γ является ∗-внешним решением задачи b) в (2.7), лемма доказывается аналогично. 4.2. Условие минимальности потерь каналов рассеяния. Пусть θ — функ- ция класса SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) с заданным блоком δ ≡ c(∈ `(U)) в D, где Ũ = = U1 ⊕ U ⊕ U и Ỹ = Y1 ⊕ U ⊕ U определены в пп. 3.1. Тогда функции ϕ = = β(∈ H2(U, Y1)) и ψ = γ(γ∼ ∈ H2(U,U1)) являются решениями факторизацион- ных задач соответственно a) и b) в (2.7). Блоки β и γ функции θ записываются в виде β(z) = b1(z)ϕc(z), γ(z) = ψc(z)b2(z), (4.2) где b1 и ϕc — внутренняя и внешняя функции со значениями из B(Yϕc , Y1) и B(U, Yϕc), а b2 и ψc — ∗-внутренняя и ∗-внешняя функции со значениями из B(U1, Uψc) и B(Uψc , U) соответственно. Функции ϕc и ψc являются решениями факторизационных задач a) и b) в (2.7). Функции b1 и b2 являются здесь двусторон- не внутренними тогда и только тогда, когда функции β и γ являются решениями с минимальными потерями задач соответственно a) и b) в (2.7), т. е. a) ∞∨ −∞ ζkβ(ζ)U = L2(Y1), b) ∞∨ −∞ ζkγ(ζ)∗U = L2(U1). (4.3) Условия a) и b) в (4.3) эквивалентны в силу того, что γ(ζ)∗ = α(ζ)∗β(ζ) почти всюду при \|ζ\| = 1. В пп. 2.3 было отмечено, что в случае dimU < ∞ число mc = rankRe c(ζ) не зависит от ζ почти всюду при \|ζ\| = 1 и dβ = dimY1 ≥ mc, dγ = dimU1 ≥ mc. (4.4) При выполнении условий (4.3) имеем знаки равенства в (4.4), эквивалентность условий dβ = dγ = mc почти всюду и (4.3). Будем считать (4.3) условием ми- нимальности потерь каналов рассеяния. Если числа dβ и dγ конечны, то они интерпретируются как числа потерь каналов рассеяния. В случае, когда mc < ∞, число mc интерпретируется как минимальное число потерь каналов рассеяния. Итак, с этого момента считаем, что факторизационные задачи a) и b) в (2.7) раз- решимы, ϕc и ψc — внешнее и ∗-внешнее решения этих задач, sc(ζ) — субоператор рассеяния, определяемый равенствами в (2.8). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 640 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО 4.3. Двусторонне (J1, J2)-внутренние SI-дилатации с минимальными по- терями. Обозначим Û = Uψc⊕U⊕U, Ŷ = Yϕc⊕U⊕U, Ĵ1 = JUψc ,U , Ĵ2 = JYϕc ,U и рассмотрим почти всюду при \|ζ\| = 1 функцию ϑr(ζ) =  sc(ζ) ϕc(rζ) 0 ψc(rζ) c(rζ) IU 0 IU 0 , r < 1, со значениями из B(Û , Ŷ ). Для любых û ∈ Û и ŷ ∈ Ŷ почти всюду при \|ζ\| = 1 существует предел lim r↑1 (ϑr(ζ)û, ŷ). Под ϑ(ζ) =  sc(ζ) ϕc(ζ) 0 ψc(ζ) c(ζ) IU 0 IU 0  (4.5) будем понимать не операторнозначную функцию со значениями из B(Û , Ŷ ), а опре- деленную в следующем слабом смысле: для любых û ∈ Û и ŷ ∈ Ŷ (ϑ(ζ)û, ŷ) = lim r↑1 (ϑr(ζ)û, ŷ) почти всюду при \|ζ\| = 1. Для ϑr(ζ) почти всюду при \|ζ\| = 1 также справедливы неравенства a) lim r↑1 (Ĵ2ϑr(ζ)û, ϑr(ζ)û) ≤ (Ĵ1û, û), b) lim r↑1 (Ĵ1ϑr(ζ)∗ŷ, ϑr(ζ)∗ŷ) ≤ (Ĵ2ŷ, ŷ), (4.6) и эти неравенства формально будем записывать в виде ϑ(ζ)∗Ĵ2ϑ(ζ) ≤ Ĵ1, ϑ(ζ)Ĵ1ϑ(ζ)∗ ≤ Ĵ2 почти всюду при \|ζ\| = 1. Покажем, что в неравенствах (4.6) имеет место знак равенства почти всюду при \|ζ\| = 1 для любых û ∈ Û и ŷ ∈ Ŷ , и будем в связи с этим говорить, что ϑ(ζ) принимает (Ĵ1, Ĵ2)-унитарные значения (в слабом смысле). Лемма 4.2. Пусть ϑ(ζ) — функция, формально определенная почти всюду при \|ζ\| = 1 (в указанном выше смысле) формулой (4.5). Тогда ϑ(ζ) принимает (Ĵ1, Ĵ2)-унитарные (в слабом смысле) значения почти всюду при \|ζ\| = 1, т. е. формально имеют место следующие равенства: a) ϑ(ζ)∗Ĵ2ϑ(ζ) = Ĵ1 почти всюду при \|ζ\| = 1, b) ϑ(ζ)Ĵ1ϑ(ζ)∗ = Ĵ2 почти всюду при \|ζ\| = 1. Доказательство. Действительно, lim r↑1 (Ĵ2ϑr(ζ)û, ϑr(ζ)û) = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 641 = lim r↑1   sc(ζ)∗ ψc(rζ)∗ 0 ϕc(rζ)∗ c(rζ)∗ IU 0 IU 0   IYϕc 0 0 0 0 −IU 0 −IU 0   sc(ζ) ϕc(rζ) 0 ψc(rζ) c(rζ) IU 0 IU 0  û, û  = = lim r↑1   sc(ζ)∗sc(ζ) sc(ζ)∗ϕc(rζ)− ψc(rζ)∗ 0 ϕc(rζ)∗sc(ζ)− ψc(rζ) ϕc(rζ)∗ϕc(rζ)− 2 Re c(rζ) −IU 0 −IU 0  û, û  = =   IUψc 0 0 0 0 −IU 0 −IU 0  û, û  = ( Ĵ1û, û ) . Аналогично показывается справедливость равенства в b) в (4.6) почти всюду при \|ζ\| = 1. Отметим, что в случае dimU <∞ функция ϑ(ζ) определена почти всюду при \|ζ\| = 1 в обычном смысле и принимает (Ĵ1, Ĵ2)-унитарные значения из B(Û , Ŷ ) почти всюду при \|ζ\| = 1. Теорема 4.2. Для того чтобы функция c(z) со значениями из B(U) была матрицей сопротивления некоторой пассивной устойчивой (∗-устойчивой, дву- сторонне устойчивой) системы сопротивления, необходимо и достаточно, что- бы ее можно было представить в виде 22-блока δ(z) ≡ c(z)(∈ `(U)), z ∈ D, с абсолютно непрерывной спектральной функцией некоторой (J1, J2)-внутренней ((J1, J2)∗-внутренней, двусторонне (J1, J2)-внутренней соответственно) в ука- занном слабом смысле функции θ класса SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Доказательство. Докажем теорему для устойчивой системы сопротивления. Пусть Σ = (A,B,C,D;X,U) — пассивная устойчивая система сопротивления с матрицей сопротивления c ∈ `(U). Рассмотрим соответствующую консерватив- ную систему прохождения Σ̃J1,J2 типа SI с матрицей прохождения θ̃J1,J2 . Функция θ̃J1,J2 принадлежит классу SI∩PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Согласно теореме 4.1 функция c(z) имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию, а блок β матрицы прохо- ждения θ̃J1,J2 является решением факторизационной задачи a) в (2.7). Блок α(z) функции θ̃J1,J2 является матрицей рассеяния консервативной системы рассеяния Σ1 = (A,K,M,S;X,U1, Y1), так как оператор MΣ1 =  A K M S  ∈ B(X ⊕ U1, X ⊕ Y1) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 642 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО является унитарным по построению системы Σ̃J1,J2 . В силу того что A ∈ C0·, имеем α(ζ)∗α(ζ) = IU1 почти всюду при \|ζ\| = 1. (4.7) Используя соотношения (4.7) и a) в (2.7) для β(z), получаем, что в неравен- стве (3.16) имеет место знак равенства почти всюду при \|ζ\| = 1 в слабом смысле. Значит, θ̃J1,J2 является (J1, J2)-внутренней (в указанном слабом смысле) функцией класса SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Обратно, пусть c представима в виде 22-блока δ(z) ≡ c(z), z ∈ D, с абсолют- но непрерывной спектральной функцией некоторой (J1, J2)-внутренней (в слабом смысле) функции θ ∈ SI ∩ PJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Тогда из того, что для θ в указанном смысле в (3.16) имеет место равенство почти всюду при \|ζ\| = 1, следует, что блок β(∈ H2(U, Y1)) является решением задачи a) в (2.7). Согласно лемме 4.1, оптималь- ная и минимальная пассивная система сопротивления с матрицей сопротивления c(z) является устойчивой. Функцию θ ∈ SI ∩UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) с 22-блоком δ ≡ c в D назовем двусторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатацией функции c(z). Если при этом для ее блоков β и γ выполнено условие (4.3), то такую SI-дилатацию θ функции c(z) будем называть SI-дилатацией с минимальными потерями. В случае, когда для определенной при \|ζ\| = 1 функции h(ζ) со значениями из B(U, Y ) существует упорядоченная пара двусторонне внутренних функций b1 и b2 такая, что b1(ζ)h(ζ)b2(ζ) — граничное значение в слабом смысле некоторой функции обобщенного класса Смирнова Ñ+(U1, Y1), будем говорить, что h принад- лежит обобщенному классу Неванлинны Ñ(U, Y ), а пару {b1, b2} будем называть знаменателем функции h. Знаменатель {b̂1, b̂2} функции h называется делителем знаменателя {b1, b2} функции h, если b1 = ub̂1 и b2 = b̂2v, где u и v — двусторонне внутренние функции. Такой делитель называется тривиальным, если u и v — постоянные, т. е. унитарные операторы. Знаменатель {b1, b2} функции h называется минимальным, если он не име- ет нетривиальных делителей среди знаменателей функции h. Известно, что если h ∈ Ñ(U, Y ) и {b1, b2} — знаменатель h, то существует минимальный знаменатель {b̃1, b̃2} функции h, являющийся делителем {b1, b2} (см. [14, с. 112], предложе- ние 6). Знаменатели вида {b1, IU} и {IY , b2} называются соответственно левым и пра- вым знаменателями функции h. Если для h существует левый (правый) знамена- тель, то для нее существует минимальный левый (соответственно, правый) знаме- натель, являющийся делителем всех других левых (правых) знаменателей функции h. Левые {b1, IU} и правые {IY , b2} знаменатели функции h будем записывать в виде b1 и b2 соответственно. Теорема 4.3. Пусть c(z) — функция из D в B(U). Для существования дву- сторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатации θ(z) функции c(z) с минимальными потерями необходимо и достаточно, чтобы: 1) c ∈ `(U); 2) для c были разрешимы в слабом смысле факторизационные задачи (2.7); ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 643 3) субоператор рассеяния sc(ζ), определяемый соотношениями (2.8), принад- лежал классу Ñ(Uψc , Yϕc). При выполнении этих условий все такие SI-дилатации θ функции c(z) описыва- ются формулой θ(z) =  (b1scb2)(z) b1(z)ϕc(z) 0 ψc(z)b2(z) c(z) IU 0 IU 0 , (4.8) где {b1, b2} — произвольный знаменатель функции sc(ζ). Доказательство. Пусть θ ∈ SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) — двусторонне (J1, J2)- внутренняя SI-дилатация функции c(z) с минимальными потерями. Тогда для блоков θ(z) имеем c ∈ `(U), α ∈ Sin(U1, Y1), β ∈ H2(U, Y1), γ∼ ∈ H2(U,U1). Из того, что для θ почти всюду при \|ζ\| = 1 в (3.16), (3.17) имеют место равенства (в слабом смысле), следует, что ϕ = β и ψ = γ — решения задач a) и b) в (2.7) соответственно, удовлетворяющие условию (4.3), и в слабом смысле справедливо соотношение α(ζ)∗β(ζ) = γ(ζ)∗ почти всюду при \|ζ\| = 1. (4.9) Тогда функции β и γ представимы в виде (4.2), где b1 и b2 — некоторые двусторонне внутренние функции со значениями из B(Yϕc , Y1) и B(U1, Uψc) соответственно. Подставляя в (4.9) выражения для β и γ из (4.2), получаем b2(ζ)α(ζ)∗b1(ζ)ϕc(ζ) = ψc(ζ)∗ почти всюду при \|ζ\| = 1. Сравнивая это равенство с соотношениями (2.8), определяющими функцию sc(ζ), видим, что α(ζ) = b1(ζ)sc(ζ)b2(ζ) почти всюду при \|ζ\| = 1. (4.10) Учитывая, что α — двусторонне внутренняя функция со значениями из B(U1, Y1), получаем, что {b1, b2} — знаменатель функции sc(ζ). Формулы (4.2) и (4.10) пока- зывают, что θ(z) представима в виде (4.8). Обратно, пусть c ∈ `(U), разрешимы в слабом смысле факторизационные за- дачи в (2.7) и для субоператора рассеяния sc(ζ) существует знаменатель {b1, b2}. Определим функцию θ(z) по формуле (4.8). Получим, что θ(ζ) принимает (J1, J2)- унитарные (в слабом смысле) значения почти всюду при \|ζ\| = 1. Использовав преобразование Потапова – Гинзбурга S над функцией θ (см. [15] и [30], § 4.3), убедимся, что S(ζ) принимает унитарные значения почти всюду при \|ζ\| = 1. Нетрудно проверить, что все блоки функции S будут принадлежать соответст- вующим классам Смирнова (проверку этого факта, как и корректности обратно- го преобразования Потапова – Гинзбурга для рассматриваемого случая мы предо- ставляем читателю, см. [31, 32]), а это значит, что, в силу принципа максимума, S(z) является сжимающей в D функцией. Следовательно, функция θ(z) являет- ся двусторонне (J1, J2)-сжимающей в D. Таким образом, θ принадлежит классу ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 644 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ). Поскольку b1 и b2 — двусторонне внутренние функции, для θ выполнено условие (4.3). Значит, θ является двусторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатацией функции c(z) с минимальными потерями. В случае, когда dimU < ∞, имеет неформальный смысл функция ϑ(ζ), опре- деленная в (4.5), и тогда (4.8) можно переписать в виде θ(ζ) =  b1(ζ) 0 0 0 IU 0 0 0 IU ϑ(ζ)  b2(ζ) 0 0 0 IU 0 0 0 IU . (4.8∗) Будем называть двусторонне (J1, J2)-внутреннюю SI-дилатацию θ минималь- ной, если ее нельзя представить в виде θ =  u 0 0 0 IU 0 0 0 IU  θ̃  v 0 0 0 IU 0 0 0 IU , (4.11) где θ̃ — функция класса SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ), а u и v — двусторонне внутренние функции, хотя бы одна из которых не постоянная. Теорема 4.4. Двусторонне (J1, J2) -внутренняя SI-дилатация θ функции c ∈ ∈ `(U) с минимальными потерями является минимальной тогда и только тогда, когда соответствующий ей знаменатель {b1, b2} субоператора рассеяния sc(ζ) минимален. Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из описания (4.8) SI-дилата- ции θ и определений минимальных SI-дилатаций и минимальных знаменателей. Назовем двусторонне (J1, J2)-внутреннюю SI-дилатацию θ функции c ∈ `(U) оптимальной (∗-оптимальной), если ее блок β (γ) является внешней (∗-внешней) функцией. Легко видеть, что все оптимальные (∗-оптимальные) SI-дилатации по- лучаются по формуле (4.8) при правых (соответственно, левых) знаменателях функ- ции sc(ζ). Теорема 4.5. Двусторонне (J1, J2)-внутренняя SI-дилатация θ с минималь- ными потерями является минимальной и оптимальной (∗-оптимальной) тогда и только тогда, когда соответствующий знаменатель функции sc(ζ) является минимальным правым (соответственно, левым). Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из теорем 6, 7 и определения оптимальной (∗-оптимальной) SI-дилатации. 5. Реализация пассивных двусторонне устойчивых систем сопротивле- ния. 5.1. Реализация минимальных двусторонне устойчивых пассивных сис- тем сопротивления. Пусть θ — двусторонне (J1, J2)-внутренняя SI-дилатация функции c ∈ `(U). Рассмотрим следующую функциональную модель ˙̃ΣJ1,J2 = = ( ˙̃A, ˙̃B, ˙̃C, ˙̃D; Ẋ, Ũ , Ỹ ) простой консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI с матрицей прохождения θ̃J1,J2 ≡ θ в D класса SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ): ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 645 Ũ = U1 ⊕ U ⊕ U, Ỹ = Y1 ⊕ U ⊕ U, Ẋ = H2(Y1) αH2(U1), x ∈ Ẋ, u1 ∈ U1, u ∈ U, ˙̃Ax = ζ−1 [x(ζ)− x(0)] , ˙̃B = [ K̇ Ḃ 0 ] , K̇u1 = ζ−1 [α(ζ)− α(0)]u1, Ḃu = ζ−1 [β(ζ)− β(0)]u, ˙̃C =  Ṁ Ċ 0 , Ṁx = x(0), Ċ ∈ B(Ẋ, U) : (Ċx, u)U = (x, β(ζ)u)L2(Y1), ˙̃D =  Ṡ Ṅ 0 L̇ Ḋ IU 0 IU 0 , Ṡu1 = α(0)u1, Ṅu = β(0)u, Ḋu = c(0)u, L̇ ∈ B(U1, U) : (L̇u1, u)U = (K̇u1, Ḃu)U + (Ṡu1, Ṅu)U . (5.1) Простота системы прохождения ˙̃Σ следует из того, что система Σ̇1 = ( ˙̃A, K̇, Ṁ , Ṡ; Ẋ, U1, Y1) по построению является простой консервативной системой рассеяния с двусторонне внутренней матрицей рассеяния α(z). Более того, система ˙̃Σ является минимальной, так как Σ̇1 минимальна, поскольку у нее A ∈ C00. Согласно теореме 3.1 система Σ̇ = ( ˙̃A, Ḃ, Ċ, Ḋ; Ẋ, U) является пассивной дву- сторонне устойчивой системой сопротивления с матрицей сопротивления c ∈ `(U). Если Σ — произвольная двусторонне устойчивая пассивная система сопро- тивления с матрицей сопротивления c(∈ `(U)), то ее можно рассматривать как часть некоторой простой консервативной системы прохождения Σ̃J1,J2 типа SI, матрица прохождения которой θ̃J1,J2 является двусторонне (J1, J2)-внутренней SI- дилатацией c(z) по теореме 4.1. Для Σ̃J1,J2 можно рассмотреть функциональную модель ˙̃ΣJ1,J2 , построенную по θ = θ̃J1,J2 по формулам (5.1). Она дает функцио- нальную модель Σ̇ для системы сопротивления Σ. Укажем, при каких SI-дилатациях θ такая система Σ̇ является минимальной. При этом рассматриваемые здесь функции θ не обязательно должны быть (J1, J2)- внутренними SI-дилатациями с минимальными потерями функции c. То, что SI-дилатация θ является минимальной, можно записать в виде двух условий: a) (α, γ)R = I, b) (α, β)L = I. (5.2) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 646 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Условие a) (b)) в (5.2) означает, что α и γ (α и β) не имеют нетривиального общего двусторонне внутреннего правого (соответственно, левого) делителя. Теорема 5.1. Пусть для c(z) существует двусторонне (J1, J2)-внутренняя SI-дилатация θ и Σ — двусторонне устойчивая пассивная система сопротивления, построенная по простой консервативной системе прохождения Σ̃J1,J2 с матри- цей прохождения θ̃J1,J2 ≡ θ в D как ее часть (по формулам (5.1)). Для того чтобы система Σ с матрицей сопротивления c(z) была управляемой (наблюдае- мой), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие a) (b)) в (5.2). Для того чтобы система Σ была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены оба условия в (5.2), т. е. чтобы двусторонне (J1, J2)-внутренняя SI-дилатация θ была минимальной. Доказательство. Пусть у α и β существует общий левый нетривиальный двусторонне внутренний делитель u. Рассмотрим функциональную модель Σ̇ = = ( ˙̃A, Ḃ, Ċ, Ḋ; Ẋ, U) системы Σ = (A,B,C,D;X,U), компоненты которой опре- делены в (5.1). Пусть D := H2(Y1) uH2(Y1). Получаем, что D 6= {0}, D ⊂ Ẋ (так как u — делитель α), ȦD ⊂ D и ĊD = {0}, так как Ċ∗U ⊂ βU = ub0ϕcU ⊂ ⊂ uH2(Y1) ⊥ D. Поэтому Ẋ 6= Ẋo Σ̇ , т. е. Σ̇ не наблюдаемая система. Обратно, пусть Ẋ 6= Ẋo Σ̇ . Рассмотрим D = Ẋ Ẋo Σ̇ . Ясно, что D ⊂ H2(Y1). По- скольку ȦD ⊂ D, по теореме Берлинга – Лакса – Халмоша существует внутренняя B(U2, Y1)-значная функция u такая, что D = H2(Y1) uH2(U2). Поскольку D = H2(Y1) uH2(U2) ⊂ H2(Y1) αH2(U1) = Ẋ, то αH2(U1) ⊂ uH2(U2). (5.3) Это означает, что u — внутренний левый делитель α. Из (5.3) следует, что α(ζ)L2(U1) ⊂ u(ζ)L2(U2). (5.4) Так как α(ζ) принимает унитарные значения почти всюду при \|ζ\| = 1, то α(ζ)L2(U1) = L2(Y1), и включение (5.4) возможно лишь тогда, когда u(ζ)L2(U2) = = L2(Y1), что выполняется тогда и только тогда, когда u является двусторонне внутренней функцией. При этом можно записать, U2 = Y1. Поскольку ĊD = {0}, то Ċ∗U ⊂ βU ⊂ D⊥ = uH2(Y1), и так как β ∈ H2(U, Y1), то u — левый делитель β. Положим θ̃(ζ) :=  u(ζ)∗ 0 0 0 IU 0 0 0 IU  θ(ζ), где θ(ζ) понимается в слабом смысле, введенном в пп. 4.3. Функция θ̃(z) из D в B(Ũ , Ỹ ) является двусторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатацией для c(z). С ее помощью легко получаем представление θ в виде (4.11), где v = I и u — непо- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 647 стоянная двусторонне внутренняя функция. Значит, θ не является минимальной двусторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатацией c(z). Критерий управляемости проверяется аналогичным образом. 5.2. Реализация консервативных систем сопротивления. С помощью дву- сторонне (J1, J2)-внутренней SI-дилатации θ функции c ∈ `(U) реализуем теперь консервативную систему сопротивления с матрицей сопротивления c(z). Для этого построим простую консервативную систему прохождения Σ̃J1,J2 типа SI с матри- цей прохождения θ̃J1,J2 ≡ θ в D, например, по формулам (5.1). Далее проведем процедуру подключения к пассивной системе сопротивления Σ, являющейся час- тью системы прохождения Σ̃J1,J2 , каналов рассеяния такую же, как и в случае пассивной системы рассеяния в [15, с. 219] (предложение 9). Тогда полученная консервативная система сопротивления Σ̂ будет дилатацией пассивной системы Σ. Функциональная модель ˙̂Σ = ( ˙̂ A, ˙̂ B, ˙̂ C, ˙̂ D; ˙̂ X,U) системы Σ̂ = (Â, B̂, Ĉ, D̂; X̂, U) будет выглядеть следующим образом: ˙̂ X := K2(Y1)⊕ Ẋ ⊕ αH2(U1) = L2(Y1), x ∈ ˙̂ X, u ∈ U, ˙̂ Ax = ζ−1x(ζ), ˙̂ Bu = ζ−1β(ζ)u, ˙̂ C∗u = β(ζ)u, ˙̂ Du = c(0)u. (5.5) Справедлива следующая теорема. Теорема 5.2. Пусть θ ∈ SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) — двусторонне (J1, J2)-внут- ренняя SI-дилатация функции c ∈ `(U) и по θ определены простая консервативная система прохождения Σ̃J1,J2 типа SI с матрицей прохождения θ̃J1,J2 ≡ θ в D и ее часть — пассивная система сопротивления Σ с матрицей сопротивления c(z). Консервативная система сопротивления Σ̂, являющаяся дилатацией Σ и полученная из Σ подключением к ней каналов рассеяния, является простой тогда и только тогда, когда θ является (J1, J2)-внутренней SI-дилатацией функции c(z) с минимальными потерями. Доказательство. Рассмотрим функциональную модель ˙̂Σ системы Σ̂, постро- енную по формулам (5.5). Для нее имеем ˙̂ Xo ˙̂ Σ = ∞∨ 0 ( ˙̂ A∗ )n ˙̂ C∗U = ∞∨ 0 ζnβ(ζ)U, ˙̂ Xc ˙̂ Σ = ∞∨ 0 ˙̂ AnBU = −1∨ −∞ ζnβ(ζ)U. Отсюда сразу видно, что условие простоты ˙̂ X = ˙̂ Xo ˙̂ Σ ∨ ˙̂ Xc ˙̂ Σ системы ˙̂Σ будет выпол- нено в том и только в том случае, когда для функции β выполнено условие a) в (4.3). В силу равносильности условий a) и b) в (4.3) можно заключить, что утверждение теоремы имеет место. В заключение отметим, что справедлива следующая теорема (см. [24]). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 648 Д. З. АРОВ, Н. А. РОЖЕНКО Теорема 5.3. Пусть c ∈ `(U) и dimU <∞. Тогда для функции c(z) сущест- вует SI-дилатация θ ∈ SI ∩ UJ1,J2(D; Ũ , Ỹ ) с минимальными потерями тогда и только тогда, когда c имеет псевдопродолжение c− во внешность De круга D с ограниченной характеристикой Неванлинны в De, т. е. такая функция c−, что c−(1/z) ∈ N(U,U) и lim r↑1 c(rζ) = lim r↓1 c−(rζ) почти всюду при \|ζ\| = 1. Важным подклассом класса C00 является класс C0 сжатий A, введенный в [27], для которых определена минимальная функция mA(z). Результаты, касающиеся матриц сопротивления пассивных систем с основным оператором A класса C0, частично анонсированы в работе [13] и будут подробно опубликованы отдельно. В частности, будет рассмотрен случай, когда A ∈ C0(m) в смысле [27], на который переносятся наши результаты о двусторонне (J1, J2)-внутренних SI-дилатациях функций c ∈ `(U), полученные в [24] для случая dimU < ∞, т. е. когда c(z) — матрицы-функции класса Каратеодори. 1. Крейн М. Г. Основные положения теории представлений эрмитовых операторов с индексами дефекта (m, m) // Укр. мат. журн. – 1949. – № 2. – С. 1 – 66. 2. Крейн М. Г. Об обратных задачах для неоднородной струны // Докл. АН СССР. – 1952. – 82, № 5. – С. 881 – 884. 3. Кац И. С., Крейн М. Г. О спектральных функциях струны // Добавление II в монографии Ф. Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. – М., 1968. – С. 629 – 647. 4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. – М.: Наука, 1967. – 508 с. 5. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. О треугольном представлении линейных операторов и мультипли- кативных представлениях их характеристических функций // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 2. – С. 272 – 275. 6. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Об одном описании операторов сжатий, подобных унитарным // Функцион. анализ и его прил. – 1967. – 1, вып. 1. – С. 38 – 60. 7. Крейн М. Г. Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в гильбер- товом пространстве // Тр. Междунар. конф. математиков (М., 16 – 20 авг. 1966 г.). – М., 1968. – С. 189 – 216. 8. Бродский В. М., Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Общие теоремы о треугольном представлении линейных операторов и мультипликативном представлении их характеристических функций // Функцион. анализ и его прил. – 1969. – 3, вып. 1. – С. 1 – 27. 9. Willems Jan C. Dissipative dynamical systems. I. General theory // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1972. – 45. – P. 321 – 351. 10. Willems Jan C. Dissipative dynamical systems. II. Linear systems with quadratic supply rates // Ibid. – P. 352 – 393. 11. Лившиц М. С. Операторы, колебания, волны. – М.: Наука, 1966. – 298 с. 12. Бродский М. С., Лившиц М. С. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и про- межуточные системы // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, № 1. – С. 3 – 85. 13. Аров Д. З. Оптимальные и устойчивые пассивные системы // Докл. АН СССР. – 1979. – 247, № 2. – С. 265 – 268. 14. Аров Д. З. Устойчивые диссипативные линейные стационарные динамические системы рассе- яния // J. Oper. Theory. – 1979. – 2. – P. 95 – 126. 15. Аров Д. З. Пассивные линейные стационарные динамические системы // Сиб. мат. журн. – 1979. – 20. – P. 211 – 228. 16. Arov D. Z., Nudel’man M. A. Tests for the similarity of all minimal passive realizations of a fixed transfer function (scattering or resistance matrix // Mat. Sb. – 2002. – 193, № 6. – P. 791 – 810. 17. Аров Д. З. О методе Дарлингтона в исследовании диссипативных систем // Докл. АН СССР. – 1971. – 201, № 3. – С. 559 – 562. 18. Аров Д. З. Реализация матриц-функций по Дарлингтону // Изв. АН СССР. – 1973. – 37, № 6. – С. 1299 – 1331. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОТЕРЯМИ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ 649 19. Аров Д. З. Реализация канонической системы с диссипативным граничным условием на одном конце сегмента по коэффициенту динамической поддатливости // Сиб. мат. журн. – 1975. – 16, № 3. – С. 540 – 563. 20. Аров Д. З. О функциях класса П // Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1984. – 135. – С. 2645 – 2659. 21. Lindquist A., Pavon M. On the structure of state-space models for discrete-time stochastic vector processes // IEEE Trans. Auto. Contr. – 1984. – AC-29. – P. 418 – 432. 22. Lindquist A., Picci G. On a condition for minimality of Markovian splitting subspaces // Syst. and Contr. Lett. – 1982. – 1. – P. 264 – 269. 23. Lindquist A., Picci G. Realization theory for multivariate stationary Gaussian processes // SIAM J. Contr. and Optimiz. – 1985. – 23. – P. 809 – 857. 24. Аров Д. З., Роженко Н. А. Jp,m-внутренние дилатации матриц-функций класса Каратеодори, имеющие псевдопродолжение // Алгебра и анализ. – 2007. – 19, № 3. – С. 76 – 106. 25. Dewilde P. Input-output description of roomy systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. – 1976. – 14(4). – P. 712 – 736. 26. Douglas R. G., Helton J. W. Inner dilations of analytic matrix functions and Darlington synthesis // Acta sci. math. (Szeged). – 1973. – 34. – P. 61 – 67. 27. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом проcтранс- тве. – М.: Мир, 1970. – 431 с. 28. Аров Д. З. Линейные стационарные пассивные системы с потерями: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Одесса, 1983. – 298 с. 29. Адамян В. М., Аров Д. З. Об унитарных сцеплениях полуунитарных операторов // Мат. исслед. – 1966. – 1, вып. 2. – С. 3 – 64. 30. Alpay D., Dijksma A., Rovnyak J., de Snoo H. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernel Pontryagin spaces // Operator Theory. – Basel etc.: Birkhäuser, 1997. – 96. – 229 p. 31. Гинзбург Ю. П. О J-нерастягивающих операторах в гильбертовом пространстве // Научн. зап. Одес. пед. ин-та. – 1958. – 22, № 1. – С. 13 – 20. 32. Katsnelson V. E., Kirstein B. On the theory of matrix-valued functions belonging to the Smirnov class // Topics in Interpolation Theory / Eds H. Dym, B. Fritsche, V. Katsnelson, B. Kirstein. – Basel: Birkhäuser, 1997. – P. 299 – 350. Получено 22.01.2007 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5

Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния

Репозитарії

Схожі ресурси