O природе гамильтониана де Вранжа

Доведено теорему, яка була анонсована автором у 1995 р. у статті „Критерий дискретности спектра сингулярной канонической системы" („Функциональный анализ и его приложения", том 29, вип. 3). Л. де Вранж, розробляючи теорію гільбертових просторів цілих функцій (ми називаємо їх просторами...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Кац., И.С
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164189
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	O природе гамильтониана де Вранжа / И.С. Кац // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 658–678. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164189
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641892020-02-09T01:25:48Z O природе гамильтониана де Вранжа Кац., И.С Статті Доведено теорему, яка була анонсована автором у 1995 р. у статті „Критерий дискретности спектра сингулярной канонической системы" („Функциональный анализ и его приложения", том 29, вип. 3). Л. де Вранж, розробляючи теорію гільбертових просторів цілих функцій (ми називаємо їх просторами Крейна - де Вранжа, або скорочено K-B-просторами), прийшов до певного класу канонічних рівнянь фазової розмірності 2. Він показав, що для будь-якого заданого K-B-простору існує таке канонічне рівняння згаданого класу, яке відроджує ланцюг К-В-просторів, що входять один до одного. Гамільтоніани таких канонічних рівнянь називаємо гамільтоніанами де Вранжа. Виникло наступне питання: яким повинен бути гамільтоніан якогось канонічного рівняння для того, щоб він був гамільтоніаном де Вранжа. Основна теорема цієї статті разом з теоремою 1 згаданої статті дають відповідь на це питання. We prove the theorem announced by the author in 1995 in the paper “Criterion for discreteness of spectrum of singular canonical system” (Functional Analysis and Its Applications, Vol. 29, No. 3). In developing the theory of Hilbert spaces of entire functions (we call them the Krein – de Branges spaces or, briefly, K-B spaces), L. de Branges arrived at some class of canonical equations of phase dimension 2. He proved that, for any given K-B space, there exists a canonical equation of the considered class such that it restores the chain of included K-B spaces. The Hamiltonians of such canonical equations are called the de Branges Hamiltonians. The following question arises: Under which conditions the Hamiltonian of some canonical equation should be a de Branges Hamiltonian? The basic theorem of the present paper together with Theorem 1 of the mentioned paper gives the answer to this question. 2007 Article O природе гамильтониана де Вранжа / И.С. Кац // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 658–678. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164189 517.942 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Кац., И.С O природе гамильтониана де Вранжа Український математичний журнал
description	Доведено теорему, яка була анонсована автором у 1995 р. у статті „Критерий дискретности спектра сингулярной канонической системы" („Функциональный анализ и его приложения", том 29, вип. 3). Л. де Вранж, розробляючи теорію гільбертових просторів цілих функцій (ми називаємо їх просторами Крейна - де Вранжа, або скорочено K-B-просторами), прийшов до певного класу канонічних рівнянь фазової розмірності 2. Він показав, що для будь-якого заданого K-B-простору існує таке канонічне рівняння згаданого класу, яке відроджує ланцюг К-В-просторів, що входять один до одного. Гамільтоніани таких канонічних рівнянь називаємо гамільтоніанами де Вранжа. Виникло наступне питання: яким повинен бути гамільтоніан якогось канонічного рівняння для того, щоб він був гамільтоніаном де Вранжа. Основна теорема цієї статті разом з теоремою 1 згаданої статті дають відповідь на це питання.
format	Article
author	Кац., И.С
author_facet	Кац., И.С
author_sort	Кац., И.С
title	O природе гамильтониана де Вранжа
title_short	O природе гамильтониана де Вранжа
title_full	O природе гамильтониана де Вранжа
title_fullStr	O природе гамильтониана де Вранжа
title_full_unstemmed	O природе гамильтониана де Вранжа
title_sort	o природе гамильтониана де вранжа
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164189
citation_txt	O природе гамильтониана де Вранжа / И.С. Кац // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 658–678. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kacis oprirodegamilʹtonianadevranža
first_indexed	2025-07-14T16:42:37Z
last_indexed	2025-07-14T16:42:37Z
_version_	1837641349207162880
fulltext	UDK 517.942 Y. S. Kac (Odes. nac. akad. pyw. texnolohyj) O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA ∗∗∗∗ We prove the theorem announced by the author in 1995 in the paper “Criterion for discreteness of spectrum of singular canonical system” (Functional Analysis and Its Applications, Vol. 29, No. 3). In developing the theory of Hilbert spaces of entire functions (we call them the Krein – de Branges spaces or, briefly, K-B spaces), L. de Branges arrived at some class of canonical equations of phase dimension 2. He proved that, for any given K-B space, there exists a canonical equation of the considered class such that it restores the chain of included K-B spaces. The Hamiltonians of such canonical equations are called the de Branges Hamiltonians. The following question arises: Under which conditions the Hamiltonian of some canonical equation should be a de Branges Hamiltonian? The basic theorem of the present paper together with Theorem 1 of the mentioned paper gives the answer to this question. Dovedeno teoremu, qka bula anonsovana avtorom u 1995 r. u statti „Kryteryj dyskretnosty spektra synhulqrnoj kanonyçeskoj system¥” („Funkcyonal\n¥j analyz y eho pryloΩenyq”, tom 29, vyp. 3). L. de BranΩ, rozroblqgçy teorig hil\bertovyx prostoriv cilyx funkcij (my nazyva[mo ]x prostoramy Krejna – de BranΩa, abo skoroçeno K-B-prostoramy), pryjßov do pevnoho klasu ka- noniçnyx rivnqn\ fazovo] rozmirnosti92. Vin pokazav, wo dlq bud\-qkoho zadanoho K-B-prostoru isnu[ take kanoniçne rivnqnnq zhadanoho klasu, qke vidrodΩu[ lancgh K-B-prostoriv, wo vxo- dqt\ odyn do odnoho. Hamil\toniany takyx kanoniçnyx rivnqn\ nazyva[mo hamil\tonianamy de BranΩa. Vynyklo nastupne pytannq: qkym povynen buty hamil\tonian qkohos\ kanoniçnoho riv- nqnnq dlq toho, wob vin buv hamil\tonianom de BranΩa? Osnovna teorema ci[] statti razom z teoremog91 zhadano] statti dagt\ vidpovid\ na ce pytannq. Cel\ nastoqwej rabot¥ — dokazatel\stvo teorem¥92 yz zametky avtora [1], ka- sagwejsq teorem I y II yz [2] (sm. takΩe teoremu940 yz [3]). Dlq toho çtob¥ b¥lo qsno, o çem ydet reç\, v p.95 pryveden rqd ponqtyj, svqzann¥x s teoryej prostranstv de BranΩa. Tam Ωe sformulyrovana y doka- zana osnovnaq teorema. V pred¥duwyx punktax pryveden¥ svedenyq o kanonyçe- skyx dyfferencyal\n¥x uravnenyqx fazovoj razmernosty92 y poroΩdaem¥x ymy lynejn¥x otnoßenyqx y operatorax, dokazan rqd yspol\zuem¥x pry doka- zatel\stve osnovnoj teorem¥ predloΩenyj ob πtyx lynejn¥x otnoßenyqx y operatorax, pryveden¥ neobxodym¥e svedenyq ob R-funkcyqx. 1. O kanonyçeskyx uravnenyqx fazovoj razmernosty(2. 1.1. Kanony- çeskye uravnenyq. Pust\ I ⊂ R — zadann¥j promeΩutok s lev¥m koncom v toçke a y prav¥m v toçke b ( – ∞ ≤ a < b < + ∞ ) , H ( t ) = a t b t b t c t ( ) ( ) ( ) ( )     — za- dannaq na I ( 2 × 2 ) -mernaq vewestvennaq πrmytovo neotrycatel\naq matryca- funkcyq, summyruemaq na lgbom koneçnom zamknutom promeΩutke ∆ ⊂ I. Ras- smotrym kanonyçeskoe dyfferencyal\noe uravnenye dx dt J = x tH ( )ζ (1.1) na I dlq vektor-funkcyy x ( t ) = ( ( ), ( ))x t x t1 2 , v kotorom ζ — kompleksn¥j parametr y J = 0 1 1 0 −    . Matrycu-funkcyg H ( t ) nazovem hamyl\tonyanom uravnenyq (1.1). Lev¥j (prav¥j) konec yntervala I naz¥vaem rehulqrn¥m, esly hamyl\tonyan H ( t ) ∗ PodderΩana hrantom UK2-2811-OD-06 Mynysterstva obrazovanyq y nauky Ukrayn¥. © Y. S. KAC, 2007 658 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 659 summyruem v pravoj (levoj) okrestnosty πtoho konca. V protyvnom sluçae eho naz¥vaem synhulqrn¥m. Ne narußaq obwnosty, budem rassmatryvat\ tol\ko ta- kye hamyl\tonyan¥, u kotor¥x tr H ( t ) = 1 ∀ t ∈ I . ∏toho vsehda moΩno dobyt\- sq putem zamen¥ v (1.1) nezavysymoj peremennoj. Takoj hamyl\tonyan naz¥vaem normyrovann¥m. Teper\ lev¥j (prav¥j) konec yntervala I okaz¥vaetsq synhu- lqrn¥m v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda a = – ∞ ( b = + ∞ ) . V sluçae, kohda konec yntervala I rehulqren, budem sçytat\, esly ne ohovoreno protyvnoe, çto koncevaq toçka prynadleΩyt I. Vektor-funkcyg u ( t ) = ( u1 ( t ) , u2 ( t )) naz¥va- em reßenyem dyfferencyal\noho uravnenyq (1.1), esly u ( t ) absolgtno nepre- r¥vna na I y ravenstvo du t dt J ( ) = ζ u ( t ) H ( t ) v¥polnqetsq pry poçty vsex t ∈ I . 1.2. Lynejn¥e otnoßenyq y operator¥, poroΩdaem¥e kanonyçeskymy uravnenyqmy. Pust\ M — lynejnoe mnoΩestvo vsex yzmerym¥x y poçty vsg- du koneçn¥x na I vektor-funkcyj f ( t ) = ( f1 ( t ) , f2 ( t )) s estestvenn¥m obrazom opredelenn¥my operacyqmy sloΩenyq y umnoΩenyq na skalqr yz C . Opredelenye(1.1. Uporqdoçennug paru { f , g } 1 πlementov yz M otno- sym k l, esly f absolgtno neprer¥vna na I y pry poçty vsex t ∈ I df t dt J ( ) = g ( t ) H ( t ) . (1.2) Oçevydno, l — lynejnoe otnoßenye v M . Eho oblast\ opredelenyq, t. e. mnoΩestvo { f ∈ M : { f , g } ∈ l dlq xotq b¥ odnoho g ∈ M } oboznaçym çe- rez99� . Opredelenye(1.2. Vektor-funkcyg u ( t ) = ( u1 ( t ) , u2 ( t )) budem naz¥vat\ reßenyem uravnenyq dx dt J = g ( t ) H ( t ) , (1.3) hde g ( t ) — zadannaq vektor-funkcyq yz M, esly { u , g } ∈ l . Qsno, çto vektor-funkcyq u ( t ) = ( u1 ( t ) , u2 ( t )) qvlqetsq reßenyem uravne- nyq (1.1) v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda { u , ζ u } prynadleΩyt l . Lehko ubedyt\sq, çto dlq { v , w } ∈ l , { f , g } ∈ l y lgb¥x t1 , t2 ∈ I spraved- lyvo „toΩdestvo LahranΩa” f t t w t dt g t t t dt t t t t ( ) ( )( ( )) ( ) ( )( ( ))H H∗ ∗∫ ∫− 1 2 1 2 v = f t t f t t t t 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )v v−( ) . (1.4) Op¥t yzuçenyq uravnenyq Íturma – Lyuvyllq y uravnenyq strun¥ podska- z¥vaet pry pervom vzhlqde na (1.4), çto dlq postroenyq na osnove lynejnoho ot- noßenyq l πrmytova operatora v hyl\bertovom prostranstve „naybolee estest- venn¥m” qvlqetsq kvazyhyl\bertovo prostranstvo (sm. [4]) H = f M f f t t f t dtH I ∈ = < ∞         ∫ ∗: ( ) ( )( ( ))2 H 1 Symvol { , }⋅ ⋅ v nastoqwej rabote prymenqetsq dlq oboznaçenyq uporqdoçennoj par¥ πlementov lgboj pryrod¥. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 660 Y. S. KAC so skalqrn¥m proyzvedenyem ( , )f u H : = I f t t u t dt∫ ∗( ) ( )( ( ))H , a zatem y hyl\bertovo prostranstvo � = H / θ , hde θ = f H f H∈ ={ }: 0 . ∏lement¥ prostranstva � budem oboznaçat\ stroçn¥my hotyçeskymy bukvamy y predstavlqt\ yx kak mnoΩestva vektor-funkcyj yz H. Esly � ∈ � , to za- pys\ f ∈ � oznaçaet, çto vektor-funkcyq f ∈ H — odna yz vektor-funkcyj, vxo- dqwyx v klass �, πkvyvalentn¥x po norme ⋅ H ; budem hovoryt\, çto f pred- stavlqet99�. Opredelenye(1.3. Vektor-funkcyg f ∈ H budem otnosyt\ k mnoΩestvu H ′, esly mnoΩestvo t I f t∈ ≠{ }: ( ) ( , )0 0 ohranyçeno. Polahaem ′� : = : = � � �∈ ′ ≠ ∅{ }: ∩ H . V sootvetstvyy s πtym opredelenyem, esly oba konca promeΩutka I rehu- lqrn¥, to H ′ = H y, sledovatel\no, � ′ = � . Opredelenye(1.4. Uporqdoçennug paru { � , � } πlementov yz � budem ot- nosyt\ k mnoΩestvu S, esly suwestvugt takye f ∈ � , g ∈ � , çto: 1) ( f, g ) ∈ ∈ l ; 2) suwestvugt t1 , t2 ∈ I , t1 < t2 , takye, çto f ( t ) = ( 0, 0 ) pry lgb¥x t9∈ ∈ ( I \ ( t1 , t2 )) . Qsno, çto S — lynejnoe otnoßenye v � y, bolee toho, v � ′ ; eho oblast\ opredelenyq oboznaçym çerez � ( S ) . Yz (1.4) sleduet, çto S ⊂ S ∗ (sm. termy- nolohyg, prynqtug v [5 – 7]) 2. Nas ynteresuet, qvlqetsq ly S operatorom v � , t. e. sleduet ly yz toho, çto { � , � } ∈ S y � = θ , ravenstvo � = θ . ∏to bessporno tak, kohda rank H ( t ) = 2 pry poçty vsex t ∈ I . Odnako ravenstvo rank H ( t ) = 1 daΩe pry vsex t ∈ I ewe ne oznaçaet, çto S ne qvlqetsq operatorom. V πtom voprose osobug rol\ yhra- gt tak naz¥vaem¥e H -nedelym¥e promeΩutky ( H -n.p. ) . Opredelenye(1.5 3 . PromeΩutok ∆ ⊂ I naz¥vaem (sleduq [9 – 11]) H -ne- delym¥m typa ϕ, esly H ( t ) = ξ ξϕ ϕ T pry poçty vsex t ∈ ∆ , hde ξϕ = cos sin ϕ ϕ     — matryca-stolbec, T — symvol transponyrovanyq. H -n.p. naz¥vaem maksymal\n¥m, esly on ne qvlqetsq pravyl\noj çast\g druhoho H -n.p. Toçka t ∈ I naz¥vaetsq H -osobennoj, esly ona qvlqetsq vnutrennej toç- koj kakoho-nybud\ H -n.p. Vse ostal\n¥e toçky t ∈ I naz¥vagtsq H -neoso- benn¥my. Opredelenye(1.6. Budem hovoryt\, çto lev¥j (prav¥j) konec promeΩutka I v¥roΩden, esly on rehulqren y ymeetsq maksymal\n¥j H -n.p. , lev¥j (pra- v¥j) konec kotoroho sovpadaet s a ( b ). ∏tot maksymal\n¥j H -n.p. naz¥- vaem v¥roΩdagwym, a eho prav¥j konec oboznaçaem çerez a 0 (lev¥j — çe- rez99b0 ). 2 V sootvetstvyy s πtoj termynolohyej S S∗ = ∈ = ∀ ∈{ ( ) ( ) }{ , } : , , { , }� � � � � � � � �� 2 . 3 Osobug rol\ H -n.p. zametyl vperv¥e L. de BranΩ [8], ne dav ym nazvanyq y ne razdelyv yx po typam. H -osobenn¥e y H -neosobenn¥e toçky on nazval sootvetstvenno synhulqrn¥my y rehu- lqrn¥my po otnoßenyg k H . M¥ Ωe termyn¥ „rehulqrn¥j” y „synhulqrn¥j” yspol\zuem dlq klassyfykacyy koncov promeΩutka I. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 661 V rabotax [9, 10], [11] 4 ustanovleno, çto S qvlqetsq operatorom v � (y da- Ωe v � ′ ) v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda otsutstvugt H -n.p. Pry lgbom ϕ ∈ R spravedlyvo ravenstvo ξ ξϕ ϕ T J = 0. Poπtomu, kak lehko ubedyt\sq, esly ∆ — H -n.p. typa ϕ, to f t( )ξϕ = const na ∆ dlq lgboj vek- tor-funkcyy f ∈ � (sm. lemmu92.1 [11]). ∏to podskaz¥vaet razumnost\ vvede- nyq v sledugwem opredelenyy podprostranstv Ĥ y �̂ prostranstv H y � sootvetstvenno. Opredelenye(1.7. Vektor-funkcyg f ∈ H budem otnosyt\ k Ĥ , esly dlq lgboho maksymal\noho H -n.p. ∆ ymeetsq takaq konstanta c ( f, ∆ ) ∈ C , çto f t( )ξϕ = c ( f, ∆ ) pry poçty vsex t ∈ ∆ , hde ϕ — t y p πtoho H -n.p. Polahaem, çto ˆ : : ˆ� � � �= ∈ ≠ ∅{ }∩ H , ˆ : { , } : ˆS S= ∈ ∈{ }� � � � . Esly net H -n.p., to Ĥ = H y, sledovatel\no, �̂ = �, Ŝ = S. Opredelenye(1.8. Esly lev¥j (prav¥j) konec promeΩutka I qvlqetsq v¥- roΩdenn¥m, to vektor-funkcyg f ∈ H otnosym k mnoΩestvu ˆ̂H , esly f ∈ Ĥ 9y c f a a( , [ , ])0 0= ( )( , [ , ])c f b b0 0= ; ′ = ′ˆ̂ : ˆ̂H H H∩ , ˆ̂ : ˆ : ˆ̂� � � �= ∈ ≠ ∅{ }∩ H , ′ = ′ˆ̂ ˆ̂� � �∩ . Ustanovleno ([11], lemma96.1, teorem¥96.1 y 7.2), çto Ŝ — dejstvugwyj v �̂ πrmytov operator, � �( )ˆ ˆ̂S ⊂ ′ , � �( )ˆ ˆ̂S = ′ , � �( ) ˆS∗ = . Ŝ∗ (esly soprqΩenye rassmatryvat\ v �̂ ) qvlqetsq operatorom v �̂, y on realyzuetsq lynejn¥m sootnoßenyem l v tom sm¥sle, çto dlq lgboho πlementa { , } ˆ� � ∈ ∗S suwestvu- gt f ∈ � , g ∈ � , dlq kotor¥x { f, g } ∈ l . Otmetym, çto v sluçae, kohda – ∞ qvlqetsq koncom maksymal\noho H -n.p. ∆ typa ϕ, dlq lgboj vektor-funkcyy f ∈ ∈� �̂ ymeem f t( )ξϕ = c ( f, ∆ ) pry poçty vsex t ≤ a0 , hde a0 — prav¥j konec promeΩutka ∆ . Sledovatel\no, ∞ > ∆ ∫ ∗f t t f t dt( ) ( ) ( )H = ∆ ∆∫ c f dt( , ) 2 = − ∞ ∫ a c f dt 0 2( , )∆ y poπtomu c ( f, ∆ ) = 0, a � � 2 = f H 2 = I f t t f t dt 0 ∫ ∗( ) ( ) ( )H , hde I0 = I a∩ [ )0 + ∞ . Esly Ωe, krome toho, � �∈ ( )Ŝ , to vektor-funkcyq f ∈( )� �∩ neprer¥vna. Sledovatel\no, f a f a1 0 2 0( )cos ( )sinϕ ϕ+ = 0. Takym obrazom, sluçaj, kohda lev¥j konec promeΩutka I synhulqren y – ∞ qvlqetsq lev¥m koncom H -n.p., ravnosylen sluçag rehulqrnosty levoho konca prome- Ωutka I, a prynadleΩnost\ � �∈ mnoΩestvu �( )Ŝ vozmoΩna lyß\ v tom sluçae, kohda vektor-funkcyq f ∈( )� �∩ udovletvorqet v toçke a0 ukazanno- mu v¥ße uslovyg. Analohyçnaq sytuacyq voznykaet, kohda prav¥j konec syn- hulqren y + ∞ qvlqetsq prav¥m koncom H -n.p. V dal\nejßem m¥ ysklgçaem yz rassmotrenyq sluçay, kohda synhulqrn¥j konec qvlqetsq koncom H -n.p. 4 Rabota [11] — neskol\ko vydoyzmenenn¥j varyant bolee yzvestnoj rabot¥ avtora [10], koto- raq b¥la deponyrovana v 1984 hodu. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 662 Y. S. KAC Lehko ponqt\, çto operator Ŝ∗ zamknut. Poskol\ku ˆ ˆS S⊂ ∗, zam¥kanye Ŝ operatora Ŝ takΩe qvlqetsq operatorom. Opredelenye(1.9. Budem hovoryt\, çto kanonyçeskoe uravnenye (1.1) na promeΩutke I ymeet dyskretn¥j spektr, esly lybo operator Ŝ samosoprq- Ωen v �̂ y eho spektr dyskreten (t.e. ne ymeet predel\n¥x toçek, otlyçn¥x ot + ∞ y – ∞ ), lybo Ŝ ymeet xotq b¥ odno samosoprqΩennoe v �̂ rasßyrenye s dyskretn¥m spektrom. Otmetym, çto dlq v¥polnenyq posledneho trebovanyq dostatoçno, çtob¥ su- westvovalo ymegwee dyskretn¥j spektr rasßyrenye operatora Ŝ s v¥xodom yz �̂ . 2. Nekotor¥e svedenyq ob R-funkcyqx. Opredelenye(2.1. Holomorfnug v kaΩdoj yz poluploskostej C+ : = : = ζ ζ∈ >{ }C Im 0 y C– : = ζ ζ∈ <{ }C Im 0 funkcyg f ( )ζ naz¥vaem R- funkcyej, esly Im ξ Im ( )f ζ ≥ 0 ∀ ∈ + −ζ ( )C C∪ y f f( ) ( )ζ ζ= pry Imζ ≠ ≠ 0. MnoΩestvo vsex R-funkcyj oboznaçaem çerez ( R ) . Esly R-funkcyq prynymaet vewestvennoe znaçenye pry nevewestvennom ζ , to ona qvlqetsq vewestvennoj konstantoj. Takug R- funkcyg naz¥vaem v¥- roΩdennoj. Lgbaq R- funkcyq f ( ζ ) dopuskaet edynstvennoe predstavlenye f ( ζ ) = α β ζ λ ζ λ τ λf f fd+ + − − +     − ∞ + ∞ ∫ 1 1 1 2 ( ), Im ζ ≠ 0, (2.1) v kotorom α f ∈R, β f ≥ 0, a τf — neotrycatel\naq mera na borelev¥x mnoΩe- stvax yz R takaq, çto − ∞ + ∞ −∫ +( ) ( )1 2 1λ τ λd f < ∞ . (2.2) Konstanta βf opredelqetsq ravenstvom βf = lim ( ) y f i i↑ + ∞ η η , (2.3) pryçem predel v pravoj çasty (2.3) suwestvuet dlq lgboj funkcyy f ∈ ( R ) y qvlqetsq vewestvenn¥m neotrycatel\n¥m çyslom. Qsno, çto mnoΩestvo toçek, ymegwyx poloΩytel\nug τf -meru, maksymum sçetno. Esly τ λf ( )1 0= , τ λf ( )2 0= , hde λ λ1 2< , λ λ1 2, ∈R, to v sootvetstvyy s formuloj obrawe- nyq Styl\t\esa τ λ λf [ , ]1 2 = 1 0 1 2 π λ ε λ ε λ λ lim Im ( ) ↓ ∫ +f i d . (2.4) Meru τf budem naz¥vat\ spektral\noj meroj R - funkcyy f ( ζ ) , a ee nosytel\ σ τ[ ]f — spektrom πtoj R - funkcyy. Voobwe hovorq, R - funkcyq f sostoyt yz dvux çastej: „verxnej” y „nyΩ- nej” — funkcyy, opredelennoj na C+ , y funkcyy, opredelennoj na C– . Pravda, odna yz nyx vpolne opredelqet druhug. Verxnqq y nyΩnqq çasty R - funkcyy f ( ζ ) ne qvlqgtsq, voobwe hovorq, analytyçeskymy prodolΩenyqmy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 663 druh druha. Esly Ωe ymeetsq ynterval ( , )a b ⊂ R , τ f - mera kotoroho ravna nu- lg, to yntehral, vxodqwyj v pravug çast\ (2.1), ymeet sm¥sl ne tol\ko pry ζ ∈ +C y ζ ∈ −C , no y pry lgbom ζ ∈( , )a b y prynymaet tam vewestvenn¥e znaçenyq. V πtom sluçae verxnqq y nyΩnqq çasty R - funkcyy f ( ζ ) qvlqgtsq analytyçeskymy prodolΩenyqmy druh druha çerez πtot ynterval, prynymagwy- my na nem vewestvenn¥e znaçenyq. Obratno, esly, naprymer, verxnqq çast\ R - funkcyy f ( ζ ) prodolΩaetsq xotq b¥ po neprer¥vnosty na ynterval ( , )a b ⊂ R y prynymaet tam vewestvenn¥e znaçenyq, to v sylu formul¥ (2.4) τf - mera yn- tervala ( , )a b ravna nulg y, sledovatel\no, verxnqq y nyΩnqq çasty R -funk- cyy f ( ζ ) analytyçesky prodolΩagtsq druh v druha çerez πtot ynterval. V dal\nejßem, hovorq ob R - funkcyy, budem sçytat\, çto ona opredelena ne tol\ko na C C+ −∪ , no y na vsex yntervalax vewestvennoj osy, ymegwyx nule- vug τf -meru, ravenstvom (2.1). V svqzy s πtym R - funkcyq f ( ζ ) qvlqetsq me- romorfnoj v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda ee spektr σ τ[ ]f dyskreten, t. e. ne ymeet koneçn¥x predel\n¥x toçek y v πtom sluçae σ τ[ ]f sovpadaet s mno- Ωestvom polgsov funkcyy f ; ee polgs¥ prost¥, ee nuly takΩe vewestvenn¥ y prost¥ y stroho peremeΩagtsq s polgsamy. Druhye svedenyq ob R - funkcyqx moΩno najty v rabote [12]. 3. Hranyçnaq zadaça s kanonyçeskym dyfferencyal\n¥m uravneny- em((na yntervale s rehulqrn¥m lev¥m koncom y synhulqrn¥m prav¥m. 3.1.��Hranyçn¥e zadaçy y sootvetstvugwye prostranstva. Pust\ I = [ 0, + ∞ ) y H ( t ) — normyrovann¥j hamyl\tonyan, opredelenn¥j na I. V svqzy s prynqtoj v p.91 termynolohyej lev¥j konec promeΩutka I rehulqren, a prav¥j synhulqren. Napomnym, çto m¥ ysklgçaem zdes\ sluçaj, kohda + ∞ qvlqetsq prav¥m koncom H -n.p. Rassmotrym dve hranyçn¥e zadaçy: dx dt J = x H ( t ) ζ , t ∈ I , x t = 0 = ( 0, 1 ) , ( 3.10 ) dx dt J = x H ( t ) ζ , t ∈ I , x t = 0 = ( 1, 0 ) . ( 3.1π / 2 ) Pust\ ϕ ( t , ζ ) = ( ϕ1 ( t, ζ ) , ϕ2 ( t, ζ )) — reßenye (edynstvennoe) zadaçy ( 3.10 ), a ψ ( t , ζ ) = ( ψ1 ( t, ζ ) , ψ2 ( t, ζ )) — reßenye zadaçy ( 3.1π / 2 ) . S zadaçej ( 3.10 ) m¥ assocyyruem vvedenn¥e nyΩe prostranstva Ĥ0 y �̂0 , a takΩe operator Ŝ0, dejstvugwyj v �̂0 . V sluçae, kohda lev¥j konec prome- Ωutka I qvlqetsq koncom maksymal\noho H -n.p. ∆ typa90, m¥ hovorym, sle- duq [11], çto ymeet mesto ysklgçytel\n¥j sluçaj 5 dlq zadaçy ( 3.10 ), y pola- haem Ĥ0 = f H cf∈ ={ }ˆ : ,∆ 0 , �̂0 = � � �∈ ≠ ∅{ }ˆ : ˆ∩ H0 ; esly Ωe on ne ymeet mesta, sçytaem, çto ˆ ˆ� �0 = . Çerez ′Ĥ0 oboznaçaem Ĥ H0 ∩ ′ y polahaem ˆ ′�0 = � � �∈ ′ ′ ≠ ∅{ }ˆ : ˆ 0 0∩ H . S zadaçej ( 3.1π / 2 ) m¥ assocyyruem prostranstva ˆ /Hπ 2 y ˆ /�π 2 y dejstvug- wyj v ˆ /�π 2 operator ˆ /Sπ 2 . V sluçae, kohda lev¥j konec promeΩutka I qvlq- 5 V rabotax [10, 11] m¥ eho naz¥valy perv¥m ysklgçytel\n¥m. Zdes\ slovo „perv¥j” m¥ opus- tyly, ybo esly prav¥j konec promeΩutka I beskoneçen, tak naz¥vaem¥j vtoroj ysklgçytel\- n¥j sluçaj ne moΩet ymet\ mesta. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 664 Y. S. KAC etsq koncom maksymal\noho H -n.p. ∆ typa π / 2, m¥ hovorym, çto ymeet mes- to ysklgçytel\n¥j sluçaj dlq zadaçy ( 3.1π / 2 ), y polahaem ˆ /Hπ 2 = f H c f∈ ={ }ˆ : ( , )∆ 0 , ˆ /�π 2 = � � �∈ ≠ ∅{ }ˆ : ˆ /∩ Hπ 2 ; esly Ωe on ne ymeet mesta, sçytaem, çto ˆ /H π 2 = �̂. 3.2. Spektral\n¥e mer¥ hranyçn¥x zadaç. Rassmotrym preobrazovanye Φ, perevodqwee vektor-funkcyg f H∈ ˆ 0 v funkcyg ( )( )Φ f ζ = I f t t t dt∫ ∗( ) ( ) ( , )H ϕ ζ (3.2) peremennoj ζ . Opredelenye(3.1. Neotrycatel\naq na borelev¥x mnoΩestvax yz R mera τ naz¥vaetsq spektral\noj meroj hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ), esly preobrazova- nye Φ yzometryçesky otobraΩaet ′Ĥ0 v Lτ ( )( , )2 − ∞ + ∞ , t . e. ymeet mesto „ravenstvo Parsevalq” R ∫ ( )( ) ( )Φ f dλ τ λ2 = I f t t f t dt∫ ∗( ) ( )( ( ))H ∀ ∈ ′f Ĥ0 , (3.3) a v sluçae, kohda πto preobrazovanye perevodyt ′Ĥ0 v plotnug çast\ Lτ ( )2 , spektral\naq mera naz¥vaetsq ortohonal\noj. Analohyçnoe opredelenye prynymaetsq dlq hranyçnoj zadaçy ( 3.1π / 2 ). 3.3. Operator¥, poroΩdaem¥e hranyçn¥my zadaçamy. Opredelenye(3.2. ∏lement ( , ) ˆ� � �∈ 2 budem otnosyt\ k Ŝ0 ( k ˆ /Sπ 2 ) v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda suwestvuet takaq vektor-funkcyq f ∈� , çto: 1) ( , )� � ∈l dlq xotq b¥ odnoj y, sledovatel\no, lgboj vektor-funkcyy g ∈�; 2) f ( )0 00ξ = ( )( ) /f 0 02ξπ = ; 3) suwestvuet tf ∈ I takaq, çto f ( t ) = ( 0 , 0 ) ∀ t ∈ [ tf , + ∞ ) . Opredelenn¥e zdes\ lynejn¥e otnoßenyq Ŝ0 y ˆ /Sπ 2 qvlqgtsq operatora- my v �̂0 y ˆ /� π 2 sootvetstvenno ([11], teorema910.1). Bolee toho, yx oblasty opredelenyq plotn¥ v sootvetstvugwyx prostranstvax ([11], teorema99.3, opredelenyq97.2, 7.3 y zameçanye k poslednemu), t. e. Ŝ0 y ˆ /Sπ 2 — symmet- ryçeskye operator¥ v sootvetstvugwyx prostranstvax, y poπtomu Ŝ0 ∗ y ˆ /Sπ 2 ∗ — operator¥ (esly soprqΩenyq rassmatryvat\ v sootvetstvugwyx prostran- stvax). V dejstvytel\nosty operator¥ Ŝ0 y ˆ /Sπ 2 v suwestvennom samosoprq- Ωenn¥e, t. e. yx zam¥kanyq Ŝ0 y ˆ /Sπ 2 — samosoprqΩenn¥e operator¥. Doka- Ωem πto na prymere operatora Ŝ0. Otmetym snaçala, çto, kak ustanovleno v [11] (lemma98.1), para { , }� � yz � 2 prynadleΩyt Ŝ0 ∗ v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda suwestvuet takaq vektor-funkcyq f ∈� , çto: 1) { , }f g l∈ dlq xotq b¥ odnoj vektor-funkcyy g ∈�; 2) f ( )0 00ξ = . Poπtomu πlement � �∈ ˆ 0 moΩet b¥t\ sobstvenn¥m vektorom operatora Ŝ0 ∗ , sootvetstvugwym nevewestvennomu sobstvennomu çyslu λ tol\ko v tom sluçae, kohda suwest- vuet takaq vektor-funkcyq w ∈�, çto { , }w w lλ ∈ y w( )0 00ξ = , a πto vozmoΩno tohda y tol\ko tohda, kohda w t k t( ) ( )= ϕ λ , hde k — kakaq-to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 665 nenulevaq konstanta. Yz vewestvennosty hamyl\tonyana H v¥tekaet, çto ϕ λ ϕ λ( , ) ( , )t t= , a yntehral¥ I t t t dt∫ ∗ϕ λ ϕ λ( , ) ( ) ( , )H , I t t t dt∫ ∗ϕ λ ϕ λ( , ) ( ) ( , )H lybo oba koneçn¥ (y ravn¥), lybo oba beskoneçn¥ y, znaçyt, defektn¥e çysla operatora Ŝ0 lybo oba ravn¥ nulg (kohda yntehral¥ beskoneçn¥ y tohda ne suwestvuet v �̂0 sootvetstvugweho πtomu çyslu λ sobstvennoho vektora ope- ratora Ŝ0 ∗ ), lybo oba ravn¥91 (kohda yntehral¥ koneçn¥). Preobrazovanye Φ poroΩdaet dlq lgboho ζ ∈C dejstvugwyj na ˆ ′�0 funkcyonal Φ, opredelenn¥j ravenstvom Φ( , )� ζ = Φ( , )f ζ , hde f ∈ ∈ ′� �( ˆ )0 . Kak ustanovleno v § 11 yz [11], Φ qvlqetsq napravlqgwym funkcyonalom operatora Ŝ0 . Poskol\ku �( )Ŝ0 plotna v �̂0 , kak sleduet yz teorem¥91 yz [13], suwestvuet takaq neotrycatel\naq na borelevskyx mno- Ωestvax yz R mera τ, çto − ∞ + ∞ ∫ Φ( , ) ( )� λ τ λ2 d = � � 2 , (3.4) t. e. v¥polnqetsq (3.3) dlq f H∈ ′ˆ 0 . Tak b¥lo ustanovleno v [11] suwestvovanye spektral\noj funkcyy hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ) (daΩe v sluçae nevewestvenno- ho hamyl\tonyana). Kak dokazal L. de BranΩ ([8], teorema9VIII), πta hranyçnaq zadaça ymeet tol\ko odnu spektral\nug meru. Poπtomu, kak ustanovyl M. H. Krejn ([13], teorema92) (sm. takΩe [14, c. 172 – 203]), yz edynstvennosty spektral\noj mer¥ hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ) sleduet, çto raven nulg xotq b¥ odyn yz defektn¥x yndeksov operatora Ŝ0. Poπtomu oba ravn¥ nulg y, sledovatel\no, Ŝ0 — sa- mosoprqΩenn¥j operator. V sylu samosoprqΩennosty operatora Ŝ0 edynstvennaq spektral\naq mera τ hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ) svqzana so spektral\noj operator-funkcyej E( )λ πtoho operatora ravenstvom ([14], dokazatel\stvo teorem¥91) T d E∫ ( ( ) , )λ � � = T d∫ Φ( , ) ( )� λ τ λ2 ∀ ∈ ′� �̂0 (3.5) dlq lgboho boreleva mnoΩestva T ⊂ R . Bolee toho, esly doopredelyt\ Φ po neprer¥vnosty na �̂0 , to (3.4) y (3.5) budut spravedlyv¥ dlq lgboho � �∈ ˆ 0. Poskol\ku operator Ŝ0 qvlqetsq rasßyrenyem operatora Ŝ0, vvedennoho v p.91, spravedlyvo sledugwee predloΩenye. PredloΩenye A. Kanonyçeskoe uravnenye yz ( 3.10 ), rassmatryvaemoe na [ 0, + ∞ ) , ymeet dyskretn¥j spektr v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda edyn- stvennaq spektral\naq mera hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ) ymeet dyskretn¥j nosy- tel\, kotor¥j v sootvetstvyy s (3.5) sovpadaet so spektrom operatora Ŝ0 . PredloΩenye B. UtverΩdenyq, analohyçn¥e vsem pryvedenn¥m v¥ße dlq zadaçy ( 3.10 ), ymegt mesto dlq hranyçnoj zadaçy ( 3.1π / 2 ), no vo vsex oprede- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 666 Y. S. KAC lenyqx y rassuΩdenyqx vektor-funkcyg ϕ ( x , ζ ) nuΩno zamenyt\ na ψ ( x , ζ ) , prostranstva ′Ĥ0 , �̂0 , ˆ ′� — prostranstvamy ′ˆ /Hπ 2 , ˆ /� π 2, ˆ / ′� π 2 soot- vetstvenno, a operator Ŝ0 — operatorom ˆ /Sπ 2 . 3.4. Funkcyy Vejlq hranyçn¥x zadaç ( 3.10 ), ( 3.1ππππ / 2 ). Pust\, kak y v pp.93.1, I = [ 0, + ∞ ) . Dlq lgboho fyksyrovannoho t ∈ ( 0, + ∞ ) , lgb¥x ξ9∈ ∈ ( )( , )C+ − ∞ + ∞∩ y ζ ∈ C toçka w t( )( , )ξ ζ = ψ ζ ξ ψ ζ ϕ ζ ξ ϕ ζ 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t + + (3.6) prynadleΩyt C+ , y, kohda ξ probehaet C+ − ∞ + ∞∪ ( , ), toçka w t( )( , )ξ ζ pro- behaet kruh K t( )( )ζ , radyus kotoroho r t( )( )ζ = 1 [ ( , ), ( , )]( )ϕ ζ ϕ ζ⋅ t t , (3.7) hde symvol [ , ]( )u tv dlq vektor-funkcyj u ( t ) = ( u1 ( t ) , u2 ( t )), v ( t ) = ( v1 ( t ) , v2 ( t )) opredelqetsq ravenstvom [ , ]( )u tv = u t t u t t2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )v v− ( )( ) ( ( ))= ∗u t J tv . Pry t t2 1> K K( ) ( )( ) ( )2 1ζ ζ⊂ . Kak sleduet yz teorem¥ VIII [8], [ ( , ), ( , )]( )ϕ ζ ϕ ζ⋅ ⋅ t → ∞ pry t → + ∞ . (3.8) Poπtomu, kak sleduet yz (3.7), kruh K t( )( )ζ pry t → + ∞ stqhyvaetsq v toçku pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ +C . Sledovatel\no, pry ζ ∈ +C , a znaçyt y pry ζ ∈ −C , lim ( , ) ( , )t t t→ + ∞ ψ ζ ϕ ζ 1 1 = lim ( , ) ( , )t t t→ + ∞ ψ ζ ϕ ζ 2 2 = Ω0( )ζ , (3.9) hde Ω0( )ζ — nev¥roΩdennaq R-funkcyq. Edynstvennaq spektral\naq mera hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ) — πto spektral\naq mera R -funkcyy Ω0( )ζ , t. e. mera τ0 yz predstavlenyq Ω0( )ζ = α β ζ λ ζ λ λ τ λ0 0 2 0 1 1 + + − − +     −∞ + ∞ ∫ d ( ). (3.10) ∏to ustanavlyvaetsq metodamy, analohyçn¥my prymenqem¥m v teoryy hnezdq- wyxsq kruhov H. Vejlq y v spektral\noj teoryy strun¥ (sm. [15]). Edynstvennaq Ωe spektral\naq mera τπ /2 hranyçnoj zadaçy ( 3.1π / 2 ) qvlq- etsq spektral\noj meroj R - funkcyy Ωπ ζ/ ( )2 = – ( ( ))Ω0 1ζ − . Yz teoryy H. Vejlq sleduet ewe, çto pry Im z ≠ 0 reßenye χ ( t, ζ ) : = ψ ζ ζ ϕ ζ( , ) ( ) ( , )t t− Ω0 (3.11) kanonyçeskoho uravnenyq (1.1) na yntervale [ 0; + ∞ ) prynadleΩyt H, t. e. 0 + ∞ ∗∫ χ ζ χ ζ( , ) ( )( ( , ))t H t t dt < ∞ . (3.12) Bolee toho, χ ( t, ζ ) prynadleΩyt Ĥ , tak kak χ ( t, ζ ) ∈ � . Poskol\ku v sootvetstvyy s (1.4) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 667 2 0 i s s s ds t Im ( , ) ( )( ( , ))ζ χ ζ ϕ ζ∫ ∗H = [ ( , ), ( , )]( )ϕ ζ ϕ ζ⋅ ⋅ t , (3.13) pry Imζ ≠ 0 yz (3.8) sleduet, çto ϕ ζ( , )⋅ ne prynadleΩyt H, a tak kak χ ζ( , )⋅ prynadleΩyt H, v sootvetstvyy s (3.11) y (3.12) ψ ( t, ζ ) ne prynadleΩyt H y, voobwe, reßenyq, lynejno nezavysym¥e s χ ( ⋅ , ζ ) , ne prynadleΩat H. 3.5. Povedenye reßenyj kanonyçeskoho uravnenyq na synhulqrnom konce. Lemma(3.1. lim [ ( , ), ( , )]( ) t t → + ∞ ⋅ ⋅χ ζ χ ζ = 0, (3.14) t. e. lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t t → + ∞ −( )χ ζ χ ζ χ ζ χ ζ1 2 1 2 = 0, pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ + −( )C C∪ . Dokazatel\stvo. PoloΩym ω ζ ψ ζ ϕ ζ ( )( ) ( , ) ( , ) t t t = 1 1 pry ζ ∈ +C . Toçka ω ζ( )( )t leΩyt na hranyce kruha K t( )( )ζ (sm. (3.6)), a tak kak Ω0( )ζ takΩe prynadle- Ωyt kruhu K t( )( )ζ , to (sm. (3.7), (3.8)) Ω0( ) ( )( )ζ ω ζ− t ≤ 2r t( )( )ζ = 2 [ ( , ), ( , )]( )ϕ ζ ϕ ζ⋅ ⋅ t . (3.15) Poskol\ku ψ ζ ω ϕ ζ1 1( , ) ( , )( )t tt− = 0 y, krome toho, [ u, u ] ( t ) = 0 vsqkyj raz, kohda u1 ( t ) = 0, to ψ ζ ω ζ ϕ ζ ψ ζ ω ζ ϕ ζ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , ) ( )( ) ( )⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅[ ]t t t = 0. Vsledstvye toho, çto (sm. (3.11)) ψ ζ ω ζ ϕ ζ( , ) ( ) ( , )( )t tt− = χ ζ ω ζ ζ ϕ ζ( , ) ( ) ( ) ( , )( )( )t tt− − Ω0 , v sootvetstvyy s pred¥duwym ravenstvom ymeem χ ζ ω ζ ζ ϕ ζ χ ζ ω ζ ζ ϕ ζ( , ) ( ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅[ ]t tΩ Ω0 0 = 0 y, sledovatel\no ( ybo [ , ]( ) [ ]( )u t u tv v,= , [ , ] [ ]ku k uv , v= ∀ ∈k C ) , [ ( , ), ( , )]( )χ ζ χ ζ⋅ ⋅ t = 2 0Re ( ) ( ) [ ( , ), ( , )]( )( )( )ω ζ ζ ϕ ζ χ ζt t− ⋅ ⋅Ω – – ω ζ ζ ϕ ζ ϕ ζ( )( ) ( ) [ ( , ), ( , )]( )t t− ⋅ ⋅Ω0 2 . (3.16) V sootvetstvyy s (1.4), (3.11) – (3.13) [ ( , ), ( , )]( )ϕ ζ χ ζ⋅ ⋅ t = [ ( , ), ( , )]( ) Im ( , ) ( )( ( , ))ϕ ζ χ ζ ζ ϕ ζ χ ζ⋅ ⋅ + ∫ ∗0 2 0 i s s s ds t H = = O s s s ds t 0 1 2 ∫ ∗           ϕ ζ ϕ ζ( , ) ( )( ( , )) / H = = O t[ ( , ), ( , )]( ) /ϕ ζ ϕ ζ⋅ ⋅( )1 2 pry t → ∞ . Teper\ yz (3.7), (3.8), (3.15) y (3.16) v¥tekaet (3.14). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 668 Y. S. KAC 3.6. Kanonyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq na [[[[ 0, + ∞∞∞∞ )))) s dysk- retn¥m spektrom. Lemma(3.2. Kanonyçeskoe dyfferencyal\noe uravnenye (1.1) na promeΩut- ke [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda funkcyq Ω0( )ζ meromorfna. Dokazatel\stvo. Funkcyq Ω0( )ζ meromorfna v tom y tol\ko v tom sluçae (sm. konec p.92), kohda dyskreten ee spektr, t. e. dyskreten nosytel\ σ τ[ ]0 ee spektral\noj mer¥, kotoraq qvlqetsq takΩe edynstvennoj spektral\noj meroj hranyçnoj zadaçy ( 3.10 ). V sylu predloΩenyq9A (sm. pp.93.3) poslednee ymeet mesto v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda kanonyçeskoe uravnenye (1.1) na promeΩutke [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr. Lemma(3.3. Esly kanonyçeskoe dyfferencyal\noe uravnenye (1.1) na prome- Ωutke I = [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr, a funkcyq a ( t ) summyruema na πtom promeΩutke, to Ω0 0( ) = 0, hde Ω0 — R -funkcyq, meromorfnost\ kotoroj ustanovlena lemmoj93.2. Dokazatel\stvo. Kak otmeçalos\, edynstvennaq spektral\naq mera τπ /2 hranyçnoj zadaçy ( 3.1π / 2 ) qvlqetsq spektral\noj meroj R - funkcyy Ωπ ζ/ ( )2 = = – ( ( ))Ω0 1ζ − . Esly kanonyçeskoe uravnenye na [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr, to Ω0( )ζ — meromorfnaq R - funkcyq. Sledovatel\no, Ωπ ζ/ ( )2 — meromorfnaq R - funkcyq. Poskol\ku ψ ( t, 0 ) = ( 1; 0 ) ∀ t ∈ I , to 0 0 0 + ∞ ∗∫ ψ ψ( , ) ( )( ( , ))t t t dtH = 0 + ∞ ∫ a t dt( ) < ∞ y, sledovatel\no, toçka λ = 0 qvlqetsq toçkoj spektra edynstvennoj spekt- ral\noj mer¥ hranyçnoj zadaçy ( 3.1π / 2 ), a znaçyt y toçkoj spektra R - funk- cyy Ωπ ζ/ ( )2 , t. e. ee polgsom. Tak kak Ω0( )ζ = – ( ( ))/Ωπ ζ2 1− , to Ω0 0( ) = 0. Lemma(3.4. Esly kanonyçeskoe uravnenye yz ( 3.10 ) na promeΩutke I = [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr y funkcyq a ( t ) summyruema na I, to su- westvuet takaq opredelennaq na I × C vektor-funkcyq θ ( t, ζ ) = ( θ1 ( t, ζ ) , θ2 ( t, ζ )) , çto: 1) pry lgbom fyksyrovannom t ∈ I funkcyy θ1 ( t, ζ ) y θ2 ( t, ζ ) qvlqgt- sq cel¥my vewestvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ ; 2) θ1 ( t, 0 ) = 1, θ2 ( t, 0 ) = 0 pry lgbom t ∈ I ; 3) pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ C vektor-funkcyq θ ( t, ζ ) qvlqetsq nenulev¥m reßenyem kanonyçeskoho uravnenyq yz ( 3.10 ) na I ; 4) pry lgbom fyksyrovannom z ∈ C spravedlyvo ravenstvo lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t t → + ∞ −( )θ ζ θ ζ θ ζ θ ζ1 2 1 2 = 0. (3.17) Dokazatel\stvo. Esly kanonyçeskoe uravnenye yz ( 3.10 ) na promeΩutke I = [ 0, + ∞ ) ymeet dyskretn¥j spektr, to v sootvetstvyy s lemmamy 3.2 y 3.3 ymeet mesto predstavlenye Ω0( )ζ = P Q ( ) ( ) ζ ζ , (3.18) hde P ( )ζ y Q ( )ζ — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy, ne ymegwye nevewestven- n¥x nulej y takye, çto P ( 0 ) = 0, Q ( 0 ) = 1. Pust\ χ ζ( , )t — vektor-funkcyq, opredelennaq ravenstvom (3.11). PoloΩym pry lgbom ζ ∈ C ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 669 θ ( t, ζ ) = Q P( ) ( , ) ( ) ( , )ζ ψ ζ ζ ϕ ζt t− (3.19) y v sootvetstvyy s πtym θ1 ( t, ζ ) = Q P( ) ( , ) ( ) ( , )ζ ψ ζ ζ ϕ ζ1 1t t− , (3.20) θ2 ( t, ζ ) = Q P( ) ( , ) ( ) ( , )ζ ψ ζ ζ ϕ ζ2 2t t− . (3.21) Sohlasno Ωe (3.11), (3.18) y (3.19) pry Imζ ≠ 0 θ ( t, ζ ) = Q ( ) ( , )ζ χ ζt , (3.22) θ1 ( t, ζ ) = Q ( ) ( , )ζ χ ζ1 t , (3.23) θ2 ( t, ζ ) = Q ( ) ( , )ζ χ ζ2 t . (3.24) Funkcyy θ1 ( t, ζ ) y θ2 ( t, ζ ) , sohlasno (3.20) y (3.21), pry fyksyrovannom t ∈ I qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ , ybo takov¥ y P ( )ζ , y Q ( )ζ , y ϕ ζi t( , ) , y ψ ζi t( , ). UtverΩdenye91 dokazano. Poskol\ku ϕ ( t, ζ ) y ψ ( t, ζ ) — reßenyq hranyçn¥x zadaç ( 3.10 ) y ( 3.1π / 2 ) sootvetstvenno, to yz (3.19) sleduet, çto θ ( t, ζ ) — reßenye kanonyçeskoho dyfferencyal\noho uravnenyq yz πtyx zadaç na I = [ 0, + ∞ ) . Krome toho, θ ( 0, ζ ) = Q P( ) ( , ) ( ) ( , )0 0 0 0ψ ϕz z+ = 1 1 0 0 0 1⋅ + ⋅( ; ) ( ; ) = ( ; )1 0 , çto dokaz¥vaet utverΩdenye93. Tak kak pry ζ = 0 lgboe reßenye kanonyçes- koho uravnenyq yz ( 3.10 ) qvlqetsq konstantoj na I = [ 0, + ∞ ) , a θ ( 0, 0 ) = = ( , )1 0 , ustanovleno y utverΩdenye92. UtverΩdenye94 lemm¥ pry nevewest- venn¥x ζ v¥tekaet yz (3.23) y (3.24) y lemm¥93.1, a pry vewestvenn¥x ζ ono oçevydno, ybo θ1 ( t, ζ ) y θ2 ( t, ζ ) pry fyksyrovannom t — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy peremennoj ζ . 4. Kanonyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq na (((( – ∞∞∞∞ , 0 ]]]] s dyskret- n¥m spektrom. Rassmotrym na promeΩutke I = ( – ∞, 0 ] kanonyçeskoe urav- nenye (1.1) s normyrovann¥m hamyl\tonyanom H ( t ) . Naßa cel\ — dokaza- tel\stvo pryvedennoj nyΩe teorem¥94.1, kotoraq daet podxod k v¥qsnenyg pryrod¥ hamyl\tonyana de BranΩa. Dlq ee dokazatel\stva rassmotrym prome- Ωutok Ĩ = [ 0, + ∞ ) y opredelym na nem hamyl\tonyan ˜ ( )H t = ˜( ) ˜( ) ˜( ) ˜( ) a t b t b t s t     ravenstvom ˜ ( )H t = H ( )− t ∀ t ≥ 0, v sootvetstvyy s kotor¥m ˜( ) ( )a t a t= − , ˜( ) ( )b t b t= − , ˜( ) ( )c t c t= − , y rassmotrym kanonyçeskoe uravnenye dx t dt J ( ) = x t˜ ( )H ζ (4.1) na promeΩutke Ĩ = [ 0, + ∞ ) . V sootvetstvyy s πtym vvedem v rassmotrenye ly- nejnoe otnoßenye l̃ , poloΩyv, çto ( ˜, ˜) ˜f g l∈ , esly df dt J ˜ = ̃ ( ) ( )˜g t tH poçty vsgdu na Ĩ . Vvedem prostranstva, analohyçn¥e prostranstvam H, � , ′H , ′� , Ĥ , �̂, y lynejn¥e otnoßenyq, analohyçn¥e S, Ŝ (sm. p.91), dlq ˜ ( )H t na Ĩ = [ 0, + ∞ ) , oboznaçyv yx temy Ωe bukvamy y metkamy, no so znaç- kom99∼ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 670 Y. S. KAC Vvedem operacyg T, perevodqwug funkcyy, opredelenn¥e na I = ( – ∞, 0 ] , v funkcyy, opredelenn¥e na Ĩ = [ 0, + ∞ ) , v sootvetstvyy s pravylom ũ Tu= , esly ˜( ) ( )u t u t= − ∀ t ∈ [ 0, + ∞ ) . ∏to pravylo rasprostranqetsq na vektor-funkcyy: dlq ˜( )f t = ( )˜ ( ), ˜ ( )f t f t1 2 , f t( ) = ( )( ), ( )f t f t1 2 m¥ pyßem f̃ = Tf, esly f̃i = Tfi , i = 1, 2. Qsno, çto T yzometryçesky otobraΩaet prostranstvo H na H̃ , a prost- ranstvo Ĥ na ˆ̃H . Dlq � ∈ � y ˜ ˜� �∈ m¥ pyßem �̃ �= T , esly suwestvugt f ∈� y ˜ ˜f ∈ � takye, çto f̃ = Tf. Lehko ubedyt\sq, çto esly ( , )f g l∈ y f̃ = = Tf, g̃ = Tg, to ( ˜, ˜)f g l− ∈ . Otsgda lehko sleduet, çto preobrazovanye T, dejstvugwee yz � v �̃, yzometryçesky perevodyt operator S v operator – S̃ , y poπtomu, esly operator S ymeet samosoprqΩenn¥e rasßyrenyq s dyskretn¥m spektrom, to operator – S̃ y, sledovatel\no, operator S̃ ymegt samosoprq- Ωenn¥e rasßyrenyq s dyskretn¥m spektrom. Poπtomu kanonyçeskoe uravnenye (1.1) na I = ( – ∞, 0 ] ymeet dyskretn¥j spektr v tom y tol\ko v tom sluçae, koh- da dyskretn¥j spektr ymeet kanonyçeskoe uravnenye (4.1) na Ĩ = [ 0, + ∞ ) (sm. opredelenye91.9). Sledovatel\no, v sluçae, kohda a ( t ) summyruema na I, a zna- çyt ˜( )a t summyruema na Ĩ , v sootvetstvyy s lemmoj 3.4 suwestvuet oprede- lennaq na I × C vektor-funkcyq θ ( t, ζ ) = ( θ1 ( t, ζ ) , θ2 ( t, ζ )) takaq, çto: i) pry lgbom fyksyrovannom t ∈ I = ( – ∞, 0 ] funkcyy θ1 ( t, ζ ) y θ2 ( t, ζ ) qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ ; ii) θ1 ( t, 0 ) = 1, θ2 ( t, 0 ) = 0 pry lgbom t ∈ I ; iii) pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ C vektor-funkcyq θ ( t, ζ ) qvlqetsq ne- nulev¥m reßenyem kanonyçeskoho uravnenyq (4.1) na ( – ∞, 0 ] ; iv) pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ C lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t t → − ∞ −( )θ ζ θ ζ θ ζ θ ζ1 2 1 2 = 0. Otsgda v¥tekagt mnohye utverΩdenyq sledugwej teorem¥. Teorema(4.1. Esly kanonyçeskoe uravnenye (1.1) na promeΩutke I = ( – ∞, 0 ] ymeet dyskretn¥j spektr y a ( t ) summyruema na I, to suwestvuet takaq opredelennaq na ( – ∞, 0 ] × C vektor-funkcyq u ( t , ζ ) = ( u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ )) , çto: 1) pry fyksyrovannom t ∈ ( – ∞, 0 ] funkcyy u1 ( t, ζ ) y u2 ( t, ζ ) qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ ; 2) u1 ( t, 0 ) = 1, u2 ( t, 0 ) = 0 ∀ t ∈ ( – ∞, 0 ] ; 3) pry fyksyrovannom z ∈ C u ( t , z ) qvlqetsq nenulev¥m reßenyem kano- nyçeskoho uravnenyq (1.1) na ( – ∞, 0 ] ; 4) pry lgbom fyksyrovannom z ∈ C lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t u t u t u t u t → − ∞ −( )1 2 1 2ζ ζ ζ ζ = 0; (4.2) 5) pry lgbom fyksyrovannom t ∈ I cel¥e funkcyy u 1 ( t, ζ ) y u 2 ( t, ζ ) peremennoj ζ ne ymegt obwyx nulej; 6) pry lgbom fyksyrovannom t ∈ I = ( – ∞, 0 ] funkcyq u t u t 2 1 ( , ) ( , ) ζ ζ qvlqetsq nev¥roΩdennoj R-funkcyej . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 671 Dokazatel\stvo. PoloΩym u t T t tj j j( , ) ( , ) ( , )ζ θ ζ θ ζ= = −−1 ∀ t ∈ ( – ∞, 0 ] , j = 1, 2, y u ( t , ζ ) = ( u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ )) . Poskol\ku θ ( t , – ζ ) qvlqetsq reßeny- em uravnenyq dx t dt J ( ) = – x tH ( )ζ na [ 0, + ∞ ) , t. e. ( ( , ), ( , )) ˜θ ζ ζθ ζ⋅ − ⋅ ∈l , v sootvetstvyy s pryvedenn¥my v¥ße svojstvamy preobrazovanyq T ymeem ( ( , ), ( , ))u u l⋅ ⋅ ∈ζ ζ ζ , t. e. u ( t , ζ ) — nenu- levoe reßenye uravnenyq (1.1) na ( – ∞, 0 ] pry lgbom fyksyrovannom ζ . Ono qvlqetsq nenulev¥m, ybo takovo θ . UtverΩdenye93 dokazano. UtverΩdenye94 v¥tekaet yz utverΩdenyq iv), utverΩdenye92 — yz utverΩdenyq ii), a utverΩdenye91 — yz utverΩdenyq99i). DokaΩem utverΩdenye95. Dopustym, çto funkcyy u1 ( t0, ζ ) y u2 ( t0, ζ ) pry nekotorom fyksyrovannom t0 ∈ I ymegt obwyj nul\ ζ0 . Tohda reßenye u ( t , ζ0 ) = ( u1 ( t, ζ0 ) , u2 ( t, ζ0 )) uravnenyq (1.1) s ζ = ζ0 udovletvorqet uslovyg x t t= = 0 0 0( , ). Poπtomu u ( t , ζ0 ) = ( 0, 0) ∀ t ∈ ( – ∞, 0 ) , çto protyvoreçyt utverΩdenyg93. Zafyksyruem proyzvol\nug toçku t0 ∈ I y dokaΩem, çto u t u t 2 0 1 0 ( , ) ( , ) ζ ζ qvlqetsq nev¥roΩdennoj R - funkcyej. ∏tym budet ustanovleno utverΩdenye96 teorem¥. PoloΩyv v (1.4) t t2 0= , f ( t ) = v ( t ) = u ( t , ζ ) y v sootvetstvyy s πtym w ( t ) = = g ( t ) = ζ u ( t , ζ ) , poluçym 2 1 0 Im ( , ) ( )( ( , ))ζ ζ ζ t t u t t u t dt∫ ∗H = u t u t u t u t t t t t 2 1 1 2 1 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ ζ ζ ζ−( ) = = . Ustremyv t1 k – ∞, s uçetom (4.2) budem ymet\ 2 0 Im ( , ) ( )( ( , ))ζ ζ ζ − ∞ ∗∫ t u t t u t dtH = u t u t u t u t2 0 1 0 1 0 2 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ ζ ζ ζ− . (4.3) Pust\ Imζ ≠ 0. DokaΩem, çto u t1 0 0( , )ζ ≠ . Dopustym, çto u t1 0 0( , )ζ = . Tohda v sootvetstvyy s (4.3) − ∞ ∗∫ t u t t u t dt 0 ( , ) ( )( ( , ))ζ ζH = 0. (4.4) Funkcyq u ( t , ζ ) udovletvorqet uslovyqm A, B, C ( s u ( ⋅ , ζ ) vmesto f ) teo- rem¥99.1 yz [11] 6: u ( ⋅ , ζ ) ∈ � (uslovye9A ); spravedlyvo (4.4) (uslovye9B ); u ( t0, ζ ) ξ0 = ( )( , ), ( , ) cos sin u t u t1 0 2 0 0 0 ζ ζ     = 0 (uslovye9C ). Poskol\ku u t( , ) ( , )ζ ≠ 0 0 ∀ t ∈ ( – ∞, t0 ) , sohlasno utverΩdenyg a) πtoj teorem¥ promeΩutok ( – ∞, t0 ) — πto H -n.p. Eho typ raven nulg, ybo v protyvnom sluçae sohlasno utverΩdenyg c) πtoj teorem¥ u1 ( 0, ζ ) = u2 ( 0, ζ ) = 0, çto protyvoreçyt utverΩdenyg95 do- kaz¥vaemoj teorem¥. Ytak, ( – ∞, t0 ) — H -n.p. typa nul\, t. e. H ( t ) = = 1 0 0 0     pry poçty vsex t ∈ ( – ∞, 0 ] y a ( t ) = 1 pry poçty vsex t9∈ ( – ∞, t0 ) . 6 Dlq udobstva çytatelej v pryloΩenyy, pomewennom v konce stat\y, pryvedena formulyrovka πtoj teorem¥ s nepoln¥m pereçnem utverΩdenyj. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 672 Y. S. KAC ∏to protyvoreçyt uslovyg dokaz¥vaemoj teorem¥. Ytak, u t1 0 0( , )ζ ≠ pry Imζ ≠ 0 . Poputno ustanovleno, çto ravenstvo (4.4) ne v¥polnqetsq. Sohlas- no9(4.3) 2 1 0 2 2 0 1 0 u t u t u t ( , ) Im ( , ) ( , ) ζ ζ ζ = 2 0 Im ( , ) ( )( ( , ))ζ ζ ζ − ∞ ∗∫ t u t t u t dtH , (4.5) çto dokaz¥vaet utverΩdenye96 teorem¥. 5. Nekotor¥e svedenyq teoryy de BranΩa hyl\bertov¥x prostranstv cel¥x funkcyj. Osnovnaq teorema. 5.1. Cel¥e funkcyy de BranΩa y op- redelqem¥e ymy prostranstva. Celug funkcyg E budem otnosyt\ k klas- su B, esly ona ne ymeet vewestvenn¥x nulej, E( )0 1= y E E( ) ( )ζ ζ< pry kaΩdom ζ ∈ +C . Lemma(5.1. Esly A( )ζ y B( )ζ — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy, A( )0 1= , B( )0 0= y A( )ζ ≠ 0 ∀ ∈ +ζ C , to funkcyq E A iB( ) ( ) ( )ζ ζ ζ= − v tom y tol\ko v tom sluçae prynadleΩyt B, kohda funkcyq q B A ( ) : ( ) ( ) ζ ζ ζ = qvlqetsq R-funkcyej. Dokazatel\stvo. Zametym snaçala, çto esly E ∈ B, to funkcyy A( )ζ y B( )ζ ne mohut ymet\ nevewestvenn¥x nulej, ybo yz vewestvennosty πtyx funk- cyj sleduet, çto nuly kaΩdoj yz nyx symmetryçn¥ otnosytel\no vewestvennoj osy y E E( ) ( )ζ ζ= v nulqx ζ ∈ +C πtyx funkcyj, çto protyvoreçyt pry- nadleΩnosty klassu B funkcyy E. Yz vewestvennosty cel¥x funkcyj A y B sleduet, çto q q( ) ( )ζ ζ= ∀ ∈ζ ( \ )C R . Krome toho, pry ζ ∈ +C E E( ) ( )ζ ζ>( ) ⇔ A iB A iB( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ζ− > −( ) ⇔ ⇔ B A i B A i ( ) ( ) ( ) ( ) ζ ζ ζ ζ + > +    ⇔ q i q i( ) ( ) ( )ζ ζ− − > +( ) ⇔ ⇔ q i g i( ) ( ) ( )ζ ζ− − > −( ) ⇔ Im ( )q ζ >( )0 . Lemma dokazana. PoloΩym pry lgb¥x kompleksn¥x ζ y w K wE( , )ζ = B A w A A w w( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ−( ) − , (5.1) hde A( )ζ y B( )ζ — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy v predstavlenyy E( )ζ = = A( )ζ – iB( )ζ funkcyy E ∈ B . S funkcyej E ∈ B de BranΩ assocyyruet hyl\bertovo prostranstvo � ( E ) cel¥x funkcyj F takyx, çto F E 2 : = 1 2 π −∞ + ∞ ∫ F( )/ ( )x E x dx < ∞ 7, (5.2) F ( )ζ ≤ F E EK ( , )ζ ζ , ζ ∈( \ )C R (5.3) 7 Otmetym, çto v rabotax de BranΩa F F2 2: ( ) / ( )= − ∞ + ∞ ∫ x E x dx , a vvedennaq ym funkcyq K wE ( , )ζ otlyçaetsq ot vvedennoj zdes\ (sm. (5.1)) mnoΩytelem 1/ π . Neravenstvo Ωe (5.3) soxranylo svoj vyd. Vvedenn¥e zdes\ yzmenenyq ustranqgt nekotor¥e neudobstva, svqzann¥e, hlavn¥m obrazom, s kanonyçeskymy uravnenyqmy, o kotor¥x hovorytsq v pryvedenn¥x nyΩe teoremax de BranΩa; vo mnohyx formulax ysçezaet mnoΩytel\ π yly 1/ π . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 673 (zametym, çto yz lemm¥95.1 v¥tekaet poloΩytel\nost\ KE ( , )ζ ζ pry Imζ ≠ 0 ). Skalqrnoe proyzvedenye v nem budem oboznaçat\ çerez 〈⋅ ⋅〉, E : 〈 〉F G, E : = 1 2 π λ λ λ λ − ∞ + ∞ −∫ F G( ) ( ) ( )E d , F, G ∈ � ( E ) . Otmetym, çto pry lgbom fyksyrovannom w ∈ C funkcyq K wE ( , )ζ prynadle- Ωyt � ( E ) y dlq lgboj funkcyy F ∈ H ( E ) F ( w ) : = 〈 ⋅ 〉F , ( , )K wE E : = 1 2 π − ∞ + ∞ −∫ F ( ) ( , ) ( )x K w x E x dxE . V çastnom sluçae, kohda E ( ζ ) — çetnaq funkcyq, takye prostranstva yzu- çalys\ M. H. Krejnom v processe razvytyq ym spektral\noj teoryy strun¥ (sm. [15], §5). V dal\nejßem πty prostranstva budem naz¥vat\ K-B-prostranstvamy. 5.2. Vesov¥e mer¥ K-B-prostranstv. Hamyl\tonyan¥ de BranΩa. Opredelenye(5.1. Neotrycatel\nug na borelev¥x mnoΩestvax yz R meru µ naz¥vaem vesovoj meroj prostranstva � ( E ) , esly ono yzometryçesky soderΩytsq v Lµ ( )( , )2 − ∞ + ∞ , t. e. − ∞ + ∞ ∫ F ( ) ( )x d x2 µ = F E 2 ∀ ∈F �( )E . (5.4) Suwestvovanye vesov¥x mer prostranstva � ( E ) v¥tekaet yz opredelenyq πtoho prostranstva. Pryvedenn¥e nyΩe teorem¥ de BranΩa sformulyrovan¥ na prynqtom zdes\ qz¥ke. Teorema(A ([2], teorema9I). Pust\ H ( t ) = a t b t b t c t ( ) ( ) ( ) ( )     — normyrovann¥j hamyl\tonyan, opredelenn¥j na promeΩutke I = ( L , + ∞ ) s L ≥ – ∞. Pust\ 0 < L t a s ds∫ ( ) < ∞ ∀ t ∈ ( L , + ∞ ) . (5.5) Pust\ suwestvuet opredelennaq na I × C vektor-funkcyq u ( t , ζ ) = ( u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ )) takaq, çto: 1) pry fyksyrovannom ζ ∈ C ona qvlqetsq reßenyem na I kanonyçeskoho uravnenyq dx dt J = x tH ( )ζ ; (5.6) 2) pry lgbom fyksyrovannom t > L funkcyy u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ ) — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy, a funkcyq Et ( )ζ : = u1 ( t, ζ ) – i u2 ( t, ζ ) prynadleΩyt B, t. e. Et ( )0 1= , E Et t( ) ( )ζ ζ> ∀ ζ ∈ C+ ; 3) pry fyksyrovannom ζ ∈ C lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t u t u t u t u t ↓ −( ) L 1 2 1 2ζ ζ ζ ζ = 0. (5.7) Tohda: i) lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t u t u t u t u t → + ∞ −( )1 2 1 2ζ ζ ζ ζ = ∞ pry Imζ ≠ 0 ; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 674 Y. S. KAC ii) dlq lgb¥x H -neosobenn¥x toçek r , s ∈ ( L , + ∞ ) , r < s, prostranstvo � ( Er ) yzometryçesky soderΩytsq v prostranstve � ( Es ) ; iii) suwestvuet edynstvennaq neotrycatel\naq na borelev¥x mnoΩestvax yz R mera µ takaq, çto − ∞ + ∞ −∫ +( ) ( )1 2 1λ µ λd < ∞ (5.8) y µ qvlqetsq vesovoj meroj prostranstv � ( Et ) dlq vsex H -neosobenn¥x toçek t ∈ I , a obæedynenye vsex takyx prostranstv plotno v Lµ ( )( , )2 − ∞ + ∞ . Teorema(B ([2], teorema9II). Pust\ funkcyq E prynadleΩyt B , a ν — kakaq-nybud\ vesovaq mera prostranstva � ( E ) . Tohda suwestvugt oprede- lenn¥j na nekotorom yntervale ( L , + ∞ ) normyrovann¥j hamyl\tonyan H ( t ) , udovletvorqgwyj vsem uslovyqm teorem¥ A , y takaq H -neosobennaq toç- ka c ∈ ( L , + ∞ ) , çto funkcyq Ec ( ζ ) yz teorem¥ A sovpadaet s E ( ζ ) , a mera ν — s meroj µ , suwestvovanye kotoroj utverΩdaet teorema A . Sledstvye(5.1. Esly E ∈ B , to suwestvuet takoj opredelenn¥j na nekotorom promeΩutke ( L , + ∞ ) normyrovann¥j hamyl\tonyan H ( t ) = = a t b t b t c t ( ) ( ) ( ) ( )     s funkcyej a ( t ) , udovletvorqgwej uslovyg (5.5), çto pry lgbom fyksyrovannom ζ ∈ C moΩno tak podobrat\ reßenye u ( t , ζ ) = ( u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ )) uravnenyq (5.6) na ( L , + ∞ ) , çto Et ( )ζ = u1 ( t, ζ ) – i u2 ( t, ζ ) pry lgbom t ∈ ( L , + ∞ ) prynadleΩyt B , v¥polnqetsq uslovye (5.7) y E 0 ( ζ ) = = E ( ζ ) ∀ ζ ∈ C . ∏to v¥tekaet yz teorem¥9B, suwestvovanyq u prostranstva � ( E ) xotq b¥ odnoj vesovoj mer¥ y toho, çto za sçet „sdvyΩky” H ( t ) � H ( t – c ) moΩno do- byt\sq H -neosobennosty toçky 0 y sovpadenyq E0 s E. Zameçanye(5.1. Suwestvugt razlyçn¥e hamyl\tonyan¥, ymegwye svojstva, ukazann¥e v sledstvyy. ∏to v¥tekaet xotq b¥ yz toho, çto � ( E ) ymeet besko- neçnoe mnoΩestvo vesov¥x mer (sm. nyΩe teoremu D). Odnako lgb¥e dva yz nyx sovpadagt pry poçty vsex t ∈ ( L , 0 ) . ∏to v¥tekaet yz teorem de BranΩa yz [16]. Opredelenye(5.2. Hamyl\tonyanom de BranΩa budem naz¥vat\ hamyl\to- nyan H ( t ) , suwestvovanye kotoroho utverΩdaet sledstvye teorem¥ B dlq kakoj-nybud\ funkcyy E ∈ B . Voznykaet sledugwyj vopros: pry kakyx uslovyqx opredelenn¥j na I = ( L, + ∞ ) normyrovann¥j hamyl\tonyan qvlqetsq hamyl\tonyanom de BranΩa? Nekotor¥j otvet na πtot vopros daet sledstvye95.2 pryvedennoj nyΩe teore- m¥95.1. Teorema(5.1. Esly vmesto uslovyq92, nalahaemoho na vektor-funkcyg u ( t, ζ ) = ( u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ )) v teoreme A, potrebovat\, çtob¥ xotq b¥ pry odnom znaçenyy t > L funkcyy u1 ( t, ζ ) y u2 ( t, ζ ) b¥ly takymy cel¥my ve- westvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ , çto u1 ( t, 0 ) = 1, u2 ( t, 0 ) = 0, so- xranyv pry πtom vse ostal\n¥e trebovanyq, to vse utverΩdenyq teorem¥9A ostagtsq spravedlyv¥my. Dokazatel\stvo. Pust\ funkcyy u1 ( t, ζ ) y u 2 ( t, ζ ) qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my funkcyqmy peremennoj ζ pry t = t0 ∈ ( L , + ∞ ) . Pust\ W ( t, ζ ) — takaq matryca-funkcyq, çto W ( t0 , ζ ) = 1 0 0 1     y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 675 d dt W t J( , )ζ = ζ ζW t t( , ) ( )H ∀ ∈ + ∞t ( , )L , ζ ∈ +C . Kak yzvestno (sm. [3], teorema938), πlement¥ matryc¥ W t( , )ζ pry lgbom fyk- syrovannom t ∈ ( L , + ∞ ) qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my. Poskol\ku u ( t, ζ ) = u ( t0 , ζ ) W ( t, ζ ) ∀ ∈ + ∞t ( , )L , u1 ( t, ζ ) , u2 ( t, ζ ) qvlqgtsq cel¥my vewestvenn¥my pry lgbom fyksyrovannom t ∈ ( L , + ∞ ) y u ( t, 0 ) = ( 1, 0 ) ∀ ∈ + ∞t ( , )L . Yz dokazatel\stva utverΩdenyq96 teorem¥94.1 sleduet, çto u t u t 2 1 ( , ) ( , ) ζ ζ qvlqetsq R - funkcyej peremennoj ζ pry lgbom fyksyrovannom t ∈ ( L , + ∞ ) . Teper\ yz lemm¥95.1 v¥tekaet, çto v¥pol- nqetsq uslovye92 teorem¥9A, a znaçyt spravedlyv¥ vse utverΩdenyq πtoj te- orem¥. Sledstvye(5.2. Qvlqetsq ly hamyl\tonyan H ( t ) , opredelenn¥j na promeΩutke ( L , + ∞ ) , hamyl\tonyanom de BranΩa, zavysyt tol\ko ot povedenyq H ( t ) v pravoj okrestnosty toçky L . Zameçanye(5.2. Esly – ∞ < L < 0, to lgboj normyrovann¥j hamyl\tony- an, opredelenn¥j na ( L , + ∞ ) , qvlqetsq hamyl\tonyanom de BranΩa. Dejstvytel\no, (5.5) v¥polnqetsq, ybo hamyl\tonyan normyrovan, toçku L moΩno prysoedynyt\ k yntervalu ( L , + ∞ ) y v kaçestve u ( t, ζ ) vzqt\ na [ L , + ∞ ) reßenye hranyçnoj zadaçy dx dt J = x H ( t ) ζ ∀ =x t L = ( 1; 0 ) . Ostalos\ otvetyt\ na postavlenn¥j v¥ße vopros, kohda L = − ∞. 5.3. Osnovnaq teorema. Dlq toho çtob¥ opredelenn¥j na I = ( – ∞, + ∞ ) normyrovann¥j hamyl\tonyan s summyruemoj na ( – ∞, 0 ] funkcyej a ( t ) b ¥ l hamyl\tonyanom de BranΩa, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ kanonyçeskoe uravnenye dx dt J = x H ( t ) ζ (5.9) na promeΩutke ( – ∞, 0 ] ymelo dyskretn¥j spektr. Dostatoçnost\ πtoho uslovyq v¥tekaet yz teorem¥94.1 y lemm¥95.1. NyΩe m¥ dokaΩem eho neobxodymost\. Dlq πtoho napomnym ewe dve teore- m¥ de BranΩa. Teorema(C ([3], teorema9III). Pust\ I = ( – ∞, + ∞ ) , a H ( t ) y u ( t, ζ ) ta- kye, kak v teoreme A, c — H -neosobennaq toçka yz I, Ĥc — mnoΩestvo ta- kyx vektor-funkcyj f H∈ ˆ , çto f t( ) ( , )= 0 0 ∀ >t c , �̂c — mnoΩestvo πle- mentov � �∈ ˆ , yzobraΩaem¥x vektor-funkcyqmy f Hc∈ ˆ y Ŝc — operator, postroenn¥j v �̂c s pomow\g lynejnoho otnoßenyq l, sootvetstvugweho hamyl\tonyanu H , rassmatryvaemomu na promeΩutke ( – ∞, c ] , kak v p. 1 pry postroenyy operatora Ŝ . Tohda: I. Vektor-funkcyq χ ( c, t ) u ( t, ζ ) , h d e χ ( c, t ) — xarakterystyçeskaq funkcyq promeΩutka ( – ∞, c ] , pry fyksyrovannom ζ ∈ C prynadleΩyt Ĥc , y poπtomu dlq lgboho πlementa � �∈ ˆ c opredelen obraz F v „preobrazova- nyy Fur\e” Vc : � � F , zadavaemom ravenstvom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 676 Y. S. KAC F ( )ζ = − ∞ + ∞ ∗∫ f t t u t dt( ) ( )( ( , ))H ζ , f ∈� . Funkcyq F = U� prynadleΩyt �( )Ec y F ( )ζ Ec 2 = − ∞ + ∞ ∗∫ f t t f t dt( ) ( )( ( ))H = =( )� � � �ˆ ˆ 2 2 c . Bolee toho, lgboj πlement prostranstva �( )Ec qvlqetsq obrazom v preobrazovanyy Vc nekotoroho πlementa � �∈ ˆ c . II. Esly F — obraz v preobrazovanyy Vc πlementa � y z �c , to dlq toho çtob¥ πlement � prynadleΩal �( )Ŝc , neobxodymo y dostatoçno, çto- b¥ funkcyq G F( ) ( )ζ ζ ζ= prynadleΩala �( )Ec . Pry πtom G( )ζ qvlqetsq obrazom πlementa � �= Ŝc v preobrazovanyy Vc . Yn¥my slovamy, preobrazovanye Vc yzometryçesky perevodyt operator Ŝc v operator umnoΩenyq na nezavysymug peremennug v prostranstve �( )Ec . Sledstvye�teorem¥(C. Pust\ H ( t ) — hamyl\tonyan de BranΩa na pro- meΩutke ( – ∞, + ∞ ) . Esly µ — vesovaq mera prostranstva �( )E0 , t o pre- obrazovanye V0, o kotorom hovorytsq v teoreme>C, pry c = 0 perevodyt yzometryçesky operator Ŝ0 v çast\ operatora umnoΩenyq na nezavysymug peremennug v prostranstve Lµ ( )( , )2 − ∞ + ∞ y, sledovatel\no, v sluçae, kohda nosytel\ mer¥ µ dyskreten, operator Ŝ0 ymeet samosoprqΩennoe rasßy- renye s dyskretn¥m spektrom, vozmoΩno, s v¥xodom yz �̂0 , a znaçyt dyskretn¥j spektr ymeet uravnenye (5.9) na ( – ∞, 0 ] (sm. opredelenye91.9). Dlq toho çtob¥ dokazat\ çast\ osnovnoj teorem¥, utverΩdagwug ne- obxodymost\, ostalos\ ustanovyt\, çto lgboe prostranstvo de BranΩa ymeet vesovug meru s dyskretn¥m nosytelem. ∏to budet pokazano nyΩe. Oboznaçym çerez � mnoΩestvo holomorfn¥x v C+ funkcyj U takyx, çto U( )ζ ≤ 1 ∀ ∈ +z C . Opysanye mnoΩestva vsex vesov¥x mer prostranstva �( )E s E ∈ B daet sledugwaq teorema. Teorema(D ([17], teorema9V-A ). Pust\ µ — neotrycatel\naq mera bore- lev¥x mnoΩestv yz R y dlq kaΩdoho boreleva mnoΩestva K τ ( K ) = K E d∫ ( ) ( )λ µ λ2 . (5.10) Tohda dlq toho çtob¥ µ b¥la vesovoj meroj prostranstva �( )E , neobxody- mo y dostatoçno, çtob¥ suwestvovala funkcyq U ∈ � takaq, çto pry Im ζ > 0 − ∞ + ∞ ∫ − y dτ λ λ ζ ( ) 2 = Re E E U E E U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ ζ ζ ζ ζ ζ + − ∗ ∗ , (5.11) hde y = Im ζ y E E∗ =( ) : ( )ζ ζ . PoloΩym ω ζU ( ) = i E E U E E U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ ζ ζ ζ ζ ζ + − ∗ ∗ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 O PRYRODE HAMYL\|TONYANA DE BRANÛA 677 Qsno, çto Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E U E E U ζ ζ ζ ζ ζ ζ + − ∗ ∗ = Im ( )ω ζU . (5.12) Oboznaçym çerez ω+ funkcyg ωU s U( )ζ ≡ 1, a çerez ω− funkcyg ωU s U z( ) ≡ −1. Esly, kak ob¥çno, E A iB( ) ( ) ( )ζ ζ ζ= − , hde A( )ζ y B( )ζ — cel¥e vewestvenn¥e funkcyy, to E A iB∗ = +( ) ( ) ( )ζ ζ ζ y, sledovatel\no, ω ζ+( ) = – A B ( ) ( ) ζ ζ , ω ζ−( ) = B A ( ) ( ) ζ ζ . (5.13) Poπtomu ω ζ+( ) y ω ζ−( ) — meromorfn¥e R-funkcyy (sm. lemmu95.1). Ymegt mesto predstavlenyq ω ζ+( ) = α β ζ λ ζ λ τ λ+ + − ∞ + ∞ ++ + − − +    ∫ 1 1 1 2 d ( ), (5.14) ω ζ−( ) = α β ζ λ ζ λ τ λ− − − ∞ + ∞ −+ + − − +    ∫ 1 1 1 2 d ( ) , hde α+ , α− ∈ R , β+ ≥ 0, β− ≥ 0, a τ+ y τ− — neotrycatel\n¥e mer¥, pryçem β+ = lim ( ) ( )( ) y iy iy ↑ + ∞ + −⋅ω 1 , (5.15) β− = lim ( ) ( )( ) y iy iy ↑ + ∞ − −⋅ω 1 . Yz (5.14) v¥tekaet, çto pry ζ = +x iy , y > 0 Im ( )ω ζ+ = β τ λ λ ζ+ − ∞ + ∞ ++ −∫y y d ( ) 2 , (5.16) Im ( )ω ζ− = β τ λ λ ζ− − ∞ + ∞ −+ −∫y y d ( ) 2 . Yz (5.13) y (5.15) sleduet, çto xotq b¥ odno yz çysel β+ , β– ravno nulg, a potomu sohlasno (5.16) y teoreme9D xotq b¥ odna yz mer µ+( )K = E d K ( ) ( )λ τ λ− +∫ 2 , µ−( )K = E d K ( ) ( )λ τ λ− −∫ 2 qvlqetsq vesovoj meroj prostranstva � ( E ) . Poskol\ku R- funkcyy ω– y ω+ meromorfn¥, nosytely mer τ+ y τ– , a znaçyt y mer µ+ y µ– , dyskretn¥, t. e. ne ymegt predel\n¥x toçek, otlyçn¥x ot ∞ . ∏to zaverßaet dokazatel\stvo çasty osnovnoj teorem¥, utverΩdagwej neobxodymost\. V zaklgçenye πtoho punkta otmetym, çto v rabote [1] pryveden¥ v termynax povedenyq hamyl\tonyana na synhulqrnom konce neobxodymoe y dostatoçnoe uslovyq dyskretnosty kanonyçeskoho dyfferencyal\noho uravnenyq na prome- Ωutke s odnym synhulqrn¥m koncom. K soΩalenyg, πty uslovyq ne sovpadagt, odnako, ves\ma blyzky meΩdu soboj. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 678 Y. S. KAC PryloΩenye. Formulyrovka çasty teorem¥(9.1 yz rabot¥ [11]. Pust\ vektor-funkcyq f = ( f1 , f2 ) obladaet sledugwymy svojstvamy: A) f ∈ � , t. e. f absolgtno neprer¥vna na I = [ 0, + ∞ ) y dlq nekotoroj vektor-funkcyy g f ′ ( t ) J = g ( t ) H ( t ) pry poçty vsex t ∈ I ; B) f ∈ θ , t. e. f ( t ) H ( t ) = ( 0, 0 ) pry poçty vsex t ∈ I ; C) f ( 0 ) ξ0 = 0. Tohda: a) esly ( α , β ) ⊂ I y f ( t ) ≠ ( 0, 0 ) pry vsex t ∈ ( α, β ) , t o [ α, β ] — H-n.p.; c) esly [ 0, β ] — H-n.p. y eho typ otlyçen ot 0 ( mod π ) , t o f ( 0 ) = = ( 0, 0 ) . 1. Kac Y. S. Kryteryj dyskretnosty spektra synhulqrnoj kanonyçeskoj system¥ // Funkcy- on. analyz y eho pryl. – 1995. – 29, # 3. – S.975 – 78. 2. de Branges L. Hilbert spaces of entire functions. III // Trans. Amer. Math. Soc. – 1961. – 100. – P. 73 – 115. 3. de Branges L. Hilbert spaces of entire functions. – London: Prentice-Hall, 1968. – 326 p. 4. Kac Y. S. O hyl\bertov¥x prostranstvax, poroΩdaem¥x monotonn¥my πrmytov¥my matry- camy-funkcyqmy // Zap. NYY matematyky y mexanyky Xar\kov. un-ta y Xar\kov. mat. o-va. – 1950. – 22. – S.995 – 113. 5. Arnes R. Operational calculus of linear relations // Pacif. J. Math. – 1961. – 11. – P. 9 – 23. 6. Coddington E. A. Self-adjoint subspace extensions of non-densely defined symmetric subspaces // Bull. Amer. Math. Soc. – 1973.– 79. – P. 712 – 715. 7. Coddington E. A. Self-adjoint problems for nondensely defined ordinary differential operators and their eigenfunction expansions // Adv. Math. – 1975. – 15. – P. 1 – 40. 8. de Branges L. Some Hilbert spaces of entire functions. II // Trans. Amer. Math. Soc. – 1960. – 96. – P. 259 – 295. 9. Kac Y. S. Lynejn¥e otnoßenyq, poroΩdaem¥e kanonyçeskymy dyfferencyal\n¥my urav- nenyqmy // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1983. – 17, # 4. – S.986 – 87. 10. Kac Y. S. Lynejn¥e otnoßenyq, poroΩdaem¥e kanonyçeskym dyfferencyal\n¥m uravne- nyem na yntervale s rehulqrn¥m koncom, y razloΩymost\ po sobstvenn¥m funkcyqm. – Odessa, 1984. – 499s. – Dep. v UkrNYYNTY, #91453. 11. Kac Y. S. Lynejn¥e otnoßenyq, poroΩdaem¥e kanonyçeskym dyfferencyal\n¥m urav- nenyem fazovoj razmernosty92, y razloΩymost\ po sobstvenn¥m funkcyqm // Alhebra y analyz. – 2002. – 14, # 3. – S.986 – 120. 12. Kac Y. S., Krejn M. H. R-funkcyy — analytyçeskye funkcyy, otobraΩagwye verxngg poluploskost\ v sebq: Dop.91 k kn. „Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e hranyçn¥e zadaçy” / F. At- kynson. – M.: Myr, 1968. – 7499s. 13. Krejn M. H. Pro ermitovi operatory z naprqmnymy funkcionalamy // Zb. prac\ In-tu matematyky AN URSR. – 1948. – 10. – S.983 – 106. 14. Krejn M. H. Pro ermitovi operatory z naprqmnymy funkcionalamy // Yzbr. tr. Knyha II. – Kyev: NAN Ukrayn¥, 1996. – S.9172 – 203. 15. Kac Y. S., Krejn M. H. O spektral\n¥x funkcyqx strun¥: Dop.92 k kn. „Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e hranyçn¥e zadaçy” / F. Atkynson. – M.: Myr, 1968. – 7499s. 16. de Branges L. Some Hilbert spaces of entire functions. IV // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 105. – P. 43 – 83. 17. de Branges L. Some Hilbert spaces of entire functions // Ibid. – 1960. – 96. – P. 259 – 295. Poluçeno 22.01.2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5

O природе гамильтониана де Вранжа

Репозитарії

Схожі ресурси