Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту
Получены условия восстановления чистого спектрального типа (чисто точечного, чисто абсолютно непрерывного или чисто сингулярно непрерывного) в граничных распределениях динамических систем с композицией альтернативного конфликта. В частности, показано, что точечный спектр можно регенерировать исходя...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164190 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту / В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 771–784. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164190 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1641902020-02-10T01:26:52Z Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту Кошманенко, В.Д. Статті Получены условия восстановления чистого спектрального типа (чисто точечного, чисто абсолютно непрерывного или чисто сингулярно непрерывного) в граничных распределениях динамических систем с композицией альтернативного конфликта. В частности, показано, что точечный спектр можно регенерировать исходя из состояний с чисто сингулярно непрерывным спектром. Regeneration conditions of a pure spectral type (purely point, purely absolutely continuous, or purely singularly continuous) in limiting distributions of dynamical systems with the alternative conflict composition are obtained. In particular, it is shown, that the point spectrum may be regenerated starting from states with purely singularly continuous spectrum. 2007 Article Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту / В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 771–784. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164190 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кошманенко, В.Д. Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту Український математичний журнал |
| description |
Получены условия восстановления чистого спектрального типа (чисто точечного, чисто абсолютно непрерывного или чисто сингулярно непрерывного) в граничных распределениях динамических систем с композицией альтернативного конфликта. В частности, показано, что точечный спектр можно регенерировать исходя из состояний с чисто сингулярно непрерывным спектром. |
| format |
Article |
| author |
Кошманенко, В.Д. |
| author_facet |
Кошманенко, В.Д. |
| author_sort |
Кошманенко, В.Д. |
| title |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| title_short |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| title_full |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| title_fullStr |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| title_full_unstemmed |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| title_sort |
відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164190 |
| citation_txt |
Відновлення спектрального типу граничних розподілів у динамічних системах конфлікту / В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 771–784. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT košmanenkovd vídnovlennâspektralʹnogotipugraničnihrozpodílívudinamíčnihsistemahkonflíktu |
| first_indexed |
2025-07-14T16:42:39Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:42:39Z |
| _version_ |
1837641352255373312 |
| fulltext |
UDK 517.9
V. D. Koßmanenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX
ROZPODILIV U DYNAMIÇNYX SYSTEMAX KONFLIKTU
*
Regeneration conditions of a pure spectral type (purely point, purely absolutely continuous, or purely
singularly continuous) in limiting distributions of dynamical systems with the alternative conflict
composition are obtained. In particular, it is shown, that the point spectrum may be regenerated starting
from states with purely singularly continuous spectrum.
Poluçen¥ uslovyq vosstanovlenyq çystoho spektral\noho typa (çysto toçeçnoho, çysto abso-
lgtno neprer¥vnoho yly çysto synhulqrno neprer¥vnoho) v hranyçn¥x raspredelenyqx dyna-
myçeskyx system s kompozycyej al\ternatyvnoho konflykta. V çastnosty, pokazano, çto to-
çeçn¥j spektr moΩno reheneryrovat\ ysxodq yz sostoqnyj s çysto synhulqrno neprer¥vn¥m
spektrom.
1. Vstup. U cij statti doslidΩugt\sq spektral\ni vlastyvosti hranyçnyx roz-
podiliv dynamiçnyx system konfliktu v dyskretnomu çasi. V najprostißomu
vypadku dynamiçna systema konfliktu porodΩu[t\sq parog jmovirnisnyx mir µ
ta ν na vidrizku [ 0, 1 ], wo zoseredΩeni na strukturno podibnyx mnoΩynax
(dyv. nyΩçe). Evolgciq v cyx systemax zada[t\sq kompozyci[g al\ternatyvnoho
konfliktu �, qka po suti [ peretvorennqm u prostori par mir:
{ µN
–
1, νN
–
1
} �→ { µN, νN
}, µ0 = µ, ν0 = ν, N = 1, 2, … .
U robotax [1, 2] (dyv. takoΩ [3]) dovedeno isnuvannq hranyçnyx staniv tako] dy-
namiçno] systemy:
µ∞ = lim
N
N
→∞
µ , ν∞ = lim
N
N
→∞
ν ,
qki [ invariantnymy vidnosno di] kompozyci] �. Nastupna zadaça polqha[ v dos-
lidΩenni spektral\no] struktury nosi]v hranyçnyx mir µ∞
, ν∞
. U robotax [4, 5]
pokazano, wo ci miry zadovol\nqgt\ analohy vidomo] teoremy DΩessena – Vint-
nera [6] i tomu magt\ çystyj spektral\nyj typ, tobto [ abo çysto toçkovymy,
abo çysto absolgtno neperervnymy, abo çysto synhulqrno neperervnymy. Krim
toho, znajdeno dostatni umovy (a v najprostißomu vypadku z dvoma pozyciqmy
konfliktu — kryteri]) toho, wo spektr (nosij) hranyçnyx mir ma[ fiksovanyj
spektral\nyj typ.
My budemo doslidΩuvaty v pevnomu sensi obernenu zadaçu. Vytoky tako] za-
daçi moΩna znajty v statti [7] . Qk vidnovyty spektral\nyj typ xoça b odni[] z
mir, zminenyj abo vtraçenyj v rezul\tati konfliktno] vza[modi]? Zadaça [
skladnog, i tut oderΩano lyße okremi rezul\taty. Zokrema, dovedeno, wo v
klasi strukturno podibnyx mir poçatkovyj typ spektra odni[] z mir moΩna vid-
novyty. Bil\ß toho, pokazano, wo toçkovyj typ spektra moΩna reheneruvaty
navit\ u vypadku, koly pislq konfliktno] vza[modi] hranyçni miry magt\ çysto
synhulqrno neperervnyj spektr, qkyj i dosi ne ma[ zahal\nopryjnqtoho fizyç-
noho sensu. Osnovnym rezul\tatom statti [ teorema 6, qka mistyt\ kryterij vid-
novlennq çysto toçkovoho spektral\noho typu. Navedeno takoΩ rqd prostyx
dostatnix umov naleΩnosti hranyçno] miry do pevnoho spektral\noho typu.
Poznaçymo çerez A ta B paru fizyçnyx ob’[ktiv, qki ças vid çasu vstupagt\
u konfrontacig çy konflikt (dyv. [8 – 10]). Taki ob’[kty budemo nazyvaty opo-
nentamy abo protyleΩnymy storonamy u tomu rozuminni, wo ]xni „Ωytt[vi inte-
resy” peretynagt\sq, tobto A ta B magt\ spil\nyj prostir „isnuvannq”, qkyj
poznaçymo Ω. Dlq pobudovy matematyçno] modeli v qkosti Ω vyberemo skin-
*
Çastkovo pidtrymano proektom DFG 436 UKR 113/78.
© V. D. KOÍMANENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 771
772 V. D. KOÍMANENKO
çennu dyskretnu mnoΩynu toçok (pozycij konfliktu) abo kompaktnu pidmno-
Ωynu metryçnoho prostoru, napryklad vidrizok [ 0, 1 ]. Poçatkovi rozpodily
Ωytt[vyx interesiv oponentiv zadagt\sq na Ω imovirnisnymy miramy µ = µA ta
ν = νB vidpovidno. Konfrontaciq miΩ A ta B vidbuva[t\sq v dyskretnomu çasi
t = 1, 2, … , N, … i matematyçno vyznaça[t\sq nekomutatyvnym peretvorennqm �
(kompozyci[g konfliktu) v prostori mir. Cq kompozyciq porodΩu[ dynamiçnu
systemu konfliktu v prostori strukturno podibnyx mir µ, ν ∈ M
ss
( [ 0, 1 ] ) (oz-
naçennq dyv. u nastupnomu punkti). V robotax [2 – 5] pokazano, wo, za vynqtkom
krajnix vypadkiv, dlq dovil\no] pary poçatkovyx mir µ0 = µ, ν0 = ν tra[ktoriq
dynamiçno] systemy konfliktu { µN, νN
} prqmu[ do neruxomo] toçky, qkij vid-
povida[ para hranyçnyx mir µ∞
, ν∞
.
My zoseredymo uvahu na nastupnyx pytannqx. Koly xoça b odna hranyçna mi-
ra, skaΩimo µ∞
, [ çysto toçkovog: µ∞ = µpp
∞
? Qkwo odna z poçatkovyx mir bula
çysto toçkovog, µ = µpp , a na hranyci stala çysto synhulqrnog, µ∞ = µsc
∞
, to
çy isnu[ mira ν′ taka, wo pry pobudovi novo] dynamiçno] systemy konfliktu z
poçatkovog parog µ∞
, ν′ nova hranyçna mira ( µ∞
)
∞
stane znovu çysto toçko-
vog? Inßymy slovamy, çy moΩna vidnovyty toçkovyj typ spektra miry µ = µpp ,
qkyj vtraça[t\sq v konfliktnij vza[modi] z mirog ν ? Vidznaçymo, wo vynyk-
nennq synhulqrno neperervnoho spektra [ xarakternym qvywem v teori] kon-
fliktu. Vodnoças naleΩnist\ µ∞
do toçkovoho typu potrebu[ vykonannq do-
syt\ specyfiçnyx umov. Qk pravylo, konfliktna vza[modiq miΩ oponentamy A
ta B, qkym vidpovidagt\ rizni toçkovi abo absolgtno neperervni miry µ ta ν,
pryvodyt\ do hranyçnyx staniv µsc
∞
, νsc
∞
z synhulqrnym nide ne wil\nym frak-
tal\nym [11] spektrom.
Tomu zadaça pro znaxodΩennq umov, qki zabezpeçugt\ vidnovlennq toçkovoho
typu spektra, vtraçenoho v rezul\tati konfliktno] vza[modi], [ aktual\nog.
Osnovog doslidΩennq [ robota [12], de znajdeno qvni formuly dlq opysu hra-
nyçnyx rozpodiliv dlq dyskretnyx mir. Spyragçys\ na ci rezul\taty, my tut
oderΩymo qk prosti dostatni umovy, tak i kryterij dlq vidnovlennq toçkovoho
spektral\noho typu dlq strukturno podibnyx mir na [ 0, 1 ].
Zaznaçymo, wo v robotax [13, 14] (dyv. takoΩ [15]) na osnovi kompozyci] kon-
fliktu � pobudovano znaçno skladnißi dynamiçni systemy, qki opysugt\, zok-
rema, procesy mihraci], social\no] konfrontaci] ta kooperaci]. V takyx modelqx
spektral\nyj typ hranyçnyx mir ne [ stijkym i moΩe pid ças evolgci] oscylg-
vaty i neodnorazovo nablyΩatysq qk do synhulqrno neperervnoho, tak i do toç-
kovoho, i navit\ do absolgtno neperervnoho. Toçni rezul\taty, oderΩani v c\o-
mu naprqmku, budut\ vykladeni v nastupnyx publikaciqx.
2. Klas mir zi strukturno podibnym nosi[m. Kompaktnu mnoΩynu S ⊆ R
nazyvagt\ strukturno podibnog, qkwo pry koΩnomu ε > 0 vona rozklada[t\sq
v ob’[dnannq skinçenno] kil\kosti podibnyx pidmnoΩyn iz diametramy, wo ne
perevywugt\ ε:
S =
s j
j
M
=
<∞
1
ε
∪ , diam ( sj ) ≤ ε, sj ≈ sl , j, l = 1, 2, … , Mε
, (1)
pry c\omu
λ( )s sj l
cl cl∩ = 0, j ≠ l,
de ≈ poznaça[ podibnist\, s j
cl
— zamykannq mnoΩyny sj , λ — mira Lebeha. In-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 773
ßymy slovamy, strukturno podibna mnoΩyna na dovil\nomu ε-rivni sklada[t\sq
z skinçenno] kil\kosti podibnyx „cehlynok”.
Miru µ na R nazyvagt\ strukturno podibnog, qkwo ]] nosij supp µ = S [
strukturno podibnog mnoΩynog.
V podal\ßomu budemo vykorystovuvaty lyße pidklas imovirnisnyx mir na
vidrizku [ 0, 1 ], nosi] qkyx [ strukturno podibnymy. Usg mnoΩynu takyx mir
poznaçymo M
ss( [ 0, 1 ] ) ≡ M
ss
(ss = structural similarity) i vyznaçymo takym çynom.
Rozhlqnemo paru stoxastyçnyx matryc\ vyhlqdu
Q = { } =
… …
… …
… …
… …
… …
… …
≡ { }=
∞
= =
∞qk k
k
k
n nk
ik i k
n
q q
q q
q q
q1
11 1
21 2
1
1 1
. .
. .
. .
,
,
(2)
ta
P ≡ { } =
… …
… …
… …
… …
… …
… …
≡ { }=
∞
= =
∞pk k
k
k
n nk
ik i k
n
p p
p p
p p
p1
11 1
21 2
1
1 1
. .
. .
. .
,
,
, (3)
stovpçyky qkyx utvorggt\ stoxastyçni vektory qk ta pk ∈ R
n
, n > 1:
qk = ( q1k , q2k , … , qn k ), q1k , … , qn k > 0, q1k + … + qnk = 1,
pk = ( p1k , p2k , … , pn k ), p1k , … , pn k ≥ 0, p1k + … + pnk = 1.
Prypustymo, wo vykonu[t\sq umova
qinf : = inf
ik
ikq > 0. (4)
Matrycq (2) fiksu[ na [ 0, 1 ] tak zvane Q-zobraΩennq dijsnyx çysel [6, 16, 17].
Vono zada[t\sq takym çynom. Interval [ 0, 1 ] rozklada[t\sq zliva napravo v
mnoΩynu intervaliv ∆i1
, ∆i1 i2
, … , ∆i1 i2 … ik
, … ranhu 1, 2, … , k, … :
[ 0, 1 ] =
∆ ∆ ∆i
i
n
i i
i i
n
i i i
i i
n
k
k
1
1
1 2
1 2
1 2
11 1 1= =
…
… =
= = … =∪ ∪ ∪
, , ,
= … .
Pry c\omu vymaha[t\sq, wo rizni intervaly fiksovanoho ranhu peretynagt\sq
lyße v krajnix toçkax, ]x dovΩyny vyznaçagt\sq elementamy matryci Q,
λ ( ∆i1
) = qi1
1 , λ ( ∆i1 i2
) = qi1
1
qi2
2
, … , λ ( ∆i1 i2 … ik
) = qi1
1
qi2
2 … qik
k
, … ,
a ob’[dnannq [ uzhodΩenymy:
∆i1
= ∆ ∆ ∆i i
i
n
i i i i i i
i
n
k k
k
1 2
2
1 2 1 1 2
1 1=
… …
=
… = …
−∪ ∪, , , .
NevaΩko zrozumity, wo σ-alhebra, porodΩena sim’[g pidmnoΩyn { }… =
∞∆i i i kk1 2 1,
zbiha[t\sq z borelevog σ-alhebrog na [ 0, 1 ]. Zokrema, dlq koΩno] toçky x ∈
∈ [ 0, 1 ] isnu[ poslidovnist\ vkladenyx intervaliv ∆i1
⊃ ∆ i1 i2
⊃ … ⊃ ∆ i1 i2 … ik
⊃
⊃ … , qki v peretyni mistqt\ lyße cg toçku:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
774 V. D. KOÍMANENKO
x =
∆i i i
k
k1 2
1
…
=
∞
∩ .
Pry fiksovanomu Q-zobraΩenni vidrizka [ 0, 1 ] koΩna stoxastyçna matrycq
(3) zada[ deqku borelevu miru µ qk hranycg poslidovnosti kuskovo rivnomirno
rozpodilenyx imovirnisnyx mir: µ = limk → ∞ µk , de µk vyznaçagt\sq perßymy k
stovpçykamy matryc\ Q ta P,
µk : = ci i i i i i
i i i
k k
k
1 2 1 2
1 2 1
… …
… =
∞
∑ λ
, , ,
, c
p p p
q q qi i i
i i i k
i i i k
k
k
k
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
… =
…
…
: . (5)
Tut λi1 i2 … ik
: = λ � ∆i1 i2 … ik
poznaça[ zvuΩennq miry Lebeha na vidrizok ∆i1 i2 … ik
.
Z (5) vydno, wo
µ1 ( ∆i1
) = pi 1 , µ2 ( ∆i1 i2
) = pi1
1
pi2
2
, … , µk ( ∆i1 i2 … ik
) = pi1
1
pi2
2 … pik
k
, … . (6)
Z (5), (6) vyplyva[, wo funkciq rozpodilu fk ( x ) = µk { [ 0, x ] } miry µk ma[ hra-
fik (kuskovo linijno]) nespadno] lamano] lini]. Pry c\omu znaçennq funkci]
fk ( x ), k > 1, v kincevyx toçkax intervaliv ∆i1 i2 … ik – 1
ranhu k – 1 ti sami, wo i
znaçennq funkci] fk – 1 ( x ). NevaΩko zrozumity, wo poslidovnist\ { }( ) =
∞f xk k 1
potoçkovo majΩe skriz\ zbiha[t\sq, fk ( x ) → f ( x ), k → ∞, de f ( x ) [ neperervnog
sprava nespadnog funkci[g, f ( 0 ) = 0, f ( 1 ) = 1. Za pobudovog f ( x ) [ funkci[g
rozpodilu deqko] miry µ , qka naleΩyt\ do klasu M
ss
( [ 0, 1 ] ). Ce vyplyva[ z
toho, wo na usix intervalax ∆i1 i2 … ik
, k ≥ 1, mira µ budu[t\sq podibnog proce-
durog i λ ( ∆i1 , … , i k
) → 0, k → ∞, zavdqky umovi (4).
Xarakterna osoblyvist\ klasu mir µ ∈ M
ss
polqha[ v tomu, wo taki miry
zavΩdy magt\ lyße odnu komponentu v rozkladi Lebeha: abo toçkovu, abo abso-
lgtno neperervnu, abo synhulqrno neperervnu. Cej fakt pro çystotu spektra
(nosiq) miry µ ∈ M
ss
vyplyva[ z analoha vidomo] teoremy DΩessena – Vintnera
(dyv. [6]). Joho moΩna sformulgvaty takym çynom.
Dlq mir iz klasu M
ss
pyßemo µ ∈ M pp , M ac , M sc (poznaçennqm ss nex-
tu[mo), qkwo mira µ [ çysto toçkovog ( µ = µ pp ), çysto absolgtno nepererv-
nog ( µ = µac ) abo çysto synhulqrno neperervnog ( µ = µ sc ) vidpovidno. Poz-
naçymo
Pmax ( µ ) : = max
i
ik
k
p{ }
=
∞
∏
1
, ρ ( µ, λ ) : = p qik ik
i
n
k ==
∞
∑∏
11
.
Teorema 1. KoΩna mira µ ∈ M
ss
ma[ çystyj spektral\nyj typ:
a) µ ∈ M pp , lyße qkwo Pmax ( µ ) > 0;
b) µ ∈ M ac , lyße qkwo ρ ( µ, λ ) > 0;
c) µ ∈ M sc , lyße qkwo Pmax ( µ ) = 0 ta ρ ( µ, λ ) = 0.
Dovedennq tverdΩennq a) navedeno v [17]. Ideq dovedennq tverdΩen\ b), c)
©runtu[t\sq na teoremi Kakutani [18, 19] wodo mir, qki [ neskinçennymy prqmy-
my dobutkamy poslidovnosti mir. Tak, dlq stoxastyçno] matryci P (analohiçno
dlq Q ) rozhlqda[t\sq poslidovnist\ imovirnisnyx prostoriv ( Ωk , Ak , mk ), k =
= 1, 2, … , de mnoΩyna Ωk = { } =ωi i
n
1 ta σ-alhebra A k [ odnakovymy dlq vsix k,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 775
a dlq mir mk vykonugt\sq rivnosti m k ( ωi ) = p ik
. Nexaj ( Ω*, A *, m *
) =
=
k =
∞∏ 1
( Ωk , A k , mk ) poznaça[ neskinçennyj prqmyj dobutok takyx dyskretnyx
imovirnisnyx prostoriv. Varto zaznaçyty, wo mira m*
vza[mno odnoznaçno aso-
cijovana z matryceg P. Dijsno, za pobudovog, na cylindryçnyx mnoΩynax
Ωi1 … ik
: = ωi1
× ωi2
× … × ωik
× Ωk ss +=
∞∏ 1
⊂ Ω*
m*
( Ωi1 … ik
) = pi l
l
k
l
=
∏
1
.
Rozßyrennq tako] miry na dovil\nu pidmnoΩynu z σ-alhebry A*
vyznaça[t\sq
standartnym çynom (dyv., napryklad, [20]). Vyqvlq[t\sq, wo miry m*
ta µ tis-
no pov’qzani, oskil\ky m*
( Ωi1 … ik
) = µk ( ∆i1 … ik
) (dyv. (5)). Bil\ß dokladno, cej
zv’qzok vstanovlg[t\sq za dopomohog vymirnoho vidobraΩennq π z Ω*
v
[ 0, 1 ], qke vyznaçagt\ takym çynom:
π : Ω* � ω* = { ωi1
× ωi2
× … × ωik
× … } → x =
∆i i i
k
k1 2
1
…
=
∞
∩ ∈ [ 0, 1 ].
Pry c\omu moΩe vynyknuty potreba zvuzyty π na mnoΩynu Ω *
\ Ω0
*
, de
µ* *( )Ω0 = 0. Todi µ ( E ) = m*
( π–
1
( E ) ) dlq dovil\no] borelevo] mnoΩyny E z
[ 0, 1 ], de π–
1
( E ) : = { ω* ∈ Ω*
\ Ω0
* : π ( ω*
) ∈ E }. V takomu razi miru µ nazyva-
gt\ obraz-mirog miry m*
vidnosno vidobraΩennq π. Teper tverdΩennq b), c) [
naslidkamy teoremy Kakutani [18] (dokladniße dyv. [17]).
3. Dynamiçna systema konfliktu. Dynamiçna systema konfliktu budu[t\-
sq v prqmomu dobutku prostoriv M
ss
× M
ss
takym çynom. Pry fiksovanomu Q-
zobraΩenni vidrizka [ 0, 1 ] rozhlqda[t\sq para mir µ , ν ∈ M
ss
, asocijovanyx iz
stoxastyçnymy matrycqmy P ta R = { } =
∞rk k 1. Do nyx zastosovu[t\sq nekomu-
tatyvne peretvorennq � (kompozyciq konfliktu):
µ1 = µ � ν, ν1 = ν � µ,
de koΩna z mir µ1
, ν1
znovu naleΩyt\ prostoru M
ss
. Ci miry asocijovani z
stoxastyçnymy matrycqmy P1 = { } =
∞pk k
1
1, R1 = { } =
∞rk k
1
1, de novi stoxastyçni vek-
tory pk
1
, rk
1
vyznaçagt\sq kompozyci[g konfliktu � v prostori R
n
, n > 1:
pk
1 = pk � rk
, rk
1 = rk � pk
.
Koordynaty pik
1
, rik
1
, i = 1, … , n, vektoriv pk
1
, rk
1
obçyslggt\sq za formu-
lamy
p
p r
zik
ik ik
k
1 1
:= ( − )
, r
r p
zik
ik ik
k
1 1
:= ( − )
, (7)
de dil\nyk zk = 1 – ( pk
, rk ) ( ( ⋅, ⋅ ) — skalqrnyj dobutok v R
n ) zabezpeçu[ umo-
vu stoxastyçnosti novyx vektoriv:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
776 V. D. KOÍMANENKO
p rik
i
n
ik
i
n
1
1
1
1= =
∑ ∑= = 1.
Z (7) vydno, wo koordynaty ortohonal\nyx vektoriv zalyßagt\sq nezminnymy
vidnosno di] �. Zrozumilo takoΩ, wo dlq korektnosti formul (7) slid vymaha-
ty, wob ( pk
, rk ) ≠ 1 dlq koΩnoho k. Cq umova avtomatyçno bude vykonuvatysq
pry iteraciqx kompozyci] �, qkwo vona mala misce na perßomu kroci.
Formuly (7) magt\ nastupnu interpretacig. Pry k = 1 çyslo pi1
1
dorivng[
jmovirnosti dlq oponenta A znaxodytys\ u rehioni ∆i1
pislq perßoho kroku
konfliktno] vza[modi] z oponentom B. Cq jmovirnist\ proporcijna dobutku po-
çatkovo] jmovirnosti pi1 dlq A perebuvaty v ∆i1
na 1 – ri1 — jmovirnosti to-
ho, wo oponent B v c\omu rehioni vidsutnij. Analohiçnyj sens ma[ ri1
1
. NevaΩ-
ko pokazaty, çysla pi1
1
, ri1
1
[ umovnymy jmovirnostqmy odnoçasno] vza[movyk-
lgçno] (al\ternatyvno]) prysutnosti oponenta A çy B po usix rehionax ∆i1
,
i = 1, … , n. Analohiçnyj sens magt\ çysla pik
1
, rik
1
dlq bud\-qkoho k.
Iteraciq kompozyci] � u prostori M
ss
× M
ss
porodΩu[ dynamiçnu systemu
konfliktu v dyskretnomu çasi:
{ µN
–
1, νN
–
1
} �→ { µN, νN
}, N = 1, 2, … , µ0 = µ, ν0 = ν. (8)
Nastupna teorema stverdΩu[, wo koΩna tra[ktoriq dynamiçno] systemy (8)
zbiha[t\sq do invariantnoho hranyçnoho stanu.
Teorema 2. Dlq dovil\no] pary poçatkovyx mir µ, ν ∈ M
ss
z umovog
( pk
, rk ) ≠ 1 ∀k (9)
isnugt\ invariantni vidnosno di] � hranyçni miry µ∞, ν∞ ∈ M
ss
u sensi potoç-
kovo] zbiΩnosti majΩe skriz\ vidpovidnyx funkcij rozpodilu :
µ∞ = lim
N
N
→∞
µ , ν∞ = lim
N
N
→∞
ν .
Pry c\omu µ∞ ⊥ ν∞
, qkwo µ ≠ ν, ta µ∞ = ν∞
, qkwo µ = ν.
Zaznaçymo, wo umova (9) (dali prypuska[mo, wo vona zavΩdy vykonu[t\sq) oz-
naça[, wo rivnist\ pik = rik = 1 nikoly ne vynyka[. Isnuvannq hranyçnyx mir µ∞,
ν∞
vyplyva[ z isnuvannq hranyçnyx stoxastyçnyx vektoriv
p pk
N
k
N∞
→∞
= lim , r rk
N
k
N∞
→∞
= lim , k = 0, 1, … ,
wo dovedeno v bil\ß zahal\nomu konteksti v teoremi pro konflikt (dyv. [1, 2]).
Poslidovnosti hranyçnyx vektoriv pk
∞
, rk
∞
, k = 1, 2, … , formugt\ paru sto-
xastyçnyx matryc\ P∞
, R∞
, z qkymy, zhidno z pobudovamy p. 2, asocijovani miry
µ∞, ν∞
z prostoru M
ss
. Vlastyvosti µ∞ ⊥ ν∞
, abo µ∞ = ν∞
takoΩ [ naslidkamy
teoremy pro konflikt.
NevaΩko znajty qvnu formulu dlq znaçen\ hranyçnyx mir µ∞, ν∞
na inter-
valax ∆i1 i2 … ik
. Dlq c\oho neobxidno navesty dopomiΩni rezul\taty. Dlq pary
riznyx i neortohonal\nyx stoxastyçnyx vektoriv p, r ∈ R+
n
poznaçymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 777
D : = d di
i
i
i∈ ∈+ −
∑ ∑= −
N N
,
de
di = pi – ri
, N+ : = { i : di > 0 }, N– : = { i : di < 0 }.
Zaznaçymo, wo 0 < D ≤ 1, oskil\ky p ≠ r. Rivnist\ dii∈ +
∑
N
= − ∈ −
∑ dii N
vy-
plyva[ z toho, wo pii∑ – rii∑ = 0.
Teorema 3. Qkwo p ≠ r, to koordynaty hranyçnyx vektoriv p∞
, r∞
ma-
gt\ nastupnyj qvnyj opys:
p
d
D
i
i
i
i
∞ +
+
=
∈
∉
, ,
, ,
N
N0
r
d
D
i
i
i
i
∞ −
−
=
− ∈
∉
, ,
, .
N
N0
(10)
Qkwo poçatkovi vektory rivni, p = r, ( p, r ) ≠ 1, to hranyçni vektory takoΩ
rivni, p ∞ = r∞
, i bil\ß toho, ]x koordynaty rivnomirno rozpodileni: pi
∞ =
= ri
∞ = 1 / m, de m ≤ n poznaça[ kil\kist\ nenul\ovyx koordynat vektoriv p, r.
Dovedennq navedemo lyße frahmentarno (detal\niße dyv. ([12])). Qkwo
p ≠ r, ale pi = ri dlq qkohos\ i, to v [2] pokazano, wo koordynaty pi
N = ri
N
zbihagt\sq do nulq, pi
∞ = ri
∞ = 0. Bil\ß toho, qkwo di ne [ stroho dodatnym,
to iteraciq formul (7) pokazu[ (dokladniße dyv. [1, 2, 12]), wo i v takomu razi
pi
N → 0, N → ∞. Ce oznaça[, wo pi
∞ = 0 dlq vsix i ∉ N+
. Analohiçno, ri
N → 0,
qkwo i ∉ N–
. Tomu di
N : = pi
N – ri
N → di
∞ = pi
∞
dlq i ∈ N+ i – di
N → – di
∞ =
= ri
∞
dlq i ∈ N–
. Dali, nevaΩko baçyty, wo nastupni vidnoßennq ne zaleΩat\
vid N :
d
d
d
d
i
N
j
N
i
j
= , i, j ∈ N+ ∪ N–
.
OtΩe,
d
d
d
d
i
j
i
j
∞
∞ = .
Tomu
p
p
d
d
i
j
i
j
∞
∞ = , i, j ∈ N+
,
r
r
d
d
i
j
i
j
∞
∞ = , i, j ∈ N–
.
Teper lehko pokazaty, wo cq systema rivnqn\ vidnosno hranyçnyx koordynat ma[
[dynyj rozv’qzok vyhlqdu (10). U vypadku p = r rivnomirnyj rozpodil hranyç-
nyx koordynat, pi
∞ = ri
∞ = 1 / m, de m = | { i : pi = ri ≠ 0 } |, vstanovleno v [2].
Z teoremy 3 oderΩu[mo nastupnyj rezul\tat.
Teorema 4. Elementy stoxastyçnyx matryc\ P
∞
, R
∞
, z qkymy asocijovani
hranyçni miry µ∞, ν∞
, magt\ qvnyj opys : qkwo pk
≠ rk
, to
p
d
D
i
i
ik
ik
k
k
k
∞ +
+
=
∈
∉
, ,
, ,
,
,
N
N0
r
d
D
i
i
ik
ik
k
k
k
∞ −
−
=
− ∈
∉
, ,
, ,
,
,
N
N0
pk
≠ rk
, (11)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
778 V. D. KOÍMANENKO
qkwo Ω pk
= rk
, to
p r
mik ik
k
∞ ∞= = 1
, pk
= rk
, ( pk
, rk ) ≠ 1, (12)
de mk — kil\kist\ toçok mnoΩyny { i : pik = rik ≠ 0 }.
OtΩe, znaçennq miry µ∞
na intervali ∆i1 … ik
u prypuwenni, wo vona ne [
çysto toçkovog, vyznaça[t\sq kombinaci[g vidpovidnyx dobutkiv z formul (11),
(12). Zokrema, qkwo ps
≠ rs abo ps
= rs dlq vsix s ≤ k, to
µ∞
( ∆i1 … ik
) =
d
D
i
i
i l
ll
k
l l
l l
l
=
+
+
∏ ∈
∉
1
0
, ,
, ,
,
,
N
N
(13)
µ∞
( ∆i1 … ik
) =
1
1 mkl
k
=
∏ . (14)
Bezposeredn\o z teorem 1 ta 4 vyplyva[ nastupnyj rezul\tat, qkyj formu-
lg[mo lyße dlq odni[] z hranyçnyx mir.
Teorema 5. Hranyçna mira µ∞
ma[ çystyj spektral\nyj typ:
a) µ∞ ∈ M pp lyße todi, koly
Pmax ( µ∞
) : = max
i
ik
kk
d
D=
∞
∏
1
> 0; (15)
b) µ∞ ∈ M ac lyße todi, koly majΩe dlq vsix k
ρ ( µ∞, λ ) : =
d q
D
ik ik
kik
∑∏
=
∞
1
> 0; (16)
c) µ∞ ∈ M sc lyße todi, koly umovy (15), (16) porußugt\sq.
4. Vidnovlennq spektral\noho typu. V c\omu punkti znajdeno umovy vid-
novlennq spektral\noho typu ta perexodu v inßyj spektral\nyj typ dlq odni[]
z hranyçnyx mir u dynamiçnyx systemax konfliktu. Zaznaçymo, wo pytannq pro
perexid mir z odnoho z klasiv M ac
, M pp
, M sc do inßoho [ vaΩlyvym u zastosu-
vannqx.
Hovorymo, wo mira µ ma[ lokal\nu perevahu vidnosno ν (poznaça[mo ( µ >
> ν ) loc ), qkwo dlq koΩnoho k isnu[ zaleΩne vid k znaçennq indeksu i ( pozna-
ça[mo joho ′ik ) take, wo riznyci dik = pik – rik z i ∈ N+, k
, i ≠ ′ik , prqmugt\ do
nulq pry k → ∞ nastil\ky ßvydko, wo suma
d
D
ik
ki i ik k k≠ ′ ∈=
∞
+
∑∑
, ,N1
< ∞ (17)
[ skinçennog. Napryklad, qkwo majΩe pry vsix k (tobto k ∉ K , de K —
skinçenna mnoΩyna) çysla dik stroho dodatni lyße dlq odnoho znaçennq indek-
su i = ′ik , to v (17) zalyßa[t\sq skinçenna kil\kist\ dodankiv i tomu ( µ > ν ) loc .
Osnovnym rezul\tatom roboty [ nastupna teorema. Vona stverdΩu[, wo v
rezul\tati konfliktno] vza[modi] miΩ miramy µ ≠ ν hranyçna mira µ∞
bude
çysto toçkovog lyße todi, koly poçatkova mira µ ma[ lokal\nu perevahu nad
mirog ν.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 779
Teorema 6. Nexaj dynamiçna systema konfliktu (8) ma[ poçatkovu paru
mir µ, ν ∈ M
ss
takyx, wo µ ≠ ν. Prypustymo, wo stoxastyçni matryci P,
R, asocijovani z miramy µ, ν, zadovol\nqgt\ umovu: pk
≠ rk majΩe dlq vsix k
(za vynqtkom k ∈ K, de K — skinçenna mnoΩyna). Todi hranyçna mira
µ∞ ∈ M pp ⇔ ( µ > ν ) loc. (18)
Dovedennq ©runtu[t\sq na spivvidnoßenni
( µ > ν ) loc ⇔ max
i
ik
kk K
d
D≠
∏ > 0. (19)
Perekona[mosq v joho spravedlyvosti. Dijsno, z (17) vyplyva[ prava çastyna
(19), oskil\ky
d
D
d
D
ik
ki i i
ik
k
k k∈{ ′ }+
∑ = −
N , \
max1 .
U svog çerhu spravedlyvist\ pravo] çastyny (19) oznaça[, wo z neobxidnistg vsi
dodatni riznyci dik
, i ≠ ′ik , zbihagt\sq do nulq tak ßvydko, wo vykonu[t\sq (17).
OtΩe, prypustymo, wo mira µ ma[ lokal\nu perevahu nad mirog ν. Todi Ωodna
z mir µ∞
, ν∞
ne moΩe buty absolgtno neperervnog, oskil\ky z nerivnosti p k
≠
≠ rk dlq neskinçenno] kil\kosti znaçen\ k vyplyva[ isnuvannq neskinçenno]
kil\kosti matryçnyx elementiv pik
∞
, rik
∞
, rivnyx nulg. Na pidstavi umovy (4) ce
oznaça[, wo µ∞, ν∞ ∉ Mac
. OtΩe, miry µ∞, ν∞ ∈ M pp ∪ M sc
. Dali, vraxovugçy
te, wo z mirog µ∞
asocijovana stoxastyçna matrycq P∞
, stovpçykamy qko] [
koordynaty vektoriv pk
∞
(qvnyj opys cyx koordynat da[ formula (11)), oder-
Ωu[mo
p p
d
Dk
i
ik
i
ik
k
,max : max max∞ ∞= = .
Takym çynom, zavdqky (19) robymo vysnovok, wo dobutok max
i
ik
k
k
d
D=
∞∏ 1
[ stro-
ho dodatnym, abo, wo ekvivalentno, pkk ,max
∞
=
∞∏ 1
> 0. Tomu zhidno z teoremamy 1
ta 5 µ∞ ∈ M pp
. V odyn bik teoremu dovedeno.
Navpaky, qkwo mira µ∞
[ çysto toçkovog, to zhidno z teoremog 5 vykonu[t\-
sq spivvidnoßennq pkk ,max
∞∞∏ > 0. Vono, qk til\ky wo bulo pokazano, [ ekviva-
lentnym pravij çastyni (19). OtΩe, qkwo mira µ ∞ ∈ M pp
, to z neobxidnistg
mira µ ma[ lokal\nu perevahu nad mirog ν.
Teoremu dovedeno.
Zaznaçymo, wo u vypadku, koly Ωodna z mir µ, ν ne ma[ lokal\no] perevahy
nad inßog, obydvi hranyçni miry budut\ çysto synhulqrno neperervnymy: µ∞,
ν∞ ∈ M sc
. Ce vyplyva[ z podal\ßoho analizu spektral\no] struktury hranyç-
nyx mir. Vzahali, v dynamiçnyx systemax konfliktu najlehße vtratyty i naj-
vaΩçe vidnovyty (reheneruvaty) absolgtno neperervnyj typ spektra. Dijsno,
nexaj µ ∈ Mac
. Todi µ∞ : = µ �
∞
ν ∉ M ac
, qkwo µ ≠ ν, u tomu sensi, wo i v teo-
remi 6. Dijsno, vnaslidok (11) pik
∞ = 0 z deqkymy i dlq neskinçenno] kil\kosti
znaçen\ indeksu k. {dyna moΩlyvist\ zalyßyty miru µ absolgtno nepererv-
nog pislq konfliktno] vza[modi] polqha[ v tomu, wo ν ma[ buty majΩe totoΩ-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
780 V. D. KOÍMANENKO
nog do µ, a matryçni elementy Q praktyçno ne povynni vidriznqtysq vid 1 / n.
Sformulg[mo cej rezul\tat u vyhlqdi tverdΩennq.
Pyßemo qik ∼ 1 / n, qkwo q niki
n
k /( )==
∞ ∑∏ 11
> 0.
TverdΩennq 1. Nexaj µ ∈ M ac
. Todi µ ∞ ∈ M ac lyße qkwo qik ∼ 1 / n
ta pik = rik majΩe dlq vsix k.
Dovedennq. Z ostann\o] umovy zhidno z teoremog 3 vyplyva[, wo pik
∞ = rik
∞ =
= 1 / n majΩe dlq vsix k. Tomu na pidstavi perßo] umovy tverdΩennq ma[mo
ρ ( µ∞, λ ) > 0. Ce zabezpeçu[ µ∞ ∈ M ac
. Perekona[mos\ u neobxidnosti umov
tverdΩennq. VΩe bulo pokazano, wo µ∞ ∉ M ac
, qkwo µ ≠ ν, v tomu sensi, wo
pik ≠ rik dlq neskinçenno] kil\kosti znaçen\ k. OtΩe, umova pik = rik majΩe dlq
vsix k [ neobxidnog. Teper oçevydno, wo oskil\ky pik
∞ = 1 / n, velyçyna ρ ( µ∞,
λ ) bude stroho dodatnog lyße za umovy qik ∼ 1 / n.
ZauvaΩymo, wo dlq µ ∈ M ac pry qik � 1 / n mira µ∞ = µ �
∞
ν ∉ M ac navit\
qkwo µ ≡ ν. A pry ν ≠ µ na neskinçennij kil\kosti intervaliv ∆i1 i2 … ik
hranyç-
nu miru µ∞ ∈ M pp nikoly ne moΩna perevesty v miru z absolgtno neperervnym
spektrom z dopomohog kompozyci] konfliktu, tobto v c\omu vypadku µ∞ �
∞
ν′ ∉
∉ M ac dlq bud\-qko] miry ν′. NemoΩlyvist\ vidnovlennq absolgtno nepererv-
noho spektra vyplyva[ z toho, wo v c\omu vypadku z neobxidnistg pik
∞ = 0 dlq
neskinçenno] kil\kosti znaçen\ k. Zminyty takyj rozpodil za raxunok kon-
fliktno] vza[modi] nemoΩlyvo.
TverdΩennq 2. Nexaj µ ∈ M ac
, a ν ∈ M pp
. Todi µ∞ ∈ M sc
.
Dovedennq. Zrozumilo, wo µ∞ ∉ M ac (dyv. dovedennq teoremy 6). Z umovy
µ ∈ Mac vyplyva[, wo pik ∼ qik v tomu sensi, wo p qik ikik ==
∞ ∑∏ ( )11
> 0. Ale
zhidno z (4) usi qik ≥ qinf > 0. Tomu dlq majΩe vsix k vykonu[t\sq nerivnist\
rik < pik dlq vsix znaçen\ indeksu i, za vynqtkom odnoho, oskil\ky zavdqky ν ∈
∈ M pp çysla maxi ( rik ) = : ri kk′′ ( indeks ′′ik vidpovida[ miri ν ) povynni duΩe
ßvydko prqmuvaty do odynyci pry k → ∞ (dyv. teoremu 1 ta dovedennq teoremy
6). Ce pryvodyt\ do toho, wo majΩe dlq vsix k koordynaty pik
∞, i ≠ ′′ik , [
stroho dodatnymy. Bil\ß toho, ci koordynaty ne moΩut\ zbihatysq do odynyci
pry k → → ∞, bo vsi rik → 0, i ≠ ′′ik . Tomu µ∞ ∉ M pp
, a otΩe, vnaslidok çysto-
ty typu spektra strukturno podibnyx mir µ∞ ∈ M sc
.
Vlastyvist\ µ∞ ∈ M pp [ dosyt\ stijkog vidnosno vza[modi] konfliktu. Py-
ßemo pik ∼ ( 0 ∨ 1) abo pik ∼ [ 0 ∨ 1], qkwo vidpovidno pi kk ′=
∞∏ 1
> 0 abo pi k′ =
= 1 majΩe dlq vsix k, de pi k′ : = maxi { pik }. Zrozumilo, wo dlq koΩno] miry µ
z çysto toçkovym spektrom zavΩdy vykonu[t\sq odne iz spivvidnoßen\: pik ∼ ( 0 ∨
∨ 1) abo pik ∼ [ 0 ∨ 1]. Qkwo vykonu[t\sq ostann[, to pik = 0, i ≠ i ′, majΩe dlq
vsix k, i todi µ �
∞
ν ∉ M ac
, qkog b ne bula mira ν. Qkwo vykonu[t\sq perße
spivvidnoßennq i pry c\omu pik ≠ 0, pk
≠ rk majΩe dlq vsix k, to todi z neob-
xidnistg isnugt\ koordynaty pik
∞ = 0 dlq neskinçenno] kil\kosti znaçen\ k, i
tomu znovu µ∞ ∉ M ac nezaleΩno vid vyboru Q-zobraΩennq.
TverdΩennq 3. Nexaj µ ∈ M pp
, a ν ∈ M ac
. Todi µ ∞ ∈ M pp pry umovi,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 781
wo qik ∼ 1 / n abo pik ∼ [ 0 ∨ 1]. Qkwo µ , ν ∈ M pp i ′ik ≠ ′′ik majΩe dlq vsix k,
to µ∞, ν∞ ∈ M pp
.
Dovedennq. Nahada[mo, wo µ, ν ∈ M pp ekvivalentne spivvidnoßennqm
pi
k
k′
=
∞
∏
1
> 0, ri
k
k′′
=
∞
∏
1
> 0, pik′ : = maxi { pik }, rik′′ : = maxi { rik }.
Pry umovi qik ∼ 1 / n abo pik ∼ [ 0 ∨ 1] mira µ z neobxidnistg matyme lokal\nu
perevahu nad ν, qkwo ν ∈ M ac. Tomu perße tverdΩennq [ oçevydnym. Dali,
umova ′ik ≠ ′′ik (dyv. (17)) dlq mir iz çysto toçkovym spektrom oznaça[, wo vony
odnoçasno matymut\ vza[mnu lokal\nu perevahu odna nad odnog (zvyçajno, v
riznyx pozyciqx). Teper druhe tverdΩennq [ naslidkom teoremy 6.
5. Dostatni umovy. U c\omu punkti oderΩano prosti dostatni umovy na-
leΩnosti hranyçnyx rozpodiliv do çysto toçkovoho, synhulqrno neperervnoho
abo absolgtno neperervnoho typu spektra.
Teorema 7. Hranyçna mira µ∞
naleΩyt\ M pp
, qkwo vykonu[t\sq odna z
umov: majΩe dlq vsix k
| { i : sign ( dik ) = + } | = 1, (20)
de dik : = pik – rik
, a | { ⋅ } | — kil\kist\ elementiv mnoΩyny { ⋅ }, abo
( )−
=
∞
∑ 1
1
max
i
ik
k
d < ∞. (21)
Dovedennq. Umova (20) oznaça[, wo dlq koΩnoho znaçennq indeksu k = 1,
2, … , krim, moΩlyvo, ]x skinçenno] kil\kosti, nerivnist\ dik > 0 vykonu[t\sq
lyße dlq odnoho i ( svoho dlq koΩnoho k ). Tomu majΩe dlq vsix k
maxi ikp{ }∞ = 1. OtΩe, Pmax ( µ∞
) = maxi ikk
p{ }∞∏ > 0 i zhidno z teoremamy 1 ta 5
µ∞ ∈ M pp
.
Zrozumilo, wo navit\ pry nevykonanni umovy (20) poslidovnist\ maxi ikp{ }∞
moΩe prqmuvaty do 1 pry k → ∞ nastil\ky ßvydko, wo nerivnist\ Pmax ( µ∞
) >
> 0 bude vse odno vykonuvatys\. Ce, zokrema, ma[ misce pry umovi (21), qka ekvi-
valentna nerivnosti maxi ikk
d( )=
∞∏ 1
> 0. Todi dkk
∞
=
∞∏ 1
> 0 takoΩ, oskil\ky
dk ≤ dk
∞
(dyv. [12]). Tomu maxi ikk
p{ }∞
=
∞∏ 1
> 0, bo maxi ikp∞ = dk
∞
.
V umovax teoremy 7 iz dodatkovym prypuwennqm, wo | { i : sign ( dik ) = ± } | = 2
majΩe dlq vsix k, hranyçna mira ν∞
takoΩ naleΩyt\ M pp
. Ce vyplyva[ z to-
ho, wo zhidno z takym dodatkovym prypuwennqm konfliktna vza[modiq vidbuva-
[t\sq lyße po dvox spirnyx pozyciqx. Tomu maxi ikr{ }∞ = 1 majΩe dlq vsix k.
Qkwo n = 3 i | { i : sign ( dik ) = + } | = 2 majΩe dlq vsix k, to ν∞
takoΩ nale-
Ωyt\ M pp
, bo i v c\omu vypadku majΩe vsi rik
∞ = 1.
Bil\ß zahal\no moΩna stverdΩuvaty take: qkwo vidomo, wo | { i : sign ( dik ) =
= + } | = n – 1, n > 3, to z neobxidnistg | { i : sign ( – dik ) = + } | = 1, i v takomu razi
ν∞
naleΩyt\ M pp za teoremog 7. Pry c\omu mira µ∞
takoΩ moΩe maty çysto
toçkovyj spektr, qkwo, napryklad, odnoçasno vykonu[t\sq umova (21).
U zahal\nomu vypadku, koly µ ≠ ν na neskinçennij kil\kosti vidrizkiv
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
782 V. D. KOÍMANENKO
∆i1 i2 … ik
i toçno vidomo, wo µ∞ ∈ M pp
, z neobxidnistg ν∞ ∉ M ac
. Ce vyplyva[ z
toho, wo dlq vidpovidnyx k isnu[ xoça b odne znaçennq i ( svo[ dlq koΩnoho k )
take, wo rik
∞ = 0 (pry c\omu pik
∞ > 0 ). Tomu ρ ( ν∞, λ ) = 0. Çy moΩna stverdΩu-
vaty, wo todi ν∞ ∈ M ac? Vzahali kaΩuçy — ni, ale v bil\ßosti vypadkiv — tak.
Qkisno ce moΩna poqsnyty takym çynom. Prypustymo, wo poçatkova mira ν na-
leΩyt\ M ac. Todi vnaslidok toho, wo ρ ( ν, λ ) > 0, znaçennq rik
, qik asympto-
tyçno blyz\ki miΩ sobog pry k → ∞. Z inßoho boku, dlq vsix i, krim tyx, dlq
qkyx pik
∞ = 1, cq asymptotyçna blyz\kist\ istotno ne zming[t\sq pry N → ∞ ,
bo dlq takyx i znaçennq koordynat pik
N
duΩe ßvydko prqmugt\ do nulq, wob
zabezpeçyty naleΩnist\ miry µ∞
do klasu M pp
. OtΩe, vidpovidni koordynaty
rik zminggt\sq malo i tomu mira ν, vtraçagçy svog absolgtnu neperervnist\,
ne moΩe staty çysto toçkovog i, otΩe, bude synhulqrno neperervnog.
TverdΩennq 4. Qkwo umovy (20) ta
| { i : dik = 0 } | = n (22)
odnoçasno vykonugt\sq dlq neskinçenno] kil\kosti znaçen\ indeksu k, to obyd-
vi hranyçni miry µ∞, ν∞
naleΩat\ M sc
.
Dovedennq. Za umovog infi, k qik > 0 (dyv. (4)) z vykonannq (20) dlq neskin-
çenno] kil\kosti znaçen\ k vyplyva[, wo rik
∞ = 0 dlq neskinçenno] kil\kosti
znaçen\ k i tomu ρ ( ν∞, λ ) = 0. V c\omu vypadku plk
∞ = 0 dlq vsix l, vidminnyx
vid poperednix i. OtΩe, ν∞, µ∞ ∉ M ac
. U svog çerhu, vykonannq umovy (22) oz-
naça[, wo maxi ikp{ }∞ = maxi ikr{ }∞ = 1 / n dlq neskinçenno] kil\kosti znaçen\ in-
deksu k. Tomu Pmax ( µ∞
) = Pmax ( ν∞
) = 0, a ce oznaça[, wo µ∞, ν∞ ∉ M pp
. Z ohlq-
du na çystotu spektral\noho typu dlq mir iz klasu M
ss
robymo vysnovok, wo
obydvi miry µ∞, ν∞
naleΩat\ M sc
.
TverdΩennq 5. Qkwo majΩe dlq vsix k qik = 1 / n i
| { i : dik = 0 } | = 0, (23)
to obydvi hranyçni miry µ∞, ν∞
naleΩat\ M ac
.
Dovedennq. Umova (23) oznaça[, wo majΩe dlq koΩnoho znaçennq k = 1,
2, … rivnist\ qik = rik ≠ 0 vykonu[t\sq dlq vsix znaçen\ i. Tomu pik
∞ = rik
∞ = 1 / n
majΩe dlq vsix k. OtΩe, ρ ( µ∞, λ ), ρ ( ν∞, λ ) > 0 i tomu miry µ∞, ν∞
naleΩat\
M ac
.
6. Pryklad. Pobudu[mo pryklad, v qkomu dvi poçatkovi synhulqrno nepe-
rervni miry pry konfliktnij vza[modi] perexodqt\ u hranyçni rozpodily z çysto
toçkovym spektrom.
Rozhlqnemo dynamiçnu systemu konfliktu z parog poçatkovyx mir µ, ν ∈
∈ M ac
, µ ≠ ν, zadanyx poslidovnostqmy stoxastyçnyx vektoriv pk
, rk ∈ R
n
, n >
> 3, k = 1, 2, … , qki majΩe dlq vsix k zadovol\nqgt\ vza[mni spivvidnoßennq
miΩ svo]my koordynatamy:
pk = ( p1k , … , pi – 1, k , pik , pi + 1, k , … , pn – 1, k , pnk = 0 )
∧ … ∧ ∨ ∧ … ∧
rk = ( r1k , … , ri – 1, k , rik , ri + 1, k , … , rn – 1, k , rnk = 0 ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
VIDNOVLENNQ SPEKTRAL|NOHO TYPU HRANYÇNYX ROZPODILIV … 783
Inßymy slovamy, majΩe dlq vsix k lyße odna koordynata pik bil\ßa za rik
, a
usi inßi plk
, l ≠ i, menßi za rlk (abo navit\ moΩut\ buty rivnymy). Zvyçajno,
znaçennq indeksu i u cyx spivvidnoßennqx vzahali zaleΩni vid k. Krim toho, qk
minimum, odna z koordynat u cyx vektoriv [ nul\ovog. Vymaha[mo takoΩ, wob
sup
k
ikp( ) < 1, min
l i
lkr
≠
( ) > 0 min
l i
lk lkr p
≠
( − ) ≥ ε > 0 (24)
majΩe dlq vsix k (tut znaçennq indeksu i ti sami, wo i vywe). Ostanni umovy ha-
rantugt\ naleΩnist\ obox mir do klasu M sc
. Z teoremy 3 vyplyva[, wo hranyç-
ni miry µ∞, ν∞
budut\ vidpovidaty vektoram pk
∞
, rk
∞
zi znaçennqmy koordynat
pk
∞ = ( 0 , … , 0, pik
∞, … , 1, 0 , … , 0 ),
rk
∞ = ( ≠ … ≠ ≠ … ≠ )∞
−
∞
−
∞
−
∞r r r rk i k i k n k1 1 1 10 0 0 0 0 0, , , , , , ,, , , .
Teper oçevydno, wo Pmax ( µ∞
) > 0, a Pmax ( ν∞
) = 0, pryçomu cq rivnist\ vyplyva[
z ostann\o] vymohy v (24). Tomu zhidno z teoremog 1 µ∞ ∈ M pp
, a ν∞ ∈ M pp ∪
∪ M sc
. NevaΩko zabezpeçyty naleΩnist\ ν∞
takoΩ do klasu M pp
. Dlq c\oho
dostatn\o znqty ostanng vymohu v (24) i zaminyty vywe spivvidnoßennq plk < rlk
,
l ≠ i, na plk = rlk dlq vsix l, okrim odnoho: pl′ k < rl′ k
. Todi na hranyci pry N →
→ ∞ oderΩu[mo rl k′
∞ = 1 majΩe pry vsix k. Ce pryvede do toho, wo Pmax ( ν∞
) >
> 0. OtΩe, mira ν∞
takoΩ stane çysto toçkovog.
ZauvaΩymo, wo poçatkova mira µ v c\omu prykladi moΩe buty hranyçnog
mirog inßo] dynamiçno] systemy z poçatkovog mirog klasu M pp
. Tomu navede-
nyj pryklad demonstru[ moΩlyvist\ vidnovlennq toçkovoho spektral\noho ty-
pu v dynamiçnyx systemax konfliktu.
7. Interpretaciq. Vidomo, wo pytannq pro fizyçnyj sens synhulqrno ne-
perervnoho spektra [ vidkrytym. Xarakterne qvywe vynyknennq takoho spektra
v teori] konfliktiv, qka çasto modelg[ borot\bu biolohiçnyx vydiv, zumovlg[
aktual\nist\ c\oho pytannq. Navedemo deqku interpretacig synhulqrno nepe-
rervnoho spektra. Nahada[mo, wo u praktyçnyx zastosuvannqx toçkovyj spektr
vidpovida[ stacionarnym stanam (çastotam kolyvan\) fizyçnyx system, absolgt-
no neperervnyj, qk pravylo, pov’qzanyj z evklidovog strukturog fizyçnoho
prostoru i doslidΩu[t\sq v kvantovij teori] v procesax rozsigvannq. Qvywe,
koly v rezul\tati konfliktno] vza[modi] miΩ neznywennymy oponentamy znyka[
qk toçkovyj, tak i absolgtno neperervnyj spektr, a natomist\ z’qvlq[t\sq çys-
to synhulqrno neperervnyj, nahadu[ fizyçnyj proces anihilqci] elementarnyx
çastynok v qdernyx reakciqx. Za analohi[g my proponu[mo interpretuvaty vy-
nyknennq synhulqrno neperervnoho spektra qk perexid systemy z toçkovoho abo
absolgtno neperervnoho spektra v stan, xarakternyj dlq pol\ovo] (moΩlyvo,
duxovno]) substanci]. Zvorotnyj proces transformaci] synhulqrno nepererv-
noho spektra v toçkovyj moΩna interpretuvaty qk matematyçnyj analoh dyvnyx
pryrodnyx qvyw, koly vplyv qko]s\ substanci] (ne identyfikovano] v spostere-
Ωennqx) pryvodyt\ do qvnyx evolgcijnyx zmin u povedinci biolohiçnyx system.
Ci zminy potrebugt\ naukovoho poqsnennq i stanovlqt\ netryvial\ni problemy.
ZauvaΩymo, wo nosi] mir µ∞, ν∞
, qk pravylo, zoseredΩeni na mnoΩynax frak-
tal\no] struktury i magt\ nul\ovu miru Lebeha (dyv., napryklad, [16]). U fi-
zyçnomu rozuminni nosi] takyx mir magt\ wilyny v bud\-qkomu ε-okoli koΩno]
svo[] toçky (bezmeΩno hlyboka mikroporysta struktura). Bahato fizyçnyx
prykladiv z podibnymy vlastyvostqmy navedeno v monohrafi] [11]. Osnovnyj re-
zul\tat ci[] roboty (teorema 6) da[ kryterij vidnovlennq toçkovoho (fizyçnoho)
spektra, vyxodqçy z synhulqrno neperervnoho. Dlq ilgstraci] pobudovano
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
784 V. D. KOÍMANENKO
pryklad dynamiçno] systemy konfliktu, qka perevodyt\ çysto synhulqrno ne-
perervnyj spektr u toçkovyj.
1. Koßmanenko V. D. Teorema pro konflikt dlq pary stoxastyçnyx vektoriv // Ukr. mat.
Ωurn. – 2003. – 55, # 4. – S. 555 – 560.
2. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Meth. Operat. Res. –
2004. – 59, # 2. – P. 303 – 313.
3. Koßmanenko V. D., Xarçenko N. V. Invariantni toçky dynamiçno] systemy konfliktu v
prostori kuskovo rivnomirno rozpodilenyx mir // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 7. – S. 927 –
938.
4. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions
// Theory Stochact. Process. – 2004. – 3 – 4. – P. 74 – 81.
5. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Spectral properties of image measures
under infinite conflict interactions // Positivity. – 2006. – 10. – P. 39 – 49.
6. Prac\ovytyj M. V. Fraktal\nyj pidxid u doslidΩennqx synhulqrnyx rozpodiliv. – Ky]v:
Nac. ped. un-t, 1998. – 298 s.
7. Krejn M. H., Qvrqn V. A. Funkcyy spektral\noho sdvyha, voznykagwye pry vozmuwenyqx
poloΩytel\noho operatora // J. Operator Theory. – 1981. – 6. – P. 155 – 191.
8. Murray J. D. Mathematical biology. – Springer, 2002. – 551 p.
9. Jones A. J. Game theory: mathematical models of conflict. – New York etc., 1980.
10. Owen G. Game theory. – San Diego, CA: Acad. Press, Inc., 1995. – 309 p.
11. Barnslev M. Fractals everywhere. – Acad. Press, 1988.– 540 p.
12. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between
non-annihilating opponent // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, # 4. – P. 309 – 319.
13. Bodnarçuk M. V., Koßmanenko V. D., Samojlenko I. V. Dynamika vza[modi] konfliktu miΩ
systemamy z vnutrißn\og strukturog // Nelinijni kolyvannq. – 2006. – 9, # 4. – S. 435 –
450.
14. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex
systems. Cyclic migration. – Bonn, 2006. – 28 p. – (Preprint / Bonn Univ., # 262).
15. Khan Md. Mahbubush Salam, Kazuyuki Ikko Takahashi. Mathematical model of conflict and
cooperation with non-annihilating multi-opponent // J. Interdiscipl. Math. – 2006. – 9, # 3. – P. 459
– 473.
16. Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of the singular continuous spectrum //
Meth. Funct. Anal. and Top. – 2003. – 9, # 2. – P. 101 – 119.
17. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Q̃ -representation of real numbers and
fractal probability distributions // arcXiv:math. – 2003. – PR/03 08 007 vl 1 Aug. – 12 p.
18. Kakutani S. Equivalence of infinite product measures // Ann. Math. – 1948. – 49. – P. 214 – 224.
19. Chatterji S. D. Certain induced measures on the unit interval // J. London Math. Soc. – 1963. – 38.
– P. 325 – 331.
20. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: Vywa ßk.,
1990. – 600 s.
OderΩano 15.12.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
|