Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии

Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточне...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Мурач, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164194
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164194
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641942020-02-09T01:26:54Z Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии Мурач, А.А. Статті Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточненій шкалі. Вивчено також еліптичні псевдодиференціальні оператори з параметром. We study linear elliptic pseudodifferential operators in the refined scale of functional Hilbert spaces over a smooth closed manifold. Elements of this scale are presented by the Hörmander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces. The local smoothness of a solution of an elliptic equation in the refined scale is investigated. Elliptic pseudodifferential operators with a parameter are also studied. 2007 Article Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164194 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Мурач, А.А. Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии Український математичний журнал
description	Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточненій шкалі. Вивчено також еліптичні псевдодиференціальні оператори з параметром.
format	Article
author	Мурач, А.А.
author_facet	Мурач, А.А.
author_sort	Мурач, А.А.
title	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
title_short	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
title_full	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
title_fullStr	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
title_full_unstemmed	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
title_sort	эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164194
citation_txt	Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT muračaa élliptičeskiepsevdodifferencialʹnyeoperatoryvutočnennojškaleprostranstvnazamknutommnogoobrazii
first_indexed	2025-07-14T16:42:53Z
last_indexed	2025-07-14T16:42:53Z
_version_	1837641366135373824
fulltext	UDK 517.9 A. A. Muraç (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev; Çernyhov. texnol. un-t) ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE PROSTRANSTV NA ZAMKNUTOM MNOHOOBRAZYY We study linear elliptic pseudodifferential operators in the refined scale of functional Hilbert spaces over a smooth closed manifold. Elements of this scale are presented by the Hörmander – Volevich – Pane- yakh isotropic spaces. The local smoothness of a solution of an elliptic equation in the refined scale is investigated. Elliptic pseudodifferential operators with a parameter are also studied. Vyvçagt\sq linijni eliptyçni psevdodyferencial\ni operatory v utoçnenij ßkali funkcio- nal\nyx hil\bertovyx prostoriv na hladkomu zamknenomu mnohovydi. Elementamy ci[] ßkaly [ izotropni prostory Xermandera – Voleviça – Paneqxa. DoslidΩeno lokal\nu hladkist\ rozv’qz- ku eliptyçnoho rivnqnnq v utoçnenij ßkali. Vyvçeno takoΩ eliptyçni psevdodyferencial\ni operatory z parametrom. Vvedenye. V nastoqwej stat\e yzuçaetsq lynejn¥j πllyptyçeskyj psevdo- dyfferencyal\n¥j operator (PDO) na zamknutom (kompaktnom) hladkom mno- hoobrazyy. Yzvestno (sm., naprymer, [1, 2]), çto ukazann¥j PDO ohranyçen y fredhol\mov v podxodqwyx parax sobolevskyx prostranstv y poroΩdaet v dvu- storonnej sobolevskoj ßkale prostranstv nabor topolohyçeskyx yzomorfyz- mov. V stat\e πtot klassyçeskyj rezul\tat utoçnqetsq prymenytel\no k hyl\- bertovoj ßkale nekotor¥x yzotropn¥x prostranstv Xermandera – Volevyça – Paneqxa [3, 4]. ∏ta ßkala xarakteryzuet hladkostn¥e svojstva raspredelenyj posredstvom par¥ parametrov: vewestvennoho çyslovoho y dopolnytel\noho funkcyonal\noho, kotor¥j medlenno menqetsq na + ∞ po Karamata. Ukazan- naq ßkala vvedena y yzuçena v [5 – 7]. Ee estestvenno naz¥vat\ utoçnennoj. Ona soderΩyt v sebe klassyçeskug sobolevskug ßkalu y qvlqetsq suwestven- no bolee tonkoj. Otmetym, çto prostranstva, xarakteryzugwye hladkost\ ras- predelenyj posredstvom funkcyonal\n¥x parametrov (t. e. prostranstva funk- cyonal\noj y obobwennoj hladkosty), qvlqgtsq v nastoqwee vremq predmetom mnohyx yssledovanyj (sm., naprymer, [8 – 10] y pryvedennug tam lyteraturu). Stat\q sostoyt yz 6 punktov. V p.@1 sformulyrovan osnovnoj rezul\tat ra- bot¥ — utverΩdenye o topolohyçeskom yzomorfyzme, kotor¥j zadaet πllyp- tyçeskyj PDO v utoçnennoj ßkale prostranstv na zamknutom mnohoobrazyy. V@p.@2 pryvedeno opredelenye utoçnennoj ßkal¥ y sformulyrovan rqd ee svojstv. Punkt 3 posvqwen ynterpolqcyy s funkcyonal\n¥m parametrom, kak osnovnomu metodu yssledovanyq lynejn¥x ohranyçenn¥x operatorov v utoçnen- noj ßkale. V p. 4 dokazan osnovnoj rezul\tat rabot¥. V p. 5 yssledovana utoçnennaq lokal\naq hladkost\ reßenyq πllyptyçeskoho psevdodyfferency- al\noho uravnenyq. Punkt 6 posvqwen πllyptyçeskym PDO s parametrom. Otmetym, çto dlq πllyptyçeskyx dyfferencyal\n¥x operatorov uravnenyq y kraev¥e zadaçy systematyçesky yssledovalys\ v utoçnenn¥x ßkalax pro- stranstv v rabotax [5, 7, 11 – 15]. 1. Postanovka zadaçy y osnovnoj rezul\tat. Pust\ Γ — zamknutoe bes- koneçno hladkoe mnohoobrazye razmernosty n ≥ 1. (Napomnym, çto mnohoobra- zye naz¥vaetsq zamknut¥m, esly ono kompaktno y bez kraq.) Predpolahaetsq, çto na Γ zadana nekotoraq C∞ -plotnost\ dx . Oboznaçym çerez ′D ( )Γ lynej- noe topolohyçeskoe prostranstvo vsex raspredelenyj (obobwenn¥x funkcyj) na Γ, t. e. prostranstvo, antydvojstvennoe k prostranstvu C∞( )Γ otnosytel\- no polutoralynejnoj form¥ ( , )f v Γ : = f x x dx( ) ( )v Γ ∫ . © A. A. MURAÇ, 2007 798 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 799 Poslednqq prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do form¥ ( , )f v Γ arhumentov f ∈ ′D ( )Γ y v ∈ ∞C ( )Γ , ravnoj znaçenyg raspredelenyq f na osnovnoj funk- cyy v. Sleduq [2] (p.@2.1), oboznaçym çerez Ψ Γph m ( ) klass polyodnorodn¥x (yly, druhymy slovamy, klassyçeskyx) PDO vewestvennoho porqdka m, zadann¥x na mnohoobrazyy Γ. Napomnym, çto dlq PDO A m∈Ψ Γph( ) opredelen hlavn¥j sym- vol a x0( ), ξ , qvlqgwyjsq beskoneçno hladkoj kompleksnoznaçnoj funkcyej arhumentov x ∈ Γ y ξ ∈ ∗Tx Γ \ { }0 odnorodnoj stepeny m po peremennoj ξ . Zdes\, kak ob¥çno, çerez Tx ∗Γ oboznaçeno kokasatel\noe prostranstvo k mno- hoobrazyg Γ v toçke x . Nam udobno prynqt\, çto v kaçestve hlavnoho symvo- la dopuskaetsq takΩe funkcyq, toΩdestvenno ravnaq nulg. Tohda Ψ Γph m ( ) ⊂ ⊂ Ψ Γph r ( ) pry m < r. PDO A lyneen y neprer¥ven v kaΩdom yz topolohyçes- kyx prostranstv C∞( )Γ y ′D ( )Γ . Napomnym, çto dlq raspredelenyq u ∈ ′D ( )Γ obraz Au ∈ ′D ( )Γ opredelqetsq po formule ( , )Au v Γ = ( , )u A+v Γ , hde v — proyzvol\naq funkcyq yz prostranstva C∞( )Γ , a A+ — PDO klassa Ψ Γph m ( ), formal\no soprqΩenn¥j k operatoru A otnosytel\no plotnosty dx . Çastn¥m y vaΩn¥m sluçaem PDO klassa Ψ Γph m ( ), m ≥ 1, qvlqetsq lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator na mnohoobrazyy Γ porqdka ≤ m s beskoneçno hladkymy kompleksn¥my koπffycyentamy. PredpoloΩym dalee, çto PDO A m∈Ψ Γph( ), hde m — proyzvol\noe fyksy- rovannoe vewestvennoe çyslo, qvlqetsq πllyptyçeskym na mnohoobrazyy Γ, t. e. a x0( ), ξ ≠ 0 dlq lgb¥x toçky x ∈Γ y kovektora ξ ∈ ∗Tx Γ \ { }0 . Naßa zadaça — yzuçyt\ otobraΩenye u � Au v utoçnennoj ßkale prost- ranstv na mnohoobrazyy Γ. ∏ta ßkala obrazovana hyl\bertov¥my prostranst- vamy H s, ( )ϕ Γ , hde çyslovoj parametr s proyzvol\n¥j vewestvenn¥j, a funk- cyonal\n¥j parametr ϕ probehaet nekotor¥j klass M funkcyj, medlenno menqgwyxsq po Karamata na + ∞ . Opredelenye utoçnennoj ßkal¥ pryvedeno v p.@2. Zdes\ otmetym lyß\, çto ona soderΩyt v sebe hyl\bertovu ßkalu pro- stranstv Soboleva: Hs( )Γ = H s, ( )1 Γ y daet znaçytel\no bolee tonkug hra- dacyg hladkostn¥x svojstv raspredelenyj, çem πto vozmoΩno v sobolevskoj (stepennoj) ßkale. Sformulyruem osnovnoj rezul\tat stat\y. PoloΩym N : = { ( ) }:u C Au∈ =∞ Γ Γ0 na , N + : = { ( ) }:v v∈ =∞ +C AΓ Γ0 na . Poskol\ku PDO A y A+ odnovremenno πllyptyçn¥ na Γ, prostranstva N y N + koneçnomern¥ [2, c. 28]. Teorema01.1. PredpoloΩym, çto prostranstva N y N + tryvyal\n¥. Tohda dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R y ϕ ∈M spravedlyv topolohyçe- skyj yzomorfyzm A : Hs m+ , ( )ϕ Γ ↔ H s, ( )ϕ Γ . (1.1) Bolee obwee utverΩdenye pryvedeno v p.@4. Kak vydym, PDO (1.1) ostavlqet ynvaryantn¥m funkcyonal\n¥j parametr ϕ. Teorema@1.1 utoçnqet yzvestn¥j rezul\tat o svojstvax πllyptyçeskoho PDO v sobolevskoj ßkale (sm. [1, c. 262; 2, c. 28] y pryvedennug tam lyteraturu). Ona takΩe pozvolqet yssledovat\ lo- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 800 A. A. MURAÇ kal\nug hladkost\ reßenyq u ∈ ′D ( )Γ πllyptyçeskoho uravnenyq Au = f v utoçnennoj ßkale. 2. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv vveden¥ y yzuçalys\ v [5, 7, 12]. Pry- vedem (dlq udobstva çytatelq) opredelenyq y nekotor¥e svojstva πtyx ßkal. Oboznaçym çerez M sovokupnost\ vsex funkcyj ϕ : [ 1, + ∞ ) → ( 0, + ∞ ) ta- kyx, çto: a) ϕ yzmeryma po Borelg na poluosy [ 1, + ∞ ) ; b) funkcyy ϕ y 1 / ϕ ohranyçen¥ na kaΩdom otrezke ( 1, b ) , hde 1 < b < < + ∞ ; v) funkcyq ϕ medlenno menqgwaqsq po Karamata na + ∞ , t. e. [16, c. 9] lim ( ) ( )t t t→ +∞ ϕ λ ϕ = 1 dlq lgboho λ > 0. Pust\ s ∈R , ϕ ∈M . Oboznaçym çerez Hs n, ( )ϕ R mnoΩestvo vsex takyx raspredelenyj w medlennoho rosta, zadann¥x v evklydovom prostranstve R n , çto preobrazovanye Fur\e ŵ raspredelenyq w qvlqetsq lokal\no summyrue- moj po Lebehu v R n funkcyej, udovletvorqgwej uslovyg 〈 〉 〈 〉∫ ξ ϕ ξ ξ ξ2 2 2s w d n ( ) ( )ˆ R < ∞ . Zdes\ 〈 〉ξ = 1 1 2 2 1 2 + + … +( )ξ ξn / — shlaΩenn¥j modul\ vektora ξ = ( ), ,ξ ξ1 … n @∈ ∈ R n . V prostranstve Hs n, ( )ϕ R opredeleno skalqrnoe proyzvedenye po for- mule ( , ) , ( ) w w H s n1 2 ϕ R : = $$ 2〈 〉 〈 〉∫ ξ ϕ ξ ξ ξ ξ2 2 1 s w w d n ( ) ( ) ( ) R . Ono estestvenn¥m obrazom poroΩdaet normu v Hs n, ( )ϕ R . Prostranstvo Hs n, ( )ϕ R — πto çastn¥j yzotropn¥j hyl\bertov sluçaj pro- stranstv, rassmotrenn¥x L. Xermanderom [3, c. 54] y B.@P.@Volevyçem, L.@R.@Pa- neqxom [4, c. 14]. V sluçae ϕ ≡ 1 prostranstvo Hs n, ( )ϕ R sovpadaet s prost- ranstvom Soboleva Hs n( )R . Yz vklgçenyj Hs n+ > ε ε ( )R 0 ∪ = : Hs n+( )R ⊂ Hs n, ( )ϕ R ⊂ Hs n−( )R : = Hs n− > ε ε ( )R 0 ∩ sleduet, çto v semejstve H ss n, ( ) : ,ϕ ϕR R∈ ∈{ }M (2.1) funkcyonal\n¥j parametr ϕ utoçnqet osnovnug (stepennug) s-hladkost\. Poπtomu semejstvo estestvenno naz¥vat\ utoçnennoj ßkaloj v R n (po otno- ßenyg k sobolevskoj ßkale). Utoçnennaq ßkala prostranstv na mnohoobrazyy Γ stroytsq po ßkale (2.1) sledugwym obrazom. Voz\mem koneçn¥j atlas yz C∞ -struktur¥ na Γ, obrazo- vann¥j lokal\n¥my kartamy αj : R n → Uj , j = 1, … , r. Zdes\ otkr¥t¥e mno- Ωestva Uj sostavlqgt koneçnoe pokr¥tye mnohoobrazyq Γ. Pust\ funkcyy χj ∈ C ∞ ( Γ ) , j = 1, … , r, obrazugt razbyenye edynyc¥ na Γ, udovletvorqgwee uslovyg supp χj = Uj . PoloΩym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 801 Hs, ( )ϕ Γ = f f H j rj j s n∈ ′ ∈ = …{ }D ( ) ( ) ( ): , ,,Γ χ α ϕ� R dlq kaΩdoho 1 . Zdes\ ( )χ αj jf � — predstavlenye raspredelenyq χ j f v lokal\noj karte αj . V prostranstve Hs, ( )ϕ Γ opredeleno skalqrnoe proyzvedenye po formule ( , ) ,f f s1 2 ϕ : = ( , )( ) ( ) , ( ) χ α χ α ϕj j j j H j r f f s n1 2 1 � � R = ∑ . Ono standartn¥m obrazom zadaet normu: f s,ϕ : = ( , ) , /f f s ϕ 1 2 . V sobolevskom sluçae ϕ ≡ 1 yndeks ϕ v oboznaçenyqx budem opuskat\. Prostranstvo Hs, ( )ϕ Γ separabel\noe hyl\bertovo, neprer¥vno vloΩeno v topolohyçeskoe prostranstvo ′D ( )Γ y s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm ne zavysyt ot v¥bora atlasa y razbyenyq edynyc¥. Semejstvo funkcyonal\n¥x prostranstv H ss, ( ) : ,ϕ ϕΓ ∈ ∈{ }R M naz¥vaetsq utoçnennoj ßkaloj na mnohoobrazyy Γ. Otmetym sledugwye ee svojstva. PredloΩenye02.1 [7, 12]. Pust\ s ∈R y ϕ ϕ, 1 ∈M . Tohda: a) mnoΩestvo C∞( )Γ plotno v Hs, ( )ϕ Γ ; b) spravedlyv¥ kompaktn¥e plotn¥e vloΩenyq H H Hs s s+ −ε ϕ ε( ) ( ) ( ),Γ Γ ΓO O y H Hs s+ε ϕ ϕ, ,( ) ( )1 Γ ΓO pry ε > 0 ; v) esly ϕ ( t ) ≤ c ϕ1 ( t ) pry t >> 1 dlq nekotoroho çysla c > 0, to spra- vedlyvo neprer¥vnoe plotnoe vloΩenye H Hs s, ,( ) ( )ϕ ϕ1 Γ ΓO ; πto vloΩenye kompaktno, esly ϕ ( t ) / ϕ1 ( t ) → 0 pry t → + ∞ ; h) esly dt t tϕ2 1 ( ) +∞ ∫ < ∞ , (2.2) to dlq lgboho celoho çysla ρ ≥ 0 spravedlyvo kompaktnoe vloΩenye H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ O Cρ( )Γ ; (2.3) obratno, dlq kaΩdoho celoho ρ ≥ 0 yz vklgçenyq (2.3) v¥tekaet uslovye (2.2); d) prostranstva Hs, ( )ϕ Γ y H s− , / ( )1 ϕ Γ vzaymno soprqΩen¥ otnosytel\- no form¥ ( , )⋅ ⋅ Γ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm. V svqzy s punktom d) otmetym, çto ϕ ∈M ⇔ 1/ ϕ ∈M . Sledovatel\no, prostranstvo H s− , / ( )1 ϕ Γ opredeleno korrektno. 3. Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom par hyl\bertov¥x pro- stranstv — πto estestvennoe obobwenye klassyçeskoho ynterpolqcyonnoho me- toda [17, c. 21 – 23] na sluçaj, kohda v kaçestve parametra ynterpolqcyy vmesto stepennoj beretsq bolee obwaq funkcyq. Pryvedem zdes\ opredelenye takoj ynterpolqcyy (sm. [6, 11, 18]). Pry πtom dostatoçno ohranyçyt\sq separabel\- n¥my hyl\bertov¥my prostranstvamy. Uporqdoçennug paru [ X0 , X1 ] kompleksn¥x hyl\bertov¥x prostranstv X0 y X1 budem naz¥vat\ dopustymoj, esly prostranstva X0 , X1 separabel\n¥ y spravedlyvo neprer¥vnoe plotnoe vloΩenye X X1 0O . Esly, krome toho, u uX X0 1 ≤ dlq lgboho u X∈ 1, to dopustymug paru [ X0 , X1 ] nazovem nor- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 802 A. A. MURAÇ mal\noj. Zametym, çto kaΩdug dopustymug paru [ X0 , X1 ] moΩno sdelat\ normal\noj, zamenyv, naprymer, normu u X1 na πkvyvalentnug normu c u X1 , hde c — dostatoçno bol\ßoe poloΩytel\noe çyslo. Pust\ zadana dopustymaq para X = [ X0 , X1 ] hyl\bertov¥x prostranstv. Kak yzvestno [17, c. 22], dlq X suwestvuet takoj yzometryçeskyj yzomorfyzm J : X1 ↔ X0 , çto J qvlqetsq samosoprqΩenn¥m poloΩytel\no opredelenn¥m operatorom v prostranstve X0 s oblast\g opredelenyq X1 . Operator J naz¥- vaetsq poroΩdagwym dlq par¥ X, πtot operator opredelqetsq paroj X odno- znaçno. Oboznaçym çerez B mnoΩestvo vsex poloΩytel\n¥x funkcyj, zadann¥x y yzmerym¥x po Borelg na poluosy ( 0, + ∞ ) . Pust\ ψ ∈ B . Poskol\ku spektr operatora J qvlqetsq podmnoΩestvom poluosy ( 0, + ∞ ) , v prostranstve X0 opredelen kak funkcyq ot J operator ψ ( J ) . Oblast\ opredelenyq operatora ψ ( J ) est\ lynejnoe mnoΩestvo, plotnoe v X0 . Oboznaçym çerez [ X0 , X1 ] ψ yly, koroçe, Xψ oblast\ opredelenyq operatora ψ ( J ) , nadelennug skalqrn¥m pro- yzvedenyem hrafyka: ( , )u Xv ψ = ( , ) ( , )( ) ( )u J u JX Xv v 0 0 + ψ ψ . Prostranstvo Xψ hyl\bertovo separabel\noe. Budem naz¥vat\ funkcyg ψ ynterpolqcyonn¥m parametrom, esly dlq proyzvol\n¥x dopustym¥x par X = [ X0 , X1 ] , Y = [ Y0 , Y1 ] hyl\bertov¥x pro- stranstv y dlq lgboho lynejnoho otobraΩenyq T, zadannoho na X0 , v¥polnq- etsq sledugwee uslovye. Esly pry j = 0, 1 suΩenye otobraΩenyq T na prost- ranstvo Xj qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom T : Xj → Yj , to y suΩenye otobraΩenyq T na prostranstvo Xψ qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom T : X ψ → Y ψ . Yn¥my slovamy, funkcyq ψ qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom toh- da y tol\ko tohda, kohda otobraΩenye X � X ψ qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m funktorom, zadann¥m na katehoryy dopustym¥x par X hyl\bertov¥x prost- ranstv. V πtom sluçae budem hovoryt\, çto prostranstvo X ψ poluçeno v rezul\tate ynterpolqcyy par¥ X s funkcyonal\n¥m parametrom ψ. Klassyçeskyj rezul\tat [17, c. 41] v teoryy ynterpolqcyy hyl\bertov¥x prostranstv sostoyt v tom, çto stepennaq funkcyq ψ ( t ) = t θ porqdka θ ∈ ( 0, 1 ) qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom (v πtom sluçae θ estestvenn¥m ob- razom yhraet rol\ çyslovoho parametra ynterpolqcyy). Yn¥e, znaçytel\no bo- lee ßyrokye klass¥ ynterpolqcyonn¥x funkcyonal\n¥x parametrov najden¥ v [6, 11, 18]. Sredy takov¥x nam ponadobytsq sledugwyj klass. PredloΩenye03.1 [6] (p.@2), [15] (p.@7). PredpoloΩym, çto funkcyq ψ ∈ B : a) ohranyçena na kaΩdom otrezke [ a, b ] , hde 0 < a < b < + ∞ ; b) pravyl\no menqgwaqsq po Karamata na + ∞ porqdka θ, hde 0 < θ < 1, t. e. [16, c. 9] lim ( ) ( )t t t→ +∞ ψ λ ψ = λ θ dlq lgboho λ > 0. Tohda ψ — ynterpolqcyonn¥j parametr, pryçem suwestvuet çyslo cψ > 0 takoe, çto T X Yψ ψ→ ≤ c T jX Yj jψ max : ,→ ={ }0 1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 803 Zdes\ X = [ X0 , X1 ] y Y = [ Y0 , Y1 ] — proyzvol\n¥e dopustym¥e par¥ hyl\- bertov¥x prostranstv, a T — proyzvol\noe lynejnoe otobraΩenye, zadannoe na X0 y takoe, çto operator¥ T : Xj → Yj ohranyçen¥ pry j = 0, 1. Çyslo cψ > 0 ne zavysyt ot T , a takΩe ot par X y Y , esly πty par¥ normal\- n¥e. Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom ustanavlyvaet tesnug svqz\ meΩdu klassyçeskoj sobolevskoj ßkaloj y utoçnennoj ßkaloj prostranstv. A ymenno, spravedlyvo sledugwee predloΩenye. PredloΩenye03.2 [7] (p.@3). Pust\ zadan¥ funkcyq ϕ ∈M y poloΩytel\- n¥e çysla ε, δ . PoloΩym ψ ( t ) = t tε ε δ ε δϕ/( ) /( )( )+ +1 pry t ≥ 1 y ψ ( t ) = ϕ ( 1 ) pry 0 < t < 1. Tohda: a) funkcyq ψ ∈ B udovletvorqet vsem uslovyqm predloΩenyq 3.1, hde θ = = ε ε δ/ ( )+ y, sledovatel\no, qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom; b) dlq proyzvol\noho s ∈R spravedlyv¥ sledugwye ravenstva prost- ranstv s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm v nyx@: [ ( ) ( )],H Hs n s n− +ε δ ψR R = Hs n, ( )ϕ R y [ ( ) ( )],H Hs s− +ε δ ψΓ Γ = Hs, ( )ϕ Γ . (3.1) Otmetym, çto soderΩawyesq v formule (3.1) par¥ prostranstv qvlqgtsq normal\n¥my. Dalee ponadobqtsq sledugwye dva utverΩdenyq ob ynterpolqcyy fredhol\- mov¥x operatorov y prqm¥x proyzvedenyj prostranstv [18] (p.@3). Napomnym, çto lynejn¥j ohranyçenn¥j operator T : X → Y , hde X, Y — banaxov¥ prost- ranstva, naz¥vaetsq fredhol\mov¥m, esly eho qdro koneçnomerno, a oblast\ znaçenyj T ( X ) zamknuta v Y y ymeet tam koneçnug korazmernost\. Fredhol\- mov operator T ymeet koneçn¥j yndeks ind T = dim ker T – dim ( Y / T ( X )) . PredloΩenye03.3. Pust\ zadan¥ dve dopustym¥e par¥ X = [ X0 , X1 ] y Y = [ Y0 , Y1 ] hyl\bertov¥x prostranstv. Pust\, krome toho, na X 0 zadano lynejnoe otobraΩenye T , dlq kotoroho suwestvugt ohranyçenn¥e fredhol\- mov¥ operator¥ T : Xj → Yj , j = 0, 1, ymegwye obwee qdro N y odynakov¥j yndeks κ . Tohda dlq proyzvol\noho ynterpolqcyonnoho parametra ψ ∈ B oh- ranyçenn¥j operator T : X ψ → Y ψ fredhol\mov s qdrom N , oblast\g zna- çenyj Y T Xψ ∩ ( )0 y tem Ωe yndeksom κ. PredloΩenye03.4. Pust\ zadano koneçnoe çyslo dopustym¥x par [ ]( ) ( ),X Xk k 0 1 , k = 1, … , r, hyl\bertov¥x prostranstv. Tohda dlq lgboj funk- cyy ψ ∈ B spravedlyvo X Xk k r k k r 0 1 1 1 ( ) ( ), = = ∏ ∏      ψ = X Xk k k r 0 1 1 ( ) ( ),[ ] = ∏ ψ s ravenstvom norm. 4. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale. Vernemsq k PDO A m∈Ψ Γph( ), πllyptyçeskomu na mnohoobrazyy Γ. Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye, soderΩawee v sebe, kak çastn¥j sluçaj, teoremu@1.1. Teorema04.1. Dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M operator A : Hs m+ , ( )ϕ Γ → H s, ( )ϕ Γ (4.1) ohranyçen y fredhol\mov. Eho qdro sovpadaet s prostranstvom N, a oblast\ znaçenyj ravna mnoΩestvu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 804 A. A. MURAÇ f H f Ns∈ = ∈{ }+, ( ) ( ): ,ϕ Γ Γv v0 dlq lgboho . (4.2) Yndeks operatora (4.1) raven çyslu dim N – dim N + y, znaçyt, ne zavysyt ot s, ϕ. Dokazatel\stvo. V sluçae ϕ ≡ 1 (sobolevskaq ßkala) πta teorema yz- vestna [1, c. 262 – 263; 2, c. 25 – 31]. Otsgda obwyj sluçaj ϕ ∈M poluçaetsq s pomow\g ynterpolqcyy s podxodqwym funkcyonal\n¥m parametrom. A ymenno, pust\ s ∈R . Ymeem ohranyçenn¥e fredhol\mov¥ operator¥ A : H s m∓1+ ( )Γ → H s∓1( )Γ (4.3) s obwym qdrom N y odynakov¥m yndeksom κ : = dim N – dim N + . Pry πtom A Hs m( ( ))∓1+ Γ = f H f Ns∈ = ∈{ }+∓1 0( ) ( ): ,Γ Γv vdlq lgboho . (4.4) Prymenym k operatoram (4.3) ynterpolqcyg s funkcyonal\n¥m parametrom ψ yz predloΩenyq@3.2, hde poloΩym ε = δ = 1. Poluçym ohranyçenn¥j operator A : [ ( ) ( )],H Hs m s m− + + +1 1Γ Γ ψ → [ ( ) ( )],H Hs s− +1 1Γ Γ ψ , kotor¥j v sylu predloΩenyq@3.2 b) sovpadaet s operatorom (4.1). Sledovatel\- no, sohlasno predloΩenyg@3.3, operator (4.1) fredhol\mov s qdrom N, yndek- som κ = dim N – dim N + y oblast\g znaçenyj A Hs m( ( )),+ ϕ Γ = H A Hs s m, ( ) ( ( ))ϕ Γ Γ∩ − +1 . Poslednqq sovpadaet s mnoΩestvom (4.2) v sylu ravenstva (4.4) y vloΩenyq H Hs s, ( ) ( )ϕ Γ ΓO −1 . Teorema@4.1 dokazana. Sohlasno πtoj teoreme N + — defektnoe podprostranstvo operatora (4.1). Zametym, çto v sylu predloΩenyq@2.1 d) operator A + : H s− , / ( )1 ϕ Γ → H s m− − , / ( )1 ϕ Γ (4.5) qvlqetsq soprqΩenn¥m k operatoru@(4.1) otnosytel\no form¥ ( , )⋅ ⋅ Γ . Po- skol\ku PDO A + πllyptyçeskyj na Γ, v sylu teorem¥@4.1 ohranyçenn¥j ope- rator (4.5) fredhol\mov y ymeet qdro N + y defektnoe podprostranstvo N. Otmetym [19; 2, c. 32], çto v sluçae dim Γ ≥ 2 yndeks¥ operatorov (4.1) y (4.5) ravn¥ nulg. V sluçae dim Γ = 1 yndeks PDO A moΩet b¥t\ nenulev¥m. Esly operator A dyfferencyal\n¥j, to eho yndeks raven nulg vsehda. Esly prostranstva N y N + tryvyal\n¥, to yz teorem¥@4.1 y teorem¥ Banaxa ob obratnom operatore sleduet, çto operator (4.1) sovpadaet s topolohyçeskym yzomorfyzmom (1.1). V obwem sluçae yzomorfyzm udobno zadavat\ s pomow\g sledugwyx proektorov. Predstavym prostranstva, v kotor¥x dejstvuet operator (4.1), v vyde prqm¥x summ zamknut¥x podprostranstv: Hs m+ , ( )ϕ Γ = N u H u w w Ns m˙ : ,, ( ) ( )+ ∈ = ∈{ }+ ϕ Γ Γ 0 dlq lgboho , Hs, ( )ϕ Γ = N f H f Ns+ ++ ∈ = ∈{ }˙ : ,, ( ) ( )ϕ Γ Γv v0 dlq lgboho . Takye razloΩenyq v prqm¥e summ¥ suwestvugt, tak kak prostranstva N y N + koneçnomern¥. Oboznaçym çerez P y P + kos¥e proektor¥ sootvetstvenno prostranstv Hs m+ , ( )ϕ Γ y Hs, ( )ϕ Γ na vtor¥e slahaem¥e v πtyx summax. ∏ty proektor¥ ne zavysqt ot s y ϕ. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 805 Teorema04.2. Dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M suΩenye opera- tora (4.1) na podprostranstvo P Hs m( ( )),+ ϕ Γ qvlqetsq topolohyçeskym yzomorfyzmom A : P Hs m( ( )),+ ϕ Γ ↔ P Hs+ ( ( )),ϕ Γ . (4.6) Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme@4.1, N — qdro, a P Hs+ ( ( )),ϕ Γ — oblast\ znaçenyj operatora (4.1). Sledovatel\no, operator (4.6) — byekcyq. Krome toho, πtot operator ohranyçen. Znaçyt, v sylu teorem¥ Banaxa ob obrat- nom operatore on qvlqetsq topolohyçeskym yzomorfyzmom. Yz teorem¥@4.2 v¥tekaet sledugwaq apryornaq ocenka reßenyq πllyptyçe- skoho uravnenyq Au = f. Teorema04.3. Dlq proyzvol\n¥x fyksyrovann¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M y çysla σ < s + m suwestvuet takoe çyslo c > 0, çto dlq lgboho rasprede- lenyq u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ v¥polnqetsq neravenstvo u s m+ ,ϕ ≤ c Au us,ϕ σ+( ) . (4.7) Dokazatel\stvo. Pust\ u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ . Poskol\ku N — koneçnomernoe podprostranstvo v prostranstvax Hs m+ , ( )ϕ Γ y Hσ( )Γ , norm¥ v πtyx prost- ranstvax πkvyvalentn¥ na N. V çastnosty, dlq funkcyy u Pu N− ∈ v¥polnq- etsq neravenstvo u Pu s m− + ,ϕ ≤ c u Pu1 − σ s postoqnnoj c1 > 0, ne zavysqwej ot u. Otsgda poluçaem u s m+ ,ϕ ≤ u Pu Pus m s m− ++ +, ,ϕ ϕ ≤ ≤ c u Pu Pu s m1 − + +σ ϕ, ≤ c c u Pu s m1 2 σ ϕ+ + , , hde c2 — norma proektora 1 – P, dejstvugweho v prostranstve Hσ( )Γ . Ytak, u s m+ ,ϕ ≤ Pu c c us m+ +,ϕ σ1 2 . (4.8) Dalee, poskol\ku APu = A u , Pu Hs m∈ + , ( )ϕ Γ — proobraz raspredelenyq Au Hs∈ , ( )ϕ Γ pry topolohyçeskom yzomorfyzme@(4.6). Sledovatel\no, Pu s m+ ,ϕ ≤ c Au s3 ,ϕ, hde c3 — norma operatora, obratnoho k (4.6). Otsgda y yz neravenstva (4.8) neposredstvenno sleduet ocenka (4.7). Teorema@4.3 dokazana. Otmetym, çto esly N = { }0 , t. e. uravnenye Au = f ymeet ne bolee odnoho reßenyq, to velyçyna u σ v pravoj çasty ocenky (4.7) otsutstvuet. Esly Ωe N ≠ { }0 , to dlq kaΩdoho raspredelenyq u πtu velyçynu moΩno sdelat\ kak uhodno maloj za sçet v¥bora dostatoçno maloho çysla σ. 5. Lokal\naq hladkost\ reßenyq πllyptyçeskoho uravnenyq. Zadadym- sq sledugwym voprosom. PredpoloΩym, çto pravaq çast\ πllyptyçeskoho uravnenyq Au = f ymeet nekotorug lokal\nug hladkost\ v utoçnennoj ßkale na zadannom otkr¥tom podmnoΩestve Γ0 mnohoobrazyq Γ. Çto tohda moΩno skazat\ o lokal\noj hladkosty reßenyq u uravnenyq? Otvet na πtot vopros budet poluçen nyΩe. Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda Γ0 = Γ. Teorema05.1. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße- nyem uravnenyq Au = f na mnohoobrazyy Γ, hde f Hs∈ , ( )ϕ Γ dlq nekotor¥x ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 806 A. A. MURAÇ parametrov s ∈R y ϕ ∈M . Tohda u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ . Dokazatel\stvo. Poskol\ku mnohoobrazye Γ kompaktno, prostranstvo ′D ( )Γ qvlqetsq obæedynenyem sobolevskyx prostranstv Hσ( )Γ , hde σ ∈ R . Sledovatel\no, dlq raspredelenyq u ∈ ′D ( )Γ suwestvuet takoe çyslo σ , çto u H m∈ +σ ( )Γ . V sylu teorem¥@4.1 (hde polahaem s = σ y ϕ ≡ 1) raspredelenye f = Au udovletvorqet uslovyg ( ),f v Γ = 0 dlq lgboj funkcyy v ∈ +N . Ot- sgda y yz uslovyq f Hs∈ , ( )ϕ Γ , sohlasno teoreme@4.1, v¥tekaet vklgçenye f A Hs m∈ +( ( )),ϕ Γ . Takym obrazom, na mnohoobrazyy Γ narqdu s ravenstvom Au = f v¥polnqetsq takΩe ravenstvo A v = f dlq nekotoroho raspredelenyq v ∈ +Hs m, ( )ϕ Γ . Sledovatel\no, A ( u – v ) = 0 na Γ y, sohlasno teoreme@4.1, spravedlyvo w u N C Hs m: ( ) ( ),= − ∈ ⊂ ⊂∞ +v Γ Γϕ . Znaçyt, u w Hs m= + ∈ +v , ( )ϕ Γ , çto y trebovalos\ dokazat\. Rassmotrym teper\ obwyj sluçaj, kohda Γ0 — proyzvol\noe otkr¥toe nepustoe podmnoΩestvo mnohoobrazyq Γ. Oboznaçym Hs loc , ( )ϕ Γ0 : = f f H Cs∈ ′ ∈ ∈ ⊂{ }∞D ( ) ( ) ( ): ,,Γ Γ Γ Γχ χ χϕ dlq lgboho supp 0 . Teorema05.2. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße- nyem uravnenyq Au = f na mnoΩestve Γ0 , hde f ∈ Hs loc , ( )ϕ Γ0 dlq nekotor¥x parametrov s ∈R y ϕ ∈M . Tohda u ∈ Hs m loc + , ( )ϕ Γ0 . Dokazatel\stvo. PokaΩem snaçala, çto yz uslovyq f ∈ Hs loc , ( )ϕ Γ0 v¥tekaet sledugwee svojstvo pov¥ßenyq lokal\noj hladkosty reßenyq uravnenyq Au = = f : dlq kaΩdoho nomera r ≥ 1 spravedlyva ymplykacyq u Hs m r∈ + − loc , ( )ϕ Γ0 ⇒ u Hs m r∈ + − + loc 1 0 , ( )ϕ Γ . (5.1) Proyzvol\no v¥berem takye funkcyy χ , η ∈ ∞C ( )Γ , çtob¥ supp χ, supp η ⊂ ⊂ Γ0 y η = 1 v okrestnosty supp χ . Perestavlqq PDO A y operator umno- Ωenyq na funkcyg χ , moΩem zapysat\ sledugwye ravenstva: A χ u = A χ η u = χ A η u + A ′ η u = χ A u + χ A ( η – 1 ) u + A ′ η u = = χ f + χ A ( η – 1 ) u + A ′ η u na Γ. (5.2) Zdes\ A ′ — kommutator PDO A y operatora umnoΩenyq na funkcyg χ . Poskol\ku A ′ ∈ Ψ Γph m−1( ) , suwestvuet ohranyçenn¥j operator A ′ : Hs m r+ − , ( )ϕ Γ → Hs r− +1, ( )ϕ Γ . (5.3) ∏to poluçaem s pomow\g ynterpolqcyy yz sledugweho yzvestnoho utverΩde- nyq [2, c. 23]: PDO klassa Ψ Γph m−1( ) qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom yz prostranstva Hσ( )Γ v prostranstvo H mσ− +1( )Γ pry lgbom σ ∈ R . V samom dele, voz\mem zdes\ σ : = s ∓ 1 + m – r y rassmotrym ohranyçenn¥e operator¥ A ′ : H s m r∓1+ − ( )Γ → H s r∓1 1− + ( )Γ . Prymenym k nym ynterpolqcyg s funkcyonal\n¥m parametrom ψ yz teorem¥ 3.2, hde prymem ε = δ = 1. Poluçym ohranyçenn¥j operator A ′ : [ ( ) ( )],H Hs m r s m r− + − + + −1 1Γ Γ ψ → [ ( ) ( )],H Hs r s r− − + + − +1 1 1 1Γ Γ ψ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 807 kotor¥j sohlasno punktu b) πtoj teorem¥ sovpadaet s operatorom (5.3). ProdolΩym v¥vod formul¥ (5.1). V sylu (5.3) moΩem zapysat\ sledugwee: u Hs m r∈ + − loc , ( )ϕ Γ0 ⇒ η ϕu Hs m r∈ + − , ( )Γ ⇒ ′ ∈ − +A u Hs rη ϕ1, ( )Γ . (5.4) Na osnovanyy uslovyq f Hs∈ loc , ( )ϕ Γ0 y v sylu neravenstva – r + 1 ≤ 0 ymeem χ ϕf Hs∈ , ( )Γ O Hs r− +1, ( )ϕ Γ . (5.5) Krome toho, tak kak nosytely funkcyj χ y η – 1 ne peresekagtsq, to χ η ϕA u C Hs r( ) ( ) ( ),− ∈ ⊂∞ − +1 1Γ Γ . (5.6) Takym obrazom, yz formul (5.2) y (5.4) – (5.6) sleduet ymplykacyq u Hs m r∈ + − loc , ( )ϕ Γ0 ⇒ A u Hs rχ ϕ∈ − +1, ( )Γ . (5.7) Dalee, sohlasno teoreme@5.1, A u Hs rχ ϕ∈ − +1, ( )Γ ⇒ χ ϕu Hs r m∈ − + +1 , ( )Γ . (5.8) Formul¥ (5.7), (5.8) vlekut ymplykacyg (5.1) vsledstvye proyzvol\nosty v¥bo- ra funkcyy χ ∈ ∞C ( )Γ , udovletvorqgwej uslovyg supp χ ⊂ Γ0 . Teper\ s pomow\g (5.1) lehko pokazat\, çto u Hs m∈ + loc , ( )ϕ Γ0 . Poskol\ku u — raspredelenye na kompakte Γ, suwestvuet takoj dostatoçno bol\ßoj nomer r0 , çto u Hs m r∈ + − +0 1( )Γ ⊂ Hs m r+ − 0 , ( )ϕ Γ ⊂ Hs m r loc + − 0 0 , ( )ϕ Γ . Otsgda, prymenqq ymplykacyg (5.1) posledovatel\no dlq r = r0 , r0 – 1, … , 1, poluçaem trebuemoe: u ∈ Hs m r loc + − 0 0 , ( )ϕ Γ ⇒ u ∈ Hs m r loc + − +0 1 0 , ( )ϕ Γ ⇒ … ⇒ u ∈ Hs m loc + , ( )ϕ Γ0 . Teorema@5.2 dokazana. Teorema@5.2 utoçnqet prymenytel\no k ßkale prostranstv { ( ):, ,H ss ϕ Γ ∈R ϕ ∈M} yzvestn¥e utverΩdenyq o pov¥ßenyy lokal\noj hladkosty reßenyq πllyptyçeskoho uravnenyq (sm., naprymer, [2, 3, 20] y pryvedennug tam byblyo- hrafyg). Pry πtom, kak vydym, utoçnennaq lokal\naq hladkost\ ϕ pravoj çasty πllyptyçeskoho uravnenyq nasleduetsq eho reßenyem. Teorema@5.2 v soçetanyy s predloΩenyem@2.1 h) pozvolqet ustanovyt\ nalyçye klassyçeskyx proyzvodn¥x u reßenyq πllyptyçeskoho uravnenyq. Teorema05.3. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße- nyem uravnenyq Au = f na mnoΩestve Γ0 , hde f H m n∈ − + loc ρ ϕ/ , ( )2 0Γ dlq neko- tor¥x celoho çysla ρ ≥ 0 y funkcyonal\noho parametra ϕ ∈M , udovlet- vorqgweho neravenstvu (2.2). Tohda u C∈ ρ( )Γ0 . Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme@5.2, uslovye f ∈ H m n loc ρ ϕ− + / , ( )2 0Γ vle- çet svojstvo u ∈ H n loc ρ ϕ+ / , ( )2 0Γ . Poslednee oznaçaet, çto χ u ∈ H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ dlq lgboj funkcyy χ ∈ C∞( )Γ , u kotoroj supp χ ⊂ Γ0 . Dalee, poskol\ku funk- cyonal\n¥j parametr ϕ ∈M udovletvorqet neravenstvu (2.2), v sylu predlo- Ωenyq 2.1 h) spravedlyvo vloΩenye H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ O Cρ( )Γ . Takym obrazom, χ u@∈ Cρ( )Γ . Otsgda, fyksyruq proyzvol\nug toçku x ∈ Γ0 y v¥byraq funk- cyg χ, ravnug edynyce v okrestnosty πtoj toçky, poluçaem, çto raspredele- nye u sovpadaet v okrestnosty toçky x s funkcyej klassa Cρ . Sledovatel\- no, u C∈ ρ( )Γ0 , çto y trebovalos\ dokazat\. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 808 A. A. MURAÇ Otmetym, çto esly yspol\zovat\ πtu teoremu lyß\ dlq sobolevskoj ßkal¥ prostranstv, to vmesto uslovyq f H m n∈ − + loc ρ ϕ/ , ( )2 0Γ sleduet potrebovat\, çto- b¥ f ∈ H m n loc ρ ε− + +/ ( )2 0Γ dlq nekotoroho çysla ε > 0, t. e. zav¥syt\ osnovnug hladkost\ pravoj çasty uravnenyq, çto suwestvenno ohrublqet rezul\tat. Yz teorem¥@5.3 dlq ρ = m neposredstvenno v¥tekaet sledugwee dostatoç- noe uslovye klassyçnosty reßenyq πllyptyçeskoho dyfferencyal\noho urav- nenyq. Sledstvye05.1. Pust\ A — πllyptyçeskyj lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator na mnohoobrazyy Γ porqdka m s beskoneçno hladkymy kompleksn¥- my koπffycyentamy. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq (obobwenn¥m) reßenyem uravnenyq A u = f na mnoΩestve Γ 0 , h d e f@∈ ∈ Hn loc / , ( )2 0 ϕ Γ dlq nekotoroho funkcyonal\noho parametra ϕ ∈M , udovlet- vorqgweho neravenstvu (2.2). Tohda u ∈ Cm( )Γ0 , t. e. reßenye u qvlqetsq klassyçeskym na mnoΩestve Γ0 . 6. ∏llyptyçeskyj PDO s parametrom. ∏llyptyçeskye operator¥ y kra- ev¥e zadaçy s parametrom yzuçalys\ v rabotax Í. Ahmona, L. Nyrenberha [21], M. S. Ahranovyça, M. Y. Vyßyka [22], A. N. KoΩevnykova [23] y yx posledovate- lej (sm. [2, 24, 25] y pryvedennug tam byblyohrafyg). Ymy b¥lo ustanovleno, çto pry dostatoçno bol\ßyx po modulg znaçenyqx kompleksnoho parametra πl- lyptyçeskyj operator qvlqetsq yzomorfyzmom v podxodqwyx parax sobolev- skyx prostranstv, pryçem norma operatora dopuskaet nekotorug dvustoronngg ocenku s postoqnn¥my, ne zavysqwymy ot parametra. M¥ pokaΩem, çto dlq πl- lyptyçeskoho PDO s parametrom na zamknutom mnohoobrazyy spravedlyv ana- loh πtoho rezul\tata v utoçnennoj ßkale prostranstv. Otmetym, çto πllypty- çeskaq kraevaq zadaça s parametrom (dlq dyfferencyal\noho uravnenyq) v utoçnennoj ßkale prostranstv yzuçalas\ v rabote [15]. Pry opredelenyy πllyptyçeskoho PDO s parametrom budem sledovat\ obzo- ru [2, c. 57]. Proyzvol\no zafyksyruem çysla m > 0 y q ∈ N . Rassmotrym PDO A ( λ ) klassa Ψ Γph mq( ), kotor¥j zavysyt ot kompleksnoho parametra λ sledugwym obrazom: A ( λ ) = λq j j j q A− = ∑ 0 . (6.1) Zdes\ Aj ∈ Ψ Γph mj( ) dlq kaΩdoho nomera j = 0, … , q, pryçem A0 — operator umnoΩenyq na nekotorug funkcyg a0 ∈ C∞( )Γ . (Poskol\ku m ( q – j ) + ord Aj = = ord A ( λ ) , v formule (6.1) parametru λ prypys¥vaetsq ves m . ) Pust\ K — fyksyrovann¥j zamknut¥j uhol na kompleksnoj ploskosty s verßynoj v naçale koordynat (ne ysklgçaetsq sluçaj, kohda K v¥roΩdaetsq v luç). PredpoloΩym, çto PDO A ( λ ) qvlqetsq πllyptyçeskym s parametrom v uhle K, t. e. λ ξq j j j q a x− = ∑ , ( ),0 0 ≠ 0 dlq lgb¥x x ∈ Γ , ξ ∈ Tx ∗Γ , λ ∈ K takyx, çto ( ),ξ λ ≠ 0. (6.2) Zdes\ a xj, ( ),0 ξ — hlavn¥j symvol PDO Aj ; pry πtom a x0 0, ( ),ξ ≡ a0 ( x ) , a funkcyy a x1 0, ( ),ξ , a x2 0, ( ),ξ , … sçytagtsq ravn¥my 0 pry ξ = 0 (takoe do- puwenye obuslovleno tem, çto hlavn¥e symvol¥ yznaçal\no ne opredelen¥ pry ξ = 0 ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 809 Naprymer, dlq PDO A – λ I , hde A ∈ Ψ Γph m ( ) , a I — toΩdestvenn¥j opera- tor, uslovye πllyptyçnosty s parametrom v uhle K oznaçaet, çto a x0( ),ξ ∉ K pry ξ ≠ 0. Zdes\, kak y preΩde, a x0( ),ξ — hlavn¥j symvol PDO A . ∏tot prymer vaΩen v spektral\noj teoryy PDO. Yz πllyptyçnosty s parametrom v uhle K PDO A ( λ ) v¥tekaet, çto pry kaΩdom fyksyrovannom λ ∈ C πtot PDO πllyptyçeskyj na H. V samom dele, hlavn¥j symvol PDO A ( λ ) raven a xq, ( ),0 ξ dlq kaΩdoho λ y, kak πto sleduet yz (6.2) pry λ = 0, udovletvorqet neravenstvu a xq, ( ),0 ξ ≠ 0 dlq lgb¥x x ∈ Γ y ξ ∈ Tx ∗Γ \ { }0 . Poslednee oznaçaet, çto PDO A ( λ ) πllyptyçeskyj na H. Ta- kym obrazom, sohlasno teoreme@4.1, dlq proyzvol\n¥x λ ∈ C, s ∈ R, ϕ ∈M operator A ( λ ) : Hs mq+ , ( )ϕ Γ → Hs, ( )ϕ Γ (6.3) ohranyçen y fredhol\mov. Bolee toho, poskol\ku A ( λ ) — πllyptyçeskyj s pa- rametrom PDO, on ymeet sledugwye dopolnytel\n¥e svojstva. Teorema06.1. 1. Suwestvuet takoe çyslo λ 0 > 0, çto dlq kaΩdoho znaçe- nyq parametra λ ∈ K , udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , pry lgb¥x s ∈R , ϕ ∈M spravedlyv topolohyçeskyj yzomorfyzm A ( λ ) : Hs mq+ , ( )ϕ Γ ↔ Hs, ( )ϕ Γ . (6.4) 2. Dlq proyzvol\n¥x fyksyrovann¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M najdetsq çyslo c ≥ 1 takoe, çto c A u s −1 ( ) ,λ ϕ ≤ u us mq q s+ +( ), ,ϕ ϕλ ≤ c A u s( ) ,λ ϕ (6.5) dlq lgboho λ ∈ K , λ λ≥ 0 , y proyzvol\noho raspredelenyq u Hs mq∈ + , ( )ϕ Γ . V sluçae ϕ ≡ 1 (sobolevskye prostranstva) πta teorema yzvestna [2, c. 58]. Otmetym,@çto levoe neravenstvo v dvustoronnej ocenke (6.5) spravedlyvo bez predpoloΩenyq ob πllyptyçnosty s parametrom PDO A ( λ ) . Ono tryvyal\no sleduet yz formul¥ (6.1) y ynterpolqcyonnoho neravenstva (sr. s [22, c. 62]) u s mj+ ≤ λ λj q s mq j su u− + + , j = 0, … , q. DokaΩem otdel\no punkt¥ 1 y 2 teorem¥@6.1. Dokazatel\stvo punkta01. Pust\ s ∈R y ϕ ∈M . Poskol\ku dlq kaΩ- doho λ ∈ C PDO A ( λ ) πllyptyçeskyj na Γ, v sylu teorem¥@4.1 ohranyçenn¥j fredhol\mov operator (6.3) ymeet ne zavysqwye ot s y ϕ koneçnomern¥e qdro N ( λ ) y defektnoe podprostranstvo N + ( λ ) . No, kak otmeçalos\ v¥ße, v slu- çae sobolevskoj ßkal¥ suwestvuet takoe çyslo λ0 > 0, çto dlq kaΩdoho λ @∈ ∈ K , udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , spravedlyv topolohyçeskyj yzo- morfyzm A ( λ ) : Hs mq+ ( )Γ ↔ Hs( )Γ . Sledovatel\no, dlq ukazann¥x λ prostranstva N ( λ ) y N + ( λ ) tryvyal\n¥, t. e. lynejn¥j ohranyçenn¥j operator@(6.3) qvlqetsq byekcyej. Otsgda po teoreme Banaxa ob obratnom operatore poluçaem topolohyçeskyj yzomor- fyzm@(6.4). Punkt 1 dokazan. Punkt 2 dokaΩem s pomow\g ynterpolqcyy s funkcyonal\n¥m parametrom. Pry πtom vospol\zuemsq sledugwej ynterpolqcyonnoj lemmoj (sr. s [15] (lem- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 810 A. A. MURAÇ ma@7.2)). Pust\ zadan¥ funkcyq ϕ ∈M y çysla σ ∈ R , ρ > 0, θ > 0. Oboznaçym çerez Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ prostranstvo Hσ ϕ, ( )Γ , kotoroe nadeleno normoj, zavysq- wej ot çyslov¥x parametrov ρ y θ sledugwym obrazom: u Hσ ϕ ρ θ, ( , , )Γ : = u uσ ϕ σ θ ϕρ, , /2 2 2 1 2 +( )− . ∏to opredelenye korrektno v sylu neprer¥vnoho vloΩenyq Hσ ϕ, ( )Γ O O Hσ θ ϕ− , ( )Γ . Otsgda v¥tekaet, çto norm¥ v prostranstvax Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ y Hσ ϕ, ( )Γ πkvyvalentn¥. Norma v prostranstve Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ poroΩdena ska- lqrn¥m proyzvedenyem ( ), , ( , , ) u u H1 2 σ ϕ ρ θΓ : = ( ) ( ), ,, ,u u u u1 2 2 1 2σ ϕ σ θ ϕρ+ − . Sledovatel\no, πto prostranstvo hyl\bertovo. Kak y preΩde, v sluçae ϕ ≡ 1 yndeks ϕ v oboznaçenyqx opuskaem. Vozvrawaqs\ k formulyrovke teorem¥@6.1, zametym, çto u H mqs mq q+ , ( , , )ϕ λΓ ≤ u us mq q s+ +, ,ϕ ϕλ ≤ 2 u H mqs mq q+ , ( , , )ϕ λΓ . (6.6) V sylu predloΩenyq@3.2 prostranstva [ ( ) ( )], , , , ,H Hσ ε σ δ ψρ θ ρ θ− +Γ Γ y Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ , ε > 0, δ > 0, ravn¥ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm. Okaz¥vaetsq, v ocenkax norm πtyx prostranstv postoqnn¥e moΩno v¥brat\ tak, çtob¥ ony ne zavysely ot para- metra ρ. Lemma06.1. Pust\ σ ∈ R , ϕ ∈M y zadan¥ poloΩytel\n¥e çysla θ , ε, δ . Tohda suwestvuet çyslo c0 ≥ 1 takoe, çto dlq proyzvol\n¥x ρ > 0, u @∈ ∈ Hσ ϕ, ( )Γ spravedlyva dvustoronnqq ocenka norm c u H0 1− σ ϕ ρ θ, ( , , )Γ ≤ u H H[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ ψρ θ ρ θ− +Γ Γ ≤ c u H0 σ ϕ ρ θ, ( , , )Γ . (6.7) Zdes\ ψ — ynterpolqcyonn¥j parametr yz formulyrovky predloΩenyq@3.2. Dokazatel\stvo. Pust\ parametr ρ > 0. Ustanovym snaçala analoh ocen- ky (6.7) dlq prostranstv raspredelenyj v R n , a zatem s pomow\g operatorov „rasprqmlenyq” y „sklejky” perejdem k prostranstvam raspredelenyj na mno- hoobrazyy Γ (sr. s dokazatel\stvom lemm¥@7.2 yz rabot¥ [15]). Oboznaçym çe- rez H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R prostranstvo H nσ ϕ, ( )R , nadelennoe hyl\bertovoj normoj u H nσ ϕ ρ θ, ( , , )R : = u u H Hn nσ ϕ σ θ ϕρ, ,( ) ( ) / R R 2 2 2 1 2 +( )− = = 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉       −∫ ξ ρ ξ ϕ ξ ξ ξσ θ2 2 2 2 2 1 2 1( ) ( ) ˆ( ) / u d n R . (6.8) Dlq kaΩdoho fyksyrovannoho ρ > 0 πta norma πkvyvalentna norme v pro- stranstve H nσ ϕ, ( )R . Sledovatel\no, prostranstvo H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R hyl\berto- vo. Analohyçno opredelqgtsq prostranstva H nσ ε ρ θ− ( ), ,R y H nσ δ ρ θ+ ( ), ,R . V sylu predloΩenyq@3.2 prostranstva [ ( ) ( )], , , , ,H Hn nσ ε σ δ ψρ θ ρ θ− + R R y H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R (6.9) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 811 ravn¥ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm pry kaΩdom fyksyrovannom ρ > 0. PokaΩem, çto v ocenkax norm πtyx prostranstv moΩno vzqt\ postoqnn¥e, ne za- vysqwye ot parametra ρ. V¥çyslym normu v pervom prostranstve (6.9) (sr. s [7, c. 354}). Oboznaçym çerez J psevdodyfferencyal\n¥j operator v prostranstve R n s symvolom 〈 〉 +ξ ε δ , hde arhument ξ ∈ R n . Neposredstvenno proverqetsq, çto operator J qv- lqetsq poroΩdagwym dlq par¥ prostranstv [ ( ) ( )], , , , ,H Hn nσ ε σ δρ θ ρ θ− + R R . S pomow\g yzometryçeskoho yzomorfyzma F : H nσ ε ρ θ− ( ), ,R ↔ L dn 2 2 2 21( ( ) ), ( ) R 〈 〉 + 〈 〉− −ξ ρ ξ ξσ ε θ , hde F — preobrazovanye Fur\e, operator J pryvodytsq k vydu umnoΩenyq na funkcyg 〈 〉 +ξ ε δ , a operator ψ ( J ) — k vydu umnoΩenyq na funkcyg ψ ξ ε δ( )〈 〉 + = 〈 〉 〈 〉ξ ϕ ξε ( ). Sledovatel\no, u H Hn n[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ ψρ θ ρ θ− + R R 2 = ψ σ ε σ ερ θ ρ θ ( ) ( , , ) ( , , ) J u uH H n n− −+ R R 2 2 = = 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 〈 〉− −∫ ξ ρ ξ ξ ϕ ξ ξ ξσ ε θ ε2 2 2 2 1( )( ) ( ) ˆ( )u d n R + + 〈 〉 + 〈 〉− −∫ ξ ρ ξ ξ ξσ ε θ2 2 2 21( )( ) ˆ( )u d n R = = 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉− − −∫ ξ ρ ξ ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ ξσ θ ε2 2 2 2 2 2 21 1( ) ( ) ( ( )) ˆ( )u d n R . Poskol\ku ϕ ∈M , ε > 0, spravedlyvo [16, c. 24] t ε ϕ ( t ) → ∞ pry t → + ∞ y poπtomu c1 : = sup :{ ( ) }1 2 2+ 〈 〉 〈 〉 ∈− −ξ ϕ ξ ξε R n < ∞ . Otsgda v sylu (6.8) poluçaem ocenku u H nσ ϕ ρ θ, ( , , )R ≤ u H Hn n[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ ψρ θ ρ θ− + R R ≤ c u H n1 σ ϕ ρ θ, ( , , )R (6.10) dlq proyzvol\n¥x u ∈ H nσ ϕ, ( )R y ρ > 0. V¥vedem teper\ neravenstvo (6.7) yz ocenky (6.10). Obratymsq k opredele- nyg utoçnennoj ßkal¥ na Γ, pryvedennomu v p.@2, y rassmotrym lynejnoe otobraΩenye „rasprqmlenyq” mnohoobrazyq Γ : T f f fr r: ( ) , , ( )( )� � �χ α χ α1 1 … , f ∈ ′D ( )Γ . Neposredstvenno proverqetsq, çto πto otobraΩenye zadaet yzometryçeskye ope- rator¥ T H H n j r : , , , ,, ,( ) ( )σ ϕ σ ϕρ θ ρ θΓ → = ∏ R 1 (6.11) y T H Hs s n j r : , , , ,( ) ( )Γ ρ θ ρ θ→ = ∏ R 1 , s ∈ − +{ , }σ ε σ δ . (6.12) Prymenyv k operatoram (6.12) ynterpolqcyg s parametrom ψ , poluçym ohrany- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 812 A. A. MURAÇ çenn¥j operator T H H H Hn j r n j r : , , , , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ) ( )σ ε σ δ ψ σ ε σ δ ψ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ− + − = + = →         ∏ ∏Γ Γ R R 1 1 . (6.13) Poskol\ku zapysann¥e zdes\ par¥ prostranstv normal\n¥, v sylu predloΩe- nyq@3.1 norma operatora (6.13) ne prev¥ßaet nekotoroho çysla cψ , zavysqweho lyß\ ot funkcyy ψ y, znaçyt, ne zavysqweho ot parametra ρ. Otsgda na os- novanyy predloΩenyq@3.4 y levoj çasty dvustoronnej ocenky (6.10) poluçaem ohranyçenn¥j operator T H H H n j r : , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ),σ ε σ δ ψ σ ϕρ θ ρ θ ρ θ− + = → ∏Γ Γ R 1 s normoj ≤ cψ . (6.14) Dalee, narqdu s otobraΩenyem T rassmotrym lynejnoe otobraΩenye „sklejky” K w w wr j j j j j r : ( , , ) ( )( )1 1 1 … − = ∑� �Θ η α , hde w1 , … , wr — raspredelenyq v R n , funkcyq η j nC∈ ∞( )R fynytna y rav- na@@1 na mnoΩestve α χj j −1( )supp , a Θ j — operator prodolΩenyq nulem na Γ. Operator K qvlqetsq prav¥m obratn¥m k T : KTf = Θ j j j j j j r f( )(( ) )η χ α α� � − = ( )∑ 1 1 = Θ j j j j j r f( )χ α α� � − = ( )∑ 1 1 = χ j j r f = ∑ 1 = f dlq proyzvol\noho raspredelenyq f ∈ ′D ( )Γ . Yz svojstv prostranstv Soboleva sleduet ohranyçennost\ operatora K H Hs n j r s: ( ) ( )R = ∏ → 1 Γ pry lgbom s ∈ R . (6.15) Vzqv zdes\ s ∈ − +{ , }β ε β δ y prymenyv ynterpolqcyg s parametrom ψ , v sylu predloΩenyj@3.2 y 3.4 poluçym ohranyçenn¥j operator K H Hn j r : , ,( ) ( )β ϕ β ϕ R = ∏ → 1 Γ pry lgbom β ∈ R . (6.16) Pust\ c2 — maksymum norm operatorov (6.15), hde s ∈ − − − + + −{ , , , }σ ε σ ε θ σ δ σ δ θ , y operatorov (6.16), hde β σ σ θ∈ −{ , }. Kak vydym, çyslo c2 ne zavysyt ot para- metra ρ. Neposredstvenno proverqetsq, çto norm¥ operatorov K H Hn j r : , , , ,, ,( ) ( )σ ϕ σ ϕρ θ ρ θR = ∏ → 1 Γ (6.17) y K H Hs n j r s: , , , ,( ) ( )R ρ θ ρ θ = ∏ → 1 Γ , s ∈ − +{ , }σ ε σ δ , (6.18) ne prev¥ßagt çysla c2 . Prymenyv k operatoram (6.18) ynterpolqcyg s para- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 ∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL\|NÁE OPERATORÁ … 813 metrom ψ, poluçym ohranyçenn¥j operator K H H H Hn j r n j r : , , , , , , , , , ,( ) ( ) [ ( ) ( )]σ ε σ δ ψ σ ε σ δ ψρ θ ρ θ ρ θ ρ θ− = + = − +∏ ∏         →R R 1 1 Γ Γ , norma kotoroho, v sylu predloΩenyq@3.1, ne prev¥ßaet çysla c cψ 2 . Otsgda na osnovanyy predloΩenyq@3.4 y pravoj çasty dvustoronnej ocenky (6.10) poluça- em ohranyçenn¥j operator K H H Hn j r : , , , , , , ,, ( ) [ ( ) ( )]σ ϕ σ ε σ δ ψρ θ ρ θ ρ θR = − +∏ → 1 Γ Γ s normoj ≤ c3 , (6.19) hde çyslo c3 : = c c c1 2ψ ne zavysyt ot parametra ρ. Teper\, poskol\ku K T = I — toΩdestvenn¥j operator, v sylu (6.11) (yzometryçeskyj operator) y (6.19) ymeem ohranyçenn¥j operator I KT H H H= → − +: , , , , , , ,, ( ) [ ( ) ( )]σ ϕ σ ε σ δ ψρ θ ρ θ ρ θΓ Γ Γ s normoj ≤ c3 . Krome toho, v sylu (6.14) y (6.17) (norma vtoroho operatora ne prev¥ßaet çysla c2 ) ymeem ewe odyn ohranyçenn¥j operator I KT H H H= →− +: , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ),σ ε σ δ ψ σ ϕρ θ ρ θ ρ θΓ Γ Γ s normoj ≤ c cψ 2 . Otsgda neposredstvenno sleduet dvustoronnqq ocenka (6.7), hde çyslo c0 : = : = max { 1, c3 , c2 cψ } ne zavysyt ot parametra ρ. Lemma@6.1 dokazana. ProdolΩym dokazatel\stvo punkta@2 teorem¥@6.1. Pust\ s ∈R y ϕ ∈M . Napomnym, çto teorema@6.1 yzvestna v sluçae sobolevskoj ßkal¥ [2, c. 58]. Zna- çyt, suwestvuet çyslo λ0 > 0 takoe, çto dlq kaΩdoho znaçenyq parametra λ@∈ ∈ K , udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , spravedlyv¥ topolohyçeskye yzo- morfyzm¥ A H mq Hs mq q s( ) ( ) ( ): , ,λ λ∓ ∓1 1+ ↔Γ Γ , (6.20) pryçem norm¥ operatora (6.20) y obratnoho operatora ohranyçen¥ ravnomerno po parametru λ (sr. s formuloj (6.6)). Pust\ ψ — ynterpolqcyonn¥j para- metr yz formulyrovky predloΩenyq@3.2, hde poloΩym ε = δ = 1. Prymenyv ynterpolqcyg s πtym parametrom k operatoru (6.20), poluçym topolohyçeskyj yzomorfyzm A H mq H mq H Hs mq q s mq q s s( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]: , , , , , ,λ λ λ ψ ψ − + + + − +↔1 1 1 1Γ Γ Γ Γ . (6.21) Pry πtom v sylu predloΩenyq@3.1 norm¥ operatora (6.21) y obratnoho k nemu operatora ohranyçen¥ ravnomerno po parametru λ . Ostaetsq prymenyt\ lem- mu@6.1, hde polahaem σ : = s + mq, ρ : = λ q , θ : = mq, y predloΩenye@3.2. Tohda operator (6.21) vleçet topolohyçeskyj yzomorfyzm A H mq Hs mq q s( ) ( ) ( ): , ,, ,λ λϕ ϕ+ ↔Γ Γ (6.22) takoj, çto norm¥ operatora (6.22) y obratnoho operatora ohranyçen¥ ravnomer- no po parametru λ . ∏to v sylu neravenstva (6.6) y oznaçaet dvustoronngg ocenku (6.5), hde çyslo c ne zavysyt ot parametra λ . Punkt@2 dokazan. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 814 A. A. MURAÇ 1. Xermander L. Analyz lynejn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov s çastn¥my proyzvodn¥- my: V 4 t. – T. 3. Psevdodyfferencyal\n¥e operator¥. – M.: Myr, 1987. – 696 s. 2. Ahranovyç M. S. ∏llyptyçeskye operator¥ na zamknut¥x mnohoobrazyqx // Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1990. – 63. – S.@5 – 129. 3. Xermander L. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1965. – 380 s. 4. Volevyç L. R., Paneqx B. P. Nekotor¥e prostranstva obobwenn¥x funkcyj y teorem¥ vlo- Ωenyq // Uspexy mat. nauk. – 1965. – 20, # 1. – S.@3 – 74. 5. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskye operator¥ v utoçnennoj ßkale funkcyonal\- n¥x prostranstv // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 5. – S.@689 – 696. 6. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za- daçy. I // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 2. – S.@217 – 235. 7. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za- daçy. II // Tam Ωe. – # 3. – S.@352 – 370. 8. Lyzorkyn P. Y. Prostranstva obobwennoj hladkosty // Teoryq funkcyonal\n¥x pro- stranstv / X. Trybel\. – M.: Myr, 1986. – S.@381 – 415. 9. Haroske D. D., Moura S. D. Continuity envelopes of spaces of generalized smoothness, entropy and approximation numbers // J. Approxim. Theory. – 2004. – 128. – P. 151 – 174. 10. Farkas W., Leopold H.-G. Characterization of function spaces of generalized smoothness // Ann. math. pura ed appl. – 2006. – 185, # 1. – P. 1 – 62. 11. Ílenzak H. ∏llyptyçeskye zadaçy v utoçnennoj ßkale prostranstv // Vestn. Mosk. un-ta. – 1974. – # 4. – S.@48 – 58. 12. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale prostranstv na zamknutom mnohoobrazyy // Dop. NAN Ukra]ny. – 2006. – # 10. – S.@27 – 33. 13. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Rehulqrnaq πllyptyçeskaq hranyçnaq zadaça dlq odnorodnoho uravnenyq v dvustoronnej utoçnennoj ßkale prostranstv // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 11. – S.@1536 – 1555. 14. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskyj operator s odnorodn¥my rehulqrn¥my hra- nyçn¥my uslovyqmy v dvustoronnej utoçnennoj ßkale prostranstv // Ukr. mat. visn. – 2006. – 3, # 4. – S.@547 – 580. 15. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za- daçy. III // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 5. – S.@679 – 701. 16. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 142 s. 17. Lyons Û. -L., MadΩenes ∏. Neodnorodn¥e hranyçn¥e zadaçy y yx pryloΩenyq. – M.: Myr, 1971. – S.@372 s. 18. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom y prostranstva dyfferencyruem¥x funkcyj // Dop. NAN Ukra]ny. – 2006. – # 6. – S.@13 – 18. 19. Atiyah M. F., Singer I.M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. – 1963. – 69, # 3. – P. 422 – 433. 20. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 800 s. 21. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communs Pure and Appl. Math. – 1962. – 15, # 2. – P. 119 – 147. 22. Ahranovyç M. S., Vyßyk M. Y. ∏llyptyçeskye zadaçy s parametrom y parabolyçeskye zadaçy obweho vyda // Uspexy mat. nauk. – 1964. – 19, # 3. – S.@53 – 161. 23. KoΩevnykov A. N. Spektral\n¥e zadaçy dlq psevdodyfferencyal\n¥x system, πllyptyçeskyx po Duhlysu – Nyrenberhu y yx pryloΩenyq // Mat. sb. – 1973. – 92(134), # 1(9). – S.@60 – 88. 24. Grubb G. Functional calculus of pseudo-differential boundary problems. – Boston etc.: Birkhäuser, 1996. – 522 p. 25. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. – 427 p. Poluçeno 14.03.2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6

Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии

Репозитарії

Схожі ресурси