Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны

Для неоднорідної струни з відомими розподілом мас (повна маса вважається нескінченною), скінченною довжиною та невідомою спектральною мірою dσ(t) побудовано аналогічну струну зі спектральною мірою dσ(t)/t. Це дозволяє обчислити моменти всіх від'ємних порядків міри dσ(t). Механічна інтерпретація...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Нудельман, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164195
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны / А.А. Нудельман // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 815–825. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164195
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641952020-02-09T01:27:28Z Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны Нудельман, А.А. Статті Для неоднорідної струни з відомими розподілом мас (повна маса вважається нескінченною), скінченною довжиною та невідомою спектральною мірою dσ(t) побудовано аналогічну струну зі спектральною мірою dσ(t)/t. Це дозволяє обчислити моменти всіх від'ємних порядків міри dσ(t). Механічна інтерпретація досліджень Стільтьєса з проблеми моментів, запропонована М. Г. Крейном, дозволяє розв'язати наступну проблему: для стільтьєсівської моментної послідовності, яка має єдиний розв'язок, обчислити моменти від'ємних порядків. Ця проблема еквівалентна такій: знайти асимптотичну поведінку асоційовної функції Стільтьєса поблизу нуля, знаючи її асимптотичну поведінку поблизу нескінченності. For an inhomogeneous string with known mass distribution (the total mass is assumed to be infinite), known finite length, and unknown spectral measure dσ(t), we construct an analogous string with spectral measure dσ(t)/t. This enables one to determine the moments of all non-negative orders for the measure dσ(t). The mechanical interpretation of Stieltjes’ investigation of the problem of moments proposed by Krein enables one to solve the problem of finding the moments of negative orders for the Stieltjes moment sequence that has a unique solution. This problem is equivalent to the problem of determining the asymptotic behavior of the associated Stieltjes function near zero on the basis of its known asymptotic behavior at infinity. 2007 Article Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны / А.А. Нудельман // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 815–825. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164195 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Нудельман, А.А. Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны Український математичний журнал
description	Для неоднорідної струни з відомими розподілом мас (повна маса вважається нескінченною), скінченною довжиною та невідомою спектральною мірою dσ(t) побудовано аналогічну струну зі спектральною мірою dσ(t)/t. Це дозволяє обчислити моменти всіх від'ємних порядків міри dσ(t). Механічна інтерпретація досліджень Стільтьєса з проблеми моментів, запропонована М. Г. Крейном, дозволяє розв'язати наступну проблему: для стільтьєсівської моментної послідовності, яка має єдиний розв'язок, обчислити моменти від'ємних порядків. Ця проблема еквівалентна такій: знайти асимптотичну поведінку асоційовної функції Стільтьєса поблизу нуля, знаючи її асимптотичну поведінку поблизу нескінченності.
format	Article
author	Нудельман, А.А.
author_facet	Нудельман, А.А.
author_sort	Нудельман, А.А.
title	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
title_short	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
title_full	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
title_fullStr	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
title_full_unstemmed	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
title_sort	продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164195
citation_txt	Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны / А.А. Нудельман // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 815–825. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT nudelʹmanaa prodolženievlevostilʹtʹesovskojmomentnojposledovatelʹnostiirodstvennyezadačispektralʹnojteoriineodnorodnojstruny
first_indexed	2025-07-14T16:42:55Z
last_indexed	2025-07-14T16:42:55Z
_version_	1837641368934023168
fulltext	UDK 517.5 A. A. Nudel\man (Odes. nac. akad. pyw. texnolohyj) PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ POSLEDOVATEL\|NOSTY Y RODSTVENNÁE ZADAÇY SPEKTRAL\|NOJ TEORYY NEODNORODNOJ STRUNÁ ∗∗∗∗ For a nonhomogeneous string with the known mass distribution (the full mass is assumed to be infinite), the known finite length, and the unknown spectral measure d tσ( ), we construct an analogous string with spectral measure d t tσ( ) / . This allows to calculate the moments of all negative orders of the measure d tσ( ). The mechanical interpretation of the Stieltjes investigations on the moment problem proposed by M. G. Krein enables one to solve the following problem: for given Stieltjes moment sequence with unique solution, calculate the moments of negative orders. This problem is equivalent to the following one: establish the asymptotic behavior of the associate Stieltjes function near zero if its asymptotic behavior near infinity is given. Dlq neodnoridno] struny z vidomymy rozpodilom mas (povna masa vvaΩa[t\sq neskinçennog), skinçennog dovΩynog ta nevidomog spektral\nog mirog d tσ( ) pobudovano analohiçnu strunu zi spektral\nog mirog d t tσ( ) / . Ce dozvolq[ obçyslyty momenty vsix vid’[mnyx porqdkiv miry d tσ( ) . Mexaniçna interpretaciq doslidΩen\ Stil\t\[sa z problemy momentiv, zaproponovana M./H. Krejnom, dozvolq[ rozv’qzaty nastupnu problemu: dlq stil\t\[sivs\ko] momentno] posli- dovnosti, qka ma[ [dynyj rozv’qzok, obçyslyty momenty vid’[mnyx porqdkiv. Cq problema ekvi- valentna takij: znajty asymptotyçnu povedinku asocijovno] funkci] Stil\t\[sa poblyzu nulq, znagçy ]] asymptotyçnu povedinku poblyzu neskinçennosti. 1. Kak yzvestno, klassyçeskaq problema momentov Styl\t\esa sostoyt v sledu- gwem. Dlq zadannoj posledovatel\nosty çysel { }sk 0 ∞ neobxodymo: 1) najty uslovyq, pry kotor¥x suwestvuet neotrycatel\naq mera dσ (re- ßenye problem¥), dlq kotoroj çysla sk qvlqgtsq stepenn¥my momentamy k-ho porqdka: sk = t d tk σ( ) 0 ∞ ∫ , k = 0, 1, … ; (1) 2) esly reßenye suwestvuet, v¥qsnyt\, edynstvenno ly ono (v πtom sluçae problema naz¥vaetsq opredelennoj); 3) esly problema neopredelennaq, najty vse reßenyq. Otvet¥ na perv¥e dva voprosa b¥ly dan¥ ewe Styl\t\esom [1], opysanye vsex reßenyj neopredelennoj problem¥ vperv¥e pryvedeno v rabote M./H./Krej- na/[2]. Problema (1) razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda vse form¥ s x xi j i j i j n + = ∑ , 0 , s x xi j i j i j n + + = ∑ 1 0, (2) qvlqgtsq neotrycatel\no opredelenn¥my pry n = 0, 1,… . Esly pry πtom xotq b¥ odna yz nyx v¥roΩdaetsq, to reßenye edynstvenno y ymeet koneçn¥j nosy- tel\. Verno y obratnoe: esly problema (1) ymeet reßenye s koneçn¥m nosyte- lem, to ono edynstvenno, pry πtom vse form¥ (2) neotrycatel\n¥ y sredy nyx ymegtsq v¥roΩdenn¥e. Takym obrazom, dlq toho çtob¥ problema (1) ymela re- ßenye s beskoneçn¥m nosytelem, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ b¥ly polo- Ωytel\n¥ vse opredelytely ∗ Çastyçno podderΩana fondom U. S. Civilian Research and Development Foundation y Myny- sterstvom obrazovanyq y nauky Ukrayn¥ (hrant UK2-2811-OD-06). © A. A. NUDEL\|MAN, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 815 816 A. A. NUDEL\|MAN A sn i j n= + −det( )0 1, B sn i j n= + + −det( )1 0 1, n = 1, 2, … ( A0 = B0 = 1 ) . (3) Ymenno πtot sluçaj b¥l yzuçen Styl\t\esom, kotor¥j ustanovyl, çto problema (1) qvlqetsq opredelennoj tohda y tol\ko tohda, kohda an n= ∞ ∑ 1 = ∞ , (4) hde a A B Bk k k k2 2 1= −/ , a A B Bk k k k2 1 1 2 1+ − −= / . (5) V poslednee vremq naçaly razrabat¥vat\ tak naz¥vaemug syl\nug problemu momentov Styl\t\esa [3] (sm. takΩe [4], hde ymeetsq obßyrnaq byblyohrafyq, y [5]), kotoraq otlyçaetsq ot klassyçeskoj tem, çto krome momentov neotryca- tel\n¥x porqdkov sk , k = 0, 1, … , zadagtsq moment¥ otrycatel\n¥x porqdkov s– k , k = 1, 2, … . Pry postanovke rassmotrenn¥x v nastoqwej stat\e zadaç otpravn¥m punk- tom posluΩyl sledugwyj vopros. Pust\ zadana posledovatel\nost\ { }sk 0 ∞, dlq kotoroj razreßyma klassyçeskaq problema momentov Styl\t\esa (1). Pry kakyx uslovyqx ee moΩno prodolΩyt\ vlevo nekotoroj posledovatel\nost\g { }s k− ∞ 1 tak, çtob¥ dlq beskoneçnoj v obe storon¥ posledovatel\nosty { }sk −∞ ∞ b¥la razreßyma syl\naq problema momentov Styl\t\esa sk = t d tk σ( ) 0 ∞ ∫ , k = 0, ± 1, ± 2, … . (6) Yn¥my slovamy, pry kakyx uslovyqx sredy reßenyj dσ klassyçeskoj proble- m¥ (1) ymegtsq takye, dlq kotor¥x sxodqtsq yntehral¥ s– k = t d tk− ∞ ∫ σ( ) 0 , k = 1, 2, … . (7) Otmetym, çto πtot vopros soderΩatelen tol\ko v sluçae, kohda klassyçeskaq problema Styl\t\esa (1) qvlqetsq opredelennoj, ybo, kak pokazal Styl\t\es, u neopredelennoj problem¥ ymegtsq reßenyq s dyskretn¥m nosytelem, ne so- derΩawym nulq; dlq takyx reßenyj yntehral¥ (7) suwestvugt. Dlq oprede- lennoj problem¥ ymeet sm¥sl zadaça o tom, kak v¥razyt\ moment¥ s– k otryca- tel\n¥x porqdkov edynstvennoho reßenyq çerez zadann¥e moment¥ sk neotry- catel\n¥x porqdkov. UkaΩem druhug formu postanovky poslednej zadaçy. Oboznaçym çerez S klass funkcyj, holomorfn¥x v kompleksnoj oblasty, razrezannoj po [ 0, ∞ ) , otobraΩagwyx otkr¥tug verxngg poluploskost\ v zamknutug verxngg polu- ploskost\ y neotrycatel\n¥x na ( – ∞, 0 ) . Yzvestno (sm., naprymer, [6, c. 522]), çto F ∈ S tohda y tol\ko tohda, kohda F ( z ) = γ σ+ − ∞ ∫ d t t z ( ) 0 , (8) hde γ ( = F ( – ∞ )) ≥ 0, d σ ( t ) ≥ 0. Yzvestno takΩe, çto S - funkcyq (8) pry z → → ∞ v sektore 0 < δ ≤ arg z ≤ π asymptotyçesky predstavlqetsq rqdom – s zk k k − + = ∞ ∑ ( )1 0 (9) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 817 tohda y tol\ko tohda, kohda γ = 0 y v¥polnqetsq (1). Krome toho [5], pry γ = = 0 S - funkcyq (8) asymptotyçesky predstavlqetsq rqdom s zk k k − + = ∞ ∑ ( )1 0 (10) pry z → 0 v tom Ωe sektore tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnqetsq (7). Teper\ zadaçu moΩno sformulyrovat\ sledugwym obrazom. Znaq asympto- tyçeskoe razloΩenye (9) zadannoj S - funkcyy vblyzy ∞ , najty ee asymptoty- çeskoe razloΩenye (10) vblyzy 0. Kak pokazal M. H. Krejn [2] (sm. takΩe [7]), teoryg klassyçeskoj problem¥ momentov Styl\t\esa moΩno rassmatryvat\ kak sostavnug çast\ spektral\noj teoryy neodnorodnoj strun¥ (neobxodym¥e svedenyq sm. nyΩe); v çastnosty, mnoΩestvo reßenyj problem¥ (1) sovpadaet s mnoΩestvom spektral\n¥x mer strun¥ specyal\noho vyda (styl\t\esovskoj strun¥), uslovye opredelennosty problem¥ Styl\t\esa sovpadaet s uslovyem synhulqrnosty sootvetstvugwej styl\t\esovskoj strun¥. V nastoqwej stat\e poluçen¥ v¥raΩenyq dlq momentov otrycatel\n¥x po- rqdkov spektral\noj mer¥ proyzvol\noj neodnorodnoj synhulqrnoj strun¥ v termynax ee dlyn¥ y funkcyy raspredelenyq mass. ∏ty obwye formul¥ pozvo- lqgt reßyt\ zadaçu o prodolΩenyy vlevo styl\t\esovskoj momentnoj posle- dovatel\nosty s pomow\g yzvestn¥x formul dlq dlyn¥ y funkcyy rasprede- lenyq mass styl\t\esovskoj strun¥. Kryteryy suwestvovanyq momentov otrycatel\n¥x porqdkov spektral\noj mer¥ synhulqrnoj strun¥ b¥ly poluçen¥ Y. S. Kacem [8]. Zdes\ budet poluçe- na druhaq forma kryteryq. 2. Pryvedem neobxodym¥e svedenyq yz spektral\noj teoryy neodnorodnoj strun¥. Podrobnoe yzloΩenye moΩno najty v [7]. Oboznaçym çerez S L M[ , ] strunu, natqnutug edynyçnoj syloj meΩdu toç- kamy x = 0 y x = L ( ≤ ∞ ) s funkcyej raspredelenyq mass M ( x ) ( M ( 0 ) = 0 ) , pryçem 0 < M ( x ) = M ( x + 0 ) < M ( L ) , 0 < x < L , M ( L – 0 ) = M ( L ) . (11) Udobno sçytat\, çto M ( x ) = 0 pry x < 0. Dopuskagtsq ynterval¥, svobodn¥e ot mass, ravno kak y sosredotoçenn¥e mass¥. Amplytudn¥e funkcyy takoj strun¥ qvlqgtsq reßenyqmy yntehral\noho uravnenyq y ( x, λ ) = α β λ ξ ξ λ ξ+ − − − ∫z x y dM x ( ) ( , ) ( ) 0 . (12) Esly na funkcyqx vyda u ( x ) = α β ξ ξ ξ+ + − − ∫x x g dM x ( ) ( ) ( ) 0 , hde g — kompleksnoznaçnaq M - summyruemaq na [ 0, L ] funkcyq, opredelyt\ operator dyfferencyrovanyq po x formuloj du dx = β ξ+ − ∫ g dM x x ( ) ( ) 0 , a na funkcyqx vyda v ( x ) = β ξ ξ+ − ∫ g dM x ( ) ( ) 0 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 818 A. A. NUDEL\|MAN opredelyt\ operator dyfferencyrovanyq po M ( x ) formuloj d dM x v ( ) = g ( x ) , to uravnenye (12) budet ravnosyl\no zadaçe d y dM x dx y 2 ( ) + λ = 0, y ( 0, λ ) = α , dy dx ( , )−0 λ = β . (13) V çastnom sluçae, kohda M ( x ) absolgtno neprer¥vna, dM ( x ) = p ( x ) dx , urav- nenye (13) prevrawaetsq v ob¥çnoe uravnenye d y dx p x y 2 2 + λ ( ) = 0. Oboznaçym çerez ϕ ( x, λ ) y ψ ( x, λ ) reßenyq zadaçy (13), sootvetstvugwye znaçenyqm α = 1, β = 0 y α = 0, β = 1. Mera dσ naz¥vaetsq spektral\noj meroj strun¥ S L M[ , ], esly otobraΩenye U : f → F , hde F ( λ ) = f x x dM x l ( ) ( , ) ( )ϕ λ − ∫ 0 , otobraΩaet prostranstvo L 2 0([ , ], )l dM v prostranstvo L 2 0([ , ], )∞ dσ yzomet- ryçesky, t. e. esly F d( ) ( )λ σ λ2 0 ∞ ∫ = f x dM x l ( ) ( )2 0− ∫ . Spektral\naq mera edynstvenna tohda y tol\ko tohda, kohda struna synhulqrna, t. e. L + M ( L ) = ∞ . (14) Odnu yz spektral\n¥x mer (hlavnug spektral\nug meru) moΩno poluçyt\ sle- dugwym obrazom. Funkcyq Γ ( λ ) = lim ( , ) ( , )x L x x↑ ψ λ ϕ λ , (15) naz¥vaemaq koπffycyentom dynamyçeskoj podatlyvosty strun¥, qvlqetsq S - funkcyej, tak çto Γ ( λ ) = γ σ λ + − ∞ ∫ 0 d t t ( ) , dσ ( t ) ≥ 0. (16) Zdes\ mera dσ — hlavnaq spektral\naq mera strun¥ (ee moΩno najty s po- mow\g formul¥ obrawenyq Styl\t\esa), γ ( ( ))= +∞Γ — dlyna uçastka stru- n¥, prym¥kagweho k 0, svobodnoho ot mass: M ( x ) = 0 pry 0 ≤ x < γ . V sylu (11) v rassmatryvaemom sluçae γ = 0. Dlq synhulqrnoj strun¥ takΩe Γ ( λ ) = lim ( , ) ( , )x L d x dx d x dx ↑ ψ λ ϕ λ . (17) V dal\nejßem predpolahaetsq, çto struna S L M[ , ] synhulqrna. Naßa cel\ sostoyt v tom, çtob¥ v¥razyt\ çerez L y d M moment¥ otryca- tel\n¥x porqdkov mer¥ dσ. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 819 3. V¥raΩenye dlq s−1 yzvestno, ono poluçaetsq dostatoçno prosto: tak kak ϕ ( x, λ ) = 1 0 − −∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )x dM x , ψ ( x, λ ) = x x dM x − −∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( ) 0 , to ϕ ( x, 0 ) = 1, ψ ( x, 0 ) = x, tak çto, polahaq λ = 0 v (15) y (16), poluçaem s−1 = L . (18) Takym obrazom, s−1 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda L < ∞ (y, sledo- vatel\no, M ( L ) = ∞ ) . Dlq naxoΩdenyq s k− pry k > 1 budet yspol\zovan sledugwyj pryem. Po synhulqrnoj strune S L M[ , ] ( ), ( )L M L< ∞ = ∞ stroytsq novaq synhulqrnaq struna S L M[ , ]1 1 ( )( )M L1 1 = ∞ , u kotoroj spektral\naq mera dσ1 svqzana s dσ formuloj d t t d tσ σ1 1( ) ( )= − . Prymenqq (18) k novoj strune, ymeem L1 = t d t− ∞ ∫ 1 1 0 σ ( ) = t d t− ∞ ∫ 2 0 σ( ) = s−2 , tak çto s−2 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda novaq struna ymeet koneç- nug dlynu. Povtorno prymenqq πtot pryem, naxodym uslovyq suwestvovanyq y formul¥ dlq s k− . Pry postroenyy strun¥ S L M[ , ]1 1 po strune S L M[ , ] budet yspol\zovan podxod, nameçenn¥j bez dokazatel\stva M. H. Krejnom [9] v druhyx preobrazova- nyqx spektral\n¥x mer. Koordynata x1 y massa M x1 1( ) yntervala [ , ]0 1x dlq novoj strun¥ vvodqtsq kak nekotor¥e neub¥vagwye funkcyy parametra x ( 0 ≤ x ≤ L ) : x1 = p ( x ) , M x1 1( ) = q ( x ) , ne ymegwye obwyx toçek razr¥va. Sleduet poqsnyt\, çto esly ( ξ, η ) — ynterval, v kotorom funkcyq p soxranq- et postoqnnoe znaçenye, p ( x ) = c pry ξ < x < η , to v toçke x1 = c sosredo- toçena massa q ( η – 0 ) – q ( ξ + 0 ) ; esly ζ — toçka razr¥va funkcyy p, p ( ζ – 0 ) = = a, p ( ζ + 0 ) = b, to ynterval a < x1 < b svoboden ot mass. Analohyçno, yn- tervalu postoqnstva funkcyy q sootvetstvuet ynterval, svobodn¥j ot mass, a ee skaçku — sosredotoçennaq massa. Pust\ S L M[ , ] ( ), ( )L M L< ∞ = ∞ — zadannaq synhulqrnaq struna so spektral\noj meroj dσ. PoloΩym x1 = ( ) ( )L dM x − − ∫ ξ ξ2 0 , M x1 1( ) = ( )L x− −1, 0 < x < L, M1 0( ) = 0. (19) Kohda x probehaet otrezok [ 0, L ] , x1 probehaet otrezok [ 0, L1 ] , hde L1 = ( ) ( )L dM L − − ∫ ξ ξ2 0 , pry πtom M L1 1( ) = ∞ . Struna S L M[ , ]1 1 ymeet v toçke 0 sosredotoçennug massu M L1 10( )+ = − . Esly struna S L M[ , ] ymeet v toçke 0 sosredotoçennug massu m0 , to x L m1 2 00( )+ = y, sledovatel\no, u strun¥ S L M[ , ]1 1 ynterval 0 < x1 < L m2 0 svoboden ot mass. Teorema%1. Esly funkcyq y ( x, λ ) qvlqetsq reßenyem zadaçy (13), to funkcyq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 820 A. A. NUDEL\|MAN Y ( x1 , λ ) = α β λ ξ ξ λ ξ+ − − − ∫L L y dM x ( ) ( , ) ( ) 0 (20) qvlqetsq reßenyem zadaçy d Y dM x dx Y 2 1 1 1( ) + λ = 0, Y( , )0 λ = α β+ L , dY dx1 0( , )− λ = β λ . Dokazatel\stvo. Sleduet ubedyt\sq v tom, çto Y x( , )1 λ = α β βλ λ λ+ + − − − ∫L x x t Y t dM t x 1 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( , ) ( ). (21) PreΩde vseho zametym, çto x t1 1− = ( ) ( ) ( ) ( )L dM L dM x t − − − − − ∫ ∫ξ ξ ξ ξ2 0 2 0 = ( ) ( )L dM t x − + ∫ ξ ξ2 0 . PoloΩym µ( ) ( )t L t= − −1 pry 0 < t < L , µ( )t = 0 pry t ≤ 0 y ν ( t ) = = ( ) ( , ) ( )L y dM t − −∫ τ τ λ τ 0 . Oboznaçym pravug çast\ (21) çerez Z ( x1 , λ ) y s uçe- tom (19) zapyßem ee v vyde Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + − − ∫L L dM x ( ) ( )2 0 – – λ ξ ξ α β λν µ − + ∫ ∫ −       + − 0 2 0 x t x L dM L t d t( ) ( ) ( ) ( )( ) = α β βλ ξ ξ+ + − − ∫L L dM x ( ) ( )2 0 – – λ α β ξ ξ µ( ) ( ) ( ) ( )+ −      ∫ ∫ + L L dM d t x t x 0 2 0 + λ ξ ξ ν µ2 0 2 0 x t x L dM t d t∫ ∫ −       + ( ) ( ) ( ) ( ). DokaΩem, çto Z ( x1 , λ ) = Y ( x1 , λ ) . Yzmenyv porqdok yntehryrovanyq v poslednyx dvux slahaem¥x, poluçym Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + − − ∫L L dM x ( ) ( )2 0 – – λ α β µ ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( )+       − − ∫ ∫L d t L dM x 0 0 2 + λ ν µ ξ ξ ξ 2 0 0 2 − − ∫ ∫       − x t d t L dM( ) ( ) ( ) ( ). Poskol\ku d tµ ξ ( ) 0 ∫ = ( )L − −ξ 1 y d tν( ) = ( ) ( , ) ( )L t y t dM t− λ , to ν µ ξ ( ) ( )t d t − ∫ 0 = ν ξ ν ξ ( )( ) ( ) ( )t L L t d t− − −− − −∫1 0 1 = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 821 = ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )L L t y t dM t y t dM t− − −− − − ∫ ∫ξ λ λ ξ ξ 1 0 0 = = ( ) ( ) ( , ) ( )L t y t dM t− −− − ∫ξ ξ λ ξ 1 0 . Uçyt¥vaq (12), ymeem ν µ ξ ( ) ( )t d t − ∫ 0 = λ ξ α βξ ξ− −− + −1 1( ) ( , )( )L y t . Poπtomu Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + − − ∫L L dM x ( ) ( )2 0 – – λ α βλ ξ ξ λ ξ α βξ ξ λ ξ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( , ) ( )+ − + − + − − − ∫ ∫L dM L y dM x x 0 0 = = α β λ ξ ξ λ ξ+ − − − ∫L L y dM x ( ) ( , ) ( ) 0 = Y ( x1 , λ ) , çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥. Teorema%2. Dlq funkcyy Y ( x1 , λ ) , opredelennoj v teoreme/1, spravedlyva formula dY dx1 = – λ λy x L x ( , ) − . Dokazatel\stvo. Po opredelenyg dY dx1 = βλ λ λ− − ∫ Y t dM t x ( , ) ( )1 1 1 0 1 , tak çto dY dx1 = βλ λ α β λ ξ ξ λ ξ µ− + − −       − − ∫ ∫ 0 0 x t L L y dM d t( ) ( , ) ( ) ( ) = = βλ λα β λ µ ξ ξ λ µ ξ ξ − + − +       − − ∫ ∫L L x d t L y d x x 2 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) = = – λα β λ ξ ξ λ µ ξ+ − + − − − ∫x L x L x x y d x2 0 ( ) ( , ) ( ) = – λ λy x L x ( , ) − . Teorema%3. Spektral\n¥e mer¥ dσ y dσ 1 sootvetstvenno strun S L M[ , ] y S L M[ , ]1 1 svqzan¥ sootnoßenyem dσ1 ( t ) = t d t−1 σ( ). Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez Y1 ( x1 , λ ) y Y2 ( x1 , λ ) reßenyq zadaçy (13), sootvetstvugwye znaçenyqm α1 1= , β1 0= y α2 0= , β2 1= , tak çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 822 A. A. NUDEL\|MAN Y1 ( x1 , λ ) = 1 0 − − − ∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )L dM x , Y2 ( x1 , λ ) = L L dM x − − − ∫λ ξ ψ ξ λ ξ( ) ( , ) ( ) 0 . Sohlasno teoreme/1 Y1 ( 0, λ ) = 1, dY dx 1 1 0( , )− λ = 0, Y2 ( 0, λ ) = L, dY dx 2 1 0( , )− λ = λ , poπtomu dlq strun¥ S L M[ , ]1 1 ϕ1 ( x1 , λ ) = Y1 ( x1 , λ ) , ψ1 ( x1 , λ ) = – L Y x Y xλ λ λ λ− −+1 1 1 1 2 1( , ) ( , ) . (22) Poskol\ku struna S L M[ , ]1 1 synhulqrna ( )( )M L1 1 = ∞ , ee koπffycyent dynamyçeskoj podatlyvosty Γ1( )λ moΩno v¥çyslyt\ po formule Γ1( )λ = lim ( , ) ( , )x L d x dx d x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 ↑ ψ λ ϕ λ . Yspol\zuq (22) y teoremu/2, naxodym d x dx d x dx ψ λ ϕ λ 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) = λ ψ λ ϕ λ − − +    1 L x x ( , ) ( , ) , otkuda, ustremlqq x k L, poluçaem Γ1( )λ = λ λ− − +( )1 L Γ( ) yly 0 1 ∞ ∫ − d t t σ λ ( ) = λ σ σ λ − ∞ ∞ − + −      ∫ ∫1 0 0 d t t d t t ( ) ( ) , t. e. 0 1 ∞ ∫ − d t t σ λ ( ) = 0 1∞ − ∫ − t d t t σ λ ( ) . Sledovatel\no, d tσ1( ) = t d t−1 σ( ). Teorema dokazana. 4. Kak b¥lo otmeçeno v konce p./2, yz teorem¥/3 sleduet, çto s−2 = L1, po- πtomu v sootvetstvyy s (19) s−2 = ( ) ( )L x dM x L − − ∫ 2 0 , (23) y s−2 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda sxodytsq yntehral v pravoj ças- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 823 ty (23) (moment ynercyy strun¥ S L M[ , ] otnosytel\no ee pravoho konca). Esly poloΩyt\ s x−1( ) = L – x ( )( )s L s− −= =1 10 , to s−2 = s x dM x L − − ∫ 1 2 0 ( ) ( ). Otpravlqqs\ ot postroennoj strun¥ S L Mn n[ , ]− −1 1 , n = 1, 2, … , L L0 = , M M0 = , postroym strunu S L Mn n[ , ], poloΩyv xn = ( ) ( )L t dM tn n n n xn − − − − − − − ∫ 1 1 2 1 1 0 1 , M xn n( ) = ( )L xn n− − −−1 1 1 ( )0 1 1< <− −x Ln n , Mn( )0 = 0. PoloΩym s x L xk k k− − −= −( ) 1 1, tak çto s sk k− −= −( )0 . Tohda dxn = s x dM xn n− − 2 1( ) ( ), dMn = dx s x s x n n n − − + 1 0 0( ) ( ) . (24) Uslovymsq vmesto s x s xn n( ) ( )− +0 0 pysat\ ˜ ( )s xn 2 . Posledovatel\no prymenqq (24), poluçaem dxn = s x dM xn n n− − − 2 1 1( ) ( ) = s x dx s x n n n − − − − 2 2 1 2( ) ˜ ( )( ) = = s x s x s x dM xn n n n n − − − − − − −     ( ) ˜ ( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 3 = … . Okonçatel\n¥j vyd formul¥, v¥raΩagwej dxn çerez x, zavysyt ot çetnosty n. Yntehryruq dxn po ξ ot x do L, ymeem s xk− +( )( )2 1 = s s s s s s dk kx L − − − − − − − … …    ∫ 2 4 2 1 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ, s xk− +( )( )2 2 = s s s s s s dMk kx L − − − + − − − … …    ∫ 1 3 2 1 2 4 2 2 ( ) ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( ) ( )( )ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ . Pry x = 0 πty formul¥ dagt znaçenyq momentov s n− . Zametym, çto funkcyy s xn− ( ) pry neçetnom n neprer¥vn¥ v yntervale 0 ≤ x ≤ L , tohda kak pry çetnom n ony mohut ymet\ skaçky. 5. Vozvratymsq k probleme momentov Styl\t\esa (1). Kak b¥lo otmeçeno, mnoΩestvo ee reßenyj sovpadaet s mnoΩestvom spektral\n¥x mer strun¥ spe- cyal\noho vyda. Utoçnym, çto reç\ ydet o strune, kotoraq sostoyt yz neveso- moj nyty, natqnutoj edynyçnoj syloj meΩdu toçkamy x = 0 y x = L, na koto- rug v toçkax xk = a jj k 20=∑ , k = 0, 1, … , x0 = 0, nasaΩen¥ mass¥ mk = a k2 1+ (takym obrazom, lk : = a k2 — rasstoqnye meΩdu massamy mk y mk+1 ). Svqz\ meΩdu zadann¥my momentamy sk y çyslamy an zadaetsq formulamy (3), (5). Takug strunu budem naz¥vat\ styl\t\esovskoj strunoj, a çysla an — ee styl\t\esovskymy parametramy. Dlq toho çtob¥ struna b¥la styl\t\esovskoj, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ xotq b¥ odna ee spektral\naq mera (a tohda y vse ee spektral\n¥e mer¥) ymela koneçn¥e moment¥ vsex neotrycatel\n¥x porqdkov. Dlyna styl\t\esovskoj strun¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 824 A. A. NUDEL\|MAN L = lj j= ∞ ∑ 1 = a j j 2 1= ∞ ∑ , a ee polnaq massa M ( L ) = mj j= ∞ ∑ 0 = a j j 2 1 0 + = ∞ ∑ . Zametym, çto svoy yssledovanyq po probleme momentov Styl\t\es naçal s rassmotrenyq cepnoj droby 1 1 1 1 1 2 3 4 a z a a z a + + + + � , tak çto parametr¥ an u neho poqvylys\ do momentov sk . Dlq styl\t\esovskoj strun¥ uslovye synhulqrnosty L + M ( L ) = ∞ sovpa- daet s uslovyem ann= ∞∑ 1 = ∞ sxodymosty cepnoj droby y, sledovatel\no, s uslovyem opredelennosty sootvetstvugwej problem¥ momentov Styl\t\esa. Dlq problem¥ momentov Styl\t\esa ymeem s−1 = L = ln n= ∞ ∑ 1 = a n n 2 1= ∞ ∑ . Çtob¥ poluçyt\ v¥raΩenye dlq s−2 , zametym, çto struna S L M[ , ]1 1 takΩe qvlqetsq styl\t\esovskoj strunoj s parametramy ′m1 = L−1, ′mk = l L l L lk j j k j j k −       −       = − − = ∑ ∑ 1 1 1 1 , ′l1 = m L1 2, ′lk = L l mj j k k−       = − ∑ 1 1 2 , tak çto s−2 = ′ = ∞ ∑ lk k 1 . V¥raΩenyq dlq posledugwyx momentov s n− poluçagtsq posredstvom ytera- cyj. 6. Osobenno prostoj vyd ymegt formul¥, v¥raΩagwye s n− çerez { }sk 0 ∞ v sluçae, kohda nosytel\ mer¥ dσ ohranyçen. Eho samug pravug toçku b moΩno najty po formule b = lim n n n s s→∞ +1 . (25) Poluçyt\ πtu formulu moΩno sledugwym obrazom. Funkcyq F ( z ) = d t t z b σ( ) −∫0 analytyçna vne otrezka [ 0, b ] vewestvennoj osy, pryçem, buduçy toçkoj rosta funkcyy σ ( t ) , toçka b qvlqetsq osoboj toçkoj funkcyy F ( z ) . Zamenyv z na ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRODOLÛENYE VLEVO STYL\|T\|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 825 1 / z , poluçym, çto 1 / b — osobaq toçka funkcyy d t tz b σ( ) 10 −∫ . V kruhe z < 1 / b πta funkcyq razlahaetsq v stepennoj rqd s zk k 0 ∞∑ s radyusom sxodymosty 1 / b , otkuda y sleduet (25). Predel v pravoj çasty suwestvuet, tak kak s s s s n n n n + + + 1 1 2 > 0, t. e. posledovatel\nost\ { / }s sn n+1 — vozrastagwaq. PoloΩym ck = b sk k − , ∆0ck = ck , ∆n kc = ∆ ∆n k n kc c− − +−1 1 1, n = 1, 2, … , k = 0, 1, 2, … . Lehko vydet\, çto ck = t d tk τ( ) 0 1 ∫ , d τ ( t ) = d σ ( bt ) , ∆n kc = t t d tk n( ) ( )1 0 1 −∫ τ ≥ 0. V [10] b¥lo pokazano, çto c m− : = t d tm−∫ τ( ) 0 1 = n m m cn n + − −    = ∞ ∑ 1 1 0 0 ∆ (26) y c m− suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda rqd v pravoj çasty sxodytsq. Pry πtom s m− = b cm m− . Yz (26) lehko sdelat\ v¥vod, çto v rassmatryvaemom sluçae moment¥ vsex otrycatel\n¥x porqdkov suwestvugt tohda y tol\ko toh- da, kohda dlq lgboho natural\noho m ∆n c0 = o n m( )− , n → ∞ . 1. Styl\t\es T. Yssledovanyq o neprer¥vn¥x drobqx. – Xar\kov; Kyev: HONTY Ukrayn¥, 1938. – 120 s. 2. Krejn M. H. Ob odnom obobwenyy yssledovanyj Styl\t\esa // Dokl. AN SSSR. – 1952. – 42, # 6. – S./881 – 884. 3. Jones W. B., Thron W. J., Waadeland H. A strong Stieltjes moment problem // Trans. Amer. Math. Soc. – 1980. – 261. – P. 503 – 528. 4. Njåstad O. Solutions of the strong Stieltjes moment problem // Meth. Appl. Anal. – 1995. – 2, # 3. – P. 320 – 347. 5. Kac Y. S., Nudel\man A. A. Syl\naq problema momentov Styl\t\esa // Alhebra y analyz. – 1996. – 8, v¥p./6. – S./26 – 56. 6. Krejn M. H., Nudel\man A. A. Problema momentov Markova y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1973. – 552 s. 7. Kac Y. S., Krejn M. H. O spektral\n¥x funkcyqx strun¥: Dop. II k kn. „Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e hranyçn¥e zadaçy” / F. Atkynson. – M.: Myr, 1968. – S./648 – 737. 8. Kac Y. S. Stepenn¥e moment¥ otrycatel\n¥x porqdkov hlavnoj spektral\noj funkcyy strun¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 9. – S./1209 – 1222. 9. Krejn M. H. O nekotor¥x sluçaqx πffektyvnoho opredelenyq plotnosty neodnorodnoj strun¥ po ee spektral\noj funkcyy // Dokl. AN SSSR. – 1953. – 43, # 4. – S./617 – 620. 10. Nudel\man A. A. O prymenenyy vpolne y absolgtno monotonn¥x posledovatel\nostej k probleme momentov // Uspexy mat. nauk. – 1953. – 8, # 6. – S./119 – 124. Poluçeno 15.01.2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6

Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны

Репозитарії

Схожі ресурси