Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші

Рассмотрен приближенный метод решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения, основанный на разложении экспоненты по ортогональным многочленам Лагера. Для начального значения конечной гладкости относительно оператора A доказаны прямая и обратная теоремы теории приближения в среднем,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Торба, С.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164198
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші / С.М. Торба // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 838–852. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164198
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1641982020-02-09T01:27:36Z Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші Торба, С.М. Статті Рассмотрен приближенный метод решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения, основанный на разложении экспоненты по ортогональным многочленам Лагера. Для начального значения конечной гладкости относительно оператора A доказаны прямая и обратная теоремы теории приближения в среднем, приведены примеры неулучшаемости соответствующих оценок в этих теоремах. Для целых векторов экспоненциального типа установлена экспоненциальная скорость сходимости, для классов Жевре — субэкспоненциальная, а также характеризация соответствующих классов в терминах скорости сходимости в среднем приближения. We consider an approximate method of the solution of the Cauchy problem for an operator-differential equation based on the exponent decomposition in the orthogonal Lager polynomials. For the initial value of finite smoothness with respect to the operator A, we prove direct and inverse theorems of the theory of approximation in the mean and present examples of the unimprovability of corresponding estimates in these theorems. We establish the exponential rate of convergence for exponential-type entire vectors and the subexponential rate of convergence for the Gevrey classes. We also establish the characterization of both classes of vectors in terms of convergence rate in the mean approximation. 2007 Article Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші / С.М. Торба // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 838–852. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164198 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Торба, С.М. Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші Український математичний журнал
description	Рассмотрен приближенный метод решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения, основанный на разложении экспоненты по ортогональным многочленам Лагера. Для начального значения конечной гладкости относительно оператора A доказаны прямая и обратная теоремы теории приближения в среднем, приведены примеры неулучшаемости соответствующих оценок в этих теоремах. Для целых векторов экспоненциального типа установлена экспоненциальная скорость сходимости, для классов Жевре — субэкспоненциальная, а также характеризация соответствующих классов в терминах скорости сходимости в среднем приближения.
format	Article
author	Торба, С.М.
author_facet	Торба, С.М.
author_sort	Торба, С.М.
title	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші
title_short	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші
title_full	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші
title_fullStr	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші
title_full_unstemmed	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші
title_sort	прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі коші
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164198
citation_txt	Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші / С.М. Торба // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 838–852. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT torbasm prâmítaoberneníteoreminabliženihmetodívrozvâzuvannâabstraktnoízadačíkoší
first_indexed	2025-07-14T16:43:03Z
last_indexed	2025-07-14T16:43:03Z
_version_	1837641377193656320
fulltext	UDK 517.9 S. M. Torba (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV ROZV’QZUVANNQ ABSTRAKTNO} ZADAÇI KOÍI * We consider an approximate method of the solution of the Cauchy problem for an operator-differential equation based on the exponent decomposition in the orthogonal Lager polynomials. For the initial value of finite smoothness with respect to the operator A, we prove direct and inverse theorems of the theory of approximation in the mean and present examples of the unimprovability of corresponding estimates in these theorems. We establish the exponential rate of convergence for exponential-type entire vectors and the subexponential rate of convergence for the Gevrey classes. We also establish the characterization of both classes of vectors in terms of convergence rate in the mean approximation. Rassmotren pryblyΩenn¥j metod reßenyq zadaçy Koßy dlq dyfferencyal\no-operatornoho uravnenyq, osnovann¥j na razloΩenyy πksponent¥ po ortohonal\n¥m mnohoçlenam Lahera. Dlq naçal\noho znaçenyq koneçnoj hladkosty otnosytel\no operatora A dokazan¥ prqmaq y obratnaq teorem¥ teoryy pryblyΩenyq v srednem, pryveden¥ prymer¥ neuluçßaemosty soot- vetstvugwyx ocenok v πtyx teoremax. Dlq cel¥x vektorov πksponencyal\noho typa ustanov- lena πksponencyal\naq skorost\ sxodymosty, dlq klassov Ûevre — subπksponencyal\naq, a takΩe xarakteryzacyq sootvetstvugwyx klassov v termynax skorosty sxodymosty v srednem pryblyΩenyq. 1. Vstup. U roboti M. L. Horbaçuka i V. V. Horodec\koho [1] zaproponovano na- blyΩenyj polinomial\nyj metod rozv’qzannq zadaçi Koßi dlq dyferencial\no- operatornoho rivnqnnq v hil\bertovomu prostori, v osnovu qkoho pokladeno roz- klad deqkyx klasyçnyx funkcij u rqd za ortohonal\nymy polinomamy Lahera i otrymano ocinky poxybky nablyΩennq v zaleΩnosti vid stupenq hladkosti po- çatkovyx danyx. O. I. Kaßpirovs\kyj i G. V. Mytnyk [2] zaproponuvaly polino- mial\nyj metod nablyΩennq, wo ©runtu[t\sq na rozkladi funkcij za deqkymy inßymy klasamy ortohonal\nyx mnohoçleniv. U robotax D. Z. Arova, I. P. Havrylgka, V. L. Makarova, V. B. Vasylyka i V.AL. Rqbiçeva [3 – 6] ta v monohrafi] I. P. Havrylgka, V. L. Makarova [7] zapro- ponovano inßyj pidxid do rozv’qzannq takyx zadaç, tak zvanyj metod peretvo- rennq Keli, qkyj ne [ polinomial\nym, i otrymano potoçkovi j intehral\ni ocin- ky (prqmi teoremy). U cij roboti rozhlqda[t\sq analohiçnyj pidxid, wo vykorystovu[ rezol\- ventu vid operatora. Dlq vektoriv skinçenno] hladkosti vidnosno operatora A, dlq cilyx vektoriv eksponencial\noho typu ta dlq Ωevre[vs\kyx vektoriv dove- deno prqmi teoremy pro ßvydkist\ zbiΩnosti intehral\noho vidxylu nablyΩe- noho rozv’qzku. Krim toho, dlq cyx klasiv dovedeno obernenu teoremu. Dlq klasu vektoriv skinçenno] hladkosti vidnosno operatora A vstanovleno, wo prqmu teoremu v deqkomu sensi ne moΩna pokrawyty; ce pokrawu[ rezul\taty I.AP. Havrylgka, V. L. Makarova ta V. L. Rqbiçeva. Bil\ß toho, pokazano, wo miΩ ocinkamy prqmo] ta oberneno] teorem [ deqkyj „zazor”, bil\ßyj za ln n , i navedeno pryklad, çomu joho nemoΩlyvo zmenßyty. Dlq klasiv neskinçenno hladkyx vektoriv C ∞ ( A ), cilyx vektoriv eksponencial\noho typu ExpA � ta dlq klasiv Ωevre[vs\kyx vektoriv G{ β } ta G ( β ) prqmi ta oberneni teoremy da- gt\ povnu xarakteryzacig vidpovidnyx klasiv u terminax ßvydkosti prqmuvannq do nulq intehral\noho vidxylu. 2. Prqmi teoremy nablyΩennq. Nexaj A — samosprqΩenyj dodatno vy- znaçenyj operator, wo di[ v hil\bertovomu prostori �. Dlq operatora A roz- hlqda[t\sq zadaça Koßi x′ ( t ) + A x ( t ) = 0, t > 0, x ( 0 ) = x0 . (1) Vidomo [8], wo rozv’qzok zadaçi Koßi ma[ vyhlqd * Pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt # 14.1/003). © S. M. TORBA, 2007 838 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 839 x ( t ) = e– t A x0 . Meta dano] roboty — doslidyty ßvydkist\ zbiΩnosti nablyΩennq rozv’qzku x ( t ), pobudovanoho za dopomohog rozkladu funkci] e– a t v rqd za mnohoçlenamy Lahera Ln ( t, α ) = 1 n t e t et n t n ! − + − ( )( )α α . VvvaΩatymemo v podal\ßomu, wo α = 0. Na pidstavi rozkladu eksponenty [9, s.A257] e– a t = 1 1 1 0 0a a a L t n n n+ +     ( ) = ∞ ∑ , , a > − 1 2 , ta operatornoho çyslennq dlq samosprqΩenoho operatora A moΩna zapysaty formal\nyj vyraz dlq operatorno] eksponenty e– A t = A A I L tn n n n ( + ) ( )−( + ) = ∞ ∑ 1 0 0, , (2) wo di[ v �. Podibnyj do (2) pidxid, u qkomu zamist\ vyrazu A ( A + I ) – 1 vykorys- tovu[t\sq peretvorennq Keli ( γ I + A ) – 1 ( γ I – A ), rozhlqda[t\sq v monohrafi] [7] ta v bahat\ox stattqx [3 – 6]. Zaminog Ã = γ– 1 A – I odyn iz nyx zvodyt\sq do inßoho. Vykorystovugçy rezul\taty [7], baçymo, wo rqd (2) pry t > 0 zbiha[t\- sq dlq vsix x ∈ �, pry t = 0 dostatn\og umovog zbiΩnosti [ x ∈ D ( Aσ ), σ > 0. Dlq zbiΩnosti rqdu (2) razom z formal\nog poxidnog dosyt\ vymahaty, wob σ ≥ 1 pry t > 0 ta σ > 1 pry t = 0. Rozhlqnemo toçnyj rozv’qzok x ( t ) = A A I L t xn n n n ( + ) ( )−( + ) = ∞ ∑ 1 0 0 0, (3) i za nablyΩennq viz\memo çastkovu sumu rqdu (3) xN ( t ) = A A I L t xn n n n N ( + ) ( )−( + ) = ∑ 1 0 0 0, . (4) Vyraz (4) moΩna interpretuvaty takym çynom: rozhlqda[t\sq poslidovnist\ stacionarnyx zadaç ( A + I ) yp + 1 = A yp , p = 0, 1, … , y0 = ( A + I ) – 1 x0 , zavdqky çomu nestacionarne rivnqnnq (1) „dyskretyzu[t\sq” i zvodyt\sq do po- slidovnosti stacionarnyx rivnqn\ z nezminnymy pravog ta livog çastynamy, i za qkymy zapysu[t\sq nablyΩenyj rozv’qzok xN ( t ) = L t yn n n N ( ) = ∑ , 0 0 . (5) Osnovna vlastyvist\ mnohoçleniv Lahera — ce ]x ortohonal\nist\ za vahog e– t , t > 0. Vidpovidno, slußno rozhlqnuty intehral\nyj vidxyl nablyΩennq 1 1 Potoçkovi ocinky nablyΩennq doslidΩeno v monohrafi] [7], a vidpovidni oberneni teoremy planu[t\sq rozhlqnuty v odnij iz nastupnyx statej. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 840 S. M. TORBA z t x t x t e dtN N t2 2 0 ( ) = ( ) − ( ) − ∞ ∫ . (6) Prypustymo, wo vektor x0 ma[ deqkyj stupin\ hladkosti vidnosno operatora A. Todi ma[ misce taka teorema. Teorema 1. Nexaj x0 ∈ D ( Aσ ), σ ≥ 0. Todi2 z e N o N A xN 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 22 1 2 1 1< ( + ) +         + + + + + σ σ σ σ σ σ σ . (7) Dovedennq. Vykorystovugçy (5), (6), spektral\ne zobraΩennq samosprq- Ωenoho operatora ta ortonormovanist\ mnohoçleniv Lahera z vahog e– t , zapy- su[mo z A A I L t x A A I L t x e dtN k k k k N k k k k N t2 1 0 1 1 0 10 0 0= ( + ) ( ) ( + ) ( )    + = + ∞ + = + ∞∞ −∑ ∑∫ , , , = = A A I x A A I x k k k k k N ( + ) ( + )    + + = + ∞ ∑ 1 0 1 0 1 , = = A A I y A A I y k k k k k N − + − + = + ∞ ( + ) ( + )    ∑ σ σ 1 0 1 0 1 , = = λ λ λ λ σ λ σ λ 2 2 2 2 0 0 01 2 2 2 2 0 0 10 1 1 k k k N k k k N d E y y d E y y − + ∞ = + ∞ − + = + ∞∞ ( + ) ( ) = ( + ) ( )∫∑ ∑∫, , , de y = Aσ x0 . Pidraxovugçy sumu pid znakom intehrala, znaxodymo z d E y yN N 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 = +     + ( ) +∞ ∫ λ λ λ λσ λ , . (8) Poznaçymo pidintehral\nyj vyraz çerez ϕ ( λ ). Neskladnyj analiz pry umovi 2N > σ pokazu[, wo ϕ ( λ ) zrosta[ pry λ < λmax ta spada[ pry λ > λmax , de λmax zadovol\nq[ ocinky 1 4 2 4 3 4 2 1 σ σ σ + ( + − − + )N < λmax < 1 4 2 4 3 4 2 1 σ σ σ + ( + − + + )N . Pidstavlqgçy u ϕ ( λ ) vidpovidno livu çy pravu ocinku dlq λmax ta vykorys- tovugçy nerivnist\ 1 1−   x x < e– 1 , x ≥ 1, znaxodymo ocinku maksymal\noho znaçennq: ϕ ( λ ) < ( + ) +         + + + + + 2 1 2 1 12 1 2 2 2 1 2 1 2 1 σ σ σ σ σ σe N o N . Povertagçys\ do (8), otrymu[mo 2 Prqmu teoremu nablyΩennq dovedeno v [6] ta v dysertaci] V. L. Rqbiçeva, ale inßyj metod do- vedennq dozvolyv pokrawyty stalu z ( + ) + ( + )σ σ σ1 2 1 2 1 do ( + ) ( + ) ( + ) + σ σ σ σ 1 2 2 1 2 1 2 1 / e , tomu cg teoremu ta ]] dovedennq navedeno v danij roboti. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 841 z e N o N A xN 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 22 1 2 1 1< ( + ) +         + + + + + σ σ σ σ σ σ σ . Teoremu dovedeno. U monohrafi] [7] navedeno pryklad operatora, dlq qkoho z c N N N 2 2 1 1≥ + +σ εln , tobto nepokrawuvanist\ ocinky (7) u klasi D ( Aσ ) z toçnistg do ln1 + ε N. Ale z prykladu ne moΩna vstanovyty, çy bude spravedlyvog ocinka z ln N. PokaΩe- mo, wo ma[ misce syl\nißyj fakt, tobto ocinku (7) vzahali ne moΩna pokrawy- ty. A same, ma[ misce taka teorema. Teorema 2. Nexaj { } = ∞cn n 1 — neobmeΩena nespadna poslidovnist\ dodatnyx çysel. Todi isnugt\ takyj samosprqΩenyj operator A ta vektor x 0 ∈ ∈ D ( Aσ ), wo ne isnu[ stalo] c > 0 tako], wo z c N c N N 2 2 1≤ +σ , n ∈ N. Dovedennq. Pobudu[mo poslidovnist\ indeksiv n1 < n2 < … takym çynom: ni + 1 — deqkyj indeks takyj, wo ni + 1 > ni ta cni + 1 > ( i + 1 ) 3 . Takyj indeks isnu[ zavdqky monotonnosti ta neobmeΩenosti { } = ∞cn n 1. Nexaj { } = ∞ei i 1 — ortonormovanyj bazys u �. Dig operatora A vyznaçymo tak: A en = n en . Pid oblastg vyznaçennq rozumitymemo D ( A ) = { x ∈ � \| A x ∈ � }. Lehko baçyty, wo zadanyj takym çynom operator A [ samosprqΩenym. Teper pobudu[mo vektor x0 ∈ D ( Aσ ). Poklademo x0 = 1 1 n i e i n i iσ = ∞ ∑ ∈ �, y0 := Aσ x0 = 1 1 i en i i = ∞ ∑ ∈ �, (9) dlq zbiΩnosti rqdiv vykorystovu[t\sq ortonormovanist\ { } = ∞ei i 1. OtΩe, x0 ∈ ∈ D ( Aσ ). Formula (8) dlq vektora x0 ta operatora A zvodyt\sq do formuly z n n n n y eN i i N i i n i i 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 2 1 = +     + ( ) + = ∞ ∑ σ , . Pry N = ni , vykorystovugçy nerivnist\ 1 1 1 − +    n n ≥ e– 1 , ma[mo z n n n n y e ce N i N i i N i i ni 2 2 2 2 0 2 2 2 1 21 1 1 2 1 2 1≥ +     + ( ) ≥ + − +σ σ, ˜ , (10) de c̃ ne zaleΩyt\ vid i. Prypustymo, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 842 S. M. TORBA ∃ c > 0: z c c N N N 2 2 1≤ +σ . (11) Ale todi z nerivnostej (10) ta (11) vyplyva[, wo dlq vsix i i c ce cni 2 2 2 ≥ −˜ > 0, a ce supereçyt\ vyboru indeksiv ni takym çynom, wob vykonuvalas\ umova i c ini 2 1< . Teoremu dovedeno. 3. Oberneni teoremy nablyΩennq. Dlq vektoriv x0 ∈ D ( Aσ ), σ > 0, v poperedn\omu punkti otrymano ocinku (7) prqmuvannq do nulq intehral\noho vidxylu nablyΩennq. Vynyka[ pytannq: çy cq ocinka [ najkrawog? Teorema 2 pokazu[, wo na vsij mnoΩyni D ( Aσ ) ]] pokrawyty ne moΩna. V c\omu punkti dovedemo obernenu teoremu, tobto za umovy dewo syl\nißo] za (7) ocinky, na- pryklad umovy z c N N N 2 2 1 1< + +σ εln , obov’qzkovo bude vykonano vkladennq x0 ∈ D ( Aσ ). Rozhlqnemo poslidovnist\ dijsnyx çysel { cN } N ∈ N taku, wo: 1) cN > 0; 2) cN monotonno zrostagt\ (ne spadagt\); 3) 1 20 c kk = ∞ ∑ < ∞. Qk pryklad, takog poslidovnistg moΩe buty cN = c ln1 + ε N, cN = ln N ( ln ln N ) 1 + ε towo. Spravedlyvog [ taka teorema. Teorema 3. Nexaj dlq deqkoho x0 ∈ �, poslidovnosti { cN } N ∈ N , wo zado- vol\nq[ umovy 1 – 3, ta deqkoho σ > 0 vykonu[t\sq z c N N N 2 2 1 1 1< +σ . Todi x0 ∈ D ( Aσ ). Dovedennq. Dlq toho wob dovesty teoremu, dosyt\ pobuduvaty taku pos- lidovnist\ funkcij ϕn ( λ ), wo: ϕn ( λ ) monotonno zrostagt\ pry n → ∞; ϕ λ λn d E x x( ) ( ) ∞ ∫ 0 0 0 , ≤ C ∀N ∈ N; ∃ c′ : c′ λ2σ ≤ limn → ∞ ϕn ( λ ). Pislq c\oho, vykorystovugçy lemu Fatu, peresvidçu[mosq, wo funkciq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 843 ϕ ( λ ) = lim n n →∞ ( )ϕ λ [ intehrovnog, za teoremog Lebeha intehrovnog vidnosno miry d ( Eλ x0 , x0 ) [ ta- koΩ funkciq c1 λ2σ , a intehrovnist\ ostann\o] ekvivalentna naleΩnosti x0 do D ( Aσ ) . PokaΩemo qk budu[t\sq ßukana poslidovnist\ ϕn ( λ ). Rozhlqnemo z NN 2 2 1σ + . Za umovog teoremy z N cN N 2 2 1 1σ + ≤ . (12) Qk i pry dovedenni teoremy 1, ma[mo spektral\ne zobraΩennq z N N d E x xN N 2 2 1 2 1 2 2 0 0 0 1 1 2 1 σ σ λ λ λ λ + + +∞ = +     + ( )∫ , . Poznaçymo çerez ψn ( λ ) pidintehral\nyj vyraz i rozhlqnemo poslidovnist\ funkcij ϕn ( λ ) = max{ }( ) =ψ λk k n 1. Oçevydno, wo ϕn ( λ ) monotonno zrostagt\ pry n → ∞. Dovedemo, wo ∃ C > 0 ∀N ∈ N : ϕ λ λn d E x x( ) ( ) ∞ ∫ 0 0 0 , ≤ C. Dlq c\oho zauvaΩymo, wo ϕn ( λ ) < 22 1 2 0 2 σ ψ λ+ = [ ] ( )    ∑ k k nlog . (13) Spravdi, dlq bud\-qkoho k ≤ n poznaçymo çerez r = [ log2 k ] najbil\ße cile çyslo take, wo 2r ≤ k. Todi matymemo ψ λ ψ λ λ λ σ σk r k r r k( ) ( ) ≤     +     < + − ⋅ + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 , oskil\ky za oznaçennqm k < 2 ⋅ 2r . Vidpovidno, koΩne z ψk ( λ ), 2r ≤ k < 2r + 1 , ne perevywu[ 22 1 2 σ ψ λ+ ( )r , wo dovodyt\ (13). Z (12) ta (13) znaxodymo ϕ λ ψ λλ σ λ σ n k n k n d E x x d E x x c k k ( ) ( ) < ( ) ( ) ≤ ∞ + ∞ = [ ] + = [ ] ∫ ∫∑ ∑0 0 0 2 1 2 0 0 00 2 1 20 2 2 12 2 , , log log < C zavdqky tretij umovi na poslidovnist\ ck . Perßi dvi umovy na poslidovnist\ ϕn vykonano. Dovedemo, wo vykonu[t\sq j tretq, tobto isnu[ stala c̃ > 0 taka, wo ˜ limc n nλ ϕ λ ϕ λσ2 ≤ ( ) = ( ) →∞ , λ ≥ λ0 > 2 (dosyt\ vymahaty, wob umova vykonuvalasq ne dlq vsix λ > 0, a lyße dlq do- syt\ velykyx λ ). Dlq c\oho rozhlqnemo deqke λ′, poklademo n0 = 2 1 2 σ λ+ ′    ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 844 S. M. TORBA ta ocinymo ψn 0 ( λ′ ). Ma[mo ψn 0 ( λ′ ) = 2 1 2 1 1 2 1 4 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2σ λ λ λ λ σ λ σ σ λ σ σ σ+ ′    ′ ′ +     ′ + ≥ ′ + + ′    + + +e , a tomu j ϕ ( λ ) ≥ ϕn 0 ( λ ) ≥ ψn 0 ( λ ) ≥ σ λ σ σ σ 2 1 2 1 2 4 + + ′ e , wo i potribno bulo dovesty. Vynyka[ pytannq: a çy vsi umovy v teoremi 3 [ sutt[vymy? MoΩlyvo, inßyj metod dovedennq dozvolyt\ dovesty obernenu teoremu z ocinkog, wo z toçnistg do stalo] zbiha[t\sq z (7)? PokaΩemo, wo ce ne tak. Dlq c\oho rozhlqnemo po- slidovnist\ { } = ∞cn n 1, wo zadovol\nq[ taki umovy: 1 ta 2, qk u teoremi 3, ta umovy 3′ ) 1 21c ii = ∞ ∑ = ∞, 4) ∃ C0 > 0 ∀i : c c i i 2 2 1+ ≤ C0 . Umovy 1, 2, 3′, 4 zadovol\nqgt\ bahato poslidovnostej, napryklad, cn = = const, cn = ln n abo cn = ln n ln ln n. Ma[ misce taka teorema. Teorema 4. Nexaj poslidovnist\ { } = ∞cn n 1 zadovol\nq[ umovy 1, 2, 3′ ta 4. Todi isnugt\ samosprqΩenyj operator A ta vektor x0 taki, wo x0 ∉ D ( Aσ ), ale z c c N N N 2 2 1≤ +σ dlq deqkoho c > 0. Dovedennq. Nexaj { } = ∞ei i 1 — ortonormovanyj bazys u �. Operator A vy- beremo takyj, qk i v dovedenni teoremy 2. Za poçatkovyj viz\memo vektor x0 , zadanyj rqdom x0 = 1 1 221 2c e i i i i = ∞ ∑ σ . Lehko baçyty, wo x0 ∈ �, ale x0 ∉ D ( Aσ ), oskil\ky rqd Aσ x0 = 1 21 2c e i i i = ∞ ∑ [ rozbiΩnym u � zavdqky umovi 3′ na poslidovnist\ { cn }. Qk i pry dovedenni teoremy 2, moΩemo zapysaty z cN i N i i i i 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1= − +     + + = ∞ +∑ σ . (14) Nexaj σ ⋅ 2n 0 ≤ N < σ ⋅ 2n 0 + 1 . Ocinku sumy (14) provedemo okremo dlq i ≥ n0 ta i < n0 . Pry i = n ≥ n0 1 1 2 1 2 2 − +     + n N < 1, otΩe, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 845 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 20 0 n n N n n n n n nN N+     + < ( ) + + − ( − )σ σ σ σ σ σ = = 1 2 2 2 1 2 2 1 2 10( + )( − ) + +σ σ σ σ σ n n N . Vraxovugçy monotonnist\ poslidovnosti { cn }, znaxodymo 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 20 − +     + + = ∞ +∑ i N i n i i c i σ < < 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 0 0 0 0 c N c c Nn n n n n n ( ) ≤+ − + + = ∞ +∑ σ σ σ σ σ σ ˜ , c̃ = − + + 2 2 1 2 2 1 2 1 σ σ σ σ . (15) Zalyßylos\ ocinyty sumu dodankiv z i < n0 . Vykorysta[mo ocinky 1 1 2 2 2 2 2 2 0 20 0 0 01 1 0 c c c c c c C ci n n n i i n n i = … ≤ − + − (16) zhidno z vlastyvistg 4 poslidovnosti { cn }. Dlq perßoho mnoΩnyka vykorysta[mo ocinku 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 0 0− +     < − +     < ( ) + ( + ) − − − i N i n i i n i e σ σ . (17) Ostannq neobxidna ocinka [ takog: 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 i i n i n n i n i n n i N+ − + − ( − ) ( + ) + ( − )( + ) ++ = + ( ) <σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ . (18) Po[dnugçy (16) – (18), pryxodymo do ocinky 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 21 1 2 2 1 2 2 1 2 0 2 1 1 10 0 0 i i N i i i n i i i n c c N e C i n i +     + < ( ) ( ) + + = − + + − + = − ∑ ∑σ σ σ σ σ σσ . (19) Zavdqky zbiΩnosti rqdu ( ) ( )− + = ∞ ∑ e C n n n n σ σ2 0 2 1 1 2 , z (15) ta (19) otrymu[mo ∃ C̃ > 0 : z C c N CC c N CC c N N Nn n 2 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 0 0 1 ≤ ≤ ≤+ + + + ˜ ˜ ˜ σ σ σ , de v ostannix dvox nerivnostqx vykorystano vlastyvosti 2, 4 poslidovnosti { cn }. Ostannq velyçyna i [ ßukanog. Teoremu dovedeno. 4. Prqmi ta oberneni teoremy nablyΩennq v klasax neskinçenno dyfe- rencijovnyx vektoriv operatora A. Perejdemo do rozhlqdu vypadku neskin- çenno] hladkosti poçatkovoho vektora x0 , x0 ∈ C ∞ ( A ) = D = ( ) ∞ An n 1 ∩ . Qk pokazano v [10], qkwo A — zamknenyj wil\no vyznaçenyj operator, wo ma[ prynajmni odnu rehulqrnu toçku, to C A∞( ) = �. Vidpovidno, u vypadku, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 846 S. M. TORBA rozhlqda[t\sq v danij statti, mnoΩyna vektoriv neskinçenno] hladkosti [ wil\- nog, a zadaça nablyΩennq — zmistovnog. Teoremy 1 ta 3 dozvolqgt\ otrymaty nastupnu xarakteryzacig vektoriv z C ∞ ( A ) u terminax ßvydkosti prqmuvannq do nulq intehral\noho vidxylu. TverdΩennq. Vektor x0 ∈ C ∞ ( A ) todi i lyße todi, koly ∀k ∈ N : lim N N kz N →∞ +2 2 1 = 0. Dlq otrymannq konkretnyx prqmyx ta obernenyx teorem dlq neskinçenno hladkyx poçatkovyx vektoriv vydilymo vuΩçi pidklasy v C ∞ ( A ). Dotrymugçys\ [10], dlq β ≥ 0 poznaçymo Cα 〈 nn β 〉 ( A ) = { x ∈ C ∞ ( A ) \| ∃ c > 0 : \|\| An \|\| ≤ c αn nn β }. U podal\ßomu v poznaçenni budemo nextuvaty operatorom i pysaty prosto Cα 〈 nn β 〉. Cα 〈 nn β 〉 — banaxovyj prostir vidnosno normy x A x nC n n n n nn α β α β〈 〉 = sup . Vidpovidno, rozhlqdagt\sq C C n C n n n n n{ } > →∞ = 〈 〉 = 〈 〉β α β α α α β 0 ∪ lim ind ta C C n C n n n n n( ) > →∞ = 〈 〉 = 〈 〉β α β α α α β 0 ∩ lim proj — induktyvna ta proektyvna hranyci banaxovyx prostoriv. U konkretnyx vypadkax, napryklad dlq prostoru C ( [ a, b ] ) abo L2 ( [ a, b ] ), A — operatora dyferencigvannq, mnoΩyny C nn{ }β ta C nn( )β retel\no vyvçeno u bahat\ox pracqx. Napryklad, C d dxnn{ }     ta C d dxnn( )     — prostory vidpo- vidno analityçnyx i cilyx funkcij, C d dx{ }    1 — prostir cilyx funkcij ekspo- nencial\noho typu, C d dxnn{ }    β ta C d dxnn( )    β , β > 1, — klasy Ûevre typu Rum’[ i B\orlinha zastosovugt\sq pry doslidΩenni bahat\ox vaΩlyvyx zadaç. Spoçatku rozhlqnemo vypadok β = 0. U takomu vypadku prostir ExpA � : = : = C{1} ( A ) nazyva[t\sq prostorom cilyx vektoriv eksponencial\noho typu 3 . Qk vyplyva[ z rezul\tativ roboty [11], dlq samosprqΩenoho operatora cej prostir [ wil\nym u �. Krim toho, v [12] navedeno xarakteryzacig prostoriv Cα 〈 1 〉: dlq dovil\noho α > 0 Cα 〈 1 〉 ( A ) = E ( [ 0, α ] ) �, (20) de E ( ∆ ) — spektral\na mira operatora A. Ma[ misce nastupna teorema. Teorema 5. Vektor x0 ∈ Cα 〈 1 〉 todi i til\ky todi, koly z c x eN N2 0 2≤ ( ) −, γ γ , N ≥ α 2 , (21) de γ = ln /( )( + )1 α α . 3 Pry β = 0 prostir C(1) ( A ) = Ker A [ tryvial\nym i tomu ne rozhlqda[t\sq. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 847 ZauvaΩymo, wo u statti [6] teoremu 5 otrymano u çastkovomu vypadku α = = 1 / 2 , a zvorotnu çastynu, krim fiksovanoho α, we j za umovy dyskretnosti spektra operatora A ta zv’qzku najmenßoho vlasnoho znaçennq z α. Dovedennq. Nexaj x0 ∈ Cα 〈 1 〉. Todi formulu (8) z ohlqdu na umovu (20) zvodymo do tako] (skriz\ u podal\ßomu u (8) poklademo σ = 0): z d E x xN N 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 = +     + ( ) +∞ ∫ λ λ λ λ , = = λ λ λ λ α +     + ( ) + ∫ 1 1 2 1 2 2 0 0 0 N d E x x, . (22) Poznaçymo çerez ϕ ( λ ) pidintehral\nyj vyraz. Znajdemo maksymum velyçyny ϕ ( λ ) na promiΩku [ 0, α ]. V dovedenni teoremy 1 pokazano, wo funkciq ϕ ( λ ) monotonno zrosta[ do λmax , de λmax zadovol\nq[ ocinky 2N + 1 < λmax < 2N + 2. OtΩe, pry N ≥ α / 2 maksymum funkci] ϕ ( λ ) na vidrizku [ 0, α ] dosqha[t\sq pry λ = α, i moΩemo zapysaty ϕ ( λ ) ≤ ϕ ( α ) = α α α α γ γ +     + = + = + −( + ) − 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 N N Ne ce , (23) de γ = ln 1 + α α , a c = e− + 2 2 1 γ α . Z (22) ta (23) otrymu[mo ßukane z ce d E x x c x eN N N2 2 0 0 0 0 2 2≤ ( ) =− −∫γ λ α γ, . Nexaj teper dlq x0 vykonano ocinku (21). Dovedemo, wo x0 ∈ Cα 〈 1 〉. Pry- pustymo, wo na deqkomu promiΩku ( l, l + ε ) d E x x l l ( ) + ∫ λ ε 0 0, = M > 0. (24) Vyxodqçy z (8), zapysu[mo ocinku z d E x xN N l l 2 2 2 0 01 1 2 1 ≥ +     + ( ) ++ ∫ λ λ λ λ ε , . (25) Pry N > ( l + ε ) / 2 vnaslidok monotonnoho zrostannq ϕ ( λ ) na ( 0, 2N ) ma[mo ocinku λ λ λ γ γ +     + ≥ +     + = + + + − − 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2N N Nl l l e e l l l , de γl = ln l l + 1 . Z (24), (25) ta ostann\o] ocinky znaxodymo z Me l eN Nl l2 2 2 2 1 ≥ + − − γ γ . (26) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 848 S. M. TORBA Oskil\ky, za prypuwennqm, dlq vsix N vykonano (21), to, porivnggçy (21) z (26), pryxodymo do vysnovku, wo – γl ≤ – γ ⇔ l ≤ α. (27) Zavdqky vyboru ε qk dovil\noho dodatnoho z (27) vyplyva[, wo x0 ∈ E ( [ 0, α ] ) �, tobto (za kryteri[m (20)) x0 ∈ Cα 〈 1 〉. Teoremu dovedeno. Pry α > 0 vyraz ln 1 + α α nabuva[ vsix moΩlyvyx znaçen\ vid 0 do + ∞, to- mu z teoremy 5 vyplyva[ takyj naslidok. Naslidok. NablyΩennq xN ( t ) ma[ eksponencial\nu ßvydkist\ zbiΩnosti u seredn\omu do x ( t ) todi i lyße todi, koly x 0 [ cilym vektorom eksponenci- al\noho typu operatora A. Perejdemo teper do prostoriv C nn{ }β ta C nn( )β , β > 0. Dlq c\oho vykorys- ta[mo xarakteryzacig naleΩnosti vektora do prostoru Cα 〈 nn β 〉 u terminax zbiΩnosti spektral\nyx intehraliv. Navedemo neobxidni vidomosti, vykorystovu- gçy rezul\taty z [10]. Pry β > 0 poslidovnist\ { nn β } n ∈ N ma[ vlastyvist\ ∀α > 0 ∃ c = c ( α ) > 0 ∀n ∈ N : nn β ≥ c αn . (28) Umova (28) zabezpeçu[ vkladennq ExpA ⊂ Cα 〈 nn β 〉 pry dovil\nomu α > 0 i, vid- povidno, netryvial\nist\ ostannix prostoriv. Rozhlqnemo ρ ( λ ) = exp ( β e – 1 λ1 / β ). Za funkci[g ρ ( λ ) budu[t\sq sim’q hil\bertovyx prostoriv �t 〈 ρ 〉 = D ( ρ ( t A ) ), ( f, g ) �t 〈 ρ 〉 = ( ρ ( t A ) f, ρ ( t A ) g ). Qk pokazano v roboti [10], normy u prostorax Cα 〈 nn β 〉 ta �t 〈 〉ρ pov’qzani miΩ sobog spivvidnoßennqmy ∀t > 0 ∀s > 1: x m c s x t ts nC n� 〈 〉 〈 〉≤ ( ) ( )− ρ β 2 0 2 2 2 1 (29) ta x m xC nt n t 〈 〉 − 〈 〉≤ − β ρ 2 0 2 2 1� . (30) Nastupna teorema da[ xarakteryzacig klasiv Ûevre typu Rum’[ G{ β } ( A ) ta typu B\orlinha G( β ) ( A ), β > 0: Teorema 6. Vektor x0 ∈ G{ β } ( A ) todi i lyße todi, koly ∃ c > 0 ∃ c′ > 0 : z c cNN 2 1 12≤ ′ (− )( + )exp / β ; x0 ∈ G( β ) ( A ) todi i lyße todi, koly ∀c > 0 ∃ c′′ > 0 : z c cNN 2 1 12≤ ′′ (− )( + )exp / β . Dlq dovedennq teoremy 6 sformulg[mo i dovedemo dvi lemy. Lema 1. Nexaj x0 ∈ Cα 〈 nn β 〉. Todi ∀t > α ∃ c > 0 ∃ N0 ∀N > N0 : z c c NN t 2 1 12≤ (− )( + )exp / β , de ct = t e− ( + ) − ( + )( + )1 1 1 1/ /β β β β . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 849 Dovedennq. Nexaj x0 ∈ Cα 〈 nn β 〉. Vyberemo s = t + α 2 , todi α < s < t. Qk vyplyva[ z (29), ρ λ λ 2 1 0 0 0 ( ) ( )− ∞ ∫ s d E x x, < ∞, de ρ ( λ ) = exp ( β e – 1 λ1 / β ). Zvidsy robymo vysnovok, wo vyznaçenyj element y0 = = ρ ( s– 1 A ) x0 ∈ �. OtΩe, qk i pry dovedenni spivvidnoßennq (8), moΩemo zapysaty z s d E y yN N 2 2 2 2 1 0 0 0 1 1 2 1 1= +     + ( ) ( ) + − ∞ ∫ λ λ λ ρ λ λ , . (31) Poznaçymo çerez ψ ( λ ) pidintehral\nyj vyraz i znajdemo joho maksymum po λ. Rivnqnnq ψ ′ ( λ ) = 0 zvodyt\sq do rivnqnnq e s s s s N− − − − −( ) = ′( ) ( ) = + + + + −1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 λ λρ λ ρ λ λ λ β/ . (32) Dlq doslidΩennq rivnqnnq (32) skorysta[mosq tym, wo u livij çastyni mistyt\sq monotonno zrostagça funkciq, vodnoças prava çastyna mistyt\ sumu, qka monotonno spada[ pry λ → + ∞. Pryxodymo do vysnovku, wo rivnqnnq (32) ma[ [dynyj korin\ λmax . Ocinymo promiΩok [ λ1 , λ2 ], qkomu naleΩyt\ λmax . Rozhlqnemo λ1 : = ( − − )− −N N e s N e s e s1 2/ βγ βγ γ γ βγ γ βγ βγ γ , (33) λ2 : = N e sβγ βγ γ , (34) de γ = 1 1β + . Pry c\omu β γ = β β + 1 < 1. Pidstavlqgçy λ1 u rivnqnnq (32), zna- xodymo N N N e s N e s+ + − + = − + + + + − + 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1 1λ λ λ λ λ λ λ βγ βγ γ βγ βγ γ/ / > > N N e s N e s − ( − )− − −1 2 1 1 / βγ βγ γ βγ βγ γ λ > > ( − − ) = ( )− − − − − −N N e s N e s e s e s1 2 1 1 1 1/ /βγ βγ γ γ βγ γ γ βγ γ βλ . Dlq druho] toçky ma[mo N N N N+ + − + = + + + −    − + 1 1 2 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2λ λ λ λ λ λ λ λ = = N N e s N N e s e sβγ βγ γ γ βγ γ βλ λ λ λ λ λ+ − ( + ) − + < = ( )− − − −2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 / , oskil\ky z (34) vyplyva[, wo pry N > eβ s vykonu[t\sq N > λ2 . OtΩe, λmax ∈ ∈ [ λ1 , λ2 ]. Pidstavlqgçy u vyraz ψ ( λ ) vidpovidno λ1 ta λ2 , znaxodymo ψ ( λ ) < 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1− +     + − ( ) + − −( ) λ λ β λ β N e sexp / . (35) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 850 S. M. TORBA Perßyj mnoΩnyk ocing[mo takym çynom: 1 1 1 2 2 12 2 2 2 − +     < − + +     + λ λ N N exp < < exp exp− +    < − ( )( )− −2 2 2 2 2 2 1 1N N c Nt e λ λ γ βγ , oskil\ky s < t i, vidpovidno, s– 1 > t– 1 . Analohiçno 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 λ β λ ββ γ βγ + − ( ) < − ( )( ) ( )− − − −exp exp/e s c Nt e , a otΩe (vraxovugçy (31)), z c c sA x Nt eN 2 1 2 0 2 1 1 1 12 1< ( ) − ( ) ( + )( )− ( + ) − ( + )ρ ββ β βexp / / . Lemu dovedeno. Lema 1 [ prqmog teoremog nablyΩennq. Dovedemo teper lemu, qka [ oberne- nog teoremog nablyΩennq. Lema 2. Nexaj ∃ c > 0, c1 > 0 : z c N cNN 2 1 2 1 12≤ (− )( + )exp / β . (36) Todi x0 ∈ Cα 〈 nn β 〉, de α vyznaça[t\sq vyrazom α = e c− + −( + )( + )β β ββ1 1 1 . (37) Dovedennq. Sxema dovedennq analohiçna sxemi dovedennq teoremy 3. Pobu- du[mo poslidovnist\ funkcij ϕn ( λ ) taku, wo: ϕn ( λ ) monotonno zrostagt\ pry n → ∞; ϕ λ λn d E x x( ) ( ) ∞ ∫ 0 0 0 , ≤ C ∀N ∈ N; ∃ c′ : ′ ( )( )− −c eexp /2 1 1 1β α λ β ≤ limn → ∞ ϕn ( λ ), de α zada[t\sq vyrazom (37). Pislq c\oho vkladennq x0 ∈ Cα 〈 nn β 〉 vyplyva[ z (30). PokaΩemo, qk pobudu- vaty ßukanu poslidovnist\. Rozhlqnemo z N cNN 2 1 1 12β β β/ /exp( + ) ( + )( ). Za umovog teoremy z N cN c N N 2 1 1 1 1 2 12β β β β β / / /exp( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) ≤ . (38) Qk i pry dovedenni teoremy 3, ma[mo spektral\ne zobraΩennq z N cNN 2 1 1 12β β β/ /exp( + ) ( + )( ) = = λ λ λ β β β λ+     + ( ) ( )( + ) ( + ) ∞ ∫ 1 1 2 1 21 1 1 0 0 0 N cN d E x x/ /exp , . Poznaçymo çerez ψn ( λ ) pidintehral\nyj vyraz i rozhlqnemo poslidovnist\ fun- kcij ϕn ( λ ) = max{ }( ) =ψ λk k n 1. Oçevydno, wo ϕn ( λ ) monotonno zrostagt\ pry n → ∞. ObmeΩenist\ intehraliv ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 PRQMI TA OBERNENI TEOREMY NABLYÛENYX METODIV … 851 ϕ λ λn d E x x( ) ( ) ∞ ∫ 0 0 0 , ≤ C, n ∈ N, vyplyva[ z oçevydno] ocinky ϕn ( λ ) = max{ }( ) =ψ λk k n 1 ≤ ψ λk k n ( ) = ∑ 1 , umovy (38) ta zbiΩnosti rqdu 1 2 11kk n ( + ) ( + )=∑ β β/ . OtΩe, perßi dvi umovy dlq po- slidovnosti ϕn vykonano. Dovedemo j tretg. Z umovy (37) znaxodymo c = α βγ βγ− − ( + )e 1 , γ = 1 1β + . Rozhlqnemo dovil\ne λ > 1. Poznaçymo N = [ ]( + ) − −λ αβ β β1 1 1/ /e + 1, de [ ⋅ ] poznaça[ cilu çastynu çysla. Todi, vykorystovugçy vlastyvist\ cilo] çastyny [ x ] + 1 > x, otrymu[mo exp exp/( ) = ( ) ( + )( + ) − −( )2 2 11 1 1cN N eβ γ βγα β > > exp /( )( ) ( + )− −2 11 1 1λα ββe , (39) λ λ λ λ+     = − + ( + )    + 1 1 2 2 2 2N Nexp ln . Vykorystovugçy nerivnosti ln ( 1 + 1 / λ ) < 1 / λ pry λ > 1 ta [ x ] ≤ x, z ostan- n\oho vyrazu oderΩu[mo exp ln exp /− + ( + )    ≥ − ( )( )− −λ λ λα β1 2 2 2 1 1 1N e (40) i ostanng ocinku N e c β β β β β β β λ λ α λ / / / / ˜ ( + ) ( + ) − − ( + ) + > ( ) + > 1 1 1 1 1 2 1 2 1 > 0. (41) Vraxovugçy (39) – (41), pryxodymo do vysnovku, wo ϕ ( λ ) = lim n n → ∞ ( )ϕ λ ≥ ϕN ( λ ) ≥ ψN ( λ ) > ˜ exp /c e( )− −( )2 1 1 1β λα β , a ce j harantu[ vkladennq x0 ∈ Cα 〈 nn β 〉. Lemu dovedeno. Dovedennq teoremy 6. Pry t ∈ ( 0, ∞ ) vyraz ct = t e− ( + ) − ( + )( + )1 1 1 1/ /β β β β nabuva[ vsix moΩlyvyx znaçen\ z ( 0, ∞ ). Tak samo j α = e c− + −( + )( + )β β ββ1 1 1 nabuva[ vsix dodatnyx dijsnyx znaçen\ pry c ∈ ( 0, ∞ ). Krim toho, nevaΩko pomityty, wo z nerivnosti z c cNN 2 1 1 12≤ (− )( + )exp / β vyplyva[ ∀ c′ > c, ∃ ′c1 > 0 : z c N c NN 2 1 2 1 12≤ ′ (− ′ )( + )exp / β , a tomu teorema 6 vyplyva[ z lem 1 ta 2. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 852 S. M. TORBA 1. Horbaçuk M. L., Horodeckyj V. V. O polynomyal\nom pryblyΩenyy reßenyj dyfferency- al\no-operatorn¥x uravnenyj v hyl\bertovom prostranstve // Ukr. mat. Ωurn. – 1984. – 36, # 4. – S. 500 – 502. 2. Kaßpirovs\kyj O. I., Mytnyk G. V. Aproksymaciq rozv’qzkiv operatorno-dyferencial\nyx rivnqn\ za dopomohog operatornyx polinomiv // Tam Ωe. – 1998. – 50, # 11. – S. 1506 – 1516. 3. Arov D. Z., Gavrilyuk I. P. A method for solving initial value problems for linear differential equations in Hilbert space based on the Cayley transform // Numer. Func. Anal. and Optim. – 1993. – 14, # 5, 6. – P. 456 – 473. 4. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. The Cayley transform and the solution of an initial value problem for a first order differential equation with an unbounded operator coefficient in Hilbert space // Ibid. – 1994. – 15, # 5, 6. – P. 583 – 598. 5. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Representation and approximation of the solution of an initial value problem for a first order differential equation in Banach space // J. Anal. and Appl. (ZAA). – 1996. – 15, # 2. – P. 495 – 527. 6. Makarov V. L., Vasylyk V. B., Rqbyçev V. L. Neuluçßaem¥e po porqdku ocenky skorosty sxodymosty metoda preobrazovanyq Kπly dlq pryblyΩenyq operatornoj πksponent¥ // Kybernetyka y system. analyz. – 2002. – # 4. – S. 180 – 185. 7. Havrylgk Y. P., Makarov V. L. Syl\no pozytyvn¥e operator¥ y çyslenn¥e alhorytm¥ bez nas¥wenyq toçnosty. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2004. – 500 s. 8. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. Boundary-value problems for operator-differential equations. – Dordrecht: Kluwer, 1991. – 364 p. 9. Suetyn P. K. Klassyçeskye ortohonal\n¥e mnohoçlen¥. – M.: Nauka, 1979. – 416 s. 10. Horbaçuk V. Y., Knqzgk A. V. Hranyçn¥e znaçenyq reßenyj dyfferencyal\no-operatorn¥x uravnenyj // Uspexy mat. nauk. – 1989. – 44, v¥p. 3. – S. 55 – 90. 11. Rad¥no Q. V. Prostranstva vektorov πksponencyal\noho typa // Dokl. AN BSSR. – 1983. – 27, # 9. – S. 215 – 229. 12. Horbaçuk M. L. Pro analityçni rozv’qzky dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 5. – S. 596 – 607. OderΩano 16.03.2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6

Прямі та обернені теореми наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші

Institution

Ähnliche Einträge